pengertian pita energi
DESCRIPTION
Fisika Zat PadatTRANSCRIPT
Gambar 1. Pita energi
A. TEORI PITA ENERGI
Berdasarkan teori atom, diketahui bahwa suatu atom terdiri dari inti atom dan
elektron-elektron yang mengelilingi inti. Elektron yang berada pada kulit-kulit atom
ini memiliki tingkat-tingkat energi tertentu. Untuk tingkat-tingkat energi pada suatu
kristal dapat digambarkan dengan cara yang sama dengan atom tunggal. Interaksi
antar atom pada kristal hanya terjadi pada elektron di kulit terluar (elektron valensi),
sehingga tingkat energi untuk elektron pada kulit bagian dalam tidak berubah.
Berdasarkan azas Pauli, pada suatu tingkat energi tidak boleh terdapat lebih dari satu
elektron pada keadaan yang sama. Apabila terdapat lebih dari satu elektron pada
keadaan yang sama, akan terjadi pergeseran tingkat energi, sehingga tidak pernah
terjadi tingkat-tingkat energi yang bertindihan. Kumpulan garis pada tingkat energi
yang sama akan saling berhimpit dan membentuk suatu pita yang disebut sebagai
pita energi.
Gambar 1. Tingkat energi (a) pada atom tunggal (b) pada kristal
Sumber : http://blog.umy.ac.id/clasiccboy/2012/04/23/semikonduktor/
Pada sebuah atom tunggal elektron-elektronnya hanya boleh menempati tigkat-
tingkat energi tertentu seperti yang ditunjukkan oleh gambar 1 (a). Sedangkan untuk
kristal yang memiliki atom yang tersusun secara periodik dan teratur sehingga atom-
atomnya saling berdekatan. Hal inilah yang menyebabkan elektro-elektron yang
berada pada kulit terluar (elektron valensi) akan saling berinteraksi sehingga tingkat-
tingkat energinya akan saling berhimpit dan dianggap membentuk suatu pita energi
seperti pada gambar 1 (b).
B. JENIS-JENIS PITA ENERGI
Secara umum, pita energi ini akan terbagi menjadi 2 (dua) daerah besar, yaitu daerah
pita valensi (Valence Band) dan pita konduksi (Conduction Band). Atom-atom pada
daerah pita valensi terikat sangat erat dengan inti atom, sedangkan atom-atom pada
deerah pita konduksi mudah sekali terlepas dari inti atom.
Pada umumnya, antara pita valensi dan pita konduksi memiliki jarak tertentu yang
dikenal dengan istilah celah energi. Berdasarkan celah energi inilah sifat-sifat
material dapat dibedakan. Elektron-elektron tidak diperbolehkan menempati celah-
celah energi ini. Besarnya energi yang diperlukan untuk memindahkan elektron dari
pita valensi ke pita konduksi adalah sebesar energi pada pita terlarang.
3s
2p
2s
1s
Pita konduksi
Pita valensi
Celah energi
Gambar 2. Pita-pita energi pada atom natrium
Sumber : PPT Universitas Negeri Jakarta
Berdasarkan celah energinya suatu material dibagi menjadi tiga macam, yaitu :
1. Konduktor
Bahan yang bersifat konduktor ini biasaya berupa material logam dimana energy
gap (celah energi) nya saling tumpang tindih (overlap) sehingga atom-atom dari
pita valensi ini sangat mudah berpindah ke pita konduksi. Hal inilah yang
menyebabkan logam memiliki sifat konduktif (dapat menghantarkan arus listrik).,
dimana konduktivitas listriknya (σ) ≥ 105/Ωm. Gambar 3, mengilustrasikan pita
energi dan celah energi pada konduktor.
Gambar 3. Pita energi pada kondutor
Sumber : Dasar elektronika
2. Isolator
Untuk material-material non-logam ini biasanya memiliki celah energy yang
berjauhan sehingga atom-atom sulit untuk bergerak kea rah pita konduksi.
Sehingga material-material jenis ini memiliki sifat sulit untuk untuk
menghantarkan listrik atau isolator, dimana untuk bahan/material jenis ini
konduktivitasnya (σ) 10-5/Ωm. Berikut adalah gambar pita dan celah energi untuk
material isolator
Gambar 4. Pita energi pada isolator
Sumber : Dasar elektronika
3. Semikonduktor
Namun terdapat beberapa bahan/material yang memiliki celah energi yang
berdekatan. Oleh karena itu, pada kondisi normal atom-atom sulit bergerak ke
daerah pita konduksi sehingga bersifat isolator. Tetapi jika diberi sedikit
tambahan energi, atom-atom tersebut dapat bergerak ke daerah pita konduksi
sehingga menjadi bersifat konduktor. Untuk material/bahan jenis ini memiliki
konduktifitas listrik sebesar 10-5/Ωm ≤ σ ≥105/Ωm. Karena sifatnya yang
demikian, bahan/material tersebut dikenal sebagai semikonduktor. Gambar 5
menunjukkan ilustrasi dari pita energi dan celah energi yang dimiliki oleh bahan
semikonduktor.
Gambar 5. Pita energi pada semikonduktor
Sumber : Dasar elektronika
Material-material yang telah disebutkan sebelumnya, memiliki daya hantar
(konduktifitas) listrik yang berbeda-beda. Untuk dapat menerangkan sifat daya
hantar listrik zat padat diperlukan sebuah model. Model yang dikembangkan adalah
model elektron bebas terkuantisasi, namun pada model ini tidak dapat menjelaskan
rentang nilai konduktivitas listrik dari zat padat yang lebar. Pada model ini potensial
dari gugus ion diabaikan (V = 0).
Model yang kedua adalah model pita energi, dimana model ini dapat menjelaskan
rentang nilai konduktivitas listrik dari zat padat yang lebar. Pada model ini potensial
dari gugus ion tidak diabaikan atau terdapat potensial yang berkala pada suatu zat
padat. Namun ada beberapa hal yang harus diperhatikan pada model pita energi ini,
diantaranya :
Adanya energi potensial yang berkala (periodik) di dalam kisi kristal
Fungsi gelombangnya untuk kisi yang sempurna (tanpa vibrasi termal, cacat
geometri)
Merupakan teori elektron tunggal, hanya memperhatikan perilaku satu elektron
saja yang mana elektron ini dipengaruhi oleh potensial periodik yang
mempresentasikan semua interaksinya.
Menggunakan persamaan Schrӧndinger untuk mengkaji informasi yang ada pada
elektron tersebut dengan tetap mengikuti aturan distribusi Fermi-Dirac untuk
pengisian keadaan elektron. Persamaan Schrӧdinger untuk menjelaskan model
pita energi ini dituliskan pada persamaan berikut :
. . . (1)
Dimana pada persamaan (1) ini berlaku untuk koordinat bola. Persamaan yang
dapat digunakan untuk menguraikan bentuk dan sifat fungsi Schrӧdinger untuk
satu elektron dalam potensial berkala, adalah teorema bloch.
C. TEOREMA BLOCH
Persamaan Shrödinger untuk elektron yang bergerak dalam energi potensial yang
nilainya tetap (V 0 ) dan satu dimensi :
d2Ψ ( x )dx2 + 2m
ħ2 ( E−V 0 ) Ψ (x )=0 … (1)
Solusi untuk persamaan tersebut berupa gelombang bidang (datar) yang berbentuk :
Ψ ( x )=e±ikx . . . (2)
Dimana energi kinetiknya adalah : ( E−V 0 )=ħ2k2
2 m . . . (3)
Energi potensial dari V ( x ) ini bergerak secara periodik dengan periode sama dengan
konstanta kisi (a ).
V ( x )=V ( x+a ) . . . (4)
Solusi untuk persamaan Schrödinger diatas diatur oleh sebuah teorema, yaitu
teorema Bloch. Fungsi Bloch membuktikan perlunya teorema khusus untuk solusi
dari persamaan Schrödinger dengan potensial periodik.
Ψ k (r )=uk (r ) e(ik .r ) . . . (5)
Dengan :
uk (r )=¿ periode kisi kristal, sehingga uk (r ) dapat dinyatakan dalam persamaan (6)
uk (r )=uk (r+T ) . . . (6)
Teorema Bloch :
“Fungsi eigen dari persamaan gelombang untuk suatu potensial periodik adalah
hasil kali antara suatu gelombang bidang e ik . r dengan suatu fungsi uk (r ) dengan
periode sifat kisi kristal.”
Fungsi Bloch berlaku ketika Ψ k tidak berdegenerasi, yaitu ketika tidak ada fungsi
gelombang lain dengan energi sama dan vektor gelombang sebagai Ψ k.
N merupakan kisi kristal pada lingkaran Na. Energi potensial dalam a, dimana
U ( x )=U ( x+sa ), dimana s adalah bilangan bulat. Maka solusi dari fungsi gelombang
adalah:
Ψ ( x+a )=CΨ ( x ) . . . (7)
Dimana C adalah konstanta, maka kejadian di sekitar lingkaran Na adalah:
Ψ ( x+ Na )=Ψ ( x )=CN Ψ ( x ) . . . (8)
Karena Ψ ( x ) harus bernilai tunggal.
C=ei 2 πs
N s=0 ,1 , 2 , …,N−1
Maka kita dapat melihat bahwa:
Ψ (k )=uk ( x )ei 2 πsx
Na . . . (9)
Dimana:
uk ( x )=uk ( x+a ), dengan k=2 πsNa
Fungsi gelombang elektron yang hampir bebas yang hampir bebas dinyatakan oleh :
Ψ k ( r )=U k ( r ) ei k . r . . . (10)
Fungsi Bloch merupakan teorema untuk menyelesaikan persamaan Shrödinger pada
potensial periodik
U k ( r+T )=U k ( r ) . . . (11)
Dimana : Ψ ( r+T )=f (T )Ψ ( r ) , untuk f (T )=eia (T )
Apabila : T=T 1+T 2
Maka : f ( T1+T 2 )=eia (T 1+T2 )=e
ia (T 1) . eia (T 2) , a merupakan fungsi (T 1+T2 )
Sehingga dapat dituliskan : a (T )=A T X+B T Y+C T Z
Jika k=A X+B Y +C Z dan T=T X X+T Y Y +T Z Z , maka :
k . T=A T X +B T Y+C T Z . . . (12)
Sehingga: (T )= k .T , maka: Ψ (k+ T )=e i k . T Ψ ( r )
Bukti bahwa U k periodik
Persamaan Bloch : Ψ ( r+T )=ei k .T Ψ ( r )
Ψ ( r+T )=U k ( r+ T ) . e i k . (r+T )
Ψ ( r+T )=U k (r )e i k . ( r+ T )
Apabila dibandingkan dengan Ψ ( r+T )=U k ( r+ T ) e i k . ( r+T ), maka :
Ψ ( r+T )=U k ( r+ T ) e i k . ( r+T )
Ψ ( r+T )=U k (r )e i k . ( r+ T )
U k ( r )=U k ( r+T ) terbukti U k fungsi periodik
D. MODEL KRONIG-PENNEY
Model Kronig Penney merupakan gambaran yang real tentang kisi kristal dalam
potensial periodik. Model ini mencari penyelesaian gelombang dalam potensial
periodik yang memberlakukan syarat batas dan syarat awal dalam kisi kistal yang
berbentuk sumur kuantum (Quantun well structures). Solusi yang diberikan dalam
model Kronig-Penney menggunakan teorema Bloch. Gambaran model Kronig-
Penney dapat dilihat pada Gambar 6. Pada gambar ini lebar sumur kuantum adalah a
yang merupakan fungsi dari energi.
Gambar 6. Kronig Dan Penney satu-dimensional pada Potensial berkala
Persamaan Shrödinger untuk model Kronig-Penney dinyatakan oleh persamaan (13)
d2Ψ ( x )dx2 + 2m
ħ2 ( E−V 0 ) Ψ (x )=0 … (13)
Solusi persamaan gelombang untuk gelombang bidang adalah :
ψ=uk ( x ) eikx. . . (14)
Dimana u(x) adalah suatu fungsi periodik dalam x dengan periode ( a+ b) dan a
adalah syarat batas yang digunakan. Dengan substitusi dalam persamaan (13) dan
(14) akan diperoleh:
d2ud x2 +2ik
dudx
+ 2mh2 ( E−Ek−V 0 ) u=0 . . . (15)
Dimana: W k=h2 k2
2 m
Untuk daerah 0< x< a persamaan (15) mempunyai solusi :
u=A ei ( α−k ) x+B e−i( α+k ) x
Dengan syarat, α=3√ 2m Eh2
Pada daerah a < x < a+b, solusinya adalah
u=C e i (β−k ) x+D e−i ( β−k ) x
Dengan syarat, β=[2 m (V 0−E )/h2 ]3 /2
Konstanta A, B, C, D dipilih sedemikian sehingga u dan du/dx adalah berlanjut pada
x= 0 dan x= a, dan oleh kecenderungan waktu tertentu memerlukan u(x) nilai-nilai
pada x=a juga pada x=-b, dengan demikian diperoleh empat persamaan linier yang
homogen.
A+B=C+D
A e i (α−k )a+B e−i (α+ k ) a=C ei ( β−k ) b+D e−i( β−k ) b
i (α−k ) A ei ( α−k ) a−i (α+k ) B e−i (α +k ) a=i ( β−k )C ei ( β−k ) b−i ( β−k ) D e−i( β−k ) b
Persamaan (16) mempunyai solusi jika faktor penentu koefisien dihilangkan, atau :
β2−α2
2 αβsinhβb sinαa+cosh βb cos αa=cos k ( a+b ) . . . (17)
Psin αa
αa+cosαa=coska . . . (18)
Persamaan (17) dan (18) merupakan persamaan transendental dan harus mempunyai
suatu solusi untuk suatu agar fungsi gelombang yang dinyatakan pada persamaan
sebelumnya dapat diselesaikan. Persamaan 18 dapat dinyatakan dalam gambar 7.
Gambar 8. Diagram pita energy
Dari persamaan (18) dapat diperoleh beberapa kesimpulan yaitu :
Jika nilai P kecil maka cakupan yang terlarang akan menghilang.
Jika P ∞ cakupan αa yang yang diijinkan akan menurunkan poin-poin energi (n
= ±1, ±2,..) dan spektrum energi menjadi terpisah. Sehingga nilai :
E= n2 h2
8 m a2
. . . (16)
DAFTAR PUSTAKA
Adriansyah, A. Tanpa Tahun. Dasar Elektronika : Modul 2 Semikonduktor. Pusat
Pengembangan Bahan Ajar : UMB.
Herliana, F., dkk. 2012. Pita Energi (online).
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/195905271985031-
KARDIAWARMAN/Modul_UT/KB-1_modul_5_Fis_Zat_Padat.pdf. [Diakses
tanggal 7 Desember 2015].
Nasbey, H. 2010. Pertemuan 14 : Fisika Modern, Molecules and Solids (online). PPT
Universitas Negeri Jakarta, http://www.slideshare.net/jayamartha/fisika-modern-14-
molecules-andsolidcrystal-7174064. [Diakses pada 6 Desember 2015].
Prasetyowati, R. 2012. Pita Energi (online).
http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Rita%20Prasetyowati,%20M.Si./
PITA%20ENERGI_Rita.pdf. [Diakses pada 7 Desember 2015].
Rifqi, I. Semikonduktor (online).
http://blog.umy.ac.id/clasiccboy/2012/04/23/semikonduktor/ [Diakses pada 6
Desember 2015].