pengantar probabilitas

RUANG SAMPEL & KEJADIAN

PENCACAHAN TITIK SAMPEL

PENGANTAR PROBABILITAS

KONSEP DASAR PROBABILITAS

If you go to a supermarket and select 5 lbs (1 pounds = 0.45 kg) of apples at $0.79 per lb, you can easily predict the amount you will be charged (5 ∙ 0.79 = $3.95) at the checkout counter. The amount charged for such purchases is a Deterministic Phenomenon. It can be predicted exactly on the basis of the information given.

On the other hand, consider the problem faced by the produce manager of the supermarket, who must order enough apples to have on hand each day without knowing exactly how many pounds customer will buy during the day. The customer’s demand is an example of Random Phenomenon. The study of probability is concerned with such random phenomenon.

Even though we can’t be certain, whether or not a given result will occur, we can often obtain a good measure of its likelihood or probability (Meskipun kita tidak bisa memastikan, apakah hasil yang diberikan akan terjadi, kita sering dapat memperoleh ukuran yang baik dari kemungkinan atau probabilitas).

(Larson & Farber, Elementary Statistics : Picturing The World, 3e)

PENGERTIAN PERCOBAAN, RUANG SAMPEL, TITIK SAMPEL & KEJADIAN (1)

PERCOBAAN (PROBABILITY EXPERIMENT) : Sembarang proses yang menghasilkan data. Contoh :

– lemparan sebuah mata uang logam– peluncuran rudal dan pengamatan kecepatannya pada

saat-saat tertentu– jajak pendapat tentang rencana diberlakukannya

undang-undang tertentu.

Selanjutnya perhatian akan lebih difokuskan pada pengamatan yg diperoleh dari percobaan yg diulang

beberapa kali.


RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE, “S”) : Himpunan semua hasil yg mungkin dari percobaan. Hasil suatu percobaan bisa dinyatakan lebih dari

satu ruang sampel. Contoh :

- Pelemparan sebuah uang logam, S = {G, A}- Percobaan melemparkan sebuah dadu. Jika yang diselidiki adalah nomor yang muncul di sebelah atas, maka ruang sampelnya S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika yang diselidiki adalah nomor genap atau ganjil yang muncul, maka ruang sampelnya adalah S2 = {ganjil, genap}.


TITIK SAMPEL : Setiap unsur / elemen / anggota dari ruang sampel.

KEJADIAN (EVENT, “E”) : Hasil dr suatu percobaan yg punya sifat tertentu. Himpunan bagian dari ruang sampel (E S). Contoh :

- Sebuah dadu digulirkan. Ingin diketahui mengenai kejadian A bahwa hasil guliran dadu tersebut dapat dibagi tiga. A = {3, 6}.- Bila diketahui ruang sampel S = {t | t ≥ 0}, dengan t

menyatakan usia (thn) komponen mesin tertentu, maka kejadian A bahwa komponen akan rusak sebelum akhir tahun kelima adalah A = {t | 0 ≤ t < 5}.

CONTOH PERCOBAAN, RUANG SAMPEL, TITIK SAMPEL & KEJADIAN

Dua buah uang logam dilemparkan. Tentukan yang dimaksud dengan percobaan, ruang sampel, dan titik sampelnya ! Serta berikan contoh tentang kejadian !

Misalkan tiga produk diambil secara acak dari suatu proses produksi di pabrik. Kemudian setiap produk tersebut diperiksa dan dapat digolongkan sebagai cacat (C) dan tidak cacat (B). Tentukan yang dimaksud dengan percobaan, ruang sampel, dan titik sampelnya ! Serta beri contoh kejadian !

MENENTUKAN RUANG SAMPEL SUATU PERCOBAAN

Penentuan ruang sampel suatu percobaan, dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu dengan cara mendaftar, membuat tabel, & diagram pohon.

KAIDAH PERKALIAN atau KAIDAH PENGGANDAAN:

Jika suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua tersebut dapat dilakukan dalam n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama operasi ketiga dapat dilakukan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam

n1x n2 x … x nk cara

CONTOH PENENTUAN RUANG SAMPEL

Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya ?Dadu pertama dapat menghasilkan n1 = 6 cara. Untuk setiap cara tersebut dadu kedua dapat menghasilkan n2 = 6 cara. Dengan demikian, sepasang dadu tsb dapat menghasilkan n1 x n2 = 6 x 6 = 36 cara.


Percobaan : pengguliran sepasang dadu.

Cara mendaftar

Ruang sampelnya terdiri dari 36 titik sampel, yaitu :

S = {(i,j) | i,j = 1,2,3,4,5,6}

S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}


Cara membuat tabel


Cara diagram pohon


Berapa banyak bilangan genap, terdiri atas tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 5, 6, dan 9, bila setiap angka hanya boleh digunakan sekali ?

Karena bilangan genap yg terdiri atas tiga angka ditentukan oleh angka yg menduduki posisi satuan, maka terdapat 2 pilihan angka. Untuk setiap pilihan tersebut, tersedia 4 pilihan bagi posisi ratusan dan 3 pilihan bagi posisi puluhan. Dengan demikian, terdapat (2)(4)(3) = 24 bilangan genap yang terdiri dari tiga angka.

ratusan puluhan satuan

4 3 2

Permutasi (Ilustrasi 1)

Misal ada 3 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ?

Kelereng

m k hKantong

1 2 3

Tabung 1 Tabung 2 Tabung 3 Urutan

m

hm

k

k

h

h

mk

m

kmh

khmhmk

hkm

k

h

mh

k

mkh

mhk

Permutasi (Ilustrasi 2)

Misal ada 6 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) hijau (h), biru (b), ungu (u) dan coklat (c). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ?

Kelereng

Kantong

1 2 3

m k h b u c

n = banyaknya objekr = pemilihan objekSehingga :

n = 6r = 3

Permutasi

Permutasi adalah susunan yang dibentuk dari suatu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya.

Permutasi merupakan jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.

Permutasi merupakan bentuk aplikasi dari kaidah perkalian.

Banyaknya permutasi n obyek yang berbeda adalah n(n - 1)(n - 2)…3 2 1 = n! (Contoh : Ilustrasi 1)

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r obyek dari n obyek yang berbeda, untuk r n, adalah (Contoh Ilustrasi 2) :

!!

))1((21),(rn

nrnnnnPrnP n

r

Permutasi

Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n - 1)!

Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, … , nk berjenis ke-k adalah n!

n1 ! n2 ! … nk !

dengan n1 + n2 + … + nk = n.

Kombinasi (Ilustrasi)

Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.

Kelereng

m hKaleng

1 2 3

Kaleng 1 Kaleng 2Kaleng 3

sama

sama

sama

3 cara

Kombinasi (Ilustrasi)

Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng :

3

2

23

!2

!1

!3

!2

2,3

2

2,3

PP

Kombinasi

Adalah banyaknya cara mengambil r obyek dari n obyek tanpa memperhatikan urutan.

Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi.

Perbedaan permutasi dengan kombinasi : Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan. Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan.

Banyaknya kombinasi r obyek dari n obyek yang berbeda adalah :

C(n,r) dibaca “n diambil r” r obyek diambil dari n buah obyek.

)!(!

!),(

rnr

n

r

nrnCCrn

Contoh (1)

1. Berapa banyak susunan berbeda huruf-huruf A, B, C bisa dibentuk ?

2. Dari soal no. 1, bila diambil dua huruf dari tiga huruf tsb., maka berapa susunan huruf berbeda yg mungkin dibentuk ?

3. Tersedia empat angka : 1, 2, 3, 4. Berapa bilangan yang dapat dibuat dari semua angka tersebut ?

4. Dari soal no 3, bila diambil dua angka dari empat angka, maka berapakah susunan angka berbeda yang mungkin dibentuk ?

Contoh (2)

5. Terdapat 20 nomor lotere. Ada berapa cara berbeda, bila 2 nomor diambil untuk hadiah pertama dan kedua ?

6. Berapa macam permutasi yang berlainankah yang dapat disusun dari kata ‘matematika’ ?

7. Sebuah panitia 3 orang hendak dibentuk dari sejumlah 20 orang. Berapa banyak panitia yang dapat dibentuk ?

8. Sebuah sampel harus terdiri dari 5 orang responden. Jika responden tersebut harus dipilih dari suatu populasi yang terdiri dari 6 pria dan 3 wanita, dalam berapa cara sampel diatas dapat dipilih jika harus memiliki komposisi paling sedikit 3 orang responden pria ?

pengantar probabilitas

Documents

even though we cant

45 kg of apples at

95 at the checkout counter

on the other hand

diketahui mengenai kejadian

ruang sampel e s

diketahui ruang sampel

percobaan yg punya sifat