penerapan model arima - kusmansadik.files.wordpress.com · x metode momen, x metode kuadrat...
TRANSCRIPT
![Page 1: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/1.jpg)
Penerapan Model ARIMA
(Bagian I)
Dr. Kusman Sadik, M.Si
Departemen Statistika IPB, 2017/2018
1
![Page 2: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/2.jpg)
Ada tiga tahapan iteratif dalam pemodelan data deret waktu
yang berbasis model ARIMA, yaitu:
1. Penentuan model tentatif (spesifikasi model)
berdasarkan data contoh untuk mengidentifikasi nilai
p, d, dan q.
2. Pendugaan parameter model ARIMA(p, d, q) yang
diidentifikasi, yaitu penduga nilai , , dan σ𝑒2.
3. Analisis diagnostik untuk melihat kelayakan model.
2
![Page 3: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/3.jpg)
Prosedur iterasi ini sering disebut ”Metode Box-Jenkins”.
Untuk model ARIMA(p, d, q), spesifikasi dilakukan untuk
menentukan nilai p, d, dan q.
Alat yang digunakan pada tahap identifikasi ini adalah fungsi
autokorelasi.
Fungsi autokorelasi ini diduga dari data contoh atau disebut
fungsi autokorelasi contoh (sample of autocorrelation function
atau SACF atau ACF saja).
Disamping itu ada pula fungsi autokorelasi parsial (sample of
partial autocorrelation function atau SPACF atau PACF saja)
3
![Page 4: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/4.jpg)
a. ACF
.... ,2 ,1 ,
)(
))((
1
2
1
k
YY
YYYY
rn
t
t
kn
t
ktt
k
n
Y
Y
n
t
t 1
rk merupakan penduga bagi k
4
![Page 5: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/5.jpg)
a. PACF
PACF : kk = Corr(Yt, Yt-k | Yt-1, Yt-2, …, Yt-k+1)
Berdasarkan persamaan Yule-Walker:
j = k1j-1 + k2j-2 + ... + kkj-k
j = 1, 2, ..., k; Catatan: j = -j dan 0 = 1
k ACF; kk PACF
kk̂ penduga bagi kk
5
![Page 6: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh:
Misal diketahui data : 4, 2, 5, 1. Tentukan ACF (r1, r2) dan
PACF (𝜙 11 ,𝜙 22)
Melalui persamaan .... ,2 ,1 ,
)(
))((
1
2
1
k
YY
YYYY
rn
t
t
kn
t
ktt
k
Dapat diperoleh penduga ACF : r1 = -0.7 dan r2 = 0.4
6
![Page 7: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/7.jpg)
Berdasarkan persamaan Yule-Walker dapat diperoleh
penduga PACF kk:
j = k1j-1 + k2j-2 + ... + kkj-k
Untuk k =1 j = 1
1 = 110 1 = 11(1) r1 = 𝜙 11 = -0.7
Untuk k = 2 j = 1, 2
1 = 210 + 221 1 = 21 + 221
2 = 211 + 220 2 = 211 + 22
7
![Page 8: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/8.jpg)
1 = 210 + 221 1 = 21 + 221
2 = 211 + 220 2 = 211 + 22
(1)2 = 211 + 22(1)2 ...... Pers(1)
2 = 211 + 22 …….. Pers(2)
Berdasarkan Pers(1) dan Pers(2) diperoleh:
(1)2 - 2 = 22(1)2 - 22
22 = {(1)2 - 2}/{(1)2 - 1}
𝜙 22= {(r1)2 - r2}/{(r1)2 - 1} = 0.09/(-0.51) = -0.176
8
![Page 9: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/9.jpg)
Implementasi dalam Program R
> data <- c(4, 2, 5, 1)
> acf(data, lag.max = 3, plot = FALSE)
Autocorrelations of series ‘data’, by lag
0 1 2 3
1.0 -0.7 0.4 -0.2
> pacf(data, lag.max = 3, plot = FALSE)
Partial autocorrelations of series ‘data’, by lag
1 2 3
-0.700 -0.176 0.012
9
![Page 10: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/10.jpg)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 2 3 4 5
ACF
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 2 3 4 5 6
Sample of ACF
kkr
k k
Pengidentifikasian Model
Model MA: Misal MA(1) : Yt = et - et-1
ACF :
1 ; 0
1 ;1 2
k
k
k
10
![Page 11: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/11.jpg)
Karena rk berasal dari data contoh maka diperlukan
galat baku bagi rk yaitu Srk.
Sebagai nilai pendekatan : Srk = n/1 , dimana n
adalah banyaknya data.
Sehingga hipotesis H0 : k = 0 ditolak jika | rk | > 2Srk
atau | rk | > n/2 .
Misalnya, jika | r1 | > n/2 dan | rk | < n/2 untuk
k = 2, 3, …, maka model tentatifnya adalah MA(1).
11
![Page 12: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/12.jpg)
Model AR : Misalkan AR(1) : Yt = Yt-1 + et
ACF : k = k ; k = 1, 2, …
Untuk model AR, ACF merupakan fungsi eksponensial
sehingga ACF tidak dapat digunakan untuk menentukan
nilai p dalam AR(p).
PACF : j = k1j-1 + k2j-2 + ... + kkj-k (Yule-Walker)
untuk k = 1 1 = 11
untuk k = 2 1 = 21 + 221 .... (1)
2 = 211 + 22 .... (2)
12
![Page 13: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/13.jpg)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 2 3 4 5
PACF
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 2 3 4 5 6
Sample of PACF
kkkk̂
Berdasarkan persamaan (1) dan (2) 22 = 0.
Demikian juga 33 = 44 = ... = 0.
Sehingga PACF AR(1):
1 ; 0
1 ; 1
k
k
kk
Dengan demikian PACF dapat digunakan sebagai
penentu nilai p dalam model AR(p).
Hipotesis H0 : kk = 0 ditolak jika nkk /2 |ˆ| .
13
![Page 14: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/14.jpg)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sample of ACF
off tails
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sample of ACF
q lagafter off cuts
Pengidentifikasian nilai p dan q
14
![Page 15: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/15.jpg)
15
![Page 16: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh (1)
16
![Page 17: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh (2)
17
![Page 18: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh (3)
d = 1
d = 1
18
![Page 19: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/19.jpg)
Pengidentifikasian ARMA(p, q) Melalui EACF
Nilai ACF dan PACF dapat digunakan untuk menentukan
nilai q pada model MA(q) dan nilai p pada model AR(p).
Namun tidak bisa digunakan untuk menentukan nilai p dan
q pada model campuran ARMA(p, q).
Karena itu dikembangkan metode extended autocorrelation
function (EACF) untuk pengidentifikasian model campuran
ARMA(p, q).
Pada Tabel EACF, secara teoritis model ARMA(p, q)
mempunyai pola segitiga-nol (triangle of zeroes), dimana
nilai pada pojok kiri atas bersesuaian dengan ordo ARMA.
19
![Page 20: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/20.jpg)
Pengidentifikasian ARMA(p, q) Melalui EACF
20
![Page 21: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/21.jpg)
Pendugaan Parameter Model
Apabila nilai p, d, dan q sudah dapat diidentifikasi, maka
selanjutnya dilakukan pendugaan terhadap parameter model,
yaitu 1, 2, ..., p untuk model AR(p) dan 1, 2, ..., q untuk
model MA(q) berdasarkan data terobservasi Y1, Y2, ..., Yn.
Metode pendugaan parameter :
Metode momen,
Metode kuadrat terkecil (least-square),
Metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood).
21
![Page 22: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/22.jpg)
1. Metode Momen
Metode ini didasarkan pada persamaan momen contoh dan
momen teoritis, kemudian memecahkan persamaan-persamaan
tersebut untuk mendapatkan penduga bagi parameter model.
Misalnya, menduga rataan populasi (teoritis) dengan rataan
contoh Y .
Model AR
a. AR(1) : Yt = Yt-1 + et
k = k ; k = 1, 2, …
1 = ˆˆ1 r1 = ̂
Jadi pada AR(1) penduga bagi parameter model, ,
adalah r1 yang dapat dihitung dari data.
22
![Page 23: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/23.jpg)
b. AR(1) : Yt = + Yt-1 + et
Bagaimana menduga ?
Perhatikan model : (Yt - 𝑌 )= (Yt-1 - 𝑌 ) + et
↔ (Yt - 𝑌 )= (Yt-1 - 𝑌 ) + et
↔ Yt = (1 - )𝑌 + Yt-1 + et
↔ Yt = + Yt-1 + et
Sehingga : = (1 - )𝑌
23
![Page 24: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/24.jpg)
c. AR(2) : Yt = 1Yt-1 + 2Yt-2 + et
Berdasarkan persamaan Yule-Walker :
k = 1k-1 + 2k-2 + ... + pk-p
maka diperoleh
1 = 1 + 21 dan 2 = 11 + 2
dengan metode momen diperoleh:
r1 = 1̂ +
2̂ r1 dan r2 = r1 1̂ + 2̂
penyelesaian terhadap dua persamaan ini diperoleh:
2
1
211
1
)1(ˆr
rr
dan
2
1
2
122
1ˆ
r
rr
24
![Page 25: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/25.jpg)
Model MA
MA(1) : Yt = et - et-1
211
21 ˆ1
ˆ
r
sehingga diperoleh : 1
2
1
2
411ˆr
r
Sebagai catatan untuk persamaan ini, apabila | r1 | > 0.5
maka metode momen gagal untuk menduga parameter .
Untuk MA(2), MA(3), dst, metode momen menjadi
sangat kompleks, sehingga harus menggunakan metode
pendugaan lainnya.
25
![Page 26: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/26.jpg)
Model ARMA
ARMA(1, 1) : Yt = Yt-1 - et-1 + et
1
221
))(1(
k
k
1
2 sehingga penduga bagi adalah : 1
2ˆr
r
Untuk menduga dapat digunakan persamaan pertama
dengan cara mengganti 1 dengan r1 dan dengan ̂ , yaitu
21 ˆˆˆ21
)ˆˆ)(ˆˆ1(
r
26
![Page 27: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh Kasus (Latihan):
Misalnya diketahui model AR(2) : Yt = + 1Yt-1 + 2Yt-2 + et.
Berdasarkan data diketahui bahwa r1 = 0.75, r2 = 0.61, dan
Y = 4.5. Tentukan ̂ , 1̂ , dan
2̂ dengan metode momen.
27
![Page 28: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/28.jpg)
2. Metode Kuadrat Terkecil
Metode ini dilakukan dengan cara meminimumkan komponen
pada galat, yaitu
n
t
te1
2.
AR(1) : Yt = Yt-1 + et et = Yt - Yt-1
S() =
n
t
te1
2=
n
t
tt YY1
2
1)(
Penduga bagi parameter model, , dapat diperoleh
dengan cara meminimumkan S().
28
![Page 29: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/29.jpg)
MA(1) : Yt = et - et-1 et = Yt + et-1
et = Yt + ( Yt-1 + et-2)
et = Yt + Yt-1 + 2Yt-2 +
3Yt-3 + ….
S() =
n
t
te1
2
Meminimumkan S() tidak dapat dilakukan secara
analitik / kalkulus karena bersifat non-linear, sehingga
harus diselesaikan secara numerik / iteratif, salah
satunya melalui algoritma Gauss-Newton atau
Newton-Raphson.
29
![Page 30: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/30.jpg)
3. Metode Kemungkinan Maksimum
Metode ini dilakukan dengan cara memaksimumkan fungsi
kemungkinan (likelihood), berdasarkan fungsi sebaran galat (et).
AR(1) : Yt = Yt-1 + et, misal et bsi
~ N(0, e2)
f(e1, e2, …., en) = )2
1exp(.)2(
1
2
2
2/)1(2
n
t
t
e
n
e e
L(, e2) = ))(
2
1exp(.)2( 2
12
2/)1(2
n
t
tt
e
n
e YY
Penduga dan e2 dapat diperoleh dengan cara
memaksimumkan fungsi kemungkinan L(, e2).
30
![Page 31: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/31.jpg)
MA(1) : Yt = et - et-1
Fungsi kemungkinannya, L(, e2), bersifat non-linear
sehingga pemaksimumannya harus dilakukan secara
numerik / iteratif.
Catatan : Program R menggunakan metode iterasi Newton-
Raphson untuk menduga parameter AR(p), MA(q),
dan ARIMA(p, d, q).
31
![Page 32: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/32.jpg)
# Pemodelan ARIMA(1,1,1)
library("forecast")
library("TTR")
library("TSA")
library("graphics")
# Membangkitkan y, ARIMA(1,1,1): mu=0.15 phi=0.55 tetha=0.75
set.seed(1001)
e <- rnorm(150,0,1)
n <- length(e)
mu <- 0.15
phi <- 0.55
tetha <- -0.75
y <- c(1:n)
for (i in 3:n)
{ y[i] <- mu + (1+phi)*y[i-1] - phi*y[i-2] + e[i] - tetha*e[i-1]}
y <- y[-c(1:50)] # membuang 50 data pertama
plot.ts(y, lty=1, xlab="Waktu", ylab="Data Asal (y)")
points(y)
32
![Page 33: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/33.jpg)
acf(y, lag.max=20) # cek kestasioneran
y.dif1 <- diff(y, difference=1) # differencing ordo 1
plot.ts(y.dif1, lty=1, xlab="Waktu", ylab="Data Y.Diff Ordo 1")
points(y.dif1)
# Pengidentifikasian Model
acf(y.dif1, lag.max=20)
pacf(y.dif1, lag.max=20)
eacf(y.dif1)
# Pendugaan Parameter dan Penentuan Model Terbaik
# Berdasarkan Kandidat Model Hasil Identifikasi
arima(y.dif1, order=c(0,0,2),method="ML") # ARIMA(0,1,2)
arima(y.dif1, order=c(3,0,0),method="ML") # ARIMA(3,1,0)
arima(y.dif1, order=c(1,0,1),method="ML") # ARIMA(1,1,1)
33
![Page 34: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/34.jpg)
# Plot dan Nilai Dugaan Berdasarkan Model Terbaik
model <- arima(y.dif1, order=c(1,0,1),method="ML") # ARIMA(1,1,1)
dugaan <- fitted(model)
cbind(y.dif1,dugaan)
plot.ts(y.dif1, xlab="Waktu", ylab="Data Diff.Y Ordo 1")
points(y.dif1)
par(col="red")
lines(dugaan)
par(col="black")
34
![Page 35: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/35.jpg)
35
![Page 36: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/36.jpg)
36
![Page 37: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/37.jpg)
37
![Page 38: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/38.jpg)
38
![Page 39: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/39.jpg)
39
![Page 40: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/40.jpg)
> eacf(y.dif1)
AR/MA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 x x o o o o o o o o x x x x
1 x o o o o o o o o o o x o o
2 x x o o o o o o o o o x o o
3 x x o o o o o o o o o x o o
4 x x o x o o o o o o o x o o
5 x o o o o o o o o o o x o o
6 x o o o o o o o o o o x o o
7 x o o o o o o o o o o o o o
40
![Page 41: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/41.jpg)
> arima(y.dif1, order=c(0,0,2),method="ML") # ARIMA(0,1,2)
Call:
arima(x = y.dif1, order = c(0, 0, 2), method = "ML")
Coefficients:
ma1 ma2 intercept
1.2345 0.3810 0.3195
s.e. 0.0910 0.0936 0.2525
sigma^2 estimated as 0.9365: log likelihood = -138.18,
aic = 282.37
41
![Page 42: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/42.jpg)
> arima(y.dif1, order=c(3,0,0),method="ML") # ARIMA(3,1,0)
Call:
arima(x = y.dif1, order = c(3, 0, 0), method = "ML")
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 intercept
1.2249 -0.7571 0.2688 0.3249
s.e. 0.0987 0.1438 0.1016 0.3662
sigma^2 estimated as 0.9572: log likelihood = -139.08,
aic = 286.16
42
![Page 43: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/43.jpg)
> arima(y.dif1, order=c(1,0,1),method="ML") # ARIMA(1,1,1)
Call:
arima(x = y.dif1, order = c(1, 0, 1), method = "ML")
Coefficients:
ar1 ma1 intercept
0.5423 0.7580 0.3183
s.e. 0.0894 0.0668 0.3585
sigma^2 estimated as 0.8906: log likelihood = -135.69,
aic = 277.37
43
![Page 44: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/44.jpg)
> cbind(y.dif1,dugaan)
Time Series:
Start = 1
End = 99
Frequency = 1
y.dif1 dugaan
1 -0.301500868 0.03487535
2 -2.989745815 -0.59954250
3 -1.798462592 -2.91505510
.
.
97 2.664318123 2.84607363
98 0.354648756 1.45281261
99 -0.463277448 -0.49441754
44
![Page 45: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/45.jpg)
Garis Merah : Plot Nilai Dugaan Berdasarkan Model Terbaik
45
![Page 46: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/46.jpg)
> arima(y.dif1, order=c(1,0,1),method="ML") # ARIMA(1,1,1)
Call:
arima(x = y.dif1, order = c(1, 0, 1), method = "ML")
Coefficients:
ar1 ma1 intercept
0.5423 0.7580 0.3183
s.e. 0.0894 0.0668 0.3585
sigma^2 estimated as 0.8906: log likelihood = -135.69,
aic = 277.37
Bandingkan dengan data y yang dibangkitkan:
ARIMA(1,1,1) dengan parameter μ = 0.15, ϕ = 0.55, θ = 0.75
“sigma^2 estimated as 0.8906” adalah nilai dugaan bagi σe2
Model terbaik tersebut selanjutnya bisa digunakan untuk peramalan
46
![Page 47: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/47.jpg)
1. Melalui Program R, bangkitkan data yt, (n = 250), berupa model
ARIMA(1, 2, 0) dengan = 0.45, Φ = 0.75 serta et ~ Normal(0,1).
Gunakan 225 data terakhir dan lakukan proses berikut:
a. Identifikasilah kestasioneran data, serta lakukan proses
differencing jika data tidak stasioner.
b. Selanjutnya, berdasarkan ACF, PACF, dan EACF, identifikasilah
kandidat model yang sesuai.
c. Berdasarkan kandidat model tersebut, tentukan model terbaik
berdasarkan nilai AIC-nya.
d. Bandingkan penduga parameter yang diperoleh untuk model
terbaik pada poin (c) tersebut dengan nilai parameter yang
sesungguhnya. Apa kesimpulan Anda?
47
![Page 48: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/48.jpg)
2. Melalui Program R, bangkitkan data yt, (n = 250), berupa model
ARIMA(1, 1, 2) dengan = 0.3, Φ = 0.8, θ1 = - 0.7, dan θ2 = 0.6
serta et ~ Normal(0,1). Gunakan 225 data terakhir dan lakukan
proses berikut:
a. Identifikasilah kestasioneran data, serta lakukan proses
differencing jika data tidak stasioner.
b. Selanjutnya, berdasarkan ACF, PACF, dan EACF, identifikasilah
kandidat model yang sesuai.
c. Berdasarkan kandidat model tersebut, tentukan model terbaik
berdasarkan nilai AIC-nya.
d. Bandingkan penduga parameter yang diperoleh untuk model
terbaik pada poin (c) tersebut dengan nilai parameter yang
sesungguhnya. Apa kesimpulan Anda?
48
![Page 49: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/49.jpg)
3. Melalui Program R, kerjakan : Exercise 5.11 (Montgomery, hlm. 290):
49
![Page 50: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/50.jpg)
Montgomery, D.C., et.al. 2008. Forecasting Time Series Analysis
2nd. John Wiley.
Cryer, J.D. and Chan, K.S. 2008. Time Series Analysis with
Application in R. Springer.
Cowpertwait, P.S.P. and Metcalfe, A.V. 2009. Introductory Time
Series with R. Springer New York.
Wei, William, W.S. 1990. Time Series Analysis, Univariate and
Multivariate Methods. Adison-Wesley Publishing Company Inc,
Canada.
50
![Page 51: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/51.jpg)
Bisa di-download di
kusmansadik.wordpress.com
51
![Page 52: Penerapan Model ARIMA - kusmansadik.files.wordpress.com · x Metode momen, x Metode kuadrat terkecil ( least - square ), x Metode kemungkinan maksimum ( maximum likelihood ). 21](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102419/5c921f2609d3f20e358bfb27/html5/thumbnails/52.jpg)
52 52