pendugaan selang: metode pivotal langkah …karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat...
TRANSCRIPT
Pendugaan Selang: Metode Pivotal
Langkah-langkahnya
1. Andaikan 1 2, ,..., nX X X adalah contoh
acak dari populasi dengan fungsi
kepekatan ( ; )f x , dan parameter
yang tidak diketahui nilainya.
Andaikan T adalah penduga titik bagi
.
2. Andaikan ( ; )Y g T memiliki sebaran
penarikan contoh (sampling distribution) yang tidak bergantung
pada . Y dinamakan besaran atau
kuantitas pivotal.
3. Maka untuk besaran 1 tertentu,
0 1 , ada 1y dan 2y sedemikian
rupa sehingga 1 2( ) 1P y Y y
4. Selanjutnya pernyataan peluang di atas
diubah menjadi pernyataan peluang
yang setara 1 2( ) ( )P L T L T
1 .
5. Bila T diganti dengan nilainya
berdasarkan data contoh, maka akan
diperoleh pernyataan peluang
1 2( ) ( ) 1P l t l t dengan
tingkat kepercayaan sebesar 1 . Jadi,
selang kepercayaan 100(1 )% bagi
ialah 1 2( ), ( )l t l t .
Teladan 1.
Andaikan contoh acak 1 2, ,..., nX X X diambil
dari sebaran seragam (0, ).U Buat selang
kepercayaan 90% bagi dan tafsirkan. Jawab
Telah kita peroleh bahwa max iU X
Adalah PKM bagi . Statistik U mempunyai
fungsi kepekatan peluang 1
( ) , 0n
U n
nuf u u
Karena ini bergantung pada parameter ,
maka U bukan unsur pivot. Selanjutnya, kita
lakukan transformasi U
Y
(untuk
menghilangkan ). Dengan menggunakan
metode Jacobian, maka diperoleh fkp bagi Y, yaitu
1( ) , 0 1n
Yf y ny y
Yang tidak bergantung pada . Jadi, U
Y
dapat dijadikan unsur pivot. Sekarang kita
cari a dan b sedemikian rupa sehingga
0.90
0.90
P a Y b
UP a b
Fungsi sebaran kumulatif bagi Y ialah
( ) n
YF y y , 0 1y . Kita ambil a dan b
sehingga
( ) 0.05YF a dan ( ) 0.95YF b
Maka
0.05na dan 0.95nb
Sehingga
0.05na dan 0.95nb
Dengan demikian,
0.05 0.95 0.90n nUP
, atau
1 10.90
0.95 0.05n nP
U
, atau
0.900.95 0.05n n
U UP
Jadi, selang kepercayaan 90% bagi ialah
,0.95 0.05n n
U U
Hasil ini dapat ditasirkan sebagai berikut:
Bila penarikan contoh di atas dilakukan
berulang-ulang, misalnya 1000 kali, dan
untuk setiap contoh yang terambil dibuat
selang kepercayaan menurut rumus di atas, maka kira-kira 90% (atau 900) selang
kepercayaan akan mencakup nilai yang
sebenarnya.
Selang Kepercayaan Contoh Besar:
Kasus Satu Contoh Bila ukuran contoh cukup besar, maka
menurut Teorema Limit Pusat statistik
tertentu memiliki sebaran penarikan contoh
yang menghampiri normal. Artinya, bila
adalah parameter yang tidak diketahui
(misalnya , p, 1 2 , 1 2p p ), maka
ˆ
ˆZ
Menghampiri sebaran normal baku. Bila
, 30n dianggap cukup besar. Bila
adalah parameter binom p, maka n
dipandang cukup besar bila np dan (1 )n p
keduanya lebih besar dari 5.
Prosedur untuk Menghitung Selang Kepercayaan Contoh Besar bagi
1. Carilah penduga (misalnya PKM) bagi
, andaikan itu ̂ .
2. Tentukan galat bakunya, yaitu ̂
3. Lakukan transformasi ˆ
ˆZ
. Maka
Z menghampiri sebaran normal baku.
4. Dari tabel normal baku, carilah 2z
dan 2z .
5. Selang kepercayaan (1 )100%
hampiran bagi ialah
ˆ ˆ2 2ˆ ˆ,z z
6. Kesimpulan: Kita yakin (1 )100%
bahwa parameter sebenarnya ,
tercakup di dalam selang
ˆ ˆ2 2ˆ ˆ,z z .
Teladan.
Andaikan , ˆ ,X dan contoh yang
diambil cukup besar ( 30)n , maka selang
kepercayaan (1 )100% bagi ialah
2 2,X z X zn n
Bila tidak diketahui, ˆ S . Sehingga
selang hampirannya ialah
2 2,S S
X z X zn n
Teladan
Dari dua kelas besar metode statistik diambil
contoh acak masing-masing 50 nilai UTS
dan hasilnya sebagai berikut:
1. Kelas 1: 1 177.01, 10.32x s
2. Kelas 2: 2 272.22, 11.02x s
Hitunglah selang kepercayaan 95% bagi
rataan nilai UTS sebenarnya untuk kedua
kelas itu.
Jawab
Karena 50n adalah cukup besar, maka
kita dapat menggunakan hampiran normal.
Untuk 0.05 , dari tabel normal diperoleh
2 0.025 1.96z z . Jadi, selang kepercayaan
yang diminta ialah:
1. Kelas 1:
11 2
10.3277.01 1.96
50
sx z
n
Yang menghasilkan selang
kepercayaan 95% (74.149, 79.871).
2. Kelas 2:
11 2
11.0272.22 1.96
50
sx z
n
Yang menghasilkan selang
kepercayaan 95% (69.165, 75.275).
Teladan.
Limabelas mobil dipilih secara acak dan
diamati kecepatan mereka di jalan raya yang
kecepatannya dibatasi 70 mil per jam.
Ternyata rata-rata kecepatan mereka 73.3
mil per jam. Andaikan berdasarkan
pengalaman dapat diasumsikan bahwa
kecepatan menyebar normal dengan simpangan baku 3.2 . Buat selang
kepercayaan 90% bagi rataan kecepatan
sebenarnya mobil-mobil yang melaju di
jalan raya itu.
Jawab
Karena diketahui populasinya normal
dengan simpangan baku 3.2 , maka
ukuran contoh tidak perlu besar. Karena
73.3x , 3.2 , 15n , dan 0.10 ,
maka 2 0.05 1.645z z . Sehingga selang
kepercayaan 90% bagi ialah
2 2
3.2 3.273.3 1.645 73.3 1.645
15 15
x z x zn n
Atau
71.681 74.919
Jadi, kita percaya 90% bahwa kecepatan
rata-rata kendaraan yang melalui jalan raya
itu antara 71.681 dan 74.919 mil per jam.
Selang Kepercayaan untuk Proporsi
Perhatikan sebaran binom dengan parameter
p. Andaikan X adalah banyaknya
keberhasilan dalam n tindakan. Telah
diperoleh PKM bagi p ialah ˆX
pn
. Bila n
cukup besar, dapat diperlihatkan bahwa
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ 1
p p p pP p z p p z
n n
Sehingga selang kepercayaan (1 )100%
bagi parameter p ialah
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ(1 (1ˆ ˆ,
p p p pp z p z
n n
Pertanyaan yang relevan ialah “Bagaimana
kita tahu bahwa ukuran contoh sudah
mencukupi untuk menggunakan hampiran
normal?” Ada yang menyarankan agar np
dan (1 )n p harus lebih besar dari 10. Ada
lagi yang menyarankan ˆ ˆ(1 )
ˆ 2p p
pn
tercakup di dalam selang (0, 1). Yang lain
lagi menyarankan agar (1 ) 10np p dan ada
pula yang menyarankan np dan (1 )n p
keduanya lebih besar dari 5.
Teladan.
Sebuah perusahaan elektronik memberikan
jaminan 3 tahun bagi produk barunya. Dari
contoh acak 60 produk yang terjual, ternyata
20 membutuhkan layanan perbaikan selama
masa garansi. Dugalah proporsi sebenarnya
barang elektronik itu yang membutuhkan layanan perbaikan selama masa garansi
dengan tingkat kepercayaan 95%.
Jawab
Margin of Error dan Ukuran Contoh
Di dalam hasil survei sering dilaporkan tentang besarnya margin of error. Besaran
ini tidak lain adalah setengah lebar selang
kepercayaan maksimum pada tingkat
kepercayaan 95% dinyatakan dalam
persentase.
Andaikan b adalah lebar selang kepercayaan
95% bagi parameter p. Andaikan ˆx
pn
adalah nilai dugaan bagi p dan x adalah banyaknya keberhasilan. Maka
1 1
1.96 1.96
11
3.92 3.924
x x x x
x xn n n nb
n n n n
x x
n n
n n
Karena 1
ˆ ˆ1 (1 )4
x xp p
n n
Jadi, margin of error bagi proporsi dugaan
dinyatakan dalam persentase ialah 100 %d
dengan
13.92
max 1.964
2 2 2
b ndn
Tentu saja bila tingkat kepercayaannya
(1 ) diganti, bilangan 1.96 juga harus
diganti dengan 2z .
Jelas terlihat dari rumus di atas bahwa
semakin besar ukuran contoh n, semakin
kecil margin of errornya. Akan tetapi, n
yang besar berimplikasi biaya survei
menjadi semakin mahal. Pertanyaannya
sekarang ialah berapa ukuran contoh harus diambil untuk mencapai margin of error
tertentu.
Selang kepercayaan (1 )100% bagi p untuk
contoh besar ialah
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ(1 (1ˆ ˆ,
p p p pp z p z
n n
Maka
2
2
ˆ ˆ(1 )ˆ ˆ ˆ(1 )
zp pp p z p p
n n
Itu menunjukkan bahwa, dengan peluang
1 , nilai dugaan p̂ berada dalam jarak
2ˆ ˆ(1 )z p p n dari p. Karena
1ˆ ˆ(1 )
4p p ,
maka pertidaksamaan terakhir di atas dapat
ditulis menjadi
2 21ˆ
4 2
z zp p
n n
Kalau kita ingin menduga p pada tingkat
kepercayaan 1 sehingga nilai dugaannya
berada dalam jarak d dari nilai parameter
sebenarnya, dengan kata lain p̂ p d ,
maka ukuran contohnya harus memenuhi
syarat
2
2
zd
n
atau
2
2
24
zn
d
Kalau kita memiliki nilai dugaan awal p̂
berdasarkan survei pendahuluan, misalnya,
maka kita dapat menggunakan rumus 2
2
2
ˆ ˆ(1 )z p pn
d
Dalam hal rumus-rumus di atas tidak
menghasilkan bilangan bulat, maka lakukan
pembulatan ke bilangan bulat berikutnya. Perhitungan serupa untuk ukuran contoh
untuk pendugaan rataan populasi pada
tingkat kepercayaan (1 ) dengan margin of
error E menghasilkan
2 2
2
2
zn
E
Walaupun di dalam praktek ragam populasi 2 pada umumnya tidak diketahui, namun
mungkin saja itu dapat diduga dari
penelitian serupa yang mungkin pernah dilakukan sebelumnya atau dari penelitian
awal (pendahuluan).
Teladan
Sebuah lembaga penelitian akan melakukan
survei untuk menduga besarnya dukungan
terhadap kebijakan presiden dalam masalah ekonomi dengan margin of error 3% pada
tingkat kepercayaan 95%.
(a) Berapa responden yang harus
diwawancarai kalau tidak ada
informasi awal yang dapat
dimanfaatkan?
(b) Kalau ada informasi awal bahwa yang
mendukung kebijakan presiden adalah
70%, berapa responden yang harus
disurvei?
Jawab (a)
Dalam masalah ini 0.05 , 2 1.96z , dan
0.03d . Karena tidak ada informasi awal
apa-apa, maka digunakan rumus: 2 2
2
2 2
(1.96)1067.1 1068
4 4(0.03)
zn
d
Jawab (b)
Karena ada informasi awal ˆ 0.7p , maka 2
2
2
2
2
ˆ ˆ(1 )
(1.96) (0.7)(0.3)896.37 897
(0.03)
z p pn
d
Terlihat bahwa adanya informasi dapat memperkecil ukuran contoh yang berarti
memperkecil biaya.
Selang Kepercayaan Contoh Kecil bagi
Rataan Populasi
Andaikan 1 2, ,..., nX X X adalah suatu contoh
acak dari sebuah populasi normal. Telah
diketahui bahwa X
TS n
mempunyai sebaran-t dengan 1n derajat
bebas yang tidak bergantung kepada 2 .
Jadi, T dapat digunakan sebagai unsur
pivot. Jadi, untuk n kecil ( 30)n dan 2
tidak diketahui, selang kepercayaan
(1 )100% bagi rataan populasi ialah
2; 1 2; 1,n n
S SX t X t
n n
Perlu ditekankan di sini bahwa asumsi populasi normal tidak boleh diabaikan.
Teladan
Berikut ini diberikan suatu data acak dari
sebuah populasi normal:
7.2, 5.7, 4.9, 6.2, 8.5, 2.8
Buat selang kepercayaan 95% bagi rataan
populasi .
Jawab Perhitungan dengan kalkulator, misalnya,
menghasilkan rataan contoh 5.883x dan
simpangan baku contoh 1.959s . Untuk 5
derajat bebas dan 0.05 , dari tabel-t
diperoleh 0.025 2.571t . Jadi, selang
kepercayaan 95% bagi ialah
2; 1 2; 1,
1.959 1.9595.883 2.571 , 5.883 2.571
6 6
(3.827, 7.939)
n n
S SX t X t
n n
Selang Kepercayaan bagi Ragam
Populasi
Andaikan 1 2, ,..., nX X X masing-masing
menyebar normal dengan rataan dan
ragam 2 . Andaikan dan
2 keduanya
tidak diketahui. Kita tahu bahwa
2
2
1
2 2
( 1)
n
i
i
X Xn S
Mempunyai sebaran 2 dengan ( 1)n
derajat bebas, tidak bergantung pada nilai 2 . Maka besaran itu dapat digunakan
sebagai pivot. Selanjutnya kita cari 2
L dan 2
U sedemikian rupa sehingga 2
2 2
2
( 1)1L U
n SP
Pernyataan peluang di atas dapat dituliskan
dalam bentuk 2 2
2
2 2
( 1) ( 1)1
U L
n S n SP
Jadi, selang kepercayaan (1 )100% bagi 2 ialah
2 2
2 2
( 1) ( 1),
U L
n S n S
Bila diambil 2 2
2U dan 1 2
2 2
L
, maka
selang kepercayaan bagi 2 menjadi
2 2
2 2
2 1 2
( 1) ( 1),
n S n S
Teladan.
Suatu contoh acak berukuran 21 diambil dari
populasi normal dengan simpangan baku 9.
Tentukan selang kepercayaan 90% bagi 2 .
Teladan
Berikut adalah data kolesterol dari 10 pasien yang diambil secara acak di sebuah rumah
sakit besar:
360 352 294 160 146 142 318 200 142
116
Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 2 .
Selang Kepercayaan Dua Parameter
Populasi
Andaikan 111 1,..., nX X adalah suatu contoh
acak dari sebaran normal dengan rataan 1
dan ragam 2
1 . Andaikan 221 2,..., nX X adalah
suatu contoh acak dari sebaran normal
dengan rataan 2 dan ragam 2
2 . Andaikan
kedua contoh bebas (independent), sehingga
1X dan 2X juga bebas. Dengan demikian 2 2
1 21 2 1 2
1 2
,X X Nn n
Ada dua kemungkinan
1. Bila 1 dan 2 diketahui, maka selang
kepercayaan (1 )100% contoh besar
bagi 1 2 diberikan oleh rumus
2 2
1 21 2 2
1 2
X X zn n
2. Bila 1 dan 2 tidak diketahui, maka
keduanya diganti oleh simpangan baku
contoh 1S dan 2S bila 30, 1,2.in i
Sehingga selang kepercayaan bagi
1 2 ialah
2 2
1 21 2 2
1 2
S SX X z
n n
Selang Kepercayaan Contoh Kecil bagi
Selisih Dua Rataan Populasi Bila ukuran contohnya kecil, pembuatan
selang kepercayaan bagi selisih dua rataan
populasi bisa menjadi sangat sulit. Akan
tetapi, bila diasumsikan kedua populasi
mempunyai ragam yang sama, walaupun
tidak diketahui nilainya, katakanlah 2 2 2
1 2 , maka kita dapat menduga
ragam itu dengan cara menggabungkan kedua ragam dugaan. Andaikan
1 22 2
1 1 2 22 1 1
1 2
2 2
1 1 2 2
1 2
2
( 1) ( 1)
2
n n
i i
i ip
X X X X
Sn n
n S n S
n n
Bila kedua contoh itu bebas, maka
1 2 1 2
1 2
1 1p
X XT
Sn n
Mempunyai sebaran-t dengan 1 2 2n n
derajat bebas. Maka selang kepercayaan
bagi 1 2 ialah
1 21 2 2; 2
1 2
1 1n n pX X t S
n n
Soal
Berikut adalah dua contoh bebas yang
diambil dari dua populasi normal dengan
ragam yang sama
Contoh 1: 1.2 3.1 1.7 2.8 3.0
Contoh 2: 4.2 2.7 3.6 3.9
(a) Dugalah ragam gabungannya
(b) Tentukan selang kepercayaan 90% bagi
1 2