Pendiente de una recta

Dada una recta, gráficamente su pediente nos da su grado de inclinación.

Pendiente positiva Pendiente negativa Pendiente nula

Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m>0

Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión analítica m<0

Cuando la recta es constante se dice que tien pendiente nula, en la expresión analítica m=0

Antes de referirnos a la orientación de una pendiente de la recta (si es positiva o negativa) hagamos una recapitulación:

Veamos un ejemplo.

Si tenemos y = 3x − 4 esto es igual a, 3x − y − 4 = 0 (ecuación de la recta) Ahora lo que sigue es sacar la pendiente, pero ¿Cómo se obtiene la pendiente si solo tenemos la fórmula?

Pues hay dos maneras de hacerlo: directa e indirecta: Indirecta:

Obtenemos dos puntos (x e y) a partir de dos valores dados a x (por ejemplo, x = 1 y x = 2), y los ponemos en la ecuación de la recta:

3x − y − 4 = 0 si (x = 1)

3(1) − y − 4 = 0

3 − y − 4 = 0

y − 7 = 0

y = 7

P1 (1, 7) = (x1, y1) 3x − y − 4 = 0 si (x = 2)

3(2) − y − 4 = 0

6 − y − 4 = 0

y − 10 = 0

y = 10

P2 (2, 10) = (x2, y2) Ahora sustituimos en la fórmula de la pendiente:

(esta es la pendiente) Directa:

Basándonos en los valores de la recta podemos conseguir la pendiente: 3x − y − 4 = 0

Ax − By − C = 0 A = cantidad de x

B = cantidad de y

C = Número cualquiera Ahora solo sustituimos en la fórmula de la pendiente

(esta es la pendiente)

Grado de inclinación

Dada una recta, gráficamente su pendiente nos da su grado de inclinación

Pendiente positiva

Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m > 0

Pendiente negativa

Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión analítica m < 0

Pendiente nula o cero

Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula, en la expresión analítica m = 0

Visualmente, también podemos definir si la pendiente es positiva o negativa:

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Pendiente Tipo de recta

positiva recta ascendente

negativa recta descendente

cero recta horizontal

no definida recta vertical

Pendiente de una recta

La pendiente es la inclinación

de la recta con respecto al eje de

abscisas.

Se denota con la letra m.

Si m > 0 la función es

creciente y ángulo que forma la

recta con la parte posit iva del eje OX

es agudo.

Si m < 0 la función es

decreciente y ángulo que forma la

recta con la parte posit iva del eje OX

es obtuso.

La pendiente de una recta es la

tangente del ángulo que forma la

recta con la dirección positiva del

eje de abscisas .

Cálculo de la pendiente

Pendiente de una Recta

En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el volor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:

Demostrémoslo: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal.

Ax + By + C = 0

Ax + By = -C

By = -Ax - C

y =

y =

donde se demuestran los valores de m y n antes dado.

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0?

m =

n =