pendekatan rantai markov waktu diskrit dalam perencanaan...
TRANSCRIPT
Pendekatan Rantai Markov Waktu
Diskrit dalam Perencanaan
Kebutuhan Tempat Tidur
Rumah Sakit
Oleh:
Enjela Puspadewi
1207 100 026
Abstrak Rumah sakit adalah institusi pelayanan kesehatan yang
menyelenggarakan pelayanan kesehatan perorangan secara paripurna yang
menyediakan pelayanan rawat inap, rawat jalan dan gawat darurat.
Perencanaan sistem inventaris rumah sakit khususnya pada pengelolaan
jumlah tempat tidur di bagian rawat inap sangat dibutuhkan agar
pengelolaan rumah sakit dapat berjalan secara optimal. Jumlah tempat
tidur yang kurang memadai akan membuat pasien yang membutuhkan
perawatan ditolak dan menimbulkan daftar tunggu rumah sakit semakin
panjang serta membuat tingkat kepuasan pasien semakin menurun.
Pendekatan DTMC adalah salah satu metode yang dapat digunakan
dalam perencanaan kebutuhan tempat tidur rawat inap rumas sakit.
Metode ini menghasilkan peramalan jumlah penggunaan tempat tidur
lebih baik dari hasil peramalan menggunakan metode Box-Jenkins karena
memiliki MAPE hasil peramalan yaitu 21.982 yang lebih kecil
dibandingkan peramalan menggunakan metode Box-Jenkins yang sebesar
26.44
• Kata kunci: Rantai Markov, transient inpatient inventory, metode Box-
Jenkins
Latar Belakang
Rumah sakit adalah institusi pelayanan kesehatan
yang menyelenggarakan pelayanan kesehatan
perorangan secara paripurna yang menyediakan
pelayanan rawat inap, Rawat jalan dan gawat darurat
Seiring dengan bertambahnya jumlah penduduk akan
meningkatkan
jumlah pasien unit rawat inap
Sehingga dibutuhkan suatu perencanaan jumlah
Tempat tidur yang baik agar pemanfaatan
Inventaris (tempat tidut) berjalan optimal
Pendekatan rantai Markov waktu diskrit adalah
Salah satu metode yang dapat digunakan dalam
Perencanaan jumlah tempat tidur rumah sakit
Rumusan Masalah
1. Bagaimana mendapatkan rumusan model rantai
Markov waktu diskrit untuk meramalkan jumlah
kebutuhan tempat tidur rumah sakit.
2. Bagaimana perbandingan hasil peramalan tempat
tidur rumah sakit dengan pendekatan DTMC dan
metode Box-Jenkins
Batasan Masalah1. Sistem yang diteliti adalah bagian rumah sakit yang melayani jasa rawat
inap.
2. Obyek yang diteliti adalah jumlah tempat tidur unit rawat inap.
3. Studi kasus dilakukan pada unit rawat inap umum di Ruang III Rumah Sakit
Haji Umum Surabaya.
4. Data rumah sakit yang digunakan adalah data sekunder mengenai jumlah
tempat tidur rumah sakit, rata-rata laju kedatangan pasien dan bedoccupancy rate (BOR) dan laju pelayanan (LOS) rawat inap ruang III Rumah
Sakit Umum Haji Surabaya.
5. Satu tempat tidur hanya dapat digunakan oleh satu pasien untuk satu kali
pelayanan.
6. Perilaku pasien selama mengantri diabaikan.
7. Pasien yang datang ketika semua tempat tidur sedang terpakai tidak
diperbolehkan masuk dalam sistem.
8. Penyakit yang diderita pasien selama dirawat diabaikan.
Tujuan Penelitian1. Mendapatkan model DTMC untuk meramalkan
jumlah tempat tidur yang optimal untuk rumah
sakit.
2. Membandingkan peramalan menggunakan
DTMC dengan metode Box-Jenkins
Manfaat Penelitian
1. Diperolehnya pengalokasian dan penggunaan tempat tidur
yang optimal sehingga dapat meningkatkan pelayanan
pasien rawat inap.
2. Memberikan metode pendukung keputusan dalam hal
menetapkan jumlah tempat tidur yang optimal untuk jasa
perencanaan rumah sakit.
Discrete Time Markov Chain
Proses Markov adalah salah satu bagian dari proses statistik
yang hanya bergantung pada satu langkah (state)
sebelumnya dan tidak bergantung pada langkah-langkah
historis.
Definisi:
Suatu proses stokastik waktu diskrit disebut
memiliki sifat markov jika
Metode Box-Jenkins (ARIMA)
•Metode peramalan Box-Jenkins adalah suatumetode untuk meramalkan data dengan analisisderet berkala.•Metode ini juga sering disebut sebagai metode
ARIMA (Autoregresive Integrated Moving Average)yang menggabungkan dua model yaitu modelautoregresive dan model moving average.• Langkah-langkah dalam peramalan dengan metode
Box-Jenkins adalah1. Identifikasi2. Estimasi dan Penguji3. Pengujian Diagnostik
1. Studi pendahuluan dan studi literatur
2. Pengumpulan data
3. Menentukan model peramalan jumlah tempat tidur
menggunakan pendekatan DTMC
4. Pengolahan data
5. Analisis hasil penyelesaian dan penarikan
kesimpulan
Metodologi Penelitian
Pembentukan Model DTMCProbabilitas Transisi
(1)
Dengan pdf XG1 dan XG2
(2)
(3)
Pembentukan Model DTMC
Persamaan (1), persamaan (2) dan persamaan (3) dapat
dituliskan kembali menurut empat kondisi yang
diakibatkan oleh perubahan batas indeks dari jumlahan
persamaan (1)., seperti pada gambar berikut
Gambar 1
Pembentukan Model DTMCDari gambar 1 diperoleh rumusan probabilitas X(t+1)
sbb:
•Untuk kondisi ke-1 P(X(t+1)=j|X(t)=i)
•Untuk kondisi ke-2 P(X(t+1)=j|X(t)=i)
Pembentukan Model DTMC
• Untuk kondisi ke-3 P(X(t+1)=j|X(t)=i)
• Untuk kondisi ke-4 P(X(t+1)=j|X(t)=i)
(4)
Pembentukan Model DTMC
Dari fungsi probabilitas pada persamaan 4 dapat
dibuat matriks probabilitas transisi satu langkah
Selanjutnya dicari matriks probabilitas ∆t langkah
dengan rumus
(5)
Pembentukan Model DTMC
Dari persamaan (5) maka ekspektasi nilai X(t+∆t)
adalah
Dengan C adalah
BulanJumlah tempat
tidurJumlah pasien
Laju pelayanan
(dalam bulan)
Januari 24 103 0.178
Februari 24 94 0.229
Maret 24 119 0.200
April 24 122 0.183
Mei 24 96 0.206
Juni 24 84 0.227
Juli 24 104 0.197
Agustus 24 83 0.229
September 24 84 0.190
Oktober 24 87 0.190
November 24 92 0.197
Desember 24 101 0.174
Pengolahan Data Menggunakan
DTMC
Dari tabel tersebut, data disubstitusikan ke persamaan (4)
kemudian dibuat matriks probabilitas satu langkah perbulan
.
Matriks transisi
Selanjutnya setelah disubstitusikan pada persamaan (5)
didapatkan nilai ekspektasi jumlah kebutuhan tempat tidur
untuk tahun 2010 sebagai berikut
BulanJumlah
Ekspektasi
Januari 21.496
Februari 20.259
Maret 20.055
April 19.847
Mei 20.252
Juni 20.462
Juli 20.354
Agustus 23.934
September 22.613
Oktober 24.275
November 22.427
Desember 23.669
Pengolahan Data dengan Box-
JenkinsLangkah awal dalam peramalan menggunakan metode
Box-Jenkins adalah membuat plot time series
Dari plot time series tersebut terlihat bahwa data tidak
stasioner terhadap varian, sehingga dilakukan
transformasi Box-Cox.
Index
tt
454035302520151051
23
22
21
20
19
18
17
16
15
Time Series Plot of tt
Dari tabel signifikansi dan residul white
noise diperoleh model yang memenuhi
adalah mode.l (1 0 0)Bulan Jumlah tempat tidur
Januari 23.356
Februari 23.233
Maret 23.110
April 22.988
Mei 22.866
Juni 22.746
Juli 22.626
Agustus 22.506
September 22.387
Oktober 22.269
November 22152
Desember 22035
Bulan Data aktual
Data ramalan
dengan
DTMC
Data ramalan
dengan Box-
Jenkins
Januari 17.290 21.4961 23.356
Februari 19.613 20.259 23.233
maret 20.388 20.055 23.110
April 19.601 19.847 22.988
Mei 20.453 20.252 22.866
Juni 20.033 20.462 22.746
Juli 19.613 20.354 22.626
Agustus 17.419 23.934 22.506
September 13.334 22.613 22.387
Oktober 16.001 24.275 22.269
November 18.199 22.427 22.152
Desember 16.387 23.669 22.035
MAPE 21.982 26.444
Kesimpulan1. Rumusan model untuk peramalan jumlah penggunaan
tempat tidur adalah
dengan adalah matriks probabilitas ∆t langkah
dengan rumusan
Ph adalah matriks probabilitas pada periode ke-h
Dengan setiap elemen dari matriks transisi adalah probabilitas
transisi seperti pada persamaan 4.
Kesimpulan
2. Hasil perhitungan MAPE peramalan menggunakan
pendekatan DTMC adalah 21.982 dan hasil
perhitungan MAPE peramalan menggunakan metode
Box-Jenkins adalah 26.444, sehingga untuk kasus ini
hasil peramalan dengan pendekatan DTMC lebih baik
daripada peramalan menggunakan Box-Jenkins
Saran1. Pada tugas akhir ini studi kasus yang diambil memiliki
jumlah sampel yang masih relatif kecil, oleh karena
itu pada penelitian selanjutnya dapat diaplikasikan
untuk kelas rumah sakit yang lebih besar.
2. Pada tugas akhir ini perhitungan probabilitas transisi
masih dilakukan secara manual, sehingga diharapkan
pada penelitian selanjutnya dapat dibuat suatu
program yang dapat memudahkan proses perhitungan
probabilitas, terutama jika jumlah sampel yang diambil
relatif besar.
Daftar Pustaka• Allen, L.J.S. 2003. an Introduction to Stochastic Processes with Application
to Biology. New Jersey : Pearson Education,inc
• Bain, L.J. and Engelhardt,M.1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics.California:Duxbury Press
• Broyles, James R,Jeffery K. Cochran, Douglas C. Montgomery. 2010. a Statistical Markov Chain Approximation of Transient Hospital Inpatient Inventory. European Journal of Operation Research
• Lasono, Eka Sigi. 2009. Model Antrian dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit.Surabaya: Tugas Akhir, Jurusan
Matematika ITS
• Makridakis, Spyros, Steven C.W,Victor E. McGee. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Erlangga
• Muna, Lailil. 2007. Usulan Perbaikan Kualitas Pelayanan Rawat Inap Rumah Sakit Islam Surakarta Menggunakan Model Servqual dan Analisis Faktor: Tugas Akhir, Jurusan Teknik Industri Uniersitas Sebelas Maret
Surakarta
• Ross, S.M.1996.Stochastic Processes second edition.Canada: john Wiley &
Sons
•