Pencetus 23 problem matematika yang terkenalDavid Hilbert (1862 – 1943)

RiwayatDavid Hilbert menuntut ilmu di Gymnasium yang terdapat di kota tempat kelahirannya, Konigsberg. Setelah lulus, memasuki universitas Konigsberg, dimana dia diajar oleh Lindemann. Pernah kuliah selama satu semester di universitas Heidelberg di bawah bimbingan analis [Lazarus] Fuchs.

Hilbert lulus pada tahun 1885 dengan thesis tentang teori invarian dan mempunyai teman kuliah, [Hermann] Minkowski, dimana mereka saling mempengaruhi satu dengan lainnya. Pada tahun 1884, [Adolf] Hurwitz mengajar di universitas Konigsberg dan cepat menjalin persahabatan dengan Hilbert. Persabahatan ini adalah faktor paling penting bagi perkembangan matematikal Hilbert. Tahun berikutnya, 1886,  Hilbert menjadi staf pengajar di Konigsberg sampai tahun 1895, diangkat sebagai dosen utama sampai tahun 1892, diangkat menjadi asisten profesor sebelum menjadi profesor penuh pada tahun 1893. Pimpinan Konigsberg pada saat ini adalah Heinrich Weber yang sangat dikenal karena menghadirkan untuk pertama kalinya difinisi-difinisi abstrak untuk himpunan dan bidang pada periode 1880-1890., juga mengarang tiga buku teks aljabar. Hilbert sering melakukan perjalanan ke mancanegara guna menghadiri konggres matematikawan yang menjadi “ciri” abad itu.

SuksesiTahun 1892, Schward pindah dari Gottingen ke Berlin untuk menggantikan posisi Weierstrass dan Klein memberi penawaran kepada Hilbert untuk mengisi jabatan yang kosong di Gottingen itu kepada Hilbert. Klein gagal membujuk Hilbert dan posisi itu diisi oleh Heinrich Weber yang pindah dari Konigsberg. Posisi Weber, pada tahun 1883, diganti oleh Lindemann yang belum lama menerbitkan pembuktian bahwa Л adalah bilangan transenden. Lindemann pula yang menyarankan agar thesis Hilbert tentang teori invarian dan mendukung agar topik ini terus dipelajari.

Weber hanya menjabat selama tiga tahun sebelum pindah ke Strasbourg dan, akhirnya, posisi itu diisi oleh Hilbert. Sejak tahun 1895, Hilbert menduduki posisi kepala bidang matematika di Gottingen.

Ketenaran Hilbert dalam dunia matematika baru bersinar setalah tahun 1900 sehingga banyak institusi-institusi pendidikan berusaha menariknya dari Gottingen, sebelum untuk akhirnya pindah ke universitas Berlin pada tahun 1902 untuk menggantikan posisi Fuchs. Penggantinya di Gottingen adalah temannya, Hermann Minkowski.

Teori invarian HilbertKarya pertama Hilbert adalah teori invarian pada tahun 1888, dimana dia dapat membuktikan theorema basis yang tersohor. Pembuktian ini dikirimkan sebagai artikel pada Mathematische Annalen. [Paul] Gordan adalah profesor matematika di Erlangen

sekaligus pakar dalam teori invarian, namun cara dan metode Hilbert yang revolusioner ini sulit dipahami sehingga perlu pihak ketiga yang menilai. Juri yang ditunjuk adalah Klein. Lewat teman akrabnya, Hurwitz, Hilbert mengetahui bahwa Gordan mengirim surat Klein guna membicarakan artikel tersebut. Mengetahui hal ini Hilbert menulis surat kepada Klein yang isinya menyatakan bahwa dia tidak akan melakukan perubahan pada artikel yang sudah dikirim. Klein menerima dua surat dari Hilbert dan Gordan, dimana saat  itu Hilbert adalah asisten pengajar dari Gordan yang sangat terkenal di dunia karena teori invarian. Sisi lain Gordan juga mengetahui hubungan antara Klein dan Hilbert yang sudah terjalin lama. Akhirnya, Klein mengemukakan terobosan invarian dari Hilbert ini dan berjanji akan menerbitkan sebagai artikel pada Annalen, tanpa perubahan sedikitpun.

Merasa bahwa karyanya dihargai, Hilbert mengembangkan metode lain dalam teori invarian untuk kembali diterbitkan dalam Mathematische Annelen dimana sebelumnya dikirim kepada Klein. Komentar dari Klein adalah: “Tidak perlu diragukan lagi, bahwa makalah ini adalah karya maha penting dalam bidang aljabar umum yang pernah diterbitkan oleh Annalen.”

Sistimatika invarian Hilbert secara singkat dapat disebutkan sebagai berikut. Misalkan bentuk x dengan pangkat n, untuk menemukan bilangan terkecil dari invarian dan covarian rasional integral dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional integral dengan koefisien-koefisien numerikal dari himpunan lengkap.

Kiprah HilbertSaat masih di Konigsberg, tahun 1893, Hilbert mengarang Zahlbericht untuk teori bilangan aljabarik. Komunitas matematika Jerman (German Mathematical Society) yang baru didirikan tiga tahun sebelumnya mendaulat agar karya ini dianggap sebagai laporan hasil perkembangan dari komunitas ini selama tiga tahun. Isi pokok buku ini adalah sistesis dari karya Kummer, Kronecker dan Dedekind namun dirangkai dan diisi dengan gagasan-gagasan Hilbert yang cemerlang. Semua gagasan ini sekarang lebih dikenal dengan sebutan teori bidang kelas (Class field theory).

Karya penting Hilbert adalah makalah “On the Theory of Algebraic Forms” yang dimuat pada Mathematische Annalen pada tahun 1890. Di sini Hilbert mendifisnikan bentuk aljabarik sebagai fungsi homogen integral rasional dalam peubah-peubah tertentu dimana koefisien-koefisien adalah bilangan-bilangan dalam “wilayah rasionalitas” (domain of rationality). Theorema yang menyatakan bahwa untuk deret tak-terhingga S = F1, F2, F3, … dari bentuk-bentuk peubah-peubah n, x1, x2, x3, … xn terdapat bilngan m dalam bentuk berurutan yang diekspresikan sebagai

            F = A1F1 + A2F2 + … AmFm

Dimana Ai adalah bentuk-bentuk yang sama dengan peubah-peubah n. Hilbert mengaplikasikan hasil ini untuk membuktikan sistem terbatas untuk invarian dengan bentuk-bentuk arbitrari banyak peubah.

Tidak puas dengan teori invarian, Hilbert menjelajahi geometri. Geometri rekaan Hilbert

dapat disebut sebagai sebuah karya besar setelah Eucklid sendiri. Dari pembelajaran secara sistematik dari geometri Euclidian, Hilbert merumuskan dua puluh satu aksioma dan melakukan analisis terhadap masing-masing signifikansinya. Karya dalam geometri dituang dalam buku berjudul Grundlagen der geometrie pada tahun 1899, dimana geometri ditempatkan dalam tatanan aksioma yang formal. Buku ini terus diperbaharui dalam setiap edisinya dan kelak memberi dampak besar bagi pendekatan aksiomatik dalam matematika yang akan menjadi karakteristik utama bagi geometri saat memasuki abad 20.

23 problem matematika Hilbert juga dikenal karena mengemukakan 23 problem atau tantangan matematika bagi para matematikawan. Lewat pidatonya pada konggres internasional matematikawan kedua di Paris, disebutkan 23 problem yang menantang kreativitas para matematikawan. Disebutkan bahwa suatu problem matematika mampu merangsang otak-otak kreatif untuk berusaha menemukan solusi, namun apa yang diperoleh terkadang jauh dari harapan. Bukan berarti hasil sampingan (by-product) ini tidak berguna, justru hal ini akan memperkaya khasanah matematika. Fermat (baca: Fermat dan Wiles), sebagai contoh, meninggalkan TTF (Theorema Terakhir Fermat) yang mendorong adanya penemuan bilangan-bilangan ideal dari Kummer dan melakukan generalisasi dalam bidang aljabar yang diprakarsai oleh Dedekind dan Cantor akan mendasari teori bilangan modern dan akhirnya teori fungsi.

Problem bilangan kardinal kontinuum dari Cantor

1. Keselarasan (compatibility) aksioma-aksioma dalam aritmatika2. Kesamaan isi dari dua tetrahera yang mempunyai alas dan tinggi sama3. Problem garis lurus sebagai jarak terpendek antara dua titik4. Konsep transformasi kelompok (grup) berkesinambungan tanpa asumsi yang

dapat berbedaa (differentiability) dari fungsi-fungsi dalam kelompok dari Lie. 5. Perlakuan matematikal terhadap aksioma-aksioma dalam fisika.6. Bilangan-bilangan irrasional dan transenden tertentu7. Problem bilangan-bilangan prima8. Pembuktian dari hukum umum ketimbalbalikkan (reciprocity) dari berbagai

bilangan dalam bidang.9. Determinasi dari solvabilitas persamaan Diophantus10. Bentuk-bentuk kuadratik dengan koefisien-koefisien aljabarik numerikal 11. Perluasan theorema Kronecker pada bidang Abelian bagi rasionalitas dalam

lingkup aljabarik. 12. Ketidakmungkinan mencari solusi persamaan untuk dalam bentuk pangkat tujuh

dengan menggunakan fungsi-fungsi yang mempunyai dua argumen.13. Pembuktian terbatasnya sistem fungsi-fungsi lengkap tertentu14. Dasar tak terbantahkan dari kalkulus enumeratif Schubert15. Problem topologi dari kurva-kurv dan permukaan-permukaan aljabarik.16. Ekspresi bentuk-bentuk tertentu dari persegi panjang17. Membangun ruang dari polyhedra congruent

18. Apakah solusi untuk problem-problem umum dalam variasi kalkulus selalu membutuhkan analitik

19. Problem umum nilai-nilai batas20. Bukti keberadaan persamaan-persamaan diferensial linier mempunyai kelompok

monodromik yang sudah dijabarkan21. Penyeragaman relasi-relasi analitik dalam fungsi-fungsi otomorphik22. Pengembangan lebih lanjut metode variasi-variasi kalkulus

Ruang HilbertKarya Hilbert tentang persamaan-persamaan integral yang terbit pada tahun 1909, merintis penelitian dalam analisis fungsional (cabang matematika dimana fungsi-fungsi dipelajari secara terpisah). Karya ini juga memberi dasar kiprahnya dalam ruang dimensional tak terhingga (infinite-dimensional space), yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan ruang Hilbert. Konsep ini berguna dalam analisis matematikal dan mekanika quantum. Penggunaan persamaan-persamaan integral, Hilbert mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan fisika matematikal dan yang paling penting adalah memoarnya tentang teori gas kinetik dan  teori radiasi.

Ada beberapa orang yang menyebut bahwa pada tahun 1915, Hilbert sudah menemukan persamaan-persamaan bidang untuk relativitas umum sebelum dicetuskan oleh Einstein. Terdapat catatan yang menyebutkan bahwa Hilbert mengirimkan artikel tersebut pada tanggal 20 November 1915, lima hari sebelum Einstein menyerahkan artikel yang berisikan ralat terhadap persamaan-persamaan bidang. Artikel Einstein muncul pada tanggal 2 Desember 1915, tapi bukti bahwa makalah Hilbert (tertanggal 6 Desember 1915) tidak mencantumkan persamaan-persamaan bidang.

Dasar-dasar Geometri Hilbert menekuni suatu bidang sampai benar-benar tuntas. Setelah usai dengan “Zahlbericht”, dia mulai beralih ke geometri. Sejak tahun1894 dia mengajar geometri non-Euclidian dan pada periode 1898-1899mengeluarkan buku “Dasar-dasar Geometri” (Grundlagen der Geometrie). Buku ini dapat disebut karya besar karena kemudian diterjemahkan ke bahasa negara terkemuka dan membawa dampak besar bagi perkembangan geometri pada abad 20.  Geometri yang selama ini seakan dilupakan sejak Euclid, dijabarkan ulang dan banyak direvisi ulang oleh Hilbert. Hilbert merintis dengan memasukkan “karanter: aljabar dan analisis ke dalam geometri. Sistematika geometri dilakukan dengan membagi menjadi 3 obyek: titik, garis dan bidang dan enam kemungkinan keterhubungan. Lewat buku itu, Hilber mengukuhkan diri sebagai penggagas “aliran aksiomatik” yang memberi dampak besar terhadap matematika dan pendidikan matematika.  Pangantar buku diawali dengan kutipan [Immanuel] Kant; “Semua pengetahuan manusia, diawali oleh intuisi, menghasilkan konsep-konsep, dan diakhiri dengan ide-ide.” Kutipan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa dirinya anti-Kant. Menurutnya tidak ada [peran] intuisi dalam mempelajari geometri, dimana titik,  garis dan bidang adalah elemen-elemen dari suatu himpinan tertentu. Teori himpunan (set theory) yang selama ini masuk wilayah aljabar dan analisis dipakai dalam geometri. 

Karya bersamaHermann Minkowski meninggal pada tahun 1909, meninggalkan kepedihan mendalam bagi Hilbert.  Setelah merasa tuntas dengan geometri dan analisis -  tidak diuraikan, Hilbert masuk fisika matematika. Sebelum dan setelah PD I, meneliti aplikasi persamaan-persamaaan integral untuk memecahkan teori-teori fisika seperti teroi kinetik dari gas. Penjelajahan ini membuat dia berkolaborasi dengan Emmy Noether (1888-1935) dalam mempelajari invarian diferensial. Emmy adalah anak aljabaris, Max Noether yang ditarik dari Gottingen oleh Hilbert dan Kelin untuk melakukan penelitian bersama.  Hasil sampingan adalah Emmy mampu mengeluarkan buku pada tahun 1918 yang berisikan “Theorema Noether.” 

Sejak tahun 1990, Hilbert sudah mengerjakan aksiomatisasi, yang dimaksudkan  untuk memecxahkan problem fisika yang terkait dengan mekanika quantum. Hasil akhir sudah akan diraih namun karena problem kesehatan, maka tongkat estafet penelitian diserahkan - lewat kolaborasi – dengan L. Nordheim dan J. von Neumann.  Karya puncak Hilbert dalam aksiomatisasi aritmatikda dan logika dapat kita nikmati lewat para penerusnya. Karya Dasar-dasar matematika dan Dasar-dasar logika matematika lebih mengenalkan kolaboratornya sebagai Hilber-Bernays dan Hilbert-Ackermann. 

SumbangsihBanyak cabang matematika yang ditekuni oleh Hilbert, dimana masing-masing mampu menunjukkan kualitasnya sehingga sangat sulit menyebutkan sumbangsih Hilbert secara spesifik. Dapat disebutkan teori invarian, bidang-bidang bilangan aljabarik, analisis fungsional, persamaan-persamaan integral, fisika matematikal dan variasi-variasi kalkulus. Ada yang menyebutkan bahwa bakat matematikal ditunjang dengan mengemukakan pemikiran-pemikiran baru dan menghubungkan semua disiplin-disiplin ilmu tersebut merupakan betapa banyaknya “jasa” Hilbert bagi perkembangan matematika dan fisika – khususnya mekanika quantumm baik secara sendiri maupun sebagai karya kolaborasi. Problem yang dikompilasi akan terus berupaya dipecahkan oleh matematikawan era berikutnya.

Thales (624 – 550 SM)

RiwayatPerintis matematika dan filsafat Yunani adalah Thales. Lahir dan meninggal di kota kecil Miletus yang terletak di pantai barat Asia Kecil, sebuah kota yang menjadi pusat perdagangan. Kapal-kapal pedagang dengan mudah berlayar ke Nil di Mesir, sedangkan karavan melakukan perjalanan lewat darat menuju kota di Babylon. Pendudulk Militus suka melakukan kontak dagang dengan kota-kota di Yunani dan warga Phoenisia. Di kota ini juga merupakan tempat pertemuan [dunia] Timur dan Barat, dan tempat lahirnya Thales.

Awalnya, Thales adalah seorang pedagang, profesi yang membuatnya sering melakukan perjalanan. Dalam suatu kesempatan berdagang ke Mesir dan Babilonia (pada maka

pemerintahan Nebukadnesar), dalam waktu senggangnya, Thales mempelajari astronomi dan geometri. Hal ini dipicu ketertarikannya bahwa dengan menggunakan ‘alat-alat’ tersebut, mereka dapat memprediksi gerhana matahari setiap tahunnya.

Theorema ThalesThales mengemukakan proposisi yang dikenal dengan theorema Thales, yaitu:

1. Lingkaran dibagi dua oleh garis yang melalui pusatnya yang disebut dengan diameter.

2. Besarnya sudut-sudut alas segitiga sama kali adalah sama besar.3. Sudut-sudut vertikal yang terbentuk dari dua garis sejajar yang dipotong oleh

sebuah garis lurus menyilang, sama besarnya.4. Apabila sepasang sisinya, sepasang sudut yang terletak pada sisi itu dan sepasang

sudut yang terletak dihadapan sisi itu sama besarnya, maka kedua segitiga itu dikatakan sama sebangun.

5. Segitiga dengan alas diketahui dan sudut tertentu dapat digunakan untuk mengukur jarak kapal.

Tidak ada catatan lebih jauh tentang prestasi Thales yang dapat disimak karena tidak ada bukti-bukti akurat. Bukti dicoba dicari lewat catatan dari para muridnya seperti: Aristoteles dan Eudemus dari Rhodes (± 320 SM), yang kurun waktunya relatif terlalu lama. Catatan Eudemus menyebutkan bahwa Thales adalah orang yang ‘mengubah geometri menjadi bentuk formal yang dapat dipelajari oleh semua orang’ karena mendasarkan diri pada prinsip-prinsip dan melakukan investigasi terhadap theorema-theorema dengan sudat pandang seorang intelektual. Thales berbicara tentang garis, lingkaran dan bentuk-bentuk lainnya dengan cara membayangkan (abstrak). Garis bukan hanya susutatu yang dapat digurat dan dilihat di atas pasir, tapi merupakan obyek yang terpeta pada imajinasi kita. Artinya secara abstrak bahwa suatu garis lurus atau lingkaran bulat berada dalam mental kita.

Matematikawan serba bisaAktivitas Thales lebih dikenal – dari berbagai sumber terpisah, sebagai matematikawan terapan. Mengukur tinggi piramida dengan mengukur tinggi bayangan dengan menggunakan tongkat, memprediksi gerhana matahari, menentukan setahun adalah 360 hari (sudah dikenal lama oleh bangsa Mesir) maupun jarak kapal di laut dengan lewat cara proporsi/memadankan bentuk segitiga adalah catatan “kehebatan” Thales. Gerhana matahari disebutkannya  akan terjadi pada tanggal 28 Mei atau 30 September pada tahun 609 SM. Catatan yang ada menyebutkan bahwa gerhana matahari terjadi setiap kurun waktu 18 tahun 11 hari. Ketepatan prediksi ini membuat namanya sangat terkenal dan diabadikan sebagai salah satu dari tujuh orang bijak (sage) yang terdapat pada hikayat Yunani

Naluri pedagang yang ada pada dirinya, dimana diketahui Thales “memeras” buah zaitun (olive) untuk dijadikan minyak ketika panen melimpah dan akhirnya memberikan  keuntungan berlimpah, menjadi pedagang garam sama seperti komentar tentang dirinya sebagai pengamat bintang, penentang hidup selibat bahkan sebagai negarawan yang

mempunyai visi jauh ke depan. Tulisan Thales dalam bidang astronomi lebih dikenal daripada karyanya dalam bidang geometri.

Ketenaran ini membuat dirinya mempunyai banyak murid. Anaximander, Anaximenes, Mamercus dan Mandryatus adalah nama dari beberapa muridnya, namun yang sangat terkenal adalah nama yang disebutkan pertama. Anaximander (611 – 545 SM), sukses menggantikan posisi Thales di Miletus. 

Sebuah kisah Thales hidup dalam masa kerajaan yang saling serang untuk memperluas wilayahnya. Keahlian Thales dalam bidang rekayasa diuji pada masa perang ini. Raja Croesus, yang mengagumi Thales, ingin menyerang negara tetangga dan para prajurit harus menyeberangi sungai Halys. Kerajaan Croesus diperkirakan ada di Mesopotamia atau Mesir.

Belum ada jembatan ponton pada masa itu dan tidak ada waktu membangun jembatan permanen.Croesus menyuruh Thales sebagai seorang filsuf sekaligus matematikawan untuk memecahkan problem ini. Di bawah pengarahan Thales dibuatlah kanal untuk mengalihkan aliran sungai untuk sementara. Begitu para prajurit menyeberang dan sukses merebut negara tetangga, kanar kembali ditutup dan aliran sungai kembali seperti semula.

Namun dalam perang tidak ada yang menang selamanya. Raja Cyrus dari Persia akhirnya dapat menangkap dan menawan penerus kerajaan Croesus, Lydia, dalam sebuah pertempuran.  Bagaimana akhir atau keruntuhan kerajaan itu sendiri tidak pernah diketahui.

Sebuah AnekdotDiperkirakan Olimpiade mulai diselenggarakan pada tahun 776 SM, dimana ketika itu sastra Yunani sedang berkembang pesat. Homer dan Hesoid, seperti diketahui, berkarya pada masa-masa ini.

Dalam suatu malam Thales terlalu asyik memandangi bintang-bintang di langit sambil berjalan. Tidak menyadari bahwa di depan terdapat parit, Thales terjatuh ke dalam parit. Seorang nenek yang melihat berkata, “ Bagaimana kamu dapat menjelaskan apa yang terdapat di langit, sedangkan parit yang ada didepanmu saja tidak terlihat?”

SumbangsihBarangkali dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan theorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakkan oleh Thales, sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan adalah sesuatu yang sakral, selain memanfaatkan imajinasi.

Anaximander (611 S.M. – 545 S.M.)

RiwayatAnaximander sukses meneruskan jabatan kepala sekolah di Miletus setelah Thales meninggal.  Menurut Suidas, Anaximander menulis makalah tentang geometri, yang lebih memberikan penekanan diri pada penelitian tentang bola dan mengembangkan ide-ide filsafat yang berhubungan dengan ruang dan waktu. Dikatakan pula bahwa Anaximander sudah membuat globe.

Anaximander adalah orang yang untuk pertama kali mengenalkan penggunaan gnomon (= tongkat penunjuk yang dipasang di tanah datar untuk menghitung waktu), kelak teknik ini menjadi dasar terciptanya piringan matahari (sundial) guna menentukan waktu.

Mengajar PythagorasPemikiran Thales tidak secara langsung dapat dipahami oleh Pythagoras. Diduga Pythagoras memahami pemikiran-pemikiran Thales lewat Anaximander. Menurut legenda, ayah Pythagoras meninggal pada saat Pythagoras bermur 18 tahun. Pamannya memberinya perak dan surat pengantar, dan mengirimnya untuk belajar pada filsuf Pherecydes yang tinggal di pulau Lesbos (asal kata lesbian).

Pherecydes mengenalkan ajaran tentang hidup abadi (immortaility) dan reinkarnasi kepada Pythagoras. Keduanya kemudian menjadi sahabat kental, namun Pythagoras tidak lama tinggal di Lesbos.  Pada kisaran usia 20 tahun, Pythagoras meninggalkan Lesbos dan melakukan perjalanan ke Miletus dan menimba ilmu di sini yaitu di bawah bimbingan Anaximander. Ada versi lain yang menyebut bahwa pada saat ini Pythagoras belajar langsung di bawah bimbingan Thales, tapi mengingat perbedaan umur antara keduanya, hipotesis ini sulit terjadi. Thales meninggal tahun 550 S.M. sedang Pythagoras lahir pada tahun 589 S.M., dimana yang satu sudah tua renta dan lainnya masih muda usia dan ada perbedaan lokasi. Banyak kemungkinan selama Miletus, Pythagoras belajar dari Anaximander. Tidak lama di Miletus, Pythagoras melanjutkan perjalanan menuju Mesir.

SumbangsihDari riwayat yang sangat singkat ini sulit menentukan sumbangsih Anaximander, namun kiprahnya adalah merintis studi tentang bola dan membuat globe yang tentunya masih sangat sederhana layak dianggap peran penting Anaximander. Terlebih penting adalah menjembatani pemikiran Thales ke Pythagoras.

“Apabila bilangan mengatur alam semesta, Bilangan adalah kuasa yang diberikan kepada kita guna mendapatkan mahkota, untuk itu kita menguasai bilangan.If “Number rules the universe, Number is merely our delegate to the throne, for we rule Number.”

Pythagoras

Pencetus sekaligus penguasa nisbah dan segitiga

Pythagoras(580 - 475 SM)

Masa kecilPythagoras lahir di pulau Samos, Yunani selatan sekitar 580 SM (Sebelum Masehi). Dia sering melakukan perjalanan ke Babylon, Mesir dan diperkirakan pernah sampai di India. Di Babylon, teristimewa, Pythagoras menjalin hubungan dengan ahli-ahli matematika. Setelah lama menjelajah pulau kecil, Pythagoras meninggalkan tanah kelahirannya dan pindah ke Crotona, Italia. Diperkirakan Pythagoras sudah melihat 7 keajaiban dunia (kuno), dimana salah satunya adalah kuil Hera yang terletak di kota kelahirannya. Sekarang, kuil Hera sudah runtuh dan hanya tersisa 1 pilar yang tidak jauh dari kota Pythagorian (namanya dipakai untuk mengenang putra terbaiknya). Menyeberangi selat dan beberapa mil ke utara adalah Turki, terdapat keajaiban lain yaitu: Ephesus. Pythagoras adalah anak Mnesarchus, seorang pedagang yang berasal dari Tyre. Pada usia 18 tahun dia bertemu dengan Thales. Thales, seorang kakek tua, mengenalkan matematika kepada Pythagoras lewat muridnya yang bernama Anaximander, namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru adalah Pherekydes.Pythagoras meninggalkan Samos pada tahun 518 SM. Tidak lama kemudian dia membuka sekolah di Croton yang menerima murid tanpa membedakan jenis kelamin. Sekolah itu menjadi sangat terkenal bahkan Pythagoras akhirnya menikah dengan salah satu muridnya. Gambaran rinci tentang Pythagoras tidak terlalu jelas. Dikatakan setelah itu, dia pergi ke Delos pada tahun 513 SM untuk merawat penolong sekaligus gurunya, Pherekydes. Pythagoras menetap di sana sampai dia meninggal pada tahun 475 SM. Sepeninggalnya, sekolah Croton berjalan terseok-seok dan banyak konflik internal, tetapi dapat terus berjalan sampai 500 SM sebelum menjadi alat politik. Bagaimana Pythagoras menciptakan kultus terhadap angka?

Angka adalah “dewa”Matematika dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari “perangkap” mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angka ganjil/gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari para pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angka empat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia.

Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barangkali – di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipan Galileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika.” Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yang jelas matematika lebih sulit untuk dipahami.Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajabiban”

pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai takterhingga.

Pythagoras sebagai pemusikPythagoras juga dikenal sebagai musisi berbakat, seorang pemain lira. Penemuan musik terkait dengan matematika diawali ketika Pythagoras bermain monokord, sebuah kotak dengan bentangan tali-tali di atas salah satu sisinya. Dengan menggerakkan jari naik dan turun pada garis-garis yang sengaja dibuat, Pythagoras mengenali bahwa suara yang dihasilkan dapat diperkirakan. Ketika bagian tengah ditekan, setiap bagian atas tali dan bawah tali menghasilkan nada sama: nada yang tepat 1 oktaf * lebih tinggi dibandingkan apabila monokord tidak ditekan. Dengan membagi monokord dengan nisbah 3/4 dan 2/5, ternyata setiap nisbah menghasilkan nada yang berbeda, merdu atau fals. Baginya, harmoni musik adalah aktivitas matematika. Harmoni dari monokord adalah harmoni matematika – dan harmoni alam semesta. Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah tidak hanya berlaku pada musik tetapi juga pada pelbagai jenis keindahan lain. Para pengikut Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah dan proporsi mengendalikan keindahan musik, kecantikan fisik dan keanggunan matematika. Contoh: sebuah tali panjang yang menghasilkan nada C, kemudian 16/15 dari panjang tali C menghasilkan notasi B; 6/5 panjang tali C menghasilkan notasi A, 4/3 panjang tali C menghasilkan notasi G; 3/2 panjang tali C menghasilkan notasi F; 8/5 panjang tali C menghasilkan notasi E; 16/9 panjang tali C menghasilkan notasi D dan 2/1 panjang tali C menghasilkan notasi C rendah.Penelitian tentang suara mencapai puncaknya pada abad 19 setelah John Fourier mampu membuktikan bahwa semua suara – instrumental maupun vokal – dapat dijabarkan dengan matematika, yaitu jumlah fungsi-fungsi Sinus sederhana. Menurutnya, suara mempunyai 3 kategori – pitch, loudness dan quality. Penemuan Fourier ini memungkinkan ketiga kategori tersebut digambar dan dibedakan. Pitch terkait dengan frekuensi kurva, loudness terkait dengan amplitudu dan quality terkait dengan bentuk dari fungsi periodik. Lewat motto “Angka adalah dewa”, Pythagoras mampu menggalang sejumlah pengikut.

Para pengikut Pythagoras (Pythagorean)Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada jamannya. Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yang kharismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya. Tidaklah

mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikut dan disusul dengan mendirikan sekolah.Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah: angka. Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir. Hasilnya, ahli matematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan theorema matematika biasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenis penggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas. Nisbah-nisbah adalah kunci untuk memahami alam, Pythagorean dan matematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggali lebih dalam teori-teori mereka. Akhirnya mereka memilah proporsi ke dalam sepuluh kategori berbeda yang disebut dengan titik tengah harmonis (harmonic means). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling “cantik” di dunia: nisbah emas (golden ratio). Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini, tetapi sesuatu yang terinspirasi oleh nisbah emas tampaknya merupakan obyek-obyek yang sangat indah. Bahkan sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitif mengetahui bahwa obyek-obyek yang mengandung nisbah emas nampak artistik. Dan nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni dan arsitektur. Parthenon, kuil Athena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbah emas ada pada setiap aspek kontruksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbah mengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia Barat pula.

Cacat pada doktrin PythagoreanAngka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja Pythagorean. Angka nol tidak ada atau tidak dikenal dalam kamus Yunani. Menggunakan angka nol dalam suatu nisbah tampaknya melanggar hukum alam. Suatu nisbah menjadi tidak ada artinya karena “campur tangan” angka nol. Angka nol dibagi suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Nol membuat “lubang” pada kaidah alam semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka nol tidak dapat ditolerir. Pythagorean juga tidak dapat memecahkan “problem” dari konsep matematika – bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk sampingan (by product) rumus: a² + b² = c². Konsep ini juga menyerang sudut pandang mereka, namun dengan semangat persaudaraan tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap dijaga jangan sampai bocor atau kultus mereka hancur. Mereka tidak mengetahui bahwa bilangan irrasional adalah “bom waktu” bagi kerangka berpikir matematikawan Yunani. Nisbah antara dua angka tidak lebih dari membandingkan dua garis dengan panjang berbeda. Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yang masuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsi tanpa cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk a/b bilangan utuh, seperti: 1, 2 atau 17, dimana b tidak boleh sama dengan nol karena dengan itu akan menimbulkan bencana. Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuai dengan kaidah tersebut. Banyak angka tidak dapat dinyatakan semudah itu ke dalam nisbah a/b. Kehadiran angka irrasional tidak dapat dihindari lagi adalah konsekuensi matematikawan Yunani. Persegi panjang adalah bentuk paling sederhana dalam geometri, tetapi

dibaliknya terkandung bilangan irrasional. Apabila anda membuat garis diagonal pada persegi panjang – muncul irrasional, dan kelak besarnya ditentukan oleh akar bilangan. Bilangan irrasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semua bentuk geometri. Contoh lain, segi tiga siku-siku dengan panjang kedua sisi adalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain – dengan rumus Pythagoras, yaitu: v2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi orang yang paham geometri dan nisbah.

Hippasus menyangkalRahasia ini akhirnya dibocorkan oleh seorang pengikut Pythagorean yang merasa bahwa dia harus mengungkapkan kebenaran. Hippasus adalah matematikawan yang menjadi murid sekaligus pengikut Pythagoras. Hippasus berasal dari Metapontan. Pengungkapan rahasia membuat dia dijatuhi hukuman mati. Cerita tentang bagaimana meninggalnya Hipassus ada berbagai versi. Beberapa mengatakan bahwa Hippasus ditenggelamkan di laut, sebagai konsekuensi menghancurkan teori indah dengan fakta-fakta menyesatkan. Sumber lain menyebutkan bahwa para pengikut Pythagoras mengubur dia hidup-hidup. Lainnya menyebutkan bahwa Hippasus, dibuang atau diasingkan dalam ruangan tertutup tanpa pernah bertemu orang lagi. Tanpa usaha mengklarifikasikan mana yang benar, namun yang jelas pengungkapan oleh Hippasus ini mengoncangkan fondasi-fondasi doktrin Pythagoras. Dalam hal ini Pythagorean menanggap bahwa bilangan irrasional hanya sebagai suatu perkecualian. Mereka tidak dapat membuktikan bahwa bilangan irrasional mencemari pandangan mereka tentang alam semesta.

Meninggalnya PythagorasPara pengikut Pythagoras menyatakan bahwa guru mereka meninggal dengan cara yang unik. Beberapa dari mereka menyatakan Pythagoras mogok makan, sebagian lagi menyatakan bahwa dia mengurung dan berdiam diri. Cerita lain menyatakan bahwa konon rumahnya dibakar oleh para musuhnya (mereka yang merasa tersingkirkan oleh kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semua pengikutnya ke luar dari rumah terbakar dan lagi ke segala penjuru untuk menyelamatkan diri. Massa yang membakar rumah itu kemudian membantai para pengikutnya (pythagorean) satu per satu. Persaudaraan sudah dihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha melarikan diri tetapi tertangkap dan dipukuli. Dia disuruh berlari di suatu ladang, namun mengatakan bahwa dia lebih baik mati. Kemudian diambil keputusan bersama dan diputuskan: Pythagoras dihukum pancung di muka umum. Meskipun persaudaraan sudah bubar dan pemimpinnya terbunuh, esensi ajaran Pythagoras terus bertahan sampai sekarang. Falsafah Barat banyak dipengaruhi oleh pemikiran Pythagoras – seperti halnya doktrin Aristoteles, ternyata mampu bertahan hampir 2 milenium. Angka nol dan bilangan irrasional bertentangan dengan doktrin tersebut, tetapi memberi landasan bagi para matematikawan berikutnya agar memperhatikan angka nol dan bilangan irrasional.

*) Oktaf artinya 8 yaitu: nada dari 1(do) sampai 1 (do tinggi) atau dari C sampai C lagi

SumbangsihPenemuan Pythagoras dalam bidang musik dan matematika tetap hidup sampai saat ini. Theorema Pythagoras tetap diajarkan di sekolah-sekolah dan digunakan untuk menghitung jarak suatu sisi segitiga. Sebelum Pythagoras belum ada pembuktian atas asumsi-asumsi. Pythagoras adalah orang pertama yang mencetuskan bahwa aksioma-aksioma, postulat-postulat perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Manfaat ini, kelak, membuat matematika tetap dapat digunakan sebagai alat bantu dalam melakukan perhitungan terhadap pengamatan terhadap fenomena-fenomena alam, setelah melalui pengembangan dan penyempurnaan oleh para matematikawan setelah Pythagoras. Theorema Pythagoras mendasari adanya theorema Fermat (tahun 1620): xn + yn = zn yang baru dapat dibuktikan oleh Sir Andrew Wiles pada tahun 1994.

“Tujuan kehidupan adalah hidup selaras dengan alam”(“The goal of life is living in agreement with nature.”)

Zeno

Matematikawan bengal pencipta banyak paradoks

Zeno (490 – 435 SM)

RiwayatZeno dikenal banyak orang karena namanya tercantum pada halaman pertama buku Parmenides karangan Plato. Diperkirakan bahwa saat itu Zeno berumur 40 tahun, sedang Socrates masih remaja, kisaran usia 20 tahun. Dengan mengetahui bahwa Socrates lahir pada 469 SM, maka diperkirakan Zeno lahir pada tahun 490 SM. Disinyalir bahwa Zeno mempunyai hubungan “khusus” dengan Parmenides. Catatan Plato menyebutkan adanya gosip bahwa mereka saling jatuh cinta saat Zeno masih muda, dan tulisan Zeno tentang paradoks digunakan untuk melindungi filsafat Parmenides dari para pengkritiknya. Semua catatan itu tidak pernah ada dan cerita itu dituturkan oleh tangan kedua. Tulisan Aristoteles yang terdapat pada Simplicius - terbit ribuan tahun setelah Zeno - digunakan sebagai acuan.Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya perang Persia – konflik antara Timur dan Barat. Yunani dapat menaklukkan Persia, tapi semua filsuf Yunani tidak pernah berhasil menaklukkan Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini menjadi sangat termasyur karena terus “mengganggu” pemikiran para matematikawan; dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achilles dan kura-kura.

Latar belakangParmenides menolak faham pluralisme dan realitas dalam berbagai macam perubahan: baginya segala sesuatu tidak dapat dibagi, realitas tidak berubah, dan hal-hal yang tampak dan berbeda hanyalah ilusi belaka, sehingga dapat dibantah dengan argumen/alasan. Tidak perlu disangsikan lagi, faham ini mendapat banyak kritikan tajam. Tanggapan terhadap kritik Zeno memicu sesuatu yang lebih nyata, namun mampu memberi dampak mendalam bagi filsafat Yunani bahkan sampai saat ini. Zeno berusaha menunjukkan bahwa suatu kemustahilan diikuti oleh logika dari pandangan Parmenides. Segala sesuatu dapat menjadi sangat kecil atau menjadi sangat besar. Paradoks ini sebagai bukti kontradiksi atau kemustahilan akibat asumsi-asumsi yang (tampak) masuk akal. Apabila dilihat lebih dalam maka paradoks mengarah kepada target spesifik yaitu menyangkut lebih atau kurang: pandangan orang atau aliran pemikiran tertentu. Zeno – lewat paradoks - berusaha menyatakan bahwa alam semesta ini tidak berubah dan tidak bergerak. Mencoba menyingkap siapa yang menjadi target serangan Zeno relatif lebih mudah daripada mencoba memecahkan paradoksnya. Tahun kelahiran Zeno, menunjuk bahwa dunia remajanya dipenuhi dengan pandangan Pythagoras (580 – 475 SM) dan para pengikutnya (pythagorean). Tampaknya doktrin Pythagorean mau diserang Zeno, meskipun dugaan ini masih terlampau dini untuk disebut karena topik ini masih menjadi ajang perdebatan sampai sekarang.

Paradoks Zeno mengungkapkan problem-problem yang tidak dapat diselesaikan oleh semua teknik matematika yang tersedia pada saat itu. Penyelesaian paradoks Zeno baru dimulai pada abad 18 (atau lebih awal dari itu). Paradoks itu mampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan dan memberi warna pada sejarah perkembangan matematika.

Matematikawan “hitam”Zeno (490 – 435 SM) dari Alea dan Eudoxus (408 – 355 SM) dari Cnidus menghadirkan pertentangan dua kubu pemikiran matematika: penghancuran kritikal dan pengembangan kritikal. Pertentangan kedua pemikiran ini layak disebut dengan ajang pertempuran logika antara matematikawan “hitam” dan matematikawan “putih.” Duel “aliran” tidak hanya terjadi pada jaman kuno, matematikawan modern juga mengekor atau menjadi pengikut salah satu idola mereka. Penghancuran kritikal seperti pemikiran Zeno diteruskan oleh Kronecker (1823 – 1891) dan Brouwer (1881 - 1966), sedangkan pemikiran Eudoxus diteruskan oleh Weierstrass (1815 – 1897), Dedekind (1831 – 1916) dan Cantor (1845 – 1918).

Paradoks ZenoAda 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.

1. DikhotomiParadoks ini dikenal sebagai “dikhotomi” karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.

2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kuraAchilles - kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini. Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, ½ meter per detik, namun kura-kura mengawali perlombaan dari ½ jarak yang akan ditempuh (misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura berada pada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapai posisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?.

3. Anak panahAnak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.

4. StadionParadoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadion dari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan.

Paradoks tentang stadion ini dapat digambarkan sbb.:AAAA: urutan berhentiBBBB: urutan bergerak ke kiri CCCC: urutan bergerak ke kananSemuanya bergerak dengan kecepatan tetap/sama.

Posisi I                   Posisi II

A A A A                 A A A AB B B B                 B B B BC C C C                C C C C

Posisi I:Urutan duduk AAAA, BBBB dan CCC terletak rapi, baris dan kolom sama. Gerakan dimulai, dengan kecepatan sama, urutan BBBB dan urutan CCCC bergerak. Urutan B paling kiri melewati 2 orang: C paling kiri dan A paling kiri. Jarak B paling kiri dengan C paling kiri adalah 2 kali jarak B paling kiri dengan A paling kiri, dengan waktu yang sama. Zeno mempertanyakan mengapa dengan waktu yang sama dan kecepatan sama ada perbedaan jarak yang ditempuh?

Pemecahan modernSemua orang tahu bahwa dalam dunia nyata, Achilles pasti dapat menyusul kura-kura, namun dari argumen Zeno, Achilles tidak akan pernah dapat menyusul kura-kura. Para filsuf jaman itu pun tidak mampu membuktikan paradoks tersebut, walaupun mereka tahu bahwa kesimpulan akhirnya adalah salah. “Senjata” filsuf hanya logika, dan deduksi tidaklah berguna dalam kasus ini. Semua langkah tampaknya masuk akal, dan jika semua prosedur sudah dijalani, bagaimana kesimpulan yang didapat ternyata salah? Mereka terperangah dengan problem tersebut, tetapi tidak memahami akar permasalahan: ketakterhingga (infinite). Hal ini sama dapat terjadi apabila anda membagi sebuah mata uang menjadi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 dan seterusnya sampai tidak terhingga tetapi hasilnya akhirnya jelas, yaitu: tetap 1 mata uang. Matematikawan modern menyebut fenomena ini dengan istilah limit; angka 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 dan seterusnya mendekati angka 0 sebagai titik akhir (limit).Angka berurutan dengan pola tertentu sampai tidak mempunyai batas akhir; mereka makin kecil dan bertambah kecil sampai tidak dapat dibedakan lagi. Orang Yunani tidak mampu menangani ketakterhinggaan. Mereka berpikir keras tentang konsep kosong (void) tetapi menolak (angka) 0 sebagai angka. Hal ini pula yang membuat mereka pernah dapat menemukan kalkulus.

Dua paradoks tambahanTidak puas dengan empat paradoks yang dilontarkan. Zeno menambahkan dua paradoks lain yang tidak kalah rumitnya.

5. Paradoks tentang tempatParadoks ini cukup singkat, sehingga Zeno sulit menjelaskannya. Secara garis besar dapat disederhanakan sbb.: keberadaan segala sesuatu benda (misal: batu) adalah suatu tempat tertentu (misal: meja), sedangkan tempat tertentu itupun (meja) memerlukan suatu tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampai ketakterhinggaan.

6. Paradoks tentang bulir gandumApabila anda menjatuhkan sebuah karung berisi gandum yang belum dikupas kulitnya akan terdengar suara keras; tetapi suara itu adalah akibat gesekan bulir-bulir gandum dalam karung; akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir gandum menimbulkan suara saat jatuh ke tanah. Kemudian pertimbangkanlah menjatuhkan setiap bagian dari bulir gandum itu; kita semua tahu bahwa tidak ada suara yang terdengar.

Zeno boleh mati, tetapi paradok tetap hidupKarena kecerdikan sendiri, Zeno akhirnya menghadapi problem serius. Sekitar tahun 435 SM, dia bersekongkol untuk mengulingkan tirani Elea saat itu, Nearhus. Zeno membantu menyelundupkan senjata dan mendukung pemberontakan. Sialnya, Nearchus mengetahui skenario itu, dan Zeno akhirnya ditangkap. Berharap dapat mengungkap konspirasi itu, Zeno disiksa. Tidak tahan oleh siksaan, Zeno menyuruh para penyiksanya untuk menghentikan siksaan dan dia berjanji akan menyebutkan nama rekan-rekannya. Ketika Nearchus mendekat, Zeno meminta agar tiran itu lebih mendekat lagi karena dia akan menyebutkan nama-nama komplotan rahasia itu langsung di telinga Nearchus. Setelah telinga ada dalam jangkauan, tiba-tiba Zeno menggigit telinga Nearchus. Nearchus menjerit-jerit kesakitan, namun Zeno menolak untuk melepaskan gigitannya. Para penyiksanya hanya dapat melepaskan gigitan Zeno dengan jalan menusuk mati Zeno. Ini adalah akhir hayat, pencipta paradoks atau guru ketakterhinggaan.

SumbangsihJasa Zeno paling besar adalah pengaruhnya bagi filsafat. Sasaran ‘tembak’ Zeno adalah pluraliti dan gerak – sesuatu ditanamkan pada opini-opini geometrikal yang lazim dikenal – selain akal sehat, menyerang doktrin-doktrin Pythagorean, ternyata mampu memberi inspirasi para teori relativitas (paradoks keempat) dan fisika quantum. Kenyataannya ruang dan waktu bukanlah struktur matematika utuh (continuum). Alasan bahwa ada cara untuk melestarikan realitas gerak mengingkari bahwa ruang dan waktu terbentuk dari titik-titik dan saat-saat. Paradoks ini sangat terkenal, terutama paradoks Archilles dan kura-kura, kelak dipecahkan oleh Cantor. Hampir seluruh buku matematika mencantumkan nama Zeno pada indeksnya. Paradoks tidak hanya merupakan pertanyaan terhadap matematika abstrak tetapi juga pada realitas fisik. Memperkecil skala seperti halnya paradoks bulir gandum, sampai tidak dapat dibagi memicu orang “membedah” suatu benda sampai tingkat atom.

Archytas(428 – 347 SM)

Setelah Pythagoras meninggal, tidak ada lagi peninggalan tersisa dalam bentuk karya-karya tertulis, namun ide-ide besar dibawa oleh para murid-muridnya.

Mereka yang lolos dari pembantaian membawa doktrin-doktrin ajaran tersebut ke bagian wilayah lain Yunani. Salah seorang pengungsi ini adalah Philolaus dari Tarentum. Fanatisme para pengikut Pythagoras (Pythagorean) ditularkan oleh Philolaus lewat bentuk tetractyis (segi lima), sama seperti ajaran Pythagoras tentang kosmologi.

Gambar: segi lima

Pandangan ini disebut dengan Philolean, kemudian dimodifikasi oleh pengikutnya: Ecphantus dan Hicetas yang mencetuskan geosentris (pandangan bahwa bumi sebagai pusat alam semesta). Dan yang paling ekstrim dari modifikasi Philolean dilakukan oleh Archytas, murid Philolaus. Archytas melanjutkan tradisi Pythagorean dengan menempatkan aritmatika di atas geometri, tetapi dia tidak lagi terlalu antusias terhadap angka. Angka tidak lagi dianggap religius dan mistikal dibandingkan dengan gurunya. Dia menulis aplikasi aritmatika, geometri dan musik. Pernyataan paling penting dari Archytas adalah nisbah dua bilangan n : (n+1), disebutkan bahwa hasilnya bukanlah integer tetapi titik geometri. Archytas lebih banyak berkutat di bidang musik dibandingkan dengan para pendahulunya.

Kurikulum ArchytasArchytas menempatkan posisi matematika sebagai kurikulum pendidikan dengan membagi menjadi 4 kelompok, yaitu:- Aritmatika - Geometri- Musik- AstronomiDigabungkan dengan 3 obyek yang terus dipelajari dari Aristoteles hingga Zeno, yaitu:- Tata bahasa- Retorik (keahlian berpidato)- Dialektik (terkait dengan dialek)

Tiga-dimensi versi ArchytasHal lain tentang Archytas adalah memberikan solusi tiga-dimensi yang dalam bahasa modern disebut dengan geometri analitik, notasi akar yang digunakan untuk menuntaskan “keterbatasan” rumus Pythagoras. Solusi tiga-dimensi Archytas digunakan untuk menyelesaikan problem Delian yang barangkali mudah untuk diuraikan tetapi lebih sering disebut mendahului jamannya. Misal: a adalah sisi sebuah kubus, dan titik (a, 0, 0) adalah titik pusat bidang yang saling bersilangan secara tegak lurus dengan lingkaran berjari-jari a terletak didalamnya yang tegak lurus dengan koordinat. Persamaan dengan tiga sisi x² = y² + z² dan 2 ax = x² + y² dan (x² + y² + z²)² = 4a²(x² + y²). Ketiga bidang saling bersinggungan/berpotongan pada sumbu x pada titik a ³√12; merupakan, panjang potongan garis pada kubus. Prestasi Archytas lebih impresif saat kita

melihat bahwa solusi yang diberikan tanpa menggunakan bantuan sistem koordinat.

SumbangsihSolusi tiga-dimensi dari Archytas mampu memberi gambaran awal tentang terjadinya sistem ordinat dan absis (Kartesian), meskipun di sini sudah membahas tiga-dimensi yang dapat dikatakan sebagai non-Euclidian. Pada masa Euclidian dianggap salah, namun dengan tampilnya non-Euclidian makin lengkaplah [peralatan] matematika agar mempunyai kemampuan menyelesaikan problem-problem yang dihadapi sehari-hari. Kelak sistem ini dikembangkan lebih jauh oleh Lobachevsky, Bolyai, Riemann dan menjadi dasar teori relativitas dari Einstein, karena ternyata Euclidian sudah tidak mampu lagi digunakan untuk menggambarkan fenomena yang terjadi. Memasukkan musik dalam kurikulum dapat disebut salah satu jasanya, sekaligus menjadi bukti bahwa musik tidak jauh berbeda dengan matematika.

Eudoxus (408 – 355 SM)

RiwayatEudoxus adalah anak Arsghnes lahir di Cnidus, Asia kecil (sekarang Turki). Dia pergi ke Tarentum, Italia untuk belajar pada Archytas *. Archytas adalah salah seorang pengikut Pythagoras (pythagorean). Problem menggandakan kubus (problem klasik) yang “menyihir” Archytas juga menarik hati Eudoxus, selain mempelajari teori angka dan teori musik. Bosan menetap di satu tempat, Eudoxus pergi ke Sisilia, dan belajar obat-obatan pada Philiston, sebelum menuju Athena bersama-sama dengan fisikawan masa itu, Theomedon. Selama 2 bulan di Athena, Eudoxus secara teratur mengikuti kuliah Plato dan filsuf-filsuf lain pada akademi Plato.Tidak lama meninggalkan Athena, dia menghabiskan beberapa tahun di Mesir untuk belajar astronomi pada pendeta-pendeta Heliopolis. Tidak betah, dia pulang ke tanah kelahirannya, Cyzidus di bagian barat laut Asia kecil, selatan laut Maruma. Di sini dia mendirikan sekolah yang sangat terkenal dan mempunyai banyak pengikut. Tahun 368, Eudoxus berkunjung kembali ke Athena bersama beberapa pengikutnya.

Hubungan dengan PlatoEudoxus adalah teman sekaligus murid Plato. Eudoxus memperluas jangkauan menghitung luas bentuk-bentuk geometri dengan menggunakan pertambahan angka-angka yang sangat kecil (infitesimal). Dia terlalu miskin untuk belajar di akademi Athena, sehingga di tinggal di Piraeus, dan setiap hari dia berangkat ke akademi Plato.** Meskipun Plato bukan seorang matematikawan, Plato mencoba menekuni matematika atas dorongan murid berbakatnya ini, Eudoxus. Eudoxus menjelajah Mesir dan Yunani untuk belajar Geometri. Eudoxus menemukan “metode makin lama makin kecil”, untuk menghitung luas bentuk-

bentuk geometri. Sebagai contoh, dia menghitung luas lingkaran dengan menjumlah luas segi empat-segi empat kecil, yang lebih mudah dihitung luasnya. Cara yang mirip juga digunakan Archimedes untuk menghitung besar ? (pi), namun dengan menggunakan seni enam bukan segi empat. Methode ini sekarang dipakai dalam integral kalkulus.

Teori PlanetEudoxus juga menciptakan teori tentang planet, yang sangat terkenal dan diterbitkan dalam buku On Velocities yang sekarang tidak diketahui rimbanya. Barangkali pengaruh Pythagoras masih kental lewat gurunya, Archytas. Tidaklah mengherankan dia mengembangkan sistem yang didasarkan pada silinder mengikuti Pyhtagoras bahwa silender adalah bentuk paling sempurna. Banyak pemerhati percaya bahwa Plato mendapat inspirasi dari Eudoxus tentang gerakan planet.

* Archytas (428 – 347 SM) dari Tarentum adalah murid Philolaus yang menjadi pendukung filosofi Pythagoras bahwa matematika adalah jalan untuk memahami segala sesuatu.** Ada dugaan Eudoxus dan Plato tidak cocok. Barangkali karena kemampuan analitis Eudoxus sebagai matematikawan lebih tinggi dari Plato. Tentang pemikiran keduanya tidak jelas, siapa memberi pengaruh kepada lainnya.

SumbangsihEudoxus mengembangkan teori proporsi. Kelak, teori proporsi dari Eudoxus masuk pada bab V, buku Elements dari Euclid. Pada masa ini Eudoxus sudah membuat difinisi tentang prakiraan panjang suatu bilangan irrasional dengan methode perkalian silang (cross multiplying), dimana cara ini masih dipakai sampai sekarang.

Menaechmus (380 – 320 SM)

RiwayatDisebutkan bahwa Menaechmus adalah murid Eudoxus yang lahir di Alopeconnesus, Asia kecil (sekarang Turki). Tempat kelahiran itu letaknya tidak jauh dari Cnidus, tempat Eudoxus bermukim dan berkarya. Ada yang menyimpulkan bahwa Menaechmus adalah pembimbing (tutor) dari Alexander Agung karena profesi sehari-harinya adalah sebagai kepala sekolah di Cnidus. Menaechmus dikenal karena penemuannya tentang potongan-potongan kerucut dan dia pula yang pertama kali menunjukkan bahwa bentuk elips, parabola dan hiperbola diperoleh dengan memotong kerucut - sebagai sebuah ruang - tidak sejajar dengan dasar kerucut. Istilah parabola dan hiperbola tidak dikenal saat ini dan baru dinamai oleh Apollonius, meskipun ada bukti yang menyebutkan bahwa istilah parabola dan hiperbola usianya lebih tua dari Apollonius.

Potongan kerucutPotongan-potongan kerucut penemuan Menaechmus ditemukan secara tidak sengaja ketika dia berusaha menyelesaikan problem dalam perbandingan (nisbah) antara dua garis lurus. Hasilnya adalah menyelesaikan problem duplikasi kubus dengan menggunakan potongan-potongan kerucut. Misal: diketahui garis lurus dengan ujung a dan b; kita ingin mencari perbandingan titik-titik x dan y yang terletak diantaranya:

a : x = x : y = y : b diperoleh a/x = y/b → xy = ab

Perhatikan nilai x dan y ditemukan dari titik-titik potong parabola: x² = ay dan hiperbola tegak lurus xy = ab. Di sini tidak tampak upaya Menaechmus menyelesaikan problem, namun di sini ditampilkan pula istilah modern tentang bagaimana parabola dan hiperbola mampu menjadi solusi bagi problem matematika.

Perhatikanlah:a/x = x/y → x² = ay; dan x/y = y/b → y² = bx

Dapat diketahui nilai x dan y adalah titik-titik potong dua parabola x² = ay dan y² = bx.

SumbangsihPenemuan tidak sengaja potongan-potongan kerucut dari Menaechmus kelak mendasari [Blaise] Pascal untuk menjabarkan lebih lanjut dengan bentuk-bentuk elips, parabola dan hiperbola. Penjabaran dan pengambaran bentuk geometri lewat persamaan adalah suatu hal baru. Titik-titik potong pada parabola dan hiperbola kelak “disederhanakan” oleh Descartes.

“Tidak ada jalan mulus mempelajari geometri”(“There is no royal road to geometry”)

Euclid

Pemberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian

Euclid(325 – 265 SM)

RiwayatTidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama halnya seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanya prakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 - 275 SM.

Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan pada 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadi pengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita Euclid masih mengajar di akademi ini ketika Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkan dunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediterian dan negara-negara di kepulauan Yunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian. Pada tahun 332 SM, Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilan tahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepada jendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.

Universitas PtolemyPtolemy - orang terpelajar *, membangun bukan saja suatu dinasti, mencakup salah satu keturunannya yang sangat terkenal, Kleopatra, tetapi juga mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes.Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid.Euclid meninggal namun universitas Ptolemy di Alexandria terus berjalan. Salah satu murid terbesarnya – tanpa mengesampingkan teman sesama mahasiswa, adalah Archimedes. Orang Yunani dari Syracuse yang menimba ilmu di universitas, dimana salah satu pengajarnya adalah Euclid.

Pribadi EuclidEuclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan terbesar Yunani. Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalu siap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras. Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa dia adalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain mengemukakan bahwa di lahir di Megara. Memang ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara, tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari

Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama ini jamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid.

Karya besar EuclidThe Element dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, postulat (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan difinisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.

Buku I : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas Buku II : Aljabar geometriBuku III : Teori-teori tentang lingkaranBuku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkung Buku V : Teori tentang proporsi-proporsi abstrakBuku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometriBuku VII : Dasar-dasar teori angkaBuku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angkaBuku IX : Teori angkaBuku X : Klasifikasi Buku XI : Geometri tiga dimensiBuku XII : Mengukur bentuk-bentuk Buku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)

Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agar tidak terjadi salah interpretasi, maka postulat kelima juga disajikan dalam bahasa Inggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian, dirintis oleh Gauss, diawali dengan menganggap postulat kelima salah total..

1. Garis lurus dapat digambar dari (sembarang) titik sampai (sembarang) titik lainnya. 2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus. 3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jari berbeda. 4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya. 5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalam pada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jika diteruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimana sudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis. (If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side together less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are together less than two right lines)

Theorema-theorema pada Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya – Pythagoras, Eudoxus, Menaechunus, Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan mengganti dengan baru dan disederhanakan. Element menjadi – dan abadi – buku teks baku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang dicetak.Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagoras putus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah x² = 2. Euclid membuat asumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanya menyebutkan bahwa v2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangan tersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut “kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulit dibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.

Cacat pada postulat Euclid Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula. Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).

Tiga problem matematika klasikPara matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada saat itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” pada matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:

1. Persamaan pangkat 3

4x³ - 3x - a = 0

a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).

2. Menggandakan kuadrat

2x³ = y³ atau x³ = 2.

Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat dibangun kuil dan dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali.

3. Menggambar lingkaran.Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam aljabar. Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang terkenal: p dan e).

Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.

Euclid dan bilangan primaEuclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga. Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima. Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti

ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).

Kondisi sekarangApabila dahulu Euclid dipuja, sekarang keadaan berbalik. Banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran. Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.

Masa tua EuclidPindah untuk mengajar di Alexandria yang lebih kosmopolitas, modern tidak membuat Euclid gembira dibandingkan tinggal di kota-kota di Yunani yang makin lama makin sepi. Di sini dia melihat aplikasi matematika. Pompa air, air terjun buatan bahkan motor yang digerakkan tenaga uap tidak memberi makna kehidupan bagi Euclid. Ia lebih suka matematika untuk dipelajari bukan untuk aplikasi. Euclid meninggal di Alexandria.

* Seorang astronomer yang menghitung gerakan bumi, bulan dan matahari. Perhitungan ini kelak akan disempurnakan oleh Newton.

SumbangsihFormat yang dibuat Euclid membantu terjadi standarisasi matematika Yunani. Subyek-subyek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, theorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagi pengembangan matematika. Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements, menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elips mulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan.

“Berikan saya tempat untuk berdiri dan

saya akan mengangkat bumi”(“Give me a place to stand on and I will move the earth”)

Archimedes

Apabila Matematikawan dan fisikawan ikut perang

Archimedes(287 – 212 SM)

RiwayatArchimedes adalah seorang arsitokrat. Archimedes adalah anak astronom Pheidias yang lahir di Syracuse, koloni Yunani yang sekarang dikenal dengan nama Sisilia. Dia mempunyai hubungan keluarga dengan tiran (raja) Hieron II yang berkuasa di Syracuse pada jaman itu. Archimedes berteman dengan Gelon, anak Hieron II, dimana keduanya adalah matematikawan andalan raja. Membicarakan Archimedes tidaklah lengkap tanpa kisah insiden penemuannya saat dia mandi. Saat itu dia menemukan bahwa hilangnya berat tubuh sama dengan berat air yang dipindahkan. Dia meloncat dari tempat mandi dan berlari terlanjang di jalanan Syracuse sambil berteriak “Eureka, eureka!” (saya sudah menemukan, saya sudah menemukan). Saat itulah Archimedes menemukan hukum pertama hidrostatik. Kisah di atas diawali oleh tukang emas yang tidak jujur dengan mencampurkan perak ke dalam mahkota pesanan Hieron. Hieron curiga dan menyuruh Archimedes untuk memecahkan problem tersebut atau melakukan pengujian tanpa merusak mahkota. Rupanya saat mandi tersebut, Archimedes memikirkan problem tersebut. Tentang nasib tukang emas itu sendiri tidak ada yang mengetahuinya.

Masa sekolah Saat muda usia dia menuntut ilmu di Alexandria, Mesir. Pada saat itu dia menjalin persahabatan dengan dua orang “istimewa.” Teman pertama, Conon adalah matematikawan berbakat yang sangat dihormati Archimedes baik secara pribadi maupun intelektual. Teman kedua, Eratosthenes *), juga seorang matematikawan sekaligus astronom, meski mempunyai “kelainan” yaitu: suka bersolek. Dengan kedua teman ini, teristimewa Conon, Archimedes dapat berbagi pemikiran dan berdiskusi. Akhirnya, Conon meninggal dan surat menyurat antar keduanya digantikan oleh Dositheus, murid Conon. Tahun 1906, J.L. Heiberg, membuat penemuan dramatis di Konstantinopel yaitu: “surat” Archimedes kepada Erastosthenes: Theorema mekanikal, suatu metode. Dalam suratnya ini, Archimedes mengukur berat, dalam imajinasi, guna menghitung luas atau mengetahui volume (isi) sesuatu yang tidak diketahui lewat sesuatu yang diketahui, dia merintis ilmu pengetahuan berdasar penggalian fakta; fakta ini digunakan sebagai pembanding untuk kemudian dibuktikan secara matematis.Ada versi lain yang menyebut bahwa Archimedes diperkirakan berguru pada murid Euclid. Archimedes dapat disebut sebagai matematikawan sekaligus

fisikawan pertama, dimana selain menemukan “mesin perang”, alat-alat mekanis serta pompa air untuk mengangkat air sungai Nil guna mengairi (irigasi) tanah-tanah di seluruh negeri.

Sifat eksentrik ArchimedesDalam hal eksentrik Archimedes sering dibandingkan dengan Weierstrass (1815 – 1897). Menurut penuturan saudarinya, Weierstrass – pada waktu sekolah, tidak pernah diberi kepercayaan untuk memegang pinsil. Apabila memegang pinsil, maka dia akan menggambari apapun yang dianggapnya masih kosong. Dari wallpaper sampai balik kerah baju. Sebaliknya, Archimedes - belum mengenal kertas, selalu menggambar di pasir atau tanah yang lembek sebagai ganti fungsi “papan tulis.” Dia akan menggambar sesuka hatinya. Apabila duduk di dekat perapian, dia akan mengambil arang atau sisa pembakaran dan digunakan untuk menggambar. Setelah mandi, biasanya dia akan melumuri seluruh tubuhnya dengan minyak zaitun, yang lazim dipakai pada jaman itu, daripada mengenakan pakaian, dia akan menggambar diagram-diagram dengan menggunakan jari kuku dengan “papan tulis” adalah seluruh tubuhnya yang berminyak. Ada sifat yang lazim diidap oleh para matematikawan seperti: lupa makan. Sifat lupa makan Archimedes, saat menekuni problem matematika, ternyata diwariskannya kepada [Isaac] Newton dan [William Rowan] Hamilton.

Archimedes terlibat perangSaat ini Romawi adalah kerajaan dengan banyak pejabatnya korup. Di Mediteranian, sekarang Tunisia, dan kota Carthage, muncul dan menjadi penguasa dengan koloni meliputi wilayah sepanjang pantai Afrika sampai Spanyol. Romawi merasa iri hati dan menyerbu. Dua kali serangan yang disebut dengan perang Punic, mampu menaklukkan Carthage. Tetapi tidak lama kemudian, Carthage mampu bangkit kembali, sehingga memaksa Romawi kembali melancarkan serangan, perang Punic ketiga. Kali ini, tentara Romawi tidak memberi ampun lagi. Begitu dapat menaklukkan, mereka menghancurkan kota dan membunuhi para penghuninya (146 SM). Di atas adalah latar belakang terjadinya perang Punic. Selama perang Punic ini, Romawi mengirim pasukan di bawah komando Claudius Marcellus pada tahun 214 SM untuk menyerang Syracuse. Alasan utamanya adalah karena raja Syracuse menjalin hubungan dengan Carthage; alasan lain, tentara Romawi selalu dapat menaklukkan wilayah kecil dengan mudah. Tetapi saat ini mereka ketemu batunya.Tentara Romawi menyerbu Syracuse dari segala penjuru, daratan dan lautan, terhadang oleh rekayasa sains; tidak canggih namun cerdik. Penduduk Syracuse sudah diajari bagaimana menggunakan tuas (lever) dan berbagai macam bentuk pelontar, dan mereka menerapkan kemampuan ini pada perang di darat maupun di laut. Tentara Romawi dipaksa mundur dan lari lintang-pukang di bawah hantaman “badai” batu dan panah yang dilontarkan oleh ketapel-ketapel buatan Archimedes. Belum lagi adanya serangan dari pelontar tali berisi peluru dan busur kecil (crossbow) yang menembakkan anak panah besi. Serangan pasukan Romawi lewat laut, hasilnya tidak jauh berbeda, hampir

semua armada kapal perang mereka hancur. Besi-besi besar dijatuhkan oleh pasukan Syracuse lewat derek (crane) yang dibangun, mampu menenggelamkan kapal-kapal Romawi. Derek lain digunakan mengangkat kapal-kapal Romawi dan pasukan-pasukan berebut menyelamatkan diri dengan terjun ke laut. Masih ditambah dengan cermin pembakar, maka lengkaplah “derita” kapal-kapal Romawi. Seorang tua menciptakan cermin heksagonal dan di sela-sela cermin berukuran proporsional tersebut dipasang empat cermin segi empat, digerakkan dengan besi yang dibentuk seperti engsel jaman modern, diarahkan ke matahari. Berkas sinar yang dipantulkan oleh cermin-cermin tersebut diarahkan ke kapal, menimbulkan api dan kapal terbakar. Pengoperasian cermin dilakukan dari ketinggian di tengah kota oleh seorang lelaki tua.Siasat lain mulai dicari. Tentara Romawi mencoba membangun tembok di luar tembok kota, namun tidak pernah selesai dibangun. Muasalnya adalah derek dengan bandulan besi berputar mengelilingi kota Syracuse untuk menghancurkan tembok-tembok tersebut sekaligus menghalau pasukan Romawi yang akan maju.Gagal dengan serangan frontal, Marcellus menggunakan cara lain. Saat penduduk Syracuse merayakan kemenangan, diselimuti oleh gelapnya malam, dikirimlah mata-mata (Buku legendaris “Seni Berperang” Sun Tzu – hidup 500 SM, tentang penggunaan mata-mata, bab 13, bab terakhir, barangkali mengilhami atau barangkali ide dari perang Troya dengan taktik kuda Troya) untuk menghancurkan “monster-monster” ciptaan Archimedes dan membuka pintu gerbang kota. Perang berlangsung selama 3 tahun, sebelum Romawi dapat mengalahkan si kecil cerdik, Syracuse.

Penemuan-penemuan ArchimedesMinat Archimedes adalah matematika murni: bilangan, geometri, menghitung luas bentuk-bentuk geometri. Archimedes dikenal karena kehebatannya mengaplikasikan matematika. Kehebatan inilah yang akan diuraikan di bawah ini.

Archimedes berjasa menemukan ulir Archimedes, alat untuk mengangkat air dengan jalan memutar gagang alat ini dengan tangan. Penggunaan awal alat ini adalah untuk membuang air yang masuk ke dalam perahu atau kapal. Tapi dalam perkembangannya digunakan untuk memompa air dari dataran yang lebih rendah ke tanah yang lebi tinggi. Alat ini sampai sekarang masih dipakai oleh para petani di seluruh dunia. Penggunaan cermin pembakar, memberi indikasi bahwa beberapa bentuk geometri sudah diketahui Archimedes, teristimewa bentuk hiperbola. Bentuk lingkaran, elips dan hiperbola terbentuk hanya bagaimana cara kita mengiris suatu bidang. Parabola adalah bentuk istimewa: dapat “mengambil” sinar matahari, dari arah manapun, dan difokuskan pada suatu titik, dan konsentrasikan semua energi cahaya pada bidang sempit untuk dipancarkan kembali dalam berkas sinar yang sangat panas. Archimedes sudah mencoba menghitung luas parabola, elips, hiperbola dan menentukan titik pusat gravitasi pada setengah lingkaran dan lingkaran. Tidak diketahui secara pasti berapa banyak karya-karya Achimedes yang hilang atau

belum ditemukan satu yang terpenting, Metode (The Method, sebagian besar sudah ditemukan pada tahun 1906), tapi karya lain termasuk: On Spiral, On the Measuremant of the Circle, Quadrature of the Parabola, on Conoids & Spheroids, on the Sphere & Cylinder, Books of Lemmas dll. tidak sesuai dengan segala sesuatu yang dihasilkan Archimedes pada jaman Romawi. Archimedes adalah orang pertama yang memberi metode menghitung besar ? (pi) dengan derajat akurasi yang tinggi. Menghitung besar ? dilakukan dengan cara membuat lingkaran diantara dua segi enam. Luas segi enam kecil < luas lingkaran < luas segi enam besar. Dengan memperbesar jumlah segi - Archimedes membuat 96 sisi, diperoleh besaran:

3 10/71 < Л < 3 1/7(3,14084 < Л < 3,14285)

Dalam menghitung ?, jaman modern, para matematikawan mengikuti jejak Archimedes. Sebagai contoh, pada abad 17, Ludolph van Ceulen dari Jerman, menggunakan segi 262. Upaya gigih guna mencari besaran ? ini dilakukannya sampai dia meninggal. Jadi tidaklah mengherankan, apabila orang Jerman – untuk menghormati jasa, pada nisan dipahat “Angka Ludolphian” yang berarti ? di Jerman.Penggunaan tuas dalam perang dengan menciptakan crane, menunjuk bahwa Archimedes sudah memahami prinsip tuas, yaitu: dua benda yang mencapai keseimbangan berat pada suatu jarak tertentu memiliki besar yang proporsional secara timbal-balik.

Archimedes meninggalApabila pada tahun-tahun sebelumnya, penemuan-penemuan Archimedes selalu membuat pasukan Romawi frustrasi. Mereka tidak dapat menaklukan Syracuse untuk dijadikan koloni. Alat-alat mekanik ciptaan Archimedes selalu dapat mementahkan dan menghancurkan semua serangan mereka. Salah satu kisah menarik adalah tentang Archimedes dalam perang ini adalah menciptakan “cermin-cermin pembakar” yang mampu membakar kapal-kapal Romawi dari kejauhan. Tahun 212 SM, Syracuse akhirnya jatuh ke tangan Romawi, setelah terjadi penyusupan di malam hari. Singkat kata, Marcellus dengan didampingi para prajuritnya mendatangi pencipta alat yang membuat semua petaka bagi tentara Romawi. Saat itu Archimedes sedang menggambar diagram di pasir. Pikiran dan matanya hanya terpusat pada diagram-diagram yang digambarnya. Tidak memperdulikan sekelilingnya. Marcellus dan prajurit pengikutnya diam mengamati sampai akhirnya seorang prajurit kehilangan kesabaran. Seorang prajurit Marcellus datang menghampiri dan memerintahkan agar Archimedes segera menghadap komandan mereka, namun dia tidak menuruti perintah dan baru akan menghadap setelah menyelesaikan problem dan memberikan pembuktiannya. Kesabaran prajurit itu habis dan maju untuk menangkap Archimedes. “Jangan sentuh lingkaran-lingkaran yang saya buat!” adalah teriakan terakhir Archimedes ketika prajurit itu menginjak gambar diagram di atas pasir. Prajurit yang tidak

diketahui namanya itu marah, menghunus pedang dan membunuh Archimedes yang sudah berusia 75 tahun.

*) Eratoshenes (273 – 192 SM) melakukan penghitungan diameter bumi pada tahun 230 SM. Dia menengarai bahwa kota Syene di Mesir terletak di equator, dimana matahari bersinar vertikal tepat di atas sumur pada hari pertama musim panas. Eratoshenes mengamati fenomena ini tidak dari rumahnya, dia menyimpulkan bahwa matahari tidak akan pernah mencapai zenith di atas rumahnya di Alexandria yang berjarak 7° dari Syene. Jarak Alexandria dan Syene adalah 7/360 atau 1/50 dari lingkaran bumi yang dianggap lingkaran penuh adalah 360°. Jarak antara Syene sampai Alexandria +/- 5000 stade. Dengan dasar itu dibut prakiraan bahwa diameter bumi berkisar:50 x 5000 stade = 25.000 stade = 42.000 Km.Pengukuran tentang diameter bumi diketahui adalah 40.000 km. Ternyata, astronomer jaman kuno juga tidak kalah cerdasnya, dengan deviasi kurang dari 5%.

SumbangsihPrinsip-prinsip fisika dan matematika diaplikasikan oleh Archimedes baik untuk tujuan “mulia” – pompa ulir, untuk mengangkat air dari tempat yang lebih rendah maupun untuk tujuan perang. Memang tidak dapat dihindari bahwa suatu penemuan biasanya akan dipicu oleh suatu kebutuhan mendesak. Cermin pembakar, derek (crane) untuk melontarkan panah dan batu atau menenggelamkan kapal adalah penguasaan fisika Archimedes yang dapat dikatakan luar biasa pada jamannya. Kontribusi penghitungan Л (pi) dari Archimedes barangkali dapat disebut sebagai awal bagi para pengikut untuk meniru metode yang dipakai untuk menghitung luas lingkaran. Terus memperbanyak jumlah segi enam untuk menghitung besaran Л (pi) mengilhami para matematikawan berikutnya bahwa adanya suatu ketidakhinggaan - seperti paradoks Zeno, dimana hal ini mendorong penemuan kalkulus.

Music adalah pengalaman paling mengaysikan bagi pikiran manusia mulai dari berhitung tanpa menyadari bahwa yang dilakukan adalah berhitung(Music is the pleasure the human mind experiences from counting without being aware that it is counting)

Gottfried Leibnitz

Pemecah Theorema Terakhir Fermat

Andrew Wiles (1879 – 1955)

Masa kecilSewaktu berusia sepuluh tahun, Wiles pergi ke perpustakaan umum di kota kecil tempat

tinggalnya, Milton Road library, di Inggris dan mencari buku matematika. Pada saat itu dia terkesima dengan TTF (Theorema Terakhir Fermat), yang terdapat pada buku karangan Eric Temple Bell, The Last Problem yang dibacanya. Theorema, yang dianggap, sangat sederhana, sehingga anak kecilpun dapat memahaminya. Cuma menemukan pangkat x, y dan z, seperti dalam bentuk x4 + y4 = z4 aupun  x5 + y5 = z5, dan seterusnya. Tampaknya sangat mudah. Dan diketahui bahwa theorema ini sudah lebih dari tiga abad tidak dapat dibuktikan. Saya ingin membuktikannya adalah tekadnya.

Tahun 1971, Wiles masuk Merton College, Oxford dan meraih gelar B.A. pada tahun 1974. Lulus dari College ini melanjutkan lagi ke Clare College, Cambridge untuk meraih gelar doktorat. Yang menjadi pembimbingnya di Cambridge adalah profesor John Coates. Niatnya untuk membuktikan TTF tertunda karena topik yang saat itu sedang marak adalah teori bilangan tentang kurva-kurva elips. Alasan lain adalah riset untuk tujuan itu memakan banyak waktu dan tidak ada mahasiswa tingkat lanjut yang menekuninya. Akhirnya, Wiles melakukan riset pada kurva-kurva elips dalam bidang yang lebih spesifik yang disebut dengan teori Iwasawa. Sejak tahun 1977 sampai 1980, Wiles adalah peneliti junior di Clara College, Cambridge merangkap sebagai asisten profesor di Universitas Harvard. Wiles menyelesaikan disertasi, dan begitu mendapatkan gelar Ph. D, dia memperoleh kedudukan di universitas Princeton di Amerika, meski sempat mendalami matematika teori di Bonn selama beberapa bulan. Selama tahun 1985 – 1986 pernah melakukan kunjungan ke Ecole Normale di Paris. Sambil mengajar, di Princeton, Wiles meneruskan risetnya tentang kurva-kurva elips dan teori Iwasawa.

Evolusi pemikiran matematikawan “kuno”Banyak matematikawan, setelah Fermat meninggal, punya obsesi untuk membuktikan TTF. Diawali oleh Kummer yang merintis teori bilangan-bilangan ideal untuk menyelesaikan. Mampu membuktikan bahwa thorema itu benar untuk bilangan-bilangan eksponen, dimana dapat dibagi dengan bilangan-bilangan prima “biasa.”  Semua itu hanya berlaku bagi bilangan prima tanpa pola di bawah 100, yaitu: 37, 59 dan 67.

Menggunakan bilangan prima sudah diawali oleh Euler yang mampu membuktikan untuk n = 3 dan n = 4, disusul oleh Dirichlet yang membuktikan untuk n = 5. Dengan cara yang sama Gabriel Lame dan Henri Lebesgue mampu membuktikan untuk n = 7.

Gauss sebenarnya sudah berusaha membuktikan sebelum akhirnya menyerah.  Kepenasaran diteruskan oleh Dedekind yang mengembangkan teori ideal-ideal, yang merupakan abstraksi dari bilangan-bilangan ideal Kummer. Karya Dedekind ini mengilhami Barry Mazur, dimana akhirnya karya Mazur menjadi acuan Wiles untuk membuktikan TTF.

Tidak mau kalah dengan kiprah matematikawan Jerman, Poincare dari Perancis, yang sering disebut dengan universalis terakhir, memulai pembuktian. Tahun 1895, Poincare menerbitkan buku berjudul Analysis Situs. Topologi – ilmu yang mempelajari bentuk-bentuk dan permukaan-permukaan dan fungsi-fungsi berkesinambungan (continuous). Penjelasan Poincare diawali dengan melakukan penelitian terhadap fungsi Sin dan Cos

dari deret Fourier (Fourier series) sebelum akhirnya menggunakan cara invarian. Suatu fungsi invarian dalam kelompok-kelompok transformasi dikenal dengan nama bentuk-bentu otomorphik. Terus dikembangkan oleh Poincare sehingga diperoleh bentuk-bentuk modular, yang terletak pada setengah sisi atas bidang bilangan kompleks, dan merupakan geometri hiperbolik. 

“Bendera” lainTahun 1983, seorang matematikawan Jerman muda usia (27 tahun), Gerd Faltings, juga berusaha membuktikan TTF. Ketika masih berada di universitas Wuppertal, dia mampu membuktikan prakiraan (conjecture) Mordell. [Louis J.] Mordell pada tahun 1922 berpkir tentang adanya hubungan antara solusi-solusi persamaan aljabarik dengan topologi. Elemen dari topologi adalah permukaan-permukaan (surfaces) – menjelaskan bidang - dan ruang (space) untuk menggambarkan bentuk tiga-dimensi.

Pembuktian ini menjadi awal pengembangan geometri aljabarik. Faltings, dalam upaya membuktikan, mengisolasi TTF ke dalam teori bilangan.  Penemuan Faltings ini, menjadi “senjata” dua matematikawan, Granville dan Heath-Brown, untuk menemukan beberapa solusi untuk menyelesaikan TTF. Pada tahun 1983, theorema berupaya dibuktikan untuk n sampai dengan satu juta, dan pada tahun 1992 ditingkatkan lagi menjadi n sampai dengan empat juta.Ada sekelompok orang yang gemar melakukan diskusi matematika – dilakukan sambil duduk minum kopi - dimana mereka bernaung di bawah naungan nama Bourbarki *. Cetusan ide ini terjadi di  Paris oleh matematikawan universitas Paris. Anggota utama kelompok ini adalah Andre Weil (1906 -  ), yang kemudian migrasi ke Amerika dan berada di  Princeton. Anggota lain adalah Jean Dieudonne yang mengarang makalah dengan nama ‘samaran’ Bourbaki.

Andre Weil, pada kisaran tahun 1950-an, pernah bertemu dengan Taniyama dan Shimura di Jepang. Yutaka Taniyama berteman dengan Goro Shimura. Keduanya adalah lulusan universitas Tokyo tahun 1953 untuk disiplin ilmu matematika.

Diskusi Timur-BaratPada September 1955, di Tokyo diadakan simposium dengan topik teori bilangan aljabarik. Pada kesempatan ini, Andre Weil, yang sudah meninggalkan Perancis dan menjadi profesor di Universitas Chicago termasuk salah satu undangan. Lima tahun silam, Weil mengejutkan komunitas matematika pada konggres internasional, dengan mengemukakan prakiraan (conjecture) Hasse. Kedatangan Weil ini menarik perhatian Taniyama dan Shimura sehingga mereka terlibat diskusi. Matematikawan asing lain yang datang adalah Jean-Pierre Serre dari Perancis, yang masih muda usia, namun bukan termasuk kelompok Bourbaki, namun ikut terlibat diskusi ketiga matematikawan di atas. Hasilnya adalah muncul prakiraan (conjecture) Shimura yang beberapa tahun kemudian juga pindah ke Princeton sedangkan Taniyama tetap di Tokyo.  Tidak ada nama Taniyama di sini karena tanpa diketahui alasan pastinya, bunuh diri di apartemen pada tahun 1958. Prakiraan Shimura ini menyebutkan bahwa setiap kurva eliptik dengan bilangan-bilangan rasional adalah seragam dalam bentuk modular. Awal tahun 1960-an, Shimura – sudah di Princeton - bertemu kembali dengan J.P. Serre. Serre teatp tidak mau

mengakui prakiraan Shimura dan mencari dukungan dari Weil. Weil tetap tidak mau mengakui kesahihan prakiraan Shimura. Tahun-tahun berlalu dan pada tahun 1970-an, Weil mengesampingkan prakiraan Shimura, dan mencetuskan prakiraan Weil-Taniyama yang menyebut kurva-kurva eliptik modular yang kemudian disebut dengan “kurva-kurva Weil.” Seiring dengan munculnya “prakiraan Weil-Tanitama”, Serre yang tetap melakukan penelitian tentang topik itu namun tetap mengingkari nama Shimura, dan lebih percaya kepada Weil, namun juga mencetuskan prakiraan (conjecture) yang memakai namanya.

Titik terangKontroversi terus berkembang sampai akhirnya terdengar sampai “pelosok” Jerman. Gerhard Frey yang memperoleh diploma dari universitas Tubingen dan gelar Ph.D. dari universitas Heidlberg tertarik jalinan antara teori bilangan dan geometri aljabarik terhadap matematika yang berkambang selama lima-puluh tahun terakhir. Frey juga menyukai geometri artimatika sehingga mencoba menjalin semua disiplin ini ke dalam bentuk “hibrid.” Pada tahun 1970-an, Frey banyak berkecimpung dengan kurva-kurva eliptik dan persamaan-persamaan  Diophantine, dimana pada tahun 1978 membaca makalah “Kurva-kurva modular dan ideal dari Einsenstein” karya Barry Mazur dari Universitas Harvard.

Terpengaruh oleh makalah itu dan pemikiran pakar teori bilangan Kenneth Ribet dari Berkeley dan Andrew Wiles dari Princeton, Frey tertarik menekuni aplikasi kurva-kurva modular dan representasi dari Galois tentang teori kurva-kurva eliptik. Tidak hanya mau sekedar teratik, Frey, pada tahun 1981, berangkat ke universitas Harvard dan melakukan diskusi dengan Barry Mazur, disusl ke Berkeley bertemu dengan Ken Ribet.  Pulang ke Jerman, Frey membawa banyak pemikiran baru, dan pada tahun 1984 penelitiannya tentang teori bilangan diungkapkan dalam konferensi. Diungkapkannya bahwa apabila prakiraan Shimura-Taniyama terbukti benar, maka TTF dapat dibuktikan. Penyataan yang diucapkan Frey ini mengundang reaksi. Ken Ribet yang menyatakan akan berpikir kembali dan J.R. Serre – dengan surat dan nama samaran – menyatakan tidak setuju dan menyebut ulang prakiraan Serre.   

Theorema RibetKen Ribet yang memutuskan untuk berpikir ulang tentang penyataan Frey, mulai tertarik dengan TTF, berusaha menekuni matematika lebih mendalam. Bidang yang ditekuni adalah kimia di universitas Brown. Di bawah bimbingan dan pengaruh Kenneth F. Ireland, Ribet mempelajari matematika dan tertarik dengan fungsi zeta, jumlah eksponensial, dan teori bilangan. Awalnya dia tidak tertarik dengan TTF. Baginya TTF sudah ketinggalan jaman dan tidak ada prinsip yang dapat digunakan sebagai acuan untuk memecahkannya. Theorema yang harus dipecahkan oleh banyak disiplin dari matematika, lebih dari sekedar teori bilangan: aljabar, analisis, geometri dan topologi atau semua disiplin matematika.

Ribet, akhirnya, meraih gelar Ph.D. matematika dari Harvard dan menjadi profesor matematika pada universitas California dengan penelitian pada teori bilangan. Ketika mendengar pernyataan Frey dan kurva Frey yang diasosiasikan dengan kurva elips yang

berbeda dengan modular. Pada saat ada pertemuan matematika  di California pada tahun 1985, Ribet mulai memikirakan kurva Frey dan pernyataan Frey yang terus tergiang dikepalanya sampai beberapa tahun ke depan.  Ketika cuti mengajar di Berkeley, Ribet pergi ke Jerman dan melakukan penelitian matematika di institut Max Planck. Di sini, Ribet hampir dapat membuktikan prakiraan Frey.

Ketika pulang ke Berkeley, Ribet menemui Mazur yang datang dari  Harvard dan terlibat diskusi di kantin kampus universitas California. Dalam diskusi singkat ini, ucapan Mazur memberi pencerahan kepada Ribet, yang serta merta mampu membuktikan bahwa prakiraan Shimura-Taniyama adalah benar. Jalan untuk membuktikan TTF terbuka.

Prakiraan (conjecture) Shimura-TaniyamaLama melupakan obsesi masa kecil, namun dalam tahun 1985-1986, ketika sedang berada Perancis, dirinya terhentak karena ada penemuan: pembuktian yang dilakukan oleh Gerhard Frey dan Ken Ribet (mengembangkan ide Barry Mazur dan Jean-Pierre Serre) bahwa TTF dapat dibuktikan lewat prakiraan (conjecture) Shimura-Taniyama bahwa setiap kurva elips yang diketahui mengandung bilangan-bilangan rasional adalah modular.

Apabila:                      an + bn = cn

adalah contoh TTF dan dibandingkan dengan kurva elips:

                                    y2 = x(x – an)(x + bn)

bukanlah modular, sehingga tidak dapat membuktikan prakiraan Shimura-Taniyama. Prakiraan ini terus dikembangkan oleh Shimura yang sudah ada di Princeton yang kemudian disebut dengan prakiraan (conjecture) Shimura. Prakiraan Shimura menyebutkan bahwa setiap kurva eliptik dengan menggunakan bilangan-bilangan rasional adalah seragam yaitu dalam bentuk modular. Bentuk modular adalah elemen yang lebih spesifik terhadap bidang [bilangan] kompleks lebih dari sekedar fungsi-fungsi otomorphik yang digagas oleh Taniyama.

Jika kita “melipat” bidang [bilangan] kompleks sehingga menjadi bentuk “donat”, maka permukaannya akan memberi selua solusi pada persamaan-persamaan  elipstik yang menggunakan bilngan-bilngan rasional, dimana hal ini merupakan pengembangan dari persamaan-persamaan Diophantus. 

Pembuktian “perdana”Bulan Juli tahun 1993, Andrew Wiles terbang menuju Inggris. Kembali ke universitas Cambridge yang sudah ditinggalkannya selama lebih dari 20 tahun, dimana dia meraih gelar di sana. Pembimbing thesis doktoral di Cambridge, Profesor John Coates, memprakarsai konferensi tentang teori Iwasawa – suatu bidang dalam teori bilangan yang menjadi topik disertasinya dan sangat dikuasainya. Mantan mahasiswanya ini ditanya, topik apa yang akan  dibawakan? Dan apakah waktu satu jam untuk presentasi memadai?

Wiles tidak menjawab pertanyaan pertama namun  menjawab pertanyaan kedua dengan mengatakan bahwa presentasinya akan memakan waktu tiga jam.

Hampir selama  enam tahun Wiles, berusaha membuktikan TTF, dengan bekerja secara diam-diam. Rupanya otaknya sudah buntu, sehingga pada Januari 1993, idenya untuk membuktikan TTF dibocorkan  kepada orang yang amat sangat dipercayainya agar rela membantu.  Orang yang diajak berunding adalah profesor Nick Katz, rekannya di universitas Princeton. Agar diskusi diantara mereka tidak dicurigai, maka dibuat “skenario” Wiles menawarkan pelajaran tambahan kepada Katz.

Bulan Mei 1993, Wiles membuka makalah Barry Mazur dari Harvard, yang berisikan penemuan-penemuan terbaru dalam teori bilangan – penemuan yang memberi inspirasi bagi pakar pada bidang ini termasuk Ribet dan Frey, yang memberi jalan bagi Wiles. Apa yang dikatakan Mazur bahwa dapat dilakukan himpunan kurva eliptik dapat didasarkan pada bilangan prima. Ide ini mampu menjawab hambatan Wiles.

Pembuktian tidak dikirim untuk menghindari publikasi sehingga membuat orang terpicu untuk ikut-ikutan membuktikan TTF yang sudah matang guna meraih ketenaran diri. Makalah pembuktian setebal 200 halaman, mengundang keingintahuan para pakar dalam teori bilangan. Ken Ribet yang melihat makalah itu bertanya apakah pembuktian ini disertai dengan sistem Euler? Meskipun makalah sudah dibawa Wiler, namun Katz tetap memeriksa setiap bari pembuktian dan menanyakan hal-hal yang tidak jelas ke Wiles lewat email sehari dua kali. Salmapi akhirnya, Katz menemukan “lubang” pembuktian seperti yang disebutkan  oleh Ken Ribet, sistem Euler. Penemuan kesalahan pembuktian ini membuat runtuh semua harapan Wiles.

Pembuktian akhirKembali ke Princeton bulan September 1993, hatinya dipenuhi: rasa malu, terhina, marah, frustasi, semua bercampur menjadi satu. Janji pembuktian TTF yang dicanangkan hanya membuat namanya tercemar. Simpati datang dari sesama matematikawan dan menyediakan diri membantu membangun pembuktian lagi. Richard Taylor dari Cambridge datang ke Princeton untuk membantu Wiles. Taylor juga mahasiswa yang dibimbing profesor John Coates.

September 1994, senin pagi, Wiles duduk di meja kerjanya di Princeton, matanya tidak sengaja melirik berkas pembuktian yang sudah lama dibiarkan teronggok dan terpuruk di sana. Diambil dan dilihat ulang, bagian mana yang tidak mengandung sistem Euler? Dia hanya ingin tahu, demi kepuasan diri, mengapa dia salah?.

Berpikir keras selama dua puluh menit dengan menatap makalah itu. Tidak diduga, berkelebat sebuah pemikiran, dan Wiles mampu memahami semua kesalahan selama ini. Apa yang sekarang disadari oleh Wiles adalah pembuktian itu sangat sederhana dan anggun dan tampir tidak dapat dipercayainya. Ditatapnya makalah ini untuk beberapa saat. Rasanya mimpi. Pembuktian itu ditinggalkan untuk dicerna lebih lanjut. Makalah disempurnakan dan dikirimkan lewat email kepada para matematikawan di seluruh dunia sebelum akhirnya diterbitkan dalam jurnal Annals of Mathematics. Terima kasih secara

khusus diberikan kepada Richard Taylor. Upaya pembuktian TTF sudah berakhir di tangan Andrew Wiles yang menjadi mimpi dirinya semasa anak.

* [Nicolas] Bourbaki (1816-1897) adalah nama seorang jenderal Yunani yang memegang peran penting pada perang Franco-Prussia. Nama ini dipakai setelah PD II oleh orang-orang terkenal seperti Hemingway, Picasso sering duduk-duduk, bertemu teman di café-café di pinggiran jalan di Paris. Timbul keinginan matematikawan Perancis untuk melestarikan nama ini namun untuk mendiskusikan sesuatu yang spesifik …matematika.

SumbangsihKepopuleran Wiles terjadi karena memecahkan TTF – meskipun sempat salah – justru memicu orang untuk terus mengenangnya.  Problem TTF memicu banyak matematikawan menemukan metode-metode matematika baru. Pada awalnya TTF berhadiah, namun sejak PD I hadiah ditiadakan, ternyata tidak menyurutkan minat orang untuk terus mencoba membuktikannya. Nama Wiles menduduki peringkat pertama sebagai matematikawan paling dikenal yang saat ini masih hidup.

Orang rendahan membicarakan orang lain, orang agak terpandang membicarakan barang, orang besar membicarakan ide-ide.(Small people talk about other people, mediocre people about things, great people talk about ideas)

Anonymous

[Trilogi] seorang matematikawan: Jenius, kegilaan dan kebangkitan kembali

John Nash (1928  –     )

Masa kecilSeorang pengurus sekolah bernama John Nash Sr. menikah dengan seorang wanita Margaret Virginia Martin. John Nash adalah penduduk asli perdesaan di Texas namun leluhurnya berasal dari Inggris. Sangat menyukai sains dan  dan lulus sebagai insinyur listrik pada tahun 1912 dan bekerja pada GE, sebelum menjadi tentara pada PD I.  Pulang dari perang kembali ke Texas dan tidak mau bekerja di GE lagi, namun pada perusahaan yang lebih kecil. Virginia Martin adalah anak kedua seorang fisikawan, James Everett Martin. Demam semasa kecil membuat Virginia sejak remaja tuli sebelah. Menguasai bahasa Inggris, Jerman, Perancis dan Latin dan menjadi guru di desa kelahirannya. Empat tahun setelah pernikahan, lahirlah John Nash Jr. pada tanggal 13 Juni 1928.  Tidak lama disusul adik perempuan, Martha.

Masa kecilnya, relatif cukup berbeda. Apabila saudarinya, Martha, bermain atau berenang bersama-sama teman-temannya, John asyik sendirian bermain dengan pesawat dan mobil mainan. Pendidikan awal John diperoleh dari sang ibu yang masih suka bertindak sebagai seorang guru teladan. Di sekolah, John suka melamun dan nilai di bidang musik dan matematika di bawah rata-rata. Apa yang membuat John tertarik pada

matematika? Tahun 1937, terbit buku laris dari E.T. Bell, Men of Mathematics, dimana berisikan kisah-kisah para matematikawan dengan gaya tutur ‘indah’ mampu menarik perhatian John yang saat itu berusia 14 tahun. Tidak lama kemudian Pearl Harbor diserang Jepang dan pecah PD II. Timbul bayangan dalam otak John bahwa tentara Jepang akan menyerang kota mereka, dan meledakkan kereta api, dan hanya dia yang mampu memecahkan sandi-sandi mereka. Namun karena masih sekolah maka bayangan itu tidak ditanggapi dan menganggap John sebagai anak aneh. Di sekolah lanjutan, soal kimia, perlu ditulis oleh anak-anak lain di kertas, namun John cukup memandangi rumus dan menemukan jawaban – rupanya sudah tertera diotaknya. Berkat semua kecemerlangan ini membuat John mendapat bea siswa memasuki Carnegie Institute of Technology.

GeniusApa yang terjadi di Carnegie adalah titik balik sekaligus titik awal Nash terhadap  matematika? Awalnya ‘kalah’ dalam kompetisi matematika, namun hal ini membuat dia gagal masuk Harvard – syaratnya harus menjadi pemenang kontes matematika itu [Putnam]. Setahun kemudian, justru adalah kegagalan ini membuat Nash memperoleh bea siswa di Princeton yang – ternyata – menawarkan bea siswa yang lebih besar daripada di Harvard. Tahun pertama Nash adalah kesendirian, karena sulit bergaul dengan siswa-siswa lain, hanya beberapa siswa mengetahui – lewat pintu kamar yang terkuak - bahwa jendela kamarnya dipenuhi dengan rumus-rumus fisika maupun matematika. Nash hampir tidak pernah membaca buku karya orang lain, karena dianggapnya ‘mencampuri’ kemurnian ide sendiri.

Sewaktu masuk Princeton ini, Nash dapat menciptakan permainan yang merupakan kombinasi dari permainan Go dan Kriegspiel yang diberi nama, oleh kalangan kampus, Nash. Permainan ini merupakan perombakan Nash terhadap teori permainan (game theory) yang diciptakan oleh von Neumann. Dalam permainan ini pula terdapat istilah Nash equilibrium. Ketika di Princeton pula Nash pernah menemui Einstein guna mengungkapkan pemikirannya tentang gravitasi, friksi dan radiasi. Einstein dengan ramah menyarankan agar Nash  mempelajari fisika. Kelak pemikiran Nash ini dikenal dengan nama “unified field theory”, namun dicetuskan oleh fisikawan Jerman beberapa dekade kemudian. Di bawah bimbingan Tucker, Nash menulis disertasi dan lulus pada umur 21 tahun. Seperti lazimnya genius lain, maka Nash langsung diterima untuk bekerja di RAND.

Mencetuskan theorema RAND adalah singkatan dari Research And Development, yaitu ‘perusahaan’ yang didirikan untuk mengaji perang, dan tentunya demi kemenangan perang. Para pakar dari ilmu-ilmu murni (fisika, matematika) bercampur dengan ilmu ekonomi harus berkolaborasi untuk menentukan cara atau alat yang mampu membuat perang makin ‘efisien’ dan ‘efektif.’ Tidaklah mengherankan apabila rudal antar-benua (ICBM) atau Radar tercipta dari ‘perusahaan’ ini. Paul Samuelson adalah seorang pakar ekonomi dan pemenang Nobel ekonomi awalnya juga bernaung di bawah RAND.  Teori permainan dikembangkan lebih lanjut dengan memberi kondisi kompromi bukan kondisi menang-kalah (zero-sum-game) yang menjadi ciri teori permainan von Neumann. Tidak lama di

RAND, pecah perang Korea (1950-1951), dan Nash wajib milisi karena umurnya masih di antara 21 - 26 tahun. Nash, termasuk kedua orang tuanya, merasa kuatir dengan kewajiban ikut perang ini dan Nash berusaha menghindar dengan menyebut bahwa dia pernah kerja di RAND dalam rangka proyek militer dan meminta dukungan Princeton bahwa dirinya lebih berharga sebagai ilmuwan dibandingkan sebagai prajurit di lapangan.

Resep itu manjur dan Nash tidak ikut milisi. Lingkungan RAND yang sudah tidak kondusif lagi mulai ditinggal oleh para pakar-pakarnya. Nash juga ikut ke luar dan kembali ke Princeton. Beberapa bulan di Princeton, Nash mencetuskan theorema tentang manifold *. Theorema yang diberi nama theorema Nash yaitu:  apabila diketahui bentuk manifold dengan jumlah dimensi k disebut M, maka terdapat berbagai jenis aljabarik riil, V dalam bentuk R2k+1 yang terhubung dengan komponen W yang menjadi bagian dari V adalah manifold berbentuk mulus (smooth) diffeomorphic untuk M.  Rupanya Princeton tidak mau menaungi Nash lagi karena dianggap asosial dan tidak dapat mengajar mahasiswa. Nash melamar dan akhirnya diterima dengan tangan terbuka di MIT (Massachusetts Institute of Technology), yang sedang berusaha menaikkan pamornya setelah mengetahui kehebatan Nash lewat paparan theoremanya.

KeluargaGejala sakit mulai sering dirasakan oleh Nash sehingga secara rutin harus pergi ke rumah sakit untuk diperiksa. Dalam proses pemeriksaan, Nash berkenalan dengan Eleanor, seorang perawat rumah sakit di Boston, sebelum akhirnya dilanjutkan menjadi hubungan yang lebih intim. Hubungan ini berbuah dengan lahirnya seorang anak laki yang diberi nama John David pada tahun 1953. Reputasi Nash, seorang profesor, yang ‘rela’ menyunting perawat ini rupanya membuat dirinya tidak bersedia menikahi Eleanor, seperti janji semula. Pada periode ‘kekosongan’ atau perlu berpikir lagi ini muncul Alicia, seorang mahasiswi fisika. ‘Hobi’ Nash suka ke perpustakaan dan perpustakaan musik, terus dipantau dan diikuti oleh Alicia. Pada saat bersamaan proses persidangan tentang status Eleanor mencuat, disusul kepergoknya Alicia dan Nash berdua oleh Eleanor, yang membuat proses hukum (status pernikahan) menjadi makin sulit. John Nash Sr. yang berada di Bluefield bahkan mengetahui dan dengan gusar menyuruh agar Nash segera mengawini Eleanor. Untuk menghindari gunjingan Nash pergi ke New York. Alicia, kemudian, memutuskan mencari pekerjaan di New York dan tinggal di hotel. Dalam rangka kunjungan bisnis, September 1956, John Nash Sr. datang ke New York, Nash sempat menemui dan berbincang-bicang. Namun perbincangan ini adalah yang terakhir karena tidak lama kemudian John Nash Sr. terkena serangan jantung di Bluefield. Nash datang pada hari penguburan dengan memendam kesedihan yang mendalam.

Sebulan setelah John Nash Sr. meninggal, Alicia datang bersama dengan Nash guna menemui Virginia, ibu Nash, yang serta merta terkesima dengan gaya Alicia. Alicia yang saat itu sudah bekerja di sebuah perusahaan reaktor nuklir, sambil berlibur dan merayakan thankgiving bersama Martha – adik Nash yang sudah menikah - dan  Virginia. Tidak lama setelah itu, Nash dan Alicia menikah. Rupanya Virginia memberi restu.

Prestasi lainPara matematikawan awal jaman berkutat dengan kurva-kurva sederhana, dilanjutkan

dengan permukaan (surface) dan akhirnya, Riemann mencetuskan, geometri dimensi tinggi (higher dimensions). Riemann menemukan manifold-manifold dalam bidang Euclid yang sulit dijabarkan oleh para matematikawan. Bayangkan sebuah balon tidak dapat diletakkan pada papan tulis karena hanya dua dimensi (bidang), namun balon dapat menjadi bagian subset dari ruang (tiga dimensi) atau dimensi yang lebih tinggi. Theorema Nash, rumus sudah dicantumkan di atas, menyebut bahwa: segala sesuatu dengan bentuk yang mulus (smoothness) dapat ditempatkan dalam ruang Euclidian.

Ketika Nash di New York University, bekerja di Courant Institute of Mathematical, ada tantangan dari Louis Nirenberg yang memberikan problem yang belum dapat dipecahkan dalam bidang baru teori non-linier. Problem yang sudah muncul sejak tahun 1930-an dapat dituntaskan Nash. Suatu problem matematika selalu berusaha dipecahkan oleh Nash dengan jalan memutar, bukan ‘diserang’ langsung.  Begitu pula problem di atas diselesaikan dengan terlebih dahulu mengubahnya menjadi persamaan linier sebelum digunakan untuk non-linier.

Kehebatan Nash dibuktikan lagi saat dia menerima Bocher Prize dari American Mathematical Society. Kemenangan yang lebih membanggakan karena hanya untuk satu orang dan diselenggarakan setiap lima tahun, dibandingkan dengan hadiah Nobel yang diberikan setiap tahun untuk lebih dari satu orang.

Depresi?Muncul matematikawan muda usia, Paul J. Cohen yang tidak kalah dengan Nash. Reputasi Cohen menanjak pesat. Barangkali perasaan ‘takut kalah’ Nash setelah dulu ketika muda usia merasa dikesampingkan oleh von Neumann membuat Nash menderita depresi. Membawa koran yang disebutkan bahwa di dalamnya tersembunyi pesan rahasia dan bumi ada dalam ancaman kaisar dari Antartika. Setiap hari Nash membeli koran New York Times dan selalu berguman tentang perang, Paus dan hal-hal yang lain tidak ada kaitannya sama sekali. Kondisi Nash membuat semua orang yang berhubungan dengannya menjadi heran dan bingung. Alicia kemudian mengabarkan kondisi ini kepada Virginia dan Martha. Ternyata saran dari ibu dan adik Nash adalah membawa Nash dalam pengawasan dan pengobatan dari rumah sakit. Saat itu penyakit yang diidap oleh Nash belum banyak diketahui obatnya, sehingga dicoba dilakukan terapi-terapi kategori baru, salah satunya dengan memberi suntikan insulin dan yang paling membuat Alicia sedih adalah terapi shok listrik (electroshock). Beberapa bulan di rumah sakit, melihat tidak ada kemajuan, Virginia dan Martha memindahkan Nash ke rumah sakit lain. Besar biaya pengobatan membuat pihak-pihak yang pernah berhubungan dengan Nash menggalang dana, dimana Oppenheimer menjadi pemrakarsanya.

Lahirnya John Charles Alicia sedang mengandung John Charles ketika Nash masih harus menjalani perawatan di rumah sakit. Nash yang sudah sering mengancam akan menjual semua hartanya dan pindah ke Eropa, sehingga Alicia memutuskan untuk bercerai. Awalnya mereka berdua berangkat ke Perancis, namun karena Nash menjadi tidak berketentuan – karena penyakitnya, dan kehabisan uang membuat Nash sendiri sering berkelana ke Swiss, Swedia dan Spanyol, bahkan pernah meminta suaka politik di Swiss. Alicia yang merasa

sendiri dan tidak berdaya lagi kembali ke Amerika.

Kelahiran John Charles membawa beban tersendiri bagi Alicia yang harus membesarkan anak sendirian. Butuh biaya besar untuk membesarkan anak sedang Nash yang sudah kembali dari Perancis terus dirawat di rumah sakit, sehingga Alicia memutuskan untuk bercerai. Tidak lama kemudian, Virginia meninggal sedangkan pembagian warisan diatur oleh perwalian (trustee). Ke luar dari rumah sakit, Nash  pulang ke Bluefield. Lebih kurang selama satu tahun di tempat kelahirannya ini, Nash merasa terasing. Hubungannya dengan para tetangga dan terutama adiknya, Martha, memburuk. Martha menganggap Nash sudah memberi aib bagi keluarga, sedangkan Nash merasa dendam karena yang membuat dianya harus mengalami semua terapi di rumah sakit adalah prakarsa Virginia dan Martha.

Pada sisi lain, Alicia mengalami kesulitan keuangan dalam membesarkan John Charles. Beban ini, kemudian, diringankan dengan mengundang ibunya, Alicia Lopez yang sudah menjadi janda, datang mengasuh John Charles sedangkan dia sendiri kembali bekerja.  Ada beberapa hambatan sehingga akhirnya Alicia batal menikah lagi – dengan rekan Nash, dan setia menunggu Nash yang berangsur pulih. Begitu pula Nash yang kesehatannya berangsur pulih menemukan bahwa rekan, teman, sesama ilmuwan dan keluarganya seakan-akan menjauhi dirinya, tidak mempunyai pilihan lain, kembali kepada Alicia.

Memenangkan NobelAlfred Nobel menciptakan hadiah Nobel untuk bidang fisika, kimia, pengobatan, sastra dan perdamaian sejak tahun 1894. Hadiah Nobel untuk bidang ekonomi baru diadakan setelah hampir 70 tahun kemudian, dimana hadiah diprakarsai oleh Bank Sentral Swedia dan diadministrasikan oleh Royal Swedish Academy of Sciences dan Yayasan Nobel. Paul Samuelson, Gunnar Myrdal dan Kenneth Arrow adalah nama-nama ekonom yang menerima hadiah tersebut pada awal penyelenggaraannya. Pengajuan nama Nash oleh sebagian anggota komite agak mengejutkan komite penilai pada saat itu.

Alasan bahwa game theory gagasan Nash dianggap sudah kadaluwarsa dan kondisi Nash paska-schizophrenia, sudah banyak diketahui orang, dianggap tidak layak tampil di panggung kehormatan penerimaan Nobel yang akan dihadiri oleh Raja Swedia atau muncul gugatan dari pihak-pihak tertentu yang mungkin dirugikan sehingga dapat muncul istilah skandal pemberian Nobel.

Tidaklah mengherankan apabila terjadi tarik-ulur dalam komite dan waktu pengumumannya diundur lebih dari dua jam. John Nash bersama dengan John C. Harsanyi dan Reinhard Selten memenangkan Nobel ekonomi tahun l994. Apa yang terjadi di balik semua pemilihan itu tidak akan pernah terungkap, seperti yang dikatakan oleh Carl Olof Jacobson, Sekretaris jenderal, Royal Swedist Academy of Sciences, “You will have to wait to find out [the story of Nash’s prize] in fifty years. We will never reveal it.”

Paska-NobelHarold Kuhn sebagai pimpinan Princeton sudah mengetahui terlebih dahulu dan Alicia sudah diberitahu bahwa Nash akan menerima Nobel, namun ada ketentuan untuk merahasiakan. Selesai penyerahan hadiah bahkan Nash sempat bercanda dengan Raja Swedia tentang mobil. Beberapa hari kemudian, memberikan kuliah di universitas Uppsala. Kemenangan ini membangkitkan kembali gairah Nash karena banyak orang datang mengunjungi, mahasiswa meminta konsultasi darinya, memberi kuliah dan terlebih penting lagi tidak ada lagi orang menganggap dirinya sebagai ‘orang aneh’ yang selalu bergentayangan di perpustakaan Princeton. Seiring dengan kemenangan ini kondisi keuangan keluarga Nash membaik. Mampu melunasi hipotik dan mengganti atap rumah adalah beberapa hal yang dapat dilakukan keluarga Nash berkat hadiah Nobel ini.

Ketika Nash (bersama Alicia) menerima hadiah Nobel, John Charles sedang dirawat di rumah sakit. Rupanya schizophrenia merupakan penyakit keturunan, dibawa oleh chromosom. Waktu-waktu luangnya digunakan untuk mengunjung Eleanor dan John David di Boston yang kuliah bidang perawatan (nursery). John Charles yang sukses meraih gelar Ph. D tinggal bersamanya. Apabila Alicia berangkat bekerja, mereka sering sarapan bersama, diajak ke perpustakaan, bermain catur melawan komputer, dalam dalam waktu-waktu tertentu diantar oleh Nash untuk terapi karena menderita schizophrenia pula. Kondisi John Charles ini menjadi sumber problem bagi hubungan Nash dan Alicia, namun dengan kemajuan di bidang pengobatan, maka dampak penyakit itu dapat diminimalisir. John Charles juga mempunyai minat pada matematika dan ketekunan Nash dalam merawat John Charles membuat Alicia dapat memaklumi keadaan ini.

PenutupNash sendiri mengumpulkan hasil-hasil karyanya, bukan untuk diterbitkan namun digunakan sebagai bahan pemikiran bagi perjalanan hidupnya. Minat Nash sedikit berubah. Apabila dahulu menekuni matematika, sekarang menggunakan teori matematika guna memahami alam semesta (universe), seperti yang pernah diungkapkan pada pertemuan singkatnya dengan Einstein, saat masih muda. Hubungan dengan Martha kembali membaik dan Nash setiap minggu selalu menghubungi Martha lewat telepon.

Riwayat Nash tidak banyak diketahui orang apabila tidak ada riset mendalam seperti yang dilakukan oleh Sylvia Nasar yang tertuang dalam buku berjudul Beautiful Mind, The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash. Diawali dari buku ini, tidak lama kemudian dibuat film dengan judul Beautiful Mind dengan pemeran utama Russell Crowe.

Komentar tentang kehidupannya yang dibuat film, John Nash mengucapkan pesan singkat ketika pemeran dirinya, Russell Crowe, menyambangi dirinya, “You’re going to have to go through all these transformation!” Sampai hari ini kesehatan Nash terus membaik.

*) Manifold adalah suatu obyek yang tidak punya ujung atau batasan namun bukan merupakan ketakterhinggaan, namun tertutup seperti bentuk globe dan tidak mempunyai lengkungan atau permukaan yang tajam. Salah satu jenis aljabarik, seperti manifold, juga

merupakan obyek-obyek geometri yangdapat dinyatakan dalam persamaan. Contoh: x2 + y2 = 1 adalah bentuk lingkaran, sedangkan xy = 1 adalah bentuk hiperbola. Penjabaran Nash lewat manifold ini mengegerkan mengejutkan kalangan matematikawan terutama Michael Artin di MIT dan Barry Mazur di Harvard (baca: Andrew Wiles).

SumbangsihJohn Nash dengan menggunakan game theory banyak berkutat dengan problem-problem sehari-hari sehingga tidaklah mengherankan apabila mendapat Nobel dalam bidang ekonomi. Game theory versi Nash membiarkan terjadi kondisi kooperatif, dimana hal ini tidak dijelaskan dalam game theory versi von Neumann yang hanya mengenal kondisi menang dan kalah. Gagasan Nash ini, meskipun diilhami oleh perang dingin antara Soviet dan Amerika, ternyata dapat diaplikasikan dalam [transaksi] lelang, dimana pihak pemenang tidak akan terlalu mengecewakan pihak yang kalah.

Terdapat dua macam sumbangsih matematika: karya yang penting bagi sejarah matematika dan karya yang menyederhanakan kemenangan jiwa manusia.(There are two kinds of mathematical contributions: work that’s important to the history of mathematics and work that’s simply triumph of the human spirit.

Paul J. Cohen

Matematikawan yang selalu kuatir dengan kesehatannya

Kurt Godel (1906  – 1978)

Masa kecil Ayah Kurt Godel adalah Rudolf Godel yang warga negara berasal dari Wina dan ibunya bernama Marianne Hadschuh. Rudolf tidak mempunyai rencana tentang pendidikan bagi Kurt karena diharapkan akan meneruskan jabatan menjadi direktur utama bagi pabrik tekstril besar milik keluarga yang terletak di Brunn (sekarang Brno masuk wilayah Republik Czech). Ibu Kurt berasal dari Rhineland adalah anak Gustav Handschuh yang mempunyai hubungan usaha tekstil juga tinggal di Brunn. Tidak seperti Rudolf yang tidak mengenyam pendidikan, sedangkan Marianne sebaliknya pernah bersekolah di Perancis. Kurt mempunyai kakak kandung yang diberi nama sama dengan ayahnya, Rudolf. Kurt kecil hidup berkecukupan. Ketika berumur 6 tahun terserang rematik dan sembuh. Setelah umur 8 tahun mulai membaca buku-buku kedokteran untuk mengetahui penyakit dirinya sebelum diketahui bahwa jantungnya lemah dan ada kemungkinan mengalami komplikasi. Mengetahui ‘kelemahan’ dirinya, maka hari-harinya selalu dipenuhi dengan rasa kuatir tentang penyakit tersebut.

Tahun 1923, menyelesaikan sekolah menengah di Bruun dengan nilai bahasa dan matematika di atas nilai sastra dan sejarah dan memasuki universitas Wina dengan minat studi matematika atau fisika teori. Dengan dosen pengajar kompeten seperti: Furtwangler, Hahn, Wirtinger ternyata membuat Kurt sadar diri dan memutsukan bahwa matematika menjadi kuliah utama. Furtwangler,  matematikawan handal dan seorang guru teladan, 

yang harus mengajar di atas kursi roda karena tubuhnya lumpuh, rupanya memberi pengaruh besar bagi Kurt untuk menekuni matematika.

Lulus Universitas WinaKurt yang selalu kuatir dengan kesehatannya, ternyata mulai menyukai matematika dan mengikuti seminar yang diselenggarakan oleh Schlick yang membahas buku Introduction to Mathematical Philosophy karya [Bertrand] Russell.  Hahn yang menekuni dan mengajar logika menjadi dosen Kurt serta merta mengetahui bakat besar Kurt menyediakan diri apabila Kurt membutuhkan bantuannya. Tidaklah mengherankan apabila pada tahun 1929, disertasi doktoral Kurt di bawah bimbingan Hahn yang diberi judul Proving the Completeness of the First Order Functional Calculus.

Lulus dan diangkat menjadi anggota fakultas Universitas Wina terhitung tahun 1930. Jabatan pengajar positifisme logikal (logical positivism) sampai ini tahun 1938. Bersamaan dengan lulusnya Kurt, ayahnya meninggal dan meninggalkan harta yang sangat besar nilainya. Keuangan keluarga terjamin, dan ibunya lebih memilih tinggal di sebuah flat besar bersama kedua anak lelakinya. Ibu bahagia ini kembali menekuni minat lamanya yaitu mempelajari budaya Wina dan ‘rajin’ menghadiri theatre bersama kedua anaknya. Rudolf, kakak Kurt, sukses menjadi seorang radiologis.

Theorema GodelGodel dikenal lewat pembuktian “Theorema-theorema Ketidaklengkapan Godel” (Godel Incompleteness Theorems) yang dicetuskan pada tahun 1931. Godel melakukan pembuktian terhadap hasil-hasil yang diperoleh lewat sistem aksiomatik, yaitu sistem aksiomatik matematikal yang digunakan untuk membuktikan salah atau benar proposisi-proposisi yang terkandung dalam sistem aksioma. Kiprah Godel ini merupakan lanjutan dari upaya para matematikawan abad sebelumnya yang itu membakukan aksioma dalam matematika yang mendasarkan diri pada aksiomatika. Upaya paling muktahir tentang aksiomatik telah dilakukan oleh Russell dalam buku Principia Mathematica (1910-1913) yang dikarang bersama Whitehead. Matematikawan lain yang berkecimpung dalam aksiomatik adalah Hilbert yang dirombak oleh Godel. Theorema Godel memang tidak menghancurkan semua ide dasar kaum formalis, namun di sini dipaparkan bahwa sistem apapun dapat menjadi lebih komprehensif daripada yang dijabarkan oleh [David] Hilbert. Prestasi Godel ini menjadi tonggak matematika pada awal abad 20, menunjukkan bahwa matematika bukan suatu obyek yang matang, seperti yang diyakini selama ini. Implikasi lain adalah komputer tidak dapat diprogram untuk menjawab semua problem-problem matematikal. Pakar logika lain yang menekuni bidang ini adalah Zermelo yang memperoleh hasil sama dengan Godel. Mereka berdua bertemu dalam suasana damai di Bad Elster pada tahun 1931. Godel menyampaian makalah “Ketidaklengkapan” di universitas Wina pada akhir tahun 1932, sebelum diangkat menjadi dosen universitas Wina pada tahun 1933.

Pindah ke PrincetonTahun 1933, kekuatan Hitler di Jerman tumbuh. Awalnya perkembangan politik tidak mempengaruhi kehidupan Godel di Wina. Tahun 1934, Godel memberikan kuliah di Princeton tentang “On undecidable propositions of formal mathematical system.” Bahan

kuliah ini kemudian diterbitkan secara bersambung di Princeton sebelum Godel kembali ke Eropa dengan kelelahan mental. Godel memberitahu Rudolf bahwa dirinya mengalami depresi dan tinggal di Paris. Beberapa bulan Godel dirawat di sanatorium guna penyembuhan diri.

Meski sakit, namun Godel terus melakukan riset sampai akhirnya ditemukan Axiom of Choice dengan aksioma-aksioma lain untuk teori himpunan (set theory) pada tahun 1935. Dalam suatu kesempatan menjadi pembicara dalam seminar pada tahun 1936, ide-ide logika Godel ‘dibantai’ oleh para mahasiswa yang menghadiri, dimana hal ini membuat dirinya kembali mengalami depresi. Sempat mengunjungi Gottingen pada tahun 1938, dan memberi penjelasan tentang riset terhadap teori himpunan yang sedang dilakukannya. Pulang ke Wina untuk menikah dengan Adele Porkets dikenalnya sejak tahun 1927 pada  punghujung tahun 1938. Maret 1938, Austria menjadi bagian Jerman namun Godel sudah tidak tahan dengan situasi ini. Saat melakukan kunjungan Princeton untuk kedua kalinya dan mengajar pada tahun 1938 –1939, Godel akhirnya migrasi ke Amerika bersama keluarganya pada tahun 1940. Perang yang mulai pecah dan takut dengan tentara Jerman karena dirinya keturunan Yahudi membuat dia melewati Rusia dan Jepang sebelum ke Amerika.

Karya-karya Godel Tahun 1940, Godel kembali sampai di Amerika Serikat dan mendapat kewarganegaraan Amerika pada tahun 1948. Selama itu, Godel menjadi anggota tetap Institute for Advance Study sampai tahun 1953. Terhitung sejak tahun 1953 menjadi pejabat di Princeton sampai meninggalnya, tanpa ada kewajiban untuk mengajar. Pada saat itu pula di Princeton berkumpul ilmuwan-ilmuwan seperti Einstein dan von Neumann. Barangkali pengaruh Einstein pula, Godel juga tertarik dan memberi sumbangsih dalam teori relativitas.  Godel memperoleh penghargaan Einstein (Einstein Award) pada tahun 1951. Menjadi anggota Royal Society, London Mathematicak Society, Institute of France. Menolak kehormatan yang akan diberikan oleh Akademi Sains di Wina dan penghargaan yang ditawarkan oleh Pemerintah Austria karena perlakuan pemerintah terhadap keluarganya dianggapnya tidak adil.  Ibunya meninggalnya kota Wina pada tahun 1937, dan memilih tinggal di vilanya di Brno. Rudolf tetap tinggal di Wina sampai 1944 sambil berharap Jerman kalah dan pada tahun itu pula ibunya kembali dan tinggal bersama Rudolf di Wina. Setelah pe         rang berakhir vilanya di Brno diperebutkan antara Pemerintah Austria dan Czech, dan hanya keluarganya hanya menerima sepersepuluh. Rupanya hal ini yang membuat Godel berang dan tidak ingin kembali ke Austria lagi.

Di Amerika Godel mengeluarkan karya besarnya Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory pada tahun 1940. Lewat karya ini, Godel membuktikan bahwa sistem aksiomatik teori himpunan yang dicetuskan oleh Russell dan Whitehead dalam Principia Mathematica adalah konsisten, dan akan tetap konsisten meski ditambah dengan aksioma pilihan dan hipotesis-kontinuum yang digeneralisasi. Kelak bidang kajian ini dikembangkan lebih lanjut oleh Cohen pada tahun 1963.

Masa akhirGodel selalu merasa kuatir dengan kesehatannya sendiri dan terlalu keras kepala menerima pendapat orang lain. Disebutkan oleh Rudolf bahwa Godel belajar mengobati diri sendiri selain mempelajari matematika.  Hal ini membuat dokter sulit menangani pendarahan pada usus duabelasjari Godel. Selalu menjaga makanan (diet) dengan ketat sehingga berat badannya dengan cepat merosot. Adeli, istrinya, selalu memberi dukungan, namun akhirnya mengalami dua kali stroke dan harus dioperasi. Menjelang kematiannya, Godel masih mempunyai pikiran bahwa dirinya diracuni. Pada masa tua ini Godel tidak pernah bepergian atau mengajar lagi, namun hanya menyukai diskusi tentang filsafat saja. Setelah lama dirawat di rumah sakit Princeton akhirnya Godel meninggal pada tanggal 14 Januari 1978 dengan meninggalkan warisan berupa ide-ide cemerlang yang membantu para matematikawan yang hidup di kemudian hari.

SumbangsihSistem aksioma dengan menggunakan proposisi-proposisi ini mendasari perkembangan ilmu logika dan pada akhirnya menjadi struktur pemrograman komputer. Godel mempercepat revolusi program komputer dengan melengkapi apa yang sudah dirintis oleh [George] Boole dan memperbaharui aksiomatik dari Russell dan Whitehead.

Andre Weil(1906 – 1998)

Masa kecilAndre Weil lahir di Paris, anak pasangan suami-istri keturunan Yahudi. Belajar matematika di universitas Paris, dilanjutkan di Roma dan Gottingen. Memperoleh gelar D. Sc. dari Universitas Paris pada tahun 1928. Setelah lulus, Weil mulai mengajar di Universitas Aligarh Muslim di India dari tahun 1930 – 1932, disusul  di Universitas Strasbourg, Perancis mulai tahun 1933 sampai pecah PD II. Perang adalah malapetaka bagi Weil dan berusaha keras menghindari wajib militer. Weil meninggalkan Paris menuju ke Firlandia sampai perang pecah dan tetap berusaha menolak menjadi tentara, namun hal ini tidak mudah karena seluruh Eropa dilanda perang. Akhirnya, Weil ditangkap di Firlandia karena tuduhan mata-mata dan selamat dari hukuman tembak karena campur tangan Rolf Nevanlinna. Weil kemudian dipulangkan ke Perancis dan dimasukkan ke dalam penjara. Kehidupan Weil, pada saat itu ibarat telur di ujung tanduk. Sebagian karena Weil keturunan Yahudi dan sebagian lainnya, karena saudarinya, Simone Weil, adalah seorang filsuf yang menjadi tokoh utama penentang (oposan) pemerintah Perancis. Memahami situasi sulit ini, akhirnya, Weil memilih menjadi tentara. Kesediaan ini membuat Weil dikeluarkan dari penjara dan ingin ‘mengabdi’ sebagai tentara sebatas ketentuan saja. Begitu ada kesempatan, Weil langsung ke Amerika.

Nama Weil tercemarNama Weil mencuat pada saat orang berusaha memecahkan theorema Fermat yang akhirnya dapat dibuktikan oleh Andrew Wiles (baca:Andrew Wiles). Weil mencetuskan prakiraan (conjecture) Weil-Taniyama yang ternyata merupakan contekan (plagiat). Untuk mengetahui kisah ini harus dirunut kembali pada masa tahun 1950-an di Tokyo. Ada dua orang bersahabat lulus dalam bidang matematika yaitu Yutaka Taniyama dan

Goro Shimura. Keduanya selalu bertemu dan berdiskusi tentang matematika dan mereka berdua juga ikut membantu mengorganisasi untuk penyelenggaraan simposium Tokyo-Nikko pada tahun 1955 dengan pokok bahasan teori bilangan aljabarik.

Dalam simposium itu, Weil bertemu dengan mereka berdua, sambil ditemani oleh [Jean-Pierre] Serre, Nama Weil, saat itu, dalam kapasitasnya sebagai profesor universitas Chicago, sangatlah terkenal. Bagi kedua pemuda Jepang nyang belum dikenal ini, simposium ini membuka kesempatan untuk melanjutkan studi di Eropa atau Amerika. Beberapa tahun kemudian, Shimura berangkat ke Paris, sebelum akhirnya menetap di Princeton. Taniyama, tanpa alasan yang jelas, bunuh diri pada tahun 1958.

Selama di Princeton ini, Shimura mengemukakan prakiraan (conjecture) yang menyatakan bahwa setiap kurva eliptik laksana bagian dari gunung es yang muncul di atas permukaan air sehingga dapat dapat disebut dengan kurva modular. Sempat bertemu dengan Serre yang merasa skeptis dengan prakiraan tersebut sebelum mengemukakannya kepada Weil. Tidak lama Weil menerbitkan  makalah tentang toik di atas dengan adaptasi sehingga muncul prakiraan Weil-Taniyama menggantikan Shimura-Taniyama. Prakiraan ini tidak ada yang perduli, namun pada tahun 1995-an banyak matematikawan mengetahui kejanggalannya dan merujuk kembali kepada nama Shimura-Taniyama sebagai pencetus awal. 

Selain kisah ‘plagiat’ itu, Weil memberi temuan penting dalam menemukan hubungan antara topologi dan teori bilangan, formulasi ini lebih dikenal dengan sebutan conjecture Weil (kelak akan dibuktikan oleh Grothendieck dan Deligne); teori himpunan (group theory); “hipotesis Riemann” bagi bidang-bidang fungsi (function fields), meletakkan dasar mekanika kuantum; teori modern tentang variasi-variasi Abelian; dasar teori bentuk-bentuk modular. Teori modular ini memberi jalan buat pembuktian TTF. Kajian Weil juga mencakup bidang di luar matematika, seperti fisika partikel dasar dan string theory.

Karya-karya Weil yang terkenal adalah Foundations of Algebraic Geometry (1946) dan Elliptic Functions According to Einsenstein dan Kronecker (1976).

Kelompok Bourbaki Banyak buku-buku matematika terkemuka yang terbit di Perancis, dalam bahasa Perancis, dengan pengarang Nicolas Bourbaki. Nama ini adalah nama seorang jenderal Yunani kuno (1816-1897), dimana pada tahun 1862 ditawari tahta Yunani, namun ditolak. Jenderal ini memegang peran besar pada perang Franco-Prusia, dan patungnya terdapat di kota Nancy. Apa hubungan jenderal dengan ini dengan matematika? 

Alkisah, setelah PD I berakhir, Hemingway, Picasso dan Matisse sering duduk-duduk bertemu dengan teman-teman lama mereka di café, tidak jauh letaknya dari Universitas Paris, dimana saat ini mempunyai komunitas matematika.

Di AmerikaMenuju ke Pennsylvania  yang mengajar di Haverford College dan Swarthmore College

terhitung tahun 1941, sebelum mengajar di Universitas Sao Paulo, Brazil, pada tahun 1945. Selama da tahun di Brazil, sebelum kembali ke Amerika pada tahun 1947 dan mengajar di universitas Chicago sampai tahun 1958. Lepas dari universitas Chicago mulai bekerja di Institute for Advance Study di universitas Princeton (baca pula: Kurt Godel dan John Nash).  Pensiun pada tahun 1976 dan diangkat menjadi profesor emiritus.

Para profesor pengajar sering  menemui teman-temannya di café-cafes tersebut  dan berdiskusi tentang …matematika. Nama Bourbaki tercetus karena setiap tahun Universitas Paris selalu menghadirkan aktor profesional yang mengatasnamakan fakultas dan para lulusan yang menyebut dirinya Nicolas Bourbaki. Di balik semua karya matematika ini, rupanya Weil bersama dengan [Jean] Dieudonne dan rekan-rekannya, para ilmuwan Perancis menulis banyak artikel dengan nama samaran Nicolas Bourbaki, proyek yang dimulai pada awal tahun 1930-an ini mempunyai misi yaitu memberi gambaran komplit tentang matematika.

Tahun 1979, Weil menerima penghargaan Wolf Prize dan pada tahun yang sama American Mathematical Society memberi Steele Prize. Jepang juga memberi penghargaan kepada Weil pada tahun 1994 yaitu Kyoto Prize dari Inamori Foundation of Japan.

SumbangsihTerlepas dari tragedi plagiat, sumbangsih Weil terhadap perkembangan matematika cukup besar terutama prakiraan (conjecture) yang mengabadikan namanya sehingga teori modular memperoleh momentum. Kelak teori inilah yang mendasari Wiles membuktikan TTF.

Tetaplah tegar pada sikap menolak anda agar selalu menaruh perhatian terhadap pelajaran aljabar. Dalam dunia nyata, saya jamin, tidak ada sesuatupun yang mirip dengan aljabar. (Stand firm in your refusal to remain conscious during algebra. In real life, I assure you, there is no such thing as algebra) 

Fran Lebowitz

Matematikawan perintis institut matematika

Richard Courant (1888 – 1972)

Masa kecil Richard Courant (untuk selanjutnya disebut Courant) mempunyai ayah bernama Siegmund Courant dan ibunya bernama Martha Freund. Siegmund mempunyai kakak lelaki bernama Jakob, namun hubungan mereka berdua tidak akur. Pada waktu Courant lahir, saham perusahaan keluarga milik Siegmund yang berada di Lubliniec (sekarang masuk Polandia) dijual dan mereka sekeluarga pindah ke Glantz dan membeli suatu usaha di Glantz ketika Courant berusia 3 tahun dan adik ketiganya masih bayi.

Saat Courant berusia 9 tahun, mereka sekeluarga pindah lagi ke Breslau. Rupanya kepindahkan ke Breslau dengan membeli suatu perusahaan di sana, setelah terlebih dahulu menolak saran dari Jakob, membuat problem sendiri. dan Courant bersekolah di sana. Pada awal sekolah ini Courant sudah berusah-payah namun nilai matematika yang didapat jauh dari memuaskan.

Umur 14 tahun, Courant mulai dapat mencari uang sendiri guna membiayai hidup dengan cara memberi bimbingan atau les. Tragedi tidak dapat ditolak, usaha keluarga yang dikelola Jakob bangkrut dan Jakob bunuh diri. Semua saudaranya menyalahkan Siegmund dan Martha yang tidak mau meneruskan bisnis keluarga. Tidak lama usaha Siegmund bangkrut dan Siegmund bekerja pada sebuah perusahaaan asuransi di Breslau sedangkan Courant mulai menghadapi kesulitan, baik dalam sekolah maupun memberi les. Peruntungan dicoba diperbaiki Siegmund dengan pindah ke Berlin pada tahun 1904, sedangkan Courant mencari pondokan di Bleslau dan tetap memberikan les.

Asisten Hilbert Meskipun tidak lulus ujian masuk universitas, namun pada tahun 1905, Courant mampu menghadiri kelas matematika dan fisika di Universitas Breslau. Tahun 1906, lulus tes masuk universitas, terus belajar dan sekarang secara resmi tercatat sebagai mahasiswa. Pelajaran fisika yang menjadi minat utamanya namun dalam penyajiannya membuat dirinya tidak suka dan menjadi lebih tertarik dengan matematika.

Courant diajar oleh dosen-dosen matematika ternama seperti: [Adolf} Kneser, [Georg] Landsberg an [Jakob] Rosanes. Semua dosen hebat ini ternyata belum mampu membangkitan gairah matematika Courant. Semasa bersekolah di Breslau ini, Courant mempunyai dua orang teman baik: Otto Toeplitz dan Ernst Hellinger.

Umur mereka berdua  terpaut beberapa tahun dengan Courant dan mereka meneruskan kuliah di Gottingen dimana setelah beberapa tahun memberitahu  Courant bahwa kuliah Hilbert di Gottingen sangat menarik. Mengetahui hal ini Courant pergi meninggalkan Breslau pada awal tahun 1907 dan masuk universitas Gottingen pada bulan November 1907.

Courant mulai kuliah matematika yang dibawakan oleh Hilbert dan Minkowski dan diperkenankan mengikuti seminat dari kedua matematikawan terkemuka Gottingen ini dalam fisika matematikal. Masih ada waktu luang, Courant juga mengambil kuliah di bidang fisika dan filsafat. Asisten Hilbert sudah lulus doktoral dan Courant ditunjuk untuk menggantikannya dan peristiwa ini terjadi pada tahun 1908. Empat semester pertama Courant menjadi asisten Hilbert untuk bidang analisis yang ternyata menjadi subyek yang mampu menarik hatinya.

Ikut perang Courant memperoleh gelar doktorat Gottingen di bawah bimbingan Hilbert pada

tahun 1910 dengan tesis berjudul On the Application of Dirichlet’s principle to the problems of conformal mappings pada tahun 1910.  Akhir tahun 1910, Courant wajib mengikuti milisi. Pada saat bersamaan Hensel memberi tawaran mengajar di Marburg karena Gottingen belum memberi tawaran, namun begitu Courant akan membalas tawaran Hensel, Hilbert menyarankan agar tetap di Gottingen dan meninggalkan milisi. Hilbert juga bersedia membewi tunjangan kepada kedua orang tua Courant yang masih tinggal di Berlin.

Kembali Courant menekuni prinsip Diricletsebelum akhirnya lulus pada tahun 1912 dan menjadi dosen pengajar di Gottingen sampai mulainya Perang Dunia I. Begitu lulus ini, Courant langsung menikah dengan Nelly Neumann, bekas temannya sewaktu di Breslau yang juga seorang matematikawan.

Perang pecah dan Courant terdaftar sebagai pasukan. Sebelum perang, Courant terserang penyakit tipus. Begitu sembuh langsung ikut perang, namun karena mengetahui bahwa hampir semua rekan sesama pasukan meninggal,  Courant mendaftar sebagai prajurit yang bertugas merancang sistem telegrap, sehingga dia harus kembali ke Gottingen untuk mendiskusikan hal ini. Gagasan yang timbuk diaplikasikan dengan menciptakan kotak yang mampu mengtransmisikan  sinyal, untuk kemudian dibawa kembali ke tengah medan perang.  Kembali ke Gottingen Akhir tahun 1915, Courant terluka dan dipulangkan. Tidak lama bercerai dengan Nelly Neumann. Beruntunglah Courant terluka, tertolong kotak ciptaannya, karena tugas hanya memberi pelatihan cara menggunakan bukan terjun sebagai prajurit ke kancah perang. Pada masa perang inipun, Courant selalu membawa penelitian matematika.

Sewaktu Springer menerbitkan jurnal baru Mathematische Zeitschrift pada awal tahun 1918, makalah karya Courant muncul pada edisi kedua jurnal tersebut. PD I berakhir dan Courant kembali ke Gottingen. Menikah kembali dengan Nerina Runge sambil terus melakukan penelitian matematika. Pada awal tahun 1920, Courant menjabat sebagai kepala departeman matematika di Munster, menggantikan Killing yang pensiun. Rupanya kepergian Courant membuat Gottingen merasa kehilangan sehingga Hilbert dan Klein  mengundang kembali Courant untuk menggantikan Hecke yang pindah ke Hamburg.

Tahun 1922, Courant mencetuskan gagasan mendirikan Institut matematika yang pada awalnya masih belum mempunyai gedung kuliah, dimana gedung baru dibangun pada tahun 1927. Tahun 1922, Courant meneribitkan buku tentang teori fungsi. Sempat berkolaborasi dengan Hurwitz yang meninggal pada tahun 1919, namun karya yang berasal dari bahan kuliah Hurwitz ditambah dengan beberapa bahan baru.

Migrasi ke Amerika Masa tenang ini membuat Courant produktif. Pada tahun 1924 bersama dengan

Hilbert menerbitkan buku teks Methoden der mathematischen Physik. Di sini, kembali, peran Courant adalah mengkompilasi bahan-bahan kuliah Hilbert, dan diberi tambahan disana-sini. Minat tampak Courant pindah ke fisika matematikal, karena pada tahun berikutnya, setelah mempunyai asisten, Friedrichs, Courant menulis lanjutan Courant-Hilbert tentang topik di atas. Institut Matematika sudah hampir berdiri sendiri pada tahun 1928 dan berjalan penuh pada penghujung tahun 1929. Tahun 1932, Courant diundang mengajar di universitas-universitas ternama di Amerika.

Begitu Nazi dan Hitler mulai berkuasa pada tahun 1933, Courant meninggalkan Gottingen dan berlibur ke Swiss sambil berusaha menyelesaikan jilid kedua Courant-Hilbert dengan bantuan Friedrich. Rencana cuti ini akhirnya di luar rencana karena alasan politis. Ke luar larangan agar semua keturunan Yahudi tidak boleh lagi memegang jabatan di universitas dan jabatan-jabatan lain atau dipensiun lebih cepat. Weyl  ditunjuk menggantikan posisinya di Institut matematika, sedangkan Courant sendiri diberi penawaran mengajar di Istambul. 

Awalnya menerima tawaran ke Cambridge, namun akhirnya hanya bertahan  setahun sebelum berangkat ke universitas New York. Sebagai perintis dan tidak ada matematikawan handal membuat Courant sulit mengembangkan gagasan  Institut matematika seperti di Gottingen.

Kebijakan Hitler membuat banyak matematikawan Jerman pindah ke Amerika, termasuk asistennya, Friedrich, pada tahun-tahun menjelang PD II. Lewat kampanye dan menggalang dana dari orang-orang Yahudi yang tinggal di New York, Courant mampu mengembangkan Institut dan menarik matematikawan dari universitas lain maupun menampung matematikawan yang berasal dari Jerman. Diketahui bahwa John Nash sempai ‘mampir’ di New York sebelum ke Princeton.

Masa tuaTahun 1940-1941 mengarang buku bersama Herbert Robbins, seorang topologis muda dari Harvard, berjudul What is mathematics? Buku ini sangat terkenal dan masih dicetak sampai hari ini (direvisi oleh Ian Stewart, Mathematics Institute universitas Warwick). Courant memberikan aplikasi metode numerikal guna menyelesaikan problem torsi pada tahun 1943, meskipun baru terbit pada tahun 1960.

Terhitung mulai tahun 1947 sampai meninggalnya, hampir setiap tahun Courant pergi ke Jerman, namun tidak ada keinginan untuk menetap lagi. Kedudukan bergengsi sebagai direktur Institute of Mathematical Science di universitas New York yang terus dijabat sampai tahun 1958, dan pada tahun 1964, untuk menghormati, nama institut diubah menjadi Institut Courant. Adalah sebuah ironis, sukses Institut Gottingen diadopsikan di Amerika sedang di Gottingen sendiri akhirnya tidak berkembang.

Diserang stroke, dan harus tinggal di rumah sakit selama dua bulan, sebelum akhirnya Courant meninggal.

SumbangsihPeninggalan utama dari Courant tidak pelak lagi adalah buku What is mathematics? Buku ini berisi pandangan Courant, namun penyajian yang sederhana dan menarik menjadikan buku ini buku teks klasik untuk matematika. Sumbangsih lain adalah mengembangkan Institut di New York dengan reputasi tidak kalah dengan Harvard dan Princeton yang dianggap sebagai acuan bagi para matematikawan terkemuka.

Apabila Anda tidak dapat menyelesaikan problem, maka ada problem termudah yang tidak dapat Anda selesaikan: menemukannya.  (If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can’t solve: find it)

George Polya

Bapak problem solving

George Polya(1887 – 1985)

Masa kecilPasangan suami istri berdarah Yahudi, Jakab Polya dan Anna Deutsch, menikah dan lahirlah Geolge Polya sebagai anak keempat dari lima bersaudara. Keluarga ibu sudah beberapa generasi tinggi di kota Buda, namun pada tahun 1872, kota Buda digabung dengan kota Obuda dan Pest dan hasil merjer kota ini adalah kota Budapest. Meskipun menyandang  nama Polya sebagai nama keluarga dan anaknya awalnya bernama Gyorgy (kemudian disebut George) ketika baru lahir, namun nama Polya ini hanya disandang selama lima tahun. Jakab Polya berganti nama menjadi Jakab Pollak. Untuk mengetahui pergantian nama ini, kita perlu mengetahui karir Jakab dan sedikit tentang sejarah Hongaria.

Jakab adalah seorang pengacara, dan kantor hukum ini kemudian bangkrut sebelum bekerja pada perusahaan asuransi. Minat Jakab sesungguhnya adalah karir dalam bidang akademis dan melakukan riset subyek yang disukainya yaitu: ilmu ekonomi dan statistik. Tahun 1867, Hungaria terbebas dari sistem monarkhi, dimana pada saat ini Jakab melihat kesempatan untuk menekuni subyek yang diminati. Untuk memperbesar peluang masuk universitas, maka Jakab mengubah nama Yahudi menjadi nama yang berkesan orang Hongaria asli yaitu Pollak. Semua ini terjadi pada tahun 1882 sebelum Jakab diangkat menjadi dosen di universitas Budapest, namun jabatan itu tidak lama diembannya karena pada saat umur George 10 tahun, Jakab meninggal.

Mempelajari bahasaAnna Deutsch yang berusia 44 tahun berusaha payah guna menghidupi 5 anak. Kakak laki sulung,  Jeno, sedang kuliah di bidang kedokteran, sedangkan dua kakak

perempuannya, Ilona dan Flora terpaksa bekerja sebagai karyawan perusahaan asuransi. George mempunyai seorang adik lelaki, Laslo, yang sangat cerdas, namun tidak berumur panjang karena meninggal ketika berkecamuk Perang Dunia I. Minat utama Jeno sebenarnya adalah matematika, namun salah kuliah di bidang kedokteran, dimana minat ini rupanya justru menjadi jalur hidup adiknya, George.

Ibunya ingin agar George meneruskan  profesi ayahnya sebagai seorang pengacara dengan kuliah di bidang hukum. George lulus sekolah dasar pada tahun 1894, sebelum melanjutkan di Daniel Berzsenyi Gymnasium guna belajat bahasa Yunani klasik dan bahasa Latin selain bahasa Jerman modern maupun bahasa asli Hongaria. Minat George adalah biologi dan studi kepustakaan, namun menonjol dalam bidang geografi dan subyek-subyek lain. Matematika bukan bidang yang disukai George. Di sekolah, nilai mata pelajaran geometri mendapat nilai sedikit lebih baik dibanding aritmatika. Disinyalir bahwa cara mengajar guru yang salah membuat anak tidak dapat berprestasi.

Banting ‘setir’George lulus dan masuk universitas Budapest pada tahun 1905 dengan biaya  ditanggung oleh Jeno yang sudah menjadi seorang ahli bedah. Awalnya George mengambil jurusan hukum, namun hanya bertahan satu semester karena dianggapnya membosankan. Banting setir dengan belajar berbagai bahasa dan kepustakaan yang menjadi minat utamanya, namun bertahan selama 2 tahun yang memperoleh sertifikat sebagai bekal untuk mengajar bahasa Latin di sekolah menengah. Kecewa dengan kenyattan ini, George memutuskan untuk belajar filsafat, namun seorang profesor, Bernat Alexander, menyarankan agar George mengambil mata pelajaran fisika dan matematika untuk membantu memahami filsafat. Nasihat ini dituruti dan George belajar matematika. Disebutkannya bahwa fisika terlalu sulit dan filsafat terasa terlalu mudah, sedang matematika berada di tengah-tengah.

Di universitas Budapest, Polya belajar fisika di bawah Eotvos dan matematika dibimbing oleh Fejer. Fejer, pada saat itu, adalah salah seorang matematikawan terkemuka  Hongaria. Bersama Fejer, Polya membuat karya-karya kolaborasi, dimana pengartuh Fejer *) sangat terasa pada karya-karya Polya di kemudian hari.

Tahun 1910 - 1911, Polya kuliah di universitas Vienna, dengan uang yang diperoleh lewat mengajar anak-anak orang kaya sebagai dosen pribadi. Di sini, kembali, Polya mendapatkan matematika dari tangan Wirtinger dan Mertens meskipun menambah pengetahuan fisika dengan kuliah teori relativitas, optik dan topik-topik lainnya.

Tahun berikutnya, Polya kembali ke Budapest dan dianugerahi dengan gelar doktorat di bidang matematika, terutama, dengan belajar sendiri, teori probabilitas geometri. Tahun 1912 dan 1913 kembali menekuni matematika di Gottingen lewat kumpulan matematikawan terkemuka di dunia seperti: Hilbert, Weyl, Edmund Landau, Runge, Courant, Hecke dan Toeplitz.

Pergi dari GottingenPolya meninggalkan Gottingen dalam situasi yang kurang menguntungkan. Dalam perjalanan dengan menggunakan kereta api, Polya terlibat pertengkaran dengan seorang anak muda. Diawali dengan koper jatuh, sebelum akhirnya Polya meninju telinga anak itu. Anak muda itu ternyata adalah anak seorang terpandang dan juga seorang mahasiswa di Gottingen. Kembali ke Gottingen, senat universitas memerintahkan agar Polya meninggalkan Gottingen.

Sempat mendapat tawaran di Frankfurt, namun sebelum mengambil keputusan, dia berangkat ke Paris untuk kunjungan singkat, yaitu menemui Emile Picard dan Hadamard. Akomodasi sangat sulit karena Perang Dunia I tengah berkecamuk.  Setelah Fejer, pandangan matematika Polya sangat dipengaruhi oleh matematikawan idolanya, Hurwitz. Selama kunjungan ke Paris ini, sempat bertemu dengan Hurwitz yang mengupayakan agar dirinya dapat diterima sebagai dosen di ETH (Einstein lulus dari sekolah ini), Zurich, dimana Hurwitz adalah pemimpin departemen matematika.

Mengajar bersama Hurwitz, Geiser, Bernays, Zermelo dan Weyl di Zurich ini rupanya salah waktu karena pada tahun itu pula pecah PD I.  Meskipun Polya tidak dipilih sebagai tentara Hongaria karena cedera  ketika bermain sepak bola, namun kehidupan menjadi sangat sulit. Tentara Hingaria yang tidak banyak akhirnya harus memanggil Polya, namun ditolaknya. Konsekuensinya adalah ketika perang usai, Polya tidak diterima di Hongaria. Mengetahui hal ini, Polya menjadi warga negara Swis dan menikah dengan wanita Swis, Stella Vera Weber, yang tidak lain adalah anak seorang profesor fisika di universitas Neuchatel. Meskipun rindu dengan kampung halaman, namun niatnya baru terlaksana pada tahun 1967.

Karya kolaborasi PolyaPolya bertemu dengan Szego di Budapest pada kisaran tahun 1913, ketika yang baru saya pulang menuntut ilmu di mancanegara. Szego pada saat itu masih mahasiswa di Budupest dan bersama dengannya Polya mendiskusikan praduga (conjecture) karyanya terntang koefisien-koefisien Fourier. Szego tertarik untuk membuktikan praduga Polya yang dijadikan karya publikasi perdananya. Beberapa tahun kemudian, ketika Polya memutuskan untuk menulis buku tentang problem-problem dalam analisis, maka dia meminta bantuan Szego dan hampir selama dua tahun mereka bekerja bersama.

Hasilnya buku karya Polya dan Szego tentang problem-problem dalam analisis sangat berbeda. Polya menjelaskan bahwa bukan problem yang menjadi subyek, tapi metode dalam solusi lebih menjadi penekanan. Mereka bersama-sama menemui penerbit pada tahun 1923 dan karya mereka diterbitkan dalam dua jilid.

Tahun 1920, Polya diangkap menjadi profoseor luar biasa di ETZ disusul memperoleh bea siswa dari Rockefeller (Rockefeller Dellowship) pada tahun 1924, yang memungkinkan dirinya belajar bersama Hardy di Inggris. Mulai tahun itu, Polya terkadang berada di Oxford atau Cambridge, bekerja bersama Hardy dan  Littlewood. Buku karya trio matematikawan ini terbit pada tahun 1934 dengan judul Inequalities. Sambil mengerjakan buku itu, Polya juga membuat 31 makalah pada kurun waktu 1926-

1928. Jangkauan topik, kedalaman dan banyaknya publikasi yang dilakukannya membuat diangkat menjadi Ordinary profesor di ETH pada tahun 1928.

Matematikawan generalisPolya layak disebut matematikawan paling berpengaruh pada abad 20. Riset mendasar yang dilakukan pada bidang analisis kompleks, fisika matematikal, teori probabilitas, geometri dan kombinatorik banyak memberi sumbangsih bagi perkembangan matematika. Sebagai seorang guru yang piawai, minat mengajar dan antusiasme tinggi tidak pernah hilang sampai akhir hayatnya. 

Semasa di Zurich-pun, karya-karya di bidang matematika sangat beragam dan  produktif. Tahun 1918, mengarang makalah tentang deret, teori bilangan, sistem voting dan kombinatorik. Tahun berikutnya, menambah dengan topik-topik seperti astronomi dan probabilitas. Meskipun pikiran sepenuhnya ditumpahkan untuk topik-topik di atas, namun Polya mampu membuat hasil mengesankan pada fungsi-fungsi integral.

Tahun 1933, Polya kembali mendapatkan Rockefeller Fellowship dan kali ini dia pergi ke Princeton. Saat di Amerika, Polya diundang oleh Blichfeldt untuk mengunjungi Stanford yang menarik minatnya. Kembali ke Zurich pada tahun 1940, namun situasi di Eropa – menjelang PD II, memaksa Polya kembali ke Amerika. Bekerja di universitas Brown dan Smith College selama 2 tahun, sebelu menerima undangan dari Stanford yang diterimanya dengan senang hati.

Sebelum meninggalkan Eropa, Polya sempat mengarang buku How to solve it yang ditulis dalam bahasa Jerman. Setelah mencoba menawarkan ke berbagai penerbit akhirnya dialihbahasakan ke dalam bahasa Inggris sebelum diterbitkan oleh Princeton. Buku ini ternyata menjadi buku best seller yang terjual lebih dari 1 juta copy dan kelak dialihbahasakan ke dalam 17 bahasa.

Buku ini berisikan metode-metode sistematis guna menemukan solusi atas problem-problem yang dihadapi dan memungkinkan seseorang menemukan pemecahannya sendiri karena memang sudah ada dan dapat dicari.

Menyelesaikan problem (problem solving)Di bawah ini disajikan ringkasan dari buku How to solve it. Disebutkan ada beberapa tahapan untuk menyelesaikan problem, yaitu:

1. Memahami problem

Problem apa yang dihadapi? Bagaimana kondisi dan datanya? Bagaimana memilah kondisi-kondisi tersebut?

2. Menyusun rencana

Menemkan hubungan antara data dengan hal-hal yang belum diketahui. Apakah pernah problem yang mirip?

3. Melaksanakan rencana

Menjalankan rencana guna menemukan solusi, periksa setiap langkah dengan seksama untuk membuktikan bahwa cara itu benar.

4. Menengok ke belakang

Melakukan penilaian terhadap solusi yang didapat.

Keempat tahapan ini lebih dikenal dengan See (memahami problem), Plan (menyusun rencana), Do (melaksanakan rencana) dan Check (menguji jawaban), sudah menjadi jargon sehari-hari dalam penyelesaian problem sehingga Polya layak disebut dengan “Bapak problem solving.”

Masa tuaMasih terus mengarang buku namun temanya tetap, yaitu tentang pemecahan problem. Buku Mathematics and plausible reasoning terbit pada tahun 1954 disusul buku Mathematical discovery yang tediri dari dua jilid terbit pada tahun 1962 dan 1965.

Pernah mengajar sekolah menengah sehingga dapat memahami pelajaran matematika bagaimana yang harus diberikan kepada siswa agar mereka tetap menyukai matematika. Disebutkan bahwa matematika adalah tentang angka dan angka adalah abstraksi, sehingga untuk memecahkan problem sehari-hari terlebih dahulu harus membuat abstrak.

Tahun 1951, Polya pensiun dari Stanford namun waktu-waktu luangnya tetap dicurahkan untuk mengembangkan pendidikan matematika. Diangkat oleh Stanford sebagai Profesor Emeritus pada tahun 1977 menjelang ulang tahun ke-90, meskipun masih aktif mengajar di Departemen komputer di Stanford.

Memperoleh banyak penghargaan dari lembaga di berbagai negara seperi Hungarian Academy, London Mathematical Society, Swiss Mathematical Society, American Acedemy of Arts and Sciences, Academie des Sciences adalah beberapa beberapa diantaranya.

Antusiasme dalam mengajar dan banyaknya topik masih bergema meskipun Polya sudah meninggal pada tanggal 5 September 1985 di Palo Alto, California.

*) Penduduk Jerman (tidak termasuk Austria dan Swis) pada tahun 1800 lebih kurang 24 juta sedangkan penduduk Hongaria pada tahun 1900 lebih kurang 8,7 juta. Negara kecil ini mampu melahirkan matematikawan terkemuka dengan proporsi tertinggi di dunia. Nama-nama Bollobas, Elderyi, Erdos, Fejer, Haar, Kerekjarto, Konigs, Kurschak, Lakatos, Rado, Renyi, Rieszes, Szasz, Szego, Szokefalvi-Nagy, Turan, von Neumann dikenal dalam pecaturan matematikawan kelas dunia.

SumbangsihJangkauan matematika Polya sangat beragam, namun yang memberi nama besar padanya adalah sistem gagasannya yang menjadi pedoman dalam penyelesaian problem (problem solving). Pedoman dalam menyelesaian problem yang disingkat dengan: See (lihat), Plan (rencana), Do (kerjakan) dan Check (periksa kembali) adalah warisan yang tidak lekang atau lapuk dimakan waktu dan dapat kita manfaatkan dalam kehidupan sehari-hari bukan hanya dalam bidang matematika. dapat diselesaikan lewat jalur formalis.

Setiap jawaban tertentu memicu pertanyaan-pertanyaan baru. Kemajuan sains adalah sejalan dengan meningkatnya hal yang tersembunyi dan misterius (Every answer given arouses new questions. The progress of science is matched by an increase in the hidden and mysterious)

Leo Baeck

Matematikawan India paling terkemuka

Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887 – 1920)

Masa kecilSrinivasa Ramanujan lahir di Erode, sebuah kota kecil, 400 km sebelah barat laut Madras. Erode adalah tempat tinggal neneknya sehingga saat berusia beberapa tahun, dia dibawa oleh ibunya ke kota Kumbakonam yang lebih dekat dengan Madras (160 km). Profesi ayahanda Ramanujan adalah sebagai penjaga sebuah toko pakaian. Memasuki usia 5 tahun, Ramanujan memasuki sekolah dasar di Kumbakonam. Terus berpindah sekolah sebelum memasuki sekolah menengah di Kumbakonam pula pada awal tahun 1898. Kepandaiannya cukup menonjol untuk semua pelajaran dan pada tahun 1900 memulai belajar sendiri melakukan penjumlahan deret geometrik dan deret aritmatika. Mampu menemukan cara menyelesaikan persamaan pangkat tiga (kubik) pada tahun 1902 dan metode menyelesaikan persamaan pangkat empat (quartik). Tahun berikutnya mencoba menyelesaikan  persamaan pangkat lima (quintik) namun gagal karena dia tidak pernah mengetahui bahwa quintik tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal-radikal. (baca: Abel dan Galois)

Ketika masih menuntut ilmu di sekolah menengah ini, Ramanujan membaca buku G.S. Carr yang berjudul Synopsis of elementary results in pure mathematics. Penulisan buku yang sederhana membuat dia mudah mempelajarinya. Hal ini kelak memberi dampak padanya. Cara penulisan pada buku itu memberi patron padanya bahwa penulisan buku yang benar harus mengandung misi: “Mudah dipelajari oleh para pembacanya” dan penulisan argumen-argumen matematikalnya yang jelas kelak di kemudian hari akan selalu menyertai semua makalah dan manuskrip karyanya. Buku ini berisi theorema-theorema, formula-formula dan pembuktian-pembuktian singkat. Buku kuno ini (terbit 1856), juga mempunyai indeks untuk makalah-makalah matematika murni yang pernah diterbitkan oleh European Journals of Learned Societies pada awal  abad ke-19.

Melakukan riset matematika sendiriTahun 1904 Ramanujan mulai melakukan riset lebih dalam. Mengupas deret ∑(1/n) dan menghitung konstanta Euler sampai 15 desimal. Mulai mempelajarai bilangan-bilangan Bernoulli, meskipun semua yang disebut di atas bukan murni temuannya. Prestasi mencolok ini membuat Ramanujan memperoleh bea siswa untuk kuliah pada College negeri di Kumbakonam terhitung sejak tahun 1904. Namun pada tahun berikutnya, bea siswa tidak diperoleh lagi karena Ramanujan lebih menekuni bidang matematika dan menelantarkan pelajaran-pelajaran lainnya. Tanpa uang dan menghadapi banyak hambatan, tanpa restu orang tua, dia minggat ke kota Vizagapatnam yang terletak 650 km di sebelah utara kota Madras. Terus melakukan riset matematika, dimana pada saat ini dia mengerjakan deret-deret hipergeometrik dan membedah hubungan antara deret dengan integral, sebelum dilanjutkan dengan mempelajari fungsi-fungsi eliptik.

Tahun 1906, Ramanujan pergi ke Madras dan masuk College Pachaiyappa. Dia berharap lulus test awal untuk kemudian dapat masuk universitas Madras. Diterima masuk College, namun belum genap 3 bulan dia sakit. Sembuh dan ikut test masuk. Lulus hanya untuk bidang matematika sedang subyek-subyek lain tidak lulus. Kegagalan masuk universitas membuat dia mengembangkan ide-ide matematikanya sendiri tanpa bantuan dan tanpa informasi dari orang lain kecuali memegang buku G.S. Carr. Tahun 1908, Ramanujan mulai mempelajari fraksi-fraksi dan deret divergen. Hal ini tidak berlangsung lama karena kemudian sakit dan harus dioperasi pada tahun 1909 setelah kesehatannya sudah cukup pulih. Menikah pada tahun 1909 dengan gadis berusia 9 tahun, namun tidak dapat tinggal bersama sampai si gadis berusia 12 tahun.

Terlunta-luntaTahun 1911, tetap mengembangkan gagasan-gagasan matematikanya sendiri dan mulai mendalami problem-problem dan membuat penyelesaian problem yang dimuat pada Jurnal of the Indian Mathematical Society. Mengembangkan hubungan antara persamaan-persamaan modular eliptik pada tahun 1910. Makalah karyanya tentang bilangan-bilangan Bernoulli diterbitkan pada tahun 1911 pada Jurnal sehingga namanya mulai diperhitungkan dalam komunitas matematika. Meskipun tidak memperoleh pendidikan universitas, nama Ramanujan sangat terkenal di Madras sebagai jenius matematika. Pada tahun iyu pula, dia memohon kepada pendiri Jurnal agar dicarikan pekerjaan tetap. Pekerjaan akhirnya diperoleh yaitu menduduki jabatan sementara di kantor akuntan di Madras. Suatu langkah pertama, sebelum memohon kepada salah seorang anggota Masyarakat matematikal India (Indian Mathematical Society), Ramachandra Rao, yang tinggal di Nellore, untuk membangun perpusatakaan matematika. Ramachandra menyarankan agar dia kembali ke Madras dan mencoba, namun gagal, bea siswa untuk Ramanujan. Akhirnya, tahun 1912, Ramanujan menjadi karyawan di bagian akunting di sebuah perusahaan di Madras.

Tanpa pendidikan universitas, namun namanya sangat kondang dalam kalangan matematikawan  di Madras sehingga pekerjaan di atas diperoleh lewat rekomentasi E.W. Middlemast yang menjadi profesor matematika di Presidency College di Madras.  Lingkungan kerja yang sangat akrab dengan matematika karena kepala bagian akunting,

S.N. Aiyar, adalah seorang matematikawan ulung sekaligus mengarang makalah On the distribution of primes pada tahun 1913 yang merupakan karya Ramanujan.

Kuliah di CambridgeSeorang profesor di Madras mengenali bakat matematika Ramanujan, karena lulusan Inggris,  mengirim karya-karya Ramanujan kepada rekannya di College London. M.J.M. Hill tidak dapat memahami karya Ramanujan tentang deret-deret divergen. Begitu pula surat Ramanujan kepada E.W. Hobson dan H.F. Baker tidak pernah dibalas. Awal tahun 1913, Ramanujan mengirim surat kepada G.H. Hardy dengan melampirkan karyanya Orders of infinity, sambil memperkenalkan dirinya dan riset-riset yang sedang dilakukannya.  

Hardy bersama dengan Littlewood, mempelajari daftar panjang theorema-theorema yang disertakan bersama surat itu. Kurang dari dua bulan, Hardy membalas surat Ramanujan yang intinya menyebutkan:

Saya sangat tertarik dengan surat dan teorema-theorama yang anda tulis. Saya tidak mempunyai wewenang untuk menilai namun karya-karya anda dapat dipilah menjadi tiga kategori:

1. Berisikan beberapa hasil yang sudah pernah ada, atau mudah dibuktikan dari theorema-theorema yang pernah ada.

2. Terdapat beberapa hal baru dan menarik, yaitu mengusik rasa ingin tahu,  menarik, dan sulit, namun kurang terlalu penting.

3. Ada beberapa penemuan baru dan sangat penting

Surat balasan dari Hardy ini menggembirakan hati Ramanujan, sehingga dia langsung mengirimkan surat kedua. Isi surat kedua, intinya, menyebutkan bahwa dirinya sedang menderita kelaparan dan mohon bantuan Hardy agar mengupayakan untuk memperoleh bea siswa dari pemerintah India agar dapat masuk universitas. Ternyata bukan bea siswa masuk ke universitas Madras yang diperoleh Ramanujan. Pada pertengahan tahun 1913, Hardy sukses mengusahakan bea siswa untuk Ramanujan agar menuntut ilmu di Trinity College, Cambridge. Setelah melalui prosedur yang “cukup” sulit akhirnya Ramanujan berlayar dari India menuju London. Ramanujan adalah pemeluk Brahma ortodoks yang melarang para pemeluknya melakukan perjalanan jauh dan menganut vegetarian. 

Lulus universitasRamanujan mendarat di London pada pertengahan bulan April 1914. Beristirahat beberapa minggu dengan tinggal di rumah E.H. Neville, rekan kerja Hardy, sebelum diantar ke Cambridge dan tinggal di asrama Trinity College pada akhir bulan April 1914. Dampak PD I (Perang Dunia I) sangat terasa sehingga makanan sulit diperoleh dan diet vegerarian membuat kesehatan Ramanujan yang tidak prima menjadi makin parah pada tahun-tahun ini.

Sejak awal, hampir semua karya Ramanujan berkolaborasi dengan Hardy, karena tidak ada pendidikan formal yang dikecap oleh Ramanujan. Littlewood sempat membantu

membimbing Ramanujan dengan mengajarkan metode-metode matematikal baku. Hal ini tidak berlangsung lama karena kemudian Littlewood pergi perang ketika ada panggilan tugas dan mulailah Ramanujan bekerja sama dengan Hardy yang tetap berada di Cambridge. Tahun 1915, Ramanujan sakit selama lima bulan, karena tidak “cocok” dengan musim dingin. Tidak dapat berkarya dan  hanya mengeluarkan karya-karyanya selagi masih di India, namun berjanji kepada Hardy bahwa dirinya akan menerbitkan karya-karya baru setelah PD I usai. Pada tahun 1916, Ramanujan lulus dari Cambridge dengan gelar BS (Bachelor of Science) dengan melakukan riset (pada tahun 1920 gelar BS diganti dengan Ph.D.). Disertasinya membahas tentang Highly composite numbers dan dibagi ke dalam tujuh makalah dan diterbitkan di Inggris.

Sakit-sakitanPada tahun 1917, Ramanujan sakit akut dan dikuatirkan meninggal oleh dokter di Inggris. Namun kekuatiran ini ternyata tidak terjadi bahkan pada akhir tahun 1918, kesehatannya sangat cepat membaik. Tahun 1918 adalah tahun kejayaan Ramanujan. Dipilih menjadi anggota Cambridge Philosophical Society dan selang tiga hari kemudian diangat menjadi anggota Royal Society of London. Nama Ramanujan, akhirnya, dapat bersanding dengan matematikawan kesohor seperti: Hardy, Forsyth, Whitehead, Bromwich, MacMahon, Littlewood, Hobson. Menjelang akhir tahun yang sama, juga dipilih menjadi anggota Trinity College, Cambridge.

Dalam suatu kesempatan, ketika Hardy yang menjenguk Ramanujan  yang sedang terbaring di kasur rumah sakit Putney, dihadapkan pada pertanyaan: “Ke rumah sakit dengan mengendarai kendaraan apa?” Sempat terkejut, namun Hardy langsung menjawab: “Taksi nomor 1729”, jawab Hardy singkat. “Nomor yang menarik karena bilangan itu menggambarkan perjumlahan bilangan pangkat tiga (kubik) yang berbeda.” Anda juga Ingin tahu alasan dari jawaban pasien yang jenius ini.  Perhatikan: 1³ + 12³ = 1729 =  9³ +10³.

Meskipun dalam kondisi sakit namun bakat matematika Ramanujan tidak berkurang, dan mampu berkarya dengan kualitas yang sama. Setelah sembuh,  Ramanujan pulang ke India dengan mengemban pesan Hardy, bahwa: ”Perkembangan sains dan reputasi matematika Ramanujan adalah suatu harta karun, namun tidak mengubah pribadi Ramanujan yang tetap tampil sederhana.”

Riset matematika Dalam suratnya kepada Hardy pada tahun 1913, Ramanujan sudah menunjukkan bahat matematikanya yang luar biasa. Saat ini dia sudah mengupas deret Riemann, integral-integral elipstik, deret-deret hipergeometrik dan persamaan-persamaan fungsional dari fungsi zeta. Secara terpisah, juga mendalami karya-karya Gauss, Kummer dan matematikawan lainnya tentang deret-deret hipergeometrik. Kiprah Ramanujan dalam bidang ini adalah melakukan perjumlahan parsial dan deret-deret hipergeometrik berpangkat yang akhirnya memicu perkembangan topik ini.  Barangkali karya Ramanujan yang paling utama adalah partisi-partisi bilangan p)n) dar integer n ke dalam SUMMAND?? . MacMahon membuat tabel nilai r(n) untuk bilangan n kecil, dan Ramanujan menggunakan data numerikal untuk membuat prakiraan (conjecture) untuk

hal-hal lain yang sudah digunakannya dalam membuktikan fungsi-fungsi eliptik. Beberapa lainnya baru dapat dibuktikan setelah Ramanujan meninggal. Beberapa makalahnya yang belum diterbitkan berisi theorema-theorema yang perlu dibuktikan oleh matematikawan berikutnya. G.N. Watson, profesor matematika murni di Birmingham antara tahun 1918 sampai 1951 menerbitkan 14 makalah dengan judul Theorems stated by Ramunujan, juga menerbitkan hampir 30 makalah yang diinspirasi oleh karya-karya Ramanujan, Hardy juga menyerahkan manuskrip-manuskrip yang ditulisnya bersama Ramanujan sebelum tahun 1914 serta karya-karya akhir Ramanujan sebelum meninggal di India.

Kembali ke IndiaAwal tahun 1919, Ramanujan kembali ke India. Tidak ada rumah sakit dengan fasilitas yang memadai, sehingga akhirnya Ramanujan meninggal setahun kemudian. Peran dan sumbangsih Ramanujan diabadikan oleh pemerintah India dengan menerbitkan prangko bergambar wajahnya bersamaan dengan ulang tahun ke-75.

SumbangsihNasib Ramanujan mirip dengan Abel dalam hal meninggal pada usia muda karena masa kecil yang malnutrisi. Kiprahnya cukup banyak, meskipun hampir semua dilakukan bersama (kolaborasi) dengan G.H. Hardy. Yang patut disimak adalah semangat dan gagasan matematikanya banyak yang relatif baru. Meskipun juga mempelajari topik-topik lama (misal: bilangan-bilangan Bernoulli), namun ide tentang fungsi-fungsi elips merupakan modular adalah relatif baru pada jaman itu.

Emmy Amalie Noether (1882  – 1935)

Masa kecilMax Noether, seorang matematikawan dan profesor di Erlangen menyunting Ida Kaufmann yang berasal dari keluarga bangsawan di Cologne, mempunyai putri bernama Emmy Noether. Kedua orang tuanya adalah keturunan Yahudi dan Emmy anak sulung yang mempunyai tiga orang adik laki. Terhitung dari tahun 1889 sampai dengan 1897, Emmy mengenyam pendidikan di Erlangen. Mempelajari bahasa Jerman, Inggris, Perancis, aritmatika bahkan belajar piano. Kepiawaian ini membuat Emmy berniat menjadi guru bahasa dan setelah mendalami bahasa Inggris dan Perancis, mengikuti ujian di Bavaria. Lulus pada tahun 1900 dengan sebagai guru bahasa Inggris dan Perancis bersertifikat, sebelum mengajar sekolah khusus untuk wanita di Bavaria.

Tampaknya profesi guru kurang menantang sehingga memutuskan untuk kuliah matematika di Universitas – sesuatu yang janggal bagi seorang wanita. Ijin kuliah diberikan oleh pihak Universitas dan selama lebih dari 2 tahun (1900 – 1902), Emmy kuliah di Universitas Erlangen. Tahun 1903, lulus ujian matrikulasi yang diselenggarakan di Nurnberg, sebelum  kuliah di Gottingen dengan pengajar-pengajar berkualitas seperti: Hilbert, Kelin dan Minkowski.

Karir lanjutanMulai tahun 1904 Noether mulai diperkenankan menjadi matrikulasi di Erlangen dan pada tahun 1907 mendapat gelar doktorat setelah bekerja di bawah bimbingan Paul Gordan. Jika theorema utama Hilbert yang menunjukkan keberadaan adanya invarian dalam jumlah terbatas untuk jumlah peubah, n. Gordan dengan menggunakan metode kontruktif sampai juga pada kesimpulan yang sama. Thesis Noether menggunakan cara kontruktif dari Gordan dan dapat ditemukan ada 331 bentuk kovarian. Rupanya pendidikan tinggi belum mau menerima wanita sebagai pengajar sehingga Noether tetap di Erlangen dengan status membantu sang ayah, yang sudah diungguli oleh kehebatan anaknya sendiri. Tidak mau sekedar membantu, Emmy aktif melakukan penelitian sendiri. Pengaruh Fischer (pengganti Paul Gordan) membuat Noether kembali menekuni invarian, namun dengan menggunakan metode abstrak dari Hilbert. Reputasinya segera terdongkrak sehingga negara-negara lain, seperti Italia dan Belanda memberinya penghargaan. Tahun 1913, pulang menghadiri pertemuan tahunan di Salzburg, Noether langsung didauluat menjadi pengajar di Wina.

Tahun 1915, Hilbert dan Kelin memohon agar Noether kembali ke Gottingen, karena keduanya memperjuangkan agar Noether dapat mengajar di sana, namun ijin baru diberikan pada tahun 1919. Selama kurun waktu itu (1915-1919), Noether mengajar namun hanya sebagai asisten Hilbert.

Karya-karyaTulisan Noether pertama kali dibuat begitu pulang ke Gottingen yaitu tentang fisika teori yang mengukuhkan namanya lewat cetusan theorema Noether, dimana membutktikan adanya keterhubungan simetris antara fisika dan prinsip-prinsip pelestarian (conservation). Karyanya tentang teori invarian memberi inspirasi bagi formulasi beberapa konsep yang termaktub dalam teori relativitas umum Einstein. Dalam suratnya kepada Hilbert, Einstein tidak lupa memberi pujian kepada Noether.

Setelah di Gottingen (1919), Noether meninggalkan teori invarian dan menekuni teori ideal, menghasilkan teori abstrak yang nantinya digunakan untuk pengembangkan aljabar modern. Tahun 1924, Noether berkolaborasi dengan van der Waerden yang datang ke Gottingen. Sekembalinya ke Amsterdam, Waerden mengarang dua jilid buku Moderne Algebra, dimana dalam jilid kedua dicantumkan pemikiran-pemikiran Noether. Tahun 1927, berkolaborasi dengan [Helmut] Hasse dan [Richard] Brauer, mengembangkan aljabar komutatif. Selain itu, Noether masih membantu mengedit jurnal Mathematische Annalen.

Peran dalam teori relativitas umum Hilbert yang mengangkat Noether sebagai asisten sangat terbantu. Namun, Einstein mengaku bahwa karya Noether sangat membantu dirinya seperti yang dikatakan bahwa, ”Noether adalah jenius matematika yang sangat menonjol ketika pendidikan tinggi untuk wanita dibuka.” Kata pujian ini disampaikan setelah Noether meninggal, dimana pada saat itu kebetulan sama-sama bermukim di Princeton.

Noether menjadi asisten Hilbert dan theorema yang dicetuskan membantu Einstein,

sehingga dapat dikatakan sebenarnya ada ‘adu kecepatan’ dalam siapa yang pertama kali mencetuskan teori relativitas umum? Hilbert atau Einstein. Keduanya sama-sama menjadi penemu namun yang terlanjur dikenal oleh khalayak adalah Einstein. Tidaklah mengherankan apabila hubungan kedua ilmuwan ini sangat buruk. Namun konflik ini membawa hikmah karena kemudian Hilbert menekuni hal lain yang kemudian dicetuskan dan dikenal dengan nama teori kuantum.

Ada dua peran utama Noether dalam membantu Einstein menuntaskan teori relativitas umum. Pertama, theorema Noether tentang keterhubungan konservasi (conservation relationship) untuk momentum-energi tensor, T, melengkapi persamaan bidang (field equation); kedua, identiti-identiti dari Bianchi yang memperjelas bahwa kovarian umum berlaku di sini: bentuk kura (curvature) memungkinkan hukum-hukum fisikal tetap tidak berubah meskipun sistem koordinat digerakkan.

Pindah ke PrincetonTahun 1933, Noether tidak dapat berkiprah lagi karena dinonaktifkan dari Gottingen karena Nazi melarang keturunan Yahudi menduduki jabatan. Noether segera menerima tawaran menjadi dosen tamu di Bryn Mawr College di Amerika dan menjadi pengajar di Institute for Advance Study, Princeton.

SumbangsihPengembangan teori invarian dengan cara Hilbert ternyata membantu Eistein mengungkapkan teori relativitas umum. Meskipun kedudian Noether banyak mengembangkan bidang ilmu lain, namun sumbangsih terbesar adalah teori invarian.

Tuhan ada sejak matematika adalah konsisten, dan setan ada sejak kita tidak dapat membuktikan konsistensi. (God exists since mathematics is consistent, and the devil exists since we connot prove the consistency) 

Morris Kline

Luitzen Egbertus Jan Brouwer(1881 – 1966)

RiwayatLuitzen Egbertus Jan Brouwer yang lebih sering ditulis dengan singkatan L.E.J. Brouwer lahir di sebuah kota di Overschie (sejak 1941 kota ini termasuk wilayah Rotterdam), Belanda. Di kalangan teman-temannya, Brouwer sering dipanggil dengan nama “Bertus.” Pada tahun 1897, Brouwer mengikuti kuliah di universitas Amsterdam untuk belajar matematika dan fisika. Salah seorang dosennya, Diederik Korteweg, dosen matematika, kelak memberi pengaruh besar bagi dirinya. Korteweg terkenal karena mengemukakan suatu persamaan yang disebut persamaan Korteweg – de Vries. Dosen lain yang mempengaruhinya adalah Gerrit Mannoury, dosen filsafat. 

Tahun 1904, memperoleh gelar MA dalam bidang matematika. Karya pertama adalah rotasi pada ruang empat dimensi di bawah bimbingan Korteweg. Pada tahun yang sama, Brouwer menikah dengan Lize de Holl dan pindah ke Blaricum, sebuah kota kecil dekat Amsterdam sampai akhir hayatnya.

Karakteristik intuisionisme BrouwerDasarnya adalah filsafat dari pikiran, dimana pemikiran ini banyak dipengaruhi oleh pandangan Kant dan Schopenhauer. Matematika, menurut Brouwer, adalah aktivitas berpikir secara bebas namun eksak, suatu aktivitas yang ditemukan dari intuisi pada suatu saat tertentu. Tidak ada realisme terhadap obyek-obyek dan tidak ada bahasa yang mampu menjembatani di sini. Ditambahkannya bahwa tidak ada penentu kebenaran metamatikal di luar aktivitas berpikir, proposisi yang hanya berlaku setika subyek sudah dibuktikan kebenarannya (dibawa  ke luar dari kerangka pemikiran); singkat kata Brouwer menyatakan (dalam kalimat negatif) bahwa “Tidak ada  kebenaran-kebenaran tanpa dilakukan pembuktian” (there are no non-experienced truths).

Brouwer Konsisten dengan falsafahnya. Hal ini dinyatakan apalah matematika perlu dibenahi agar kompartible atau tidak-kompartible dengan matematika klasik adalah pertanyaan yang kurang penting lagi, dan tidak dijawab. Pandangannya terhadap matematika tradisional, dia menganggap dirinya hanya sekedar menjadi seorang tukang revisi. Disimpulkan, dimana artimatika intusionistik adalah bagian (sub-sistem) dari  aritmatika klasik, namun hal ini tidak berlaku untuk analisis.

Untuk analisis: tidak semua analisis klasikal diterima atau dipahami secara intusionistikal, tetapi tidak ada analisis intusionistik secara klasik diterima. Brouwer mengambil langkah ini dengan segala konsekuensinya dengan  sepenuh hati. Bukan berarti pandangan Brouwer ini tidak ada yang mendukung. Di luar negaranya, Belanda, pandangan ini didukung oleh Hermann Weyl.

Karya-karya utamaKarya utama Brouwer adalah pada teori topologi yang dirintisnya antara tahun 1909 sampai 1913. Menemukan karakteristik pemetaan topologikal dari bidang Kartesian dan theorema-theorema bilangan pada titik tertentu (number of fixed point theorems). Pemikiran Brouwer sangat berbeda dengan David Hilbert, penganut formalis dan Bertrand Russell yang menganut aliran logika.

Sebelumnya, pada tahun 1905, mengarang buku kecil Life, Art and Mysticism berisi bukan pengembangan dasar-dasar matematika, namun merupakan kunci untuk mengembangkan dasar-dasar matematika yang kelak terangkum dalam desertasi yang dikerjakan secara bersamaan pada saat itu dan baru dapat diselesaikan dua tahun kemudian.

Thesis doktoralnya pada tahun 1906 adalah dasar-dasar matematika

mempertanyakan dasar-dasar matematika logikal dan bentuk utama dari aliran intuisionis. Brouwer banyak mementahkan pembuktian-pembuktikan prinsip tidak termaktub di tengah (Principle of the Excluded Middle disingkat PEM) yang pada akhirnya dijabarkan dalam bentuk pernyataan benar atau salah. Tahun 1918, Brouwer menerbitkan teori himpunan (set theory), tahun 1919 menerbitkan teori pengukuran (measure theory) dan pada tahun 1923 menerbitkan fungsi-fungsi teori yang semuanya dikembangkan tanpa menggunakan PEM. Sejak tahun 1914 sampai 1928, Brouwer adalah anggota dewan redaksi Mathematische Annalen dan menjadi editor utama Compositio Mathematica yang terbit pertama kali pada tahun 1934.

Merombak teori himpunan CantorBrouwer memegang prinsip bahwa matematika adalah aktivitas tanpa-perlu-diutarakan (languageless) yang penting, dan bahasa itu sendiri hanya dapat memberi gambaran-gambaran tentang aktivitas matematikal setelah ada fakta. Hal ini membuat Brouwer tidak mengindahkan metode aksiomatik yang memegang peran utama dalam matematika. Membangun logika sebagai studi tentang pola dalam linguistik yang dibutuhkan sebagai jembatan bagi aktivitas matematikal, sehingga logika bergantung pada matematika (suatu studi tentang pola) dan bukan sebaliknya. Semua itu digunakan sebagai pertimbangan dalam memilah antara matematika dan metamatematika (istilah yang digunakan untuk ‘matematika tingkat kedua’), yang kelak akan didiskusikan dengan [David] Hilbert pada tahun 1909.

Berdasarkan pandangan ini, Brouwer bersiap merombak kembali teori himpunan Cantor. Ketika upaya ini mulai dilakukan dengan ‘membongkar’ kategori bilangan sekunder (bilangan ordinal tak terhingga/infinite) dan kategori bilangan ordinal infiniti yang lebih besar, tapi juga gagal. Disadari bahwa metodenya tidak berlaku dan tidak dapat menyelesaikan kategori-kategori bilangan lebih tinggi, dab hanya meninggalkan bilangan ordinal terbatas (finite) dan tidak dapat diselesaikan atau terbuka (open-ended) bagi sekumpulan bilangan ordinal tak-terhingga/infinite.

Tetap konsisten dengan pandangan falsafatnya, Brouwer mencoba mengesampingan semua itu dan mau memahami matematika apa adanya. Tidak lama dia juga mau menerima prinsip dalam logika, prinsip tidak termaktub di tengah (PEM/Principle of the Excluded Middle),  namun dalam disertasinya dia tetap berpikir bahwa semua itu benar dan sahih namun tidak memberi manfaat, menginterpretasikan p v ד p sebagai ד p → ד p

Membalas kritikLewat tulisanannya pada tahun 1908, The Unreliability of the logical Principles, Brouwer mengformulasikan, dalam istilah-istilah umum, kritiknya terhadap PEM: meskipun dalam bentuk sederhana  p v ד p, prinsip yang tidak akan memicu kontradiksi, dimana Brouwer memberikan contoh-contoh, diucapkan, tanpa ada alasan positif untuk menerima bahwa hal itu benar dan sahih.

Inovasi ini memberi intuisionisme mempunyai ruang gerak lebih besar daripada matematika konstruktif aliran-aliran lainnya (termasuk di sini disertasi Brouwer) adalah pilihan-pilihan dalam melihat suatu deret. Banyak diketahui deret-deret bilangan tak-terhingga (atau obyek-obyek matematikal lain) dipilih mendahului yang lainnya oleh setiap matematikawan sesuai keinginan mereka masing-masing. Memilih suatu deret memberi mereka impresi awal secara intuisi menerima  obyek yang ditulisnya pada buku yang terbit pada tahun 1914.; prinsip yang membuat secara matematika mudah dikerjakan, prinsip berkesinambungan, yang diformulasikan pada kuliah Brouwer pada tahun 1916. Tujuan utama memilih deret merupakan rekonstruksi analisis; titik-titik dalam (nidang) kontinuum (bilangan-bilangan nyata) yang diidentifikas dengan memilih deret yang memenuhi persyaratan kondisi-kondisi tertentu. Memilih berbagai pilihan deret dapat dilakukan dengan menggunakan alat uang disebut dengan ‘spread’, yang mempunyai fungsi mirip dengan analisis klasik Cantorian, dan awalnya Brouwer menggunakan istilah ‘gabung’ (‘himpunan’) untuk berbagai spread.

Guna mengukuhkan teori spread dan teori titik-titik ini yang digunakan sebagai dasar ini, termaktub dalam dua makalah yang diterbitkan pada tahun 1918/1919,  Founding Set Theory Independently of the Principle of the Excluded Middle. 

Merombak pemikiran matematikawan lainApakah setiap bilangan nyata mempunyai bilangan desimal (di belakang koma) yang terus makin panjang (ekspansi)? Jawaban dari Brouwer adalah tidak, namun guna alasan yang diberikan ditulis lewat makalah yang terbit pada tahun 1921. Di sini Brouwer menunjukkan bahwa seseorang dapat membangun suatu pilihan atas deret yang memenuhi kondisi Cauchy bahwa suatu perkembangan tertentu bergantung kepada problem yang akan diselesaikan. Tidak ada ekspansi desimal dapat dipilih sebelum suatu problem dapat diselesaikan; dalam pandangan Brouwer membatasi hal ini, yang dapat diartikan bahwa tidak ada keberadaan ekspansi desimal sampai suatu problem dapat diselesaikan. Termasuk di sini, seseorang dapat dapat membentuk bilangan nyata (misal: mengurangi deret-deret yang dipilih) yang tidak mempunyai ekspansi desimal. Pada tahun 1923, kemali, dengan menggunakan deret-deret terpilih dan promblem-problem terbuka, Brouwer mengembangkan teknik umum yang disebut dengan ‘Brouwerian counterexamples’ yang dipilah menjadi 2 kelompok: kuat dan lemah. 

Lemah karena pengalaman kita tidak dapat mengetahui bagaimana sesuatu itu dinyatakan benar ataupun salah. Dengan dasar deret bilangan rasional, a(n), yang didefinisikan sesuai dengan praduga (conjecture) Goldbach dapat ditulis sebagai:

a(n) =  -(1/2)n apabila untuk setiap j ≤ n, 2j+4 adalah jumlah dua bilangan prima

a(n) =  -(1/2)k apabila untuk setiap k ≤ n, 2k+4 bukan merupakan jumlah dua bilangan prima

Kuat, dimulai dengan P(x) = ‘x adalah bilangan rasional’ dan Ŕ adalah kontinuum intuisionistik, dalam konteks bilangan riil dipahami secara intuisi.  Awal sudah diketahui bahwa Ŕ adalah kontinuum sehingga tidak dapat dipilah, atau dalam notasi himpunan dapat ditulis A U (union) B = Ŕ dan A П (intersection) B = 0; apabila fungsi f: Ŕ →Ŕ didefinisikan sebagai:

f(x) = 0 jika x Є Af(x) = 1 jika x Є B

 

Pengajar abadi

Menjadi pengajar tidak digaji di universitas Amsterdam sejak 1909, dimana dia adalah profesor bidang teori himpunan, teori fungsi dan aksiomatis sejak 1912 sampai 1951. [David] Hilbert pernah menawari Brouwer untuk menggantikan jabatannya di Gottingen namun akhirnya terjadi konflik.

Tahun 1928-1929, Hilbert mengetahui bahwa umurnya tidak lama lagi, dan dia perlu merasa yakin bahwa setelah meninggalnya pandangan matematika Brouwer jangan terlampau jauh sehingga mendepak Brouwer dari posisi sebagai dewan editorial jurnal Mathematische Annalen. Einstein, yang ikut sebagai dalam dewan editorial menolak menggunakan cara itu, meskipun anggota dewan lain – agar tidak menyinggung perasaan Hilbert – menyatakan setuju dengan keinginan Hilbert. Hal ini memberi luka mendalam bagi Brouwer, namun tetap mendarmabaktikan dirinya sebagai pengajar. Pernah mengajar di Jenewa (1934), Cambridge (1945-1951) sebelum pensiun dari universitas Amsterdam (1951), mengajar di Afrika selatan (1952), di Amerika (1953) termasuk di Princeton, Chicago, MIT. Sempat ditawari mengajar di Vancouver (1959) namun batal karena pada tahun tersebut istrinya meninggal dan di Montana (1962). Tahun 1966, Brouwer meninggal di Blaricum, Belanda, karena kecelakaan lalu-lintas.

SumbangsihDasar pemikiran aliran intusionis berbeda dan relatif sulit dicerna oleh mereka yang tergolong pada aliran formalis. Pandangan Hilbert akan berbeda dengan Brouwer dalam memandang problem yang sama. Brouwer adalah seorang intuisionis yang buah pikirnya sangatlah cemerlang - setelah Riemann - dan mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan matematika dari sisi intuisi yang kemudian akan memicu para matematikawan melakukan pembuktian dengan menggunakan intuisi mereka karena tidak semua problem  matematika dapat diselesaikan lewat jalur formalis

Pola-pola milik matematikawan, ibarat pelukis atau penyair, haruslah indah; ide-ide, laksana rona warna-warna atau kota-kata, harus serasi secara hamonis. Keindahan adalah ujian pertama: tidak ada tempat abadi di dunia ini bagi matematika buruk.(The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics)

G.H. Hardy

Matematikawan penggemar cricket

Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947)

Masa kecilIsaac Hardy seorang bendahara sekaligus guru seni di sekolah Cranleigh mempunyai istri bernama Sophia, seorang guru dan sekolah pelatihan guru di Lincoln, dan mempunyai anak lelaki yang diberi nama Godfrey Harold Hardy atau lebih sering ditulis dengan G.H. Hardy. Meskipun mempunyai orang tua terpelajar dan termasuk golongan intelektual, namun latar belakang keluarganya yang miskin membuat Hardy tidak dapat menikmati pendidikan universitas.  Hardy kecil bersekolah di tempat ayahnya menjadi guru sampai berusia 12 tahun, dimana para gurunya terkesan dengan kejeniusan anak ini. Murid paling pandai untuk semua mata pelajaran, sehingga tidak mengherankan banyak penghargaan diraih dan bea siswa diperolehnya.

Pada usia remaja ini tidak terlintas suatu pikiranpun bahwa kelak dia akan menekuni matematika. Hal ini berbeda dengan masa kecil matematikawan lain. Disebutkan alasan bahwa karir dalam bidang matematika tidak mampu memberi kebanggaan, matematika hanya mata pelajaran yang harus diambil dan diuji terutama untuk mendapatkan bea siswa.

Mulai menyukai matematikaHardy mendapatkan bea siswa dari Winchester College pada tahun 1889, namun baru masuk setahun kemudian. Winchester, pada saat ini, adalah sekolah terbaik untuk matematika, namun entah mengapa kehidupan sekolah di sini tidak disukai oleh Hardy. Barangkali karena sekolah ini tidak cocok dengan pribadi Hardy yang pendiam dan pemalu. Tidak pernah ikut aktivitas non-akademis, meskipun Hardy suka bermain cricket. Semasa masih bersekolah di Winchester ini, Hardy, sekali lagi, mendapat bea siswa untuk masuk Trinity College, Cambridge, dan Hardy mulai kuliah di sini pada tahun 1896. 

Di bawah bimbingan mentor yang sangat terkenal, R.R. Webb, Hardy dengan cepat mampu belajar untuk memperoleh nilai tinggi. Akhirnya dia kecewa, karena mentornya ini lebih suka mencari nilai tinggi dalam ujian matematika dan mengajar trik-trik dalam perdagangan, namun pada hakikatnya sama sekali tidak tertarik dengan matematika. Tidak puas, maka Hardy mohon ganti mentor dan beralih minat dari matematika menjadi

sejarah.

Mentor kedua Hardy adalah A.E.H. Love, seorang profesor yang dengan cepat mampu memahami karakter Hardy. Tidak lama Hardy mulai diajar konsep-konsep analisis, menyarankan agar membaca analisis dari Jordan. Karya ini dapat membuka cakrawala pemikiran matematika Hardy dan menjadi sangat tertarik dengan matematika.

Hardy mampu mulai dapat berprestasi dalam matematika. Menduduki posisi keempat pada lomba Mathematical Tripos pada tahun 1898. Terpilih sebagai anggota Trinity pada tahun 1900, dan memperoleh hadiah Smith bersama-sama dengan J.H. Jeans.

Bertemu RamanujanSetelah itu tak terhitung makalah yang dibuat mulai dari deret konvergen, integral. Meskipun Hardy lebih dikenal sebagai Analis namun karya utamanya bagi matematika adalah A course of pure mathematics (1908) yang berisi topik seperti bilangan berpangkat, fungsi, limit yang terutama diperuntukkan bagi mahasiswa baru dan bahan mengajar di universitas. Banyak makalah yang ditulis namun hanya kurang dari lima buah yang dianggapnya memuaskan.

Perubahan terbesar terjadi setelah pada tahun 1911 berkolaborasi dengan J.E. Littlewood yang bertahan sampai 35 tahun. Pada tahun 1913, Hardy menerima surat pertama dari Ramanujan  (baca: Ramanujan), mengundang Ramanujan ke Inggris sebelum akhirnya menulis bersama dengannya. Pecah PD I pada tahun 1914, dan Ramanujan berada di Cambridge, sehingga memudahkan mereka saling berkomunikasi meskipun kehidupan di Inggris pada masa itu dapat dikatakan buruk.

Littlewood meninggalkan Cambridge untuk tugas perang dan ditempatkan di Royal Artilerry. Hardy ingin menjadi sukarelawan perang namun ditolak karena alasan kesehatan. Pernyataan Hardy yang menyebut bahwa: “Bangsa Jerman mempunyai sistem pendidikan yang lebih unggul dan politikus Inggris tidak dapat dipercaya” membuat Cambridge tidak berkenan lagi kepadanya. Melihat tidak ada lagi peluang di Cambridge, Hardy pergi ke Oxford dengan menjadi profesor geometri. Mengajar di Oxford ternyata menggembirakan hatinya, dan pada masa ini karya matematika Hardy berkolaborasi dengan Littlewood dilanjutkan meskipun Littlewood masih di Cambridge.

Kembali ke Cambridge

Ketika masih di Cambridge, Hardy tinggal di tempat yang dapat dikatakan sangat sederhana, sehingga Hilbert pernah menulis surat kepada pimpinan Cambride untuk memperlakukan Hardy dengan lebih baik karena disebutkannya bahwa Hardy adalah matematikawan terkemuka Inggris masa itu.

Hardy tetap hidup sederhana dengan menjadi Presiden asosiasi pekerja saintifik. Pada masa 1928-1929, adalah masa berat (depresi yang melanda dunia diawalai oleh kejatuhan Wallstreet terjadi pada bulan Oktober 1929) dan Hardy menjadi dosen di Princeton dalam program pertukaran dosen dengan Veblen yang mengajar di Oxford.

Dasar berjodoh dengan Cambrigde, pada tahun 1931, Hardy kembali ke Cambridge dan menduduki jabatan Hobson yang pesiun. Disebutkan bahwa ada dua alasan utama Hardy kembali. Pertama, Cambridge dianggapnya tetap  sebagai pusat matematika di Inggris dan kedua, tidak dapat menempati tempat tinggalnya dahulu dimana hal ini tidak dimungkinkan  ketika di Oxford.

Minat matematika Hardy beragam namun hanya berkutat dengan matematika murni – analisis Diophantine, jumlah deret divergen, deret Fourier, fungsi zeta dari Riemann, distribusi bilangan prima adalah beberapa topik yang menarik hatinya. Kolaborasi dengan Littlewood dengan kemampuan teknik matematikal tinggi ccocok untuk Hardy yang akhirnya mampu menulis makalah yang mudah dimengerti.

Karya kolaborasiHardy adalah metematikawan tulen yang tidak pernah berharap matematika dapat diterapkan. Selain dengan Ramanujan dan Littlewood, Hardy juga menulis makalah dengan berkolaborasi dengan Titchmarsh, Ingham, Edmund Landau, Polya, E.M. Wright, W.E. Rogosinski dan Marcel Riesz.

Meskipun Hardy tidak mau menekuni matematika terapan, namun pada awal karirnya (1908), mencetuskan hukum yang menggambarkan bagaimana proporsi  pelakuan genetik untuk gen dominan dan gen resesif yang lahir dalam suatu populasi yang besar. Bagi Hardy hal ini tidak penting, namun orang lain menyebutkan bahwa hukum ini menjadi penting dalam menentukan distribusi kelompok dalam darah.

Kesenangan lain Hardy selain matematika adalah cricket. Setelah makan pagi, mulai melakukan riset matematika mulai dari 09.00 sampai 13.00. Selesai makan siang, Hardy berjalan ke lapangan untuk menonton pertandingan cricket di lapangan universitas atau mengamati skor pertandingan cricket dari koran The Times. Menjelang sore hari jalan kaki pulang, sebelum makan malam yang selalu ditutup dengan minum anggur atau bermain tenis di malam hari.

Masa tuaSebagai profesor tentunya mempunyai sifat unik. Hardy juga mempunyai sifat ini. Tidak suka melihat cermin dan difoto. Saat menginap di hotel, cermin selalu ditutupi handuk. Meskipun Hardy tidak percaya akan Tuhan, namun Hardy bermain dengan ‘mengecoh Tuhan’ (fool God).

Dalam kunjungan ke Denmark, dia mengirim kartu pos yang menyatakan dapat membuktikan hipotesis Riemann. Ketika ditanya apa alasannya, dijawab dengan ringan bahwa jika dalam perjalanan pulang dengan kapal dia mati tenggelam, maka dia akan meninggalkan teka-teki yang terkenal seperti halnya TTF (Theorema Terakhir Fermat).

Pada kesempatan lain, Hardy menonton cricket dengan memakai jas hujan, membawa payung. Begitu ada orang bertanya apa alasannya memakai semua atribut di hari cerah ini, dikatakan bahwa Tuhan akan berpikir bahwa dirinya mengharapkan terjadi hujan.

Perang Dunia II kembali memberi penderitaan pada Hardy. Pada masa ini dia terserang penyakit jantung dan begitu perang usai kesehatannya sangat buruk. Tidak mampu berjalan kaki lagi karena menjadi sesak nafas dan akhirnya Hardy meninggal karena jantung pada tanggal 1 Desember 1947.

Karya Hardy yang menjadi peninggalan adalah A Mathematicians apology (1940) berupa gambaran  tentang bagaimana matematikawan berpikir dan menikmati matematika. 

Sumbangsih

Tidak banyak matematikawan yang konsisten dengan menekuni matematika, tanpa berupaya membumikan matematika. Hardy rupanya menyukai matematika terlepas dari matematika terapan. Tidak banyak gagasan sendiri, namun karya-karya kolaborasinya dapat dikatakan sangat banyak. Seperti yang dikatakan Hilbert, Hardy disebutkan salah satu matematikawan terkemuka lagi setelah Newton.

Matematika adalah satu-satunya ilmu pengetahuan dimana tak seorangpun mengetahui apa yang dikatakan begitu pula jika apapun yang dikatakan adalah benar.  (Mathematics is the only science where one never knows what one is talking about nor whether what is said is true)

Bertrand Russell

Matematikawan pemenang Nobel kesusastraan

Bertrand Arthur William Russell (1872 – 1970)

Masa kecilMerupakan suatu keberuntungan bahwa Bertrand Russell terlahir sebagai cucu dari Lord John Russell,  yang menjabatan sebagai Perdana Menteri selama dua kali pada masa pemerintahan Ratu Victoria, sehingga sejak kecil Russell dapat menikmati pendidikan bermutu tinggi. Ayah Bertrand Russell bernama Viscount Amberley dan ibunya bernama Katherine, anak perempuan kedua dari Baron Stanley dari Alderley.

Awal pendidikan dilakukan dengan mengundang guru secara privat sebelum masuk Trinity College, Cambridge untuk mempelajari matematika dan sains moral dan terutama sekali tentang bahasa dan sejarah Perancis dan Jerman. Ketika Russell berusia 2 tahun, ibunya meninggal, disusul ayahnya pada saat Russell masih berusia 4 tahun. Masih belum selesai. Kakeknya meninggal saat Russell kecil berusia 6 tahun sehingga Russell, akhirnya,  ada di bawah bimbingan neneknya, Lady Russell. Mengenyam pendidikan kelas wahid karena dididik guru-guru privat terbaik sebelum masuk ke Trinity College, Cambridge dengan mengambil jurusan ilmu tentang moral dan matematika. Lulus Cambridge pada tahun 1894 dan beberapa bulan kemudian diangkat menjadi atese Kedutaan Inggris di Perancis.

Paradoks RussellTahun 1901, Russell mengungkapkan apa yang kemudian dikenal sebagai paradoks Russell (Russell paradox), yang muncul pada karyanya Principles of Mathematics (1903). Paradoks ini timbul dalam kaitannya antara suatu himpunan yang menjadi bagian dari berbagai himpunan namun bukan anggota itu sendiri. Signifikansi paradoks ini mengikuti, menurut pandangan logika klasik, semua pernyataan akan selalu diikuti oleh kontradiksi. Menurut pandangan matematikawan lain (termasuk Hilbert dan Brouwer) tidak ada pembuktian yang layak untuk menjawab logika semua pernyataan matematika yang kontradiktif. Pada awal abad ini karya-karya yang menyangkut logika, teori himpunan, filsafat dan dasar-dasar matematika tumbuh dengan suburnya.

Paradoks ini rupanya hasil sampingan dari pernyataan aksioma tak difinisi (unrestricted) atau abstraksi yang menjadi bagian dari teori himpunan. Aksioma yang dimunculkan oleh Cantor dalam bentuk penyataan P(x), dimana x adalah peubah bebas, dimana akan menentukan himpunan yang anggota-anggotanya memenuhi kriteria P(x). Mengawali paradoksnya, Russell membedakan himpunan menjadi dua, yaitu: himpunan normal dan himpunan tak-normal. * Himpunan normal adalah himpunan yang tidak berisikan dirinya sendiri sebagai anggota himpunan. Contoh: himpunan semua kucing, himpunan siswa disebut sebagai himpunan normal, karena himpunan itu sendiri bukanlah kucing atau siswa.* Himpunan tak-normal adalah himpunan yang berisikan dirinya sendiri sebagai anggota. Contoh: himpunan semua yang bukan kucing, himpunan semua yang bukan siswa.

            S = {x x €/ x}

Apakah S anggota dari S?- Apabila S €/ S, maka S memenuhi kriteria (x €/ x) menjadi anggota himpunan S, dan paradoksial terjadi, S € S.- Apabila S €/ S, tidak dapat memenuhi kriteria (x €/ x) menjadi anggota himpunan S, dan paradoksial terjadi, S €/ S.

* €/ (Bukan anggota himpunan);  € (anggota himpunan)

Kontradiksi: Jika S €/ S maka S € S; jika S € S, maka S €/ S disebut dengan paradoks Russell. Untuk memperjelas (atau membuat makin tidak jelas) paradoks tersebut, Russell memberi puisi yang berjudul Paradoks tukang cukur:

Saya mencukur semua orang di desa, yaitu hanya orang yang tidak mencukur dirinya sendiri.

Tertarik dengan matematikaDesember 1894, Russell menikah dengan Alys Pearsal Smith, sebelum pergi ke Berlin untuk mendalami demokrasi sosial selama beberapa bulan. Setelah itu menetap di dekat Haslemere, yang mencurahkan waktunya untuk mempelajari filsafat. Tahun 1900,

menghadiri konggres matematikal di Paris. Pada kesempatan ini Russell tertarik dengan pemikiran matematikawan Italia, Peano, sehingga serta merta mempelajari makalah-makalah Peano. Tidak lama dia menulis Principles pada tahun 1903, namun teori temuannya baru muncul sebagai artikel pada tahun 1908 Mathematical Logic as Based on the Theory of Type.

Terpilih sebagai anggota Royal Society pada tahun 1908. Tidak lama kemudian bersama, rekannya, Alfred North Whitehead berkolaborasi mengarang Principia Mathematica yang terdiri dari 3 jilid dan terbit pada tahun 1910, 1912 dan 1913 yang dapat disebut karya puncaknya. Dalam buku ini mereka berdua memberi penjelasan rinci tentang turunan-turunan  (derivation) dari theorema-theorema utama dalam teori himpunan, aritmatika terhingga dan tak-terhingga dan teori pengukuran dasar. Berencana mengarang buku tentang geometri, namun tidak pernah dapat diselesaikannya.

Memilih karir di Trinity, namun karirnya di Trinity tidak bertahan lama karena Russell dicurigai dan banyak terlibat  dengan kegiatan-kegiatan anti-perang sehingga tahun 1916, diberhentikan dari Trinity. Pihak Trinity pernah memberi peringatan, namun tidak digubris sehingga dilaporkan ke pihak berwajib, dan Russell sempat masuk penjara selama 6 bulan. Di dalam penjara ini, Russell menulis Introduction to Mathematical Philosophy (1919).

Menjadi dosenTahun 1920, Russell mengunjungi Rusia guna mempelajari kondisi-kondisi Bolshevikisme secara langsung, sebelum pergi ke Cina untuk mengajar filsafat  di Universitas Peking. Bercerai, kembali menikah dengan Dora Black dan tinggal di Chelsea. Tahun 1927, bersama istrinya mendirikan sekolah untuk anak-anak, namun tidak dilanjutkan pada tahun 1932. Kembali cerai pada tahun 1935, namun pada tahun yang sama menikah dengan Patricia Helen Spence. Tahun1938 pergi Amerika dan mengajar di pelbagai universitas terkemuka di sana. Terlibat masalah hukum ketika mengajar filsafat di College of the City of New York karena pandangan Russell tentang moralitas ‘sedikit’ berbeda.  Kontrak mengajarnya serta merta diputus, sebelum akhirnya Russell menerima kontrak mengajar selama 5 tahun pada Yayasan Barnes yang diketuai oleh Albert C. Barnes pada tahun 1943.

Tidak pernah mau kembali ke Trinity sampai tahun 1944. Menikah empat kali  dan banyak terlibat dengan affair-affair, dimana semua ini membuat dirinya gagal menjadi kandidat Parlemen pada tahun 1907, 1922 dan 1923. Diangkat menjadi Earl Russell pada tahun 1931, setelah saudaranya meninggal.

Pemikiran RussellRussell mencetuskan teori tipe-tipe pada tahun 1908. Teori dipilah menjadi dua versi, “teori sederhana” dan “teori turunan (ramified).” Kedua versi teori ini mendapat kritik tajam. Disebutkan bahwa teori ini terlalu dangkal karena tidak dapat menyelesaikan paradoks-paradoks yang diketahui. Bagi pihak lain teorinya terlalu mendalam karena sulit dipraktekkan ke dalam difinisi-difinisi matematika karena terlalu konsisten, dan melanggar prinsip lingkaran tak-berujung (vicious circle).

Tanggapan Russell bagi yang kritik kedua adalah, dalam lingkup teori turunan (ramified), aksioma diubah menjadi lebih sederhana (reducibility). Meskipun aksioma ini dapat ‘mengendurkan’ prinsip lingkaran tak-berujung dalam aplikasinya, namun banyak orang yang menyatakan bahwa cara ini terlalu disederhakan guna diselaraskan dengan filsafat.

Pada saat bersamaan Russell juga menekuni logika, teori bahwa matematika dapat diubah secara sistematis (reducible) menjadi logika. Sanggahan pertama terdapat dalam Principles, dan sanggahan lebih rinci ada dalam Principia Mathematica, logika Russell terdiri dari dua proposisi atau argumen (thesis). Pertama, semua kebenaran-kebenaran matematikal dapat ditetapkan sebagai bagian dari logika. Kedua, semua pembuktian-pembuktian matematikal dapat dimanifestasikan sebagai pembuktian-pembuktian logikal atau dengan kata lain theorema-theorema matematika menjadi bagian tak terpisahkan dari logika.

Seperti [Gottlob] Frege, gagasan awal Russell mempertahankan logika yang menyatakan bahwa bilangan-bilangan dapat diidentifikasikan sebagai kelompok  dalam kelompok dan pernyataan-pernyataan bilangan-theoritik.

Contoh: bilangan 1 dapat diidentifikasikan dengan semua satuan kelompok dari suatu kelompok, dan bilangan 2 diidentifikasi sebagai kelompok yang beranggotakan dua kelompok dan seterusnya.  Pernyataan, misal, ada “dua buah buku” dapat dinyatakan sebagai “Ini buku x dan ada buku y, dimana y dan x tidak identik. Disusul dengan operasi-operasi bilangan –teoritis yang dapat dijelaskan dengan notasi dan istilah yang biasa dipakai dalam himpunan seperti: interseksi, union, dan sejenisnya.

Dengan cara yang sama Russell berupaya menggunakan logika untuk menjelaskan problem-problem mendasar dalam  matematika, selain itu juga digunakan untuk menyelsaikan problem-problem dalam filsafat. Sebagai salah satu penggagas “filsafat analitik’, Russell dikenang dalam karyanya dengan menggunakan logika tingkat pertama (first order) untuk menunjukkan bagaimana berbagai jenis kalimat dapat dipilah ke dalam predikat-predikat dan peubah-peubah kualitiatif.

Aktivis sampai tuaRussell kembali terpilih sebagai anggota Royal Society pada tahun 1944. Mendapatkan  medali Sylvester dari Royal Society dan tahun 1934 mendapat medali de Morgan dari London Mathematical Society. Puncaknya adalah memperoleh hadiah Nobel dalam bidang kesusastraan pada tahun 1950. Rupanya makalah “Logical Atomism” yang dikarang pada tahun 1924 tentang pandangan filsafat mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan sejarah filsafat.

Selama tahun 1950-an sampai dengan tahun 1960-an, Russell menjadi inspirasi bagi kalangan remaja karena kampanye anti-perang dan protes anti-nuklir yang dicanangkannya. Bersama dengan Einstein, pada tahun 1955, mengeluarkan manifesto yang berisikan pelucutan senjata nuklir.

Keterlibatan Russell dengan pelucutan senjata nuklir makin gencar sehingga ditangkap

masuk penjara. Dihukum penjara selama dua bulan namun sakit dan harus dirawat di rumah sakit penjara. Russell tetap menjadi figur publik sampai meninggalnya di usia 97 tahun. 

SumbangsihMemberi kelengkapan dan warna matematika. Menggunakan matematika, khususnya teori himpunan, untuk menyelesaikan problem-problem matematika,  filsafat  dan mencoba dengan problem-problem kualitatif. Pandangan-pandangan filsafat dan berbagai karya yang menyangkut banyak topik merupakan peninggalan Russell.

Adalah suatu baru ujian bagi teori-teori yang sahih tidak hanya untuk disimpan namun digunakan untuk memprediksi suatu fenomena(It is a test of true theories not only to account for but to predict phenomena)

William Whewell

Matematikawan yang mengalami dua Perang Dunia

Jacques Salomon Hadamard(1865 – 1963)

Masa kecilAmedee Hadamard menikah dengan Claire Marie Jeanne Picard dan setahun kemudian lahirlah Jacques Salomon Hadamard (selanjutnya disingkat Hadamard) di Versailles, Perancis. Amedee adalah keturunan Yahudi adalah guru yang mengajar banyak subyek seperti: klasik, tata-bahasa, sejarah dan geographi, sedangkan ibunya adalah guru piano yang mengajar piano di rumah. Ketika Hadamard lahir sebagai anak sulung, Amedee masih mengajar di Versailles, namun saat Hadamard berusia tiga tahun, mereka pindah ke Paris dan Amedee menduduki suatu jabatan di Lycee Charlemagne.  

Pada masa itu tinggal di Paris bukanlah hal yang menyenangkan. Perang Perancis dengan Jerman yang dimulai pertengahan tahun 1870 berakhir tragis bagi Perancis karena tidak sampai 2 bulan Paris sudah dikepung pasukan Jerman. Penduduk yang kena ‘embargo’ ini membunuhi kuda, kucing dan anjing guna menyambung hidup mereka. Hadamard bahkan memakan daging gajah untuk bertahan hidup. Awal tahun 1871, Paris menyerah dan harus menandatangani perjanjian Frankfurt pada tanggal 10 Mei 1871, yang memberi aib bagi Perancis. Selang waktu antara keharusan untuk menyerah dan penandatanganan perjanjian itu, pecah perang sipil di Paris dan rumah Hadamard rata dengan tanah karena dibakar.   

Perang membawa petaka sendiri bagi Hadamard. Adik perempuan Hadamard, Jeanne meninggal pada tahun 1870 sebelum Paris dikepung dan aik perempuan lainnya, Suzanne yang lahir pada tahun 1871, meninggal pada tahun 1874.

Masa sekolahHadamard sekolah di tempat ayahnya mengajar, Lycee Charlemagne. Semua pelajaran

diraih dengan nilai memuaskan kecuali matematika. Keahlian utama adalah bahasa Yunani dan bahasa Latin, sedangkan untuk matematika sampai kelas V selalu menduduki ranking hampir paling buncit. Pengaruh guru ternyata besar, pertengahan tahun pada kelas V ini, Hadamard mampu meraih ranking 2 dalam bidang matematika karena senang dengan cara mengajar guru matematika. Tahun 1875 terpilih sebagai murid teladan dan menang dalam beberapa kejuaraan karena mampu memenangkan kompetisi antar siswa. Rupanya tahun ini pula merupakan titik balik dalam hidup Hadamard.

Ayahnya dipindahkan ke Lychee Louis-le-Grand karena bukan pengajar yang cocok oleh Lychee Charlemagne lagi dan kembali Hadamard bersekolah di sini mulai tahun 1876. Lulus tingkat sarjana muda pada tahun 1882 dengan meraih penghargaan dalam bidang sains. Menjadi juara pertama dalam aljabar dan mekanika pada kontes yang diselenggarakan di Concours General pada tahun 1883.

Menjadi guru sekolahTahun 1884, Hadamard mengikuti ujian masuk Ecole Polytechnique dan Ecole Normale Superieure. Di kedua universitas terkemuka ini Hadamard diterima dan masuk peringkat satu. Hadamard memilih masuk Ecole Normale Superieure, dimana tidak lama berteman dengan Hermite, Darboux, Appell, Jules Tennery, Goursat dan Emile Picard. Di universitas ini Hadamard banyak melakukan riset, investigasi pada problem-problem guna memperkirakan determinan yang terbentuk dari koefisien-koefisien deret-deret berpangkat. Menjelang penghujung tahun 1888, Hadamard lulus.

Setelah lulus ini, sambil melakukan riset untuk meraih gelar doktorat, Hadamard menjadi guru sekolah. Mengajar di Lychee Saint-Louis selama beberapa bulan sebelum bertahan di Lychee Buffon selama tiga tahun. Menjadi guru sekolah yang kurang populer karena mengajar mata pelajaran dan sulit serta banyak menuntut anak berprestasi. Salah seorang muridnya, Frechet, kelak terus menjalin hubungan dengannya lewat korespondensi.  Gelar doktorat baru diraihnya pada tahun 1892 dengan tesis tentang fungsi-fungsi dari deret Taylor. Karyanya tentang fungsi-fungsi peubah kompleks merupakan karya rintisannya ini dapat digunakan untuk memeriksa teori umum fungsi-fungsi analitik, teristimewa sekali tesisnya yang berisikan karya umum pertama tentang singulariti.

Pada tahun ini pula Hadamard mendapatkan Grand Prix des Sciences Mathematique untuk makalahnya yang berjudul Determination of the number of primes less than a given number. Makalah ini berusaha mengisi celah-celah pada karya Riemann tentang fungsi-fungsi zeta, disertai dengan dukungan dari teman-temannya terutama Hermite dan Stieltjes. Memang Stieltjes pernah menyatakan pada tahun 1885 bahwa dia dapat membuktikan hipotesis Riemann, namun tidak pernah menerbitkan “pembuktian”, namun setelah tahun 1890 disebutkan bahwa ada hadiah bagi siapapun yang dapat membuktikan hipotesis itu, Stieltjes mengakui bahwa masih ada “lubang” dalam pembuktiannya yang belum dapat “ditambal” olehnya.

Membuktikan theorema Riemann Tahun 1892 adalah tahun istimewa bagi Hadamard. Selain meraih prestasi di atas terjadi perubahan dalam kehidupan pribadinya. Pada tahun ini, Hadamard menikah dengan

Louise-Anna Trenel yang seperti halnya Hadamard mempunyai darah Yahudi. Mereka saling mengenal sejak masa kanak-kanak dan sama-sama menyukaui musik. Setahun setelah menikah mereka pindah ke Bordeaux dan Hadamard menjadi dosen universitas di sana. Awal tahun 1896, Hadamard diangkat sebagai profesor bidang astronomi dan mekanika di universitas Bordeaux. Selama empat tahun mengajar, Hadamard mempunyai dua orang anak, Pierre dan Etienne, disamping terus melakukan riset.

Produktivitas Hadamard pada periode ini dapat dikatakan sangat luar biasa karena mampu menerbitkan 29 makalah matematika dengan beragam topik, namun hasil yang terpenting adalah pembuktian tentang theorema bilangan prima yang dicetuskan pada tahun 1896 yaitu:

Jumlah bilangan prima ≤ n cenderung menjadi ∞ apabila n/ln n

Theorema cetusan Riemann ini (1851) memang menjadi topik favorit para matematikawan pada sampai hari. Pada saat bersamaan (meskipun secara terpisah) Poussin juga berusaha membuktikan dengan cara berbeda, yaitu menggunakan analisis kompleks, namun tetap tidak dapat membuktikan theorema itu. Topik lain yang menjadi perhatian Hadamard adalah menghitung lintasan (trajectory) yang memicu penemuan persamaan-persamaan diferensial non-liner – dituang dalam bentuk makalah - ternyata mampu memberi solusi pada bidang geodesi. Karya ini memberi sumbangsih dalam bidang geometri dan hukum gerak (dinamik).

Karya lain yang diterbitkan semasa masih di Bordeaux adalah ketidaksamaan determinan (inquality determinant). Matriks yang mempunyai determinan-determinan yang memenuhi kuatilas tertentu dalam hubungannya dengan matriks disebut dengan matriks Hadamard dan memegang peran penting dalam teori persamaan-persamaan integral, coding theory dan bidang-bidang lain yang terkait.

Terlibat dengan politikDi Bordeaux, Hadamard menerjunkan diri dalam dunia politik. Keterlibatan ini atas ajakan Alfred Dreyfus, masih saudara jauh istrinya, yang datang dari Alsace. Dreyfus adalah keturunan Yahudi dan mempunyai karir dalam bidang militer. Tahun 1894, dia dituduh menjual rahasia perang kepada Jerman dan dihukum dengan penjara seumur hidup. Ada nuansa diskriminasi di sini. Pada awalnya, Hadamard, sama seperti lainnya, percaya bahwa Freyfus bersalah, namun begitu dokumen-dokumen diungkapkan, tampaknya kasus ini direkayasa untuk kepentingan tertentu. Ketidakadilan ini membuat Hadamard berujuk rasa menuntut tegaknya keadilan dengan segala upaya membebaskan Dreyfus dari hukuman. 

Pada tahun 1898, Hadamard mendapat dukungan dari novelis Emile Zola yang penuh semangat menuntut Dreyfus dibebaskan  dan pemerintah merehabilitasi nama baiknya. Bahkan Zola pernah dipenjara dan didenda 3000 frank, namun Hadamard terus berupaya keras memberisihkan nama Dreyfus sampai akhirnya disetujui pembebasan Dreyfus pada tanggal 22 Juli 1906. Keterlibatan Hadamard dalam politik ini dilakukan setelah dia mengundurkan diri dari jabatannya di Bordeaux pada tahun 1897 dan tinggal di Paris.

Pada masa ini pula Hadamard pernah menduduki jabatan kurang penting pada Fakultas Sains di Sorbonne.

Kembali menekuni matematikaSampai di Paris, Hadamard kembali produktif. Pada akhir tahun 1897, dia menerbitkan buku pertama dari Lecons de Geometrie Elementaire, dilakukan sedikit perubahan pada awal tahun 1898 dan disusul buku kedua yang terbit pada tahun 1901. Karya-karya geometri dari Hadamard ini membawa dampak   besar bagi pengajaran matematika di sekolah-sekolah Perancis setelah direkomendasikan oleh Darboux. 

Pada tahun ini pula Hadamard menerima Poncelet Prix atas penelitian-penelitian matematika yang dilakukan selama kurun waktu sepuluh tahun. Di Paris, penelitiannya beralih ke fisika matematikal, meskipun dia tetap bersikeras bahwa dirinya adalah seorang matematikawan, bukan fisikawan. Karya utamanya tentang persamaan-persamaan diferensial dalam fisika matematikal sangatlah penting dengan topik bahasan tentang geodesik di atas permukaan negatif (negative curvature) menjadi dasar bagi dinamika simbolik (symbolic dynamics). Masih ada karya lain yang menyangkut elastisitas, optik, hidrodinamik dan problem-problem nilai batas (boundary value), dimana topik terakhir ini dirintis olehnya.

Selama lima tahun tinggal di Paris, Hadamard mempunyai dia anak lagi yaitu: Mathieu, Cecile dan Jacqueline. Berbagai penghargaan dalam matematika masih terus diperoleh bahkan pada tahun 1906 dipilih menjadi Presiden French Mathematical Society. Tahun 1909 diangkat menjadi kepala departemen mekanika di College de France. Setahun kemudian mengeluarkan buku Lecons sur le des variations yang membantu meletakkan dasar bagi analisis fungsional. Puncaknya, pada tahun 1912 diangkat menjadi profesor analisis di Ecole Polytechnique menggantikan Jordan dengan dukungan kuat Poincare yang   beberapa bulan kemudian meninggal dan Hadamard serasa mempunyai tanggung jawab meneruskan tugas-tugas pendukungnya ini. Lewat kerja keras, karena karya Poincare sangalah beragam, Hadamard dapat menghasilkan  dua karya utama.

Sukses akademisSukses terus mengiringi Hadamard, karena pada penghujung tahun 1912, dia sukses menggantikan jabatan Poincare di Academy of Science. Sejak menikah sampai  masa-masa menjelang Perang Dunia I disebutkan oleh Hadamard adalah masa-masa behagia. Perang Dunia membawa tragedi bagi Hadamard karena kedua putranya meninggal dalam mengemban tugas perang. Pierre meninggal ketika Hadamard sedang mengajar di Roma dan baru diberitahu setelah sampai di Paris. Disusul terbunuhnya Etienne dua bulan kemudian. Kedua anak lakinya itu meninggal di Verdun.

Guna mengalihkan rasa duka itu, Hadamard menghabiskan waktu dengan makin mendalami matematika. Ditawari untuk meneruskan jabatan Appell sebagai kepala bidang analisis di Ecole Centrale pada tahun 1920 namun dia tetep hanya mau memegang jabatan di Ecole Polytechnique dan College de France saja. Tahun-tahun beritunya dia lebih sering melakukan perjalanan ke mancanegara. Tahun 1933, mengunjungi Amerika, Spanyol, Ceko, Italia, Swis, Brazil, Argentina dan Mesir.

Hadamard adalah matematikawan terkemuka setelah Poincare. Bukan hanya meneruskan sukses pendahulunya dan orang yang digantikannya. Pada ulang tahun ke 50 Institut de France, Hadamard memperoleh kehormatan dengan disemati dengan medali emas dari Institut dan mendapat pujian dari berbagai ilmuwan di seluruh dunia. Tidak terhitung artikel dan sumbangsih Hadamard dalam bidang matematika. Karyanya meliputi 300 makalah ilmiah dan buku dengan jangkauan yang lebih luas. Karyanya berjudul The psychology of invention in the mathematical field (1945) adalah suatu karya spektakuler dalam bidang matematika. Pengabdiannya sebagai seorang guru selalu dikenang oleh para muridnya dan karya-karyanya dalam bidang analisis memberi dampak besar baik langsung maupun tidak langsung. Masa tuaSetelah perang berakhir, Hadamard banyak melibatkan diri dengan kampanye perdamaian dan memberi dukungan bagi matematikawan Amerika. Puncaknya Hadamard mengikuti International Congress di Cambridge, Massachusetts pada tahun 1950, dan diangkat menjadi presiden kehormatan Kongres tersebut. Sebuah tragedi kembali dialami oleh Hadamard pada tahun 1962, ketika seorang cucunya Etienne - sama dengan nama anaknya, meninggal dalam pendakian gunung. Merasa kehilangan dan semangatnya runtuh membuat dia tidak pernah ke luar rumah lagi

SumbangsihBidang matematika yang ditekuni dan diteliti oleh Hadamard sangatlah luas, namun yang memberi nama besar padanya adalah kajian dan upayanya untuk memecahkan theorema Riemann yang sampai hari in belum dapat dibuktikan namun cara atau metode yang dikembangkan oleh Hadamard, kemudian banyak dipakai sebagai salah satu kunci guna membuka ‘rahasia’ theorema itu.Sukses meneruskan kejayaan matematikawan Perancis yang dilanjutkan lewat tongkat estafet yang diberikan oleh Poincare. Rupanya pandangan Poincare tidak salah karena Hadamard mampu meneruskan karya-karya dan sukses menggantikan  jabatannya.

Hermann Minkowski(1864 – 1909)

RiwayatMeskipun lahir di Alexotas, Rusia (sekarang masuk bagian Lithuania), Hermann Minkowski menimba ilmu di universitas Berlin dan Konigsberg. Tahun 1885 memperoleh gelar Doktorate dari universitas Konigsberg, sebelum menjadi dosen di berbagai universitas seperti: Bonn, Konigsberg dan Zurich. Di Zurich, salah seorang mahasiswa yang menghadiri kuliahnya adalah Einstein.

Tahun 1902, Minkowski menerima tawaran menjadi pimpinan universitas Gottingen, yang terus disandangnya sampai meninggalnya. Di Gottingen ini, Minkowski mempelajari fisika matematikal dari Hilbert dan rekan-rekan lainnya. Pernah menghadiri seminar tentang teori elektron pada tahun 1905 dan belajar sendiri teori tentang elektrodinamika.

Tahun 1907, Minkowski mengungkapkan bahwa karya Lorenz dan Einstein akan lebih mudah dipahami lewat konsep ruang non-Euclidian. Menggagas ruang dan waktu, yang awalnya disangka dapat dipisahkan, ternyata menjadi “pasangan abadi” dalam dimensi keempat dari ‘kontinuum ruang-waktu’. Temuan ini digunakan sebagai kerangka acuan dalam elektrodinamika. Karya-karya ini dituang dalam Raum und Zeit (1907) dan Zwei Abhandlungen uber die grundgleichungen der Elektrodynamik (1909).  

PeninggalanKerangka acuan “kontinuum ruang-waktu” ini digunakan sebagai pelengkap dasar matematikal dalam teori relativitas. Gagasan ini kelak digunakan oleh Einstein dalam mengembangkan teori relativitas umum. Matematika ruang-waktu dicetuskan Minkowski lewat paparan tiga jenis ruang berbeda yang semuanya dilalui oleh (garis) panah waktu yang berawal dari titik origin. Tiga jenis ruang itu masing-masing berbentuk: kerucut, hiperbolik dan titik, dimana semua ruang itu, digambarkan, mempunyai satu titik origin. Cara revolusioner Minkowski ini memungkinkan orang mengukur jarak dalam ruang-waktu. Matematika ini relatif sederhana karena hanya menggunakan vektor.

Einstein, seperti sudah disebut di awal, pernah menjadi murid Minkowski, namun karena namanya tidak termasuk dalam daftar nama murid-murid yang direkomendasikan oleh pihak akademi, sehingga Einstein tidak mendapat perhatian. Setelah lulus dari ETH (1900), Einstein yang tidak mendapat posisi di ETH, pergi ke Swiss dan mendapat kewarganegaraan di sana. Beruntungkah Einstein karena pada kuliah Minkowski ini berteman dengan mahasiswa tekun bernama Marcel Grossman (1878 – 1936) *) bahkan saat dia tidak memperoleh pekerjaan di Swiss, ayah Grossman memberi referensi sehingga Eistein diterima sebagai karyawan kantor patent.

Ketika Einstein mengeluarkan teori relativitas spesial, Minkowski membahas implikasi matematika yang digunakan Einstein dengan menggunakan kerangka ruang empat dimensi yang acapkali disebut dengan ruang Minkowski.

Minat Minskowski sepenuhnya pada matematika murni dengan mengeluti bentuk-bentuk kuadratik dan fraksi-fraksi berupa deret tak terhingga. Karya besarnya adalah “bilangan-bilangan geometri.” Sayang umur Minkowski tidak panjang karena meninggal pada usia 44 tahun karena radang usus buntu.

*) Marcel Grossman belajar matematika di Politeknik Zurich dan meraih gelar doktorat pada tahun 1912. Diangkat menjadi profesor geometri deskriptif di ETH pada tahun 1907. Grossman mengenalkan Einstein pada diferensial kalkulus yang dicetuskan oleh Elwin Bruno Christoffel (1864) dan kemudian dikembangkan di universitas Padova oleh Gregono Ricci Curbastro dan Tullio Levi Civita (1901). Dari sintesa antara matematika dan fisika teoritis ini dihasilkan teori relativitas umum.

SumbangsihNamanya lebih banyak terkait dengan konsep ruang-waktu yang mendasari teori relativitas umum Einstein. Ruang Minkowski (Minkowski space) adalah gagasan

matematika Minkowski – dengan menggunakan vektor - yang memungkinkan orang mengukur jarak dalam ruang-waktu, dua hal yang sudah mengkristal menjadi satu kesatuan.

Tujuan-tujuan dari pemikiran saintifik adalah untuk mengetahui sesuatu yang berlaku umum dalam sesuatu hal yang berbeda dan memahami keabadian dari hal yang fana. (The aims of scientific thought are to see the general in the particular and the eternal in the transitory) 

Alfred North Whitehead

Dosen adalah jalan hidup matematikawan ini

Alfred North Whitehead (1861 – 1947)

Masa kecilAyah Alfred North Whitehead bernama Alfred Whitehead (nama sama) adalah seorang pendeta Anglikan yang tinggal di Ramsgate. Ibu Alfred North Whitehead adalah Maria Sarah Buckmaster yang berasal di London. Gambaran tentang ayah Whitehead adalah mempunyai banyak teman dan sangat bangga dengan pekerjaannya, sehingga sering disebut bahwa lebih menguasai isi Perjanjian Baru daripada tugas keluarga.

Keluarga ini mempunyai empat orang anak dan Alfred adalah anak bungsu. Mempunyai dua kakak laki dan seorang kakak perempuan. Kedudukan sebagai  anak bungsu, membuat Alfred kecil mudah sakit dan manja. Hal ini membuat Alfred tidak pernah menikmati sekolah dasar dan pendidikan diperoleh lewat ajaran ayahnya sampai dia berumur 14 tahun. Sebenarnya Alfred adalah anak yang sehat, namun menurut pandangan kedua orangtuanya dianggap anak yang  sakit-sakitan. Disayang oleh ayah dan kedua saudara lakinya, namun kurang mendapat perhatian dari ibunya sehingga dia menyatakan bahwa masa kecilnya tidak bahagia dan kesepian, meskipun materi tidak menjadi kendala bagi dirinya.

Sang ayah mengajarinya bahasa latin pada umur 10 tahun disusul dengan bahasa Yunani begitu usianya 12 tahun. Meskipun tidak dapat dikatakan mahir, namun penguasaan Whitehead terdapat kedua bahasa ini tidaklah terlalu buruk. Sampai usia ini tidak ada gejala bahwa Whitehead kelak menjadi orang jenius. Mempelajari matematika lewat sang ayah, namun tidak diketahui alasan apa yang membuat dirinya sangat tertarik dengan matematika. Baru pada tahun 1875, dia meninggalkan tempat tinggal ayahnya dan masuk Sherbourne Independent School. Setahun kemudian, 1876, kakaknya menjadinya pengajar di sekolah ini, ketika Whitehead sudah menginjak tahun kedua.

Bakat matematikaMasuk di sekolah dengan mutu standar ini, Whitehead tidak mempunyai banyak pilihan jurusan sehingga semua murid belajar subyek-subyek mayor seperti: bahasa Latin, bahasa

Yunani dan bahasa Inggris, dan subyek-subyek minor seperti: matematika, fisika, sejarah, geographi dan bahasa-bahasa modern yang kurang mendapat perhatian.

Ternyata Whitehead menunjukkan bakat di bidang matematika dan bahkan belajar matematika setelah lulus sekolah, mengabaikan pelajaran komposisi pada bahasa dan membaca puisi bahasa Latin hanya untuk menekuni matematika.

Tahun 1879, Whitehead mengikuti ujian masuk Trinity College, Cambridge dan sukses mendapatkan bea siswa. Seperti layaknya mahasiswa penerima bea siswa, Whitehead harus tinggal di asrama College. Di sini Whitehead mendapat bimbingan dari J.W.L. Glaisher, H.M. Taylor dan W.D. Niven. Masih ditambah kuliah Stokes dan Cayley dengan pembimbing E.J. Routh. Salah satu teman akrabnya adalah D’Arcy Thompson. Tahun kedua, Whitehead tetap mendapat bea siswa. Mengambil ujian matematikal Tripos pada tahun 1883 dan mampu  mempertahankannya pada tahun berikutnya.

Disertasi Whitehead adalah melakukan pembahasan teori Maxwell tentang teori elektrisiti dan magnetisme memenangkan perlombaan pada tahun 1884. Thomson dan Forsyth yang menjadi juri terkejut dengan hasil ini, karena Whitehead sekali lagi memenangkan salah satu dari lima bea siswa yang disediakan.

Menjadi pengajarSetelah mendapat bea siswa, Whitehead diwajibkan menjadi pengajar dan tugas pertama adalah menjadi asisten dosen. Memberi kuliah matematika, namun sampai lima tahun kontraknya sebagai pengajar selesai, belum ada satupun makalah yang menjadi karyanya. Tidak diketahui apakah Whitehead melakukan penelitian matematika selama periode tersebut. Yang diketahui hanya bahwa dirinya suka menyendiri dan jarang melakukan komunikasi dengan sesama matematikawan. Setelah mengajar selama 12 tahun, Whitehead mengeluarkan 2 makalah secara bersamaan pada tahun 1889 tentang gerak tekanan pada zat cair. Rupanya topik yang menarik hatinya ini terpengaruhi oleh kuliah Stokes tentang materi tersebut.

Meskipun tidak ada tulisan ilmiah, namun Whitehead dipromosi sebagai pengajar di Cambridge pada tahun 1888. Pada saat itu dia juga merangkap sebagai pengajar di Girton College. Disadarinya bahwa ‘kekuatan’ dirinya adalah mengajar bukan mengarang. Titik balik terjadi setelah dia menikah dengan Evelyn Wade di London pada akhir tahun 1890. Whitehead yang pendiam dan suka menyendiri kontras dengan istrinya yang aktif dan mudah bergaul. Hasilnya Whitehead yang getol mempelajari matematika murni dan mencanangkan proyek penulisan Treatise on Universal Algebra pada awal tahun 1891, beberapa minggu setelah hari pernikahannya. Proyek ini sampai tahun 1998, juga belum selesai. Perkawinan ini berbuah dengan lahirnya dua anak laki dan seorang anak perempuan.

Setelah menikahPerubahan lain dari Whitehead setelah menikah adalah kepercayaan. Ayahnya adalah seorang biarawan Anglikan, dan sebagai anak Whitehead secara otomatis mempunyai kepercayaan yang sama. Namun pada kisaran tahun 1890, dia mulai berpaling untuk

menjadi Katholik. Terjadi pertentangan batin selama tujuh tahun sebelum memutuskan apakah tetap Anglikan atau Katholik. Akhirnya yang dipilih adalah faham agnostik (kepercayaan bahwa tidak ada bukti tentang keberadaan Tuhan, namun tidak menutup kemungkinan bahwa Tuhan itu ada). Faham ini dianut karena menurut pendapatnya, faktor paling utama dalam dalam perkembangan sains adalah bersikap agnostik. Dasar pandangan ini adalah Whitehead menganggap bahwa fisika Newton adalah keliru.  Tampaknya upaya untuk mengkoreksi teori Newton ini menjadi dasar pandangan religius seseorang. Dari aspek di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa Whitehead punya minat dalam mengembangan filsafat dan metafisika. 

Meskipun Whitehead menjadi produktif setelah menikah, namun tidak ada hal-hal baru yang termaktub dalam karyanya. Ide-ide matematikanya hanyalah mengulas ulang dari matematikawan sebelumnya seperti: Sylvester (invarian), Hamilton (quaternions), Grassman (pengembangan kalkulus/calculus of Extension) dan Boole (aljabar simbolik). Namun semua itu mampu memuaskan Universitas Cambridge sehingga pada tahun 1903, dia diangkat menjadi dosen senior sekaligus sebagai anggota penguji pada Mathematical Tripos.

Whitehead terus berkarir di Cambridge sampai tahun 1910. Merasa karirnya sudah berhenti, dia pindah ke Universitas London yang kurang terkenal setelah sempat beberapa bulan menganggur. Empat tahun di tempat baru ini, Whitehead meraih kedudukan tinggi, menjadi profesor matematika terapan di Imperial College of Science and Technology.

Bertemu RussellRussell masuk Cambridge pada tahun 1890 dan pada saat itu Whitehead adalah seorang penguji. Rupanya penguji ini tertarik dengan kepiawaian Russell setelah membaca makalah-makalah karyanya. Dengan dukungan Whitehead, Russell memperoleh bea siswa, dimana baru tahun kedua Russell diajar oleh Whitehead. Kolaborasi ini dimulai pada tahun 1900 dengan menggagas, kelak menjadi  karya besar mereka, Principia Mathematica. Apabila ditelusuri lebih jauh, maka kolaborasi ini terjadi setelah mereka berdua tertarik dengan karya Peano tentang dasar-dasar matematika yang dipaparkan pada konggres matematikawan di Paris pada tahun 1900.

Ketika mereka berkolaborasi, Whitehead sedang menyelesaikan artikel Memoir on the algebra of symbolic logic sedangkan Russell dalam tahap akhir penulisan naskah Principles of Mathematics. Sebenarnya Whitehead akan melanjutkan tulisan, jilid kedua, untuk Tratise on Universal Algebra, namun rencana ini gagal saat pada tahun 1901, Russell menemukan paradoks dalam teori himpunan yang kemudian lebih dikenal dengan nama paradoks Russell. Buku Principia Mathematica (terdiri dari 3 jilid yang terbit pada tahun 1910, 1912 dan 1913) hasil kolaborasi ini dapat dikatakan luar biasa karena merupakan karya gabungan antara dua orang yang mempunyai latar belakang yang berbeda: Russell sebagai filsuf dan Whitehead sebagai matematikawan. Keduanya berupaya membangun dasar-dasar matematika dengan dasar logika.

Masa tuaWhitehead menjadi profesor di London selama 10 tahun sebelum menerima tawaran

menjadi dosen filsafat di Harvard pada tahun 1924, dan terus mengajar hingga pensiun pada tahun 1937. Semasa menjadi pengajar ini berbagai penghargaan diperoleh Whitehead. Terpilih menjadi anggota Royal Society pada tahun 1903, dan memperoleh medali Sylvester pada tahun 1925. Banyak universitas memberi penghargaan atau gelar kehormatan kepada Whitehead termasuk Manchester, St. Andrews, Wisconsin, Harvard, Yale dan Montreal.

SumbangsihTidak banyak yang diketahui tentang sumbangsih dari Whitehead. Yang dikenal dari Whitehead justru adalah karya kolaborasi bersama Bertrand Russell. Karya-karya matematika pra-kolaborasi banyak berisik rangkuman karya-karya matematikawan Inggris.

Florian Cajori (1859  – 1930)

Masa kecil Seorang insinyur dengan pekerjaan membangun jalan dan jembatan di Swiss yang banyak gunung dan bukit, membutuhkan keahlian dan kemampuan tinggi. Georg Cajori adalah salah seorang daripada orang yang menenuhi kriteria itu adalah ayah dari Florian Cajori dan beristrikan Catherine Camenisch. Keduanya tinggal di Swiss dan Florian Cajori lahir di sebuah kota kecil. Cajori Mengenyam baku pendidikan di Zillis sebelum pindah ke kota yang lebih besar, Chur.  Masa remaja Cajori justru di Amerika, karena pada tahun 1875, migrasi ke sana dan melanjutkan sekolah di Whitewater, Wisconsin. Setelah lulus Cajori menjadi guru di desa, sebelum akhirnya mengambil jurusan matematika di Universitas Wisconsin. Lulus tahun 1883, dan melanjutkan ke Universitas John Hopkins namun hanya bertahan 18 bulan.  Pergi dari Universitas John Hopkins, Cajori ditunjuk sebagai asisten profesor di Universitas Tulane di New Orleans meski tidak lama kemudian baru diangkat sebagai master oleh universitas Winconsin pada tahun 1885. Tahun 1887, Cajori menjadi profesor untuk matematika terapan di Tulane.  Jabatan ini tidak lama dipegang karena tidak lama kemudian pindah ke Corolado Collage sebagai ketua jurusan fisika yang dijabat dari tahun 1889 sampai tahun 1898.  Rupanya bosan dengan fisika, sehingga dilanjutkan menjabat sebagai ketua jurusan matematika pada College yang sama yaitu mulai tahun 1898 sampai tahun 1918, meskipun selama tahun itu juga dekan departemen rekayasa di Colorado Springs. Baru setelah tahun 1918, Cajori memasuki bidang yang menjadi minat utamanya yaitu sejarah matematika. Topik baru ini teristimewa baginya karena baru pertama kalinya ada di Amerika dan di universitas ternama pula, University of California, Berkeley.

Karya-karya Peran Cajori tidak pernah lepas dari sumbangsihnya terhadap sejarah matematika. Keberadaan ilmu ini, sehingga diterima sebagai subyek studi secara umum, memberinya banyak gelar kehormatan selain kesadaran akan perlunya topik itu bagi para matematikawan. Cajori, awalnya, menulis buku teks

matematika yang sama sekali tidak mengandung kata sejarah seperti An introduction to the modern theory of equations (1904) dan Elementary algebra: First year course (1915). Sebelumnya, memang ada karya Cajori dengan judul sejarah matematika yang berjudul The teaching and history of mathematics in the United States (1890) yang isinya hanyalah ulasan terhadap 22 lembaga di Amerika. Setelah buku ini disusul oleh A History of Mathematics (1894 & 1919/edisi 2). Namun karya puncak Cajori tidak pelak adalah A History of Mathematical Notation (1928-1929) yang sampai saat ini masih menjadi acuan bagi para matematikawan maupun sejarawan di seluruh dunia. Masih banyak karya-karya Cajori lain yang tidak disebutkan. 

Prestasi dan penghargaan banyak diperoleh oleh Cajori. Terpilih menjadi presiden Mathematical Association of America pada tahun 1917-1918, wakil presiden American Association for the Advancement of Science pada tahun 1923 adalah beberapa diantaranya.

Masa tuaBegitu memasuki usia 70 tahun, kesehatan Cajori menurun jauh. Meski sempat mengalami dioperasi besar pada tahun 1930, namun tidak pernah pulih total sehingga 6 bulan kemudian Cajori meninggal dunia di rumahnya di Berkeley. Setelah meninggal Cajori, buku spektakuler karya Newton “Mathematical principles” of Natural Philosophy and His System of the World diterbitkan pada tahun 1934. Cajori mengubah buku Newton agar layak dibaca dengan mengalihbahasakannya ke dalam bahasa Inggris dari bahasa Latin.

SumbangsihMengenalkan sejarah matematika sebagai bahan bacaan wajib bagi para matematikawan sekaligus menjabarkannya ke dalam suatu ilmu yang layak untuk dipelajari. Karyanya yang dibuat dalam A History of Mathematical Notations membuktikan bahwa dirinya sangat rinci dan mendalam dalam mengupas suatu kajian terhadap suatu topik matematika tertentu.

Bapak teori analitik dari pecahan berkesinambungan

Thomas Joannes Stieltjes(1856 – 1895)

Masa kecilThomas Joanne Stieltjes (selanjutnya disingkat Stieltjes) lahir di Zwolle, sebuah kota kecil yang masuk wilayah Overijssel, Belanda. Stieltjes mempunyai dua saudara laki dan empat saudari. Ayahnya adalah seorang insinyur sipil lulusan universitas Leiden  merangkap sebagai anggota parlemen. Nama ayahnya cukup dikenal karena prestasinya cukup membanggakan yaitu sukses membangun pelabuhan Rotterdam. Untuk mengenangnya dibuatlah patung oleh teman-teman dan para pengagumnya dan dipasang di Burgemeester Hoffman Plein, Rotterdam.

Stieltjes mulai kuliah pada tahun 1873 di sekolah Polytechnical di Delft (sekarang Universitas Technical). Bukannya menghadiri kuliah, waktunya lebih banyak dihabiskan di perpustakaan dengan mempelajari karya-karya Gauss dan Jacobi. Akibatnya, mudah diduga, tidak lulus. Mengulang ujian pada tahun 1875 dan 1876, namun kembali gagal.

Matematika adalah jalan hidupMengetahui permasalahan yang dihadapi anaknya, sang ayah mengirimkan Stieltjes untuk membantu temannya, Prof. H.G. van de Sande-Bakhuyzen, Direktur observatorium Leiden. Di sini Stieltjes diangkat sebagai asisten untuk perhitungan-perhitungan astronomikal. Pada masa ini, di sela-sela waktu luang, Stieltjes mempelajari matematika. Pekerjaannya yang banyak terlibat dengan gerakan di ruang angkasa (celestial mechanics) membuat dia berhubungan dengan [Charles] Hermite di Paris. Lewat surat-menyurat dengan Hermite ini, Stieltjes dengan cepat dapat menguasai matematika dan menggunakan waktu luangnya guna melakukan penelitian matematika.

Pada awal tahun 1883, Sande-Bakhuyen menyadari bahwa asistennya ini menyukai matematika, menerima permohonan pengunduran diri Stieltjes dari melakukan pengamatan di observasi dan membiarkannya berkutat lebih jauh dengan topik-topik matematika. Pada tahun ini pula, Stieltjes menikah dengan Elizabeth Intveld, yang sangat mendukung penelitian matematika Stieltjes dan mendorong untuk meninggalkan pekerjaan di bidang astronomi.

September 1883, Stieltjes dimohon untuk mengajar di university of Delft mengantikan F.J. van den Berg yang sedang sakit. Sampai Desember 1883, Stieltjes mengajar geometri analitik dan geometri deskriptif. Setelah mengajar beberapa bulan, Stieltjes menyadari bahwa minatnya adalah bidang matematika, sehingga memutuskan akan berkarir di sana dan mengajukan surat pengunduran diri dari observatorium pada tanggal 1 Desember 1883.

Dalam suratnya kepada Hermite pada awal tahun 1884, disebutkan bahwa: “Saya ditawari menjadi guru besar bidang analisis (kalkulus integral dan diferensial) di universitas Groningen. Saya langsung menerima tawaran ini dan saya percaya bahwa saya dapat lebih berguna.” Tak lupa disebutkan ucapan terima kasih atas jasa dan dukungan yang diberikan Direktur observatorium, Sande-Bakhuyzen.   Kecewa dengan pihak universitasJabatan guru besar yang disandang olehnya di universitas Groningen rupanya tidak memuaskannya karena kualifikasi dirinya yang dianggap kurang. Jabatan itu diberikan padanya namun hanya sebagai dosen pengganti dan tidak memungkinkan Stieltjes untuk menjalai standar yang ada, sehingga tidak ada gelar yang diperoleh oleh Stiltjes dari universitas Groningen. Memang jabatan kosong itu diperebutkan oleh 3 kandidat. Urutan pertama adalah Korteweg disusul Stieltjes pada urutan kedua. Setelah mempertimbangkan, Korteweg memutuskan untuk tetap tinggal di Amsterdam dan mengajar universitas Amsterdam. Jabatan di Groningen jatuh ke tangan Stieltjes, meskipun sempat bersaing dengan Floris de Boer.

Stieltjes memang menduduki jabatan itu, namun Floris de Boer, oleh Dewan Kerajaan (Royal Decree) diangkat menjadi pemimpin universitas. Rupanya Stieltjes ‘dikorbankan’ karena tidak mempunyai gelar akademis dan jabatan itu hanyalah formalitas belaka.

Bulan Mei 1884, Hermite yang menghadiri perayaan ulang tahun ke 300  universitas Edinburg di Skotlandia. Dalam kesempatan ini Hermite berbicara dengan Bieren de Haan, profesor matematika dari negara Belanda, yang juga hadir di sana tentang karir dan jabatan Stieltjes. Mereka berdua kemudian merencanakan agar Stieltjes diangkat sebagai profesor kehormatan (honoris causa) di universitas Leiden dalam bidang matematika dan astronomi. Sande Bakhuyzen, setelah mendengar gagasan ini, serta-merta memberi dukungan. Setelah dirundingkan, Dewan universitas Leiden menulis surat kepada Stieltjes, namun rupanya surat datang terlambat dan rencana itu gagal.

Pindah ke PerancisApril 1885, Stieltjes bersama keluarganya pindah ke Paris, meskipun pada saat yang bersamaan dia terpilih menjadi anggota Royal Academy of Sciences di Amsterdam. Setahun kemudian, Stieltjes memperoleh gelar doktorat dengan tesis mengupas tentang deret asimtotik (asymptotic series). Pada tahun ini pula Stieltjes diangkat menjadi kepala departemen integral dan diferensial kalkulus di universitas Toulouse pada tahun 1889.

Merasa mapan dan senang, Stieltjes menekuni hampir semua bidang analisis, bilangan pecahan dan teori bilangan bahkan mendapat julukan “bapak teori analitik dari pecahan-pecahan berkesinambungan” karena kiprahnya ini. Pertengahan tahun 1894 menerbitkan makalah singkat Recherches sur les fractions continues yang dimuat pada Jurnal Sains Academie des Sciences. Versi lengkap makalah topik itu dimuat pada Jurnal Fakultas Sains universitas Toulouse.Di bawah ini adalah deret pecahan berkesinambungan:

                                                1  a1z +       1                       a2 +      1                      a3z +      1                                                       a4 +    1                                                a5z + …

atau dapat pula ditulis:

  1           1             1             1             1                     a1z + a2 + a3z + a4 + a5z +

Jika deret pecahan terus sampai n, maka diperoleh fungsi rasional Pn(z)/Qn(z), dan Stieltjes mengamati bahwa fungsi rasional ini mempunyai hubungan dengan akar-akar (bilangan) polinomial  Pn(z) dan Qn(z).

Topik-topik lain yang membuat nama Stieltjes dikenang adalah integral Stieltjes yang digunakan untuk menyelesaikan problem momen. Jika diketahui semua susunan momen

dari suatu benda, maka dapat diketahui distribusi massanya. Problem ini timbul dalam pembelajaran tentang dua fungsi yang muncul sebagai hasil limit dari deret P2n(z)/Q2n(z) dan  P2n+1(z)/Q2n+1(z)

Masa akhirMakalah pertama Stieltjes setebal 120 halaman sudah dimuat Juni 1894, sedangkan makalah lanjutannya setebal 40 halaman baru diterbitkan setelah dia meninggal. Karyanya dalam deret peccahan ini memperoleh penghargaan Ormoy (Ormoy Prize) dari Academie des Sciences pada tahun 1893. Karya penting Stieltjes lainnya adalah mendalami teori ruang dari Hilbert selain menekuni deret divergen, persamaan deferensial parsial, fungsi gamma, interpolasi, fungsi-fungsi tak-berkesinambungan (discontinuous) serta fungsi-fungsi elips.

Seperti sudah dibetahui bersama dengan Hermite, Stieltjes adalah teman korenspondensi seumur hidup. Ketika Stieltjes meninggal, ditemukan 432 surat dari Hermite. Surat terakhir dari Hermite kepada Stieltjes tertanggal 15 Desember 1894 adalah  dua minggu menjelang Stieltjes meninggal dunia.Stieltjes meninggal pada tanggal 31 Desember 1894 dan dimakamkan di Terre Cabade di Toulouse yang terus dirawat oleh keluarganya.

SumbangsihDeret pecahan adalah kiprah utama dari Stieltjes. Memang pada masa itu belum banyak matematikawan yang mendalami deret pecahan. Kelak deret temuan Stieltjes ini digunakan sebagai salah satu alat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan hipotesis Riemann yang masih belum dapat dipecahkan.