statistik industri 1 - industrial engineering: contoh soal –suatu perusahaan generator...
TRANSCRIPT
13/11/2013
1
STATISTIK INDUSTRI 1
Agustina Eunike, ST., MT., MBA
Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi Peluang Kontinyu
• Rata-rata dan Variansi
– Rumus Umum:
UNIFORM Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu
Distribusi Diskrit Uniform
Distribution Random Variable X
Possible Values of X
Distribution Function
Fx(a) = P(X=a)
Mean E(X)
Uniform Realization of 𝑥1 , 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 1/𝑛
𝑏:𝑎2
Distribusi Diskrit Uniform
• Contoh: – Suatu bacth produk terdiri dari nomor serial, dengan
nomor urut pertama terdiri dari 0 sampai dengan 9. Jika salah satu produk diambil secara acak, maka X adalah munculnya nomor serial dengan angka pertama tersebut masing-masing nomor (R={0,1,2,...,9) memiliki peluang 0,1.
𝑓 𝑥 =1
10= 0,1
𝜇 = (9:0)2 <4,5
𝜎2 = (9;0:1)2;112
<8,25
13/11/2013
2
Distribusi Kontinyu Uniform Distribusi Kontinyu Uniform
• Contoh: – Variabel acak kontinyu menotasikan pengukuran arus pada
kawat tembaga dalam miliamper. Jika diketahui bahwa f(x)=0,05 untuk 0 ≤ x ≤ 20. Berapakah peluang pengukuran arus berada antara 5 dan 10 mA.
– 𝑃 5 < 𝑋 < 10 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 5 0,05 = 0,2510
5
– Rata-rata dan Variansi distribusi uniform arus kawat tembaga: a=0, b=20 • 𝜇 = 𝐸 𝑋 = (0+20)
2= 10𝑚𝐴
• 𝜎2 = 𝑉 𝑋 = (20−0)2
12= 33,33 𝑚𝐴
• 𝜎 = 5,77 𝑚𝐴
NORMAL Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi Normal
• Gaussian distribution (Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)
• Bell-shaped curve
• Probability density function:
– 𝑛 𝑥; 𝜇, 𝜎 = 1
2𝜋𝜎𝑒−
1
2𝜎2(𝑥−𝜇)2,
– −∞ < 𝑥 < ∞
– 𝜋 = 3,14159 …
– 𝑒 = 2,71828 …
Distribusi Normal Distribusi Normal • Area dalam Kurva Normal
13/11/2013
3
Distribusi Normal • Area dalam Kurva Normal
Distribusi Normal
• Standard Distribusi Normal:
– Kurva normal yang telah di-standarisasi dan menggambarkan nilai standar deviasi dari nilai rata-rata.
– 𝑀𝑒𝑎𝑛 = 0, 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 = 1. 𝑁(0,1). – 𝑍: 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑎𝑛 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖 = 1
𝑍 =𝑋 − 𝜇
𝜎
𝑧1 =𝑥1 − 𝜇
𝜎
𝑧2 =𝑥2 − 𝜇
𝜎
Distribusi Normal Distribusi Normal • Menggunakan Tabel
Distribusi Normal Standar
Distribusi Normal • Contoh Soal
– Suatu perusahaan generator menghitung berat salah satu komponennya. Berat komponen tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata 35 gram, dan standard deviasi 9 gram.
1. Hitung probabilitas bahwa satu komponen yang diambil secara acak akan memiliki berat antara 35 dan 40 gram?
2. Berapa peluang pengambilan acak satu komponen dengan berat paling ringan 50 gram?
• JAWAB:
1. 𝐏 𝟑𝟓 ≤ 𝐱 ≤ 𝟒𝟎 :
– 𝑥 = 40 𝑔𝑟𝑎𝑚,
𝑧 =𝑥 − 𝜇
𝜎=
40 − 35
9= 0,56, 𝑃 𝑍 ≤ 0,56 = 0,7123
– 𝑥 = 35 𝑔𝑟𝑎𝑚,
𝑧 =𝑥 − 𝜇
𝜎=
35 − 35
9= 0, 𝑃 𝑍 ≤ 0 = 0,5
– 𝑃 35 ≤ 𝑥 ≤ 40 = 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 0,56 = 0,7123 − 0,5 = 0,2123
Distribusi Normal • Contoh Soal
13/11/2013
4
Distribusi Normal
• Latihan Soal:
– Nilai ujian fisika di sebuah kelas terdistribusi secara normal dengan rata-rata 60 dan standar deviasi 10. Berapa persen siswa yang memperoleh nilai antara 60 dan 70?
Distribusi Normal • Menghitung nilai 𝑥
𝑧 =𝑥 − 𝜇
𝜎, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇
• Contoh:
– Diketahui suatu distribusi normal dengan 𝜇 = 40 dan 𝜎 = 6. Carilah nilai 𝑥, yang memiliki:
a. 45% area dari sisi kiri
b. 14% area dari sisi kanan
Jawab:
a. 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 = 0.45, 𝑧 = −0,13 𝑥 = 6 −0,13 + 40 = 39,22
Distribusi Normal
• Latihan Soal:
– Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?
Distribusi Normal
• Central Limit Theory
• Menyelesaikan permasalahan binomial dengan distribusi normal
GAMMA Distribusi Peluang Kontinyu
• Diaplikasikan pada masalah antrian dan masalah keandalan (reliabilitas).
• Time / space occuring until a specified number of Poisson events occur
• Fungsi gamma:
• Properti fungsi gamma:
Distribusi Gamma
13/11/2013
5
• Fungsi distribusi gamma:
– 𝛽:𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛
– 𝛼: 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑢𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢/𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢
– λ: 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢/𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 (λ = 1/𝛽)
– 𝑥: 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 (lama waktu atau luasan area hingga kejadian berikutnya)
Distribusi Gamma
𝛼: 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘; 𝛽: 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎
Distribusi Gamma • Rata-rata dan Variansi:
• Jika 𝑋1 dan 𝑋2 adalah variabel acak yang independen, dan 𝑋1~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝛼1, 𝛽); 𝑋2~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝛼2, 𝛽), maka 𝑋1 +𝑋2~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝛼1 + 𝛼2, 𝛽)
• Sehingga, jika 𝑋𝑖~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼𝑖 , 𝛽 , 𝑓𝑜𝑟 𝑖 =1, … , 𝑘, maka (𝑋1 +⋯+ 𝑋𝑘)~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝛼1 +⋯+ 𝛼𝑘 , 𝛽)
EKSPONENSIAL Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi Eksponensial • Bentuk khusus dari distribusi peluang gamma (𝛼 = 1)
• Time to arrival or time to first poisson event problems
• Diaplikasikan pada permasalahan waktu antar kedatangan pada fasilitas jasa, life time / waktu kegagalan komponen, survival time, dan waktu respon komputer
Distribusi Eksponensial
• Eksponensial menganut proses Poisson (λ: laju kedatangan)
• 𝑋~𝐸𝑥𝑝 λ :
𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 = λ𝑒;λ𝑥 𝑑𝑥∞
𝑎
= 𝑒;λ𝑎
𝜇 =1
λ; 𝜎2 = 1/λ2
– λ = 1/𝛽
• Karakter penting: memoryless property
– Pada permasalahan life time (hingga terjadi break down / failure / kerusakan), misal life time dari lampu, TV, kulkas
• Kerusakan yang diakibatkan oleh pemakaian berkala (misal
pemakaian mesin), tidak berlaku distirbusi eksponensial. Lebih tepat menggunakan distribusi GAMMA atau distribusi WEIBULL
13/11/2013
6
Contoh: Gamma Contoh: Gamma
Contoh: Gamma • Dari Tabel:
Contoh: Eksponensial • Jumlah telpon masuk pada nomor darurat 119 pada suatu kota diketahui
berdistribusi Poisson dengan rata-rata 10 telpon per jam. Jika saat ini dilakukan pengamatan, berapakah peluang telpon masuk terjadi paling cepat 5 menit dari sekarang?
– 𝜆 = 10 𝑡𝑒𝑙𝑝𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑗𝑎𝑚 = 10/60 𝑡𝑒𝑙𝑝𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
– 𝛽 = 1/λ = 6 menit per telpon
– 𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 = 𝑒;λ𝑎
– 𝑃 𝑋 ≥ 5 = 𝑒;(1
6)(5) = 2,71828;0,833 = 0,4347
X = menit antar telp ke 119
Rangkuman
Distributions with Parameters
Possible Values of X Density Function 𝒇 𝒙
Normal (𝜇, 𝜎2) −∞ < 𝑋 < ∞ 1
2𝜋𝜎𝑒−
12𝜎2(𝑥−𝜇)2
Exponential (λ) 0 < 𝑋 λ𝑒;λ𝑥
Gamma (𝛼, 𝛽) 0 < 𝑋 1
Γ(𝛼)𝛽𝛼𝑥𝛼;1𝑒;𝑥/𝛽
Note:
𝑃(𝑥) = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 CHI-SQUARED Distribusi Peluang Kontinyu
13/11/2013
7
Distribusi Chi-Squared
• Distribusi gamma dengan α = ν/2 dan 𝛽 = 2 • ν: degrees of freedom (derajat kebebasan), positive integer
• Density Function:
𝑓 𝑥; ν = 1
2ν/2Γ(ν/2)𝑥(ν/2);1𝑒;𝑥/2, 𝑥 > 0
0, 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤𝑒𝑟𝑒
• Mean dan Variansi:
𝜇 = ν dan 𝜎2 = 2ν
Distribusi Chi-Squared
• Di suatu kota, pemakaian tenaga listrik harian dalam jutaan kilowatt-jam, variabel acak 𝑋 berdistribusi gamma dengan 𝜇 = 6 dan 𝜎2 = 12. a. Cari nilai 𝛼 dan 𝛽 b. Cari peluang suatu hari tertentu pemakaian harian tenaga listrik
akan melebihi 12 juta kilowatt-jam
• Jawab: a. α = ν/2, ν = μ = 6, α =
6
2= 3, 𝛽 = 2
b. P X > 12 = 1 − 1
23
1
Γ 3𝑥2𝑒
−𝑥2
12
0
P X > 12 = 1 − 1Γ 3
𝑦2𝑒−𝑦
6
0
P X > 12 = 1 − F 6; 3 = 1 − 0.9380 = 0.0620
BETA Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi Beta • Pengembangan dari distribusi uniform • Distribusi kontiyu yang fleksibel tetapi terbatas pada suatu range
tertentu. Misal: proporsi radiasi matahari yang diserap oleh suatu material, waktu maksimal untuk menyelesaikan suatu proyek
• Fungsi Beta:
𝐵 𝛼,𝛽 = 𝑥𝛼;1(1 − 𝑥)𝛽;1𝑑𝑥 =Γ(𝛼)Γ(𝛽)
Γ(𝛼 + 𝛽), 𝑓𝑜𝑟 𝛼, 𝛽 > 0
1
0
Dengan parameter: 𝛼 > 0, 𝛽 > 0
• Density Function:
𝑓 𝑥; ν = 1
𝐵(𝛼,𝛽)𝑥𝛼;1(1 − 𝑥)𝛽;1, 0 < 𝑥 < 1
0, 𝑒𝑙𝑠𝑒𝑤𝑒𝑟𝑒
– Catatan: distribusi uniform (0,1) adalah distribusi beta dengan parameter 𝛼 = 1, 𝛽 = 1
• 𝛼 = 𝛽, distribusi beta akan berbentuk simetris
Distribusi Beta Distribusi Beta • Mean dan Variansi:
𝜇 =𝛼
𝛼:𝛽 dan 𝜎2 =
𝛼𝛽
𝛼:𝛽 2 𝛼:𝛽:1
– Modus:
𝜇 =𝛼 − 1
𝛼 + 𝛽 − 2
– Distribusi uniform (0,1), mean dan variansi:
𝜇 =1
1:1=
1
2 dan 𝜎2 =
(1)(1)
1:1 2 1:1:1=
1
12
13/11/2013
8
Distribusi Beta
• Jika diketahui waktu maksimum penyelesaian suatu proyek berdistribusi beta dengan 𝛼 = 3, dan 𝛽 = 1. a. Berapakah peluang waktu penyelesaian melebihi 0.7?
b. Berapa rata-rata dan variansi distribusi tersebut?
• Jawab:
a. P X > 0.7 = Γ(α:β)
Γ(α)Γ(β)xα;1(1 − x)β;11
0.7
P X > 0.7 = Γ(4)
Γ(3)Γ(1)x2(1 − x)0
1
0.7
P X > 0.7 = 246
13𝑥3
10.7
= 4 ∗ 0.219 = 0.876
b. Rata − rata = 0.75; Variansi = 0.0375
Referensi
• Montgomery, D.C., Runger, G.C., Applied Statistic and Probability for Engineers, 5th ed, John Wiley & Sons, Inc., NJ, 2011
• Walpole, Ronald B., Myers, Raymond H., Myers, Sharon L., Ye, Keying, Probability & Statistics for Engineers and Scientist, 9th ed, Prentice Hall Int., New Jersey, 2012.
• Weiers, R.M., 2011, Introduction to Business Statistics, Cengage Learning, OH, 2008.