pcsi 1 (o.granier) lycée...
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Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
LycéeClemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Olivier GRANIER
Régime sinusoïdal forcé
Impédances – Lois
fondamentales - Puissance
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Intérêt des courants sinusoïdaux :
Exemple de tensions sinusoïdales : tension du secteur (50 Hz – 220 V) – Leslignes à haute tension – L’émission et la réception des signaux de radio et detélévision font intervenir des courants qui varient sinusoïdalement dans le temps,….
Olivier GRANIER
Analyse de Fourier : elle montre que toute tension périodique est une somme defonctions sinusoïdales ; ainsi, si on sait comment réagit un circuit à uneexcitation sinusoïdale, alors on connaîtra (par superposition) la réponse de cecircuit à n’importe quelle tension périodique.
Simulation Java sur l’analyse de Fourier :
Simulation Synchronie sur l’analyse de Fourier :
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Equation différentielle du circuit (RLC) :i
e(t) R uR
L
uL)(
1teq
CRi
dt
diLuuu CRL =++=++
tEtEte effm ωω cos2cos)( ==
Notations :
Olivier GRANIER
qC
uC
tEtEte effm ωω cos2cos)( ==
)cos(2)cos()( ϕωϕω +=+= tItIti effm
L’intensité i(t) possède (une fois le régime transitoire disparu) la même pulsation que l’excitation (le GBF) :
Résolution numérique de l’équation :
tEudt
du
dt
udmC
CC ωωωσω cos22
02
002
2
=++
Avec Regressi :
Avec Maple :
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i
e(t) R uR
L
uL
)cos(2)cos()( ϕωϕω +=+= tItIti effm
ϕ est le déphasage de i(t) par rapport à la tension excitatrice e(t) du GBF :
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qC
uC
e(t)
ϕ ϕ ϕ ϕ > 0 : i(t) est en avance sur e(t)
ϕ ϕ ϕ ϕ < 0 : i(t) est en retard sur e(t)
Animation Cabri (déphasage)
Animation Cabri (somme de 2 tensions)
Animation Regressi (déphasage et somme de deux tensions)
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Quelques rappels sur les nombres complexes :
===
+=+==
−=+=
bbet
a
jeetbazavecezz
jjbaz
jj
θθθ
θθθθ
tansincos
sincos
)1(
22
2
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=
+=
+=
a
b
ba
bet
ba
aθθθ tansincos
2222
Le nombre complexe j joue le rôle de i, afin de ne pas confondre avec l’intensité i.
12
1
2
1
2
2211 ;; 21
θθθ
θθθ
−==
====
etz
zz
ezz
zzezzezz
jjj
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Notation complexe en électricité, impédances complexes :
Tension complexe du GBF :
)cos))(Re()((2)( tEteteeEeEte mtj
efftj
m ωωω ====
Intensité complexe :
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Intensité complexe :
))cos())(Re()((2)()()( ϕωϕωϕω +==== ++
tItitieIeIti mtj
efftj
m
Tension complexe aux bornes d’une résistance :
R
uRR
iiRu
R=
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( ) ( ) ijLeejILeeIdt
dL
dt
idLu
tjjm
tjjmL
ωω ωϕωϕ ====
Tension complexe aux bornes d’une bobine d’auto-induction :
Li
uLωjLzavecizu LLL
==
z est appelée impédance complexe de la bobine (homogène à une résistance) ;
Animation Cabri sur L
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C
uC
zL est appelée impédance complexe de la bobine (homogène à une résistance) ; l’équation précédente « généralise » la loi d’ohm en notation complexe.
i
Tension complexe aux bornes d’un condensateur :
( )C
tjmC
C ujCeUdt
dC
dt
udCi ωψω === + )(
,
ωjCzavecizu CCC
1==
zC est appelée impédance complexe du condensateur.
Animation Cabri sur C
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Conclusion :
L’utilisation de la notation complexe permet d’obtenir une relation deproportionnalité entre la tension complexe aux bornes d’un dipôle u et l’intensité iqui le traverse :
izu =
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C’est, en quelque sorte, une loi d’ohm généralisée.
Remarque :
Opérateurs « dérivée » et « intégrale » en notation complexe :
uj
dtuujdt
ud
ωω
1;
)(== ∫
ωω jpardivisionIntégralejparproduitDérivée ⇔⇔
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Associations d’impédances :
En série :21 zLzz
uuu +=
( ) izizzu éqz=+= 21 21 zzzéq +=
z1i
uz1
z2
uz2
uz
i
Avec :
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En parallèle : le raisonnement est identique à celui effectué avec les résistances. Par conséquent :
uz
z1i1
z2i2
i
21
111
zzzavecizu
éq
éqz+==
Soit y = 1/z l’admittance, alors : 21
yyyéq
+=
Condensateur : Bobine : ωjCyC
=ωjL
yL
1=
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« Résolution » du circuit série (RLC) :
L’écriture de la loi des mailles dans le circuit série RLC, en notation complexe, devient alors :
eijC
ijLiRuuuCLR
=++=++ω
ω1 i jLωωωω
u
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jCω
1/jCωωωω
uC
e(t) R uR
uL
−+==
−+
=
++
=
ωω
ωω
ωω
CLjRzavec
z
ei
CLjR
e
jCjLR
ei
1
11
où z est l’impédance du circuit série (RLC), somme des impédances de chacun de ses constituants.
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On rappelle les notations :
tjm
tjm eEeeteIi
ωϕω == + )(
Ainsi :
−+
=
−+
=+
ωω
ωω
ϕω
ϕω
CLjR
EeIsoit
CLjR
eEeI mj
m
tjmtj
m11
)(
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−+
−+ω
ωω
ωC
LjRC
LjR
Si on note , alors : θθ
ωω jj
ZeezC
LjRz ==
−+=
1
θ
θ
ϕ jm
j
mjm e
Z
E
Ze
EeI
−== soit Z
EIet m
m =−= θϕ
L’intensité maximale vaut donc :2
2 1
−+
=
ωω
CLR
EI m
m
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L’argument θθθθ de l’impédance complexe z vérifie :
R
CL
Z
CL
Z
R ωω
θωω
θθ
1
tan;
1
sin;cos
−
=
−
==
Le déphasage ϕϕϕϕ = = = = −−−−θθθθ est donc connu par les relations :
1
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0coscos
1
tan >=
−
−= θϕωω
ϕ etR
CL
On pose la pulsation pour laquelle ϕϕϕϕ = 0 (e(t) et i(t) sont en phase) :
* Si ωωωω < ωωωω0 : le circuit est capacitif et ϕϕϕϕ > 0 (i(t) est en avance sur e(t))
* Si ω ω ω ω > ωωωω0 : le circuit est inductif et ϕϕϕϕ < 0 (i(t) est en retard sur e(t), on retrouve bien l’effet de la loi de Lenz).
LC/10 =ω
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
En notation complexe, on peut écrire :
• Aux bornes d’un dipôle d’impédance z (d’admittance y) : u = z i ou i = y u
• Aux bornes d’un générateur de fém complexe e et d’impédance interne complexezG :
uG = e – zG i
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uG = e – zG i
• Aux bornes d’un générateur de courant de courant de court-circuit icc etd’admittance interne complexe yG :
i = icc – yG u
Ainsi, on obtient pour un réseau linéaire en régime sinusoïdal forcé, desexpressions identiques à celles obtenues en régime continu : les impédances (etadmittances) prennent la place des résistances (et des conductances).
On pourra utiliser : les lois de Kirchhoff (loi des nœuds et des mailles), lesrègles des diviseurs de tension et de courant, les associations série et parallèlede dipôles, les passages de représentations de Thévenin à celle de Norton.
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Calculs d’impédances (ex n°1) :
R R'
BA
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i
C
BA
u
CL
Calculer R et R' pour que u et i soient en phase pour toute valeur de la pulsation.
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Détermination d’intensité instantanée (ex n°2) :
Le dipôle AB est alimenté en courant alternatif sous la tension .
Donner l'expression de l'intensité instantanée i(t) dans le circuit principal en
fonction du temps.
)sin(100 tVV BA ω=−
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fonction du temps.
uAB
1/Cω=5Ω
2,5 Ω
10 Ω
A B
Lω=5Ωi
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Etude d’un circuit (RLC) (ex n°3) :
On dispose d'un condensateur de capacité C = 20 µµµµF, d'une bobine de résistanceR = 10 ΩΩΩΩ et de coefficient d'auto-inductance L = 0,3 H, d'un générateur BFdélivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace 100 V et de fréquencef = 50 Hz.
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f = 50 Hz.
Calculer l'intensité du courant et son déphasage par rapport à la tension quand onapplique la tension successivement :
a) Aux bornes du condensateur.
b) Aux bornes de la bobine.
c) A l'ensemble condensateur-bobine en série.
d) A l'ensemble condensateur-bobine en parallèle.
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Diviseurs de tension et de courant (ex n°5) :
a) Calculer le rapport u / e du circuit (a). Quelles sont ses valeurs limites quand
ωωωω −−−−>>>> 0 et ωωωω -> ∞ ? Quelle relation doivent vérifier R1, R2, C1 et C2 pour que ceslimites soient identiques ? Que devient alors l'expression de u / e ?
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b) Transformer le générateur de tension (e,r) du schéma (b) en un générateur decourant puis calculer le courant iR. Que valent iR et ϕϕϕϕR (déphasage de iR par rapportà e) pour ?ω
01= / LC
C2
C1
e
R1
R2 u
u
iR
e L C
r
R
Circuit (a) Circuit (b)
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Représentations de Thévenin et de Norton (ex n°6) :
Pour quelle valeur de la pulsation l'intensité traversant R est-elle indépendante deR ? On remplacera le dipôle situé à gauche de AB par sa représentation deNorton.
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i
e(t)
R
C
L
A
B
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Pont de Maxwell et Pont de Sauty :
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Pont de Maxwell: animation JAVA (JJ.Rousseau)
Pont de Sauty: animation JAVA (JJ.Rousseau)
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« Résoudre » un circuit en régime sinusoïdal :
Retour sur les valeurs moyennes et valeurs efficaces (ex n°4) :
Courant en dents de scie : on considère i = f(t) donnée par la courbe ci-dessous.
Calculer l'intensité moyenne et l'intensité efficace de ce courant en dents de scie.
QT
∫1
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T 2T 3T t
i(t)
I0
-I0
O
T
Qdtti
TtiI
T
moy === ∫0 )(1
)(
∫==T
eff dttiT
tiI0
222)(
1)(TRIdttRiP eff
T2
0
2)( == ∫
L’intensité efficace est l’intensité d’uncourant continu qui dissiperait dans unerésistance R, en une période, la mêmeénergie que le courant alternatif :
D’où
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Puissance moyenne en régime sinusoïdal permanent :
Puissance instantanée : la puissance instantanée reçue par le dipôle AB est (en convention récepteur) :
)cos(cos)( ϕωω +== ttm
Im
UuitpD
iA B
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Ainsi p(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation 2ωωωω et donc de période T/2.
)cos(cos2)( ϕωω += tteff
Ieff
UtpD
u
A B
Rappel : ( ))cos()cos(2
1cos.cos bababa −++=
Donc : [ ])cos()2cos()( ϕϕω ++= teff
Ieff
Utp
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Puissance moyenne : ∫=T
dttpT
P0
)(1
++= ∫∫
TT
effeff dtdttIUT
P00
)cos()2cos(1
ϕϕω
Intérêt ?
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++= ∫∫effeff dtdttIUT
P00
)cos()2cos( ϕϕω
)cos(ϕeffeff IUP =
Facteur de puissance : il dépend de
l’impédance du dipôle AB.
Animation Cabri sur le facteur de
puissance
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Cas particuliers de dipôles :
* Pour une résistance :
* Pour une bobine parfaite :
* Pour un condensateur :
* Pour un circuit série (RLC) :
)1(cos2 === ϕeffeffeff RIIUP
)2/0(cos0 πϕϕ −=== carP
)2/0(cos0 πϕϕ === carP
)()(cosR
IZIPdoncZIUetR
===ϕ
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)()(cosZ
RIZIPdoncZIUet
Z
Reffeffeffeff ===ϕ
2effRIPSoit =
On vérifie bien que la puissance est entièrement dissipée dans la résistance.
* Pour un dipôle d’impédance complexe :jSRz +=
2')()( eff
jeffeff RIPoùdeIjSRUsoitijSRu =+=+= ϕ
Seule la partie réelle de l’impédance (nécessairement positive) intervient.
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* Pour un dipôle d’admittance complexe :jBGy +=
2')()( effeff
jeff GUPoùdUjAGeIsoitujAGi =+=+= ϕ
Seule la partie réelle de l’admittance (nécessairement positive) intervient.
Exercice n°7 : C1 L1 La figure donne la composition d'un dipôle tel que :
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B
C3
C1 L1
R3
R2 A
La figure donne la composition d'un dipôle tel que :
C1 = 2 µµµµF ; L1 = 40 µµµµH ; R2 = 5 ΩΩΩΩ ; C3 = 4 µµµµF ;R3 = 0,2 ΩΩΩΩ
Il est alimenté par un courant sinusoïdal defréquence f = 120 kHz et la tension efficace auxbornes A et B du dipôle est Ueff = 12 V. Ondemande de calculer :
a) L'admittance complexe Y du dipôle (i.e. l'inverse de l'impédance complexe dudipôle).
b) Les valeurs efficaces des intensités dans les trois branches.
c) La puissance dissipée dans le dipôle.
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Importance du facteur de puissance :
Le facteur de puissance est le terme cosϕϕϕϕ ; à ddp imposée, l’intensité efficace Ieff
nécessaire pour obtenir une puissance donnée dans un dipôle, soit :
ϕcoseff
effU
PI =
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sera d’autant plus faible que le facteur de puissance sera proche de 1.
Or diminuer l’intensité, c’est diminuer les pertes par effet Joule dans les filsd’arrivée du courant, des générateurs aux circuits utilisateurs ; d’où l’importancepour EDF à n’alimenter que des circuits de facteur de puissance élevé(généralement, cosϕϕϕϕ > 0,9).
eff
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Relèvement d’un facteur de puissance (ex n°8) :
Une installation électrique est alimentée sous une tension efficace Ueff = 200 V.Elle consomme une puissance P = 12 kW. La fréquence est f = 50 Hz et l'intensitéefficace 80 A.
a) Sachant que cette installation est du type inductif, calculer la résistance R et
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a) Sachant que cette installation est du type inductif, calculer la résistance R etl'inductance propre L qui, placées en série et avec la même alimentation, seraientéquivalentes à l'installation.
b) Calculer la capacité C à placer en parallèle sur l'installation pour relever lefacteur de puissance à la valeur 0,9.
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Adaptation des impédances :
zu(eG,zG)
iUne chaîne HI-FI (le générateur) est branchée àdes enceintes (d’impédance zu)
Comment choisir l’impédance des enceintes pourque la puissance reçue par celles-ci soientmaximale ? Dans ce cas, on dit qu’il y aadaptation des impédances.
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adaptation des impédances.
On pose :
La puissance moyenne reçue par le dipôle utilisateur est :
uuuGGG jARzetjARz +=+=
22
2,
22
,2
)()(:
)()(
GuGu
effgu
u
GuGu
effg
effeffuu
AARR
ERPSoit
AARR
EIavecIRP
+++=
+++
==
Dipôle utilisateur
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Comment rendre Pu maximale, avec Eeff, RG et AG fixés ?
On a montré que RG et Ru étaient nécessairement positifs, alors que AG et Au
peuvent être a priori < 0 (circuit capacitif) ou > 0 (circuit inductif).
On choisit alors Au = - AG. L’expression de la puissance devient :
2,effgu ER
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2
,
)( Gu
effgu
uRR
ERP
+=
Elle sera maximale si :
Gu
u
u RRsoitdR
dP== 0
Les impédances sont alors conjuguées :
GGGuuu zjARjARz =−=+=