partielle dgl, wärmeleitung stationär: t(x) oder t(r) instationär: t(x, t) oder t(x, y, z, t) =...
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Partielle DGL, Wärmeleitung
stationär: T(x) oder T(R)
instationär: T(x, t) oder T(x, y, z, t) = T(R, t)
Q WWärmeleitzahl:
x T m K
Mineralien,Glas Holz Wasser
kJ kJ kJ 1kcalc =1 , c =2 , c =4,2
kg K kg K kg K kg K
2 2
Q Q J WWärmestromdichte: q
A t A m s m
3
m kgDichte ρ
V m
Q Jspezifische Wärmekapazität: c
m T kg K
Wärmemenge: Q J =Ws
Q JWärmestrom: Q W
t s
Oft wird die Wärmestromdichte q nur mit q bezeichnet.
Q = dQ/dt ist proportional zu T.
Oft wird der Wärmestrom Q mit bezeichnet.
Kleine Differenzen oder Mengen werden mit markiert,
sehr kleine mit d, Zeitableitung mit einem Punkt oder d/dt.
Gesetz von Newton (1701)
Sir Isaac Newton (1642 –
1727)
T = x °C T = (x + 273,15) K
T bezeichnet die absolute Temperatur oder wird als Celsiustemperatur kenntlich gemacht. Dann gilt:
Lineare Wärmeleitung
1 2T T
A
x
x
A
dT
A
T
d )x
xd(T+
stationär
2 1T TQ= A t
x
2
T( T + x d )
xdQ = A dtx
1
TdQ = A dt
x
xdx
1 2
2
2
T Tt c x
2
1 2 2
TTdQ =dQ -dQ A d dt A d dt
x xx
xx
x
A
dT
x
A
T
d )x
xd(T+
dQ =m c dT A xd c dT
2
2
TA d c dT A
xx dxdt
instationäre Wärmeleitung
2
T( T + x d )
xdQ = A dtx
1
TdQ = A dt
x
dx2 1dQ dQ
1 2
Stationäre Wärmeleitung: T = T(x)
dTq const.
dx
Der Temperaturverlauf ist linear:
0
qT( x) = T x
T
dQ = Ax
dtMetalle Baustoffe, Wasser Luft Vakuum
W W W100 , =1 , =0,02 , =0
m K m K m K
: Wärmeleitzahl, Wärmeleitvermögen oder Wärmeleitfähigkeit
Gute elektrische Leiter sind auch gute Wärmeleiter. (Wiedemann-Franzsches Gesetz) Aber nicht umgekehrt! Diamant, C-Nanoröhren
W> 1000
m K
klein groß
zeigt immer in Richtung des stärksten Temperaturgefälles.
dTq
dx
x
y
z
q T/ x
q T/ y T
T/ zq
q
kann von der Temperatur abhängen.
q
Biot und Fourier (1822)
Joseph Fourier(1768 - 1830)
Jean-Baptiste Biot 1774-1862
Bei Anisotropie (geschichtete Stoffe, Kohlefaser-Verbundstoffe, Holz) ist eine symmetrische Matrix (xy = yx).
x∂qdxdydz
∂x
y∂qdydxdz
∂y
Das Feld ist quellenfrei / senkenfrei,d. h. Wärme staut sich nicht, wenn
yx z∂q∂q ∂q
0∂x ∂y ∂z
0 q (Divergenz)
z∂qdzdxdy
∂z
netto in dV strömende Leistung = 0
xq dydz
yq dxdz
zq dxdy
xx
∂q( q dx)dydz
∂x
yy
∂q( q dy)dxdz
∂y
zz
∂q( q dz)dxdy
∂z
Wärmestromdichte im Zylinderfeld
zQ( )
2 | || |R
q RR R
z
2 2 2 2
x
y
0Q( x,y)
2 x +y x +y
q
x z2 2
q Q x
x x 2( x +y )
2 2z
2 2 2
Q ( x +y ) x 2x2 ( x +y )
2 2z
2 2 2
Q -x +y2 ( x +y )
y z2 2
q Q y
y y 2( x +y )
2 2z
2 2 2
Q x - y2 ( x +y )
zq0
z
yx z
∂q∂q ∂q0
∂x ∂y ∂z
q
z2 2
xQ
y2( x +y )
0
q
2 2z
2 2 2
Q ( x +y ) y 2y2 ( x +y )
Temperaturverlauf im Zylinderfeld
2 2T =T( | |)=T( x +y )R
T ∇q
x
Tq
x
z2 2
Q x
2( x +y )
2 22 2
2xln( x +y )
x x +y
T( | |)R 2 2zQ 1ln( x +y )+C
2 2
2 2zQln x +y +C
2
zQln | | +C
2R
z0 0 0
QT( | |) ln| |+C =T
2R R
z0 0
0
Q | |T( | |)=T ln für | | | |
2 | |R
R R RR
x| ( )| q( | |)q R R
z2 2
xQ
y2( x +y )
0
q
Eine Rohrleitung mit Wärmeisolation ( = 0,04 Wm-1K-1) hat innen bei |Ri| = 1 cm die Temperatur 60°C, außen bei |Ra| = 5 cm 20°C.Wie groß sind die Wärmeverluste dQz/dt?Bei welchen Radien liegen die Isothermen zu 50°C, 40°C, 30°C ? Zeichnen Sie eine Skizze mit Isothermen und Wärmestromlinien.T0 = T(1 cm) = 60°C
z1 1
Q 5 cmT( 5 cm)=20°C =60°C ln
1cm2 0,04 Wm K
z
40 2 0,04 W WQ = 6,24
ln5 m m
40°C x cmT( x)= 60°C ln
ln5 1 cm
z0 0
0
Q | |T( | |)=T ln für | | | |
2 | |R
R R RR
zQ K mln5=60°C 20°C = 40 K
2 0,04 W
Eine Rohrleitung mit Wärmeisolation ( = 0,04 Wm-1K-1) hat innen bei |Ri| = 1 cm die Temperatur 60°C, außen bei |Ra| = 5 cm 20°C.Wie groß sind die Wärmeverluste dQz/dt?Bei welchen Radien liegen die Isothermen zu 50°C, 40°C, 30°C ? Zeichnen Sie eine Skizze mit Isothermen und Wärmestromlinien.
= 60°C 25°C lnx 60°C T( x)
25°Cx = e
T(x)/°C x/cm
60 1,0
50 1,5
40 2,2
30 3,3
20 5,0
40°C x cmT( x)= 60°C ln
ln5 1 cm
cm
Potentialgleichung
T ∇q
( T)q
T
2 2 2
2 2 2
/ x / x
= / y / y = + +x y z
/ z / z
=∇ ∇
Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827)
(falls konstant)T ∇ ∇
(Laplace-Operator)
Instationäre Wärmeleitung Abkühlung: Nach Newtons Gesetz ist der Wärmestrom zur Differenz von Körpertemperatur T und Außentemperatur T proportional.
∞Q ∼ =T - T
Über die spezifische Wärmekapazität entspricht der Änderung der Wärmemenge eine Temperaturänderung:
dkdt
d∼ k
dt
dln kdt
( t) t
( 0) 0
dln kdu
ln( t) ln( 0) kt ( t)
ln kt( 0)
kt( t)e
( 0)
kt( t) ( 0) e (wie Zerfallsgesetz)
Die Temperaturdifferenz zwischen Kaffee in der Kaffetasse (T) und der Umgebung (T = const.) klingt vorwiegend aufgrund von Wärmeleitung exponentiell mit der Zeit ab, θ) ist dabei die anfängliche Temperaturdifferenz, k ist die Abkühlkonstante:
θ(t) = T(t) – T = θ(0)exp(-kt)
Folgende Messwerte wurden bestimmt (T = 21°C):
t 0 1 2 4,5 7,5 11,5 13,5 19min T 75 73 71 67 63 59 57 52 °C θ(t) 54 52 50 46 42 38 36 31 °C
Berechnen Sie die Übertemperatur θ(t) = T(t) - T und tragen Sie deren Logarithmus über der Zeit t auf. Welche Abkühlkonstante k ergibt sich?
( t)ln =-kt
( 0)
kt( t)e
( 0)
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
5 10 15 20
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
lnθ(t) = 3.97 - 0.029t
ln( t)= ln( 0)-kt
t/min
t/min
ln( /1°C)ln( /1°C)
( t)ln =-kt
( 0)
kt( t)e
( 0)
Instationäre Wärmeleitung
xx
∂q( q dx)dydz
∂x
xq dydz
yq dxdz
zq dxdy
yy
∂q( q dy)dxdz
∂y
zz
∂q( q dz)dxdy
∂z
x∂qdxdydz
∂x
y∂qdydxdz
∂y
z∂qdzdxdy
∂z
T= c
tq
0 q T
Instationäre Wärmeleitung+ Wärmequelle
Wärmequelle p = P/V [W/m3]p dxdydz dt= dV c dT
pTp= c
t
Erwärmung von dV:
Tp- = c
t
qT
p+ T = ct
T= c
tq
Summe:
T
Instationäre Wärmeleitungeindimensional, p = 0:
2
2
T T=
c tx
Tp+ T = c
t
2m:=a Temperaturleitfähigkeit
c s
Baustoffe: a = 0,2 bis 1,0 10-6 m2/s
stehende Luft: a = 20 10-6 m2/s
Metalle: a = 10 bis 100 10-6 m2/s
2
2
T Ta =
tx
Temperatursprung am Halbraum
0T( x>0,t= 0)=T
T( x<0)= const.=T
2
2
T Ta =
tx
Analytische Lösung für x > 0:
2z
-u
0
2erf( z) = e du
0T( x,t)=T -( T - T ) erf( z)
xz :=
2 a t 0
T- T= -erf( z)
T - T
0
0
T- T= 1-erf( z)
T - T
2
2
T Ta =
tx
Analytische Lösung für x > 0:
2z
-u
0
2erf( z) = e du
0T( x,t)=T -( T - T ) erf( z)
xz :=
2 a t
Temperatursprung am Halbraum
0T( x>0,t= 0)=T
T( x<0)= const.=T
Tq
x
Die Wärmestromdichte
2x-
0 4a t( T - T )
eat
zeigt für x = t = 0 eine Singularität.
2
2
T Ta =
tx
Analytische Lösung für x > 0:
2z
-u
0
2erf( z) = e du
0T( x,t)=T -( T - T ) erf( z)
xz :=
2 a t
Temperatursprung am Halbraum
0T( x>0,t= 0)=T
T( x<0)= const.=T
a 2a, t t/2: keine Änderung
x 2x t 4t:doppelte Tiefe, vierfache Zeit.Wärme kriecht.
2
2
T Ta =
tx
Analytische Lösung für x > 0:
2z
-u
0
2erf( z) = e du
0T( x,t)=T -( T - T ) erf( z)
xz :=
2 a t
Ein 2 cm dickes Steak muss laut Kochbuch 8 Minuten lang gegrillt werden. Wie lange muss ein 3 cm dickes Steak gegrillt werden?
2 2 2
x
2 a tt 8min t
x ( 2 cm) ( 3 cm)
= const
t = 18 min.
Temperatursprung am Halbraum
0T( x>0,t= 0)=T
T( x<0)= const.=T
Instationäre Wärmeleitung in Luft
2-5
3
W0,025 mm KTemperaturleitfähigkeit a = 2 10
kg kJc s1,3 1kg Km
T = 20 C 0T = 10 C0T - T 10K
2
2-5
x 4 m 2 5z := 10
2 a t tm2 2 10 t
ss
t/h t/d z erf(z) T(4 m,
t)
10 2,357 0,999 10,01°C
50 2,1 1,054 0,864 11,36°C
100 4,2 0,745 0,708 12,92°C
1000 42 0,236 0,261 17,39°C
erf(t) 10 h.nb erf(t) 1000h.nb