Introduction 1

Partie II : Cosmologie

Introduction 2

Only 5% of universe is “ordinary matter”!

— For the first time in human history we believe we have an

inventory of the constituents of the universe. Rapid progress

in astronomy and cosmology since the late 1970s,

culminating in the discovery of the acceleration of the

universe in 1998, has lead to a startling discovery – Only 5%

of the universe is “ordinary matter”!

— By ordinary matter we mean that explained by the standard

model of particle physics, mostly protons and neutrons but

also electrons, electromagnetic radiation and neutrinos and

Higgs bosons and other exotic elementary particles in small

quantities. The standard model has been extremely

successful, agreeing with all experiments done on Earth

(mostly large particle accelerator experiments at, for

Introduction 3

example, CERN’s Large Hadron Collidor and Fermilab in

the USA). The remainder, 95% of the matter of the

universe, consists of dark matter and dark energy.

Introduction 3-1

Image taken from http://home.web.cern.ch/about/accelerators/

large-hadron-collider

Figure 1 – 27 km long tunnel of the Large Hadron Colider in

France/Switzerland

Introduction 4

Dark matter and dark energy make up

95% of universe !

— Dark matter is something that we cannot see directly in

telescopes, but is needed to explain the dynamics of stars

within individual galaxies and the dynamics of the whole

universe.

— We think this dark matter is not ordinary matter because of

the results of big bang nucleosynthesis. In the early universe,

from a few hundred milliseconds after the BB to a few

minutes after the BB, the light elements were produced :

deuterium, helium-3, helium-4, and lithium and berylium. It

turns out that the ratio of their production depends strongly

upon the total amount of matter present. From the luminous

matter ratios, we can infer the total amount of ordinary

Introduction 5

matter, and this is much smaller than what is needed to

explain the dynamics of the universe. So there must be a lot

of non-ordinary matter lying around.

— Furthermore, in the 1970s it was discovered that the amount

of matter needed to explain galaxy dynamics is much larger

(by about 5 times) than is available in ordinary matter.

Hence astronomers conclude that the dark matter must be

the non-ordinary matter inferred from BB nucleosynthesis.

Introduction 6

Figure 2 – Spiral galaxy M81

Introduction 7

Dark energy makes up 70% of universe !

— Dark energy is also something that we cannot see directly

with telescopes, but is needed to explain the dynamics of the

whole universe. In particular, the expansion of the universe

was observed to be accelerating in 1998 by two independent

teams of astronomers (Perlmutter et al., 1999; Riess et al.,

1998). The lead scientists from these two teams shared the

Nobel Prize in physics in 2011.

Introduction 8

Figure 3 – From Riess et al. (1998), the figure that “won the noble

prize”. The trend of luminosity versus redshift for Type Ia supernovae

is fit best with an accelerating universe with 76% dark energy and

24% matter.

Introduction 9

Particle physics meets cosmology

— Neither dark matter nor dark energy are not currently well

understand. In fact, much of the activity of contemporary

cosmology is aimed at understanding dark matter and dark

energy. Most of theoretical physics is at least partly linked

to the mystery of dark energy and dark matter.

— Interestingly, the field of cosmology – the study of the

largest thing, and the field of particle physics – the study of

the smallest building blocks, are becoming more united with

discoveries of dark matter in the 1970s and dark energy in

the 1990s.

— “It is no overstatement to say that identifying the dark

matter is one of the greatest problems in modern science,”

(Coutu, 2013).

Introduction 10

— To not appreciate these questions is to not appreciate the

motivation of much of contemporary physics.

— Our primary goal in these final four 2-hour lectures on

cosmology is to explain why we believe in the above

inventory of the universe.

Introduction 11

Point de départ et bout

We will cover Chapter 12 of (Schutz , 2009), the first chapter of

Weinberg (2008), and use (Liddle, 2003) for a more elementary

explanation.

The first half of the course we have introduced General Relativity,

Einstein’s classical geometric theory of gravitation. We covered the

essentials of chapters 1, 2, 4, 6, 7, 8 of (Schutz , 2009).

— Cours 10 : Introduction à la cosmologie, description de

l’Univers, la loi de Hubble.

— Cours 11 : Développement de la métrique de

Friedmann-Roberston-Walker( FRW).

— Cours 12 : Exploration de la métrique FRW.

— Cours 13 : Les équations de Friedmann-Lemâıtre :

Introduction 12

énergie-impulsion, le tenseur d’énergie-impulsion, le fluide

parfait, l’équation du champ gravitationnel (l’équation du

champ d’Einstein)

— Cours 14 : Dynamics of the universe, 3 possible universes,

the evidence for Dark Energy.

Introduction 13

Cours 10 : Éveil Cosmologie

Introduction 14

Résumé du cours d’aujourd’hui

— Introduction à la cosmologie

— L’expansion de l’Univers et la loi de Hubble

— La principe de cosmologie

— La métrique de Robertson-Walker

Introduction 15

Qu’est-ce que la cosmologie ?

— La cosmologie est l’étude de l’Univers entier : son histoire,

son évolution, sa composition, et ses dynamiques.

— Une question principale est de comprendre la structure de

l’Univers à les plus grandes échelles.

— La relativité générale est essentiel pour la cosmologie.

— Autre resources : (Schutz , 2009, Chapitre 12), (Hobson

et al., 2010, Chapitres 14, 15, 16), (Liddle, 2003)

Introduction 16

Unité naturelle

— Dans la relativité générale, c’est commode d’utiliser les unité

avec lequel c = 1 et G = 1. Ça implique que

1 =G

c2= 7, 425× 10−28m kg−1

— Et la masse est exprimé avec les unités de [m]. Par exemple,

le soleil a une masse de :

M� ≈ 2× 1030 kg = 1500 m

Introduction 17

Quand sont les effets de relativité

générale importants ?

— En gros, la théorie de gravité de Newton marche à une

bonne approximation quand

M

R� 1

— Pour le soleil,

M�R

=1, 5× 103m7× 108m

≈ 2× 10−6 � 1

— Pour la voie lactée,

M

R≈ M� × 10

11

15kpc=

1, 5× 103m× 1011

15× 103 × 3× 1016m≈ 3× 10−7

— Même pour les amas de galaxies (une association de plus

Introduction 18

d’une centaine de galaxies liées entre elles par la gravitation)

avec R ∼Mpc,M

R≈ 10−4

— Sur les plus grandes échelles, superieurs de 10 Mpc, la

densité est presque constante, ρ ≈ 10−26kg m−3, et doncpour R = 6 Gpc,

M

R=

43πR

3ρ

R=

(ρ4π

3

)R2 ≈ 1

Introduction 19

L’Univers est simple !

— Pour les échelles superieurs d’environ 10 Mpc :

— L’Univers est homogene. Par exemple, le nombre de

galaxies par unité de volume, les types de galaxies, leurs

chimie.

— L’Univers est isotrope. Par exemple, la température du

rayonnement de fond cosmologique (CMB) dépend très

faiblement de la direction d’observation dans le ciel :

2, 725. . . K ± 10−5 K. Le CMB est le nom donné aurayonnement électromagnétique issu de l’époque dense et

chaude à peu près 400.000 ans après le Big Bang.

— L’expansion de l’Univers est uniforme. On voit les

galaxies s’éloigner les unes des autres. Mais cet

écartement mutuel, que l’on pourrait prendre pour un

Introduction 20

mouvement des galaxies dans l’espace, s’interprète en

réalité par un gonflement de l’espace lui-même.

— Cet observation nous mène au principe cosmologique. Nous

extrapolons que l’Univers est, à une très bonne

approximation, homogène et isotrope partout.

Introduction 21

L’expansion de l’Univers

— C’était prévu en 1927 à partir de la relativité générale par

Georges Lemâıtre (prêtre belge).

— C’était observé en 1929 par Edwin Hubble. Il a remarqué

que toutes les galaxies s’éloigner de nous et que la vitesse de

recul v est linéaire par rapport de distance d’écartement r̃ :

v = H0r̃ H0 ≈ 70 km s−1/Mpc.

— Maintenent nous comprenons cette vitesse apparant comme

un gonflement de l’espace lui-même. C’est l’espace entre les

galaxies, pas la taille des galaxies elles-même, qui gonfle.

Nous parlons de la vitesse de Hubble d’une galaxie pour la

vitesse apparant d’une galaxie en cause de l’expansion de

l’Univers.

Introduction 22

— La relation ne marche pas parfaitement parce que les

galaxies ont une vitesse particulière typiquement au

maximum 100 km/s. Donc il faut avoir les observations des

galaxies plus loin que plusieurs Mpc (r̃ � 1 Mpc) tel que lavitesse de Hubble est superieur à la vitesse particulière.

Introduction 23

La métrique de l’Univers homogène et

isotrope partout : feuilletage de

l’espace-temps

— Nous allons jusifier la métrique de

Friedmann-Robertson-Walker

ds2 = c2dt2 − a2(t)(

1

1− kr2dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θdφ2

).

(1)

dans les coordonnées standards où t est le temps

cosmologique, et {r, θ, φ} sont les coordonnées spatials avecr ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ π ≤ 2π. Le paramètre k est lacourbure et prend une valeur discrete : k = {0,+1,−1}.Nous allons faire un argument physique que les coordonnées

Introduction 24

sont « comobile ».— Rappelez-vous que la notion de simultanéité n’est pas

indépendent de référentiel. De plus, il n’y a pas un

référentiel inertiel global dans le RG. Donc c’est subtile de

définer un instant de temps.

— Nous faisons un feuilletage de l’espace-temps, en définissant

des hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle. Nous

faisons l’approximation que c’est possible de faire le

feuilletage tel que chaque hypersurface ou tranche est

isotrope et homogene.

— Avec cet approximation, le moyen des positions de tous les

galaxies dans un volume de 10 Mpc× 10 Mpc× 10 Mpc a lescoordinées stationaires, xi =constant.

— Nous choisissons la coordonée temporelle, t = τ , le temps

propre d’une horloge qui se déplace avec les positions

stationaires : dτ = dt.

Introduction 25

— La partie spatiale de la métrique donne la distance propre

(ou la « distance physique ») carré entre deux points séparépar dxi à un instant de temps t0 :

dl2(t0) = gij(t0)dxidxj

— L’expantion de l’Univers exige que dl2 augmente avec le

temps.

dl2(t0) < dl2(t1) = gij(t1)dx

idxj , t1 > t0

=a2(t1)

a2(t0)gij(t0)dx

idxj (2)

où a(t) est le facteur d’échelle.

— Et pour la métrique quadridimensionelle, en générale on

aurait

ds2(t) = c2dt2 + g0i dtdxi + a2(t)gij(t0)dx

idxj

Remarquez-vous que g00 = c2 parce que ds2 = c2dτ2 quand

Introduction 26

dxi = 0. Supposons que g02 > 0. Ça veux dire que la

direction dy c’est differente que celle de −dy. Donc nousdevrions choisir les ~et · ~ey = g02 = 0 et le même pour x et z.C’est à dire ~et · ~ei = 0, et g0i = 0 et :

ds2(t) = c2dt2 + a2(t)gij(t0)dxidxj (3)

— Les hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle

devraient être isotrope. Ça veut dire que chaque point a la

géometrie d’un point sur la surface d’une sphère avec le

centre à l’origine de notre système de coordonnées. Ce

critère exige que :

dl2(t0) = gij(t0)dxidxj = grr(r, t0)dr

2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

Mais n’importe quel point peut être l’origine de notre

système de coordonnées. Et notre condition d’isotropie ici

est beaucoup plus restrictive que dans le cas d’un trou noir

Introduction 27

(le cas pour lequel il y a un seul centre de symétrie.)

— La courbure d’espace-temps est décrit par un teneur qui

s’appele le tenseur de Ricci. Il est une fonction des symboles

de Christoffel. Le scalaire de Ricci R est la contraction du

tenseur de Ricci :

R = Rii (4)

— Et donc, de plus, nous exigeons que le scalaire de Ricci,

Ri i = constant. Pour la métrique

dl2(t0) = B(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

Introduction 28

nous trouvons le tenseur de Ricci (spatial) :

R11 = −B′

rB

R22 =1

B− 1− rB

′

2B2

R33 = sin2 θR22 (5)

— Le scalaire de Ricci (spatial), Ri i nous donne

R = gijRji = B−1R11 + r

−2R22 + r−2 sin−2 θR33

= −B−1 B′

rB+ 2r−2

(1

B− 1− rB

′

2B2

)=

2

r2B− 2r2− 2 B

′

rB2

=2

r2

(d

dr

( rB

)− 1)

(6)

Introduction 29

— Pour que l’espace-temps est homogene, nous devons résoudre

R = κ =2

r2

(d

dr

( rB

)− 1)

où κ est une constante.

— C’est très facile d’intégrer∫(1 +

r2κ

2)dr =

∫d( rB

)⇒

B =1

1 + r2κ/6 + C/r(7)

où C est une constante d’integration.

— On obtient

R11 =2κr − 6C/r2

κr3 + 6r + 6C(8)

— Mais proche d’origine, r → 0, nous voulons quel’espace-temps reste non singulaire (Rij reste finie). Ça

Introduction 30

donne C = 0 et

B =1

1 + r2κ/6=

1

1− r2koù k est la courbure de l’espace et

dl2(t0) = a2(t0)

[(1

1− r2k

)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

]— Nous le remplaçons dans (3). Donc nous avons la métrique

de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) :

ds2(t) = c2dt2 − a2(t)gij(t0)dxidxj

= c2dt2 − a2(t)[(

1

1− r2k

)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

](9)

— Il reste de démontrer que l’espace-temps de FRW est

homogene et isotrope partout. Plus tard nous considérons les

trois cas k = 0, k > 0, k < 0.

Introduction 31

Equations dynamique de l’Univers

— Pour décrire expansion de l’Univers nous avons besoin des

équations d’Einstein. La partie droite est le tenseur

d’énergie-impulsion d’un fluid parfait :

8πTαβ = 8π[(ρ+ p/c2)UαUβ + gαβp

]où p est la pression et ρ est la densité de masse est énergie

relativiste, et Uα est la quadrivitesse du fluide.

— La partie gauche des équations d’Einstein, Gαβ , est une

fonction de la métrique, le seul inconnu étant le facteur

d’échelle a(t).

Introduction 32

Cours 11 : Exploration de la métrique

FRW

Introduction 33

La métrique de

Friedmann-Robertson-Walker

— Nous avons trouvé la métrique d’un espace-temps avec

géométrie du 3-espace homogène et isotrope :

ds2 = c2dt2 − a2(t)(

1

1− kr2dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θdφ2

),

= c2dt2 − dl2, (10)

dans les coordonnées standards où t est le temps

cosmologique, et {r, θ, φ} sont les coordonnées spatial avecr ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ φ ≤ 2π.

— Le paramètre k est la courbure et prend une valeur discrete :

k = {0,+1,−1}.

Introduction 34

Coordonnées comobiles

— Affirmation Une galaxie avec vitesse aléatoire zéro suive

une géodésique du genre temps.

Démonstration (sur tableau)

— Remarque

Il est donc légitime de nommer les coordonnées r, θ, φ

coordonnées comobiles. Tout objet pour lequel les

effets locaux (par exemple attraction d’une autre

galaxie voisine) sont faibles, est comobile. Un

observateur dans un référentiel comobile (ayant des

coordonnées comobiles constantes) voit toutes les

galaxies s’éloigner de lui de manière isotrope. (Barrau

and Grain, 2016, p. 131)

Introduction 35

La taille de l’Univers

— Affirmation : Dans le cas k = +1, la distance maximale de

l’Univers est a(t)π/2.

— Démonstration

— Remarques :

1. a(t) se nomme « facteur d’échelle ».

2. il n’a le sens d’une distance maximale que dans le cas

k = 1. (It is only in this case, of k = +1, that there is a

maximum distance.)

Introduction 36

Trois types d’Univers

— Le paramètre k détermine le type d’Univers, c’est-à-dire la

géométrie du 3-espace homogène et isotrope défini par

t = constante.

Introduction 37

L’Univers fermé : k = +1

— Courbure spatiale positive

— Changement de la coordonnée radiale :

r = sinχ. (11)

— Exercice immédiat : Démontrer que la partie spatiale de la

métrique de FRW devient :

dl2 = a(t)2[dχ2 + sin2(χ)(dθ2 + sin2θdφ2)

](12)

— Il s’agit d’une 3-sphère. Pour le voir, on fait un changement

Introduction 38

des coordonnées

w = a cosχ,

x = a sinχ sin θ cosφ,

y = a sinχ sin θ sinφ,

z = a sinχ cos θ, (13)

avec

0 ≤ χ < π, 0 ≤ θ < π, 0 ≤ φ < 2π. (14)

— Exercice immédiat : Vérifier que

dl2 = dw2 + dx2 + dy2 + dz2, (15)

avec

w2 + x2 + y2 + z2 = a2. (16)

Conclusion : Le 3-espace auquel nous nous intéressons peut

Introduction 39

donc être considéré comme une 3-sphère plongée dans un

espace quadri-dimensionnel euclidien.

— Affirmation : Le volume V du 3-espace total est fini,

V = 2π2a.

— Exercice immédiat : Démontrer V = 2π2a3.

Introduction 40

L’Univers ouvert et plat

— Courbure spatiale positive, k = 0.

— La partie spatiale de la métrique de FRW devient :

dl2 = a2(t)(dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θdφ2

)(17)

— Il s’agit d’espace euclidien tridimensionnel. Pour le voir, on

fait un changement des coordonnées

x = a r sin θ cosφ,

y = a r sin θ sinφ,

z = a r cos θ sinφ, (18)

avec

0 ≤ θ < π, 0 ≤ φ < 2π. (19)

Introduction 41

— Exercice immédiat : Trouver dl2 en fonction de x, y, z.

— Questions à réfléchir :

1. Quelle est la distance maximale dans l’Univers plat ?

2. Quel est le volume de l’Univers plat ?

3. Quelle est le nombre de galaxies dans l’Univers plat ?

4. Quel est le nombre de copies de vous et moi qui à cet

instant du temps cosmique sont en train d’avoir la même

conversation ?(Ellis and Brundrit , 1979)

Introduction 42

L’Univers ouvert et courbe

— Courbure spatiale positive= k = −1— Changement de la coordonnée radiale :

r = sinhχ. (20)

— Exercice immédiat : Démontrer que la partie spatiale de la

métrique de FRW devient :

dl2 = a(t)2[dχ2 + sinh2(χ)(dθ2 + sin2θdφ2)

](21)

— Ce 3-espace peut être considéré comme un hyperbolöıde

tridimensionnel inclus dans l’espace-temps de Minkowski

quadri-dimensionnel. Pour le voir, on fait un changement des

Introduction 43

coordonnées

w = a coshχ,

x = a sinhχ sin θ cosφ,

y = a sinhχ sin θ sinφ,

z = a sinhχ cos θ sinφ, (22)

avec

0 ≤ χ

Introduction 44

considéré comme un hyperbolöıde tridimensionnel inclus

dans l’espace-temps de Minkowski quadri-dimensionnel.

— Le volume du 3-espace total est infini.

Introduction 45

Références

Références

Barrau, A., and J. Grain (2016), Relativité générale : Cours et

exercices corrigés, 2e édition, Dunod, Paris.

Coutu, S. (2013), Positrons galore, Physics, 6, 40,

doi :10.1103/Physics.6.40.

Ellis, G. F., and G. Brundrit (1979), Life in the infinite universe,

Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 20, 37–41.

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité

Générale, de boeck, Bruxelles.

Introduction 46

Liddle, A. (2003), An introduction to modern cosmology, 172 pp.,

Wiley & Company, Chichester, UK and Hoboken, NJ.

Perlmutter, S., et al. (1999), Measurements of Omega and Lambda

from 42 high-redshift supernovae, Astron. J., 517 (2, Part 1),

565–586, doi :{10.1086/307221}.

Riess, A., et al. (1998), Observational evidence from supernovae for

an accelerating universe and a cosmological constant, Astron. J.,

116 (3), 1009–1038, doi :{10.1086/300499}.

Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge

University Press, Cambridge UK.

Weinberg, S. (2008), Cosmology, Oxford, Oxford, UK.