7/31/2019 part 12-2012

1/32

BAB 12 halaman : 1

12AAPPPPRROOXXIIMMAATTEE AANNAALLYYSSIISSOOFFRREECCTTAANNGGUULLAARR BBUUIILLDDIINNGG FFRRAAMMEESS12.1 Assumptions for Approximate Analysis12.2 Analysis for Vertical Loads12.3 Analysis for Lateral Loads-Portal Method12.4 Analysis for Lateral Loads-Cantilever MethodSummaryProblems

The analysis of statically indeterminate structures using the force and displacement methods introduced in the preceding chapter can be considered

as exact in the sense that the compatibility and equilibrium conditions of the structure are exactly satisfied in such an analysis. However, the

results of such an exact analysis represent the actual structural response only to the extent that the analytical model of the structure represents the

actual structure. Experimental results have demonstrated that the response of most common types of structures under service loads can be reliably

predicted by the force and displacement methods provided an accurate analytical model of the structure is used in the analysis.

Analisis struktur statis tak tentu menggunakan metode perpindahan gaya yang diperkenalkan pada bab

sebelumnya dapat dianggap sama persis dalam arti bahwa kompatibilitas dan kondisi kesetimbangan

struktur persis seperti dalam analisis seperti itu. Namun, hasil analisis seperti itu tepat mewakili respons

struktural yang sebenarnya hanya sejauh bahwa model analisis struktur merupakan struktur yang

sebenarnya. Hasil percobaan telah menunjukkan bahwa respon yang paling umum jenis layanan di

bawah beban struktur dapat dipercaya diprediksi oleh metode perpindahan gaya yang disediakan

sebagai model analisis yang akurat dari struktur yang digunakan dalam analisis.

Exact analysis of indeterminate structures involves computation of deflections and solution of simultaneous equations, so it can be quite time

consuming. Moreover, such an analysis depends on the relative sizes (cross-sectional areas and/or moments of inertia) of the members of the

structure. Because of these difficulties associated with the exact analysis, the preliminary designs of indeterminate structures are often based on

the results ofapproximate analysis in which the internal forces are estimated by making certain assumptions about; the deformations and/or thedistribution of forces between the members ofstructures, thereby avoiding the necessity of computing deflections.

Analisis struktur tak tentu melibatkan perhitungan defleksi dan solusi persamaan simultan, sehingga bisa

cukup memakan waktu. Selain itu, analisis seperti tergantung pada ukuran relatif (cross-sectional area

dan / atau momen inersia) dari anggota struktur. Karena kesulitan-kesulitan ini terkait dengan analisis

yang tepat, desain awal tidak jelas struktur sering didasarkan pada hasil analisis perkiraan di mana

kekuatan-kekuatan internal diperkirakan dengan membuat asumsi tertentu tentang; deformasi dan /

atau distribusi kekuatan antara anggota struktur, sehingga menghindari keharusan komputasi defleksi.

Approximate analysis proves to be quite convenient to use in the planning phase of projects, when several alternative designs of the structure are

usually evaluated for relative economy. The results of approximate analysis can also be used to estimate the sizes of various structural members

needed to initiate the exact analysis. The preliminary designs of members are then revised iteratively, using the results of successive exactanalyses, to arrive at their final designs. Furthermore, approximate analysis is sometimes used to roughly check the results of exact analysis,

which due to its complexity can be prone to errors. Finally, in recent years, there has been an increased tendency toward renovating and

retrofitting older structures. Many such structures constructed prior to 1960, including many high-rise buildings, were designed solely on the basisof approximate analysis, so a knowledge and understanding of approximate methods used by the original designers is usually helpful in a

renovation undertaking.

7/31/2019 part 12-2012

2/32

BAB 12 halaman : 2

Perkiraan analisis terbukti cukup nyaman untuk digunakan dalam tahap perencanaan proyek, ketika

beberapa alternatif desain dari struktur biasanya dievaluasi untuk ekonomi relatif. Hasil analisis

perkiraan juga dapat digunakan untuk memperkirakan ukuran berbagai anggota struktural yang

diperlukan untuk memulai analisis yang tepat. Desain awal anggota kemudian direvisi secara berulang

(iteratively), berturut-turut menggunakan hasil analisis yang lebih tepat, untuk mencapai hasil desain

terakhir yang tepat. Selanjutnya, analisis perkiraan kadang-kadang digunakan untuk memeriksa kira-kira

hasil perkiraan kasar menjadi analisis yang lebih tepat, yang karena kerumitannya dapat rentan terhadap

kesalahan. Akhirnya, beberapa tahun terakhir telah terjadi peningkatan kecenderungan merenovasi dan

penyesuaian struktur yang lebih tua. Banyak struktur seperti dibangun sebelum tahun 1960, termasuk

banyak bangunan tinggi, dirancang semata-mata atas dasar analisis perkiraan, sehingga pengetahuan

dan pemahaman tentang metode perkiraan digunakan oleh desainer asli biasanya membantu dalam

melakukan renovasi.

Unlike the exact methods, which are general in the sense that they can be applied to various types of structures subjected to various loading

conditions a specific method is usually required for the approximate analysis of a particular type of structure for a particular loading. For example,a different approximate method must be employed for the analysis of a rectangular frame under vertical (gravity) loads than for the analysis of the

same frame subjected to lateral loads. Numerous methods have been developed for approximate analysis of indeterminate structures. Some of the

more common approximate methods pertaining to rectangular frames are presented in this chapter. These methods can be expected to yield resultswithin 20% of the exact solutions. The objectives of this chapter are to consider the approximate analysis of rectangular building frames as well as

to gain an understanding of the techniques used in the approximate analysis of structures in general. We present a general discussion of thesimplifying assumptions necessary for approximate analysis and then consider the approximate analysis of rectangular frames under vertical(gravity) loads. Finally, we present the two common methods used for the approximate analysis of rectangular frames subjected to lateral loads.

Berbeda dengan metode langsung (exact), yang bersifat umum dalam arti bahwa mereka dapat

diterapkan ke berbagai jenis struktur mengalami kondisi loading berbagai metode tertentu biasanya

diperlukan untuk analisis perkiraan jenis tertentu struktur untuk loading tertentu. Sebagai contoh,

metode perkiraan yang berbeda harus digunakan untuk analisis bingkai empat persegi panjang vertikal di

bawah (gravitasi) beban daripada untuk analisis bingkai yang sama dikenai beban lateral. Banyak metode

telah dikembangkan untuk analisis perkiraan tidak jelas struktur. Beberapa metode perkiraan lebih

umum yang berkaitan dengan bingkai persegi panjang disajikan dalam bab ini. Metode-metode ini dapat

diharapkan memberikan hasil dalam 20% dari hasil yang tepat. Tujuan dari bab ini untuk

mempertimbangkan analisis perkiraan bangunan persegi panjang frame serta untuk memperoleh

pemahaman tentang teknik-teknik yang digunakan dalam perkiraan analisis struktur pada umumnya.

Kami menyajikan pembahasan umum mengenai asumsi penyederhanaan yang diperlukan untuk analisis

perkiraan dan kemudian mempertimbangkan analisis perkiraan bingkai persegi panjang di bawah vertikal

(gravitasi) beban. Akhirnya, kami menyajikan dua metode umum yang digunakan untuk perkiraan

analisis bingkai persegi dikenai beban lateral.

12.1.ASSUMPTIONS FOR APPROXIMATE ANALYSIS(ASUMSI Untuk perkiraan ANALISIS)

As discussed in Chapters 3 through 5, statically indeterminate structures have more support reactions and/or members than required for static

stability; therefore, all the reactions and internal forces (including any moments) of such structures cannot be determined from the equations ofequilibrium. The excess reactions and internal forces of an indeterminate structure are referred to asredundant, and the number of redundant (i.e.,

the difference between the total number of unknowns and the number of equilibrium equations) is termed the degree of indeterminacy of the

structure. Thus, in order to determine the reactions and internal forces of an indeterminate structure, the equilibrium equations must besupplemented by additional equations, whose number must equal the degree of indeterminacy of the structure. In an approximate analysis, these

additional equations are established by using engineering judgment to make simplifying assumptions about the response of the structure. The total

number of assumptions must be equal to the degree of indeterminacy of the structure, with each assumption providing an independent relationshipbetween the unknown reactions and/or internal forces. The equations based on the simplifying assumptions are then solved in conjunction with the

equilibrium equations of the structure to determine the approximate values of its reactions and internal forces.

7/31/2019 part 12-2012

3/32

BAB 12 halaman : 3

Sebagai dibahas dalam Bab 3 sampai 5, struktur statis tak tentu memiliki lebih dukungan reaksi dan /

atau anggota dari yang dibutuhkan untuk stabilitas statis, karena itu, semua reaksi dan kekuatan internal

(termasuk setiap saat) dari struktur tersebut tidak dapat ditentukan dari persamaan kesetimbangan.

Reaksi kelebihan dan kekuatan internal struktur yang tdk disebut sebagai redundant (kelebihan gaya),

dan jumlah redundant (misalnya, perbedaan antara jumlah yang tidak diketahui dan jumlah persamaan

kesetimbangan) disebut derajat/tingkat ketidakpastian (degree of indeterminacy) dari struktur.

Kemudian, dalam rangka untuk menentukan reaksi dan gaya internal struktur yang tidak tentu,

persamaan kesetimbangan harus dilengkapi dengan persamaan tambahan, yangjumlahnya harus sama

dengan tingkat ketidakpastian struktur. Dalam sebuah analisis perkiraan, persamaan tambahan ini

dibentuk dengan menggunakan teknik penilaian untuk membuat penyederhanaan asumsi tentang

respon dari struktur. Jumlah total asumsi harus sama dengan tingkat ketidakpastian struktur, dengan

setiap asumsi menyediakan independen hubungan antara reaksi yang tidak diketahui dan / atau

kekuatan internal. Persamaan didasarkan pada asumsi penyederhanaan kemudian dipecahkan dalam

kaitannya dengan persamaan kesetimbangan struktur untuk menentukan nilai-nilai perkiraan dari reaksi

dan gaya internal.

Two types of assumptions are commonly employed in approximate analysis.

Dua jenis asumsi yang umumnya digunakan dalam perkiraan analisis.

ASSUMPTIONS ABOUT THE LOCATION OF POINTS OF INFLECTIONAsumsi tentang Lokasi Titik-Infleksi (Points of Inflection)

In the first approach, a qualitative deflected shape of the indeterminate structure is sketched and used to assume the location of the points of

inflection that is, the points where the curvature of the elastic curve changes signs, or becomes zero. Since the bending moments must be zero at

the points of inflection, internal hinges are inserted in the indeterminate structure at the assumed locations of inflection points to obtain asimplified determinate structure. Each of the internal hinges provides one equation of condition, so the number of inflection points assumed

should be equal to the degree of indeterminacy of the structure. Moreover, the inflection points should be selected such that the resulting

determinate structure must be statically and geometrically stable. The simplified determinate structure thus obtained is then analyzed to determinethe approximate values of the reactions and internal forces of the original indeterminate structure.

Pada pendekatan pertama, sketsa bentuk defleksi kualitatif struktur tak-tentu digunakan untuk

mengasumsikan bahwa lokasi titik belok/titik infleksi (points of inflection / inflection point) yaitu titik-titikdi mana tanda-tanda kelengkungan perubahan kurva elastis, atau menjadi nol. Karena moment lentur

harus nol pada titik infleksi, engsel internal (sendi tambahan) dimasukkan dalam struktur tak-tentu pada

lokasi yang diasumsikan sbg titik-infleksi untuk mendapatkan struktur tertentu yang sederhana. Masing-

masing engsel internal menyediakan satu persamaan kondisi, sehinggajumlah titik-infleksi diasumsikan

harus sama dengan tingkat ketidakpastian struktur. Selain itu, titik-infleksi harus dipilih sedemikian

rupa sehingga struktur tertentu yang dihasilkan harus geometris statis dan stabil. Struktur tertentu yang

disederhanakan demikian diperoleh kemudian dianalisa untuk menentukan nilai-nilai perkiraan reaksi

gaya internal dari struktur tak-tentu aslinya (mula-mula).

Consider, for example, a portal frame subjected to a lateral load P, as shown in Fig. 12.l (a). As the frame is supported by four reaction

components and since there are only three equilibrium equations, it is statically indeterminate to the first degree. Therefore, we need to make one

simplifying assumption about the response of the frame. By examining the deflected shape of the frame sketched in Fig. 12.l (a), we observe thatan inflection point exists near the middle of the girder CD. Although the exact location of the inflection point depends on the (yet unknown)

properties of the two columns of the frame and can be determined only from an exact analysis, for the purpose of approximate analysis we canassumethat the inflection point is located at the midpoint of the girder CD. Since the bending moment at an inflection point must be zero, we

insert an internal hinge at the midpoint E of girder CD to obtain the determinate frame shown in Fig. 12.1 (b). The four reactions of the frame can

now be determined by applying the three equilibrium equation ; and and one equation of condition, , atau to the determinate frame (Fig. 12.1 (b)):

Sebagai bahan pertimbangan, misalkan, bingkai portal terkena beban lateral P, seperti ditunjukkan pada

Gambar. 12.l (a). Seperti frame didukung oleh reaksi empat komponen dan karena hanya ada tiga

persamaan kesetimbangan, ini adalah statis tak-tentu derajat pertama. Oleh karena itu, kita perlu

7/31/2019 part 12-2012

4/32

BAB 12 halaman : 4

membuat satu asumsi penyederhanaan tentang respon dari frame. Dengan memeriksa bentuk defleksi

(penyimpangan) frame membuat sketsa pada Gambar. 12.l (a), kita mengamati bahwa titik infleksi ada di

dekat tengah balok CD. Meskipun lokasi tepatnya titik-infleksi (titik perubahan) tergantung pada (belum

diketahui) properti dari dua kolom dari frame dan dapat ditentukan hanya dari analisis pasti, untuk

tujuan analisis perkiraan kita dapat mengasumsikan bahwa pada titik perubahan terletak di titik tengah

balok CD. Karena momen lentur saat pada titik infleksi harus nol, dengan memasukkan engsel internal

pada titik tengah CD, titik E pada balok CD, untuk mendapatkan bingkai tertentu ditunjukkan dalam

Gambar. 12,1 (b). Keempat reaksi dari frame sekarang dapat ditentukan oleh menerapkan tiga

persamaan kesetimbangan ; and ; dan satu persamaan kondisi, atau untuk frame tertentu (Gambar 12,1 (b)):

By using these approximate reactions, the approximate shear, bending moment and axial force diagrams for the frame can be constructed by

considering the equilibrium of its members and joints. The bending moment diagrams for the members of the frame are shown in Fig. 12.l(c).

Dengan menggunakan perkiraan reaksi, gaya geser, moment lentur, dan diagram gaya aksial, untuk

frame tsb bisa dibangun dengan mempertimbangkan kesetimbangan dari para anggotanya dan sendi.

Diagram momen lentur untuk batang frame diperlihatkan pada Gambar. 12.l (c).

7/31/2019 part 12-2012

5/32

7/31/2019 part 12-2012

6/32

BAB 12 halaman : 6

Sebuah pendekatan umum digunakan pada prosedur analisis perkiraan bangunan persegi panjang,

sebuah frame/portal diberikan beban vertikal (gravitasi) melibatkan tiga asumsi tentang perilaku setiap

balok dari frame. Pertimbangkan bahwa portal dikenakan beban terdistribusi seragam w, seperti

ditunjukkan pada Gambar. 12.2 (a). Diagram-bebas (free-body) balok DE dari portal ditunjukkan pada

Gambar. 12.2 (b). Dari gambar sketsa bentuk defleksi balok, dapat kita amati bahwa dua titik-infleksi

berada di dekat kedua ujung balok. Titik-infleksi ini berkembang karena kolom dan balok yangberdekatan yang terhubung ke ujung balok DE menawarkan pengekangan parsial atau perlawanan

terhadap rotasi dengan mengerahkan momen negatif MDE dan MED pada masing-masing ujung balok D

dan E.

Gambar 12.2

Although the exact location of the inflection points depends on the relative stiffness of the frame members and can be determined only from an

exact analysis, we can establish the regions along the girder in which these points are located by examining the two extreme conditions of

rotational restraint at the girder ends shown in Fig. 12.2(c) and (d). If the girder ends were free to rotate, as in the case of a simply supported

girder (Fig. 12.7(c)), the zero bending moments and thus the inflection points-would occur at the ends. On the other extreme, if the girder endswere completely fixed against rotation, we can show by the exact analysis presented in subsequent chapters that the inflection points would occur

at a distance of 0.21 1L from each end of the girder, as illustrated in Fig. 12.2(d).

Walaupun lokasi yang tepat dari titik-infleksi tergantung pada kekakuan relatif dari anggota frame dan

hanya dapat ditentukan dari analisis yang tepat, kita dapat membangun daerah sepanjang balok

penopang di mana titik-titik ini terletak dengan memeriksa dua kondisi ekstrim penahan rotasi

(rotational restraint) di ujung-ujung balok yang ditunjukkan pada Gambar 12.2 (c) dan (d). Jika ujung

balok bebas berputar, seperti dalam kasus yang hanya didukung tumpuan sederhana (Gambar 12.7 (c)),

momen lentur = nol sehingga titik-infleksi akan terjadi di ujungnya. Pada kondisi ekstrem lainnya, jika

ujung balok benar-benar tetap (fix) terhadap rotasi, kita dapat menunjukkan dengan tepat disajikan

dalam bab analisis berikutnya bahwa titik infleksi akan terjadi pada jarak 0,21 1L dari setiap ujung galang,

seperti diilustrasikan pada Gambar 12.2 (d).

7/31/2019 part 12-2012

7/32

BAB 12 halaman : 7

Gambar 12.2

Therefore, when the girder ends are only partially restrained against rotation (Fig. 12.2(b)), the inflection points must occur somewhere within a

distance of 0.211L from each end. For the purpose of approximate analysis, it is common practice to assume that the inflection points are located

about halfway between the two extremes-that is, at a distance of 0,1L from each end of the girder. Estimating the location of two inflection points

involves making two assumptions about the behavior of the girder. The third assumption is based on the experience gained from the exactanalyses of rectangular frames subjected to vertical loads only, which indicates that the axial forces in girders of such frames are usually very

small. Thus, in an approximate analysis, it is reasonable to assume that the girder axial forces are zero. To summarize the foregoing discussion, in

the approximate analysis of a rectangular frame subjected to vertical loads the following assumptions are made for each girder of the frame:

1. The inflection points are located at one-tenth of the span from each end of the girder.2. The girder axial force is zero.

Oleh karena ujung balok hanya sebagian tertahan terhadap perputaran (Gambar 12.2 (b)), titik-infleksi

terjadi di suatu tempat dalam jarak 0,211L dari masing-masing akhir. Untuk perkiraan analisis, secara

umum diasumsikan bahwa titik-infleksi terletak sekitar setengah bentang antara dua kondisi ekstrem,

pada jarak 0,1L dari masing-masing ujung galang. Untuk memperkirakan lokasi kedua titik-infleksi dibuat

dua asumsi perilaku si balok. Asumsi ketiga ini didasarkan pada pengalaman yang diperoleh dari analisis

yang tepat pada frame persegi panjang dengan beban vertikal, yang menunjukkan bahwa gaya aksial

dalam balok frame/portal biasanya sangat kecil. Sehingga, dalam perkiraan analisis, sangat masuk akal

untuk mengasumsikan bahwa gaya balok aksial adalah nol. Untuk meringkas pembahasan sebelumnya,

dalam analisis perkiraan frame persegi panjang mengalami beban vertikal yang asumsi berikut ini dibuat

untuk setiap balok (galang) dari frame adalah:1. Itu titik infleksi terletak di sepersepuluh dari rentang dari masing-masing ujung galang.

2. Itu galang gaya aksial adalah nol.

The effect of these simplifying assumptions is that the middle eight-tents of the span (0.8 L) of each girder can be considered to be simply

supported on the two end portions of the girder, each of which is of the length equal to one tenth of the girder span (0.1 L), as shown in Fig.12.2(e). Note that the girders are now statically determinate, and their end forces moments can be determined from statics, as shown in the figure.

11 should be realized that by making three assumptions about the behavior of each girder of the frame, we have made a total number of

assumptions equal to the degree of indeterminacy of the frame, thereby rendering the entire frame statically determinate, as shown in Fig. 12.2(f).Once the girder end forces have been computed, the end forces of the columns and the support reactions can he determined from equilibrium

considerations.

Efek / pengaruh dari asumsi penyederhanaan ini adalah bahwa delapan-persepuluh bentang (0,8 L) dari

masing-masing balok dapat dianggap hanya didukung pada dua bagian akhir dari balok, yang masing-

masing adalah sama dengan panjang sepersepuluh dari bentang balok (0,1 L), seperti ditunjukkan padaGambar 12.2 (e). Perhatikan bahwa sekarang balok menjadi statis tertentu, dan moment ujung batang

dapat ditentukan dari statika, sebagai ditunjukkan pada Gambar 11, harus disadari bahwa dengan

membuat tiga asumsi tentang perilaku setiap galang dari frame, kita telah membuat total sejumlah

asumsi sama dengan tingkat ketidakpastian dari frame/portal, dengan demikian memberikan seluruh

frame statis tertentu, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 12.2 (f). Setelah menghitung gaya ujung

balok, gaya ujung kolom dan gaya reaksi dukungan / tumpuan juga dapat ditentukan dari kesetimbangan

yang menyertainya.

7/31/2019 part 12-2012

8/32

BAB 12 halaman : 8

Gambar 12.2 Gambar 12.3

CONTOH SOAL 12.1.

Draw the approximate shear and bending moment diagram for the girders of the frame shown in Fig. 12.3(a)

Gambarlah perkiraan gaya geser dan diagram momen bending untuk balok dari frame yang ditampilkan

pada Gambar. 12.3 (a)

As the span lengths and loads for the four girders of the frame are the same (Fig. 12.3(a)), the approximate shear and bending moment diagrams

for the girders will also be the same. By applying the assumptions discussed in this section to any of the girders of the frame, we obtain the

statically determinate girder shown in Fig. 12.3(b). Note that the middle portion of the girder, which has a length of 0.8L = 0.8(30) = 24 ft, is

simply supported on the two end portions, each of length 0.1L = 0.1(30) = 3 ft.

Karena panjang bentang dan beban ke-empat balok (girders) dari frame adalah sama (Gambar 12.3 (a)),

maka perkiraan gaya geser dan diagram bending momen untuk girders juga akan sama. Dengan

menerapkan asumsi yang dibahas dalam bagian ini untuk salah satu balok dari frame, kita memperoleh

balok statis tertentu (determinate) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 12.3 (b). Perhatikan bahwa

7/31/2019 part 12-2012

9/32

BAB 12 halaman : 9

pada bagian tengah balok, yang memiliki panjang 0.8L = 0.8 (30) = 24 ft, hanya didukung pada dua bagian

akhir, masing-masing dengan panjang 0.1L = 0.1 (30) = 3 ft.

By considering the equilibrium of the simply supported middle portion of the girder, we obtain the vertical reactions at the ends of this portion tobe 1.5(24/2) = 18 k. These forces are then applied in opposite directions (Newton's law of action and reaction) to the two end portions, as shown

in the figure. The vertical forces (shears) and moments at the ends of the girder can now be determined by considering the equilibrium of the end

portions. By applying the equations of equilibrium to the left end

portion, we write:

Dengan mempertimbangkan keseimbangan itu hanya mendukung bagian tengah balok, kita peroleh

reaksi vertikal di ujung bagian ini menjadi 1.5 (24 / 2) = 18 k. Gaya-gaya ini kemudian diterapkan pada

berlawanan arah (Hukum Newton = aksi dan reaksi) untuk ke-dua bagian ujung, seperti yang ditunjukkan

pada gambar. Gaya vertikal (geser) dan moment di ujung balok sekarang dapat ditentukan dengan

mempertimbangkan keseimbangan bagian akhir. Dengan menerapkan persamaan kesetimbangan ke

ujung kiri bagian, dituliskan sebagai:

Similarly, by applying the equilibrium equations to the right end portion, we obtain:

Demikian pula, dengan menerapkan persamaan kesetimbangan ke bagian ujung kanan, kita peroleh:

Gambar 12.3

By using these approximately value of the girder end force and moments, we construct the shear and bending moment diagrams for the girder, asshown in Fig. 12.3(b).

Dengan menggunakan perkiraan gaya ujung balok dan moment, kita dapat menggambarkan diagram

gaya geser dan momen bending untuk balok, seperti ditunjukkan pada Gambar 12.3 (b).

7/31/2019 part 12-2012

10/32

BAB 12 halaman : 10

12.3.ANALYSIS FOR LATERAL LOADS PORTAL METHOD(ANALISIS BEBAN LATERAL - PORTAL METODE)

The behavior of rectangular building frames is different under lateral (horizontal) loads than under vertical loads, so different assumptions must be

used in the approximate analysis for lateral loads than were used in the case of vertical loads considered previously. Two methods are commonlyused for approximate analysis of rectangular frames subjected to lateral loads. These are (1) the portal methodand (2) the cantilever method. The

portal method is described in this section, whereas the cantilever method is considered in the following section.

Perilaku portal bangunan persegi-panjang berbeda bila di bawah beban lateral (horizontal) daripada di

bawah beban vertikal, sehingga asumsi yang berbeda harus digunakan dalam analisis perkiraan untuk

beban lateral daripada yang digunakan dalam kasus beban vertikal sebelumnya. Dua metode umum

digunakan untuk analisis perkiraan portal persegi-panjang mengalami beban lateral. Yaitu: (1) metode

portal dan (2) metode penyangga (cantilever). Metode portal dijelaskan dalam bagian ini, sedangkan

metode kantilever dijelaskan dalam bagian berikut.

The portal method was initially developed by A. Smith in 1915 and is generally considered to be appropriate for the approximate analysis ofrelatively low building frames. Before we consider the analysis of multistory, multibay frames by using the portal method, let us examine the

behavior of a portal frame with fixed supports under a lateral load, as shown in Fig. 12.4(a). The degree of indeterminacy of this frame is three;

therefore, three assumptions must be made for its approximate analysis.

Metode portal awalnya dikembangkan A. Smith pada tahun 1915 dan umumnya dianggap sesuai dengan

perkiraan analisis kerangka bangunan yang relatif rendah. Sebelum kita mempertimbangkan analisis

bertingkat, yaitu portal bentang banyak (multibay frame) dengan menggunakan metode portal, marilah

kita memeriksa perilaku dari portal dengan tumpuan jepit/tetap yang mendukung beban lateral, seperti

ditunjukkan pada Gambar 12.4 (a). Tingkat ketidakpastian frame ini tiga; maka, tiga asumsi harus dibuat

untuk analisis perkiraan.

Gambar 12.4

7/31/2019 part 12-2012

11/32

7/31/2019 part 12-2012

12/32

BAB 12 halaman : 12

To develop the portal method for approximate analysis of frames, consider the two-story, three-bay building frame shown in Fig. 12.5(a). The

frame contains six girders, so its degree of indeterminacy is 3(6) = 18. From the deflected shape of the frame sketched in Fig. 12.5(a), we observe

that the deflection behavior of this frame is similar to that of the portal frame considered previously (Fig. 12.4(a)), in the sense that an inflectionpoint exists near the middle of each member of the frame. In the portal method, it is assumed that these inflection points are located at the mid-

point of member, and therefore, an internal hinge is inserted at the middle of each of the frame members to obtain a simplified frame, as shown in

Fig. 12.5(b).

Untuk mengembangkan metode portal pada perkiraan analisis portal, perhatikan portal dua tingkat,

kerangka bangunan tiga-bentang yang ditunjukkan pada Gambar 12.5 (a). Bingkai berisi enam balok,

sehingga derajat ketidakpastiannya adalah 3x6 =18. Dari bentuk penyimpangan (defleksi) frame yang

digambarkan pada Gambar 12.5 (a), kita amati bahwa perilaku defleksi frame ini mirip dengan frame

portal sebelumnya (Gambar 12.4 (a)), dalam arti bahwa titik infleksi ada dekat bagian tengah masing-

masing anggota frame. Pada metode portal, diasumsikan bahwa titik-infleksi ini terletak pada titik

pertengahan anggota, dan oleh karena itu, engsel internal dimasukkan di tengah-tengah frame masing-

masing anggota untuk memperoleh kerangka yang disederhanakan, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar. 12.5 (b).

Gambar 12.5

7/31/2019 part 12-2012

13/32

BAB 12 halaman : 13

Note that this simplified frame is not statically determinate because it is obtained by inserting only 14 internal hinges (i.e., one hinge in each of the

14 members) into the original frame, which is indeterminate to the 18th degree. Thus, the degree of indeterminacy of the simplified frame of Fig.

12.5(b) is 18 - 14 = 4; therefore, four additional assumptions must be made before an approximate analysis involving only statics can be carriedout. In the portal method, it is further assumed that the frame is composed of a series of portal frames, as shown in Fig. 12.5(c), with each interior

column of the original multibay frame representing two portal legs. We showed previously (Fig. 12.4) that when a portal frame with internal

hinges at the midpoints of its members is subjected ton lateral load, equal shears develop in the two legs of the portal.

Perhatikan bahwa penyederhanaan frame ini tidak merubah statis tertentu (determinate) karena

diperoleh dengan menyisipkan 14 engsel internal (yaitu, satu engsel di masing-masing dari 14 anggota)

ke dalam bingkai asli, dengan derajat ketidaktentuan 18. Dengan demikian, tingkat ketidakpastian yang

digambarkan pada Gambar 12.5 (b) adalah 18-14 = 4; karena itu, empat asumsi tambahan harus dibuat

sebelum analisis perkiraan hanya melibatkan statika dilakukan. Dalam metode portal, untuk lebih jauh

diasumsikan bahwa frame terdiri dari portal serangkaian bingkai, seperti ditunjukkan pada Gambar. 12,5

(c), dengan masing-masing kolom interior multibay asli mewakili dua kaki portal. Kami tunjukkan

sebelumnya (Gambar 12.4) bahwa portal dengan engsel-internal di titik tengah anggotanya dinyatakan

sebagai n beban lateral, adalah samadengan perkembangan gaya geser di dua kaki dari portal.

Since an interior column of the original multibay frame represents two portal legs, whereas an exterior column represents only one leg, we can

reasonably assume that the shear in an interior column of a story of the multibay frame is twice as much as the shear in an exterior column of that

story (Fig. 12.5(c)). The foregoing assumption regarding shear distribution between columns yields one more equation for each story of the framewith multiple bays than necessary for approximate analysis. For example, for each story of the frame of Fig. 17.5, this assumption can be used to

express shears in any three of the columns in terms of that in the fourth. Thus, for the entire frame, this assumption provides a total of six

equations-that is two equations more than necessary for approximate analysis. However, as the extra equations are consistent with the rest, they donot cause any computational difficulty in the analysis.

Karena kolom interior multibay portal mewakili dua kaki, sedangkan kolom eksterior hanya mewakili

satu kaki, kita dapat menganggap bahwa gaya geser dalam kolom interior satu tingkat/lantai adalah dua

kali gaya geser dalam kolom eksterior dari lantau tersebut (Gambar 12.5 (c)). Pada asumsi sebelumnya

mengenai distribusi gaya geser antara tekuk kolom menghasilkan satu lebih persamaan untuk setiap

lantainya yang diperlukan untuk analisis perkiraan. Sebagai contoh, untuk setiap lantai dari kerangka

Gambar 17.5, diasumsikan ini dapat digunakan untuk mengekspresikan gaya geser dalam setiap tiga

kolom sebagai persyaratan keempat. Jadi, untuk seluruh frame, asumsi ini memberikan total enam

persamaan yang dua persamaan lebih dari yang diperlukan untuk analisis perkiraan. Namun, seperti

persamaan konsisten tambahan, tidak menimbulkan kesulitan komputasi dalam analisis.

From the foregoing discussion, we gather that the assumptions made in the portal method are as follows:1. An inflection point is located at the middle of each member of the frame.

2. On each story of the frame, interior columns carry twice as much shear as exterior columns.

Dari diskusi tersebut di atas, kita kumpulkan asumsi bahwa yang dibuat dalam metode portal adalah

sebagai berikut:

1. titik-perubahan (titik infleksi) terletak di tengah-tengah setiap anggota dari frame.

2. Pada setiap lantai dari portal/frame, kolom interior membawa dua kali lipat gaya geser kepada kolom

eksterior.

7/31/2019 part 12-2012

14/32

BAB 12 halaman : 14

Procedure for AnalysisThe following step-by-step procedure can be used for the approximate analysis of building frames by the portal method.

1. Draw a sketch of the simplified frame obtained by inserting an internal hinge at the midpoint of each member of the given frame.2. Determine column shears. For each story of the frame:

a. Pass a horizontal section through all the columns of the story, cutting the frame into two portions.b. Assuming that the shears in interior columns are twice as much as in exterior columns, determine the column shears by applying

the equation of horizontal equilibrium to the free body of the upper portion of the frame.Prosedur untuk Analisis

Berikut langkah-langkah prosedur dapat digunakan untuk analisis perkiraan bangunan frame dengan

metode portal.

1. Menarik sketsa frame yang disederhanakan diperoleh dengan menyisipkan engsel internal di titik

tengah masing-masing anggota.

2. Tentukan gaya geser kolom untuk setiap lantai dari frame:

a. Pass bagian horizontal melalui semua kolom lantai, memotong frame menjadi dua bagian.

b. Asumsi bahwa gaya geser di kolom interior dua kali lipat dalam kolom eksterior, tentukan gaya

geser kolom dengan menerapkan persamaan keseimbangan horizontal ke free-body atasdari frame.

3. Draw free-body diagrams of all the members and joints of the frame, showing the external loads and the column end shears computedin the previous step.

4. Determine column moments. Determine moments at the ends of each column by applying the equations of condition that the bendingmoment is zero at the column midheight, where an inflection point (internal hinge) has been assumed. As shown in Fig. i 2.6(a), by

applying the equations of condition, and to the free body of a column of hcight h, we find that the two ends ofthe column are equal in magnitude and have the same sense (i.e., either both end moments are clockwise or both are counterclockwise).

The magnitude of the column end moments (MC) is equal to the magnitude of the column shears (Sc) times half the column height; that

is() Determine end moments for all the columns of the frame.3. Tarik diagram free-body dari semua anggota dan titik dari frame, yang menunjukkan beban eksternal

dan free-body ujung kolom dihitung pada langkah sebelumnya.

4. Tentukan momen kolom. Tentukan momen di ujung setiap kolom dengan menerapkan persamaan

kondisi bahwa momen lentur adalah nol pada midheight kolom, dimana titik-infleksi (engsel-internal)

telah diasumsikan. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.6 (a), dengan menerapkan persamaan

kondisi, dan ke free-body tinggi kolom (h), kita menemukan bahwa kedua ujungkolom yang sama besar dan memiliki arti yang sama (yaitu, momen kedua ujung searah jarum jam

atau keduanya berlawanan jarum jam). Besarnya momen ujung kolom (MC) adalah sama besarnya

dengan gaya geser kolom (Sc) pada setengah kali dari tinggi kolom; yaitu () untukmenentukan momen ujung semua kolom frame.

5. Determine girder axial forces, moments, and shears. Proceeding from the top story of the frame to the bottom, compute axial forces,moments, and shears at the ends of the girders of each successive story by starting at the far left joint of the story and working across tothe right, as follows:

a. Apply the equilibrium equations, and ;to the free body of the joint under consideration to compute theaxial force and moment, respectively, at the left (adjoining) end of the girder on the right side of the joint.

b. Considering the free body of the girder, determine the shear at the girders left end by dividing the girder moment by half

the girder length (see fig. 12.6(b)); that is Equation (12.2) is based on the condition that the bending moment atthe girder midpoint is zero.

c. By applying the equilibrium equations ; and ; to the free body of the girder, determine theaxial force, shear, and moment, respectively, at the right end. As shown in Fig. 12.6(b), the axial forces and shears at theends of the girder must be equal but opposite, whereas the two end moments must be equal toeach other in both magnitude

and direction.

d. Select the joint to the right of the girder considered previously, and repeat steps 5(a) through 5(c) until the axial forces,moments, and shears in all the girders of the story have been determined. The equilibrium equations and ; for the right end joint have not been utilized so far, so the equation can be used to check the calculations.

e. Starting at the far left joint of the story below the one considered previously, repeat steps 5(a) throught 5(d) until the axialforces, moments, and shears in all of the girders of the frame have been determined.

5. Tentukan gaya aksial balok, momen, dan gaya geser. Proses dari lantai atas hingga ke bawah, hitung

gaya aksial, momen, dan gaya geser ujung balok setiap lantai berturut-turut memulai pada titik paling

kiri dan memotong ke kanan, seperti berikut:

7/31/2019 part 12-2012

15/32

BAB 12 halaman : 15

a. buat persamaan kesetimbangan, dan ; tinjau free-body titik di bawahpertimbangan untuk menghitung gaya aksial dan momen, masing-masing, di sebelah ujung kiri

balok dan di sisi kanan sendi.

b. Menimbang free-body balok, tentukan gaya geser di ujung kiri balok dengan membagi momen

balok dengan setengah panjang bentang (lihat Gambar 12.6 (b)); yaitu Persamaan (12.2)

didasarkan pada kondisi bahwa momen lentur di titik tengah adalah nol.c. dengan menerapkan persamaan kesetimbangan ; dan ; tinjau free-body

balok, tentukan gaya aksial, gaya geser, dan momen lentur, masing-masing, di ujung kanan.

Seperti ditunjukkan dalam Gambar 12.6 (b), gaya aksial dan geser di ujung-ujung balok harus sama

namun berlawanan, sedangkan kedua momen ujung harus sama dalam besar dan arah.

d. Pilih titik kanan balok sebelumnya, dan ulangi langkah 5 (a) sampai 5 (c) sampai gaya aksial,

momen, dan gaya geser di semua balok lantai ditentukan. Persamaan kesetimbangan and ; pada ujung kanan titik belum diperhitungkan sehingga persamaan dapat digunakanuntuk memeriksa hasil perhitungan.

e. Mulailah dari titik bagian paling kiri dari lantai di bawahnya, ulangi langkah 5 (a) sampai 5 (d)

hingga dapat ditentukan gaya aksial, momen, dan gaya geser di seluruh balok dari frame.

GAMBAR 12.6

6. Determine column axial forces. Starting at the top story, apply the equilibrium equation Fy = 0 successively to the free body of eachjoint to determine the axial forces in the columns of the story. Repeat the procedure for each successive story, working from top tobottom, until the axial forces in all the columns of the frame have been determined.

7. Realizing that the forces and moments at the lower ends of the bottom story columns represent the support reactions, use the threeequilibrium equations of the entire frame to check the calculations. If the analysis has been performed correctly, then these equilibrium

equations must be satisfied.

In steps 5 and 6 of the foregoing procedure, if we wish to compute member forces and moments by proceeding from the right end of thestory toward the left, then the term left should be replaced by right and vice versa.

6. Tentukan gaya aksial kolom. Mulai dari lantai paling atas, terapkan persamaan keseimbangan Fy = 0

berturut-turut untuk free-body masing-masing titik untuk menentukan kekuatan aksial dalam kolom-

kolom lantai. Ulangi prosedur untuk setiap lantai berturut-turut, bekerja dari atas ke bawah, sampai

gaya aksial di semua kolom dari frame telah ditentukan.

7. Munculkan gaya-gaya dan momen-momen di ujung bawah dari bagian kolom lantai bawah mewakili

reaksi dukungan, gunakan tiga persamaan kesetimbangan pada seluruh kerangka untuk memeriksa

7/31/2019 part 12-2012

16/32

BAB 12 halaman : 16

perhitungan. Jika analisis telah dilakukan dengan benar, maka persamaan kesetimbangan ini harus

dipenuhi.

Pada langkah 5 dan 6 dari prosedur sebelumnya, jika kita ingin menghitung gaya batang dan saat dengan

memproses dari ujung kanan lantai menghadap kiri, maka istilah kiri harus digantikan dengan benar dan

sebaliknya.

CONTOH SOAL 12.2.

Determine the approximate axial forces, shear, and moments for all the members of the frame shown in Fig.12.7 (a)

Tentukan perkiraan kekuatan aksial, geser, dan momen untuk semua anggota dari frame ditampilkan

dalam Fig.12.7 (a)

7/31/2019 part 12-2012

17/32

BAB 12 halaman : 17

`

SOLUTION

PENYELESAIAN

Simplified Frame

The simplified frame for approximate analysis is obtained by inserting internal hinges at the midpoints of all the members of the given frame, as

shown in Fig. 11.7(b)

7/31/2019 part 12-2012

18/32

BAB 12 halaman : 18

Bingkai Sederhana

Bingkai / Frame yang disederhanakan untuk analisis pendekatan diperoleh dengan menyisipkan engsel-

internal di titik-titik tengah dari semua anggota itu diberi bingkai, sebagai ditampilkan pada Gambar.

11,7 (b)

Column Shear

To compute shears in the column of the second story ot the frame, we pass an imaginary section aa through the columns DG, EH, and FI justabove the floor level, as shown in Fig. 12.7(b). The free-body diagram of the portion of the frame above section aa is shown in Fig. 12.7(c). Note

that the shear in the interior column EHhas been assumed to be twice as the exterior columns, DG and FI, by applying the equilibrium equationFx = 0, we obtain (Fig. 12.7(c))

Kolom Geser

Untuk menghitung gaya geser di kolom dari bingkai dua lantai, kita tinjau sebuah bagian aa imajiner

melalui kolom DG, EH, dan FI tepat di atas tingkat lantai, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 12.7(b).

Diagram benda bebas dari bagian dari bingkai di atas adalah bagian aa ditunjukkan pada Gambar 12.7(c).

Perhatikan bahwa geser dalam kolom interior EH ini dianggap telah menjadi dua kali seperti kolom

eksterior, DG dan FI, dengan menerapkan persamaan keseimbangan Fx = 0, kita memperoleh (Gambar

12.7 (c))

Thus the shear fol-ces at the lower ends of the second-story columns areJadi gaya geser di ujung bawah dari kolom kedua cerita adalah:

Similarly, by employing section bb (Fig. 12.7(b)), we determine shear forces at the lower ends of the first-story columns AD, BE, and CF to be

(see Fig. 12.7(d)):

Demikian pula, dengan menggunakan bagian bb (Gambar 12.7 (b)), kita dapat menentukan kekuatan

geser pada ujung bawah kolom lantai pertama AD, BE, dan CF untuk (lihat Gambar 12.7 (d)):

Shear forces at the upper ends of columns are determined by applying the equilibrium equation to the free body of each column. Forexample, from the freebody diagram of' colunln DG shown in Fig. 12.7(e), we can see that in order to satisfy the shear force at theupper end, SGD, must act to the right with a magnitude of 2.5 k to balance the shear force at the lower end, SDG = 2.5 k to the left. Thus SGD =2.5 k. Shear forces at the upper ends of the remaining columns are obtained in a similar manner and are shown in Fig. 12.7(f), which depictsthe free-body diagrams of all the members and joints of the frame.

Gaya-gaya Geser pada ujung atas kolom ditentukan dengan menggunakan kesetimbangan persamaan

Freebody untuk setiap kolom. Sebagai contoh, dari diagram Freebody dari kolom DGditunjukkan pada Gambar 12.7 (e), kita dapat lihat bahwa untuk memenuhi gaya geser diujung atas, SGD, harus bertindak ke kanan dengan kekuatan 2,5 k untuk menyeimbangkan gaya geser

pada ujung bawah, SDG = 2,5 k ke kiri. Jadi SGD = 2,5 k kanan. Kekuatan geser pada ujung atas kolom sisa

diperoleh dgn cara yang sama dan ditunjukkan dalam Gambar 12.7 (f), yang menggambarkan Freebody

diagram dari semua anggota dan sendi dari frame.

Column Moments,

Knowing column shears, we can now cornpute the column end moments by multiplying the column shears by half of the column

heights. For example, since column DG(see Fig. 12.7ie)) is 12 St high and has end shears of 2.5 k, its end moments areKolom Moments,

Pengetahuan gunting kolom, kita sekarang dapat menghitung saat-saat akhir dengan mengalikan kolom

kolom gunting oleh setengah dari kolom ketinggian. Sebagai contoh, karena kolom DG (lihat Gambar.

12.7ie)) adalah 12 St tinggi dan memiliki gunting akhir 2,5 k, saat-saat akhir perusahaan adalah

7/31/2019 part 12-2012

19/32

BAB 12 halaman : 19

Note that the end moments. MDG and MGD are both counterclockwise - that is, opposite to the clockwise moments of the 2.5-k end shears about

thc internal hinge at the column midheight. The end moments of the remaining columns of the frame are computed in a similar nlanner and are

shown in Fig. 12.7(f).

Perlu diketahui bahwa saat-saat akhir. MDG dan DKM keduanya berlawanan - Yaitu, berlawanan searah

jarum jam saat-saat akhir gunting 2,5 k tentang engsel internal THC pada kolom midheight. Saat-saat

akhir kolom sisa dari frame dihitung dalam nlanner serupa dan akan ditampilkan pada Gambar. 12,7 (f).

Girder Axial Forces,Moments, and Shears.We begin the comnputation of girder end actions at the upper left joint G . The column shear SGD and moment MGD computed previously areapplied to the free-body diagram of joint G in opposite directions in accordance the Newton's third law, as shown in Fig. 12.7(e). By summingforces in the horizontal direction, we obtain the girder axial forces QGD = 7.5-k on joint G. Note that must act in the opposite direction - that is, to

the right at the end G of girder GH. From the free-body diagram of joint G (fig. 12.7(e)), we can also see that in order to satisfy the moment

quilibrium the girder end moment MGD = 15 k-ft, with a counterclockwise direction on joint G but a clockwise direction at the end G ofgirder GH.

Balok Angkatan aksial,

Kami memulai tindakan akhir computation balok di kiri atas G bersama. Geser kolom SGD dan saat DKM

dihitung sebelumnya diterapkan pada tubuh-bebas Diagram G bersama dalam arah yang berlawanan

sesuai hukum ketiga Newton, seperti ditunjukkan pada Gambar 12.7 (e). Oleh penjumlah gaya pada arah

horisontal, kita memperoleh kekuatan aksial girder QGD = 7,5 k pada sendi G. Perhatikan bahwa harus

bertindak dalam arah yang berlawanan - yaitu, untuk hak pada akhirnya G GH balok. Dari diagram benda

bebas dari G bersama (Gbr 12.7 (e)), kita juga dapat melihat bahwa untuk memuaskan saat quilibriumyang DKM girder saat akhir = 15 k-kaki, dengan arah berlawanan pada G bersama tetapi searah jarum

jam pada akhirnya G GH balok.

To determine the girder shear SGH, we consider the moment equilibrium of the left half of girder GH. From the free-body diagram of'girdcr GH

(Fig. 12.7(e)), we can see that the shear force SGH must act downward with a magnitude of MGH/(L/2) so that it can develop a counterclockwisemoment of magnitude MGH about the internal hinge to balance the clockwise end moment MGH. Thus:

Untuk menentukan geser SGH girder, kami mempertimbangkan keseimbangan saat kiri setengah girder

GH. Dari diagram benda bebas of girder GH (Gambar 12,7 (e)), kita dapat melihat bahwa gaya geser SGH

harus bertindak ke bawah dengan kekuatan MGH / (L / 2) sehingga dapat mengembangkan saat

berlawanan arah jarum jam dari besarnya MGH tentang engsel internal untuk menyeimbangkan MGH

saat akhir searah jarum jam. Jadi:

The axial force, shear, and moment at the right end H can now be computed by applying the three equilibrium equations to the

free-body of girder GH (Fig. 12.7(e)). Applying we obtain QHG = 7.5 k, from we obtain SHG = 1k,and to compute MHG, we allpy the equilibrium equation:

Note that the girder end moments,MGHand MHG. are equal in magnitude and have the same direction.

Gaya aksial, geser, dan momen di ujung kanan H sekarang dapat dihitung dengan menggunakan tiga

persamaan kesetimbangan untuk tubuh bebas dari gelagar GH (Gambar 12.7 (e)). Menerapkan kita memperolehQHG = 7.5 k, dari kita memperolehSHG = 1k, dan untuk menghitung MHG,kita allpy persamaan kesetimbangan:

Perhatikan bahwa ujung gelagar saat ini,MGHdan MHG. adalah sama dalam besar dan memiliki arah yang

sama.

Next, the end actions for girderHIare computed. The equilibrium equations and are first applied to thefree-body of joint H (Fig. 12.7(f)) to obtain the axial force QHI = 2.5 k and the moment MHl = I5 k-ft at the left end H ofthe girder. The shear SHI = 1.5 k is then obtained by dividing the moment MHI by half the girder length and the three

cquilibrium equation are applied to the free-body of' the girder to obtain QHI = 7.5 k. SIH = 1.5 k , and MIH = 15 k-ft at the right end L of the girder (see Fig. 12.7(f)).

7/31/2019 part 12-2012

20/32

BAB 12 halaman : 20

Selanjutnya,tindakanakhir untukgelagarHIdihitung. Persamaan kesetimbangan dan dipergunakan terlebih dahulu untuk free-body dari sendi H (Fig. 12.7(f)) untukmendapatkan gaya aksial QHI = 2.5 kdan momen MHl = I5 k-ft di H ujung kiri balok utama.

Gaya geser SHI = 1.5 k kemudian diperoleh dengan membagi saat MHI dengan setengah

panjang gelagar dan persamaan cquilibrium tiga diterapkan pada free-body dari 'balok utama

untuk memperoleh QHI = 7.5 k . SIH = 1.5 k , dan MIH = 15 k-ft di L ujung kanan balokutama (see Fig. 12.7(f)).

All the moments and horizontal forces acting at the upper rigIht joint I are now known, so we can check the calculations that have

been performed thus far by applying the two equilibrium equations and to the free-body of joint. Fromthe free-body diagram of joint I shown in Fig. 13.7(f) it is obvious that these equilibrium equations are indeed satisfied.

Semua momen dan gaya horisontal yang bekerja pada sendi kanan atas I sekarang diketahui, sehingga

kami dapat memeriksa perhitungan yang telah dilakukan sejauh ini dengan menerapkan dua persamaan

kesetimbangan dan ke freebody sendi. Dari diagram benda bebas dari sendi Iditunjukkan pada Gambar. 13,7 (f) sudah jelas bahwa persamaan kesetimbangan memang lengkap.

The end actions for the first-story girdersDEandEFare computed in a similar manner; by starting at the left joint D and workingacross to the right. The girder end actions thus obtained are shown in Fig. 12.7(f).

Aksi ujung untuk balok utama lantai satu DEand EFdihitung dengan cara yang sama; dengan memulai di

D sendi kiri dan bekerja di seluruh ke kanan. Aksi ujung balok utama yang diperoleh ditunjukkan pada

Fig. 12.7(f).

Column Axial ForcesWe begin the computation of column axial forces at the upper left joint G. From the free-body diagram of joint G shown in Fig.

12.7(e), we observe that the axial forces in column DG must be equal and opposite to the shear in girder GH. Thus the axial force

at the upper end G of column DG is QDG = 1k. by applying to the free-body of'columnDG, we obtain the axialforce at the lower end of the column to be QDG = 1 k. Thus, the column DG is subjected to an axial tensile force of1 k. Axialforces for the remaining second-story columns. EH and FI, are determined similarly by considering the equilibrium of jointh Hand I. respectively; thereafter, the axial forces for the first-story columns. AD, BE, and CF, arc computed from the equilibriumconsideration of joint D, E, and F, respectly. The axial forces thus obtained are shown in Fig. 12.7(f).

Kekuatan Aksial Kolom

Kita mulai perhitungan gaya aksial kolom di G bersama atas kiri. Dari diagram freebody G bersama

ditunjukkan pada Fig. 12.7(e), kita mengamati bahwa gaya aksial dalam kolom DG harus sama dan

berlawanan dengan geser dalam balok utama GH. Dengan demikian gaya aksial di G ujung atas kolom DG

QDG = 1k. dengan menerapkan ke freebody of'column DG, kita memperoleh gaya aksialpada ujung bawah kolom yang akan QDG = 1 k . Dengan demikian, kolom DG terkena kekuatan tarik

aksial dari 1 k. Dengan demikian, kolom DG dikenai kekuatan tarik aksial dari 1 k. Gaya aksial untuk lantai

dua kolom yang tersisa. EH dan FI, ditentukan juga dengan mempertimbangkan keseimbangan titik H

dan I; setelah itu, gaya aksial untuk kolom lantai satu. AD, BE, dan CF, dihitung dari pertimbangan

keseimbangan sendi D, E, dan F, respectly. Gaya aksial dengan demikian diperoleh ditunjukkan pada Fig.12.7(f).

Reactions

The forces and moments at the lower ends of the first-story columns AD, BE, and CF, represent the reactions at the fixed

supports A, B, and C, respectively, as shown in Fig. 12.7(g).

ReaksiGaya dan momen pada ujung bawah kolom lantai satu AD, BE, dan CF, merupakan reaksi di A, B, dan C,

masing-masing, seperti ditunjukkan pada Gambar. 12,7 (g).

7/31/2019 part 12-2012

21/32

BAB 12 halaman : 21

Checking Computations

To check our computations, we apply the three equilibrium equations to the free body of the entire frame (Fig. 12.7(,a))

Pemeriksaan Perhitungan

Untuk memeriksa perhitungan, kami menerapkan tiga persamaan kesetimbangan ke freebody dari

seluruh frame (Gambar 12.7 (, a))

12.4.ANALYSIS FOR LATERAL LOADSCANTILEVER METHOD(ANALISIS BEBAN LATERAL - KANTILEVER METODE)

The behavior of rectangular building frames is different under lateral (horizontal) loads than under vertical loads, so different assumptions must be

used in the approximate analysis for lateral loads than were used in the case of vertical loads considered previously. Two methods are commonlyThe cantilever method was initially developed by A. C. Wilson in I908 and is generally considered to be appropriate for

the approximate analysis of relatively tall building frames. The cantilever method is based on the assumption that under

lateral loads, the building frames behave like cantilever beams, as shown in Fig. 12.8. Recall (from mechanics of materials)

that the axial stress on a cross section of a cantilever beam subjected to lateral loads varies linearly with the distance from

the centroidal axis (neutral surface), so that the longitu- fibers of the beam on the concave side of the neutral surface are in

compression, wliereas those on the convex side undergo tension. In the cantilever method, the distribution of axial stress

among the columns ofa frame at the column inidheights is assumed to be analogous to the axial stress distribution amongthe longitudinal fibers of a cantilever beam.

Perilaku rangka bangunan persegi panjang memiliki perilaku yang berbeda di bawah beban lateral

(horizontal) daripada di bawah beban vertikal, sehingga asumsi yang berbeda harus digunakan dalam

analisis perkiraan untuk beban lateral yang digunakan dalam kasus beban vertikal sebelumnya. Ada dua

metode yang umum.

Metode kantilever awalnya dikembangkan oleh AC Wilson di I908 dan umumnya dianggap sesuai untuk

analisis perkiraan rangka bangunan yang relatif tinggi. Metode kantilever didasarkan pada asumsi bahwa

di bawah beban lateral, rangka bangunan berperilaku seperti balok kantilever, seperti ditunjukkan pada

Gambar. 12,8. Ingat (dari mekanika bahan) bahwa tegangan aksial pada penampang balok kantilever

akibat beban lateral yang bervariasi secara linear dengan jarak dari sumbu pusat massa (permukaan

netral), sehingga serat memanjang balok pada sisi cekung permukaan netral dalam kompresi, sementara

pada sisi cembung mengalami ketegangan. Dalam metode kantilever, distribusi tegangan aksial antara

kolom-kolom dari sebuah frame pada pertengahan ketinggian kolom dianggap analog dengan distribusi

tegangan aksial di antara serat-serat longitudinal balok kantilever.

In other words, it is assumed that the axial stress at the midheight of each column is linearly proportional to the distance ofthe column from the centroid ofthe areas of ail the columns on that story. If we further assume that the cross-sectionalareas of all the colunins on each story of the frame are equal, then the axial force in each column will also be linearly

proportional to the distance of the column from the centroid of all the columns on that story. When the lateral loads are

acting on the frame toward the right, as shown in Fig. 12.8, then the columns to the right of the centroidal axis will be incompression, whereas those on the left side will be in tension and vice versa.

Dengan kata lain, diasumsikan bahwa tegangan aksial pada midheight setiap kolom adalah berbanding

lurus dengan jarak dari kolom dari pusat massa bidang semua kolom pada lantai itu. Jika kita

7/31/2019 part 12-2012

22/32

BAB 12 halaman : 22

mengasumsikan lebih lanjut bahwa luas penampang semua kolom pada setiap lantai dari frame adalah

sama, maka gaya aksial dalam setiap kolom juga akan berbanding lurus dengan jarak dari kolom dari

centroid semua kolom pada lantai. Ketika beban lateral yang bekerja pada frame ke kanan, seperti yang

ditunjukkan pada Gambar. 12,8, maka kolom ke kanan dari sumbu pusat massa akan di kompresi,

sementara pada sisi kiri akan berada dalam ketegangan dan sebaliknya

In addition to the foregoing assumption, the cantilever method makes the same assunlption regarding the location of

inflection points as used in the portal method. Thus the assumptions made in the cantilever method can be stated as

follows:

1. An inflection point is located at the middle 01' each member of the frame.

2. On each story of the frame, the axial forces in columns a relinearly proporsional to their distance from the centroid ofthe cross-sectional areas of all the columns on that story.

Selain asumsi tersebut di atas, metode kantilever membuat asumsi yang sama mengenai lokasi titik

belok seperti yang digunakan dalam metode portal. Jadi asumsi yang dibuat dalam metode kantilever

dapat dinyatakan sebagai berikut:

1. Titik perubahan terletak di tengah-tengah setiap anggota dari frame.

2. Pada setiap frame lantai, gaya aksial dalam kolom linear proporsional dengan jarak dari centroid dari

luas penampang semua kolom pada lantai

Procedure forAnalysisThe following step-by-step procedure can be used for the approximate analysis of building frames by the cantilever

method.1. Draw a skctch of the simplilied frame obtained by inserting an internal hinge at the midpoint of each member of

the given frame.

Prosedur untuk Analisis

Prosedur berikut dapat digunakan untuk analisis perkiraan rangka bangunan dengan metode

kantilever

7/31/2019 part 12-2012

23/32

BAB 12 halaman : 23

1. Gambarlah sketsa dari frame sederhana diperoleh dengan menyisipkan engsel internal

pada titik tengah setiap anggota dari frame yang diberikan.

2. Determine column axial forces. For each story of the frame:a) Pass a horizontal section through the internal hinges at the column midheights, cutting the frame into two

portions.b) Draw a free-body diagram of the portion of the frame above the section. Because the section passes through

the columns at the internal hinges, only internal shears and axial forces (but no internal moments) act on the

free body at the points where the columns have been cut.

c) Determine the location of the centroid of all the columns on the story under consideration.d) Assuming that the axial forces in the columns are proportional to their distances from the centroid,

determine the column axial forces by applying the moment equilibrium equation, , to the free bodyof the frame above the section. To eliminate the unknown column shears from the equilibrium equation, the

moments should be summed about one of the internal hinges at the column midheights through which the

section has been passed

2. Gambarlah sketsa dari frame sederhana diperoleh dengan menyisipkan engsel internal

pada titik Tentukan gaya kolom aksial. Untuk setiap lantai dari frame

a. Pass bagian horisontal melalui engsel internal di midheights kolom, memotong

frame menjadi dua bagian.

b. Gambarlah diagram freebody dari bagian dari frame di atas bagian tersebut.

Karena bagian melewati kolom di engsel internal, hanya gaya geser internal dan

gaya aksial (tapi tidak ada momen internal) bekerja pada benda bebas pada titik-

titik di mana kolom telah dipotong.

c. Tentukan lokasi titik berat dari semua kolom lantai.

d. Dengan asumsi bahwa gaya aksial dalam kolom yang sebanding dengan jarak

mereka dari pusat massa tersebut. Tentukan gaya aksial kolom dengan

menerapkan persamaan kesetimbangan momen,, , ke freebody dariframe di atas bagian tersebut. Untuk menghilangkan gaya geser kolom yang tidakdiketahui dari persamaan kesetimbangan, momen tersebut harus diasumsikan

pada salah satu engsel internal di midheights kolom melalui bagian mana yang

telah berlalu

3. Draw free-body diagrams of all the members and joints of the frame showing the external loads and the columnaxial forces computed in the previous step.

3. Menggambar diagram freebody dari semua batang dan sendi dari frame yang

menunjukkan beban luar dan gaya aksial kolom dihitung pada langkah sebelumnya.

4. Determine girder shears and moments. For each story of the frame, the shears and moments at the ends ofgirders are computed by starting at the far left joint and working across to the right (or vice versa) as follows:

a) Apply the equilibrium equation to the free body of the joint under consideration to compute theshear at the left end of the girder that is on the right side of the joint.

b) Considering the free body of the girder, determine the moment at the girders left end by multiplying the

girder shear by half the girder length; Equation (12.3) is based on the condition that the

bending moment at the girder midpoint is zero.

7/31/2019 part 12-2012

24/32

BAB 12 halaman : 24

c) By applying the equilibrium equations; and ; to the free body of the girder, determinethe shear and moment, respectively, at the right end.

d) Select the joint to the right of the girder considered previously, and repeat steps 4(a) through 4(c) until the shearsand moments in all the girders of the story have been determined. Because the equilibrium equation ; for the right end joint has not been utilized so far, itcan be used tocheck the calculations.

4. Tentukan gaya geser balok utama dan momen. Untuk setiap lantai frame, gaya geser danmomen pada ujung-ujung balok utama dihitung dengan memulai pada sendi dan bekerja

di seluruh ke kanan (atau sebaliknya) paling kiri sebagai berikut:

a) Terapan persamaan kesetimbangan ke freebody dari sendi yangdipertimbangkan untuk menghitung gaya geser ujung kiri balok utama yang ada di sisi

kanan dari sendi.

b)Perhatikan freebody dari balok utama, menentukan momen pada ujung kiri balok

utama tersebut dengan mengalikan geser balok utama dengan setengah panjang

balok utama; Persamaan (12.3) didasarkan pada kondisi bahwa momen

lentur pada titik tengah balok utama adalah nol.

c) Dengan menerapkan persamaan keseimbangan; and ; kefreebody dari balok utama, menentukan geser dan momen masing-masing, di ujung

kanan.

d)Pilih sendi di sebelah kanan balok utama itu, dan ulangi langkah 4 (a) sampai 4 (c)

sampai gaya geser dan momen di semua balok utama lantai itu ditentukan. Karena

persamaan kesetimbangan ; untuk joint ujung kanan belum digunakanselama ini, dapat digunakan untuk memeriksa perhitungan.

5. Determine column moments and shears. Starting at the top story, apply the equilibrium equation ; to the fleebody of each joint of the story to determine the moment at the upper end of the column below the joint. Ncxt. for each

column of the story calculate the shear at the upper end ofthe column by dividing the column moment by half the

column height; that is, , Deterimine the shear and moment at the lower end of the column by applying the

equilibrium equations ; and ;, respectively, to the free body of the column. Repeat the procedurefor each successive story, working from top to bottom. until the moments and shears in all column of the frame have

been determined.

5. Tentukan momen kolom dan gaya geser. Mulai dari lantai atas, menerapkan persamaan

kesetimbangan ; ke freebody pada setiap lantai itu bersama untuk menentukan momenyang ujung atas kolom di bawah sendi. Berikutnya. untuk setiap kolom lantai itu dihitung geser

pada ujung atas kolom dengan membagi momen kolom dengan setengah tinggi kolom, yaitu,

, Tentukan geser dan momen pada ujung bawah kolom dengan menerapkanpersamaan keseimbangan; dan ;, respectively, ke freebody kolom. Ulangiprosedur ini untuk setiap lantai yang berurutan, bekerja dari atas ke bawah. sampai momen dan

gaya geser di semua kolom dari frame telah ditentukan.

6. Determine girder axial forces. For each story of the frame, determine the girder axial forces by starting at the far left

joint and applying the equilibrium equation successively to the free body of each joint of the story.

7/31/2019 part 12-2012

25/32

BAB 12 halaman : 25

6Tentukan gaya balok utama aksial. Untuk setiap lantai dari frame, menentukan gaya

aksial balok utama dengan memulai pada sendi paling kiri dan menerapkan persamaan

keseimbangan berturut-turut ke freebody setiap bersama lantai itu.

7. Realizing that the forces and moments at the lower ends of the bottom story columns represent the support reactions,use the three equilibrium equations of the entire frame to check the calculations. If the analysis has been performed

correctly, then these equilibrium equations must be satisfied.

7Menyadari bahwa kekuatan dan momen pada ujung bawah kolom lantai bawah

mewakili reaksi dukungan, jadi gunakan tiga persamaan kesetimbangan dari seluruh frame

untuk memeriksa perhitungan. Jika analisis yang telah dilakukan dengan benar, maka

persamaan keseimbangan harus memenuhi.

CONTOH SOAL 12.2.

Determine appioximate axial forces, shears and moments fol all the members of the frarne shown In Ftg 12 9(a) by uslng

the cantilever method

SOLUTION

This frame was analyzed by the portal method in example 12.2

Simplified Frame

The simplified frame, obtained by inserting internal hinges at midpoints of all the members of the given frame, is shown in

Fig. 12.9(b).

Column and Axial ForcesTo compltte axial forces in the columns of the second story of the frame, we pass an imaginary section aa through the

internal hinges atthe midheights of columns DG, EH, and FI, as shown in Fig. 12.9(b). The free-body diagram of the

portion of the frame above this section is shown in Fig. 12.9(c). Because the section cuts the colunins at the internal hinges,

only internal shears and axial forces (but no internal moments) act on the free body at the points where the columns have

been cut. Assuming that the cross-sectional areas of the columns are equal, we determine the location of the centroid of the

three columns from the left column DG by usingthe relationship

7/31/2019 part 12-2012

26/32

BAB 12 halaman : 26

7/31/2019 part 12-2012

27/32

BAB 12 halaman : 27

7/31/2019 part 12-2012

28/32

BAB 12 halaman : 28

The lateral loads are acting on the frame to the right, so the axial force in column DG, which is to the left of the centroid, must be

tensile, whereas the axial forces in the columns EH and FI, located to the right of the centroid, must be compressive as shownin Fig. 12.9(c). Also, since the axial forces in the columns are assumed to be linearly proportional to their distances from the

centroid, the relationships between them can be established by nieiuis of thc similar triiinglcs shown inFig. I?.O(c): that is,

By sumrning moments about the left internal hinge J. we write

7/31/2019 part 12-2012

29/32

BAB 12 halaman : 29

Substituting Eqs. (1) and (2) into the preceding equation and solving for QDG. we obtain

Therefore, from Eqs. ( I ) and (2),

The axial forces in the first-story columns can be determined in a similar manner by employing section bb shown in Fig.

12.9(b).T he free-body d~agramo f the portion of the frame above this section is shown in Fig. 12.9(d). The arrangement of

columns for both stories of the frattie is the same, so the location ofthe centroid-as well as the relationships bcrween the axialforces-of the columns for the two stories are also the same. Thus

By summing nionicnls ahout the intcrnal hinge K, we wrilc

Substituting Eqs. (3) and (4), we obtain

Therefore,

The column axial forces are shown in Fig. 12.9(f), which depicts the free-body diagrams of all the members and joints of theframe.

Girder Shear and MomentKnowing column axial forces, the girder shears can now be computed by considering equilibrium in the vertical direction of the

joints. Starting at the upper left joint G, we apply the equilibrium equation to the free body of this joint (see Fig.12.9(e)) to obtain the shear = I .26 k4 at the left end of girder GH. The moment the lelt end is then determined by multiplying

the shear by half the girder length; that is,

The shear and moment at the right end, H, can now be computed by applying the equilibrium equations and respectively, to the free body of girder GH(Fig. 12.9(e)). By applying these equations, we obtain SHG= 1.26 k andMHG=18.9 k-ft ) .Note that the girder end moments, MGHandMHG have the same magnitude and direction.Next, the end shears and moments for girder HI are computed by considering the equilibrium of joints H and girder HI (see Fig.

12.9(f)), and the equilibrium equation is applied to the free body of the right joint I to check the calculationsperformed thus far.The shears and moments for the first-story girders DE and EF are computed in a similar manner by starting at the left joint D andworking across to the right. The girder shears and moments thus obtained are shown in Fig. 12.9(f).

Column Moments and ShearsWith the girder moments now known, the column moments can be determined by considering moment equilibrium of joints.

Beginning at the second story and applying to the free body of joint G (Fig. 12.9(e)), we obtain the moment at theupper end of columnDG to beMGD= 18.9 k-f ). The shear at the upper end of columnDG is then computed by dividingMGD byhalf the column height; that is,

7/31/2019 part 12-2012

30/32

BAB 12 halaman : 30

Note that SGDmust act to the right, so that it can develop a clockwise moment to balance the counterclockwise end momentMGD.

The shear and moment at the lower end D are then determined by applying the equilibrium equations and ;to the free body of columnDG (see Fig. 12.9(e)). Next, the end moments and shears for columns EH and FIare

computed in a similar manner; thereafter, the procedure is repeated to determine the moments and shears for the first-story

columns,AD, BE, and CF (see Fig. 12.9(f)).

Girders Axial Forces

We begin the computation ofgirdcr axial forces at the upper left joint G. Applying to the free-body diagram ofjoint G shown in Fig. 12.9(e), we find the axial force in girder GHto be 6.85 kcompression. The axial force for girder HI

is deternrined similarly by considering the equilibrium of jointH, after which the equilibrium equation isapplied to the free body of the right joint I to check the calculations. The axial forces for the first-story girders DE and EF

are then computed from the equilibrium consideration of joints D and E, in order. The axial forces thus obtained are shown

in Fig. 12.9(f).

ReactionsThe forces and moments at the lower ends of the first-story columnsAD, BE, and CFrepresent the reactions at the fixed

supportsA, B, and C, respectively, as shown in Fig. 12.9(g).

Checking Computations

To check our computations, we apply the three equilibrium equations to the free body of the entire frame (Fig. 12.9(g))

SUMMARYIn this chapter we have learned that in the approximate analysis of statically indeterminate structures, two types of

simplifying assumptions are commonly employed: ( I ) assumptions about the location of inflection points and (2)

assumptions about the distribution of forces among members and/or reactions. The total number of assumptions required isequal to the degree of indeterrninacy of the structure.

The approximate analysis of rectangular frames subjected to vertical loads is based on the following assumptions for eachgirder of the frame: (1) the inflection points are located at one-tenth of the span from each end of the girder and (2) thegirder axial force is zero. Two methods commonly used for the approximate analysis of rectangular frames subjected to

lateral Ioads are the portal method and the cantilever method.

The portal method involves making the assumptions that an inflection point is located at the middle of each member andthat, on each story, interior columns carry twice as much shear as exterior columns.

In the cantilever method, the following assumptions are made about the behavior of the frame: that an inflection point is

located at the middle of each member and that, on each story, the axial forces in the columns are linearly

proportional to their distances from the centroid of the cross-sectional areas.of all the columns on that story.

7/31/2019 part 12-2012

31/32

BAB 12 halaman : 31

7/31/2019 part 12-2012

32/32

kesetimbangan ; and ; dan satu persamaan kondisi, atau