Electromagnetismo IISemestre: 2015-1

EXAMEN PARCIAL 2: Solucin

Dr. A. Reyes-Coronado

Por: Jess Castrejn Figueroa

Problema 1 (20 pts.)a) Escribe las cuatro ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, escribiendo el nombre de cada una de ellas,

as como su simplificacin para el caso esttico.

b) Escribe los teoremas de la Divergencia y de Stokes.

c) Escribe ahora las ecuaciones de Maxwell en forma integral, y su simplificacin para el caso esttico.

Solucin:a) Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial son:

~E = 0

(Ley de Gauss elctrica)

~B = 0 (Ley de Gauss magntica)

~E = ~B

t(Ley de Faraday-Lenz)

~B = 0 ~J + 00 ~E

t(Ley de Ampre-Maxwell)

mientras que para el caso esttico (no es lo mismo que estacionario) las ultimas dos ecuaciones se reducen a:

~E = 0 (Ley de Faraday-Lenz esttica) ~B = 0 (Ley de Ampre-Maxwell esttica)

y las otras permanecen sin cambios.

b) Los teoremas de Gauss y Stokes son:V

~F ~da =V

~FdV (Teorema de la divergencia)S

~F ~dl =S

( ~F ) ndS (Teorema de Stokes)

1

c) Las ecuaciones de Maxwell en forma integral son:~E ~da = q

0(Ley de Gauss elctrica)

~B ~da = 0 (Ley de Gauss magntica)~E ~dl = B

t(Ley de Faraday-Lenz)

~B ~dl = 0i+ 00 Et

(Ley de Ampre-Maxwell)

que en caso esttico, las ultimas dos se reducen a:~E ~dl = 0 (Ley de Faraday-Lenz esttica)~B ~dl = 0 (Ley de Ampre-Maxwell esttica)

y las otras permanecen sin cambios.

Problema 2 (5 pts.)Para un problema en electrosttica, en donde se cumple la ecuacin de Laplace, qu se necesita para asegurarque la solucin es nica?

Solucin: Dadas condiciones a la frontera sobre el potencial (condiciones de Dirichlet) o sobre la derivadanormal del potencial (condiciones de Newmann), la solucin a la ecuacin de laplace es nica.

Problema 3 (25 pts.)Una carga +q y una carga 3q estn situadas a una distancia 2d y d respectivamente sobre el eje Z, el planoXY representa un plano conductor aterrizado. Calcula la fuerza sobre la carga +q utilizando el mtodo deimgenes.

Solucin: Como el plano XY es un plano conductor aterrizado, puede ser modelado por un par de cargasimgenes q y una carga +3q situadas a una distancia 2d y d sobre el eje Z respectivamente, como semuestra en la Fig.1. Entonces la fuerza sobre la carga +q esta dada por la ley de Coulomb:

~F+q =q

4pi0

[3qd2

+3q

(3d)2)+q

(4d)2

]ez (1)

por lo que la fuerza es:

~F+q =q2

4pi0d2

[131

48

]ez (2)

2

Figura 1: Una carga +q y una carga 3q situadas a una distancia 2d y d respectivamente sobre el eje Z. Susrespectivas cargas imgenes se muestran en verde.

Problema 4 (25 pts.)Un tubo metlico de seccin transversal rectangular, corre a lo largo del eje Z (desde a ) y tiene treslados aterrizados: en y = 0, y = a y en x = 0. El cuarto lado restante, x = b, se mantiene a potencial 0(y).

a) Escribe la solucin general para el potencial dentro del tubo.

b) Calcula explcitamente el potencial dentro del tubo para el caso 0(y) = 0 constante.

Solucin:a)Este problema es invariante en la en la coordenada Z, por lo que se reduce a simplemente dos dimensiones,adems supondremos que la solucin es separable ((x, y) = X(x)Y (y)), por lo que la ecuacin de laplace es

2 = 2XY (3)

= Y2X

x+X

2Y

y

= 0

por lo que1

X

2X

x= 1

Y

2Y

y= 2 (4)

donde es una constante, esta es la nica manera de que dos funciones de variables independientes sean iguales.La solucin al potencial viene dada por:

(x, y) =(Aex +Bex

)(C cos(y) +D sin(y)

)(5)

3

donde aun falta aplicar las condiciones a la frontera dadas por el problema:(0, y) = 0 B = A(x, 0) = 0 C = 0(x, a) = 0 = npia

(b, y) = 0(y)

(6)

la solucin general al problema ser una combinacin lineal de todas las soluciones posibles:

(x, y) =

n=0

An sinh

(npi

ax

)sin

(npi

ay

)(7)

donde las constantes An pueden ser determinadas por la propiedad de ortogonalidad de las funciones trigono-mtricas y la ltima condicin de frontera: a

0

(b, y) sin

(mpi

ay

)dy =

n=0

a0

An sinh

(npi

ab

)sin

(npi

ay

)sin

(mpi

ay

)dy (8)

An =

2

a sinh(npiba )

a0

0(y) sin

(npi

ay

)dy (9)

b) En este caso 0(y) = 0 = cte.

An = 20a sinh(npiba )

a0

sin

(npi

ay

)dy (10)

=20

a sinh(npiba )

a

npicos

(npi

ay

)a0

=20

npi sinh(npiba )

(1 (1)n

)entonces An = 0 cuando n toma valores pares, hacemos el cambio de variable:

n 2k + 1 (11)

y entonces la solucin especifica al problema es:

(x, y) =

k=0

40

(2k + 1)pi sinh( (2k+1)pib

a

) sin( (2k + 1)pia

y

)sinh

((2k + 1)pi

ax

)(12)

Problema 5 (25 pts.)El potencial en la superficie de una esfera de radio R est dado por

0 = k sin2 (13)

4

donde k es una constante. Calcula el potencial dentro y fuera de la esfera, as como la densidad superficial decarga () sobre la esfera. Considera que no hay cargas ni dentro ni afuera de la esfera.Hint: Recuerda que P0(x) = 1, P1(x) = x y que P2(x) = (3x2 1)/2.

Solucin: La solucin a a la ecuacin de laplace en coordenadas esfricas dejando la coordenadas azimutalconstante es:

(r, ) =

n=0

(Anr

n +Bnrn+1

)Pn(cos ) (14)

Como la solucin debe ser acotada en todos los puntos, es decir, no debe ser divergente en el centro de la esferay en el infinito, la solucin al potencial dentro de la esfera no puede contener trminos proporionales a 1/rn, yfuera de la esfera no puede tener trminos proporcionales a rn, es decir:

An = 0 (r>R)Bn = 0 (r