paranteza poisson
TRANSCRIPT
Paranteza Poisson
Fie dou funcii netede F i G: { Definiie: Numim parantez Poisson * + Proprieti: 1. Paranteza Poisson este antisimetric: * + * +; 2. Paranteza Poisson este liniar n raport cu fiecare termen: * + * + * + * + * + * + 3. Sunt satisfcute relaiile : * + * + * + * + * + * + ( ) unde funciile u si v depind de variabilele 4. n cazul n care canonice: * + * + * + ( ) ( ( ) )
5. Derivata parial n raport cu timpul a unei paranteze Poisson se exprim astfel: * + { } { }
6. Este satisfcut identitatea lui Jacobi: + } {* + } {* + } {* Voi demonstra identitatea Jacobi pentru funciile u, v, w:
( ){ *
+}
{ *
+}
{
*
+}
Vom folosi indici pentru a desemna derivatele pariale corespunztoare variabilelor canonice:
n aceste condiii paranteza Poisson pentru u, v poate fi exprimat astfel: * +
Aici, ca de obicei, este al ij-lea element al matricei J. n aceast demonstraie singura proprietate a lui J de care vom avea nevoie este antisimetria. { * +} * + ( ) ( )
{ *
+}
*
+
(
)
(
)
{
*
+}
*
+
(
)
(
)
nlocuind relaiile de mai sus n ( ) obinem : { * +} { * +} { * +}
(
)
(
)
Deoarece matricea J este antisimetric, +} { * Deci, { * orice i, j, k, l. Fie j=l: { * +} { * +} +} { { * * +} +}
. pentru
i acum l=k: { * +} { * +} { * ( +} )
Pentru orice dou funcii F, G definim * unde din nou * Lem: Transformarea Poisson invariaz, adic * Demonstraie: * ( ) + ( + , sau
pentru +
( )este canonic dac i numai dac paranteza + ( )( * ) ( ) ( ) ) ( ( )) +
*
+
Una dintre cerinele lemei este ca matricea sa fie simplectic, dar U este simplectic dac i numai dac este simplectic, deci
Atunci relaia anterioar devine: * + * +
Parantezele Poisson joac un rol important n mecanica analitic. Exist cteva cazuri importante i vom meniona n continuare unul dintre ele. Noiuni introductive: ) este : Derivata total n raport cu timpul a unei funcii (
(
) * +
(
)
unde
(
) este Hamiltonianul sistemului.
Condiia ca o funcie F s fie integral prim a micrii este ca:
Teorema Poisson: Dac F i G sunt dou integrale prime, atunci i paranteza lor Poisson este o integral prim a micrii. Demonstraie: Pentru a demonstra acest rezultat, calculm derivata n raport cu +. timpul a parantezei Poisson * ( ) Dar tim c: ( ) * + { } { } * + * + { * +}
Utiliznd identitatea lui Jacobi i innd cont de proprietatea de antisimetrie a parantezelor Possion: ( ){ Relaia (1) devine: * sau * Rezult : + { * + } { * +} + { } { } { * +} { * +} * +} { * +} { * +}
( )
*
+
{
}
{
}
Deoarece funciile F i G sunt integrale prime ale micrii, ele nu variaz n timp astfel c derivatele n raport cu timpul sunt nule. Rezult: * deci demonstraia este ncheiat. +
Student Boltau Dana Mihaela Master Anul I