parametrização de superfície triangular
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Parametrizacao de Superfıcie Triangular
Fabiano Petronetto do Carmo
Universidade Federal do Espırito Santo
11 de outubro de 2013
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Parametrizacao Planar: Mapeamento de Textura
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Parametrizacao Esferica: Manipulacao de superfıcies
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Sumario
1 Conceitos BasicosSuperfıcieParametrizacaoGrafo
2 Parametrizacao PlanarImersao Planar de Grafo de SuperfıcieAlgoritmosResultados
3 Parametrizacao EsfericaUsando Parametrizacao PlanarTeoria de Colin de VerdiereHeurısticaParametrizacao DiretaResultados
4 ConclusaoLimitacoesTrabalhos Futuros
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Sumario
1 Conceitos BasicosSuperfıcieParametrizacaoGrafo
2 Parametrizacao Planar
3 Parametrizacao Esferica
4 Conclusao
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Superfıcie
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Parametrizacao
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Grafo
G = G(V ,E );
{V = {i ; i = 1, ...,N}E = {(i , j)} ⊂ V × V
Vizinhanca do no i : N(i) = {j ; (i , j) ∈ E} −→ val(i) = #N(i)
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Grafo planar
G = G(V ,E ) e planar se este pode ser imerso no plano. Isto e,
a) cada no i ∈ V e imerso num ponto pi em R2;
b) cada aresta eij = (i , j) ∈ E e imersa numa curva simples deR2 cujas extremidades sao pi e pj ;
c) os unicos cruzamentos entre curvas sao em pontos p′i s.
Imersao planar do grafo G (geometria da imersao):
P = {p1, p2, ..., pN} = P(G)
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Grafo planar
Um grafo planar particiona o plano em regioes, chamadas de faces.Em particular, a face ilimitada e chamada face externa.
fronteira do grafo G∂G = todos os nos e arestas que sao incidentes na face externa.
Grafo triangulartodas as faces limitadas de um grafo planar tem tres arestas.
Grafo simplesmente conectado∂G e uma curva plana simples
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Superfıcie triangular
S = S(G,X ), G = G(V ,E )
G: topologia da superfıcieX : geometria da superfıcie
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Sumario
1 Conceitos Basicos
2 Parametrizacao PlanarImersao Planar de Grafo de SuperfıcieAlgoritmosResultados
3 Parametrizacao Esferica
4 Conclusao
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Imersao Planar de Grafo de Superfıcie
Reordenacao e notacao
S = S(G,X ): uma superfıcie triangular com fronteira
X = {xi = (xi , yi , zi ), 1 ≤ i ≤ N}
ondex1, ..., xn sao os vertices interiores de Sxn+1, ..., xN sao os vertices da fronteira ∂S
N: quantidade total de vertices (ou nos)n: quantidade de vertices (ou nos) interioresk = N − n: quantidade de vertices (ou nos) de fronteira
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Parametrizacao planar
O problema de parametrizacao planar de uma superfıcie triangular
S = S(G,X )
pode ser reduzido ao problema de imersao do grafo G no plano.
Ideia: Coordenadas baricentricas.
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Imersao planar de G
xn+1, ..., xN sao os vertices da fronteira ∂S
Seja D ⊂ R2 uma poligonal convexa de k-lados com vertices
D = {un+1, ..., uN}
no mesmo sentido anti-horario da fronteira de G e defina a imersaodo no n + j , com j = 1, · · · , k , no vertice un+j .
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Imersao planar de G
x1, ..., xn sao os vertices interiores de S
coordenadas baricentricas
ui =∑
j∈N(i)
λijuj
onde
λij > 0 (positividade)∑j∈N(i)
λij = 1 (normalizacao)
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Imersao planar de G
reescrevemos a combinacao convexa envolvendo todos os nos
ui =∑
j∈N(i)
λijuj =N∑j=1
λijuj
desde que λij = 0 se (i , j) /∈ E .
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Condicoes de convexidade
{λij ; i = 1, ..., n, j = 1, ...,N}
onde
(positividade)(i , j) ∈ E ⇒ λij > 0
(adjacencia)(i , j) /∈ E ⇒ λij = 0
(soma unitaria)N∑j=1
λij = 1, i = 1, ..., n
Matriz: Λn×N = (λij)n×N
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Sistema de parametrizacao planar
ui =N∑j=1
λijuj =n∑
j=1
λijuj︸ ︷︷ ︸interior
+N∑
j=n+1
λijuj︸ ︷︷ ︸fronteira
, xn+j = un+j , j = 1, ..., k
x1 =n∑
j=1
λ1jxj +N∑
j=n+1
λ1juj
...
xi =n∑
j=1
λijxj +N∑
j=n+1
λijuj
...
xn =n∑
j=1
λnjxj +N∑
j=n+1
λnjuj
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Sistema de parametrizacao planar
In −
λ11 · · · λ1n...
. . ....
λn1 · · · λnn
X =
λ1(n+1) · · · λ1N...
. . ....
λn(n+1) · · · λnN
U
onde
X =
x1...
xn
e U =
un+1...
uN
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Sistema de parametrizacao planar
In −
λ11 · · · λ1n...
. . ....
λn1 · · · λnn
X =
λ1(n+1) · · · λ1N...
. . ....
λn(n+1) · · · λnN
U
m
Ax = b
ondeA = In −M
com
M =
λ11 · · · λ1n...
. . ....
λn1 · · · λnn
(matriz combinacao convexa de G)
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Funcao combinacao convexaSeja f : G → R uma funcao linear por partes definida no grafotriangular G. Diremos que f e uma funcao combinacao convexa se,existem
λij , i ∈ {1, ..., n}, j ∈ {1, ...,N},
satisfazendo as condicoes de convexidade tais que
f (i) =∑
j∈N(i)
λij f (j) ∀i ∈ {1, ..., n}.
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Lemma
Princıpio do Maximo Discreto
Seja G um grafo triangular e f : G → R uma funcao combinacaoconvexa sobre o grafo G. Dado um no interior v0 de G, seja V0 oconjunto dos nos de fronteira que podem ser conectados a v0 porum caminho interior. Se f (v0) ≥ f (v) para todo v ∈ V0, entaof (v) = f (v0) para todo v ∈ V0.
Demonstracao.
f (vj) < M⇓
M = f (vm) =∑
j∈Nm
λij f (vj) <∑
j∈Nm
λijM = M∑
j∈Nm
λij = M
⇓f (vj) = M, ∀j ∈ Nm
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Proposicao
Seja M a matriz combinacao convexa e A = In −M. Entao A enao-singular.
Aw = 0PMD=⇒ w = 0
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Proposicao
Sejam G um grafo triangular e D uma poligonal convexa planar.Seja U o conjunto de pontos dado pela solucao do sistema
Ax = b
e pelos vertices da poligonal convexa D. Entao cada vertice de U,pertence ao polıgono convexo limitado pela poligonal D.
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Alem disso Tutte provou que nessas condicoes a imersao obtidapela solucao do sistema e uma triangulacao planar e portanto umaparametrizacao.
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Algoritmo Direto
Sistema de parametrizacao planar
In −
λ11 · · · λ1n...
. . ....
λn1 · · · λnn
︸ ︷︷ ︸A
X =
λ1(n+1) · · · λ1N...
. . ....
λn(n+1) · · · λnN
un+1
...uN
︸ ︷︷ ︸
b
A = In −M, onde M e dita matriz combinacao convexa de G
M =
λ11 · · · λ1n...
. . ....
λn1 · · · λnn
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Peso combinatorio
λij =1
val(i)
Algorithm 1 Algoritmo Direto
Require: S : superfıcie;[G,X ,N, n, k] = ler(S);D = poligonal convexa(k);λ = matriz de pesos(E , n,N);A = I − λ(1 : n, 1 : n);b = λ(1 : n, n + 1 : N) · D;u = A−1b;Y = u ∪ D;return SD = SD(G,Y )
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(a) Superfıcie (b) Fronteira
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(b) Fronteira (c) Imersao da fronteira na poligonal convexa
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(c) Condicao de contorno (d) Parametrizacao planar
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(a) Superfıcie (d) Parametrizacao planar
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Algoritmo Iterativo
Proposicao
Seja M a matriz convexa do sistema de parametrizacao planar.Entao A = In −M e invertıvel e
A−1 =∞∑i=0
M i .
Portanto uma aproximacao da solucao do sistema (I −M)x = b edada por
x = (I −M)−1b ≈
(m∑i=0
M i
)b
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Defina um recursivamente por u0 = b e
um+1 = Mum + b.
Entao
um =
(m∑i=0
M i
)b.
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Peso combinatorio
λij =1
val(i)
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λij =1
val(i)
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Teorema
Sejam
S : superfıcie triangular com fronteiraD : poligonal convexa planar
P(S) : classe de todas as parametrizacoes de S
Defina
T (S) ⊂ P(S) : parametrizacoes obtidas por sistemas deparametrizacao planar com fronteira D
ui =∑
j∈N(i)
λijuj ; λij ≥ 0 e∑
j∈N(i)
λij = 1
C (S) ⊂ P(S) : parametrizacoes cujos nos da fronteira sao osvertices de D
EntaoT (S) = C (S)
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Peso inverso da aresta
λij =1
‖ xi − xj ‖
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Resultados: Lucy
Peso Combinatorio
λij =1
val(i)
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Peso Inverso da Aresta
λij =1
‖ xi − xj ‖
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Peso Inverso da Aresta
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Peso Inverso da Area
λij =1
A1 + A2
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Peso Inverso da Area
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Peso Cotangente
λij = cotg(αij) + cotg(βij)
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Peso Cotangente
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Peso Valor Medio
λij =tg(θ1ij/2) + tg(θ2ij/2)
‖ xi − xj ‖
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Peso Valor Medio
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Parametrizacoes
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Resultados: Mao
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Sumario
1 Conceitos Basicos
2 Parametrizacao Planar
3 Parametrizacao EsfericaUsando Parametrizacao PlanarTeoria de Colin de VerdiereHeurısticaParametrizacao DiretaResultados
4 Conclusao
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Superfıcie Fechada e Parametrizacao Esferica
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Usando Parametrizacao Planar: Triangulo como fronteira
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Parametrizacao planar
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Projecao estereografica
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Projecao estereografica
![Page 64: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/64.jpg)
Escalonamento
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Projecao estereografica
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Parametrizacao esferica - Triangulo como fronteira
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Usando Parametrizacao Planar: Poligonal como fronteira
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(a) Triangulo como fronteira (b) Poligonal como fronteira
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Parametrizacao Esferica
Grafo 3-conectado planar
⇓
S = S(G,X )
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Teorema
Dado um grafo 3-conectado planar, a posicao dos vertices formamuma triangulacao esferica (i.e. nao ha triangulos sobrepostos) se, esomente se, cada vertice tem sua posicao dada pela projecaoesferica de alguma combinacao convexa das posicoes de seusvizinhos.
![Page 71: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/71.jpg)
Domınio
x2i + y2
i + z2i = 1, i = 1, ..., n
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Colinearidade
Mi = W [i ] v −→ βivi = Mi , βi = ‖Mi‖ < 1 −→ βivi = W [i ] v
⇓
(1− βi )vi = vi −W [i ] v = (I [i ]−W [i ]) v
⇓
αivi − L[i ] v = 0, αi ∈ (0, 1)
![Page 73: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/73.jpg)
Sistema de parametrizacao esferica
sistema quadratico nas variaveis x , y , z e α
x2i + y2
i + z2i = 1, i = 1, ..., n
αixi − L[i ]x = 0, i = 1, ..., nαiyi − L[i ]y = 0, i = 1, ..., nαizi − L[i ]z = 0, i = 1, ..., n
L = I −W
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A matriz do sistema
L = I −W com W combinacao convexa
e, em geral, obtida a partir de uma matriz de pesos W como
W = D−1W
onde D = diag(γ1, ..., γn) e γi =∑j
W ij
A normalizacao da matriz W interfere apenas nas variaveis
α = (α1, α2, · · · , αn)
do sistema de parametrizacao esferica.
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L = I −W ; W = D−1W com D = diag(γ1, ..., γn) e γi =∑j
W ij
αixi − L[i ]x = 0 ⇔ αixi − (I [i ]−W [i ])x = 0
⇔ αixi −(
I [i ]− W
γi
)x = 0
⇔ (γiαi )xi − (γi I [i ]−W [i ])x = 0
⇔ (γiαi )xi − (D[i ]−W [i ])x = 0
![Page 76: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/76.jpg)
Sistema de parametrizacao esfericax2i + y2
i + z2i = 1, i = 1, ..., n
αixi − L[i ]x = 0, i = 1, ..., nαiyi − L[i ]y = 0, i = 1, ..., nαizi − L[i ]z = 0, i = 1, ..., n
L ∈ L(G) : conjunto das matrizes laplacianas para o grafo G
Lij =
numero negativo , (i , j) ∈ E
0 , (i , j) /∈ E
−∑
j∈N(i)
Lij ∈ R , i = j
![Page 77: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/77.jpg)
Sistema de parametrizacao esferica com matriz simetricax2i + y2
i + z2i = 1, i = 1, ..., n
αixi − L[i ]x = 0, i = 1, ..., nαiyi − L[i ]y = 0, i = 1, ..., nαizi − L[i ]z = 0, i = 1, ..., n
L ∈ L(G) : matrizes laplacianas simetricas para o grafo G
Lij =
numero negativo , (i , j) ∈ E e i < j
Lji , (i , j) ∈ E e j < i
0 , (i , j) /∈ E
−∑
j∈N(i)
Lij ∈ R , i = j
![Page 78: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/78.jpg)
Teoria de Colin de Verdiere
Dado um grafo G = G(V ,E ) com n vertices, considere a classeM(G) das matrizes simetricas com entradas Mij tais que
Mij =
numero negativo , (i , j) ∈ E
0 , (i , j) /∈ Equalquer valor , i = j
Denote porλ(M) = {λ0, ..., λn−1}
o espectro de M com autovetores associados
{ξ0, ..., ξn−1}.
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Sejam r = r(G) o maior inteiro tal que
λ1 = λ2 = ... = λr
sobre o conjunto M(G) e M uma matriz que alcanca este maximo.
r(G) : numero de Colin de Verdiere (CdV) de GM : matriz CdV de G
λ1 = λ2 = · · · = λr : CdV autovalor de G{ξ1, · · · , ξr} : CdV autovetores de G
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Teorema
Um grafo G e um grafo 3-conectado planar se, e somente se,
r(G) = 3.
Teorema
Seja G um grafo 3-conectado planar. Os autovetores CdV
ξ1, ξ2, ξ3
de uma matriz CdV de G determinam uma geometria no R3
pi = (ξ1(i), ξ2(i), ξ3(i))
que descreve um poliedro convexo.
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Vamos provar que resolver o sistema de parametrizacao esferica eequivalente a gerar uma matriz de CdV para o grafo G.
triangulacao esferica
msolucao do sistema de parametrizacao esferica
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De fato, seja L uma matriz laplaciana simetrica para G e
(x , y , z , α)
uma solucao para o sistema de parametrizacao esferica.
ia − linha L[i ] de L −→ L[i ](x , y , z) = αi (xi , yi , zi )
Defina a matriz M como:
Mij =
{Lij i 6= j
Lij − αi i = j
obtendo M(x , y , z) = 0, isto e, ξ1 = x , ξ2 = y e ξ3 = z saoautovetores de M associados aos autovalores λ1 = λ2 = λ3 = 0.Portanto, M e uma matriz CdV para G com CdV autovaloresnulos e CdV autovetores x , y e z . Sendo r(G) = 3, os autovetoresdescrevem um poliedro convexo que pode ser projetado na esferaformando uma triangulacao esferica.
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solucao do sistema de parametrizacao esferica
⇓matriz CdV de G
⇓triangulacao esferica
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Se x , y e z sao uma triangulacao esferica de um grafo 3-conectadoplanar entao sao uma base do espaco nulo de alguma matriz deColin de Verdiere M.Portanto x , y e z satisfazem as seguintes equacoes
x2i + y2
i + z2i = 1 i = 1, ..., n
αixi − L[i ]x = 0 i = 1, ..., nαiyi − L[i ]y = 0 i = 1, ..., nαizi − L[i ]z = 0 i = 1, ..., n
com
Lij =
Mij , i 6= j
−∑
r∈N(i)
L(i , r), i = j
eαi = (Lii −Mii )
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De fato, temos
L[i ]x = Li1x1 + ...+ Liixi + ...+ Linxn
= Mi1x1 + ...+ Liixi + ...+ Minxn
= Mi1x1 + ...+ (Liixi −Miixi ) + Miixi + ...+ Minxn
= M[i ]x + (Liixi −Miixi )
= (Liixi −Miixi ), M[i ]x = 0
= (Lii −Mii )xi
= αixi
Portantoαixi − L[i ]x = 0
Resultado analogo para y e z (independente do α).
![Page 86: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/86.jpg)
triangulacao esferica
⇓matriz CdV de G
⇓solucao do sistema de parametrizacao esferica
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triangulacao esferica
mO sistema de parametrizacao esferica tem solucao
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Relaxamento Esferico
x2i + y2
i + z2i − 1 = 0, i = 1, ..., n
αixi − L[i ]x = 0, i = 1, ..., nαiyi − L[i ]y = 0, i = 1, ..., nαizi − L[i ]z = 0, i = 1, ..., n
m
u0i = b
ut+1i =
vi‖ vi ‖
; vi = M[i ] ut
Toda solucao e um ponto fixo do Relaxamento esferico.
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![Page 90: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/90.jpg)
Otimizacao
x2i + y2
i + z2i − 1 = 0, i = 1, ..., n
αixi − L[i ]x = 0, i = 1, ..., nαiyi − L[i ]y = 0, i = 1, ..., nαizi − L[i ]z = 0, i = 1, ..., n
m
F : R4n −→ R4n
com variaveis
x1, ..., xn, y1, ..., yn, z1, ..., zn, α1, ..., αn
m
solucao do sistema : min{‖F (x)‖}
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Bunny
![Page 92: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/92.jpg)
Duck
![Page 93: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/93.jpg)
![Page 94: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/94.jpg)
Resultados: comparacao dos algoritmos
Bunny
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Bunny
![Page 96: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/96.jpg)
Resultados: comparacao dos algoritmos
![Page 97: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/97.jpg)
Relaxamento
![Page 98: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/98.jpg)
Relaxamento
![Page 99: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/99.jpg)
Otimizacao
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Otimizacao
![Page 101: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/101.jpg)
(a) Fronteria triangular (b) Fronteira poligonal
(c) Relaxamento esferico (d) Otimizacao nao-linear
![Page 102: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/102.jpg)
(a) Fronteria triangular (b) Fronteira poligonal
(c) Relaxamento esferico (d) Otimizacao nao-linear
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(a) Fronteria triangular (b) Fronteira poligonal
(c) Relaxamento esferico (d) Otimizacao nao-linear
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Sumario
1 Conceitos Basicos
2 Parametrizacao Planar
3 Parametrizacao Esferica
4 ConclusaoLimitacoesTrabalhos Futuros
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Caso Planar
Vale ressaltar que o uso da teoria de grafos nos forcou a admitir ahipotese de fronteira fixada numa forma convexa que restringeo conjunto de possıveis parametrizacoes planares para uma dadasuperfıcie planar S .
T (S) ( P(S)
Alguns trabalhos desenvolvem metodos de parametrizar uma malhaplanar com fronteira sem impor restricoes a forma da fronteira dodomınio da parametrizacao
![Page 106: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/106.jpg)
Solucao para distorcao com fronteira nao-convexa
![Page 107: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/107.jpg)
Caso Esferico
Ja no caso esferico obtivemos resultados que descrevem umaparametrizacao para uma triangulacao como a solucao de umsistema quadratico.No entanto, obter um metodo para resolver tal sistema de formaeficiente tem se mostrado uma tarefa bastante difıcil.
![Page 108: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/108.jpg)
Triangulo como Fronteira
ui =∑
j∈N(i)
λijuj ; αivi =∑
j∈N(i)
λijvj
![Page 109: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/109.jpg)
Relaxamento esfericoA metodologia pode convergir para uma solucao degeneradaonde todos os vertices sao iguais a um unico ponto sobre a esfera.Para resolver isso tem se adotado mover o centro de massa para aorigem. Porem isso evita nao apenas solucoes degeneradas.
vi = M[i ]u
vi = vi −n∑
j=1
vj
ui =vi‖ vi ‖
Outra forma de evitar isso e utilizar pesos adaptativos, quecorrespondem a modelagem do sistema massa-mola com umamatriz simetrica.
![Page 110: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/110.jpg)
Relaxamento esfericoFixar pontos pode ajudar a convergir para uma parametrizacaovalida (Nao associada a matriz M). Mas isso pode tambem gerarcomplicacoes.
MM = M;
nj : ındices dos pontos a serem fixados no Relaxamento Esferico.
MM(nj , 1 : n) = zeros(1, 1 : n);
MM(nj , nj) = 1;
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Trabalhos Futuros
Em ambos os casos, parametrizacoes planares e esfericas, resta odesafio de definir pesos adequados que faca com que aparametrizacao melhor corresponda a geometria da superfıcie.
![Page 112: Parametrização de Superfície Triangular](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052515/587375001a28ab3f518bf186/html5/thumbnails/112.jpg)
Trabalhos Futuros
Por ultimo, pretendemos estender esta teoria para superfıciesrepresentadas por nuvens de pontos.
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Mais perguntas?
Obrigado!