Parametrik Olmayan Testler 2

Wilcoxon ve

Kruskal-Wallis

Testleri

İki Bağımlı Örneklemin Karşılaştırılması

(Wilcoxon Bağımlı Örneklemler İşaretli Sıralamalar Testi)

(Wilcoxon Matched-Samples Signed Ranks Test)

Wilcoxon bağımlı örneklemler işaretli

sıralamalar testi, veriler aralıklı (interval)

serilerden oluşuyorsa, iki eşleştirilmiş

değişkeni analiz etmekte kullanılan

popüler bir istatistiktir

Wilcoxon test, iki örneklemi, farklarını alıp

analizi bu farklar üzerinden yapmak

suretiyle, tek örnekleme indirir.

Prosedür

İki değişkenin farkları alınır

Farklar, küçükten büyüğe doğru sıralanır ve bu sıraların mutlak değeri alınır

Mutlak değerleri alınmış ranklar pozitif (eğer x1>x2) veya negatif (eğer x1<x2) olarak işaretlendirilir

Pozitif ve negatif rankların toplamı hesaplanır

Wilcoxon istatistiği hesaplanır ve hesaplanan istatistik değeri tablo değeriyle karşılaştırılarak karar verilir

1,2,...,i ii A BD X X i n

Eğer D>25 ise

Hesaplanan farkların sayısı 25 veya daha

fazla ise, aşağıdaki düzeltme faktörü

kullanılarak standart normal tablosu z-

değerleri kullanılabilir:

WC, pozitif veya negatif rankların

toplamını ifade eder (hipotezin yönüne

bağlı olarak)

[ ( 1)]

4

( 1)(2 1)

24

C

C

n nW

Zn n n

Not

XA= XB olan çiftler, analizden dışlanır ve n

(örneklem sayısı) 1 azaltılır

Farkların eşit olduğu durumlarda,

rankların ortalaması alınır

İstatistiksel Hipotezler

(çift yönlü test)

0

1

0

( /2)

:

:

( ) ( )

toplam na ba l d r, hangisi k k ise

ayet

De eri

A B

A B

C T

T

Hipotez

H X X

H X X

Karar Kuralı

Test pozitif R veya negatif R

ranklarin ı ğ ı ı üçü

Ş W W H hipotezi RET

Tablo ğ W d

İstatistiksel Hipotezler

(Üst-kuyruk testi)

0 A B

1 A B

0

H : x x

H : x > x

C

C T

W R

SayetW W H RET

İstatistiksel Hipotezler

(Alt-kuyruk testi)

0 A B

1 A B

0

H : x x

H : x < x

C

C T

W R

SayetW W H RET

Örnek

Bir cilt bakımı laboratuvarında çalışan bir araştırmacı, yeni geliştirilen bir dermatolojik losyonun atopik dermatitisi (ciltteki tahrişi) azaltma gücünü test etmek ister

sağlık alanında çalışan 10 denek rastgele seçilir

Test losyonunu uygulamadan önce, deneklerin cilt kondüsyonu bir visioscan aleti ile tesbit edilir (baseline ölçümü)

Losyon uygulandıktan sonra deneklerin normal işlerini yapmaları istenir ve 24 saat sonra aynı tarama yapılır

Soru: Losyon, ciltteki tahrişte önemli bir azalma sağlamış mıdır?

Tablo 1: Dermatolojik Losyon

Deneyi Denek No

x1 x2 D Rank D İşaretli Rank D R+ R-

1 54 41 13 7 +7 +7 2 57 53 4 3 +3 +3 3 85 63 22 9 +9 +9 4 81 81 0 5 69 73 –4 3 –3 –3 6 72 69 3 1 +1 +1 7 83 75 8 6 +6 +6 8 58 54 4 3 +3 +3 9 75 69 6 5 +5 +5 10 87 70 17 8 +8 +8

Toplam 42 3

Hipotezin formüle edilmesi

Araşırmacı, losyonun ciltteki tahrişi azaltıp

azaltmadığını test etmek istemiştir

Bunun için, önemli derecede XA>XB

gerçekleşmiş olmalıdır

Dolayısıyla, bir tek yönlü hipotezin (üst-kuyruk)

test edilmesi gerekir

0 A B

1 A B

H : x x

H : x > x

Test İstatistiği

Bu bir üst-kuyruk testi olduğu için, negatif

rankların toplamını WC olarak alırız

(WC =3)

Tablo değeri (WT)=9, n=9, ve alpha=0.05

WC< WT olması nedeniyle H0 reddedilir

(Alpha=0.049 seviyesinde)

Sonuç olarak, dermatolojik losyon cilt

tahrişinde istatistiksel olarak önemli bir

azalma sağlamıştır denilebilir.

Normal Dağılım Yaklaşımıyla

Hesaplama

[ ( 1)] [9(9 1)]3

19.54 4 2.318.441( 1)(2 1) 9(9 1)(2.9 1)

24 24

1 .9896 .01

C

C

n nW

Zn n n

p

SPSS output

İkiden fazla bağımsız grubun karşılaştırılması

(Kruskal-Wallis Testi)

Parametrik tek-yönlü ANOVA’nın

parametrik olmayan karşılığıdır

İkiden fazla grubun karşılaştırılmasında

kullanılır

İnterval (aralıklı) veya ordinal (sıralı)

seriler için kullanılabilir

Test İstatistiği

2

1

2

123( 1)

( 1)

. i in ranklar n toplam n n karesi

n . g zlemsay s

g zlem say s

ki

c

i i

i

i

Rt N

N N n

R i grup ç ı ı ı

i gruptaki ö ı ı

N toplam ö ı ı

Düzeltme Faktörü

Eğer bir grup içindeki paylaşılan rankların

sayısı (ties), gruptaki gözlem sayısının

%25’ini geçiyorsa, aşağıdaki düzeltme

faktörü kullanılır:

( )

3

1

3

(1 ) ( )

cc corrected k

i

tt

T N N

T t t her gruptakipaylasilan rank setleri icin

t bir gruptaki paylasilan rank sayisi

N toplam gozlem sayisi

Hipotez ve Karar Kriteri

0

1

2

: say daki populasyonlar e ittir

: di erlerinden farkl d r

KARAR

1.Eger k=3 n 5, deg

2. 3 / n 5, deg ( 1, )

3.

i

i

H k ı ş

H Enazbir populasyon ğ ı ı

ve karar icin Kruskal Wallis tablo eri esas alinir

Eger k ve veya tablo eri esas alinir df k ile

Y

0degcukaridaki her iki durumda daeger t Tablo kritik eri H RET

Örnek 2: Antimikrobik Yara Kremi

Deneyi Bir araştırma laboratuvarında kobaylar

üzerinde üç değişik anti-mikrobik yara kremi (A= Chlorhexidine Gluconate, B = Silver Halide, ve C = Zinc Oxide) denenmiş, 24 saatlik bir inkübasyon devresinden sonra sonuçlar kaydedilmiştir

Logaritmik ölçüm değerleri Tablo 2’de yer almaktadır

Soru: Bu üç değişik yara kremi etkileri bakımından farklı mıdır? (Alpha=.10 seviyesinde değerlendirelim)

Tablo 2: Anti-mikrobik yara kremi

deneyi verileri A Rank.A B Rank.B C Rank.C

3.1 6.5 5.13 12 2.73 1.5 5.7 13 4.57 9 3.51 8

4.91 10 3.01 4.5 3.01 4.5 3.1 6.5 2.98 3 2.73 1.5

5.01 11

Toplam

Rank

47 28.5 15.5

nA=5 nB=4 nC=4

Test İstatistiği

2

1

23

1

2 2 2

1 2 3

0

123( 1)

( 1)

123(13 1)

13(13 1)

12 47 28.5 15.53(14) 4.4786 ( 4.4786)

13(13 1) 5 4 4

5, 4, 4 deg 4.6187

4.4786 4.6187

ki

c

i i

ic

i i

c

T

c T

Rt N

N N n

Rt

n

t

n n n icin K W tablo eri t

t t H reddedilemez

Düzeltme faktörünün uygulanması

C grubundaki paylaşılan rank sayısı (1.5) toplam rank

sayısının %50’si olduğu için, düzeltme faktörünü

uygulayarak tekrar sonuca bakalım:

( )3

1

3

3

3

( ) 3

(1 ) ( )

T = t -t her bir group icin

t = tie sayisi

T1= 2 -2 = 6; iki ties (Group 1)

T2== 0; (Group 2)

T3= 2 -2 = 6; iki ties (Group 3)

4.47864.503

1 [(6 0 6) / (13 13)]

cc corrected k

i

c corrected

tt

T N N

t

( ) 0

3

4.5033 4.6187 .c corrected Tt t H reddedilemez

SPSS output