ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И

ЕГО СВОЙСТВА

геометрия 10 класс

Блощинская В.О., МОУ СОШ №33, 2004 год.

Нет ни одной области математики,как бы абстрактна она ни была,

которая когда – нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

Н. И. Лобачевский

Параллелепипед.

В процессе нашей работы выосвоите новое понятие –

параллелепипед,познакомитесь с его свойствами,рассмотрите основные правила

построения сечений параллелепипеда.

Рассмотрим поверхность, состоящую из двух равных параллелограммовАВСD и А1В1С1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА1, ВВ1, СС1, DD1 будут параллельны,

и четырехугольников ВВ1С1С, СС1D1D, DD1А1А, АА1В1В,

каждый из которых тоже является параллелограммом

Поверхность, составленная рассмотренным ранее способом называется

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ.

На рисунке изображён параллелепипед АВСDА1В1С1D1.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед –

ГРАНИ.• Для примера

выделена грань АА1D1D.

• Вершины параллелограммов, точки А,В,С,D,А1,В1,С1,D1-

• ВЕРШИНЫ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА.

На рисунке выделены противоположные грани АВСD и А1В1C1D1

АА1В1В и DD1С1С АА1D1D и ВВ1С1С.

Часто выделяют какие-нибудь противоположные грани и называют их основаниями. Выберем грани АВСD и А1В1C1D1.

Две грани параллелепипеда, не имеющие общих ребер называются противоположными.

На рисунке выделены смежные грани

АВСD и ВВ1С1С с общим ребром ВС

АВСD и АА1В1В с общим ребром АВ.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро называются смежными.

Параллелепипед имеет 12 ребер.

Стороны параллелограммов, из которых составлен параллелепипед-

РЕБРА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА.Ребра АА1

СС1

ВВ1

DD1

БОКОВЫЕ РЕБРА.

Ребра АВ, ВС, CD, АD (смотри рисунок)

и А1В1, В1С1, С1D1, А1D1 (смотри рисунок)

РЕБРА ОСНОВАНИЙ.

Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными.

На рисунке показаны противоположные вершины А1 и С

В1 и D В и D1

А и С1.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Например: АС1

или В1D-диагонали параллелепипеда.

Рассмотрим СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА.

Свойство 1.Противоположные грани параллелепипеда (на рисунке АВСD и А1В1С1D1

АА1D1D и ВВ1С1С, а также

АА1В1В и DD1С1С )

параллельны и равны.

Диагонали параллелепипеда (на рисунке В1D А1С АС1 ВD1 )

пересекаются в одной точке (точка О)

и делятся этой точкой пополам.

Свойство 2.

Секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда по отрезкам ( согласно аксиомам стереометрии ).

В данном случае это отрезки КМ, МР, РТ и КТ.

Сечения параллелепипеда.

Секущей плоскостью параллелепипеда называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда.

Например: плоскость МКТ на рисунке.

Напомнить аксиомы стереометрии?

Аксиома 1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,

проходит плоскость, и притом только одна.щелкни «мышкой»

Аксиома 2Если две точки прямой лежат в плоскости,

то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.щелкни «мышкой»

Аксиома 3Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

При построении сечений параллелепипеда следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость

пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки

параллельны.

При построении сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К на ребре СС1 и параллельно плоскости основания АВСD,

получается параллелограмм, который равен параллелограмму АВСD, при построении используемпризнак параллельности плоскостей

Напомнить признак параллельности плоскостей?

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости (n и m в плоскости β)

соответственно параллельныдвум прямым другой плоскости (n1 и m1 в плоскости γ,

m║m1, n║n1) то эти плоскости параллельны

(β║ γ).

При построении сечений параллелепипеда следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость

пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки

параллельны.

В сечении параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, D, В1 получается параллелограмм,

так как параллельны отрезки АВ1 и DС1,

а также отрезки АD и В1С1.

Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки. 1случай: эти точки лежат на

ребрах, выходящих из одной вершины.

Например, такими точками будут М, Т и Р на ребрах DD1, А1D1 и D1C1 соответственно.

Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки. 1случай: эти точки лежат на

ребрах, выходящих из одной вершины.

Построение:

1) секущая плоскость пересекает грань АА1D1D по отрезку ТМ,

2) секущая плоскость пересекает грань А1В1С1D1

по отрезку ТР, 3) а грань DD1С1С

по отрезку РМ. В сечении

–треугольник ТМР.

Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки. 2 случай: эти точки лежат

на боковых ребрах.

Например, такими точками будут К, S и L на ребрах АА1, ВВ1 и СC1 соответственно.

Построение: 1) секущая плоскость пересекает грань А1В1С1D1 по отрезку KL,

2) грань ВВ1С1С по отрезку LS, 3) строим точку М-точка

пересечения прямых КL и А1D1,

которая принадлежит грани АА1D1D. Через М проведём прямую параллельную LS. Её пересечение с ребром АD обозначим Е, а с ребром АА1 –F.

4) грань АА1В1В пересекается по отрезку КF,

5) cекущая плоскость пересекает грань АВСD по отрезку ЕН, построенному параллельно КL,

6) грань DD1С1С пересекается по отрезку НS.

В сечении -шестиугольник КLSHEF.

Подведем итоги:• Вы познакомились с геометрическим

телом – параллелепипед.• А также, с его элементами: гранями,

вершинами, ребрами.• Рассмотрели два свойства

параллелепипеда. • И примеры построения различных

сечений.• Вспомнили и применили изученный

ранее теоретический материал.

Спасибо за работу!

До новых встреч!