paper comunicaciones ii. filtros
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Diseño de filtros en el dominio de la frecuencia aplicado al procesamiento de imágenes digitales.
Filter design in frequency domain applied to digital image processing.
RESUMEN
Se presenta un artículo que tiene como objetivo observar las variaciones de una
imagen digital en escala de grises, luego de haber sido procesada en sistemas de
filtrado creados por medio de la “transformada discreta de Fourier (DFT,
Discrete Fourier Transform)” en el entorno de desarrollo matemático MATLAB.
El análisis se desarrolla por completo en el dominio de la frecuencia. El enfoque
se hará en el diseño de filtros pasa-bajas (LPF, Low-pass filter) y filtros pasa –
altas (HPF, High-pass filter), en sus formas ideal, y Butterworth, que tendrán por
objeto suavizar las imágenes y realizar detección de bordes.
PALABRAS CLAVE: Procesamiento de Imágenes Digitales, Transformada
Discreta de Fourier, Aplicaciones de MATLAB, Filtro Butterworth, Filtro Ideal.
ABSTRACT
This paper aims to observe the variations of a digital image in gray scale, after
being processed into filter systems created by the “Discrete Fourier Transform”,
in the environment of mathematical development MATLAB. The analysis takes
place entirely in the frequency domain. The focus will be on the design of low-
pass filters (LPF) and high-pass filters (HPF), in their ideal and Butterworth
forms, which will aim to soften images and perform edge detection.
KEYWORDS: Digital Image
Processing, Discrete Fourier Transform,
MATLAB Applications, Butterworth
Filter, Ideal Filter.
ANDREA REBECA
MONTERO FUENTES
Bachiller.
Estudiante de Ingeniería de
Telecomunicaciones.
Universidad Rafael Urdaneta.
JESÚS ALEJANDRO
GONZÁLEZ CAÑAS
Bachiller.
Estudiante de Ingeniería de
Telecomunicaciones.
Universidad Rafael Urdaneta.
1. INTRODUCCIÓN.
La transformada de Fourier como
herramienta matemática constituye la base del
procesamiento digital de imágenes en el dominio
de la frecuencia. Constituye ésa la razón de que
se desarrollen constantemente nuevos y mejores
métodos numéricos para su determinación.
En el este artículo se analiza la transformada
de Fourier para el diseño de filtros en
frecuencia que permitan el procesamiento de
imágenes.
Dependiendo del tipo de filtrado, se
conseguirá realzar las frecuencias espaciales
altas o bajas, de modo que al revertir el cambio
al dominio espacial, las imágenes que
contengan formas geométricas sencillas habrán
pasado un proceso de segmentación, y de la
misma manera podrá conseguirse un realce de
1
bordes poco definidos, o bien una reducción del
ruido, dependiendo del caso que sea tratado.
A partir de este punto, el trabajo se
estructura de la siguiente manera:
Una sección denominada “Marco Teórico”,
en la que se exponen los fundamentos
matemáticos y metodológicos más relevantes que
dan soporte a este trabajo.
Una sección llamada “Procedimientos”, que
describe la secuencia de pasos realizados durante
la experimentación.
Otra sección siguiente, “Resultados y
Análisis”, expone las observaciones que surgen
durante la fase experimental, y sus respectivos
análisis lógicos y matemáticos.
La última sección, “Conclusiones”, recopila
dos resúmenes sobre todo lo que se expone,
desde los puntos de vista de los autores del
presente artículo.
2. MARCO TEÓRICO.
2.1. Transformada de Fourier discreta
bidimensional
La transformada de Fourier discreta
bidimensional (DFT-2), es una extrapolación del
concepto que tiene para una única dimensión. Se
aplica a distribuciones espaciales discretas, y
transforma a un sistema discreto de frecuencias,
en dos dimensiones.
Matemáticamente se define como:
F (u , v )=∑x=0
M−1
∑y=0
N−1
f (x , y )∙ e− j2 π (ux
M+ vy
n)(1)
Donde M x N es el tamaño de la distribución
espacial de la imagen. Obsérvese que en el
dominio de la frecuencia, se produce una
distribución del mismo tamaño de la función
espacial transformada, es decir, M x N.
2.2. Obtención de los espectros de
frecuencia de una imagen, usando
MATLAB.
En el proceso de obtención del espectro de
frecuencias para una imagen en escala de grises
usando MATLAB, se siguen básicamente los
siguientes pasos:
- Se lee la imagen y se transforma a una
matriz de tamaño MxN que contiene
el código de tonalidad de cada píxel
que la compone.
- Luego se aplica la transformada
discreta de Fourier bidimensional,
que generará la función en frecuencia
F (u , v ), con tamaño MxN.
- Se elabora una escala logarítmica que
permita observar mejor las
amplitudes de los armónicos que
componen la imagen.
- Por último, se grafica el espectro de las
amplitudes de dichos armónicos en
una representación mediante curvas
de nivel.
2
Por ejemplo, para la imagen
siguiente:
Fig. 1. Imagen en escala de grises destinada a
ejemplificación.
Se obtuvieron las siguientes
representaciones para el espectro de
frecuencias correspondiente:
Fig. 2. Espectro de frecuencias en escala logarítmica,
de la imagen usada como ejemplo.
- Sin embargo, puede obtenerse una
representación tridimensional para la
distribución discreta de frecuencias,
con la forma A=F (u , v )
Fig. 3. Espectro tridimensional de frecuencias en
escala logarítmica, de la imagen usada como ejemplo.
2.3. Métodos empleada para el
procesamiento de imágenes en el
dominio de la frecuencia.
Fig. 4. Diagrama de bloques del procesamiento de
imágenes en el dominio de la frecuencia (González,
2004).
Los pasos que deben seguirse son:
- Se lee la imagen en MATLAB para
llevarla a una forma matricial f ( x , y ) que pueda ser operada con los
matemáticamente.
3
f (x , y) Imagen de entrada
Pre - ProcesamientoTransformada de
FourierF (u, v)
Multiplicación por la función de
transferencia (Filtro):H (u , v) * F (u , v)
Transformada de Fourier Inversa
g (x , y)Post - Procesamiento
g (x , y)Imagen Procesada
Digitalmente
- Luego se transforma f ( x , y ) al dominio
de la frecuencia, usando la DFT-2,
obteniéndose F (u , v ).- Se multiplica la función de frecuencia
de la imagen, por la función de
transferencia del filtro a usarse (
H (u , v )), de manera que se obtiene
G (u , v )=F (u , v ) ∙ H (u , v ).
- Se calcula la imagen filtrada g ( x , y ), que es la parte real de la
transformada discreta inversa
bidimensional de Fourier.
2.4. Tipos de filtros.
En este trabajo, se trabajarán con dos tipos
de filtros en frecuencia:
- Filtro pasa – bajas (LPF, por sus siglas
en inglés): dada una frecuencia D0
que representa la distancia desde
cualquier punto de H (u , v ) hacia el
centro de la misma, se define como:
H (u , v )={1 ;si H (u ,v )≤ D0
0 ;si H (u , v)≥ D0
(2)
en caso de tratarse de un filtro ideal,
y como:
H (u , v )= 1
1+[ D(u , v )/ D0]2n
(3)
en caso de tratarse de un filtro pasa –
bajas de tipo Butterworth de orden n.
- Filtro pasa – altas (HPF, por sus siglas
en inglés): dada una frecuencia D0
que representa la distancia desde
cualquier punto de H (u , v ) hacia el
centro de la misma, se define como:
H (u , v )={0 ;si H (u , v)≤ D 0
1 ;si H (u , v )≥ D0
en caso de tratarse de un filtro ideal,
y como:
H (u , v )=1−{ 1
1+[ D (u , v )D0
]2 n }(4)
En caso de tratarse de un filtro pasa –
altas de tipo Butterworth de orden n.
3. PROCEDIMIENTOS.
3.1. Estudio previo de las imágenes a usar
en el experimento.
Se estudiará el filtrado en frecuencia usando
las siguientes imágenes como ejemplos:
3.1.1. Radiografía craneal.
Fig. 5. Imagen “RX”. Radiografía de un cráneo de
Homo Sapiens.
Tamaño: 600 ×784 píxeles
Formato: JPEG de 24 bits.
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Fig. 6. Imagen “RX”. Espectro de amplitudes en dB.
El espectro presenta estas características:
Media: 8,7099×103
Varianza: 6,4017 ×109
Desviación estándar: 1,8777×104
La información proporcionada por la
desviación estándar refiere al hecho de que, hay
un predominio a nivel de amplitudes en las
frecuencias bajas, el espectro presenta una
dispersión de dimensiones considerables.
3.1.2. Foto de un niño chileno.
Fig. 7. Imagen “Niño”. Fotografía de un infante chileno durante la tragedia del terremoto en febrero de 2010.
Tamaño: 450 × 315 píxeles
Formato: JPEG de 24 bits.
Fig. 8. Imagen “Niño”. Espectro de amplitudes en dB.
El espectro presenta estas características:
Media: 2,5097×103
Varianza: 2,6217 ×109
Desviación estándar: 6,7933×103
En general la imagen presenta poca potencia
en las frecuencias bajas, lo que se traduce en un
valor medio bastante reducido. La desviación
estándar se reducirá igualmente al disminuir la
brecha entre los picos y los valles del espectro.
3.2. Diseño de los filtros de frecuencia.
3.2.1. Filtro pasa-bajas ideal.
Fig. 7. Filtro pasa-bajas ideal con D0=60.
5
Se caracteriza simplemente por una
frecuencia de corte D0, por debajo de la cual las
amplitudes serán 1 y por encima 0.
3.2.2. Filtro pasa-altas ideal.
Será caracterizado por una frecuencia de
corte D0, por encima de la cual las amplitudes
serán 1 y por debajo 0.
Fig. 8. Filtro pasa-altas ideal con D0=70.
3.2.3. Filtro pasa-bajas Butterworth.
Sus parámetros serán una frecuencia de corte
D0, y un orden n.
Fig. 9. Filtro pasa-bajas Butterworth de orden n=2
con D0=70. Media de 01980, Varianza de 0.1097 y
Desviación estándar de 0,3312.
3.2.4. Filtro pasa-altas Butterworth.
Sus parámetros serán igualmente, una
frecuencia de corte D0, y un orden n.
Fig. 10. Filtro pasa-altas Butterworth de orden n=1
con D0=80. Media de 0,7205, Varianza de 0.0817 y
Desviación estándar de 0,2858.
3.3. Filtrado de las imágenes.
3.3.1. CASO 1: Radiografía craneal a
través de un filtro ideal de pasa bajas.
El espectro de frecuencias de la imagen a
procesar, es multiplicado por un filtro pasa
bajas ideal, que tiene una frecuencia de corte
igual a 100, de esta forma, el espectro de
frecuencias que sale del sistema será:
Fig. 11. Espectro de amplitudes de “Radiografía
Craneal”, luego de pasar por el LPF ideal.
6
Y la imagen procesada final es:
Fig. 12. “Radiografía Craneal”, luego de pasar por el
LPF ideal y transformarse nuevamente al dominio espacial.
3.3.2. CASO 2: Radiografía craneal a
través de un filtro ideal de pasa bajas.
El espectro de frecuencias de la imagen a
procesar, es multiplicado por un filtro pasa bajas
tipo Butterworth de orden 2, que tiene una
frecuencia de corte igual a 200, de esta forma, el
espectro de frecuencias que sale del sistema será
el siguiente:
Fig. 13. Espectro de amplitudes de “Radiografía
Craneal”, al pasar por el LPF Butterworth de orden 2.
Posteriormente, se obtiene la siguiente
imagen al llevar el resultado al dominio
espacial usando la transformada discreta de
Fourier inversa:
Fig. 14. “Radiografía Craneal”, al pasar por el LPF
Butterworth de orden 2.
3.3.3. CASO 3: Foto de un niño a través
de un filtro pasa altas ideal.
La multiplicación en el dominio de la
frecuencia, entre los espectros de la imagen a
procesar y el del filtro pasa altas ideal ideal,
cuya frecuencia de corte es igual a 8, produce
que se anulen las componentes armónicas más
cercanas al origen, si bien, en el espectro de
frecuencias no se notaría gráficamente,
refiérase a la Fig.15 para apreciar los fuertes
efectos de eliminar la banda de frecuencias que
más potencia posee en la imagen, y la
información sobre los cambios suaves en los
tonos de grises.
El resultado de llevar al dominio espacial el
producto en frecuencia usando la transformada
discreta de Fourier inversa es el siguiente:
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Fig. 15. “Niño Chileno”, al pasar por el HPF ideal
con frecuencia de corte igual a 8.
Se aprecia que al quedar sólo las frecuencias
altas, se produce lo que se denomina una
“detección de bordes”, correspondiente al
predominio en amplitud de los ritmos, o
cambios bruscos en las tonalidades de gris.
3.3.4. CASO 4: Foto de un niño a través
de un filtro pasa altas Butterworth.
Un efecto visualmente similar, se consigue
al filtrar la imagen con un HPF tipo
Butterworth de orden 3, con frecuencia de corte
igual a 6.
Fig. 16. “Niño Chileno”, al pasar por el HPF
Butterworth de orden 3, con D0 igual a 8.
Al ser las frecuencias bajas atenuadas
gradualmente, se produce un suavizado más
notorio, que el conseguido por el HPF ideal.
3.4. Resultados y Análisis.
3.4.1. Caso 1.
Al procesar la imagen “Radiografía Craneal”
con un filtro pasabajas ideal, se produce un
corte brusco de las frecuencias altas, con el que
se consigue un efecto de suavizado notorio,
aunque además sufre distorsiones a causa de la
pérdida súbita de información.
La descripción esta estadística del resultado
es la siguiente:
“Radiografía Craneal”
LPF Ideal, con frecuencia de corte de 100
Media 2,674 2 ×103
Varianza 6 ,22 21×109
Desviación
típica1 ,37 99× 104
Una disminución muy acentuada de la media
es producida por el caso “ideal” de un filtrado
con LPF. La varianza y la desviación estándar
disminuyen (aunque en menor medida) debido
a que los datos ahora se concentran
exclusivamente en la banda de frecuencias
determinada por el filtro.
3.4.2. Caso 2.
Por otra lado, el procesamiento de
“Radiografía Craneal” con un filtro pasa bajas
Butterworth provoca una atenuación gradual de
8
las altas frecuencias. Visualmente se logra un
sutil efecto de suavizado, con la ventaja de que
la información de los cambios rápidos en tonos
de grises no se elimina del todo, evitando
distorsiones indeseadas.
“Radiografía Craneal”
LPF Butterworth orden 2, frecuencia de corte 200
Media 4,3721 ×103
Varianza 6 ,2203 ×109
Desviación
típica1,6611×104
Estadísticamente, se aprecia una reducción
menos acentuada en la media, y un aumento de
la varianza y desviación típica. Esto se debe a la
repartición más equitativa de los datos sobre el
plano de frecuencias, comparado con el LPF
ideal.
3.4.3. Caso 3.
Es posible detectar los bordes de una imagen
al ser procesada por un HPF. En el caso del
filtrado ideal de la imagen “Fotografía de un
niño” la eliminación de las frecuencias más
bajas se traduce en la eliminación de los
cambios lentos en tonos de grises.
Sin embargo, dado que dichas frecuencias
contienen casi toda la potencia de la imagen, no
pueden ser suprimidas del todo. Obsérvese que
para este caso, la frecuencia de corte es sólo 8.
“Fotografía de un niño”
HPF Ideal, con frecuencia de corte de 8
Media 2,7060×103
Varianza 2 ,5638× 108
Desviación
típica5 ,9686 ×103
Al eliminar las frecuencias de mayor
amplitud, la media aritmética aumenta, a su vez
que la varianza y la desviación típica
disminuyen ligeramente
3.4.4. Caso 4.
Un HPF tipo Butterworth es capaz de
provocar cambios más tenues en cuanto a la
eliminación de las frecuencias más bajas
refiere.
Dado el comportamiento de este tipo de
filtros, la atenuación progresiva de las
frecuencias bajas provocará que los ritmos de
cambio en las tonalidades de gris sean más
suaves, sin quitar el efecto detector de bordes
en la imagen “Fotografía de un niño”.
“Fotografía de un niño”
HPF Butterworth orden 3, frecuencia de
corte 6
Media 2,800 2 ×103
Varianza 3 ,0617 ×108
Desviación
típica6 ,2 207 × 103
Se producen los mismos efectos estadísticos
que en el HPF Ideal, un poco más acentuados a
causa de la reducción gradual de las amplitudes
de los armónicos al acercarse a la frecuencia
central.
4. CONCLUSIONES.
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- Luego se transforma f ( x , y ) al dominio
de la frecuencia, usando la DFT-2,
obteniéndose F (u , v ).- Se multiplica la función de frecuencia
de la imagen, por la función de
transferencia del filtro a usarse (
H (u , v )), de manera que se obtiene
G (u , v )=F (u , v ) ∙ H (u , v ).
- Se calcula la imagen filtrada g ( x , y ), que es la parte real de la
transformada discreta inversa
bidimensional de Fourier.
5. BIBLIOGRAFÍA
- ETTER, Delores. “Solución de
problemas de ingeniería con
MATLAB”. Segunda Edición.
Prentice – Hall. 1998.
- GONZÁLEZ, WOODS, & EDDINS.
“Digital Image Processing Using
MATLAB”. Segunda Edición.
Gatesmark Publishing. 2009.
- SPIEGEL, Murray. “Schaum’s Outline
for Theory and Problems of Fourier
Analysis”. McGraw – Hill. 1974.
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