pamokos - 2 paskaita · 2019. 2. 5. · 2 matematika 2 (p130b002) • pirmykštė funkcija ir...
TRANSCRIPT
![Page 1: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/1.jpg)
1
PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS.
INTEGRAVIMO METODAI. (4val.)
2 PASKAITA
![Page 2: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Matematika 2 (P130B002)
• Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas;
• Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės.
EGZAMINO PRIORITETINIAI KLAUSIMAI
![Page 3: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/3.jpg)
3
PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAMPRATA
Diferencialinio skaičiavimo uždavinys:
rasti funkcijos išvestinę arba diferencialą, t.y. duota F(x) –
diferencijuojama funkcija atkarpoje [a, b], reikia rasti
)(xfxF arba dxxfdxxFxdF )()()( .
Dažnai tenka spręsti atvirkštinį uždavinį – ieškoti F(x), kai
žinoma šios funkcijos išvestinė f(x) arba diferencialas f(x)dx.
![Page 4: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/4.jpg)
4
PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAMPRATA
Apibrėžimas: Funkcija )(xF yra vadinama funkcijos f(x)
pirmykšte funkcija atkarpoje ],[ ba , jeigu
visuose šios atkarpos taškuose teisinga lygybė
)(xfxF arba dxxfxdF )()( .
Integravimo uždavinys: rasti pirmykštę funkciją.
Analogiškai apibrėžiama ir pirmykštė funkcija intervale
),( ba arba begaliniame intervale, jei jame funkcija
diferencijuojama.
![Page 5: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/5.jpg)
5
PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAMPRATA
Pavyzdys.
xxF sin)( , tai )(cos)( xfxxF .
Funkcijos xxf cos)( pirmykštės funkcijos )(xF
intervale ; yra šios:
xxF sin)( ,
1sin)( xxF ,
5sin)( xxF ,
...
constCCxxF ,sin)( .
Visų šių funkcijų išvestinės yra xcos .
![Page 6: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/6.jpg)
6
PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAMPRATA
Teorema: Jei )(1 xF ir )(2 xF yra dvi funkcijos f(x) pirmykštės
funkcijos atkarpoje ],[ ba , tai jos viena nuo kitos
skiriasi tik konstanta C:
CxFxF )()( 21 .
Įrodymas. )()(1 xfxF ir )()(2 xfxF
0)()()()( 21 xfxfxFxF , bax , .
0)()()()( 2121
const
xFxFxFxF , nes 0
const .
Tai CxFxF )()( 21 .
![Page 7: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/7.jpg)
7
PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAMPRATA
Šis atvirkštinis veiksmas išvestinės radimui negali pilnai
atkurti funkcijos, nuo kurios buvo gauta išvestinė (nes 0C ir
konstantos neatkuriame). Atkurdami mes gaunam ne vieną
pirmykštę, o pirmykščių funkcijų aibę CxF )( , kurių išvestinė
yra f(x).
![Page 8: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/8.jpg)
8
PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAMPRATA
Apibrėžimas: Jeigu funkcija )(xF yra funkcijos f(x) pirmykštė,
tai reiškinys CxF )( ( constC ) vadinamas
funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu:
CxFdxxf )()( .
Čia )(xf - pointegralinė funkcija,
dxxf )( - pointegralinis reiškinys,
- integralo ženklas, x – integravimo kintamasis.
Veiksmas, kuriuo randama duotosios funkcijos pirmykštė
funkcija, vadinamas integravimu.
![Page 9: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/9.jpg)
9
PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA IR NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAMPRATA
Geometriškai dxxf )( reiškia
šeimą kreivių CxFy )( ,
kurių kiekviena gaunama
lygiagrečiai pastumiant
funkcijos )(xFy grafiką Oy
ašies kryptimi į viršų ar į
apačią.
0x
y
a b
c
-c
cxFy )(
cxFy )(
)(xFy
![Page 10: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo seka:
1. xfdxxf
)( , nes
xfCxFCxFdxxf
)( .
Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei
funkcijai.
2. dxxfdxdxxfdxxfd
)()( .
Neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus
pointegraliniam reiškiniui.
3. CxFdxxfdxxFxFd )()())(( .
NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS
![Page 11: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Matematika 2 (P130B002)
NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS
1 Teorema: Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo
ženklą:
dxxfadxxaf )()( , kai 0 aconsta .
![Page 12: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Matematika 2 (P130B002)
NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS
2 Teorema: Baigtinio skaičiaus funkcijų sumos (skirtumo)
integralas yra lygus šių funkcijų integralų sumai
(skirtumui):
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( .
![Page 13: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Matematika 2 (P130B002)
NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS
Išvada:
constbadxxgbdxxfadxxbgxaf ,,)()()()(
![Page 14: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Matematika 2 (P130B002)
NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS
3 Teorema: (apie integravimo formulių invariantiškumą)
Jeigu CxFdxxf )( ir xu - funkcija,
turinti tolydžią išvestinę, tai
CuFduuf )( .
Įrodymas:
Imkime sudėtinę funkciją ))(()( xFuF .
Pirmos eilės diferencialui yra būdingas formos
invariantiškumas
duufduuFudF )( .
![Page 15: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Matematika 2 (P130B002)
NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS
Tuomet
CuFudFduuf )()( .
Išvada: visos integravimo formulės bus teisingos, jeigu vietoj
kintamojo bus funkcija. Svarbu, kad kintamieji būtų tie
patys.
![Page 16: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Matematika 2 (P130B002)
Pavyzdys.
0,||ln uCuu
du, čia xu .
dxdxaxaxd
CaxFaxdaxfdxaxf
1)()(
,)()(
NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS
![Page 17: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/17.jpg)
17
INTEGRAVIMO METODAI:
Tiesioginio integravimo metodas
Kintamojo keitimo metodas
Integravimas dalimis
![Page 18: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Matematika 2 (P130B002)
Integravimas, naudojantis pagrindinėmis neapibrėžtinio integralo
savybėmis ir pagrindinėmis formulėmis, vadinamas
TIESIOGINIU INTEGRAVIMU.
Kad galėtume taikyti integravimo formulių invariantiškumo
savybę, pointegralinį reiškinį reikia pertvarkyti taip, kad
integruojant galėtume taikyti kurią nors integravimo formulę.
TIESIOGINIO INTEGRAVIMO METODAS
![Page 19: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Matematika 2 (P130B002)
TIESIOGINIS INTEGRAVIMAS
Pavyzdžiai:
dxx3 7 dxx 12 dxx
243
291 x
dx
222 x
dx
1. 2. 3.
4. 5. 6. 𝑑𝑥
cos2 8𝑥 + 3
7. 𝑑𝑥
3 + tg2(5𝑥) cos2(5𝑥)
![Page 20: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Matematika 2 (P130B002)
KINTAMOJO KEITIMO METODAS
Tarkime, kad dxxf )( negalima apskaičiuoti taikant
integravimo savybes ir formules. Vienas iš metodų yra keisti
kintamąjį, po kurio integralas susiveda į mums pažįstamą.
Seną kintamąjį x pakeičiame funkcija nuo naujo kintamojo t :
ttx , - tolydi diferencijuojama funkcija, o tx turi
atvirkštinę funkciją xt , be to 0 t .
dtttf
dttdx
txdxxf
)( .
![Page 21: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Matematika 2 (P130B002)
KINTAMOJO KEITIMO METODAS
𝑑𝑥
𝑒𝑥 + 1;
Pavyzdys:
![Page 22: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Matematika 2 (P130B002)
KINTAMOJO KEITIMO METODAS
Jei pointegraliniame reiškinyje yra:
1) dauginamasis 22 xa , tai tikslinga įvesti trigonometrinius
keitinius tax sin arba tax cos ;
2) 22 xa , tai įvedame keitinius tax tg arba tax ctg ;
3) 22 ax , tai įvedame keitinius t
ax
cos arba
t
ax
sin .
Pavyzdžiai:
1.
dxx
x2
225 2.
92xx
dx
![Page 23: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/23.jpg)
23
INTEGRAVIMAS DALIMIS
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
![Page 24: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/24.jpg)
24
INTEGRAVIMAS DALIMIS
Turim dvi funkcijas )(xuu , )(xvv , turinčias tolydžias
išvestines. Tuomet
udvvdudxvuvdxudxvuvuuvd
dvdu
)(
udvvduuvd )(
( )udv d uv vdu
vduuvvduuvdudv
uv
)( .
Norint šią formulę pritaikyti, reikia pointegralinį reiškinį
suskaidyti į du dauginamuosius u ir dv.
![Page 25: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/25.jpg)
25
1) ...,arctg)(,arcsin)(,ln)( xdxxPxdxxPxdxxP
P(x) – daugianaris
...,arctg,arcsin,ln xuxuxu
2) ,)sin()(,)cos()(,)( dxaxxPdxaxxPdxexP ax
P(x) – daugianaris, a – realus skaičius
)(xPu
INTEGRAVIMAS DALIMIS
![Page 26: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/26.jpg)
26
3) ,)cos(ln,)sin(ln,)sin(,)cos( dxxdxxdxbxedxbxe axax
a,b – realūs skaičiai.
)cos(ln),sin(ln, xuxueu ax .
Pažymėję bet kurį šios grupės integralą raide I ir dukart
pritaikę integravimo dalimis formulę, gausime pirmojo
laipsnio lygtį integralo I atžvilgiu. Iš šios lygties rasime I.
INTEGRAVIMAS DALIMIS
![Page 27: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/27.jpg)
27
INTEGRAVIMAS DALIMIS(papildomai)
https://mathnow.wordpress.com/2009/10/14/liate-ilate-and-detail/
L = logarithmicI = inverse trigonometricA = algebraicT = trigonometricE = exponential
LIATE, ILATE, and DETAIL rules
We have
LIATE and ILATE are supposed to suggest the order in which you are to choose the “u”. In DETAIL (LIATE backwards with a D in front, right?) we have the order in which to choose our “dv”.
![Page 28: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/28.jpg)
28
INTEGRAVIMAS DALIMIS
Pavyzdžiai:
1. 𝑥cos(3𝑥)𝑑𝑥
2. 𝑥2ln𝑥𝑑𝑥
3. arctg𝑥𝑑𝑥
4. 𝑒3𝑥cos2𝑥𝑑𝑥
![Page 29: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Matematika 2 (P130B002)
• Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas;
• Integravimo metodai.
KĄ IŠMOKOM
![Page 30: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Matematika 2 (P130B002)
• Integralinė suma ir apibrėžtinis integralas;
• Apibrėžtinio integralo savybės;
• Geometrinė intepretacija;
• Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu;
• Niutono – Leibnico formulė.
KITA PASKAITA
![Page 31: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Matematika 2 (P130B002)
• 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
• 1+𝑥+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3𝑥
3
1+9𝑥2𝑑𝑥
• 𝑒2𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑒2𝑥
1+𝑒4𝑥𝑑𝑥
• arctg 𝑥 − 1 𝑑𝑥;
UŽDAVINIAI SAVARANKIŠKAM DARBUI
![Page 32: Pamokos - 2 PASKAITA · 2019. 2. 5. · 2 Matematika 2 (P130B002) • Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas; • Neapibrėžtinio integralo pagrindinės savybės. EGZAMINO](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061001/60b077e553296363b41854a3/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Medžiagą galima rasti:
www.tany.lt/stud
matematika2
Parengė: Tatjana Sidekerskienė
E-mail: [email protected]