(1-3) Si Juan tiene x dlares, cuntos dlares tendr Julia encada caso?

1. Ella tiene $4 ms que Juan.2. Ella tiene $3 menos del doble de lo que tiene Juan.3. Ella tiene $2 ms que la mitad de lo que tiene Juan.

(4-7) Si Jos tiene x aos y Julia es 4 aos ms joven, quedad tiene Alfredo en cada caso?

4. Alfredo tiene 3 aos ms que Julia.

5. Alfredo es 1 ao mayor que la edad promedio de Jos yJulia.

6. Alfredo es 10 aos menor que la suma de las edades de Jo-s y de Julia.

7. Alfredo es 2 aos menor que cinco veces la diferencia delas edades de Jos y de Julia.

8. Bruno y Jaime juntos tienen $75. Si Jaime tiene $5 msque Bruno, cunto dinero tiene Jaime?

9. En una clase de matemticas para la administracin hay 52estudiantes. Si el nmero de chicos es 7 ms que el doblede chicas, determine el nmero de chicas en la clase.

10. Un padre es tres veces mayor que su hijo. En 12 aos, ltendr el doble de la edad de su vstago. Qu edades tie-nen el padre y el hijo ahora?

11. Hace cinco aos, Mara tena el doble de la edad de su her-mano. Encuentre la edad actual de Mara si la suma de susedades hoy es de 40 aos.

12. Susana tiene 3 monedas ms de cinco centavos que de diezcentavos, y 5 monedas ms de diez centavos que monedasde veinticinco centavos. En total tiene $2.10. Cuntas mo-nedas de cada una tiene?

13. Yo tengo el doble de monedas de diez centavos en mi bol-sillo que de monedas de veinticinco centavos. Si tuviera 4monedas menos de diez centavos y 3 monedas ms deveinticinco centavos, tendra $2.60. Cuntas monedasde diez centavos y de veinticinco centavos tengo?

14. (Inversiones) Un hombre invierte al 8% el doble de la can-tidad que destina al 5%. Su ingreso total anual por las dosinversiones es de $840. Cunto invirti a cada tasa?

15. (Inversiones) Un colegio destina $60,000 a un fondo a finde obtener ingresos anuales de $5000 para becas. Parte deesto se destinar a inversiones en fondos del gobierno a un8% y el resto a depsitos a largo plazo a un 10.5%. Cun-to debern invertir en cada opcin con objeto de obtener elingreso requerido?

16. (Inversiones) Los miembros de una fundacin desean in-vertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividen-dos anuales del 9 y 6%, respectivamente. Cunto deberninvertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al queproducira al 8% la inversin total?

72 CAPTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE

La mezcla debe contener 15% de alcohol, por lo que los 10,000 litros deberan con-tener 1

1050 (10,000) 1500 litros de alcohol. Por tanto, tenemos la ecuacin

13050x 1

10(10,000 x) 1500

Resolviendo obtenemos las siguientes igualdades:

13050 x 1000 110x . 1500

13050x 1

10x . 1500 1000 500

35x 10x . 50,000

25x . 50,000

x . 50

2,0500 2000

En consecuencia, 2000 litros de brandy y 8000 litros de vino deben mezclarse. 9

9. En el ejemplo 7, si 400litros de brandy se combinan con600 litros de jerez, cul ser elporcentaje de alcohol en la mezcla?

Respuesta 23%

EJERCICIOS 2-2

17. (Inversin) Una persona invirti $2000 ms al 8% que al10% y recibi un ingreso total por intereses de $700 por unao. Cunto invirti a cada tasa?

18. (Inversin) Una compaa invierte $15,000 al 8% y$22,000 al 9%. A qu tasa debe invertir $12,000 restantesde modo que el ingreso por los intereses anuales de las tresinversiones sea de $4500?

19. (Precio de venta) Durante una venta de liquidacin un ar-tculo tiene marcada una rebaja de 20%. Si su precio de li-quidacin es $2, cul era su precio original?

20. (Precio de mayoreo) Un artculo se vende por $12. Si laganancia es de 50% del precio de mayoreo, cul es el pre-cio de mayoreo?

21. (Porcentaje de descuento) Un comerciante ofrece 30% dedescuento sobre el precio marcado de un artculo, y an asobtiene una ganancia del 10%. Si al comerciante le cuesta$35 el artculo, cul debe ser el precio marcado?

22. (Mezclas) Diez libras de cacahuates que tienen un preciode 75 por libra y 12 libras de nueces valen 80 por librase mezclan con pacana que tiene un valor de $1.10 por li-bra para producir una mezcla que vale 90 por libra.Cuntas libras de pacana deben utilizarse?

23. (Mezclas) Qu cantidad de una solucin de cido al 10%debe mezclarse con 10 onzas de una solucin de cido al15%, para obtener un solucin de cido al 12%?

24. (Mezclas) Qu cantidad de agua debe agregarse a 15 on-zas de una solucin de cido al 20%, para obtener un solu-cin de cido al 12%?

25. (Mezclas) Una muestra de agua de mar tiene un contenidode 20% de sal. Se agrega agua pura para obtener 75 on-zas de una solucin salina al 8%. Cunta agua de mar es-taba en la muestra?

26. (Mezclas) Cunta agua debe evaporarse de 300 onzas deuna solucin salina al 12% para obtener una solucin sali-na al 15%?

27. (Mezclas) La sustancia A contiene 5 miligramos de nia-cina por onza, y la sustancia B contiene 2 miligramos deniacina por onza. En qu proporciones deben mezclarseA y B, de modo que la mezcla resultante contenga 4 mili-gramos de niacina por onza?

28. (Agricultura) Una cosecha de papas da un promedio de16 toneladas mtricas de protena por kilmetro cuadradode rea plantada; mientras que el maz produce 24 tonela-das mtricas por kilmetro cuadrado. En qu proporcio-nes deben plantarse las papas y el maz para obtener 21 to-neladas de protena por kilmetro cuadrado de la cosechacombinada?

29. (Utilidades de fabricantes) A un fabricante le cuesta$2000 comprar las herramientas para la manufactura decierto artculo casero. Si el costo para material y manode obra es de 60 por artculo producido, y si el fabricantepuede vender cada artculo en 90, encuentre cuntos ar-tculos debe producir y vender para obtener una gananciade $1000.

30. (Ganancia en peridicos) El costo de publicar cada copiade una revista semanal es de 28. El ingreso de las ventasal distribuidor es 24 por copia y de los anuncios es de20% del ingreso obtenido de las ventas en exceso de 3000copias. Cuntas copias deben publicarse y venderse cadasemana para generar una utilidad semanal de $1000?

31. (Venta de automviles) Un vendedor de autos usados com-pr dos automviles por $2900. Vendi uno con una ga-nancia de 10% y otro con una prdida de 5%, y an obtu-vo una ganancia de $185 en la transaccin completa. En-cuentre el costo de cada automvil.

32. (Salario) Un empresario est estableciendo un pequeonegocio. Sus costos fijos son $720 semanales, y planea em-plear 48 horas de mano de obra semanales. l desea asegu-rar que su ganancia sea igual al costo de la mano de obra yque su producto se venda a slo 40% sobre el costo total.Qu salario por hora debe pagar? Si fabrica 70 artculospor semana, a qu precio debe venderlos?

SECCIN 2-3 ECUACIONES CUADRTICAS 73

2-3 ECUACIONES CUADRTICAS

Una ecuacin del tipo

ax2 bx c 0 (a 0) (1)

donde a, b y c son constantes, se denomina una ecuacin cuadrtica en la variable x.Existen tres mtodos para resolver una ecuacin de ese tipo: factorizando,

usando la frmula cuadrtica y completando el cuadrado. Cualquiera que sea el m-

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