p1 aljabar linear
TRANSCRIPT
![Page 1: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/1.jpg)
ALJABAR LINEAR
![Page 2: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/2.jpg)
Materi :
1. Matriks2. Sistem Persamaan Linear (SPL)3. Vektor di bidang dan ruang4. Ruang Vektor5. Ruang Hasil Kali Dalam 6. Nilai dan vektor Eigen7. Transformasi Linier
![Page 3: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/3.jpg)
DAFTAR PUSTAKA
• Anton, Howard, 1981, Elementary Linear Algebra, Third edition, John Wiley and Sons Inc.
• Anton, Howard & Rorres, Chris, Penerapan Aljabar Linear.
• Leon, Steven J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta.
![Page 4: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/4.jpg)
MATRIKS
• TIK : Menjelaskan operasi aljabar matriks• Sub Pokok Bahasan– Definisi matriks– Jenis-jenis matriks– Operasi aljabar matriks dan sifatnya
![Page 5: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/5.jpg)
DEFINISI MATRIKS
Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
m baris
n kolom
di katakan matriks A berukuran m x n
![Page 6: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/6.jpg)
• Baris ke-i dari A adalah :
• Kolom ke-j dari A adalah :
• Matriks A dapat juga ditulis :A = [aij]
• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan diagonal utama
)1(21 miaaa inii
)1(2
1
nj
a
a
a
mj
j
j
![Page 7: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/7.jpg)
Jenis – jenis Matriks1. Matriks bujur sangkar
Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Pada diagonal utama terdapat elemen-elemen yang mempunyai nomor baris=nomor kolom.
Contoh :
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
![Page 8: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/8.jpg)
Jenis – jenis Matriks
2. Matriks Diagonal Matriks bujur sangkar dengan elemen diluar diagonal utama
adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i j
contoh :3.Matriks Skalar Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah
sama, yaitu aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j
Contoh :
700
070
000
A
700
070
007
A
![Page 9: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/9.jpg)
Jenis – jenis Matriks4.Matriks Segitiga Atas Matriks bujur sangkar dengan elemen dibawah diagonal
utama adalah nolContoh :
5.Matriks Segitiga Bawah Matriks bujur sangkar dengan elemen diatas diagonal utama
adalah nol
Contoh :
700
500
231
A
200
075
000
A
![Page 10: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/10.jpg)
Jenis – Jenis Matriks6.Matriks Identitas
Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah 1 , yaitu aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i jcontoh:
7.Matriks Nol Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.
Contoh :
100
010
001
A
000
00023o
![Page 11: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/11.jpg)
Operasi Matrik
1. Penjumlahan matrik2. Perkalian dengan Skalar3. Perkalian dua Matrik4. Transpos matrik5. Trase matrik
![Page 12: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/12.jpg)
1. Penjumlahan matrik
• Misalkan A = [aij], B = [bij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m
• Jumlah matrik A dan B dinyatakan oleh C = A + B, yang memenuhi:
• Syarat: ordo A = ordo B• Aturan: cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan}
![Page 13: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh
• Diberikan Matriks A dan B adalah
• maka
312
421A
131
421B
423
002BA
![Page 14: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/14.jpg)
2. Perkalian dengan Skalar
• Misalkan A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m
• Perkalian matrik A dengan skalar k dinyatakan oleh C=kA, yang memenuhi:
• Syarat: tidak ada• Aturan: cij=k aij {setiap entri pada matrik A dikalikan
dengan skalar k}
![Page 15: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh
• Jika k = -3 dan
• Maka
421 A
1263 kA
![Page 16: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/16.jpg)
3. Perkalian dua Matrik
• Jika A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m dan B = [bjk] dengan k=1, 2, ..., p
•perkalian matrik A dan B yang dinyatakan oleh, C=AB memenuhi:
•Syarat: banyak kolom A = banyak baris B•Aturan :
• {jumlah dari semua perkalian antara elemen A pada baris ke-i dengan elemen B pada kolom ke-k}
jk
m
jijik bac
1
![Page 17: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/17.jpg)
3. Perkalian dua Matriklanjutan
• Dengan aturan ini, dikaitkan dengan vektor kolom dan vektor baris, jika ai vektor baris
• ke-i dari matrik A dan bk vektor kolom ke-k dari matrik B, maka elemen-elemen matrik
• C adalah:kiik bac
![Page 18: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/20.jpg)
4. Transpos matrik
• Misalkan A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m.
• Transpos matrik A, yang dinyatakan oleh B=AT, didefinisikan sebagai:
• Syarat: tidak ada• Aturan: bji=aji {kolom matrik A menjadi baris matrik AT}
![Page 21: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh
• Matrik
Maka
250
324A
23
52
04TA
![Page 22: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/22.jpg)
5. Trase matrik
• Misalkan A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n.
• Trase dari matrik A yang dinyatakan oleh trase(A), didefinisikan sebagai:
• Syarat: matrik bujursangkar• Aturan: trase(A)=a11 + a22 + …+ ann
{penjumlahan semua entri diagonal utama}
![Page 23: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh trase matrik
• Diketahui matrik A kemudian hitung trase (A):
1122)(
:
114
523
302
ATrase
jawab
A
![Page 24: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/24.jpg)
Sifat-sifat Matrik
1. Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar
2. Terhadap operasi perkalian, penjumlahan, dan perkalian dengan skalar
3. Terhadap operasi penjumlahan, perkalian dengan skalar, dan trase
![Page 25: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/25.jpg)
1. Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar
• Pada sifat berikut, ordo matrik dianggap telah sesuai, sehingga operasi dapat dilakukan:a. A+B=B+A {sifat komutatif}b. (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}c. A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan}d. A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}e. k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k}f. (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l}g. (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}h. A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}i. (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap
penjumlahan}
![Page 26: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/26.jpg)
2. Terhadap operasi perkalian, penjumlahan, dan perkalian dengan skalar
• Pada sifat berikut, ordo matrik dianggap telah sesuai, sehingga operasi dapat dilakukan:a. Pada umumnya berlaku sifat AB≠BA {tidak bersifat
komutatif}b. (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif}c. AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian}d. AO=OA=O {sifat matrik nol}e. (kA)B=k(AB)=A(kB)f. (A+B)C=AC+BCg. C(A+B)=CA+CBh. (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik}i. (kA)T=kAT
![Page 27: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/27.jpg)
3. Terhadap operasi penjumlahan, perkalian dengan skalar, dan trase
a. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)b. trase(AT) = trase(A)c. trase(kA) = k trase(A)
![Page 28: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/28.jpg)
Latihan Soal1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:
Jika mungkin, maka hitunglaha. AB d. CB + D g. BA + FDb. BA e. AB + DF h. A(BD)c. A(C + E) f. (D + F)A i. trase (C + E)j. (AC)T = BTCT
204
321A
51
42
13
B
211
543
132
C
21
32D
243
512
301
E
14
32F
![Page 29: P1 Aljabar Linear](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081718/5571fa53497959916991da3f/html5/thumbnails/29.jpg)
Terima kasih
• Tetap semangat belajar
• Sampai jumpa di pertemuan selanjutnya
• Wassalam