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Serie de
Tiempo
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de poder Popular para la Defensa
Universidad Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional
Núcleo Yaracuy – Extensión Nirgua.
UNEFA
Emprendedores:
Mendoza Mary
Sánchez Guitsalia
Mendoza Omar
Sandoval Editson
Emilio Sánchez
Equipo nº4
Facilitador:
Alfredo Vásquez
Estadística II
Junio de 2013
INTRODUCCION:
Una serie de tiempo está dado por un conjunto de observaciones que están
ordenadas en el tiempo, y que estas pueden representar el cambio de una variable
ya sea de tipo económica, física, química, biológica, etc., a lo largo esa historia.
El objetivo del análisis de una serie de tiempo es el conocimiento de su patrón
de comportamiento, para así poder prever su evolución en el futuro cercano,
suponiendo por supuesto que las condiciones no variarán significativamente.
Los pronósticos que se puedan realizar en base al análisis de este tipo de
datos servirán para el desarrollo de nuevos planes
para inversiones en agricultura por ejemplo, elaboración de nuevos productos por
partes de las empresas, prevención de desastres por cambios en el clima, o captar
turistas para la ciudad, etc.
DEFINICIÓN DE SERIES DE TIEMPO :
Una serie de tiempo o serie cronológica es un conjunto de observaciones hechas
en momentos determinados, generalmente a intervalos iguales. El conjunto de
observaciones se simbolizan: y(t1), y(t2), ...y(tn)
Donde: t1, t2, t3..., tn son sucesivos instantes o tiempos determinados (meses, días,
trimestres, etc.)
"Y" es la variable cuyo comportamiento a través del tiempo se desea estudiar o
sea que la serie de tiempo es una serie estadística (información cuantitativa)
cuyos valores han sido observados en el tiempo.
Matemáticamente la serie puede simbolizarse como una función y = f (ti); donde ti
es la variable independiente: tiempo.
Las variables que intervienen pueden ser: años, meses, días, horas, quinquenios,
entre otros (t). Trabajando generalmente con intervalos iguales e " y": totales,
promedios índices, etc.
Un método que pueden utilizar los encargados de tomar las decisiones actuales y
en la planeación de futuras necesidades (mediante el pronóstico de
acontecimientos probables en inversiones, ventas, materia prima, mano de obra,
etc.) consiste en un análisis de series de tiempo.
Una serie temporal o cronológica es un conjunto e observaciones de una variable,
ordenadas Según transcurre el tiempo.
En una serie de tiempo las observaciones no se deben ordenar de mayor a menor
debido que se perdería el grueso de la información debido a que nos interesa
detectar como se mueve la variable en el tiempo es muy importante respetar la
secuencia temporal de las observaciones.
OBJETIVO DE SERIES DE TIEMPO.
La suposición básica que subyace en el análisis de series de temporales es
que los factores que han ocasionado patrones de actividad en el pasado y en el
presente continuación haciéndolo, más o menos de la misma forma, en el futuro.
Por consiguiente en identificar y aislar tales factores de influencia con propósitos
de hacer predicciones (pronósticos) así como para efectuar una planeación y un
control administrativos.
FACTORES O COMPONENTES DE SERIES DE TIEMPO .
Una serie de tiempo se considera como la resultante de cuatro componentes y
su análisis se puede hacer al tomar la serie como un todo o al estudiar cada uno
de sus componentes por separado. Los cuatro que se consideran en una serie de
tiempo son:
• Tendencia a largo plazo
• Variación o efecto estacional
• Variación o efecto cíclico
• Variación o efecto irregular
Tendencia a largo plazo: se refiere al movimiento suave y regular de una serie
que refleja un crecimiento o un estancamiento continuo o una declinación de un
periodo de tiempo muy prolongado. Las tendencias a largo plazo se representan
en una serie de tiempo debido al crecimiento constante de la población, el
producto nacional bruto, el efecto de la competencia y otros factores que no llegan
a producir cambios violentos en la variable observada, pero producen un cambio
gradual y estable de los desarrollos se suelen describir mediante una recta o
alguna curva lisa por ejemplo; muestra los embarques de cosas fabricadas que se
llevaron a cabo en un país por un periodo que va de 1977 a 1992. Aparentemente,
hay una propensión general o tendencia en su movimiento que sugiere
aproximadamente la curva a trazos.
Variación o efecto estacional: la palabra estacional tal como aquí se emplea,
tiene una connotación más bien amplia, por variaciones estaciónales se entiende
las variaciones periódicas de un año o menos. Como estas variaciones están
ligadas a las estaciones del año, se ha utilizado el nombre de efecto o de variación
estaciónales se encuentran las condiciones climáticas, las costumbres sociales y
las festividades religiosos.
Los efectos cíclicos: estos se caracterizan por movimientos recurrentes y
descendentes que son distintos de los efectos estacionales por cuanto se
extienden por periodos de tiempo más largos, por lo general de 2 o más años. En
consecuencia, se han propuesto muchas teorías para explicar las fluctuaciones
cíclicas, pero pocas han recibido aceptación universal. En general son de
naturaleza económica y reflejan el estudio de las actividades económicas del
tiempo en tiempo.
Variación o efectos irregulares. los movimientos irregulares de las series de
tiempo son bien aleatorios, o bien se deben a ciertas fuerzas esporádicas como la
guerra, los terremotos, las inundaciones, las sequías y otras calamidades
naturales. Todas las series de tiempo contienen variación aleatoria.
En la mayoría de los casos no resulta nada fácil en una serie de tiempo
distinguir entre los componentes. Con frecuencia los efectos cíclicos y
estacionales a los 3 componentes tendencia a largo plazo, efectos cíclicos y
estacionales se han integrado tanto que no pueden separarse por el contrario si
los efectos parecen distinguibles no es difícil separarlos.
La tendencia a largo plazo y los efectos cíclicos y estacionales son conocidos
como señal de la serie tiempo.
REPRESENTACIÓN DE UNA SERIE TEMPORAL:
Para realizar la representación de una serie y temporal se debe realiza mediante
una gráfica de dispersión x-y como se muestra en la fig.1
Fig.1. Representación de una serie temporal
Componentes de una serie temporal
TENDENCIA : La tendencia es un movimiento de larga duración que muestra la
evolución general de la serie en el tiempo.
La tendencia es un movimiento que puede ser estacionario o ascendente, y su
recorrido, una línea recta o una curva. Algunas de las posibles formas son las que
se muestran en la fig.2
FIG.2. REPRESENTACIÓN DE LA TENDENCIA:
La tendencia es un movimiento que puede ser estacionario o ascendente o
descendente como se indica en la fig.3
Fig. 3 Tendencias ascendente, estacionaria y descendente
También son posibles algunas formas para la tendencia, que no
necesariamente tiene una distribución de puntos en forma aproximadamente lineal
sino como las que se muestran en la fig. 4
FIG.4 LÍNEAS DE TENDENCIA DE OTRAS POSIBLES FORMAS.
VARIACIONES ESTACIONALES .
Se habla de este tipo de variaciones usualmente cuando el comportamiento de
la variable en el tiempo de un periodo está relacionado con la época o un periodo
particular, por lo general en el espacio cronológico presente.
FIG. 5 VARIACIONES ESTACIONALES
VARIACIONES CÍCLICAS: Se llama así a las oscilaciones a lo largo de una
tendencia con un periodo superior al año. El ciclo sugiere la idea de que este tipo
de movimiento se repite cada cierto periodo con característica parecida. Los
ejemplos más frecuentes se encuentran en el campo de las variables económicas,
en estos casos se deben principalmente a la alternancia de las etapas de
prosperidad y depresión en la actividad económica.
VARIACIONES RESIDUALES: Cuando a parecen hechos imprevistos,
repentinos que afecten las variables en estudio acotando que no podemos prever
nos hallamos frente a variaciones residuales provocadas por factores externas
aleatorios. Por ejemplo un día lluvioso y frio durante los veranos es difícil de
predecir y aunque perturbaría ciertas actividades diarias como la venta de helados
no afectaría en este caso significativamente la serie.
ANALISIS DE LA TENDENCIA:
En la práctica es difícil distinguir la tendencia del comportamiento cíclico. Por
ejemplo la gráfica puede conducirnos a concluir que existe una tendencia
ascendente en la parte de 1980 a 1982, pero esto es una parte de la serie de
tiempo más grande.
Fig., 6 Tendencias decrecientes, crecientes entre periodos de tiempo
MÉTODO GRÁFICO :
Mediante este método muy elemental se determina la tendencia a partir de una
representación grafica de la serie.la aplicación de este método es como sigue
Se representa gráficamente la serie cronológica
Se unen los extremos superiores de la serie, se hace los mismo con los inferiores
Se obtiene dos líneas que encierran a la serie original
Uniendo los puntos medios de las distancias entre las dos líneas o curvas se
obtiene la tendencia. La línea o curva de tendencia obtenida tendrá un trazad
mucho más suave que la serie original.
Fig. 7 Representación tendencia estacionaria
MÉTODO DE LAS MEDIAS MÓVILES :
Para este método se deben de considerar los siguientes pasos que se detallan
Observar con detenimiento la serie para determinar aproximadamente la
fluctuación con periodo más largo y llamamos q al número de observaciones
que forman una oscilación compleja.
Se procede a calcular una serie de medias. La primera de ellas se calcula
partir de las que primeras observaciones de la serie pero eliminado la primera
observación y añadiendo al inmediata posterior. Se prosigue así hasta calcular la
media de la última q observaciones.
Cada una de las medias obtenidas en el paso anterior se asigna al instante o
momento dentro del perios temporal que promedian.
Uniendo las medias se obtiene la tendencia.
APLICACIÓN:
Caso 1: Producción de Motocicletas en una empresa japonesa, periodo 1974 -
1990
En la siguiente tabla se tiene la producción de motocicletas de una empresa (en
millones de motos) en un periodo de 17 años que se muestra en la tabla Nº 1
TABLA Nº1
Venta de Motocicletas en un periodo de 17 años
(Producción en millones de motocicletas)
Años Producción Años Producción Años Producción
1974 2.1 1980 2.2 1986 2.1
1975 1.9 1981 2.0 1987 1.9
1976 1.7 1982 1.8 1988 1.5
1977 1.5 1983 1.7 1989 1.4
1978 1.6 1984 1.9 1990 2.5
1979 2.0 1985 2.4 ---- -----
Se traslada los datos a Microsoft Excel, ordenados en dos columnas, luego se
realiza la gráfica de los datos.
Se obtiene la gráfica mostrada en la fig.8
Fig. 8 Representación de la serie de tiempo para las motocicletas por año
En la grafica se observa que los años donde se registra mayor producción son
1974, 1980, 1985,1990
Entonces podemos tomar cada cinco años como la cantidad de años para la
cual la empresa realiza su mayor producción.
Sin embargo es conveniente encontrar una linea de tendencia tal que se pueda
hallar una ecuación ajustada para los pronósticos de la producción en el tiempo.
Utilizando el método de la media móvil
Se construye una nueva tabla con las medias móviles
Esto es para suavizar la distribución de puntos:
Hallando la línea de tendencia: En Microsoft Excel, la línea de tendencia para la
curva suavizada se obtiene fácilmente y se nuestra en la fig 10
Fig. 10. Línea de tendencia con R2 = 0.4169
El coeficiente de determinación es muy pequeño por lo que no se puede
asegurar categóricamente que la ecuación lineal hallada es la que pronostica la
producción en los años posteriores. Será necesario realizar un segundo arreglo
con medias móviles
El problema ahora es que el periodo donde alcanza la mayor producción es un
número par de años, por lo que se hace difícil en la tabla hallar el año central,
realizando el promedio de Toda la Producción vs Año:
Fig. 9 Serie original y serie suavizada por los promedios móviles
Fig.11 Suavizando la línea de tendencia por segunda vez
La fig. 11 muestra la segunda suavizada de la línea de tendencia, no ha
variado mucho con respecto a la primera,.
Caso 2: Temperatura en Lima – Aeropuerto Internacional Jorge Chávez, periodo
2000- 2004
En la ciudad de Lima (Perú) el el Aeropuerto Internacional Jorge Chávez, las
temperaturas registradas durante los años 2000, 2001, 2002, 2003, 2004
consideramos en este caso solo los primeros cuatro meses de cada año, las
temperaturas registradas por cada mes promediados son las que se muestran en
la tabla Nº1
TABLA Nº 2
Temperaturas de Lima – Aeropuerto Internacional Jorge Chávez ( Lima –Perú)
2000 – 2004
2000
T ( º C )
2001
T ( º C )
2002
T ( º C )
2003
T ( º C )
2004
T ( º C )
Enero 21.835 21.694 21.132 22.257 20.443
Febrero 21.835 23.070 22.654 23.286 22.959
Marzo 21.113 22.181 22.654 22.053 21.887
Abril 21.113 20.440 21.270 19.340 20.443
Representación gráfica: Primero se organizan los datos de manera conveniente
en la hoja de cálculo Excel, Se obtiene la siguiente representación de los datos
IMPORTANCIA DE SU ESTUDIO:
Las series de tiempo hacen referencia, la mayor parte de las veces, a
fenómenos económicos, dando esto una primera idea de la importancia de su
estudio.
Una de las principales tareas que afronta un empresario, funcionario o un
investigador es el planeamiento futuro. Esta tarea es sumamente difícil pues se
trabaja en un terreno donde se corren muchos riesgos. Sin embargo, si se desea
progresar social, económica, comercial y aún científicamente es necesario que
alguien tome la responsabilidad de adelantarse al futuro y hacer predicciones con
respecto a la actividad futura.
Si pensamos en estas predicciones futuras vemos que las mismas deben basarse
en el pasado, o sea que conviene siempre analizar la experiencia del pasado y lo
que ocurre en el presente, para hacer un esfuerzo y predecir lo que puede suceder
en un futuro incierto.
Un empresario, sociólogo, demógrafo, o economista, entonces debe evaluar el
pasado, analizar la información estadística del mismo para lograr un conocimiento
del fenómeno que luego le permita proyectarse hacia el futuro. Ahora bien, toda
esa información estadística se va recogiendo en sucesivos instantes de tiempo o
sea que su estudio no es más que el estudio de una serie de tiempo.
En este caso sólo veremos los fundamentos del análisis clásico desde el punto de
vista descriptivo; en los últimos años se han hecho progresos importantes en la
aplicación de teorías más avanzadas a los problemas de diagnóstico y previsión.
En resumen el propósito del análisis de una serie de tiempo es efectuar en base a
datos empíricos o históricos, una predicción, cuando más no sea aproximada
acerca del desarrollo futuro del problema considerado. Esta operación llamada "
predicción estadística” se ha convertido en los últimos tiempos en la base de la
planificación.
Anexos EJEMPLO DE SERIES DE TIEMPO
El gráfico que se encuentra arriba representa, como dos series de
tiempo agregadas mensualmente, la actividad de búsqueda en la red en Estados
Unidos de dos expresiones:
Pronóstico de series de tiempo
El pronóstico de las series de tiempo significa que extendemos los valores
históricos al futuro, donde aún no hay mediciones disponibles. El pronóstico se
realiza generalmente para optimizar áreas como los niveles de inventario, la
capacidad de producción o los niveles de personal.
Existen dos variables estructurales principales que definen un pronóstico de serie
de tiempo:
El período, que representa el nivel de agregación. Los períodos más comunes son
meses, semanas y días en la cadena de suministro (para la optimización del
inventario). Los centros de atención telefónica utilizan períodos de cuartos de hora
(para la optimización del personal).
El horizonte, que representa la cantidad de períodos por adelantado que deben
ser pronosticados. En la cadena de suministro, el horizonte es generalmente igual
o mayor que el tiempo de entrega.
Luego, existen algunas sutilezas relacionadas con la definición del período mismo,
principalmente debido a irregularidades del calendario. Por ejemplo, uno puede
decidir que la agregación mensual comienza el día N de cada mes (en lugar del
1.º), pero si N es mayor que 28, causa problemas porque no todos los meses
tienen más de 28 días.
La solución de Lokad: ofrecemos pronóstico de series de tiempo como un servicio.
Existen diferentes métodos para el pronóstico de las series de tiempo; Lokad
utiliza métodos puramente estadísticos. Visite nuestra página sobre la tecnología
de pronóstico para más información.
EJEMPLO PRÁCTICO:
Se tiene un destino turístico que durante los últimos años ha presentado la
siguiente cantidad de visitantes:
Año
X
Turistas
(miles)
Y
1999 21.7
2000 27.2
2001 38.6
2002 54.1
2003 66.3
2004 74.7
2005 82.0
2006 94.4
2007 100.2
2008 107.2
El gráfico nos permite apreciar que hay una clara tendencia lineal
A. PROYECCION LINEAL
CONCEPTO
Técnica de proyección y ajuste de una variable Y (desconocida) a partir de una
variable conocida (X) que en este caso es el tiempo (variable independiente).
FORMULAS
Formula general:
Donde:
a : intercepto
b : coeficiente parcial de regresión
Y : variable independiente ( tiempo) X : variable dependiente
Cálculo de los coeficientes parciales de regresión:
Cálculo del coeficiente de determinación- R2
Es una medida de resumen, nos dice que tan exactamente la línea de regresión
muestra se ajusta a los datos. Es un valor positivo que oscila entre 0 y 1 (el tiempo
no tiene nada que ver con la variable en estudio)
El cuadro para trabajar la proyección es el siguiente:
X Y XY X² Y²
1 21.7 21.7 1 470.89
2 27.2 54.4 4 739.84
3 38.6 115.8 9 1489.96
4 54.1 216.4 16 2926.81
5 66.3 331.5 25 4395.69
6 74.7 448.2 36 5580.09
7 82 574 49 6724
8 94.4 755.2 64 8911.36
9 100.2 901.8 81 10040.0
4
10 107.2 1072 100 11491.8
4
55 666.4 4491 385 52770.5
2
Encontrando a y b (n=10)
Encontrando el valor de b :
La ecuación de la recta es la siguiente:
Y = 11.5867 + 10.0097 x X
Si queremos proyectar las ventas para el período 11 tendríamos:
Y = 11.5867 + 10.0097 x 11
Y = 121.69
El coeficiente de Determinación – R2, se obtiene de la siguiente manera :
La proyección muestra que la cantidad de turistas que acude al destino turístico
tiene una tendencia lineal pues las variable tiene un elevado coeficiente d
determinación.
B. PROYECCION EXPONENCIAL
Es un método de proyección apropiado en el caso de que la serie de tiempo
describe datos que crecen o decrecen en proporción constante a lo largo del
tiempo. Ejemplo ventas de un producto, crecimiento de una población o demanda,
propagación de una enfermedad entre otros.
Su expresión matemática es:
Esta modalidad depende de los valores de a y b :
Si b tiene un valor comprendido entre 0 y 1 entonces el valor de Y decrecerá al
crecer X
Si b es mayor que 1 , Y crecerá con X .
El valor de a corresponde a la ordenada al origen
FORMULAS
Formula general:
Si se toman logaritmos a ambos miembros de la ecuación se puede transformar
en una relación lineal:
LogY = Log ( a . bX)
Donde:
LogY = Log a + X Log b
a : intercepto
b : coeficiente parcial de regresión
Y : variable independiente ( tiempo) X : variable dependiente
Cálculo de los coeficientes parciales:
Ejemplo:
Se tienen los siguientes datos:
X Y
1 28.00
2 28.30
3 28.90
4 30.10
5 32.10
6 34.50
7 39.80
8 43.90
9 51.10
10 59.70
55 376.4
Vemos que la tendencia lineal sólo cruza a los datos reales en dos puntos. Por
tanto usar la proyección lineal no va ser una buena decisión. En este caso vamos
a utilizar la proyección exponencial.
TABLA DE DATOS
X Y Log Y Log X X.LogY X² (LogY)²
1 28.00 1.4472 0.0000 1.4472 1 2.0943
2 28.30 1.4518 0.3010 2.9036 4 2.1077
3 28.90 1.4609 0.4771 4.3827 9 2.1342
4 30.10 1.4786 0.6021 5.9143 16 2.1862
5 32.10 1.5065 0.6990 7.5325 25 2.2696
6 34.50 1.5378 0.7782 9.2269 36 2.3649
7 39.80 1.5999 0.8451 11.1992 49 2.5596
8 43.90 1.6425 0.9031 13.1397 64 2.6977
9 51.10 1.7084 0.9542 15.3758 81 2.9187
10 59.70 1.7760 1.0000 17.7597 100 3.1541
55 376.4 15.6095 6.5598 88.8816 385 24.4869
Reemplazando: ( n=10)
La ecuación sería:
Y = 22.8552 x 1.0882X
La proyección para el período 11 sería:
Y = 22.8552 x1.088211
Y = 57.91
C. AJUSTE A LA TENDENCIA
Con frecuencia se tiene una serie estadística que tiene un patrón estacional, es
decir un conjunto de datos secundarios que se repiten con cierta frecuencia en
una serie de años. Esto es frecuente por ejemplo en las cifras de negocios que
tienen temporadas en las que las ventas aumentan y disminuyen (ciclo de
negocios), como las ventas de útiles escolares, los productos veraniegos o las
temporadas en el negocio turístico.
Como ejemplo observamos la siguiente serie de datos:
¿Cómo se trabajan estos datos?
1º Se calculan los promedios de cada año
2º Se obtienen los índices desestacionalizados - ID
3º Se obtiene la demanda desestacionalizada - DD
La línea de tendencia lineal se obtiene de la columna de demanda
desestacionalizada – DD y obtenemos la siguiente ecuación:
Y = 4.5424 + 0.2332 X
4º Se proyectan, con esta ecuación, los datos del año 4
5º Se ajusta la demanda proyectada usando los índices desestacionalizados vistos
en el punto 2º:
Estos serían los valores de la demanda estimados para el año 4 y respetan la
tendencia histórica al aumentar los años el promedio por año aumentara.
CONCLUSIONES:
La serie de tiempo: Es un conjunto de datos numéricos que se obtienen en
periodos regulares a través del tiempo, las series temporales pueden servir para
predecir acontecimientos futuros en base a ciertos comportamientos de
determinadas variables.
El objetivo del análisis de una serie de tiempo es el conocimiento de su patrón
de comportamiento, para así poder prever su evolución en el futuro cercano, un
método que pueden utilizar los encargados de tomar las decisiones actuales y en
la planeación de futuras necesidades (mediante el pronóstico de acontecimientos
probables en inversiones, ventas, materia prima, mano de obra, etc.) consiste en
un análisis de series de tiempo
Si tenemos más observaciones que se puedan promediar, que es el orden de l Se
habla de este tipo de variaciones usualmente cuando el comportamiento de la
variable en el tiempo de un periodo está relacionado con la época o un periodo
particular, por lo general en el espacio cronológico presente.
Con el procedimiento de medias móviles siempre es posible elegir el número de
observaciones que se deben tomar para el promedio, esto no siempre es fácil,
esto da el periodo de oscilación, Los cuatro factores que se consideran en una
serie de tiempo son:
Tendencia a largo plazo, Variación o efecto estacional, Variación o efecto cíclico y
Variación o efecto irregular. La tendencia es un movimiento de larga duración que
muestra la evolución general de la serie en el tiempo
Variaciones Estacionales: este tipo de variaciones usualmente cuando el
comportamiento de la variable en el tiempo de un periodo está relacionado con la
época o un periodo particular, por lo general en el espacio cronológico presente.