Departamento de Estadstica y Matemtica Documento de Trabajo N 7 Facultad de Ciencias Econmicas Universidad Nacional de Crdoba Notas de Optimizacin Dinmica:Clculo de Variaciones. Aplicaciones en Economa Jorge Mauricio Oviedo 1 Resumen:Elpresenteescritotieneporfinalidadproveeral estudiantedepregradodeunmaterialaccesibleaestosMtodos cuantitativos de uso creciente en la Teora Econmica. Se provee de una claro anlisis que introduce al lector en tpicos de Optimizacin Dinmicadeunamaneramotivanteysebrindauntratamiento exhaustivodetcnicasderesolucin.Sibienenfoqueesdefcil accesoparaellectornosepierdeporellorigormatemtico. AplicacionesalaTeoraEconmicasonincorporadas adicionalmente 1 joviedo@eco.unc.edu.ar Palabras clave: Ecuaciones Diferenciales, Calculo de Variaciones, Control ptimo, Optimizacin, Ecuacin de Euler, Condiciones de Transversalidad. 1.- Motivacin A lo largo de la vida uno aprende a valorar la utilidad de realizar planes para el futuro. Las decisiones presentes afectan las posibilidades de eleccin futura haciendo que ciertas oportunidades estn o no dentro del rango de eleccin ms adelante. De esta manera las elecciones presentes afectan nuestro bienestar a los largo de todo ese horizonte de planeacin.Sin embargo, la cuestin clave que emerge de esta reflexin es la interdependencia de las decisiones presentes y futuras. De no ser as, el problema planeacin a lo largo del tiempo es trivial en el sentido que todo lo que uno necesita hacer es elegir lo mejor en cada instante del tiempo sin importar las repercusiones de tal decisin en el futuro. Transcribiendo estas ideas de una manera algebraica podemos decir lo siguiente: En un problema de optimizacin esttica el objetivo es hallar el valor de una variable que maximice una cierta funcin, es decir: (a)max ( )xF x si dicha funcin es continuamente diferenciable se verificar que F(x*)=0donde x* es un valor que maximiza F. Una generalizacin hacia un problema de mltiples periodos discretos involucra la eleccin de ciertas cantidades xt (b) 1max ( , )tntxiF t x= Siguiendo con el supuesto de que F es continuamente diferenciable se tendrn las siguientes condiciones necesarias de primer orden: 1212(1, ) 0(2, ) 0( , ) 0Nxxx NF xF xF N x===M De donde emerge claramente que dicho sistema de ecuaciones no denota ningn tipo de interdependencias por lo que cada ecuacin puede ser resuelta independientemente de las dems. De esta manera, el problema es trivial y no marca ningn tipo de dinmica en la eleccin de las variables. Obsrvese como stas reglas algebraicas coinciden con las reflexiones hechas en prrafos anteriores. El problema se transforma verdaderamente dinmico cuando las decisiones presentes no solo afectan este instante si no tambin el futuro venidero. Algebraicamente sera el caso de:

11{ }1max ( , , )Nt tnt txiF t x x== (c) luego las condiciones de primer orden sern: 1 12 21 11 0 2 12 1 3 21 2 11(1, , ) (2, , ) 0(2, , ) (3, , ) 0( 1, , ) ( , , ) 0( , , ) 0N NNx xx xx N N x N Nx N NF x x F x xF x x F x xF t x x F t x xF N x x + =+ = + ==M Ntese como el valor de x0 debe ser fijado de antemano par determinar el valor de x1. Se aprecia con nitidez la interdependencia del sistema periodo a periodo. Las variables no pueden elegirse independientemente una de otras.Estamos pues frente a un problema de optimizacin dinmico. Para generalizar los problemas (c) y (d) al caso de horizonte de planeacin contino se deben hacer algunas consideraciones previas: Primero tngase presente que el anlogo continuo a la sumatoria es una integral y en segundo lugar que la solucin ptima ser una funcin continua de t, x(t), en reemplazo de la secuencia de valores anterior:1( )00( ( ), )sujetoa (0)ttMax F t t dt=xxx x Al igual que en (c) el mismo resulta ser no dinmico dado que el integrando solo depende de las elecciones contemporneas de x. Para lograr el equivalente dinmico de un problema en horizonte temporal continuo, se debe hacer aparecer una derivada de la variable de eleccin en el integrando. Dicho dependencia de la tasa de crecimiento es el puente que comunica ntertemporalmente las decisiones tomadas transmitiendo as dinmica al sistema continuo. 1( )00( ( ), ( ), )sujetoa (0)ttMax F t t t dt=xx x'x x Las condiciones necesarias para resolver esta clase de problemas se brindarn en las prximas secciones. 2.- Ecuacin de Euler Comencemos por tratar el ms sencillo de los casos de Optimizacin dinmica. Para ellos consideremos primero el siguiente problema: 10( )0 0 1( ( ), ( ), )sujetoa ( ) , ( )tttMax F t t t dtt t1= =xx x'x x x x

(1) Es decir se pretende hallar una funcin x(t) de modo tal que la integral del Funcional F(.) sea mxima sujeto a las condiciones iniciales y terminales fijadas, x0 y x1 . Cualquier funcin x(t) continuamente diferenciable en [t0, t1] que satisfaga las condiciones iniciales y terminales se dice una funcin admisible .2Se asume que F es continua en sus tres argumentos y tiene derivadas parciales continuas con respecto a x y a x. Para esbozar una demostracin de las condiciones necesarias que una funcin debe satisfacer para resolver ste problema, seguiremos ste plan: a)Con el objetivo de transformar esta optimizacin funcional en una optimizacin de variable comn, se tratar de condensar todo el espacio de funciones admisibles en el espacio de una variable (R) de modo tal que en un determinado valor de la variable se alcance el ptimo. b)En base a las condiciones necesarias para optimizar funciones de una variable se lograr desenmascarar ciertas condiciones para la optimizacin de funcionales como en el problema planteado Para llevar a cabo esta idea, se parte de la idea que existe una funcin x*(t) admisible que resuelve el problema en cuestin. A esta funcin le podemos llamar el camino o la trayectoria ptima en el sentido que maximiza la integral. En base a sta funcin se procede a considerar una funcin arbitraria h(t), llamada funcin perturbacin, con la siguiente propiedad: h(t0)= h(t1)=0(2) Dicho pedido se efecta con el fin de que la siguiente funcin perturbada sea admisible: y(t) = x*(t) + a h(t)(3) para cualquier constante a. De sta forma y(t) cumple con las condiciones de admisibilidad gracias a (2). Ntese que cualquier funcin que satisfaga (2) tiene derecho a ser considerada funcin perturbacin. Tal arbitrariedad en la definicin de h(t) cobrar vital importancia ms adelante queriendo destacar con esto que tal arbitrariedad no es meramente caprichosa. 2 (El caso de mnimo puede ser tratado como el problema de maximizar la integral de F(.) En base a stas definiciones podemos ahora construir la siguiente funcin: 1010( ) ( ( ), ( ), )( *( ) ( ), *'( ) '( ), )ttttg a F y t y t t dtF x t ah t x t ah t t dt== + +' la cual slo depende de a. En consecuencia se puede hallar el valor de a que hace resuelve (1) siguiendo las reglas usuales de la optimizacin de funciones de una variable. Ahora bien, dado que las definiciones de x*(t), h(t) y a se han hecho con la intencin de que (1) se maximice en a=0, se sabe por las condiciones necesarias de primer orden que: g(a) = 0 (4) debe verificarse para a = 0. Con esto se pueden ahora destilar las condiciones que deben cumplirse para que (1) se maximice pues hay que deducir las relaciones que deben verificarse entre F y sus argumentos para que g(a) = 0 teniendo en cuanta la arbitrariedad de h(t).En otras palabras, debemos deducir que relacin debe observarse para que (4) evaluado en a=0 se cumpla para cualquier funcin de perturbacin admisible h(t). Procedamos ahora a computar g(a). Para computar tal derivada hay que tener en cuenta que estamos derivando bajo el signo integral, por ende se hace necesario utilizar la Regla de Leibnitz que dice lo siguiente: Regla de Leibnitz: sea f(x,r) una funcin continua con derivadas continuas en r y sean adems A(r) y B(r) funciones continuamente diferenciables. Si ( )( )( ) ( , )B rA rV r f x r dx = Entonces ( )( )( , )'( ) [ ( ), ] '( ) [ ( ), ] '( )B rA rf x rV r f B r r B r f A r r A r dxr = + Regresando a nuestro objetivo de calcular g y teniendo en cuenta que los extremos de integracin estn fijos, se tiene que: [ ] [10''( ) ( *( ) ( ), *'( ) '( ), ) ( ) ( *( ) ( ), *'( ) '( ), ) '( )tx xtg a F x t ah t x t ah t t h t F x t ah t x t ah t t h t dt = + + + + +]= Evaluando en a=0, ya que por construccin en dicho punto g es cero, se tiene que: (5) [ ] [ ]10''(0) ( *( ), *'( ), ) ( ) ( *( ), *'( ), ) '( ) 0tx xtg F x t x t t h t F x t x t t h t dt = + La expresin (5) haciendo uso de la regla de integracin por partes puede expresarme de manera ms sencilla por: [ ]10'( *( ), *'( ), ) ( *( ), *'( ), ) ( ) 0tx xtdF x t x t t F x t x t t h t dtdt = Dado que h(t) es una funcin de perturbacin admisible arbitraria la nica manera que dicha integral se anule es que el coeficiente que acompaa a h sea nulo para todo t en [t0,t1]. Es decir debe verificarse con carcter de necesario la siguiente relacin: [ ]'( *( ), *'( ), ) ( *( ), *'( ), ) 0x xdF x t x t t F x t x t tdt = La misma es una ecuacin diferencial de segundo orden, en general no lineal, denominada Ecuacin de Euler3. 3 En el caso de mltiples variables de eleccin la Ecuacin de Euler puede deducirse de manera similar definiendo mltiples funciones de perturbacin admisibles. El problema puede plantearse as: 10( )0 01 1[ ( )] ( ( ), ( ), )( )( )tttMax J t f t t t dttt===xx x x'x xx x donde: 1( ) ( ( ),..., ( ))nt x t x t = x1( ) ( ' ( ),..., ' ( ))nt x t x t = x' En tal caso la ecuacin de Euler puede escribirse como:( )f d fdt = 0x x' Ntese que el segundo trmino del lado izquierdo de la Ecuacin de Euler denota la derivada total de Fx. Expandiendo tal derivada se arriba a sta expresin alternativa a la condicin de Euler: ' ' '' ''x x x x x xF F x F x F't= + + donde las derivadas parciales estn evaluadas en (x(t), x(t), t). Se ve claramente que la misma es una ecuacin diferencial de segundo orden en x con coeficientes en general no lineales dados por las derivadas parciales de F. Dicha ecuacin suele ser difcil en general de resolver por medios analticos pero en la mayora de los casos se puede analizar el comportamiento de la solucin ptima de una manera cualitativa. De esta manera la ecuacin de Euler mas las condiciones iniciales-terminales permiten obtener una funcin que, en la medida que la condiciones de segundo orden se verifiquen, resolver (1). Las soluciones de la Ecuacin de Euler suelen denominarse extremales de (1) siendo esta denominacin el anlogo a los puntos estacionarios candidatos a ptimos en optimizacin de funciones de una variable. 2.- Condiciones de segundo orden: En problemas de optimizacin una funcin f(x) dos veces continuamente diferenciable en una simple variable sobre un intervalo abierto, es bien conocido que si x* maximiza f es necesario que f(x*)=0 y f(x*) 0. A su vez six* satisfacef(x*) = 0 y f(x*) < 0, entonces x* brinda un mximo local para f. De manera anloga, en los problemas variacionales como(1) se pueden deducir condiciones necesarias y suficientes para mximos locales de los funcionales. Regresando a (3) ( )10''(0) ' 0tx xtg F h F h dt = + = sta expresin es usualmente llamada primera variacin. El requerimiento que la misma sea cero cuando se la evala en el camino ptimo conduce a la ecuacin de Euler.En semejanza a la derivada segunda es posible obtener la variacin segunda de g de la siguiente manera: (102' '''(0) ' 'txx xx xt)g F h F hh F h dt = + + (6) Observando el integrando se deduce que el mismo es una forma cuadrtica en (x, x). Ahora bien, analizando (6) y teniendo en cuenta que si x(t) maximiza (1) se deducen las siguientes condiciones: Condicin Suficiente4: Si x*(t) satisface la Ecuacin de Euler y a su vez se verifica que F es cncavo en (x, x), entonces x*(t) es un mximo local del problema (1). Sin embargo esta condicin suficiente es demasiado fuerte y no siembre se cumple en la mayora de los problemas. Se tiene adems la siguente, Condicin Necesaria (Legendre)5: si x*(t) es un mximo local del problema (1), entonces de verifica que F evaluado en la solucin ptima es concavo en x 3.- Condiciones de Transversalidad En los apartados anteriores se consider el caso en que el estado inicial y terminal de la variable esta determinado y que el tiempo de finalizacin tambin estaba dado. En esta seccin se consideraran casos ms generales de tales condiciones terminales6: Caso 1.- Estado terminal de la variable de eleccin libre y tiempo terminal dado 10( )0 0( ( ), ( ), )sujetoa ( ) ,tttMax F t t t dtt =xx x'x x Deben verificarse las siguientes Condiciones Necesarias: a)Ecuacin de Euler b)Condicin de Legendre c)Fx = 0 en t1 final dado Caso 2.- Estado terminal de la variable de eleccin fijo y tiempo terminal libre 10( )0 0 1 1 1( ( ), ( ), )sujetoa ( ) , ( ) libretttMax F t t t dtt t y t = =xx x'x x x x Deben verificarse las siguientes Condiciones Necesarias: 4 Esto es as ya que es necesario que la segunda variacin sea negativa para toda funcin admisible h(t). 5 Para derivar dicha condicin deben efectuarse algunas manipulaciones en (6) y hacer uso de las condiciones de Euler y otros Lemas. Para mayores detalles de su deduccin vase Kamien y Schwartz [1981] 6 Las deducciones de tales alteraciones en el planteo inicial del problema (1) no se presentarn en este escrito. Para una deduccin detallada de las mismas vase Kamien y Schwartz [1981] a)Ecuacin de Euler b)Condicin de Legendre c)F x Fx = 0 en t1 final dado Caso 3.- Estado terminal de la variable de eleccin y tiempo terminal (ambos) libres 10( )0 0 1( ( ), ( ), )sujeto a ( ) , libretttMax F t t t dtt y t =xx x'x x Deben verificarse las siguientes Condiciones Necesarias: a)Ecuacin de Euler b)Condicin de Legendre c)F = 0 en t1 finald)Fx = 0 en t1 final Caso 4.- Estado terminal de la variable de eleccin y tiempo terminal relacionados por una funcin R. 7

10( )0 01 1( ( ), ( ), )sujetoa ( ) ,( )tttMax F t t t dttR t x==xx x'x x Deben verificarse las siguientes Condiciones Necesarias: a)Ecuacin de Euler b)Condicin de Legendre c)F + (R-x) Fx = 0 en t1 Caso 5.- Restricciones de desigualdad en las condiciones terminales 7 Ntese que ste caso ni el tiempo terminal ni la variable de eleccin son completamente libres ni completamente fijos. Un cambio en uno de ellos debe ser acompaado en un cambio en el otro acorde a R 10( )0 0 1 11( ( ), ( ), )sujetoa ( ) , ( )tttMax F t t t dtt tt Ta = = xx x'x x x x Deben verificarse las siguientes Condiciones Necesarias: d)Ecuacin de Euler e)Condicin de Legendre f)T t1 , F-x Fx , (T - t1 )( F x Fx ) = 0 en t1 g)x1 a , Fx( t1 ) 0 , (x1 - a) Fx(t1 ) = 0 4.- Horizonte infinito de planeacin8Este nuevo problema puede formularse como: 0( )0 0[ ( )] ( ( ), ( ), )( )ttMax J t F t t t dtt==xx x x'x x siendo: 1( ) ( ( ),..., ( ))nt x t x t = x1( ) ( ' ( ),..., ' ( ))nt x t x t = x' En donde ahora se trata de una integral impropia pues uno de sus lmites es infinito. Como primer requisito se necesita que la misma sea convergente9. Para abordar este problema se recurre de nuevo a la ecuacin de Euler junto a las condiciones iniciales y las siguientes condiciones de Transversalidad de acuerdo al tipo de finalizacin establecido: 'lim( ' ) 0ii xtF x F = ;( 1,..., ) i n = sta condicin de Transversalidad es necesaria independiente del tipo de finalizacin planteado. A su vez hay que aadir una condicin de Transversalidad adicional dependiendo del tipo de finalizacin del problema. As se tendr que agregar: 8 Para lograr mayor generalidad expositiva se procede a tratar el caso de mltiples funciones de eleccin. Al igual que en el apartado anterior se omiten las deducciones de las misma. Para el lector interesado en los detalles de las mismas puede consultar Alpha Chiang [1992] 9 La necesidad de la convergencia de la integral obedece al hecho de que si no esto no sucediere pudieran existir demasiadas funciones candidatas a ptimo y decidir sobre ellas suele ser una tarea ardua y difcil lim ( )tt= x aen caso que el problema determine un valor fijo estable de la variable x(t) Alternativamente si se permitiese a la variablevariar libremente en el lmite a infinito se requerir agregar esta nueva condicin de Transversalidad: ( ) t x 'lim 0ixtF= ;( 1,..., ) i n = Por ltimo, en el caso de que las variables estuviesen sujetas a un valor mnimo asinttico la condicin ser: ' ' minlim 0 lim [ ( ) ] 0 ( 1,... )j jx x j jt tF F x t x j n = = 5.- Restricciones En esta ampliacin del problema el interrogante es hallar un conjunto de trayectorias que optimicen una integral definida (propia o impropia) sujeto a la condicin de que cumpla con un conjunto de restricciones y relaciones entre las variables que deben ser satisfechas a lo largo de todo el horizonte de planeacin. Existen diversos tipos de restricciones: Restricciones Diferenciales de Igualdad Formalmente el problema general puede plantearse como sigue: 10( )0 01 1[ ( )] ( ( ), ( ), )( )( )( ( ), ( ), )tttMax J t f t t t dtttt t t====xx x x'x xx xg x x' b dondees un vector columna dado de r funciones independientes ( ) g L10 y consistentes y un vector de constantes que igualados constituyenun conjunto de r ecuaciones diferenciales. En el caso de que no dependa explcitamente de las derivadas se tratar de un conjunto de ecuaciones simples. Para que el problema sea factible se requiere que (el nmero de estricciones debe ser estrictamente menor que el nmero de variables b( ) g Lr n < 10 La independencia funcional de estas ecuaciones puede verificarse con la siguiente condicin necesaria y suficiente: 1 21 2( , , ..., )0( ' , ' , ..., ' )rrg g gx x xpara al menos un conjunto de r variables x del total n ya que si son iguales el campo de eleccin de las variables a la hora de optimizar la integral se restringe nicamente a un punto n-dimensional11 dado por la solucin del sistema ( ) = g b L . Para resolver este problema se recurre nuevamente a la ecuacin de Euler pero esta vez aplicada a un nuevo funcional. Para ello se definen previamente r multiplicadores de Lagrange: 1 2( ( ), ( ),...; ( ))ry t y t y t = y Donde el nuevo funcional12 es ahora: ( , , , ) ( , , ) [ ( , , )] L t f t t = + x x' y x x' y b g x x' Lo que lleva a la ecuacin de Euler: ( )L d Ldt = 0x x' El cual es un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias con n + r funciones incgnitas que junto a las otras r ecuaciones diferenciales dadas por las r restricciones y las condiciones de contorno (iniciales y terminales) permiten hallar explcitamente la solucin del problema.Si adems se establecen condiciones de transversalidad ante la ausencia de valores terminales fijos, los mismos sern reemplazados por los siguientes requerimientos de acuerdo a los distintos casos: a)1[ ]t tL= =x'0b)('[ ]ii yL y L 0 = 1,..., ) i n =c) 1'[ ( ' ' ) ]i y t tL T y L= ( 1,..., ) i n = Restricciones Diferenciales de Desigualdad En el caso que las restricciones sean de desigualdad el problema se transforma en 10( )0 01 1[ ( )] ( ( ), ( ), )( )( )( ( ), ( ), )tttMax J t f t t t dtttt t t===xx x x'x xx xg x x' b 11 Punto n-dimensional cuyas componentes son funciones 12 Este nuevo funcional suele denominarse funcin de Euler-Lagrange y la solucin del mismo deber satisfacer: ( )( , , , )L d Ldtt = 0x x'g x x' y b junto a [ ( , , )] t0 =y 0y b g x x' Restricciones Isoperimtricas El ltimo tipo de restricciones que se pueden considerar son las llamadas restricciones de permetro. Este tipo de requerimientos surgen en problemas donde el objetivo es hallar una curva que encierre la mayor superficie posible sujeto a que el permetro de tal curva es fijo. Analticamente el problema sera: 1010( )0 01 1[ ( )] ( ( ), ( ), )( )( )( ( ), ( ), )tt tttMax J t f t t t dtttt t t dt===xx x x'x xx xg x x' b para abordar este tipo de problemas se procede a utilizar un multiplicador d elagrange y obtener este nuevo funcional: [ ]10( ( ), ( ), ) ( ( ), '( ), )ttf t t t G x t x t t d x x' t

a ste nuevo funcional se le aplica la ecuacin de Euler y mas la restriccin de isoperimetrase logra un sistema de ecuaciones del cual es posible hallar la solucin ptima de x(t) y (t)13 6.- Ejemplos y Aplicaciones Bsicamente en materia de ejemplos y aplicaciones del Clculo de Variaciones, podemos destacar dos tipos de los mismos: 13 Esto es posible en la medida que x(t) no sea una extremal para la restriccin integral G Ejercicios de carcter cuantitativo: que partiendo de datos explcitos en particular buscan resolver un problema concreto,determinado y especfico Ejercicios de carcter cualitativo: stos en base a datos generales en donde no se especifican ni se detallan los datos del problema de manera explicita si no simplemente se confieren ciertas caracteres generales, comunes a un amplio rango de problemas parecidos, buscan encontrar patrones de solucin comunes a todos ellos. En economa es ampliamente usado este tipo de aplicaciones en donde por ejemplo el investigador no persigue determinar la trayectoria ptima de consumo para un agente determinado que posee unas preferencias explicitas y particulares, si no que conociendo ciertas caractersticas en comn de todos los agentes, se trata de determinar los patrones de conducta comunes a todos ellos en su trayectoria ptima. Esto es de gran importancia pues simplemente con saber ciertas cualidades de las funciones de Utilidad o produccin de los agentes y firmas, es posible en muchos casos develar el esquema comn de comportamiento de los agentes sin necesidad de conocer con exactitud tales funciones. A continuacin mostramos ejemplos de cada una de sas clases de problemas: Ejemplo a Determinar la distancia mas corta entre un punto (a, A) y una lnea vertical (b, t) para todo t perteneciente a R, donde a, b y A son constantes conocidas Utilizando el teorema de Pitgoras para lograr as una aproximacin lineal de cualquier curva , tendremos: 2 2 1/ 2 2 1/ 2[( ) ( ) ] [1 '( ) ] ds dt dx x t = + = + Con lo que el problema se plantea de la siguiente manera 1/ 2( )min [1 '( )]ax tax t d +t Sujeto a x(a) = A x(b) = Libre Debido a que la integral F depende slo de x, la solucin de la ecuacin deEuler tiene la forma: x(t) = c1t+c2. Utilizando a su vez la condicin de transversalidad 0 )] ( 1 /[ 2 / 1 2= + = b x x Fx x(b)=0 as las constantes c1, c2 se determinan de la siguiente manera 2 1) ( c a c A a x + = = 10 ) ( c b x = = Luego X(t)=A, b t a Como se puede observar el camino optimo es una lnea recta horizontal, es importante notar que la condicin de Legendre es satisfecha dado que Fxx>0, siendo esta solucin un mnimo. Ejemplo b dt t x t txtt] )) ( ( ) ( [210+ Sujeta a X(t0)=X0 , X(t1)=X1 Donde t0, t1, X0 y X1 son parmetros dados. Escribimos F(t, x, x) = tx+x2ytomamos Fx=0 y' 2 'xF t x = + Siendo la condicin de Euler 0 / ) 2 ( / = + = dt x t d dt dFx Debido a que el lado derecho es cero , no necesitamos realizar la diferenciacin , ya que la derivada de una funcin igual a cero es una constante 2 ' t x k + = Para alguna constante k, luego separando las variables e integrando llegamos al siguiente resultado 4 / 2 / ) (21 2t t c c t x + = Las constantes de integracin deben satisfacer lo siguiente 4 / 2 / ) (4 / 2 / ) (21 1 1 2 1 120 0 1 2 0 0t t c c x t xt t c c x t x + = = + = = Aplicacin Econmica Un individuo busca la tasa de consumo ptima para cada momento del tiempo de modo tal que maximice su flujo descontado de Utilidad sobre un periodo de tiempo conocido de longitud T. La Utilidad del consumo U(C(t)) a cada momento del t es una funcin creciente y cncava conocida (utilidad marginal del consumo decreciente en el tiempo): U>0 y U 0 por hiptesis, la solucin optima es caracterizada por dC/dt>0 si y solo si i>r. La trayectoria de consumo ptima se incrementa si la tasa de ganancia del capital i excede la impaciencia del individuo r. Ntese como todas estas relaciones se verifican independientemente de la especificacin de la funcin de utilidad y dems parmetros constituyendo un patrn general de comportamiento sin considerar las preferencias de un individuo en particular. Si la funcin de U es especificada, por ejemplo U(C) = ln C, v(t)=0 para 0< t < T , y sea KT=0 . En este caso (VI) se transforma en:

C/C=i-r Integrando y substituyendo en (II): K-iK=-C= -C(0)t r ie) ( Multiplicando por, integrando, y usando las condiciones de contorno K(0)= Kite0 y K(T)=0 para encontrar las constantes de integracin, resulta: 01( ) (1 )1rtitrTeK t e Ke= Luego: ( )0( )1i r trTrK eK te= A lo largo de estos ejemplos se logra ver la diferencia entre resolver un ejercicio de manera explicita y de manera cualitativa como es de gran utilizacin en Economa BIBLIOGRAFA Bellman, Richard (1957): Dynamic Programing Princeton University Press. Princeton, New Jersey. Cerd Tena, Emilio (2001): Optimizacin Dinamica. Prentice Hall. Espaa. Alpha Chiang. "Elements of Dynamic Optimization", McGraw-Hill, 1992 Intriligator, Michael D (1971).Mathematical optimization and economic theory. Prentice-Hall. Morton I. Kamien and Nancy L. Schwartz, (1991),Dynamic Optimization: The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management, (2nd ed.) by North Holland: New York. Stokey, Nancy and Lucas, Robert (1987): Recursive Methods in Economic Dynamic Harvard University Press.