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Théorie des graphes et aide à la décision

Application aux problèmes d’ordonnancement

Formulation du problème

réel

Modèle Solution

Décision

Modélisation Mise en œuvre

Résolution

Abstrait

Réel

Environnement complexe

Points de vue

multiple

Les étapes du processus d’aide à la décision

CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

Flou

Formulation du problème réel

Modélisation

Analyser le contexte décisionnel, d’identifier les acteurs, les enjeux, les possibilités d’actions…

Définir les caractéristiques, les contraintes et les objectifs

Activités de structuration et de représentation du problème et identification des complexités objet et organisationnel de la situation

Représentation plus ou moins abstraite du problème réel

Il existe des classes de modèles standards : Programmation linéaire, Théorie des graphes…

CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

De la nécessité d’un modèleAffectation

a b c d

A 1 4 1 4

B 4 2 2 1

C 5 3 5 1

D 1 2 3 1

Voyageur de commerce

Paris 1 2 3 4

Paris 0 1 3 2 2

1 1 0 4 1 1

2 3 4 0 1 5

3 2 1 1 0 3

4 2 1 5 3 0

Quelques classes de modèles

Modèles descriptifs : modèles statistiques, quel est mon environnement ? Comment fonctionne un système ?

Modèles de simulation : Que se passe-t-il si ?.... On évalue les conséquences de différents actions envisagées( en nombre fini).

Modèles d’optimisation : On recherche la meilleure action possible par rapport à un certain critère.

CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

Résolution

Elaborer des recommandations à partir des résultats obtenus dans le cadre d’hypothèses de travail en utilisant des modèles formels (agrégation, …)

Solution réalisable : solution vérifiant les contraintes du modèle

Solution optimale : solution réalisable fournissant la meilleure valeur à la fonction économique

Méthodes de résolution :

- Algorithmes = méthode systématique constituée d’une série d’instructions

- Heuristiques = algorithme basé sur une idée de bon sens et fournissant une bonne solution

CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

La théorie des graphes

Algorithme de détection des circuits dans un graphe

Un sommet qui n’a pas de suivant ne peut pas faire partie d’un circuit

(0) : Représenter G par son dictionnaire des suivants (des précédents)

(1) : Chercher un sommet dont la liste des suivants (des précédents) est vide

(2) : S’il n’en existe pas Fin

(3) : Supprimer ce sommet partout ou il apparaît dans le dictionnaire et retour en (1)

A la fin :

- si tous les sommets sont supprimés alors il n’existe pas de circuit

- Sinon il existe au moins un circuit dans GCFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

La théorie des graphes

Algorithme de Bellman

Graphe sans circuit

(0) : Poser λ1 = 0

(1): Choisir xj non marqué dont tous les précédents sont marqués

Poser λj = Min (λj + vij) xi -1(xj)

(2) : Si l’extrémité terminale du chemin recherché est marquée (pb)

ou si tous les sommets sont marqués (pb) alors FIN

Sinon retour en (1)

CFA DESCARTES Méthodes Scientifiques de Gestion et Aide à la Décision

g

e

f

d

c

ba

B

C

D A e

f

d

c

ba

B

C

D A e

f

d

ba

B

C

D A

f

d

ba

B

C

D A

d

ba

B

C

D A

d

a B

C

D A

Les ponts de Koenigsberg(page 1)

Les ponts de Koenigsberg (2)brève de comptoir

Exemple page 3

Les ponts de Koenigsberg brève de comptoir (2)

Arcs Arêtes

Demi degrés entrant ou sortant

Chemin

Circuit

Arborescence

Fortement connexe

Successeurs, prédécesseurs Voisins

Degré

Cycle

Chaîne

Arbre

Connexe

Orienté Non orientéChapitre suivant

Graphe d’incompatibilité

sommetstâches

incompatibilités arêtes

couleurtâches réalisées simultanément

coloration minimumminimiser la durée totale

activité jour horaire activité jour horaire1 cours marketing lundi 8-10 h 9 formation Internet lundi 16-18 h2 cours info lundi 9-12 h 10 cours logistique lundi 16-19 h3 cours compta lundi 9-12 h 11 pot départ Marie mardi 8-10 h4 réunion admissions lundi 10-12 h 12 cours finance mardi 9-10 h 305 groupe de travail BULL lundi 11-13 h 30 13 cours th. décision mardi 10-12 h6 Excel, Access lundi 13-15 h 30 14 réunion PIE mardi 11-13 h7 cours droit des affaires lundi 14-16 h 15 soutenance de thèse mardi 14-16 h8 groupe de travail MS lundi 15-17 h 16 débat Les RV de l'Essec mardi 15-17 h

• Objectif : minimiser le nombre de salles nécessaires• Contraintes : incompatibilités d’horaires

graphe : sommets activités

arêtes chevauchements horaires

1

213 16

5

6

7

8

10

11

12

9 144

315

Construction d’emploi du temps Exemple suivant

(Page 20)

Affecter à chaque sommet une salle couleur

deux sommets de même couleur ne peuvent être adjacents

Le problème revient à colorer les sommets du graphe avec le moins de couleurs

problème de coloration des graphes

Conception d’un emploi du temps (2)

1

213 16

5

6

7

8

10

11

12

9 144

3 15

Tâches Désignation Durée (semaines) Tâches précédentes1 Fondations 10 –2 Fabrication RC 3 –3 Pose RC 2 1,24 Fabrication 1er et. 4 –5 Pose 1er et. 2 3,46 Plomberie 6 57 Électricité 6 58 Pose fenêtres 5 6,79 Pose Carreaux 1 8

10 Peinture 5 911 Jardin 15 8

Introduction à la gestion de projets

Exemple : construction d’un pavillon (page 43)

61 3

2

4

d 5

7

8

9 10

11

f

0

0

0

4

26 5 15

5

110

3

22

6

5

Introduction à la gestion de projets (2)le graphe potentiel-tâches

61 3

2

4

d 5

7

8

9 10

11

f

0

0

0

4

26 5 15

5

110

3

22

6

5

100

0

0

20

14

14

120

25

25

26

40

Excel

Introduction à la gestion de projets (3)calendrier au plus tôt

61 3

2

4

d 5

7

8

9 10

11

f

0

0

0

4

26 5 15

5

110

3

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6

5

100

0

0

20

14

14

120

25

25

26

40

10

8

0

720

14

14

120

34

25

35

40

Tâches critiques

Introduction à la gestion de projets (4)calendrier au plus tard

Introduction à la gestion de projets (5)marges

tâches Tôt(i) Tard40(i) MT40(i) MLTôt(i)d 0 0 0 01 0 7 0 02 0 7 7 73 10 10 0 04 0 8 8 85 12 12 0 06 14 14 0 07 14 14 0 08 20 20 0 09 25 34 9 0

10 26 35 9 911 25 25 0 0f 40 40 0 0

Marge totale : « OK, j ’ai pris une semaine de vacance, mais si vous décalez les peintres, le carreleur, et quelques autres, les délais pourront être tenus ! »

Marge libre : « Je prends mon temps, y ’a rien qui presse, … tant que je ne retarde personne d’autre »

Introduction à la gestion de projets (6)diagramme de Gantt

10 20 30 40

1187531

6 9 102

4

4

3 14 20 25 26 31

402520141210

Introduction à la gestion de projets diagramme de Gantt

10 20 30 40

1187531

6 9 102

4

4

3 14 20 25 26 31

402520141210