(otoño) geometria

UNIVERSIDAD NACIONALJORGE BASADRE GROHMANN

CENTRO PREUNIVERSITARIO

GEOMETRÍA Y

TRIGONOMETRÍA

Lic. WILDER MIÑANO LEÓNMSc. JAVIER LOZANO MARREROSLic. GILBERTO PLATERO ARRIATA

CEPU 2012

-I

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann CENTRO PREUNIVERSITARIO

Geometría y Trigonometría

TACNA - PERU

CEPU 2012

-I

Índice III


SEGUNDA EDICIÓN 2003

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

DERECHOS RESERVADOS – COPYRIGHT Centro Pre Universitario de la Universidad Nacional Jorge BasadreGrohmann – Tacna

Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, grabada en sistema de almacenamiento o trasmitida enforma alguna, ni por cualquier procedimiento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cualquierotro sin autorización previa y por escrito del Centro Preuniversitario

Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.

CEPU 2012

-I



CONTENIDO TEMÁTICO

PÁG.

GEOMETRÍA PLANASEGMENTOS Y ÁNGULOS 1TRIÁNGULOS 13POLÍGONOS y CUADRILÁTEROS 37CIRCUNFERENCIA 53PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA 68RELACIONES MÉTRICAS 85ÁREA DE REGIONES PLANAS 103GEOMETRÍA DEL ESPACIO 126POLIEDROS 130SÓLIDOS POLIÉDRICOS 132CUERPOS REDONDOS 137TRIGONOMETRÍA 152R. T. DE UN ÁNGULO AGUDO 155TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS 162RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 163BIBLIOGRAFÍA 185



CONTENIDO TEMÁTICO

PÁG.




CONTENIDO TEMÁTICO

PÁG.


CEPU 2012

-I

P

01SEGMENTOS Y ÁNGULOS

Introducción

El punto, la recta y el plano son ele-mentos fundamentales de la geometríaque no se definen, solo se pueden daridea acerca de su existencia.

Punto . A Notación: Punto A

Recta L

Notación: Recta L:

Plano Notación: PlanoP: P

Una figura geométrica es un conjuntode puntos que adopta una forma determinada, representando una línea, unasuperficie o un sólido.La geometría estudia las figuras geométricas según su forma, tamaño y lasrelaciones que existen entre sus partes. Se divide en dos partes:Geometría Plana yGeometría del Espacio.

La Geometría plana estudia las figuras planas, esto es, aquellas cuyos pun-tos están en un mismo plano.

La Geometría del espacio trata de las figuras cuyos puntos no están en unmismo plano.

EUCLIDES

Ilustración 1Euclides

CEPU 2012

-I

2 UNJBG - Centro Preuniversitario


SEGMENTO

Es una porción de la línea rectacomprendida entre dos puntos.

A BSegmento AB

Notación: Segmento AB: AB

Longitud de un segmento:Expresa el tamaño de un segmento yresulta de la comparación del seg-mento con otro que es tomado comounidad.Punto medio de un segmento:

Es aquel punto que pertenece alsegmento y que lo divide en dossegmentos parciales de igual longi-tud.

A M B

M es punto medio de AB:

MBAM

Se llama puntos colineales a aque-llos puntos que pertenecen a unamisma recta. Si se indica en unorden determinado, se dirá que sonconsecutivos.

Si sobre una recta L marcamos un

punto O, la recta es dividida en dospartes, a cada parte se le llamasemirrecta de origen O. La semi-rrecta no incluye al origen.

O AL

Semirrecta OA

Rayo: Se llama así cuando la semi-rrecta incluye al origen.

O AL

ÁNGULO

Es la abertura que forman dos ra-yos que tienen un mismo origen.

O

A

B

•

•

Elementos:Lados: OA y OBVértice: O

Notación: ∡AOB, ∡O,O

Medida del ángulo AOB :m∡AOB =

CEPU 2012

-I

Segmentos y Ángulos 3


0° < < 90°

Bisectriz de un ángulo:

Se llama bisectriz de un ángulo alrayo que partiendo de su vértice lodivide en dos partes iguales.

Clasificación de los ángulos:

Según su medida

Agudo: Es aquel ángulo cuyamedida es mayor que 0° menorque 90°.

Recto: Es aquel ángulo cuya me-dida es 90°

O

A

B

•

•

Obtuso: Es aquel ángulo cuyamedida es mayor que 90° peromenor que 180°.

Llano: Es aquel ángulo cuyamedida es 180°

Según sus características

Complementarios: Son dosángulos cuyas medidas suman90°

= 180°

+ = 90°

= 90° - C =

(C: complemento de )

= 90°

90° < < 180°

CEPU 2012

-I



Suplementarios: Son dos ángu-los cuyas medidas suman 180°

Adyacentes: Son dos ángulosque tienen el vértice y un ladocomún, el cual es Intermedio.

Consecutivos: Son dos o másángulos adyacentes.

Opuestos por el vértice: Son dosángulos determinados al trazardos rectas secantes, dichos An-gulo son iguales

Notas:

1.

2.

+ = 180°

= 180° - S =

( S: suplemento de )

m∡AOB = m∡POQ

180

CEPU 2012

-I



RECTAS PARALELAS:

Dos rectas que no se cruzan enningún punto del plano reciben elnombre de rectas paralelas. Si secortan, serán rectas secantes.

Notación: L1 // L2

Ángulos formados por dos rectasparalelas cortadas por una secante.

12

34

5 678 L2

L1

Ángulos alternos internos:m∡4 = m∡6 y m∡3 = m∡5

Ángulos alternos externos:m∡1 = m∡7 y m∡2 = m∡8

Ángulos correspondientes:m∡1 = m∡5, m∡4 = m∡8,m∡2 =m∡ 6 y m∡3 = m∡7

Ángulos conjugados internos:m∡4 + m∡5 = 180°m∡3 + m∡6 = 180°

Ángulos conjugados externos:m∡1 + m∡8 = 180°m∡2 + m∡7 =180°

Notas:a) Si L1 // L2

b) Si L1 // L2

360

x

CEPU 2012

-I



. Si L1 // L2

180

CEPU 2012

-I

Problemas Resueltos

01. Sobre una recta se toman lospuntos consecutivos A, B, C yD tal que CDAB = 14;

ACBD = 18. Hallar AD

A) 18 B) 19 C) 16 D) 17 E) 15

02. En el segmento AD , la longi-tud del segmento que une lospuntos medios de AB y CD es30. Si BD= 32. Hallar AC

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

03. Sobre una línea recta se tomanlos puntos colineales A, B, C yD de modo que

34AC2AD5BC , 1BC

y 4BD . Hallar AD .

A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 12

04. En una recta se ubican lospuntos consecutivos A, B, C, Dy E tal que: 2m80BEAD

calcule: BEAD si:

mCECDBCAC 18( BEAD )

A) 3m B) 2m C) 2.5m D) 3.5m E) 4m

05. La diferencia entre el suple-mento y el doble del comple-mento de un ángulo es igual ala mitad del suplemento delángulo. Hallar dicho ángulo.

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E)60°

06. (CEPU 98-I) L1, L2 y L3 sonparalelas. Hallar X

A) 20° B) 22° C) 30° D) 24° E) 18°

06. En la figura, calcular la razónaritmética entre x e y, cuando xtoma su mínimo valor entero.

x-y2x x+2y

A) 5° B) 10° C) 8° D) 15° E) 7°

08. Sea L1// L2 // L3. Calcular x, sia + b = 200°

b

a

X

L1

L2

L3

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90°

CEPU 2012

-I



09. L1 es paralela a L2.. Hallar x

A) 65° B) 66° C) 67° D) 68° E) 69°

10. En la figura, calcule xsi a + b = 270°

x

a2x b

A) 35° B) 30° C) 40° D) 45° E) 50°

Resoluciones01.

A C DBa cb

Del problema: a + c = 14También (b + c) + (a +b) = 18O bien, a + c + 2b = 18 14 + 2b = 18 b =2

Luego AD =a + b + c = 14 + 2 AD= 16

02.

A

M

C

N

DBa a c b b

30

Del problema: a + b + c = 30 b = 30 – a – cTambién 2b + c = 32 60 – 2a – 2c + c = 32Luego 2a + c = 28AC= 28

CEPU 2012

-I



03.

A C DBa 31

Del problema: 1 + 5(a + 4) – 2(a + 1) = 34Resolviendo: a = 4

AD= 9

04.

A B D ECa b c d

Piden: baBEAB Por condición: (a + b + c) (b + c + d) = 80Entonces (2a + 2b + 2c) (2b + 2c + 2d) = 320 ... Además (a + b) + b + c + c + d + =18Luego 2b + 2c = 18 – a – b ... Reemplazando en :(2a + 18 – a – d) (18 – a – d + 2d) = 320o bien 320ba18ba18

182 – (a – b)2 = 320Resolviendo: a – b = 2

AD - BE = 2

05.Sea x el ángulo pedido.

Del enunciado: ( 180° - x ) – 2( 90° - x ) =2

x180

Luego: x =2

x180

x = 60°

CEPU 2012

-I



06.

80°

X 120°L2

L3

60°

L1

07.Se pide x – yDel gráfico: 2x + (x – y) + (x + 2y) = 180°Entonces 4x + y = 180° y = 180°- 4xAdemás x + y > 0 x > y x > 180° - 4x 5x > 180°Luego x > 36°Por tanto x =37° y a consecuenciaY = 180° - 4(37°) = 32°

x - y = 5°

08.

2

x

b

aL3

L1

L2

Como: L2 || L3: = 60°También: L1 || L3: x + = 80°

x = 20°

Del gráfico: b + 2 = 180°También a + 2 = 180°Entonces a + b + 2 + 2 = 360°Pero a + b = 200° (por dato)Luego 200° + 2 + 2 = 360°O bien + = 80°Además L1 || L3 x = +

x = 80°

CEPU 2012

-I



09.

x

40°

L1

L2

x

90°-

10.

x

a2x

b

LL

180° - a180°-b

180

90

Se traza L || L. Luego - 90° + 180° - + 180° - b = x + 2x + 90°

450° - (a + b) = 3x + 90°Pero: a + b = 270°Entonces 450° - 270° = 3x + 90° x = 30°

En la figura: x = + También: x + = 90° - + 40°

40°

x

90°-

Luego: x + + = 130° 2x = 130°

x = 65°

CEPU 2012

-I



Problemas Propuestos

01. Se tienen los puntos consecuti-vos A ,B, C y D de modo que

BC,AB y CD están en progre-sión aritmética. Si 30AD .Hallar BC

A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20

02. ( UNJBG 2003 – I )Se tienen los puntos consecuti-vos A, B, C, D y E, de modoque:

CEBD45AC . SiBD5AE4 , Hallar AE

A) 18 B) 20 C) 22 D) 25 E) 30

03. AB y CD son paralelas. Hallarx

A B

C D2X40°

19°3X

46°

A) 20° B) 25° C) 30° D) 35° E) 40°

04. ( UNJBG 2003 – I )La suma de dos ángulos es120°. El suplemento del mayores igual al doble del comple-mento del menor. ¿Cuanto mideel ángulo menor?

A) 40° B) 45° C) 50° D) 60° E) 70°05. Calcule x, si L1 || L2 y L3 || L4

1L

4L

2L3L

x

3x

A) 44° B) 43° C) 45° D) 46° E) 48°

06. Según el gráfico, calculary

x

xy

A)2

1B)

3

2C)

4

1D)

5

7E)

7

3

07. (CEPU 99-II)

CEPU 2012

-I



L1 es paralela a L2.. Hallar x

A) 15° B) 18° C) 12° D) 16° E) 20°

08. Si L1// L2. Hallar x

23

A) 52° B) 62° C) 72° D) 82° E) 28°

09. En la figura m∡ABC = 60°,

m∡HBC - m∡ABH = 18°,MN // AC , DN BC . Calcular x

x

A

B

C

M N

H D

A) 28° B) 18° C) 45° D) 39° E) 60°10. ( UNJBG 2003 – I )

Si L1|| L2 , hallar x

44°

-44°

x

121°

L1

L2

A) 50° B) 55° C) 59° D) 60° E) 77°

CEPU 2012

-I

02TRIÁNGULOSUn triángulo es aquella figura geométrica formadapor tres puntos, llamados vértices, unidos por treslados. En la geometría plana euclídea, los ladosdeben ser segmentos rectilíneos, sin embargo enla geometría esférica, los lados son arcos de cir-cunferencias máximas. El término triángulo sepuede utilizar también para describir una figurageométrica con tres vértices cuyos lados son cur-vas cualesquiera. Aquí estudiaremos a los triángu-los de la geometría plana euclídea.

B

AC

c a

b

CLASIFICACIÓN

a) Según sus ángulos:

Acutángulo:

Los tres ángulos interiores son agudos.

Rectángulo: Un ángulo interior esrecto, los lados que forman al ángu-lo recto se llaman catetos, el tercer

Elementos:Vértices: A, B, CLados: AB , BC y AC

Ángulos interiores: ∡A, ∡B, ∡CÁngulos exteriores: , , Perímetro ( 2p ): 2p = a + b + c

LOBACHEVSKI

A

B

C


B

AC

c a

b

CLASIFICACIÓN


Acutángulo:





LOBACHEVSKI

A

B

C


B

AC

c a

b

CLASIFICACIÓN


Acutángulo:





LOBACHEVSKI

A

B

C

CEPU 2012

-I

Triángulos 15


lado se llama hipotenusa.

A

B C

Obtusángulo: Un ángulo interior esobtuso.

b) Según sus lados:

Equilátero: Los tres lados soniguales, cada uno de los ángu-los interiores mide 60°.

A

B

C60▪

60▪

60▪

Isósceles: Dos lados son iguales, allado desigual se le llama base, losángulos adyacentes a la base soniguales.

Escaleno: Los lados son desiguales.

Nota: Se llaman triángulos obli-cuángulos a los triángulos acutángu-los y a los triángulos obtusángulos.

LINEAS NOTABLES:

Altura (h): Es el segmento de rectaque parte de uno de los vértices deun triangulo y llega en forma per-pendicular al lado opuesto o a suprolongación.

El punto de intersección de las altu-ras se llama ortocentro.h

+ = 90°

CEPU 2012

-I



Bisectriz: Es aquella ceviana inter-ior o exterior que biseca a un angúlointerior o exterior respectivamente.

Intersección de las bisectrices inte-riores se llama incentro y el de exte-riores se llama excentro.

Mediana (BM): Es el segmento queune el punto medio de uno de loslados con el vértice opuesto.

El punto de intercesión de las me-dianas se llama baricentro.

Mediatriz (MN): Es una recta per-pendicular a un lado levantada porsu punto medio.

El punto de intersección de las me-diatrices se llama circuncentro.

Ceviana(BF): Es cualquier segmen-to que trazado por uno de los vérti-ces corta al lado opuesto.

Nota: En un triángulo isósceles, laslíneas notables coinciden.

PROPIEDADES BÁSICAS

AlturaMedianaMediatrizBisectriz

CEPU 2012

-I

Triángulos 17


1. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180°.

2. En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de lasmedidas de los ángulos interiores del triángulo no adyacentes a él.

3. Condición de existencia de un triángulo: Para que un triángulo exista sedebe cumplir que un lado debe ser menor que la suma de los otros 2 lados,pero mayor que su diferencia.

= +

Si a > b b - c < a < b + c

+ + =180°

CEPU 2012

-I



4. El mayor ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos interiores deun triángulo, es igual a 90° más la mitad del tercer ángulo interior.

5. En todo triángulo la suma de los ángulos exteriores tomados uno por vérti-ce es igual a 360°

6. El menor ángulo formado por las bisectrices, una interior y la otra exteriorde un triángulo es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

A

B D

C

x

7. En todo triángulo a lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa.

x = 90° +2ω

x =2

+ + =360°

CEPU 2012

-I

Triángulos 19


Teorema de la bisectriz de un ángulo:

Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.

Teorema de los puntos medios:

En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados de untriángulo se denomina base media; tiene por longitud la mitad del tercer lado.También es paralelo a dicho lado.

Mediana en un triángulo rectángulo:

En todo triángulo rectángulo se cumple que la mediana relativa ala hipotenusatiene por longitud la mitad de dicha hipotenusa.

QBAQ y BPAP

AC||MNy2

ACMN

2AC

BM

CEPU 2012

-I



CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

a) Caso: ALA (Angulo-Lado-Angulo)

Dos triángulos son congruentes si poseen un lado congruente y los ángulosadyacentes a dichos lados respectivamente de igual medida.

b) Caso: LAL (Lado-Angulo-Lado)

Dos triángulos son congruentes si poseen dos lados respectivamente con-gruentes y los ángulos comprendidos entre dichos lados son respectivamentecongruentes.

c) Caso: LLL (Lado-Lado-Lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados de una misma medida.

A

B

C E

F

G

CEPU 2012

-I

Triángulos 21


d) Caso: ALL(Angulo-Lado-Lado)

Dos triángulos son congruentes cuando poseen dos lados de una misma medi-da, y al mayor de los lados se le opone un ángulo congruente.

A

B

C E

F

G

Triángulos notables:

30°

60°2a

a

B

A

C

CEPU 2012

-I



Notas:1.

A

C

a

B2a53▪/2

3

2.

x = 30°X = 30°

CEPU 2012

-I

Triángulos 23


Problemas Resueltos

01. Según el gráfico - = 46°.Calcule x.

x

A) 146° B) 92° C) 123°D) 136° E) 160°

02. Según el gráfico PCAB ,calcule .

A

B

C

P

7

5

A) 12° B) 15° C) 10° D)8° E) 7°

03. X =

A) 17° B) 19° C) 31° D) 29° E) 47°04. En el gráfico el triángulo ADEes equilátero y DCAD .Calcule x.

A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60°

05. Si BCAB , 8PQ y 3QC

. Calcular AP .

A) 11 B) 6.5 C) 7 D) 4 E) 5

06. En la figura. Calcular “x”, si3HM , 8AH

A

B

M

H

C

x

CEPU 2012

-I



A) 37º B) 45º C) 53º D) 60º E) 72º07. En la figura. Si 8DCAB y

NCBN . Hallar MN.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

08. Hallar

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

09. x=?, si ACBD

A

B

D

C

x

77▪26▪

A) 13° B) 41° C) 29° D) 36°E) 26°

09. ABCD es un cuadrado de cen-tro O. Calcular X si:

NO3MN

MA E D

ON

B C

x

A) 84° B) 94° C) 68° D) 100°E) 104°

10. En el grafico adjunto BDAC Calcular x.

A

B

CD

x 3x

7x

A) 10° B) 15° C) 20° D) 12°E) 18°

11. En un triangulo rectánguloABC, se traza las cevianas AE

y AF que trisecan el ∡BAC; setraza FH AC tal que

HC2EC . Calcular lam∡ACB

A) 26° B) 30° C) 36° D) 37° E) 60°

CEPU 2012

-I

Triángulos 25


13. En la prolongación de catetoBC de u triángulo rectánguloABC recto en B se ubica el pun-to P tal que AB= CP . Las me-diatrices de BP y AC se inter-secan en Q, calcule m∡QPB.

A) 25° B) 30° C) 15° D) 37°E) 45°

14. En la figura, BMes mediana yAM= BC calcular m∡BCA.

24▪

A) 153° B) 83° C) 103°D) 106° E) 115°

15. En la figura, calcular m∡ABC

B

D

P

C

30▪

20▪40▪

A) 100° B) 110° C) 120°

D) 130° E) 140°

16. En la figura, hallar “x” si BD=AC

2

A) 30° B) 60° C) 45° D) 53°E) 54°

17. En un triangulo ABC se traza laceviana interior BD , las rectasmediatrices de BD y AC se in-tersectan en Q. Si DCAB ym∡DCQ = 25°, Hallar m∡APC,si P es la intersección de AB yCQ .

A) 75° B) 95° C) 80° D) 105°E) 120°18. En la figura, BD = 5 y

m∡DBC = 6°. Hallar AC

CEPU 2012

-I



A) 15 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

19. En la figura si MCAM y4EM . Calcular “ MF ”.

A)2 B)3 C)5 D)4 E)2

20. En el gráfico hallar MN si lostriángulos ABC y PBQ sonequiláteros. 12QCAP .

A) 3 B) 3 3 C) 4 D) 6E) 5

Resoluciones

01.

x

90

A

E

C

B D

AED: x = 90 + -

Pero - = 45° x = 90 + 46° x = 135°

CEPU 2012

-I

Triángulos 27


02.

7

5

74

03.

De la figura: x + 4x = 155°x = 31°

04.

En el cuadrilátero cóncavo ABPC:m∡BPC = + 5 + = 7Luego BCP es isóscelesBC = PC = aTambién ABC es isóscelesLuego m∡BAC = m∡ACB = 5∆BCP: 7 + 7 + 4 = 180° = 10°

En el cuadrilátero cóncavo ABCD: + 60° = 17° + 90° + 43° = 90°CDE: x + x + =180° x = 45°

CEPU 2012

-I



05.

06.

07.

ARB = BQC (HA):BR = QC = 3 y BQ = AR = 8Pero: BR + RQ = BQ 3 + X =

8 x = 5

AHM = MPC: 3MP y8PC

HPC es notable x = 53º

Trazamos MP || DC

42

8MP

También 42

8PN

MPN es equilátero

x = 4

CEPU 2012

-I

Triángulos 29


08.

09.

10.

A

B

CD

30▪75◙

2a

2a

a

H

Trazamos BH ACBHC es notable: BH = a

BC= 2a = AD

ABD: m∡A = 30º (propiedad)

φ = 75º

Trazamos DE tal que,

m∡DEA = 77ºBED = ADC (LAL)

x = 26°

Trazamos OP ⊥ AD y OQ ⊥AB

NQO = OPR (ALA)

Entonces, OR= aMOR es notable: α = 14º

⇒ X = 90º + 14º x = 104º

CEPU 2012

-I



11.

12.

Se pide: x

Se sabe: EC= 2 HC . Si HC = a ⇒ EC = 2a

Trazamos CP⊥ a la prolongación de AF .

Luego APC es isósceles ⇒ PH = HC.

También CEP es isósceles ⇒ PC = EC= 2a ⇒ PH = HC= aAsi que, m∡HCF = x = 2α (T. De las bisectriz interior)

ABC: x + 3α = 90º ⇒ α = 18º x = 36°

Trazamos AE tal que, m∡BAE = 4XLuego AE = BE .CAE = DBE (LAL)

⇒ DE = EC= b y m∡ACE = m∡BDE = αABD: 2 α = 8X ⇒ α = 4XABC: 7X + 4X + α = 180º x = 12°

CEPU 2012

-I

Triángulos 31


13.

Sean MQy NQlas mediatrices de BP y AC respectivamente

Trazamos BQ, AQy QC. Luego BQP es isósceles

m∡QBP = x y BQ= QP

También AQC es isósceles AQ= QC= b

BAQ = QCP (caso L.L.L).Por tanto m∡ABQ = m∡QPC = xLuego m∡ABQ + x = 90° x = 45°

14.

Según los datos: AM= MC = BC = aTrazamos CD BMy EA a la prolongación de BM .

AEM = CDM (H.A): BD= DM= ME = 4a

AEB es notable (14°): Entonces, AE =4

BE= 3a

CEPU 2012

-I



AEM: = 53° m∡BCA = 106°

15.

16.

Se construye el ∆ isósceles ABQ.

Trazamos AH BQy BM AC AHB = AMB (H.A):

Luego QH= HB= BM= a

BPQ : BP = BQ= 2 ; pero BP = BC BC = 2aBCM es notable (30° y 60°): m∡C = 30°

m∡ABC = 130°

CEPU 2012

-I

Triángulos 33


.17.

18.

BCD: Trazamos la bisectriz DE

Luego DEC es isóscelesACE = BDE (L.A.L): AE = BE

y m∡CAE = m∡DBE = ABD: 2x = 6 x =3ABC: x + 7 =180 10 = 180° = 18° x = 54°

De la figura: AQB = DQC ( LLL)Entonces: m∡BAQ = m∡DCQ = 25°Luego, APC: x + 75° = 180° x = 105°

CEPU 2012

-I



19.

AEB: trazamos la mediana EP . Luego AP = PB = EP =a y m∡APE = 2θ:

BFC: trazamos la mediana FQ ,

Luego BQ = QC = FQ = b y m∡CQF = 2θ

ABC: MP = b y MQ = a (T. Puntos medios)

EPM = MQF (LAL) x = 4

20.

Se pide: ACTrazamos la mediana BMEntonces: AM = MC = BMAMB es isósceles m∡BAM = m∡ABN = 32°Además, m∡BMD = 32° + 32° = 64° ym∡BDM = 6° + 58° = 64° ∆MBD es isóscelesLuego: BM= BD = 5Asi que, AC = AM + MC

AC = 10

Se pide : x

Se sabe: AM = MC

CEPU 2012

-I

Triángulos 35


APB = BQC (LAL): 6 QCAP y m∡BAP = m∡QCB =

Trazamos PC, NR || AP y QC||MR

APC: 32

APNR ( T. de los puntos medios )

PQC: 32

QCMR ( T. de los puntos medios )

Además, m∡RNC = m∡PAC = 60°- ym∡PRM = ∡PCQ = + . NRC: m∡NRP = 120° - - Entonces m∡MRN = m∡NRP + m∡PRM = 120°NRM: 33NM

33NM


01. Hallar x, si AC = BC

Se pide: MNSe sabe: 12QCAP

CEPU 2012

-I



A) 30° B) 35° C) 25° D) 40° E) 45°

02. CA ˆˆ = 40°. x = ?

A) 100° B) 110° C) 115° D) 120°E) 92°

03. x = ?

A C

B

15

37°

8°

X

A) 3 B) 4 C) 5 D) 3/2 E) 104. ACBP , AP es bisectriz; x = ?

B

AC

P13x

5x4x

A) 9° B) 5° C) 4.5° D) 10° E) 7°

05. En el triángulo ABC, la alturaBH y la mediana AM se cortanen N, tal que, NMAN , si

5AH y 3NH , Calcular AB .

A) 8 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15

06. Se traza la mediana BM del trián-gulo ABC tal que: m∡MBC=2x ym∡ABM=3x. Si BM2BC , Calcu-lar “x”.

A) 18 B) 22,5 C) 25 D) 30 E) 10

07. En la figura calcular : DE , si5BD

2

A) 7.5 B) 5 3 C) 25 D) 10 E) 12

08. La medida del ángulo del trián-

CEPU 2012

-I

Triángulos 37


gulo ABC es 70, se traza la altu-ra BH , sobre ella se toma elpunto P, tal que, ACBC ;además M y N son puntos me-dios de AB y CP. Calcular:m∡AMN.

A) 55° B) 65° C) 60° D) 72° E) 90°

10. Según el gráfico, calcule x.

A

3

2C

B

x

A) 45° B) 60° C) 36° D) 53° E) 72°

12. Según el gráfico: AE = FB = BE =ED = DC . Hallar “x”.

A

FE C

D

B

x

A) 36° B) 30° C) 45° D) 38° E) 20°

13. Según el gráfico AD || L , AC =BC , calcule “x”.

x

56°

L

A

B

D

C

A) 37° B) 38° C) 42° D) 44° E) 48°13. En un triángulo isósceles ABC

( AB= BC ) AC > AB. Calcule elmáximo valor entero de lam∡ACB.

A) 30° B) 59° C) 60° D) 75°E) 64°

14. Según el gráfico, el triánguloABC es equilátero. Calcule “x”

A

xE

B

F

CD

A) 60° B) 30° C) 15° D) 45°E) 75°

15. Según el gráfico el triánguloABC y CHD son congruentesDC =5. Calcule AD

CEPU 2012

-I



A) 52 B) 53 C) 32

D) 5 E) 3316. Según el gráfico BC = CE y

AB = DE . Calcule “x”.

3x2x

A

B

C

DE

A) 20° B)2

37C) 22°30´ D)

2

53

E) 30°

17. Según el gráfico 5( AD ) = BC34 . Calcule “x”.

30▪ 37▪

x

A

B

CD

A) 23° B) 37° C) 18° D) 8° E) 15°

18. Según la figura, AD//BC ,AH = HC y CD = 15cm

Calcular: TC.

H

A

B

T

C

D

37°

A) 7.5cm B) 8cm C) 9cmD) 10cm E) 11.5cm

19. Se tiene un triángulo rectánguloACD, recto en “C” , se ubica unpunto exterior “B” relativo al ladoAC , tal que m∡BAC = m∡CAD. Setraza CM // AB , (M esta en AD ) yCM BD ={Q} Si 4AB , 6AD Calcular CQ.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 1,5 E) 2,5

20. Se tiene un triángulo escalenoABC, se traza la altura BH , se tiene

CEPU 2012

-I

Triángulos 39


“M” punto medio de AB tal que16AB . Calcular la longitud del

segmento que une los puntos me-dios de MC y HC .

A) 8 B) 42 C) 4 D) 12 E) 6

21. Se tiene un triángulo rectánguloABC, recto en “B”, en AC se ubicaun punto “P” tal que, AB2PC , labisectriz del m∡BAC y la mediatrizde PC se intersectan en “M” y luegose traza BCMH . Si 28AP .Calcular “ MH ”

A) 4 B) 8 C) 82 D) 6 E) 15

22. El perímetro de un triánguloABC es 36, calcular la medida delsegmento que une los pies de lasperpendiculares trazadas desde elvértice B a las bisectrices exterioresde los ángulos A y C.

A) 24 B) 18 C) 30 D) 12 E) 15

23. Exteriormente al triángulorectángulo ABC (m∡B=90), se trazael triángulo equilátero BMC, tal que

12AM . Calcular la medida delsegmento que une los puntos me-dios de BM y AC .

A) 8 B)4 C) 3 3

D) 6 E) 3 2

24. Según el gráfico 4CDAB ,calcule BC .

20° 20°

A

C

D

B

A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5

CEPU 2012

-I

03POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS

POLÍGONOS

Es la figura plana que se encuentra formada porla unión de un conjunto finito de segmentos de rec-ta que se llaman lados, que se unen por sus extre-mos y que se llaman vértices.

ELEMENTOS:

vértice lado

diagonal

ángulo interior ángulo exterior

CLASES DE POLÍGONOS

1. Convexo: Cuando una rectasecante lo corta como máximoen dos puntos.

2. Cóncavo: Cuando una recta secantelo corta en más de dos puntos

3. Equilátero: Todos los lados son iguales.

4. Equiángulo: Todos los ángulos interiores son iguales.

ARQUIMIDES

CEPU 2012

-I

Polígonos y cuadriláteros 41


5. Regular: Todos los lados y todos los ángulos interiores son iguales.

6. Estrellado: Es la figura plana formada por las prolongaciones de los ladosde un polígono convexo.

NOMBRES ESPECIALES DE ALGUNOS POLÍGONOS

Según él numero de lados un polígono se llama:

Triangulo : 3 ladosCuadrilátero : 4 ladosPentágono : 5 ladosHexágono : 6 ladosHeptágono : 7 ladosOctágono : 8 ladosNonágono : 9 ladosDecágono : 10 ladosEndecágono : 11 ladosDodecágono : 12 ladosPentadecágono: 15 ladosIcosagono : 20 lados

pentágonocuadrilátero hexágono octágono

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

En todo polígono de n lados se cumple:

1) N° de vértices = N° de lados = N° de ángulos = n

2) Suma de ángulos interiores.- En todo polígono convexo la suma delas medidas de sus ángulos interiores es:

Si = 180° (n – 2)













Si = 180° (n – 2)













Si = 180° (n – 2)

CEPU 2012

-I



3) Suma de ángulos externos ( Se ).- En todo polígono convexo la suma delas medidas de sus ángulos exteriores es:

4) Suma de ángulos centrales:( Sc )

5) Número total de diagonales:

6) N° de diagonales trazadas desde un vértice = n – 3

7) N° total de diagonales medias =2

)1n(n

8) N° de diagonales trazadas desde v vértices consecutivos

=2

)2v)(1v(v.n

9) N° de triángulos que se obtiene al trazar diagonales desde un vértice = n – 2

Notas:

En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces elnúmero total de diagonales aumenta.

En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces la su-ma de las medidas de sus ángulos exteriores no varía.

En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces elángulo exterior disminuye.

En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces elángulo interior aumenta.

Se = 360°

Sc = 360°

2

3)-(nnD

CEPU 2012

-I



PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS REGULARES

1) Medida de un ángulo interior:

∡i=n

)2n(180

2) Medida de un ángulo exterior:

∡e=n

360º

3) Medida de un ángulo central:

∡c =n

360º

CUADRILÁTEROS

Es un polígono que tiene cuatro lados, dos diagonales y la suma de las medi-das de sus ángulos interiores es 360°.

CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados. Pueden ser:Paralelogramos, trapecios y trapezoides.

I. PARALELOGRAMOS

Son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos, sus principalespropiedades son:- Los lados opuestos son iguales.- Los ángulos opuestos son iguales.- Las diagonales se bisecan.

o

ángulo exterior

ángulo interior

ángulo central

CEPU 2012

-I



Se cumple: CDAB ; ADBC

MCAM ; MDBM

m∡A = m∡C y m∡B = m∡D

Clasificación de los paralelogramos:

a. Cuadrado: Es aquel paralelo-gramo cuyos lados son igualesy sus ángulos son rectos. Es unpolígono regular.

b. Rectángulo: Es aquel parale-logramo equiángulo.

A

CB

D

a

b

b

a

c. Romboide: Es el paralelo-gramo propiamente dicho.

A

B C

D

b

aa

b

d. Rombo: Es aquel paralelogra-mo equilátero.

CEPU 2012

-I



II. TRAPECIO

Es el cuadrilátero que tiene doslados paralelos que se llaman basesy dos lados no paralelos. A la dis-tancia entre las bases se le llamaaltura.

Donde: BC es la base menor yAD la base mayor.

Clasificación de los trapecios

a) Escaleno: Se llama así al tra-pecio cuyos lados no parale-los son distintos.

b) Rectángulo: Es aquel trape-cio en el que un lado no para-lelo es su altura.

c) Isósceles: Es aquel trapecioen el que sus lados no parale-los son iguales.

PROPIEDADES

1) En todo trapecio la longitud de lamediana es igual a la semisuma delas longitudes de las bases.

2) En todo trapecio la longitud delsegmento que une los puntos me-dios de sus diagonales es igual a lasemidiferencia de las longitudes desus bases.

2a-bx

2bax

CEPU 2012

-I



Nota: Si NDAN entonces,

III. TRAPEZOIDE

Son los cuadriláteros que no tie-nen ningún par de lados paralelos.

A

B

C

D

Nota: Un trapezoide es simétricocuando una de las diagonales esparte de la mediatriz de la otra di-agonal, caso contrario, será asimé-trico.

PROPIEDADES

1)

2)

2

3)

A

B

CD

2

x

2a-bx

x = + +

x = 120° -

x = 120° - 2

CEPU 2012

-I



4) Si G es baricentro, entonces,

a

b

xc

A

B

C

G

5) Si O es el baricentro del trape-zoide ABCD, entonces,

a. En el cuadrado ABCD:

Problemas Resueltos

01. (CEPU 2003-I).Calcular elnúmero de diagonales de un polígo-no regular, si la medida de un ángu-lo interior es igual a cinco veces lamedida de un ángulo exterior.A) 54 B) 56 C) 60 D) 58 E) 62

02. Si el octágono mostrado es re-gular. Calcular x

x 30°

A) 45° B) 53° C) 60° D) 75° E) 90°

03. ( UNJBG 2003-I ).Si - = 20°. Hallar x, si ABCD esrectángulo.

A) 10° B) 20° C) 15° D) 30°E) 12°

3cba

x

4dcba

x

x = 2k

CEPU 2012

-I



04. ( CEPU 2002 – II )Si ABCD es un trapecio. Hallar lamediana.

A) 10 B) 11 C) 12D) 8 E) 13

05. ( CEPU 98 – I )PH =

A) 5 B) 3 C) 2 D) 4 E) 3.5

06. En la figura mostrada. Calcular x

50° B) 55° C) 60° D) 65°E) 70°

07. En la figura. Calcular x

A) 90° B) 100° C) 120°D) 135° E) 60°


A) 30° B) 40° C) 20° D) 50° E) 60°


A) 8° B) 10° C) 12° D) 21°E) 14°

CEPU 2012

-I



10. En la figura. ABCD es un rom-boide, si: 4NC y MN = 12. HallarAM .

2

A) 8 B) 13 C) 12 D) 16 E) 15

Resoluciones01.

Sea ND el número de diagonales.Del enunciado:medida de un ángulo interior = 5 ( medida de un ángulo exterior )

⇒n

360.5

n

)2n(180

Resolviendo: n = 12Asi que,

ND = 542

)312(12

2

)3n(n

∴ ND = 54

CEPU 2012

-I



02.

Trazamos PS : ΔPRB = ΔPSB (LLL) ⇒ m∡BPS = 30º

También, trazamos RS⇒ ΔPRS es equiláteroAdemás, ΔQAR = ΔRBS (LAL): ⇒QR= RS= a

ΔPQR es Isósceles ⇒ m∡PQR = X

Y como QR || PB ; m∡QRP = 30º

Así que: x + x + 30º = 180º

∴ x = 75°

03.

En cuadrilátero cóncavoPQAR:180º -α + x + β – 90º = 90º⇒ x = α – βPero: α – β = 20º

∴ x = 20º

CEPU 2012

-I



04.

A

B C

D82° 16°

4

14

4 14

82°

82°E

05.

A

CB

P

H

D

M

8 8

x

5

5 5

06.

Trazamos CE|| AB

⇒ AE = 4 y m∡CED = 82º

ΔCED es Isósceles ⇒ ED = 14Luego.

Mediana =2

184 = 11

∴ Mediana = 11

Prolongamos HP hasta M

APD es Isósceles ⇒ AM = MD = 5

Además AB || MH : m∡APM = φ

⇒ MP = 5. Luego: x + 5 = 8

∴ x = 3

CEPU 2012

-I



A

CB

Q

D20°

x

P

70º

40º

50º

70º

x

07.

10°20°

40°xA

B

C

D50º

50º

P

30º

aa M

Q

a

30°

50º50º50º

⇒ m∡ABD = m∡ABP = 50ºAsí que x + 10 + 50º = 180º∴ x = 120º

08.

En la figura, vemos que Q es puntode intersección de los diagonalesdel rectángulo ABCD.

Entonces QC = ·∆PQC es isósceles ⇒ m∡PCQ = xasí que, x + x +50 = 180º∴ x = 65º

Prolongamos CB y Trazamos AP

tal que, m∡BAP = 30ºLuego ΔAPD es Isósceles

⇒ AM = MC= aAQC es notable (30º y 60º):

a2

ACAQ

AMP = AQD: AD = AP = ∎Por tanto, ΔAPB = ΔABD (LAL)

CEPU 2012

-I



A

B

C

D

10°x

10°10°

P

Q

EM

70º40

º

60º

10°

10°

30º30º

40º70ºF

40°40°

Se construye ΔAFC igual al ΔABC

y se traza FP a la prolongación de AC, tal que m∡EPF = 10º

Luego AE = EP ⇒ΔADP es IsóscelesAsí que: m∡DPE = m∡DAE = 20º

Trazamos CQ ⊥ FP ⇒ CM= MQ .

En consecuencia ΔCFQ es equilátero: CF= FQ = QC = FQP: m∡FQD = 30º + 10º = 40º⇒ m∡DFQ = m∡FDQ = 70º ⇒ DQ = FQ = Así que: CQD es Isósceles: m∡CDQ = m∡DCQ = 40ºFinalmente ΔDCP: x = 40 + 20º

∴ X = 60º

09.

CEPU 2012

-I



A

B

C

D

16º16º

30º

x

16º

30º

74º

74º

x42º

H

P

E

También, CPE es Isósceles ⇒ CP= PE = ·En consecuencia: ΔCPE es equiláteroΔAPC: 30º = 16º + x

∴ X = 14º

10.


Se construye APC = ABC:

CP= BC= ·Se traza CE a la prolongación de AD ,

tal que AE = ACLuego, CDE es Isósceles

⇒CE= CD= ·

Datos: NE= 4 y MN= 12Se pide: AM

se traza BE || NC. Luego,

MBE = MCN ⇒EM = MN= 12

Y BE = NC= 4Además, AEB es Isósceles

⇒ AE = BE = 4∴ AM = 16

CEPU 2012

-I

01. ( CEPU 2001- I ). Hallar elnúmero de lados de un polígono demodo que al duplicar el número devértices la suma de las medidas desus ángulos internos se cuadruplica.A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

02. Si la suma de las medidas de losángulos interiores de un polígono esigual a dos veces la suma de lasmedidas de sus ángulos exteriores,el numero de lados que tiene elpolígono es :A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

03. Al sumar el valor de un ángulointerno del hexágono regular con elvalor del ángulo externo de unpentágono regular se obtiene:A) 162° B) 172° C) 182°D) 192° E) 204°04. En un polígono convexo desde(n-6) vértices consecutivos se trazan25 diagonales. Hallar la suma de lasmedidas de los ángulos internos dedicho polígono.A) 1800° B) 1440° C) 1080°D) 720° E) 540°

05. ( CEPU 2000-II)ABCD es un cuadrado y CPQRFDes un hexágono regular. Hallar x

F

A B

CD

P

QR

x

A) 9° B) 10° C) 20° D) 15° E) 18°

06. En un polígono regular desde 4vértice consecutivos se trazan 105diagonales. Hallar la medida delángulo central de dicho polígono.A) 8° B) 10° C) 12° D) 15° E)18°

07. Los segmentos AB, BC, CD, DEson 4 lados consecutivos de unicosagono regular ABCDEF... Hallarla medida del ángulo formado porlas prolongaciones de los lados ABy ED.A) 119° B) 100° C) 120°

D) 115° E) 126°

08. Del gráfico BCDE es un rombo.Si AB= 6. calcule la base media deltrapecio ABCD.

A) 14 B) 15C) 16 D) 18 E) 2809. Según el gráfico; ABCD y FECDson trapecios isósceles, calcule “x”.

30°

xA E D

CB

F

A) 70° B) 60° C) 80° D) 50° E) 45°

10. Según el gráfico, BCDE es unparalelogramo. Calcule la razónentre la altura y el segmento que

CEPU 2012

-I



une los puntos medios de las diago-nales del trapecio ABCD.

60°A

B C

DE

A) 53

2B) 3 C) 32 D)

33 E) 22

11. Según el gráfico ABCD y CGFEson cuadrados cuyos lados son 3 y5 respectivamente. Calcule elperímetro de la región AMNP.

A) 24 B) 30 C) 34 D) 28E) 36

12. Según el gráfico BCEF es uncuadrado y O es la intersección de ladiagonales del rombo ABCD, si EF =8. calcule OH .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

CEPU 2012

-I

04CIRCUNFERENCIA

Hay una gran cantidad de cuerpos y objetos que pre-sentan esta figura, como el caso de una moneda, labase de recipientes en forma cilíndrica, la rueda deuna bicicleta, etcétera.

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntosde un plano cuya distancia a otro punto del mismoplano llamado centro, es constante. Esa longitudconstante se llama radio.No hay que confundir lo que es la circunferencia conel círculo; por ello se procede a identificar ambaspartes en la siguiente figura.

circulocircunferencia

centro

Como puede observarse en la figura anterior, el contorno es la circunferencia,en tanto que la circunferencia con su interior es el círculo.

Elementos:

O: CentroR: RadioAB : CuerdaAB: ArcoPQ : DiámetroL: SecanteL1: tangente

PONCELET

CEPU 2012

-I

58 Geometría y Trigonometría Centro Pre-Universitario de la UNJBG


PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA

Toda tangente de una circunfe-rencia es perpendicular al radio enel punto de contacto.

O

F

L

Si PFy PG son tangentes a lacircunferencia, entonces:PF=PG . Además: =

AB y CD son tangentes.

B

A C

x x

aDonde: p es el semiperimetro deltriangulo ABC

Todo radio perpendicular auna cuerda, biseca a dicha cuerda yal arco que la subtiende.Así, si OP AB AH = HB yademás,

BA

O

P

H

Si AP ||BQ , entonces:

B

A

Q

P

yx

apx

CEPU 2012

-I

Circunferencia 59


Nota:En toda circunferencia se cumpleque a cuerdas iguales le correspon-den arcos iguales y viceversa.

TEOREMA DE PONCELET

En todo triangulo rectángulo, la su-ma de las longitudes de los catetoses igual a la suma de la longitud dela hipotenusa y la longitud del diá-metro de la circunferencia inscrita.

TEOREMA DE PITOT

En todo cuadrilátero circunscrito auna circunferencia, la suma de laslongitudes de sus lados opuestosson iguales.

A

B

C

D

a

b

x

y

CUADRILÁTERO INSCRITO

Es aquel cuadrilátero que tiene susvértices en una misma circunferen-cia.

PROPIEDADES:

1. En todo cuadrilátero inscrito, lasdiagonales determinan ángulosde igual medida con los ángulosopuestos.

ABCD: inscrito ⇒

2. En todo cuadrilátero inscrito lasuma de medidas de dos ángu-los interiores opuestos es 180°.

yxba

rbca 2

= 180°

CEPU 2012

-I



3. En todo cuadrilátero inscrito, unángulo interior tiene igual medi-da que el ángulo exterior opues-to.

ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Angulo Central:A

B

Oβθ

Angulo Inscrito:

θ

Angulo semi-inscrito:

β

θ

Ángulo Ex – inscrito:

A

B

P

θ

β

Ángulo Interior:

βθ

=

2

2β

=2β

β

2βαθ

2βαθ

CEPU 2012

-I

Circunferencia 61


Ángulo exterior:

Todo ángulo inscrito opuesto a undiámetro es recto:

Nota:

Si P es punto de tangencia:

P

B

A

P

Cuadrilátero Inscriptible deuna Circunferencia

Es aquel cuadrilátero convexo quepuede inscribirse en una circunfe-rencia; es decir, que sus vérticespueden ser ubicados en una mismacircunferencia.

En la figura, si: A, B, C y D puedenser ubicados en una circunferencia,entonces:

ABCD: inscriptible

= 90°

2βαθ

β

CEPU 2012

-I



Condición para que un cuadrilátero sea inscriptible

Caso I :

Todo cuadrilátero convexo cuyos ángulos interiores opuestos son suplementa-rios, es inscriptible.

ω

En la figura, si: 180

Se cumple: ABCD: inscriptible

También, si: Se cumple: ABCD: inscriptible

Caso II:

Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determinan con dos lados opues-tos ángulos de igual medida, es inscriptible.

BC

A D

En la figura, sí:

Se cumple: ABCD: inscriptible

CEPU 2012

-I

Circunferencia 63


Problemas Resueltos

01. ( CEPU 98-I ).DB es tangente, BCAB ; x =

D

B

A

C

100°O

x

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

02. DP || ÁC , m∡ PDB =

P

D

B

C

A20°

A) 45° B) 55° C) 25° D) 35° E) 65°

03. TF es tangente. ÁB || TF; x =

A) 31° B) 56° C) 17° D) 28°E) 32°

04. En la figura. Hallar AD =

A) 68° B) 64° C) 100° D) 132° E) 136°

05. En el triangulo rectángulo ABC( recto en B), calcular “R”, si :

MCAM

A) 2 B) 2 C) 1 D) 5 E)

2

553

06. Calcular “x”

A) 30° B)60° C)37° D)45| E)41°

CEPU 2012

-I



07. Calcular “x” (“O” centro)

o

P

x

A) 90° B) 60° C) 45° D 75° E) 30°

08. Si: BCAB y AHDC 2 .Calcular “x”

A) 15° B) 30° C) 20°D) 10° E) 25°

09. En la figura, hallar PQ

A) 19° B) 30° C) 23° D) 45°E) 27°

10. En la figura, hallar x

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

11. En la figura, P, Q y R son pun-tos de tangencia hallar α

Q

B

CAP

R

SO

A) 10° B) 15° C) 20° D) 60° E) 30°

12. ( UNJBG 2003-I ).A, B, C, D son puntos de tangen-

cia. Hallar x.

x70°

A

EB

D

F

C

CEPU 2012

-I

Circunferencia 65


A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 40°

Resoluciones01.

02.P

D

B

C

A20°

O

40º

x

03.

Como AB = BC⇒ el arco AB = al arco BC = αLuego: α + α + 100º = 360º ⇒ α = 130º

Pero:2

x

∴ x = 65º

Como DP || AC ⇒ AD = DC = αLuego: α + α + 40º = 180º ⇒ α = 70º

Así que:2

º40x

= 55º

∴ x = 55º

Del gráfico: x + 28º + x = 90º∴ x = 31º

CEPU 2012

-I



04.

A

Bx

CD

136°-

y

05.

Sea el arco BC = y

136º - α =2

yx

⇒x + y = 272º - 2α … También,

α =2

yx ⇒ x - y = 2α …

Luego de y se tiene que: 2x = 272º

∴ x = 136º

NMC es notable (53º/2) ⇒ a2

2a

2

MCNM

Pero, 5a5)a2(a 222 También: a + 2a = 5 + 2R (T. Poncelet)

2

553R

ΔAPD es Isósceles: AN = NC = 5ABN es notable (37º y 53º): AB = 4

y m∡ANB = 53º

CEPU 2012

-I

Circunferencia 67


06.

x

OMA

B

45º67.5º

22.5º

P

26.5

º

22.5º

QT

2rrr

r

rO'

Se unen los centros O y O’ cuya prolongación llega al punto de tangenciaP y trazamos TO' .PO’T es isósceles: TO' = PO' = r

y m∡O’TP = m∡O’PT = 22.5ºOTP: m∡ATO = 22.5º + 45º = 67.5º⇒ m∡TAO = 22.5º

Luego AOP es isósceles: AO= OP = 2r = OB

MOB es notable (53º/2): m∡MBO = 53º/2 = 26.5º

B

MO

2r

r

53◙/2

BQT: 67.5º = x +26.5º

∴ x = 41º

CEPU 2012

-I



07.

60º TS

o

P

x60º

60º 60º

08.

D

E

x30

◙

xx

xC

B

Trazamos los radios OS , OP y OTLuego los triángulos OSP y OPT sonequiláteros.En la circunferencia menor:

∴ x = 60º

Como ΔABC es Isósceles: ⇒ CF = AH =ay m∡BAC = m∡ACB = αABE: m∡DBE = α + x

En el ABPC inscrito:m∡ACP = m∡DBE = α + x⇒ m∡BCP = x

Luego: BCED es inscriptible

∴ x = 30º

CEPU 2012

-I

Circunferencia 69


09.

ADC es notable ( 53° / 2):

m ∡ CAD = 53° / 2, OCQ es notable ( 30° y 60°):m ∡ CQO = 30° = m ∡QOP

Luego,2

30

2

53

x 23x

10.

Trazamos MCHQ

m ∡CHQ = m ∡ QHC = m ∡ MHA = 30°

Trazamos ABCH ,Luego AHC es notable (30° y 60°):

a2

ACCH , También aHM MHC es

equilátero.

CEPU 2012

-I



11.

12.

140▪

BCPH es inscriptible: m ∡ PCH = x

También m∡ PMH = x

BHM: x + x = 30°

15x

Trazamos OP y OALuego POSA es inscriptible

m∡SOA = m∡ SPA = αPor otro lado BO y OA son bisec-trices exteriores del ABC

α = 90 – α / 2

60

En el ΔPCD: x + = m∡DPC +

Entonces: ∡DPC = xLuego, alrededor del punto P: x + 140° = 180°

x = 40°

CEPU 2012

-I


01. Según el gráfico QBPC es unromboide. B y C son puntos detangencia, calcule “x”.

A) 140° B) 80° C) 120° D) 90° E) 100°

02. Del gráfico AC = AB y D espunto de tangencia. Calcule “x”.

A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 53°

03. En el gráfico, mABC = 200° y Ces punto de tangencia, calculemCED.

A) 150° B) 200° C) 180°D) 240° E) 260°

04. En el gráfico, M es punto de tan-gencia. Si mMN = 40°. Calcule mNP.

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40°E) 70°

05. Según el gráfico L1|| L2. P espunto de tangencia, calcule “”.

A) 23° B) 25° C) 24° D) 22°30´ E) 20°

06. En la figura - = 40°, calcularel valor de x.

x

A) 100° B) 110° C) 120°D) 130° E) 140°

07. De la figura, calcular el inradio

CEPU 2012

-I



del triángulo rectángulo ABC,si: MCAM y NCBN

A) 5 B) 7 C) 10 D) 14E) 12

08. Calcular “a + b + c + d”

a

b

c

d

o

A) 360° B) 400° C) 540°D) 600° E) 480°

09. Si: A, B y C son puntos detangencia. Calcular “x + y + z”

x

y

z

A B

C

A) 90° B) 180° C) 270°D) 360° E) 540°

10. Según el gráfico: AH = 3(HP ).Calcule m AH.

HP

BAA) 100° B) 120° C) 135°D) 127° E) 143°

CEPU 2012

-I

05PROPORCIONALIDAD Y

SEMEJANZAPROPORCIONALIDAD

TEOREMA DE THALES

Tres o más rectas paralelas determinansobre dos o más rectas secantes a ellas,segmentos proporcionales.

Si L1 || L2 || L3. Entonces:

a

b

L1

L2

L3

m

n

También;

nb

ma

Diremos que dos segmentos AB y BC sonproporcionales a otros dos CD y DE si y

solo si,DE

CD

BC

AB

Thales de Mileto

nm

ba

mnm

aba

CEPU 2012

-I



Notas: Si PQ || AC , entonces:

a

b

m

n

B

Q

CA

P

Si P es punto de tangencia, entonces:P

a

A B

C D

m

nb

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

En todo triangulo se cumple que los lados que forman el vértice por donde par-te la bisectriz interior son proporcionales a los segmentos determinados pordicha bisectriz sobre el lado opuesto.

A

B

CP

c a

m n

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

En todo triangulo se cumple que los lados que forman el vértice por donde par-te la bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos determinados pordicha bisectriz sobre el lado opuesto.

nm

ac

nb

ma

nb

ma

CEPU 2012

-I

Proporcionalidad y Semejanza 75


A

B

C P

c a

nm

TEOREMA DEL INCENTRO

En todo triangulo se cumple que el incentro divide a la bisectriz interior en dossegmentos que son proporcionales; el que une el vértice con el incentro es a lasuma de los lados que concurren con la bisectriz como el que une el incentrocon el lado opuesto es a este.

I

A

B

C

a

b

cm

n

TEOREMA DE MENELAO

Una recta secante a un triangulo determina sobre sus lados seis segmentos,cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no con-secutiva es igual al producto de los tres restantes.

abc = xyz

nm

ac

bac

nm

CEPU 2012

-I



TEOREMA DE CEVATres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triangulo, deter-minan sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tresde ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tresrestantes.

DIVISION ARMÓNICAUn segmento AB se dice que está dividido armónicamente por los puntos P yQ ( P en AB y Q en la prolongación de AB ) si y sólo si ,

A B QPa b cd

Notas : Los puntos A, P, B y Q constituyen una cuaterna armónica.

Al conjunto de cuatro rectas concurrentes en un punto exterior al segmentoAB y que pasan por los puntos A, P, B Y Q se les llama: Haz Armónico.

TEOREMAEn todo triangulo, las bisectrices interior y exterior que parten desde un mismovértice determinan un haz armónico.

a b cd

A B

C

QP

abc = xyz

cd

ba

cd

ba

cd

ba

CEPU 2012

-I



SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos se llaman semejantes cuando tienen sus ángulos respectiva-mente iguales y los lados homólogos proporcionales.Se dicen ángulos homólogos, los ángulos respectivamente iguales; ladoshomólogos son los opuestos a ángulos homólogos.

Notación: se lee “ es semejante a “.

Así, ∆ ABC ∆ DEF

D

E

F

A

B

C

ax y

z

b

c

CRITERIOS DE SEMEJANTES

Dos triángulos son semejantes si tienen al menos dos ángulos respec-tivamente de igual medida.

A

B

C P

Q

R

A

B

C P

Q

R

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados cuyas longitudes sonproporcionales y el ángulo comprendido de igual medida.

~

zc

yb

xa

CEPU 2012

-I



Así, si m∡A = m∡P yPR

PQ

AC

AB ABC ~ PQR

A

B

C P

Q

R

Dos triángulos son semejantes si las longitudes de sus tres lados sonproporcionales.

Así, siPRAC

QR

BC

PQ

AB ABC ~ PQR

A

B

C P

Q

R

Nota:

Dos triángulos rectángulos son semejantes si y solo si, tienen un ángulo agudocomún.

D

E F

A

B C

~

~

CEPU 2012

-I



PROPIEDADES ADICIONALES:

B

A

CP

x

ba

Si PQ || AC , entonces:

B

A C

Pba

m n

Q

DAdemás, si a = b m = n

Problemas Resueltos

01. Del gráfico AE || BF|| CG y EB|| FC || GD ,

Si AB = 9 y BC = 6. Calcule CD

A) 2 B) 8 C) 3 D) 5 E) 4

02. En la figura, hallar BQ .

Si QP = 8 , PC = 5 y CF = 7.

P

CB

F

Q

A

P

A) 8 B) 9,5 C) 10 D) 11,2 E) 15

ab2x

nb

ma

A

E

DCB

FG

CEPU 2012

-I



03. ABCD es un romboide. Hallar

GH si 10AP

A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 5

04. En la figura, hallar,

si AC = 3, AR = 10 y 4PR

A) 1,3 B) 2 C) 1,5 D) 1,2 E) 1

05. En la figura, T y P son puntos detangencia.Hallar AC si 5TP y 4PC .

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

06. En la figura, se muestran dossemicircunferencias tangentes. M yN son puntos de tangencia. HallarMN si BH = 2 y 18AC

A1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

07. En la figura, hallar DE si1FC y 9AB

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

08. En la figura hallar x, siFC2AF3

A) 53°/2 B) 45° C) 30° D) 37°/2

E) 37°

CEPU 2012

-I



09. ABCD y AEFG son cuadrados; P

y Q son Centros.

Hallar PQ , si DE = 8

A) 3 B) 4 C) 5 D) 1 E) 24

10. Sea ABCD un cuadrado inscritoen una circunferencia. Sobre el arcoBC se toma un punto E, las cuerdasEA y ED cortan a BC en P y Q.Hallar QC , si BP = 4 yPQ = 2.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Resoluciones01.

Se pide: x

A

E

DCB

FG

9 6 x

ab

Como, AE || BF|| CG :6

9

b

a

También, EB || FC || GD :x

6

b

a

Luego:x

6

6

9

∴ x = 4

CEPU 2012

-I



ABPR es un romboide

5GPAG

BHP ~ AHE:

a

a

x

x

45

5

x = 3

02.

Se pide: BQ

Como mPC = mQP m∡CFP = m∡ PAQ = α,

Luego: CF || AQ m∡CFP = m ∡SCF = m ∡BAQ = θ

APQ ~ CPF:57

8a . Así que, a = 11,2

Pero: BQ = a

BQ = 11,2

03

B P C

Q

RA

GH

D E

a a

b

b

a a 2a

x

CEPU 2012

-I



04.

05.

PQR ~ ACR:

10

3

4

x

X = 1,2

C

AP

TA

C

4x

x9

Por T trazamos la tangente común

a las circunferencias.

PAC ~ TAC:x

9

4

x

x = 6

CEPU 2012

-I



06.

Se pide: MN

Trazamos MP y NP m ∡MPN = 90° (propiedad).

Luego, el cuadrilátero MBNP es un rectángulo.

Asi que, MNBP . Además α + β = 90° m ∡ BPC = 90°

MBN ~ ABC:BP

2

18

MN

2MN = 18(2)

6MN

07.

9

A

B

C

FD

E

x

1

a

ADE ~ FCE:b

ax

b

1

a

x …

CEPU 2012

-I



ABC: m∡ ABP = 30°.Luego, APB es notable (30° y 60°) 2bAP2AB AFB ~ ABC:

5

10ba

2b

2a

5a

2b ; APC:

10b5aAC

3bPC x = 37°/ 2

También, ABE ~ FDE:b

x

a

9

b

a

x

9 …

Luego de y :x9x

3x

08

A F

B

C30° x

x30°

P

b

2b

2a 3a

09.

AB

C D

F

E

GP

Q

45° 45°

2a

2a

a

a

b

8

2b

De la figura: PAQ ~ DAE:

CEPU 2012

-I



A

P

Q

A

E

D

a

b

x2a

2b

8

α45 α45

10.

45°

45° 45°

45°E

B C

DA

90°90°

90°

4 2 xP Q

BEQ: EP es bisectriz interior 22

4

EQ

BE

Además, EC es bisectriz exterior x

x6

EQ

BE

Luego:x

x62

x =6

2a

a

8

x

24x

CEPU 2012

-I




01. Del gráfico AB = x - y; BC = x +

y;

MN= a – b y NP = a + b.

Calcule:yb

xa

A)7

1 B)9

1 C) 7 D) 9 E)5

2

02. AP // BQ // CR. x =A

15

P

x

Q12

RC

9B

A) 25 B) 23 C) 26 D) 30E) 29

03. En la figura mostrada;CD2MNy4NC,1BM .

Calcule el perímetro del rectánguloABCD.

A) 24 B) 18 C) 15 D) 22 E) 11

04. En la figura AB = 3, BC = 4.Calcule BE . BD .

A) 24 B) 6 C) 12 D) 16 E) 15

05. Según el gráfico 2( PQ ) = 3(PT),SN = 15 y Q es punto de tangencia.Calcule HM.

A) 7,5 B) 5 C) 10 D)9 E) 12

A30º

PC

B

M

N

30º

A

B C

D

M

P

N

A

B C

D

E

CEPU 2012

-I



06. P es punto de tangencia.

8 A B

D

P

C5

4

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 16

07. Los lados de un triángulo ABCmiden:AB = 6, BC = 4, AC = 5,

se traza la bisectriz interior BD.Calcular AD.

A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

08. x =

A

B

C P

9

7

5

x

09. En la figura, BD y CE son bisec-trices interiores.

HallarDC

AD, si:

3

4

ID

BI.

EB

AE

A

B

CD

lE

A)1 B) 2 C) 3 D) 4/5 E) 1/3

10. En el rectángulo ABCD, se to-ma el punto medio M del lado CD ,las rectas AC y BM se cortan enel punto F. Calcular la distancia delpunto F al lado BC , si AB = 18.A)3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

11. Calcular BH .

A)1 B) 4 C) 5 D) 2 E) 3

12. RC =

A

B

NM

C

F105

R20

A) 50 B) 40 C) 25 D) 30 E) 45

CEPU 2012

-I



13. En la figura , hallar x, si BE = EC

A)3 B) 4 C) 6 D) 2 E) 7

14. x =

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

15. x =

A) 6 B) 7 C) 11 D) 9 E) 10

16. BD =

A) 10 B) 14 C) 16 D) 12 E) 15

17. ( UNJBG 2002-I ).P y Q puntosde tangencia;

m∡BQC = 160°. Hallar x

A) 8 B) 9 C) 10 D) 6 E) 7

18. ( CEPU 99-II ). BC = 2 CD ,FD =21. AF =

B

A

C

DF

A) 11 B) 10 C) 9 D) 7 E) 8

CEPU 2012

-I



19. Halla x =

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

20. ( CEPU 99-II ). AB = 2PQ; QC =

A) 5 B) 8 C) 4 D) 3 E) 10

21. En un triángulo ABC, la medianaBM y la bisectriz interior AF secortan en el punto “O” , la prolonga-ción de CO corta al lado AB en elpunto N. Calcular BN , sabiendoque: AB = 6 y AC = 12

A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

CEPU 2012

-I

(otoño) geometria

Documents