Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ana Kisurek

Osnovna preslikavanja ravnine koristeciGUI

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ana Kisurek

Osnovna preslikavanja ravnine koristeciGUI

Diplomski rad

Voditelj rada:doc.dr.sc. Z. Tomljanovic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

Uvod 1

1 Uvodenje osnovnih pojmova 2

2 Izometrije ravnine 42.1 Translacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Rotacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Centralna simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Osna simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Homotetija 28

4 GUI 324.1 Translacija koristeci GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Rotacija koristeci GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Centralna simetrija koristeci GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Osna simetrija koristeci GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5 Homotetija koristeci GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Literatura 43

Sazetak 44

Zivotopis 45

i

Uvod

S pojmovima preslikavanja ravnine ucenici se upoznaju u osnovnoj skoli. Najprije se u 5.razredu obraduje osna simetrija i osnosimetricni likovi, a potom se u 8. razredu obraduju iostala osnovna preslikavanja. Jedino se s homotetijom ucenici upoznaju tek u srednjoj skolii to ne u svakoj. U srednjim strukovnim skolama s manjim brojem sati homotetija se nitine obraduje. U osnovnoj skoli se ti pojmovi uvedu, a u srednjoj se produbljuje znanje o njima.

U ovom radu cemo govoriti na koji nacin se ti pojmovi obraduju u osnovnoj i srednjojskoli, s naglaskom na gimnazijski program. Osim toga, cemo pokazati kako se moze na jed-nostavan, a opet zanimljiv nacin, ucenicima objasniti ti pojmovi koristeci graficko korisnickosucelje (GUI). Detaljno cemo opisati kako smo napravili GUI i na koji nacin se moze koristitikao pomocno sredstvo u nastavi matematike.

U prvom poglavlju uvest cemo neke osnovne pojmove iz geometrije ravnine koji su nampotrebni za bolje shvacanje samoga rada. Navesti cemo osnovne definicije, teoreme, te pri-mjere koji ce nam biti od pomoci u nastavku rada.

U drugom poglavlju reci cemo nesto vise o izometrijama ravnine. Prvo cemo reci nestoopcenito o izometrijama, a potom cemo prijeci na translaciju, rotaciju, centralnu simetriju ina kraju osnu simetriju. Svaku od izometrija cemo posebno obraditi, prvo pocevsi na raziniosnovne skole, a potom cemo to prosiriti na srednju skolu i ako je to potrebno i na dodatnurazinu. Svi pojmovi ce biti precizno definirani i objasnjeni, te ce svaka izometrija biti pot-krepljena primjerom.

U trecem poglavlju obradivat cemo homotetiju. To je jedino preslikavanje ravnine kojecemo obraditi, a da nije izometrija ravnine. Homotetija se obraduje u srednjoj skoli pa cena toj razini biti obradena i u ovome radu. Takoder, osim definicija i osnovnih teorema, bitce dan i jedan primjer za bolje shvacanje.

U zadnjem poglavlju rada bavit cemo se grafickim korisnickim suceljem. U detalje ce bitiobjasnjeno na koji nacin se obradena preslikavanja ravnine mogu isprogramirati u Matlab-u.Naglasak ce biti na grafickim korisnickim objektima koji cine GUI. Svako od preslikavanjabiti ce posebno objasnjeno.

1

1 Uvodenje osnovnih pojmova

Nastavna cjelina ”Preslikavanja ravnine” uvodi se po prvi puta u osnovnoj skoli, tocnijeu 2. polugodistu osmog razreda. Ucenici se upoznaju s pojmovima usmjerena duzina,kolinearnost, orijentacija, vektor i drugo.

Definicija 1.1 Duzina za koju znamo koja joj je tocka pocetna, a koja zavrsna zove se us-

mjerena duzina. Usmjerenu duzinu kojoj je A pocetna, a B zavrsna tocka oznacavamo−→AB.

Slika 1.1 Usmjerena duzina−→AB

Definicija 1.2 Duljina usmjerene duzine−→AB jednaka je duljini duzine AB.

Definicija 1.3 Za dvije usmjerene duzine koje pripadaju istom ili paralelnim pravcima kazemoda su istog smjera ili kolinearne.

Definicija 1.4 Ako strelice dvije kolinearne usmjerene duzine pokazuju na istu stranu, ondakazemo da te usmjerene duzine imaju istu orijentaciju. U suprotnom, kazemo da te us-mjerene duzine imaju suprotnu orijentaciju.

Definicija 1.5 Za dvije usmjerene duzine kazemo da su ekvivalentne ako imaju jednakeduljine, isti smjer i orijentaciju.

Slika 1.2 Ista orijentacija Slika 1.3 Suprotna orijentacija

Definicija 1.6 Neka je−→AB usmjerena duzina. Skup svih usmjerenih duzina ekvivalentnih s−→

AB nazivamo vektor. Vektore mozemo oznacavati i s ~a, ~b, ~c, . . .

2

Napomena 1.1 Dva su vektora

• jednaka ako imaju jednake duljine, isti smjer i istu orijentaciju.

• suprotna ako imaju jednake duljine, isti smjer i suprotne orijentacije. Vektor suprotanvektoru ~v oznacavamo s −~v.

Slika 1.4 Jednaki vektori Slika 1.5 Suprotni vektori

Definicija 1.7 Vektor koji pocinje i zavrsava u istoj tocki nazivamo nul-vektor. Njegaoznacavamo s ~0 i njegova duljina je 0.

Nakon uvodenja tih osnovnih pojmova, s ucenicima se obraduje zbrajanje i oduzimanjevektora. Vektori se mogu zbrajati na dva nacina tj. koristeci dva pravila. Prvo pravilo jepravilo trokuta. Kako bismo mogli koristiti to pravilo vektore trebamo nacrtati tako dajedan pocinje u zavrsnoj tocki drugoga. Drugo pravilo je pravilo paralelograma. Kakobismo koristili ovo pravilo vektore trebamo nacrtati tako da oba vektora pocinju u istoj tocki.

Slika 1.6 Pravilo trokuta Slika 1.7 Pravilo paralelograma

Definicija 1.8 Od vektora ~a oduzeti vektor ~b znaci vektor ~a zbrojiti s vektorom su-protnim vektoru ~b, to jest s vektorom −~b.

Za neke opcenitije rezultate o danim pojmovima vidi [9].

Nakon uvodenja pojma vektora prelazi se na obradivanje osnovnih preslikavanja ravninetj. translacije, osne simetrije, centralne simetrije i rotacije. No, vise cemo reci o tome daljeu radu.

3

Slika 1.8 Oduzimanje vektora

U vecini srednjih skola se preslikavanja ravnine obraduju u prvom razredu unutar cjeline”Sukladnost i slicnost”, s time da je naglasak na homotetiji posto se taj pojam nije obradivaou osnovnoj skoli. U strukovnim skolama s manjim brojem sati se pojam homotetije niti neuvodi. Opisat cemo kako se to obraduje u matematickoj gimnaziji i ako bude potrebnonavest cemo i neke opcenitije rezultate.

2 Izometrije ravnine

Prvo se uvodi pojam izometrije ravnine.

Definicija 2.1 Neka je M skup tocaka ravnine. Izometrija ravnine je svaka bijekcijaf : M →M takva da za svake dvije tocke A,B ∈M vrijedi:

|f(A)f(B)| = |AB| (2.1)

Potom se iskazu i dokazu sljedeci teoremi:

Teorem 2.1 Svaka izometrija preslikava pravac na pravac.

Dokaz 2.1 Neka je f : M → M izometrija, a A,B,C ∈ M tri kolinearne tocke. Jedna odnjih, npr. C lezi izmedu druge dvije (tj. A � C � B). Tada je |AB| = |AC|+ |CB|, a ondaiz (2.1) slijedi |f(A)f(B)| = |f(A)f(C)| + |f(C)f(B)|. Ova jednakost povlaci da f(C) lezina pravcu f(A)f(B). Zbog toga f cuva kolinearnosti, pa je zbog bijektivnosti slika pravcaopet pravac.

Teorem 2.2 Svaka izometrija preslikava duzinu na duzinu.

Dokaz 2.2 Neka je f : M → M izometrija, a A,B ∈ M dvije razlicite tocke. Neka je T ∈AB. Tada je |AB| = |AT |+ |TB|, a odavde slijedi |f(A)f(B)| = |f(A)f(T )|+ |f(T )f(B)|.Ova jednakost povlaci da je f(T ) ∈ f(A)f(B).

4

Teorem 2.3 Izometrija f cuva kutove, tj. vrijedi ]A′B′C ′ = ]ABC, gdje je A′ = f(A),B′ = f(B) i C ′ = f(C).

Dokaz 2.3 Promotrimo trokut ABC. Posto vrijedi da je |A′B′| = |AB|, |B′C ′| = |BC| i|C ′A′| = |CA|, trokuti ABC i A′B′C ′ su sukladni pa stoga vrijedi i jednakost kutova.

Kako su povezana preslikavanja ravnine, obradena u osnovnoj skoli, s izometrijom i nakoji se nacin obraduje homotetija cemo vidjeti u nastavku rada. Za jos neke rezultate oizometrijama vidi [2], [5] i [6].

2.1 Translacija

Pojam translacije se ucenicima uvodi prvo preko primjera iz svakodnevnog zivota (pomi-canje predmeta u odredenom smjeru), a potom se odrede slike tocaka A, B i C pri translacijiza vektor ~a.

Slika 2.1 Translacija za vektor ~a

Zatim se navodi sljedeca definicija:

Definicija 2.2 Translacija ili usporedni pomak za vektor ~a preslikavanje je ravnine koje

svakoj tocki T ravnine pridruzuje tocku T ′ te ravnine tako da je−−→TT ′ = ~a.

Translacija za vektor ~a oznacava se s t~a, odnosno T ′ = t~a(T ).

Potom se s ucenicima prode kroz nekoliko primjera u kojima se translatiraju duzina, pra-vac, trokut, kruznica i krug. Svi ti primjeri se ucenicima lako mogu demonstrirati koristeciGUI. Ti primjeri sluze kako bi ucenici pravilno zakljucili da se translacijom likovi preslikajuu sebi sukladne likove. Tako translacija duzinu preslikava u njoj paralelnu duzinu iste du-ljine, pravac u njemu paralelni pravac, trokut u njemu sukladni trokut, a kruznicu ili krug ukruznicu ili krug istog radijusa.

5

Slika 2.2 Translacija duzine Slika 2.3 Translacija pravca

Slika 2.4 Translacija trokuta Slika 2.5 Translacija kruznice

Kada se obraduju izometrije, ucenicima se dokaze sljedeci teorem:

Teorem 2.4 Svaka translacija je izometrija ravnine.

Dokaz 2.4 Trebamo pokazati da za svake dvije tocke A,B ∈ M vrijedi |A′B′| = |AB|, gdjeje t~a(A) = A′, a t~a(B) = B′. Tvrdnja neposredno slijedi iz same definicije tj. iz cinjenice

da je−−→AA′ = ~a =

−−→BB′. Iz toga slijedi da je cetverokut AA′BB′ paralelogram tj. da vrijedi

tvrdnja.

Slika 2.6 Translacija je izometrija

6

Takoder, neposredno iz same definicije translacije vidimo da vrijedi:

1. t~a ◦ t~b = t~a+~b

2. t−→−a = (t~a)−1

3. t~0 = iM , gdje je iM identitetaravnine M

Slika 2.7 Kompozicija translacija

U nekim srednjim skolama obraduje se odredivanje koordinata i prikaz vektora preko ma-trica i upravo takav prikaz smo koristili pri programiranje translacije u Matlabu. No, prijenego prijedemo na Matlab, potrebno je da, za bolje shvacanje, uvedemo jos neke pojmove ioznake.

Uz zbrajanje i oduzimanje vektora koje smo ranije spomenuli, potrebno je poznavati josjednu operaciju s vektorima, a to je mnozenje vektora skalarom. Produkt ~b = λ~a skalara λvektorom ~a definira se na sljedeci nacin:

1. Ako je ~a = ~0 ili λ = 0, onda je ~b = ~0

2. Ako su ~a 6= ~0 i λ 6= 0, onda ~b = λ~a definiramo na sljedeci nacin:Vektor~b je vektor ciji je smjer jednak smjeru vektora ~a, duljina mu je jednaka produktuapsolutne vrijednosti skalara λ i duljine vektora ~a, a orijentacija ovisi o predznakuskalara λ. Ako je λ < 0, onda su vektori ~a i ~b suprotne orijentacije, a ako je λ > 0onda su jednake orijentacije.

Slika 2.8 Mnozenje vektora skalarom

7

Uvodimo pojam linearne kombinacije vektora sljedecom definicijom:

Definicija 2.3 Za zadane vektore ~a1, . . . ,~an i skalare λ1, . . . , λn vektor ~a = λ1~a1+ . . .+λn~annazivamo linearna kombinacija vektora ~a1, . . . ,~an s koeficijentima λ1, . . . , λn.

Takoder, potrebno je uvesti pojam linearne (ne)zavisnosti vektora, te pojam baze sljedecimdefinicijama:

Definicija 2.4 Za vektore ~a1, . . . ,~an kazemo da su linearno zavisni ako se barem jedanod njih moze prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora. U suprotnom, tj. ako seni jedan od njih ne moze prikazati kao linearna kombinacija preostalih, za te vektore kazemoda su linearno nezavisni.

Definicija 2.5 Bazu u ravnini cine svaka dva linearno nezavisna vektora u toj ravnini.

Napomena 2.1 Maksimalan je broj linearno nezavisnih vektora u ravnini dva, tj. svaka trirazlicita vektora u ravnini su linearno zavisna.

Teorem 2.5 Vektori ~a1, . . . ,~an su linearno zavisni ako i samo ako postoje skalari λ1, . . . , λn,od kojih je barem jedan razlicit od nule, takvi da vrijedi:

λ1~a1 + . . .+ λn~an = ~0.

Dokaz 2.5 ⇒ Posto su vektori ~a1, . . . ,~an linearno zavisni, onda se barem jedan od njihmoze prikazati kao linearna kombinacija ostalih. Bez smanjenja opcenitosti, pretpostavimoda se vektor ~a1 moze prikazati kao linearna kombinacija ostalih vektora:

~a1 = µ2~a2 + . . .+ µn~an.

Tada za λ1 = 1 6= 0 i λi = −µi, i = 2, . . . , n dobivamo

λ1~a1 + . . .+ λn~an = ~0.

⇐ Neka postoje skalari λi, i = 1, . . . , n takvi da je barem jedan od njih razlicit od nule i vrijedi

λ1~a1 + . . .+ λn~an = ~0.

Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da je λ1 6= 0. Tada dobivamo:

~a1 = −λ2λ1~a2 − . . .−

λnλ1~an,

tj. vektor ~a1 smo prikazali kao linearnu kombinaciju ostalih vektora. Dakle, vektori su line-arno zavisni.

8

Teorem 2.6 Ako su ~a i ~b dva linearno nezavisna vektora u ravnini, onda se svaki vektor ~cmoze na jedinstveni nacin prikazati kao linearna kombinacija vektora ~a i ~b

Dokaz 2.6 Linearna zavisnost tri razlicita vektora ~a, ~b i ~c slijedi iz Napomene 2.1. Stogapo Definiciji 2.4 jedan od njih mozemo prikazati kao linearnu kombinaciju ostalih tj.

~c = λ · ~a+ µ ·~b.

Kako bi dokazali jedinstvenost tog rastava, pretpostaviti cemo suprotno tj. da je vrijedi

~c = λ′ · ~a+ µ′ ·~b,

gdje je λ′ 6= λ ili µ′ 6= µ.Ako oduzmemo te dvije jednakosti dobivamo

(λ− λ′)~a+ (µ− µ′)~b = ~0,

a posto su ~a i ~b linearno nezavisni onda mora vrijediti λ = λ′ i µ = µ′, pa je to kontradikcija.

Jedinicni vektori~i i ~j pravokutnog koordinatnog sustava su linearno nezavisni i cine bazu,pa se svaki vektor u ravnini moze prikazati kao linearna kombinacija tih dvaju vektora. Stogacemo mi od sada pa nadalje promatrati translaciju za vektor ~v = a ·~i + b ·~j. Translacijomza taj vektor se tocka T (x, y) preslika u tocku T ′(x′, y′). Odnosno, mora vrijediti:

−−→TT ′ = ~v

⇒ (x′ − x) ·~i+ (y′ − y) ·~j = a ·~i+ b ·~j,

odnosno:x′ − x = a ⇒ x′ = x+ a

y′ − y = b ⇒ y′ = y + b

Kako bi definirali translaciju pomocu matrica, potrebno je definirati pojam homogenihkoordinata. Homogene koordinate tocke (x, y) su sve tocke oblika (x · t, y · t, t) pri cemuje t 6= 0. Mi cemo, dalje u radu, uzeti da je t = 1 tj. promatrat cemo tocke oblika (x, y, 1).

Sada translaciju tocke T (x, y) za vektor a~i+ b~j realiziramo matricnim mnozenjem: 1 0 a0 1 b0 0 1

· xy1

=

x+ ay + b

1

(2.2)

9

Slika 2.9 Vektori baze

Primjer 2.1 Neka su dane koordinate trokuta A(−2, 3), B(0, 4) i C(1,−1). Translatirajtetaj trokut za vektor 2~i− 3~j.

Prvo, definirajmo matricu translacije T :

T =

1 0 20 1 −30 0 1

Potom cemo nas trokut predstaviti matricom P ciji su stupci homogene koordinate vrhovatrokuta:

P =

−2 0 13 4 −11 1 1

Homogene koordinate vrhova translatiranog trokuta dane su matricom P ′ = T · P

P ′ =

1 0 20 1 −30 0 1

· −2 0 1

3 4 −11 1 1

=

0 2 30 1 −41 1 1

Odnosno, translatirani trokut ima vrhove A′(0, 0), B′(2, 1) i C ′(3,−4)

Opcenito, matricu homogenih koordinata vrhova translatiranog mnogokuta dobijemotako da matricu translacije pomnozimo s matricom homogenih koordinata vrhova tog mno-gokuta.

Vise o vektorima, translaciji, homogenim koordinatama i ostalim pojmovima opisanim uovo potpoglavlju vidi [1], [5], [6], [7], [8], [9] i [15].

10

Slika 2.10 Translacija trokuta za vektor 2~i− 3~j

2.2 Rotacija

Ucenicima u osnovnoj skoli se na samome pocetku obradivanja rotacije objasnjava kakose s rotacijom susrecemo svakodnevno. Jedan primjer rotacije je vrtuljak, a drugi sat. Ka-zaljke sata se rotiraju oko sredisnje tocke toga sata. Pa tako, primjerice, za 12 sati kazaljkakoja pokazuje sate zarotira se za 360◦, a za, primjerice, 2 sata zarotira se za 60◦. Dakle, zarotaciju je potrebno znati oko koje tocke rotiramo i za koji kut.

Zatim se navodi sljedeca definicija:

Definicija 2.6 Neka je O zadana tocka ravnine, a α kut. Rotacija oko tocke O za kutα preslikavanje je ravnine koje svakoj tocki T ravnine, razlicitoj od O, pridruzuje tocku T ′

takvu da vrijedi: |OT | = |OT ′| i ]TOT ′ = α.Tocka T ′ slika je tocke T pri rotaciji oko tocke O za kut α. Tocka O je srediste ili centarrotacije, a kut α je kut rotacije. Rotaciju oko tocke O za kut α oznacavamo s rαO

Slika 2.11 Rotacija oko tocke O za kut α

Napomena 2.2 Jedina fiksna tocka rotacije je tocka oko koje se rotira.

11

Razlikujemo dvije vrste rotacije.

1. Ako tocku T rotiramo u smjeru suprotnom kretanju kazaljke sata, kazemo da rotacijuizvodimo u pozitivnom smjeru.

2. Ako tocku T rotiramo u smjeru kretanja kazaljke na satu, kazemo da rotaciju izvodimou negativnom smjeru.

Napomena 2.3 Analogno je izvoditi rotaciju za kut α u negativnom smjeru i izvoditi rota-ciju za kut −α.

Slika 2.12 Rotacija za kut α > 0 Slika 2.13 Rotacija za kut α < 0

Potom se s ucenicima prode kroz nekoliko primjera u kojima se rotacijom preslikajuduzina, pravac, trokut, kruznica i krug. Svi ti primjeri se ucenicima lako mogu demonstriratikoristeci GUI. Ti primjeri sluze kako bi ucenici pravilno zakljucili da se rotacijom likovipreslikaju u sebi sukladne likove. Tako rotacija duzinu preslikava u duzinu iste duljine,pravac u pravac, trokut u njemu sukladni trokut, a kruznicu ili krug u kruznicu ili krug istogradijusa.

Slika 2.14 Rotacija duzine Slika 2.15 Rotacija pravca

12

Slika 2.16 Rotacija trokuta Slika 2.17 Rotacija kruznice

Kada se obraduju izometrije ucenicima se dokaze sljedeci teorem:

Teorem 2.7 Svaka rotacija je izometrija ravnine.

Slika 2.18 Rotacija je izometrija

Dokaz 2.7 Trebamo pokazati da za svake dvije tocke A,B ∈ M vrijedi |A′B′| = |AB|, gdjeje rαO(A) = A′, a rαO(B) = B′. Iz definicije vrijedi da je |BO| = |OB′| i |AO| = |OA′|, tevrijedi ]AOB = α + ]AOB′ = ]A′OB′. Pa stoga po S-K-S poucku o sukladnosti trokutavrijedi da su trokuti M AOB i M A′OB′ sukladni, te iz toga slijedi da je |A′B′| = |AB|.

Osim navedenog, potrebno je znati kako rotaciju promatrati pomocu matrica i vektora.Prvo cemo promatrati rotaciju oko ishodiste O(0, 0) za kut α. Neka je tocka T (x, y) pro-izvoljna tocka u ravnini, a tocka T ′(x′, y′) je dobivena rotacijom tocke T oko ishodista za kutα. Oznacimo s ~v = x ·~i+ y ·~j radij-vektor tocke T , a s ~v′ = x′ ·~i+ y′ ·~j radij-vektor tockeT ′. Iz definicije rotacije vidimo da su duljine tih vektora jednake, oznacimo tu duljinu s d.

Ako promotrimo Sliku 2.19 mozemo uociti da vrijedi sljedece:

x′ = d · cos(α + β) = d · (cosα cos β − sinα sin β)

y′ = d · sin(α + β) = d · (sinα cos β + cosα sin β)

13

Slika 2.19 Izvod matrice rotacije

Kako je:

cos β =x

d

sin β =y

d

dobivamo:

x′ = d · (cosα cos β − sinα sin β) = x · cosα− y · sinα

y′ = d · (sinα cos β + cosα sin β) = x · sinα + y · cosα

odnosno, u zapisu pomocu vektora:[x′

y′

]=

[cosα − sinαsinα cosα

]·[xy

]

Ako oznacimo

v =

[xy

]i v′ =

[x′

y′

],

dobili smo da je v′ = R · v, gdje je R matrica rotacije

R =

[cosα − sinαsinα cosα

]

Matrica R je ortogonalna, jer je RRT = I . To znaci da iz v′ = R ·v slijedi v = RT ·v′, paje RT takoder matrica rotacije, ali za rotaciju suprotnog smjera od rotacije opisane matricomR. To znaci da je RT matrica rotacije za kut −α , sto se lako vidi ako se u matrici R kut αzamjeni kutom −α.

14

Sada cemo promatrati rotaciju oko neke tocke O′ 6= (0, 0). Takva rotacija se izvodi nasljedeci nacin:

1. Translatiramo tocku O′ u ishodiste.

2. Izvedemo rotaciju oko ishodista.

3. Napravimo inverz translacije, odnosno vratimo se u tocku O′.

Promatramo li taj postupak matricno, ono izgleda ovako:

RO′ = T−→OS·RO · T−1−→

OS(2.3)

Za vise rezultata i bolje shvacanje rotacije vidi [1], [5], [6], [7], [8], [10] i [16].

Primjer 2.2 Neka su dane koordinate trokuta A(−2, 3), B(0, 4) i C(1,−1). Preslikajte tajtrokut rotacijom oko tocke O′(2, 1) za kut α = 45◦.

Slika 2.20 Rotacija oko tocke O(2, 1) za kut α = 45◦

Prvo, definirajmo matricu translacije T :

T =

1 0 20 1 10 0 1

15

Potom cemo nas trokut predstaviti matricom P ciji su stupci homogene koordinate vrhovatrokuta:

P =

−2 0 13 4 −11 1 1

Matrica rotacije R, u slucaju homogenih koordinata, dana je na sljedeci nacin:

R =

√22−√22

0√22

√22

00 0 1

Iz (2.3) dobivamo da su homogene koordinate vrhova trokuta dobivenog trazenom rotaci-jom dane matricom

P ′ = T ·R · T−1 · P

P ′ =

1 0 20 1 10 0 1

·√22−√22

0√22

√22

00 0 1

· 1 0 −2

0 1 −10 0 1

· −2 0 1

3 4 −11 1 1

P ′ =

−2.2426 −1.5355 2.7071−0.4142 1.7071 −1.1213

1 1 1

Dakle, trazenom rotacijom smo dobili trokut s koordinatama vrhova A′(−2.2426,−0.4142),B′(−1.5355, 1.7071) i C ′(2.7071,−1.1213).

2.3 Centralna simetrija

Pojam centralne simetrije se ucenicima uvodi prvo preko primjera tj. demonstrira im sekako naci centralnosimetricnu sliku T ′ proizvoljne tocke T oko unaprijed zadane tocke O.

To se radi na sljedeci nacin:

• Iz tocke T povucemo polupravac kroz tocku O.

• Tocku T ′ dobivamo tako da iz tocke O nanesemo na polupravac duljinu duzine TO nastranu suprotnu od tocke T , to jest tako da je |TO| = |OT ′|.

16

Slika 2.21 Centralna simetrija oko tocke O

Nakon toga se zajedno s ucenicima izvodi sljedeca definicija:

Definicija 2.7 Centralna simetrija s obzirom na tocku O jest preslikavanje ravnine kojesvakoj tocki T pridruzuje tocku T ′ tako da je tocka O poloviste duzine TT ′. Tocka O jecentar ili srediste simetrije. Centralna simetrija oko tocke O oznacava se s sO, odnosnoT ′ = sO(T ).

Napomena 2.4 T ′ = sO(T ), ali vrijedi i obratno tj. T = sO(T ′).

Potom se s ucenicima prode kroz nekoliko primjera u kojima se pronadu centralnosime-tricne slike duzine, pravca, trokuta, kruznice i kruga. Svi ti primjeri se ucenicima lako mogudemonstrirati koristeci GUI. Ti primjeri sluze kako bi ucenici pravilno zakljucili da se cen-tralnom simetrijom likovi preslikaju u sebi sukladne likove. Tako centralna simetrija duzinupreslikava u njoj usporednu duzinu iste duljine, pravac u njemu usporedni pravac, trokut unjemu sukladni trokut, a kruznicu ili krug u kruznicu ili krug istog radijusa.

Slika 2.22 Centralna simetrija duzine Slika 2.23 Centralna simetrija pravca

Slika 2.24 Centralna simetrija trokuta Slika 2.25 Centralna simetrija kruznice

17

Kada se obraduje centralna simetrija, uvodi se i pojam centralnosimetricnih likova.

Ucenicima se prvo pokaze sljedeci primjer:

Primjer 2.3 Odredimo centralnosimetricnu sliku kvadrata s obzirom na sjeciste njegovih di-jagonala.

Slika 2.26 Centralna simetrija kvadrata oko sjecista dijagonala

Centralna simetrija s obzirom na sjeciste njegovih dijagonala preslikava kvadrat u njegasamog. Kvadrat je centralnosimetrican lik.

Potom se uvodi sljedeca definicija:

Definicija 2.8 Lik je centralnosimetrican ako postoji centralna simetrija koja lik presli-kava u njega samog. Centar te centralne simetrije naziva se centar simetrije lika.

Napomena 2.5 Ako je lik centralnosimetrican, onda on ima samo jedan centar simetrije.

Zatim se sa ucenicima prode kroz jos nekoliko primjera kako bi uocili sljedece:

• Centar simetrije romba je sjeciste njegovih dijagonala.

• Centar simetrije pravokutnika je sjeciste njegovih dijagonala.

• Centar simetrije pravilnog sesterokuta je srediste njemu opisane kruznice.

• Centar simetrije kruga je srediste tog kruga.

Kada se obraduju izometrije ucenicima se dokaze sljedeci teorem:

Teorem 2.8 Svaka centralna simetrija je izometrija ravnine.

18

Dokaz 2.8 Trebamo pokazati da za svake dvije tocke A,B ∈ M vrijedi |A′B′| = |AB|, gdjeje sO(A) = A′, a sO(B) = B′. Iz definicije vrijedi da je |BO| = |OB′| i |AO| = |OA′|, tevrijedi ]AOB = ]A′OB′ jer su to vrsni kutovi. Pa stoga po S-K-S poucku o sukladnostitrokuta vrijedi da su trokuti M AOB i M A′OB′ sukladni, te iz toga slijedi da je |A′B′| = |AB|.

Slika 2.27 Centralna simetrija je izometrija

Takoder, neposredno iz same definicije centralne simetrije vidimo da vrijedi:

1. sO ◦ sO = iM , gdje je iM identiteta ravnine M .

2. Jedina fiksna tocka centralne simetrije je centar simetrije.

3. Fiksni pravci centralne simetrije su svi oni koji sadrze centar simetrije.

Osim navedenog, ucenicima u srednjoj skoli se objasni i kako centralnu simetriju zapisativektorski. Lako se uoci da, ako je tocka T ′(x′, y′) centralnosimetricna slika tocke T (x, y) sobzirom na centar O(xc, yc), vrijedi:

−−→OT ′ = −

−→OT,

odnosno:

(x′ − xc) ·~i+ (y′ − yc) ·~j = (xc − x) ·~i+ (yc − y) ·~j.

Dakle, vrijedi:x′ − xc = xc − x ⇒ x′ = 2 · xc − x, (2.4)

y′ − yc = yc − y ⇒ y′ = 2 · yc − y. (2.5)

Za vise rezultata i bolje shvacanje centralne simetrije vidi [5], [6], i [8].

Primjer 2.4 Neka su dane koordinate trokuta A(−2, 3), B(0, 4) i C(1,−1). Preslikajte tajtrokut centralnom simetrijom oko tocke O(2, 1).

19

Odredimo koordinate tocaka A′(a1, a2), B′(b1, b2) i C ′(c1, c2).

a1 = 2 · 2− (−2) = 6 a2 = 1 · 2− 3 = −1

b1 = 2 · 2− 0 = 4 b2 = 1 · 2− 4 = −2

c1 = 2 · 2− 1 = 3 c2 = 1 · 2− (−1) = 3

Dakle, centralnosimetricna slika danog trokuta s obzirom na danu tocku O je trokut skoordinatama vrhova A′(6,−1), B′(4,−2) i C ′(3, 3).

Slika 2.28 Centralna simetrija oko tocke O(2, 1)

2.4 Osna simetrija

Za razliku od ranije navedenih izometrija, osna simetrija se su ucenicima obraduje vec u 5.razredu. Tada se navode osnovni pojmovi bez da se strogo definira sam pojam. U 8. razredu,ucenike se podsjeti kako su se s osnom simetrijom vec ranije sreli, ne samo na satu matema-tike, vec i cesto na satovima likovnog odgoja. Ucenicima se ukazuje kako je slika nas u zrcaluzapravo nasa osnosimetricna slika. Stoga se osna simetrija naziva jos i refleksija ili zrcaljenje.

Potom se ucenicima demonstrira kako pronaci osnosimetricnu sliku T ′ proizvoljne tockeT oko unaprijed zadanog pravca p.

To se radi na sljedeci nacin:

• Iz tocke T povucemo okomicu na pravac p. Ona pravac p sijece u tocki N .

• Tocku T ′ dobijemo tako da iz tocke N nanesemo na okomici duljinu duzine TN , nastranu suprotnu od tocke T , to jest tako da je |TN | = |NT ′|.

20

Slika 2.29 Osna simetrija s obzirom na pravac p

Tada se s ucenicima izvodi sljedeca definicija:

Definicija 2.9 Osna simetrija s obzirom na pravac p jest preslikavanje ravnine koje svakojtocki T pridruzuje tocku T ′ tako da je pravac p simetrala duzine TT ′. Tocka T ′ osnosime-tricna je slika tocke T . Pravac p jest os simetrije. Osna simetrija s obzirom na pravac poznacava se s sp, odnosno T ′ = sp(T ).

Napomena 2.6 T ′ = sp(T ), ali vrijedi i obratno tj. T = sp(T′).

Potom se s ucenicima prode kroz nekoliko primjera u kojima se pronadu osnosimetricneslike duzine, pravca, trokuta, kruznice i kruga. Svi ti primjeri se ucenicima lako mogudemonstrirati koristeci GUI. Ti primjeri sluze kako bi ucenici pravilno zakljucili da se osnomsimetrijom likovi preslikaju u sebi sukladne likove. Tako osna simetrija duzinu preslikava uduzinu iste duljine, pravac u pravac, trokut u njemu sukladni trokut, a kruznicu ili krug ukruznicu ili krug istog radijusa.

Slika 2.30 Osna simetrija duzine Slika 2.31 Osna simetrija pravca

Takoder, ovdje se ucenike podsjeti na pojmove simetrala duzine i simetrala kuta sljedecimdefinicijama:

Definicija 2.10 Simetrala duzine pravac je koji prolazi polovistem duzine i okomit je nanju.

21

Slika 2.32 Osna simetrija trokuta Slika 2.33 Osna simetrija kruznice

Definicija 2.11 Simetrala kuta pravac je koji prolazi njegovim vrhom i dijeli ga na dvajednaka dijela.

Napomena 2.7 Vrijedi sljedece:

• Svaka tocka koja pripada simetrali duzine jednako je udaljena od krajeva te duzine.

• Svaka tocka simetrale kuta jednako je udaljena od krakova tog kuta.

Kada se obraduje osna simetrija, uvodi se i pojam osnosimetricnih likova. Ucenicima seprvo pokaze sljedeci primjer:

Primjer 2.5 Odredimo osnosimetricnu sliku kvadrata ABCD s obzirom na:

(a) pravac AC

(b) pravac BD

(c) simetralu stranice AB, tj. CD

(d) simetralu stranice AD, tj. BC

Slika 2.34 Primjer 7.a) Slika 2.35 Primjer 7.b)

22

Slika 2.36 Primjer 7.c) Slika 2.37 Primjer 7.d)

Uocili smo da sve te osne simetrije preslikavaju kvadrat u njega samog. Kvadrat je os-nosimetrican lik.

Potom se uvodi sljedeca definicija:

Definicija 2.12 Lik je osnosimetrican ako postoji osna simetrija koja lik preslikava unjega samog. Os te osne simetrije naziva se os simetrije lika.

Napomena 2.8 Ako je lik osnosimetrican, onda on ne mora imati samo jednu os simetrije.

Zatim se sa ucenicima prode kroz jos nekoliko primjera kako bi uocili sljedece:

• Duzina ima dvije osi simetrije. To su njezina simetrala i pravac na kojem lezi ta duzina.

• Pravokutnik ima dvije osi simetrije. To su simetrale njegovih suprotnih stranica.

• Romb ima dvije osi simetrije. To su pravci na kojima leze njegove dijagonale.

• Jednakokracni trokut ima jednu os simetrije. To je simetrala njegove osnovice.

• Jednakostranicni trokut ima tri osi simetrije. To su simetrale njegovih stranica.

• Pravilan sesterokut ima sest osi simetrije. To su simetrale kutova i stranica.

• Krug ima beskonacno mnogo osi simetrije. To je svaki pravac koji prolazi kroz sredistetog kruga.

Kada se obraduju izometrije ucenicima se dokaze sljedeci teorem:

Teorem 2.9 Svaka osna simetrija je izometrija ravnine.

23

Dokaz 2.9 Trebamo pokazati da za svake dvije tocke A,B ∈ M vrijedi |A′B′| = |AB|, gdjeje sp(A) = A′, a sp(B) = B′. Postoje 4 slucaja koja trebamo razmatrati.

Slucaj 1. Tocka B lezi na pravcu p i AB je okomita na p. Analogno za A ∈ p.

Pravac p je simetrala duzine AA′ pa je tocka B = B′ poloviste te duzine. Stoga vrijedida je |A′B′| = |AB|.

Slucaj 2. Tocka A lezi na pravcu P i AB nije okomita na p. Analogno za B ∈ p.

Oznacimo s N noziste okomice iz tocke B na pravac p. Po definiciji vrijedi da je|BN | = |NB′| i ]BNA = 90◦ = ]B′NA′. Osim toga, duzina AN je zajednicka troku-tima M ABN i M A′B′N . Pa su stoga ti trokuti sukladni po S-K-S poucku o sukladnostitrokuta, te slijedi da je |A′B′| = |AB|.

Slika 2.38 Slucaj 1. Slika 2.39 Slucaj 2.

Slucaj 3. Tocke A i B se nalaze na suprotnim stranama pravca p.

Oznacimo s N1 noziste okomice iz tocke A na pravac p, s N2 noziste okomice iz tocke Bna pravac p, a s S sjeciste duzina AB i A′B′. Primjetimo da je S ∈ p. Iz definicije osnesimetrije vrijedi da je |BN2| = |N2B

′| i |AN1| = |N1A′|, te vrijedi ]B′N2S = 90◦ = ]BN2S

i ]A′N1S = 90◦ = ]AN1S. Duzina N2S je zajednicka trokutima M BN2S i M B′N2S, pa suti trokuti sukladni po S-K-S poucku o sukladnosti trokuta. Takoder, duzina N1S je zajednickatrokutima M AN1S i M A′N1S, pa su ti trokuti sukladni po S-K-S poucku o sukladnosti tro-kuta. Iz sukladnosti tih trokuta slijedi da je |AB| = |AS|+ |SB| = |A′S|+ |SB′| = |A′B′|.

Slucaj 4. Tocke A i B se nalaze na istoj strani pravca p.

Oznacimo s N1 noziste okomice iz tocke A na pravac p, a s N2 noziste okomice iz tockeB na pravac p. Iz definicije vrijedi da je |BN2| = |N2B

′| i |AN1| = |N1A′|, te vrijedi

]B′N2N1 = 90◦ = ]BN2N1.Takoder, duzina N1N2 je zajednicka trokutima M BN2N1 i M B′N2N1, pa stoga po S-K-Spoucku o sukladnosti trokuta vrijedi da su ti trokuti sukladni.

24

Iz sukladnosti tih trokuta slijedi da je |BN1| = |B′N1| i ]N2N1B = ]B′N1N2. Iz jed-nakosti tih kutova slijedi ]AN1B = 90◦ − ]N2N1B = 90◦ − ]B′N1N2 = ]A′N1B

′. Iz togasvega, po S-K-S poucku o sukladnosti trokuta, vrijedi da su trokuti M ABN1 i M AB′N1

sukladni, odakle slijedi |AB| = |A′B′|.

Slika 2.40 Slucaj 3. Slika 2.41 Slucaj 4.

Takoder, neposredno iz same definicije osne simetrije vidimo da vrijedi:

1. Svaka tocka na osi simetrije je fiksna tocka.

2. Os simetrije je fiksan pravac.

3. Svi pravci okomiti na os simetrije su fiksni pravci.

Pri programiranju, tocku A′(x′a, y′a), dobivenu osnom simetrijom tocke A(xa, ya) s obzi-

rom na pravac p... y = k1 · x + l1, smo promatrali kao tocku koja je jednako udaljena odpravca p kao i tocka A. Odnosno, udaljenost tocke A′ do nozista (xp, yp) okomice iz tocke Ana pravac p jednaka je udaljenosti tocke A do tog nozista. Pa analogno kao u (2.4) i (2.5)dobijemo da vrijedi:

x′a = 2 · xp − xa, (2.6)

y′a = 2 · yp − ya. (2.7)

Promotrimo prvo slucaj za k1 6= 0. Koordinate xp i yp dobijemo kao presjek pravca p iokomice iz tocke A na taj pravac. Prvo moramo odrediti jednadzbu pravca n . . . y = k2 ·x+l2okomitog na dani pravac p . . . y = k1 · x + l1. Koeficijent k2 dobijemo iz okomitosti ta dvapravca tj. vrijedi k2 = − 1

k1. Potom koeficijent l2 dobijemo iz cinjenice da pravac n prolazi

tockom A(xa, ya), tj. dobijemo da je l2 = ya − k2 · xa.

Kada smo odredili jednadzbu pravca n, koordinate nozista xp i yp dobijemo kao presjekpravaca p i n:

k1 · xp + l1 = k2 · xp + l2,

25

odnosno vrijedi:

xp =l2 − l1k1 − k2

=l2 − l1k1 + 1

k1

=(l2 − l1)k1k21 + 1

, (2.8)

yp = k1 · xp + l1. (2.9)

Ovo je opceniti slucaj kako dobiti koordinate nozista. No, promotrimo sada i neke spe-cijalne slucajeve.

Prvi specijalan slucaj je za k1 = 0, kada nam je os simetrije pravac y = l. To je pra-vac paralelan s x-osi, pa ce okomica biti pravac koji prolazi tockom A(xa, ya) i paralelan jes y-osi, tj. pravac x = xa. Odnosno, xp = xa, yp = l, a x′a i y′a se racunaju prema (2.6) i (2.7).

Drugi specijalan slucaj je kada nam je os simetrije pravac x = k sto nije opisano slucajemy = k1 · x+ l1. To je pravac paralelan s y-osi, pa ce okomica biti pravac koji prolazi tockomA(xa, ya) i paralelan je s x-osi, tj. pravac y = ya. Odnosno, xp = k, a yp = ya, a x′a i y′a seracunaju prema (2.6) i (2.7).

Slika 2.42 Os simetrije je y = l Slika 2.43 Os simetrije je x = k

Za vise rezultata i bolje shvacanje osne simetrije vidi [5], [6] i [14].

Primjer 2.6 Neka su dane koordinate trokuta A(−2, 3), B(0, 4) i C(1,−1). Preslikajte tajtrokut osnom simetrijom simetrijom s obzirom na pravac koji prolazi tockama (−2, 0) i (2, 4).

Odredimo prvo jednadzbu nasega pravca:

y =4− 0

2− (−2)· (x− (−2)) = x+ 2.

Odnosno, dobili smo da je k1 = 1, a l1 = 2.

26

Potom odredimo koeficijente k2 i l2 za svaku od okomica iz vrhova na os simetrije. Ko-eficijent k2 = −1

k1= −1, a koeficijenti l2 su dani na sljedeci nacin:

l2A = −k2 · xA + yA = −2 + 3 = 1,

l2B = −k2 · xB + yB = 0 + 4 = 4,

l2C = −k2 · xC + yC = 1− 1 = 0.

Odredimo sada koordinate nozista okomica iz vrhova na os simetrije:

xpA =l2A−l1k1−k2 = 1−2

1+1= −1

2,

ypA = k1 · xpA + l1 = −12

+ 2 = 32,

xpB =l2B−l1k1−k2 = 4−2

1+1= 1,

ypB = k1 · xpB + l1 = 1 + 2 = 3,

xpC =l2C−l1k1−k2 = 0−2

1+1= −1,

ypC = k1 · xpC + l1 = −1 + 2 = 1.

Odredimo koordinate tocaka A′(a1, a2), B′(b1, b2) i C ′(c1, c2).

a1 = 2 · xpA − xA = −1 + 2 = 1, a2 = 2 · ypA − yA = 3− 3 = 0,b1 = 2 · xpB − xB = 2− 0 = 2, b2 = 2 · ypB − yB = 6− 4 = 2,c1 = 2 · xpC − xC = −2− 1 = −2. c2 = 2 · ypC − yC = 2 + 1 = 3.

Dakle, osnosimetricna slika danog trokuta s obzirom na pravac koji prolazi tockama(−2, 0) i (2, 4) je trokut s koordinatama vrhova A′(1, 0), B′(2, 2) i C ′(−2, 3).

Slika 2.44 Osna simetrija s obzirom na pravac koji prolazi tockama (−2, 0) i (2, 4)

27

3 Homotetija

S pojmom homotetije neki ucenici se po prvi puta susrecu u 1. razredu srednje skole unastavnoj cjelini ”Sukladnost i slicnost”, dok se u nekim srednjim skolama s manjim brojemsati matematike taj pojam niti ne uvodi.

Homotetija se uvodi sljedecom definicijom:

Definicija 3.1 Neka je O tocka ravnine i k 6= 0 realan broj. Homotetija sa sredistem Oi koeficijentom k je preslikavanje ravnine za koje vrijedi

1. O 7→ O

2. za svaku tocku T 6= O, T 7→ T ′, tako da vrijedi−−→OT ′ = k ·

−→OT .

Homotetiju sa sredistem O i koeficijentom k oznacavamo s hkO, tj. T ′ = hkO(T ). Za |k| > 1homotetiju zovemo rastezanje, a za |k| < 1 homotetiju zovemo stezanje.

Potom se ucenicima objasnjava kako je homotetija potpuno odredena sa sredistem i jed-nim parom pridruzenih tocaka. Ako je zadano srediste O i tocke A i A′ takve da vrijediA′ = hkO(A), lako odredimo tocku T ′ za koju vrijedi T ′ = hkO(T ), gdje je T proizvoljna tockaravnine.

To se radi na sljedeci nacin:

1. Nacrtamo pravac OT .

2. Nacrtamo pravac p koji prolazi kroz A′ i paralelan je s AT .

3. Tocka T ′ = p ∩OT

Slika 3.1 Homotetija sa sredistem O i koeficijentom k

Napomena 3.1 Vrijedi sljedece:

• Tocke T , O i T ′ = hkO(T ) leze na istom pravcu.

• Ako je k < 0 onda se tocke T i T ′ = hkO(T ) nalaze s razlicitih strana tocke O.

• Ako je k > 0 onda se tocke T i T ′ = hkO(T ) nalaze s iste strane tocke O.

28

Slika 3.2 Homotetija za k < 0 Slika 3.3 Homotetija za k > 0

Takoder, neposredno iz same definicije homotetije vidimo da vrijedi:

1. h1O = iM , gdje je iM identiteta ravnine M .

2. h−1O = sO, gdje je sO centralna simetrija oko tocke O.

3. Jedina fiksna tocka homotetije je srediste homotetije.

4. Fiksni pravci homotetije su svi oni koji prolaze kroz srediste homotetije.

5. haO ◦ hbO = habO .

Teorem 3.1 Homotetija hkO ravnine je bijekcija.

Dokaz 3.1 Injektivnost. Neka su P i Q dvije razlicite tocke ravnine, te P ′ = hkO(P ) iQ′ = hkO(Q). Tada je

−−→P ′Q′ =

−−→OQ′ −

−−→OP ′ = k

−→OQ− k

−→OP = k

−→PQ,

jer je P 6= Q,−→PQ 6= ~0 i k 6= 0, pa je

−−→P ′Q′ 6= ~0 i stoga P ′ 6= Q′.

Surjektivnost. Neka je B proizvoljna tocka ravnine. Tada uzmemo tocku A odredenu s−→OA = 1

k

−−→OB. Oznacimo li A′ = hkO(A), imamo

−−→OA′ = k

−→OA =

−−→OB ⇒ A′ = B,

tj. B = hkO(A).

Potom se s ucenicima prode kroz nekoliko primjera u kojima se homotetijom preslikajuduzina, pravac, trokut i kruznica. Ti primjeri sluze kako bi ucenici pravilno zakljucili dase homotetijom pravac preslika u njemu paralelni pravac, duzina u njoj paralelnu duzinu,trokut u njemu slican trokut i kruznica u kruznicu.

29

Slika 3.4 Homotetija duzine Slika 3.5 Homotetija pravca

Slika 3.6 Homotetija trokuta Slika 3.7 Homotetija kruznice

Kada se obraduje homotetija, uvodi se i pojam preslikavanja slicnosti sljedecom definici-jom:

Definicija 3.2 Preslikavanje f ravnine je preslikavanje slicnosti ako postoji broj s > 0takav da je |f(P )f(Q)| = s|PQ|, za svake dvije tocke P i Q ravnine. Broj s se zove koefi-cijent slicnosti.

Teorem 3.2 (o slicnosti)

1. Izometrija je preslikavanje slicnosti s koeficijentom slicnosti 1.

2. Homotetija s koeficijentom k je preslikavanje slicnosti s koeficijentom slicnosti s = |k|.

Dokaz 3.2 Neka je g izometrija ravnine, hkO homotetija i za svaku tocku T ravnine, nekaje T ′ = g(T ) i T ′′ = hkO(T ). Neka su A i B dvije proizvoljne tocke ravnine.

1. |g(A)g(B)| = |AB|, po definiciji izometrije. Iz cega slijedi da je s = 1, tj. slijeditvrdnja.

2.−−→OA′ = k ·

−→OA i

−−→OB′ = k ·

−−→OB

⇒−−→A′B′ =

−−→A′O +

−−→OB′ = k ·

−→AO + k ·

−−→OB = k ·

−→AB.

⇒ |A′B′| = |k||AB|.

Odnosno, homotetija je preslikavanje slicnosti s koeficijentom slicnosti s = |k|.

30

Slika 3.8 Homotetija je preslikavanje slicnosti

Ako je tocka T ′(x′, y′) homoteticna slika tocke T (x, y) s obzirom na srediste O(xc, yc) ikoeficijent k, vrijedi:

−−→OT ′ = k ·

−→OT,

odnosno:

(x′ − xc) ·~i+ (y′ − yc) ·~j = k · (x− xc) ·~i+ k · (y − yc) ·~j.Dakle, vrijedi:

x′ − xc = k · x− k · xc ⇒ x′ = k · x+ (1− k) · xc, (3.1)

y′ − yc = k · y − k · yc ⇒ y′ = k · y + (1− k) · yc. (3.2)

Stoga, odredili smo koordinate preslikane tocke sto cemo koristiti u GUI-ju.

Za vise rezultata i bolje shvacanje homotetije vidi [2], [5] i [6].

Primjer 3.1 Neka su dane koordinate trokuta A(−2, 3), B(0, 4) i C(1,−1). Preslikajte tajtrokut homotetijom sa sredistem u tocki O(2, 1) i koeficijentom k = 2.

Odredimo koordinate tocaka A′(a1, a2), B′(b1, b2) i C ′(c1, c2).

a1 = 2 · (−2) + (1− 2) · 2 = −6 a2 = 2 · 3 + (1− 2) · 1 = 5

b1 = 2 · 0 + (1− 2) · 2 = −2 b2 = 2 · 4 + (1− 2) · 1 = 7

c1 = 2 · 1 + (1− 2) · 2 = 0 c2 = 2 · (−1) + (1− 2) · 1 = −3

Dakle, homoteticna slika danog trokuta s obzirom na danu tocku O i koeficijent k je trokuts koordinatama vrhova A′(−6, 5), B′(−2, 7) i C ′(0,−3).

31

Slika 3.9 Homotetija oko tocke O(2, 1) s koeficijentom k = 2

4 GUI

U ovom poglavlju objasnit cemo na koji nacin smo navedena preslikavanja ravnine is-programirali u Matlab-u. Graficko korisnicko sucelje (GUI) koji smo napravili je izrazitojednostavno za upotrebu, nisu potrebna neka posebna predznanja, a opet je vrlo ilustrativnoi poucno. Mogu ga koristiti nastavnici kao demonstracijski alat ili sami ucenici.

Kada se pokrene progam otvori se pocetni prozor (Slika 4.1) u kojemu stoje kratke uputecemu sluzi program, te dvije tipke ulaz i izlaz. Svaki prozor ima svoje ime, poziciju i boju.To je napravljeno na sljedeci nacin:

pocetnaf=figure(’position’,[200 200 500 500],...

’name’,’pocetna’,...

’color’,[0.5 0 0.2]);

S naredbom figure definiramo prozor ili figuru na kojoj radimo. Pozicija i velicina pro-zora odreduju se koristeci position. To je vektor koji ima 4 elementa. Prve dvije vrijednostiodreduju udaljenost donjeg lijevog kuta naseg prozora od donjeg lijevog kuta ekrana, a drugedvije vrijednosti odreduju duljinu i visinu prozora. S name definiramo ime naseg prozora, as color boju. Boja je, u nasem slucaju, vektor koji ima 3 elementa i taj vektor oznacavaRGB vrijednost. Boja se moze definirati i imenom ili kraticom. Primjerice, zuta boja mozebiti definirana kao [1 1 0], ’y’ ili ’yellow’.

Tekst prikazan na ovom prozoru dan je na sljedeci nacin:

txt=uicontrol(’style’,’text’,...

’position’, [75 100 350 350],...

’fontsize’,16,...

’string’,[’(ovdje pise tekst koji se ispisuje na prozoru)’]);

32

Slika 4.1 pocetni GUI

S uicontrol definiramo graficki korisnicki objekt. Pomocu tih objekata izradujemograficko korisnicko sucelje. Objekti se razlikuju po tipu i svojstvima. Naredbom style

odredujemo tip naseg objekta, u ovom slucaju to je text dok, za primjerice tipke, koristimopushbutton. Pomocu position definiramo poziciju objekta unutar naseg prozora, fontsizeodreduje velicinu slova, a string definira tekst koji se ispisuje na prozoru.

Tipka izlaz definirana je na sljedeci nacin:

izlaz=uicontrol(’style’,’pushbutton’,...

’position’, [350 20 100 30],...

’string’,’IZLAZ’,...

’backgroundcolor’,[0.9 0.9 0.4],...

’fontsize’,8,...

’callback’,’clc,close all, clear all’);

Jedina naredba koja nije dosada objasnjena u radu je callback. Naredba callback kon-trolira GUI ili ponasanje odredenog objekta, tj. daje odgovor na odredenu akciju korisnikaprema danom objektu. Ta akcija moze biti pritisak misa, odabir izbornika, pritisak tipkei drugo. Pritiskom na tipku izlaz, pokrece se callback koji zatvara sve prozore (closeall), brise sve varijable (clear all) i prozor s naredbama (clc).

Jedina bitna promjena kod tipke ulaz je ako pogledamo callback:

’callback’,’close all,run(’’ravnina’’)’;

33

Kad pritisnemo tipku ulaz, takoder se zatvaraju svi prozori, ali se s run(’’ravnina’’)otvara novi prozor (Slika 4.2). U tom novom prozoru imamo tipke rotacija, translacija,homotetija, osna simetrija i centralna simetrija, te tipke povratak i izlaz.

Slika 4.2 Preslikavanja ravnine GUI

Tipka izlaz jednaka je istoimenoj tipki iz prethodnog prozora, dok su tipke rotacija,translacija, homotetija, osna simetrija, centralna simetrija i povratak naprav-ljene analogno kao tipka ulaz. Kada se pritisne neka od tih tipki zatvori se postojeci prozori otvori novi, a kod tipke povratak se otvori prozor iz kojega smo dosli u postojeci.

4.1 Translacija koristeci GUI

Kod svakog preslikavanja ravnine, korisnik prvo treba odabrati tocke koje predstavljajuvrhove mnogokuta i koordinate tih tocaka se trebaju spremiti za daljnje koristenje. To jenapravljeno na sljedeci nacin:

set(gcf,’WindowButtonDownFcn’,...

[’mouse=get(gca,’’currentpoint’’);’,...

’plot(mouse(1,1),mouse(1,2),’’go’’);’,...

’set(gca,’’ylim’’,[-10 10],’’xlim’’,[-10 10]),’,...

’br=br+1;T(1:2,br)=[mouse(1,1);mouse(1,2)];’,...

’x1=T(1,:);y1=T(2,:);’]);

]

)

34

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite vrhove mnogokuta

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite vrhove mnogokuta

Slika 4.3 Translacija GUI

Kao sto se moze vidjeti, pri programiranju ovog dijela koristili smo naredbu set. Stom naredbom specificiramo vrijednosti odredenih svojstava odabranog objekta. U nasemslucaju taj objekt je trenutna slika, odnosno slika na kojoj trenutno radimo. Trenutnoj slicipristupamo naredbom gcf.

Osim naredbe gcf, koristimo i naredbu gca koja dohvaca trenutne osi. Ta nam je na-redba potrebna kako bismo pomocu naredbe get(gca,’’currentpoint’’) dohvatili, naosima, trenutno odabranu tocku. Koordinate te tocke spremamo u varijablu mouse, te impristupamo naredbama mouse(1,1) i mouse(1,2). Osim toga, naredbu gca koristili smokako bismo postavili odredene vrijednosti za granice na trenutnim osima koristeci uz to na-redbe xlim i ylim.

Takoder, koristena je naredba WindowButtonDownFcn. Ta naredba se pokrece svaki putakada pritisnemo tipku misa unutar trenutnog objekta, odnosno, bez te funkcije ne bismomogli dohvatiti koordinate trenutne tocke.

Za crtanje trenutno odabrane tocke koristili smo naredbu plot. Naredbi su dane x i ykoordinate tocke, te je definirano da ta tocka bude zelene boje i oznacena znakom o.

Kako bismo u potpunosti razumjeli dani dio koda, potrebno je znati osnove o radu svektorima i matricama u Matlabu. Naredbom A(i,j) pristupamo (i, j)-tom clanu matriceA, dok naredbom A(g:h,i:j), za g < h i i < j, pristupamo svim clanovima koji se nalazena presjeku redaka g, g+ 1, . . ., h, te stupaca i, i+ 1, . . ., j. Naredbom A(i,:) pristupamosvim stupcima matrice A, ali samo i-tom retku u tim stupcima.

35

Mozemo uociti da su x koordinate vrhova mnogokuta spremljene u varijablu x1, a y ko-ordinate u varijablu y1.

Kada smo odabrali vrhove mnogokuta, trazeni mnogokut crtamo koristeci naredbupatch(x1,y1,’y’). Ta naredba crta mnogokut pri cemu su joj dani parametri x koordinatavrhova i y koordinata vrhova trazenog mnogokuta. Takoder, mogu se dodati i odredenasvojstva mnogokuta. U nasem slucaju, dano je da boja mnogokuta bude zuta.

Nakon sto smo nacrtali mnogokut, korisnik upisuje x i y koordinate vektora za koji tran-slatiramo dani mnogokut. Te koordinate su spremaju u varijable xv i yv, a vektor crtamonaredbom compass(xv,yv,’black’).

Sada u programu definiramo matricu translacije T i matricu koja sadrzi homogene koordi-nate mnogokuta P1, te odredimo matricu homogenih koordinata translatiranog mnogokutaP2. To smo lako napravili koristeci (2.2). Iz toga jednostavno uocimo same koordinate vr-hova trazenog mnogokuta, kojeg potom ponovno nacrtamo koristeci naredbu patch. Samevrhove crtamo koristeci naredbu plot.

T=[1 0 xv; 0 1 yv; 0 0 1];

P1=[x1; y1; ones(1,br)];

P2=T*P1;

x2=P2(1,:); y2=P2(2,:);

4.2 Rotacija koristeci GUI

Odabiranje vrhova mnogokuta, te crtanje tog mnogokuta izvodi se kako je opisano kodtranslacije. Nakon sto smo nacrtali mnogokut, korisnik upisuje x i y koordinate tocke okokoje se rotira. Te koordinate su spremaju u varijable xc i yc, a centar rotacije crtamo nared-bom plot(xc,yc,’bo’). Takoder, korisnik upisuje i kut rotacije, sto se sprema u varijabluphii. Posto korisnik upisuje kut u stupnjevima, a u Matlab-u se radi s radijanima, potrebnoje taj kut pretvoriti u radijane. To radimo na sljedeci nacin: phi=(pi/180)*phii.

Sada u programu definiramo koordinate mnogokuta kojeg dobijemo kada dani mnogokutpreslikamo rotacijom. To napravimo koristeci (2.3). Pa potom dobiveni mnogokut nacrtamokoristeci naredbu patch. Same vrhove crtamo koristeci naredbu plot.

T=[1 0 xc; 0 1 yc; 0 0 1];

Ti=[1 0 -xc; 0 1 -yc; 0 0 1];

R=[cos(phi) -sin(phi) 0; sin(phi) cos(phi) 0; 0 0 1];

P1=[x1;y1; ones(1,br)];

P2=T*R*Ti*P1;

x2=P2(1,:); y2=P2(2,:);

36

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite tocke vrhove mnogokuta

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite tocke vrhove mnogokuta

Slika 4.4 Rotacija GUI

4.3 Centralna simetrija koristeci GUI

Odabiranje vrhova mnogokuta, te crtanje tog mnogokuta izvodi se kako je opisano kodtranslacije.

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite vrhove mnogokuta

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite vrhove mnogokuta

Slika 4.5 Centralna simetrija GUI

37

Nakon sto smo nacrtali mnogokut, korisnik upisuje x i y koordinate tocke koja je centarnase simetrije. Te koordinate su spremaju u varijable xc i yc, a centar crtamo naredbomplot(xc,yc,’bo’).

Sada u programu definiramo koordinate mnogokuta kojeg dobijemo kada dani mnogo-kut preslikamo centralnom simetrijom. Pa potom dobiveni mnogokut nacrtamo koristecinaredbu patch. Same vrhove crtamo koristeci naredbu plot.

Koristeci (2.4) i (2.5) definiramo koordinate mnogokuta dobivenog preslikavanjem danogmnogokuta centralnom simetrijom na sljedeci nacin:

x2(ii)=2*xc-x1(ii);

y2(ii)=2*yc-y1(ii);

Osim toga, postoji dodatna tipka, centralnosimetricni likovi, pritiskom na koju za-tvaramo postojeci prozor i otvaramo novi u kojemu imamo sljedece tipke: kvadrat, romb,krug, sesterokut i pravokutnik, te povratak i izlaz.

−10 −5 0 5 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Slika 4.6 Primjer centralnosimetricnog lika

Kada pritisnemo neku od tih tipki, zatvori nam se postojeci prozor i otvori novi u ko-jemu imamo nacrtan odredeni lik, te cetiri tipke nacrtaj centar, preslikaj, povratak iizlaz. Sve te tipke su vec ranije objasnjene u radu. Valja napomenuti kada se dani likpreslika s obzirom na dani centar dobije se isti taj lik, tj. na taj nacin se pokaze da je tajlik centralnosimetrican s obzirom na dani centar.

38

4.4 Osna simetrija koristeci GUI

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite vrhove mnogokuta

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite vrhove mnogokuta

Slika 4.7 Osna simetrija GUI

Odabiranje vrhova mnogokuta, te crtanje tog mnogokuta izvodi se kako je opisano kodtranslacije.

Nakon sto smo nacrtali mnogokut, korisnik upisuje x i y koordinate tocaka koje odredujuos nase simetrije. Te koordinate su spremaju u varijable x1o , y1o , te x2o i y2o .

Kod crtanja osi razlikujemo dva slucaja. Kod opcenitog slucaja definiramo jednadzbupravca kroz dvije tocke i potom naredbom plot nacrtamo os simetrije, tj.

t1=-10:0.01:10;

p1=((y2o-y1o)/(x2o-x1o))*(t1-x1o)+y1o;

plot(t1,p1,’’black’’)

Poseban slucaj je kada se x-koordinate tocaka koje odreduju pravac podudaraju, odnosno,kada jednadzba pravca nije definirana. Tada os crtamo na sljedeci nacin:

p1=-10:0.01:10;

plot(x1o,p1,’’black’’)

Sada u programu definiramo koordinate mnogokuta kojeg dobijemo kada dani mnogokutpreslikamo osnom simetrijom. Pa potom dobiveni mnogokut nacrtamo koristeci naredbupatch. Same vrhove crtamo koristeci naredbu plot.

39

Potrebno je razlikovati nekoliko slucajeva. U svim slucajevima koordinate vrhova defini-rane su pomocu (2.6) i (2.7) na sljedeci nacin:

x2(ii)=2*xp(ii)-x1(ii);

y2(ii)=2*yp(ii)-y1(ii);

Slucajevi se razlikuju po definiranju varijabli xp i yp koje predstavljaju koordinate tockekoja je noziste okomice iz danog vrha na os simetrije. Ta tocka je jednako udaljena od da-nog vrha mnogokuta i od vrha mnogokuta kojeg dobijemo kada dani vrh preslikamo osnomsimetrijom.

Opceniti slucaj isprogramiran je pomocu (2.8) i (2.9) na sljedeci nacin:

k1=(y2o-y1o)/(x2o-x1o);

k2(ii)=-1/(k1);

l1=-k1*x1o+y1o;

l2(ii)=-k2(ii)*x1(ii)+y1(ii);

xp(ii)=(l2(ii)-l1)/(k1-k2(ii));

yp(ii)=k1*xp(ii)+l1;

Prvi specijalni slucaj kada je os simetrije pravac y = y1o , tj. slucaj kada se y-koordinatetocaka koje odreduju os podudaraju, isprogramiran je na sljedeci nacin:

if y2o==y1o

xp(ii)=x1(ii);

yp(ii)=y1o;

end;

Drugi specijalni slucaj kada je os simetrije pravac x = x1o , tj. slucaj kada se x-koordinatetocaka koje odreduju os podudaraju, isprogramiran je na sljedeci nacin:

if x2o==x1o

xp(ii)=x1o;

yp(ii)=y1(ii);

end;

Osim toga, postoji dodatna tipka, osnosimetricni likovi, pritiskom na koju zatva-ramo postojeci prozor i otvaramo novi u kojemu imamo sljedece tipke: kvadrat, romb, krug,sesterokut, pravokutnik, duzina, jednakokracan trokut i jednakostranican trokut.

Kada pritisnemo neku od tih tipki, zatvori nam se postojeci prozor i otvori novi u ko-jemu imamo nacrtan odredeni lik, te nekoliko tipki (ovisno o kojem se liku radi). Svaki oddanih likova je osnosimetrican i ima odredeni broj osi simetrije. Pa postoje tipke preslikaj,povratak i izlaz,te tipke nacrtaj prvu os, nacrtaj drugu os i tako dalje, ovisno koliko

40

−10 −5 0 5 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Slika 4.8 Primjer osnosimetricnog lika

osi simetrije ima taj lik. Sve te tipke su vec ranije objasnjene u radu. Valja napomenutikada se dani lik preslika s obzirom na dane osi dobije se isti taj lik, tj. na taj nacin se pokazeda je taj lik osnosimetrican s obzirom na dane osi.

4.5 Homotetija koristeci GUI

Odabiranje vrhova mnogokuta, te crtanje tog mnogokuta izvodi se kako je opisano kodtranslacije.

Nakon sto smo nacrtali mnogokut, korisnik upisuje x i y koordinate tocke koja je sredistenase homotetije. Te koordinate su spremaju u varijable xc i yc, a srediste crtamo naredbomplot(xc,yc,’bo’). Osim toga, korisnik upisuje koeficijent homotetije sto se sprema u va-rijablu k.

Sada pomocu (3.1) i (3.2) u programu definiramo koordinate mnogokuta kojeg dobijemokada dani mnogokut preslikamo homotetijom. Pa potom dobiveni mnogokut nacrtamo ko-risteci naredbu patch. Same vrhove crtamo koristeci naredbu plot.

x2(ii)=k*x1(ii)+(1-k)*xc;

y2(ii)=k*y1(ii)+(1-k)*yc;

41

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite vrhove mnogokuta

−10 −5 0 5 10−10

−5

0

5

10odaberite vrhove mnogokuta

Slika 4.9 Homotetija GUI

Za vise detalja i bolje shvacanje pojmova objasnjenih u ovo poglavlju vidi [11].

42

Literatura

[1] G.Farin, D. Hansford, Practical Linear Algebra, A Geometry Toolbox, A K Peters, Wel-lesley, Massachusetts, 2005.

[2] M. Mitrovic, . Ognjanovic, M. Veljkovic, Lj. Petkovic, N. Lazarevic, Geometrija, udzbeniksa zbirkom zadataka za 1. razred matematicke gimnazije, Krug, Beograd, 1998.

[3] T. Nemeth, G. Stajcic, Matematika 5, udzbenik i zbirka zadataka za peti razred osnovneskole, Profil, Zagreb, 2007.

[4] T. Nemeth, G. Stajcic, Matematika 8, udzbenik i zbirka zadataka za osmi razred osnovneskole, Profil, Zagreb, 2007.

[5] B. Pavkovic, D. Veljan, Matematika 1, udzbenik za prvi razred gimnazije, Skolska knjiga,Zagreb, 2000.

[6] B. Pavkovic, D. Veljan, Elementarna matematika 1, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1992.

[7] S. Dordevic- Kajan, Geometrijske transformacije,http://www.etf.unssa.rs.ba/ ognjen/Racunarska%20grafika/Profesorka/

Publikovano/RG-Transfomacije-4.pdf, sijecanj 2014.

[8] I. Gusic, Lekcije iz matematike 1.http://matematika.fkit.hr/novo/matematika%201/predavanja/

Lekcije iz Matematike1.pdf, sijecanj 2014.

[9] R. Scitovski, D. Brajkovic, Geometrija ravnine i prostorahttp://www.mathos.unios.hr/geometrija/Materijali/Geo 1.pdf, sijecanj 2014.

[10] Wolfram MathWorld, Rotation Matrix,http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html, sijecanj 2014.

[11] Matlab Documentation Centerhttp://www.mathworks.com/help/, sijecanj 2014.

[12] Hrvatski nacionalni obrazovni standard, HNOS Matematika,http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2199, sijecanj 2014.

[13] http://www.ncvvo.hr/drzavnamatura/web/public/dokumenti, sijecanj 2014.

[14] http://www.nexuslearning.net/books/ml-geometry/Chapter7/

ML%20Geometry%207-2%20Reflections.pdf, sijecanj 2014.

[15] http://imft.ftn.uns.ac.rs/ natasa/uploads/Main/Animacija Slajdovi6.pdf,sijecanj 2014.

[16] http://sites.dmi.rs/events/2008/rpimatoss/Sadrzaji/20090123/

Predstavljanje tacke u 3D.pdf, sijecanj 2014.

43

Sazetak

U diplomskom radu naveli smo kada se i u kojem dijelu gradiva uvode pojedina obradenapreslikavanja ravnine. Opisali smo na koji nacin se uvode i obraduju ta preslikavanja uosnovnoj i srednjoj skoli. Ako je to bilo potrebno, opisali smo i neke dodatne rezultatepotrebne za bolje shvacanje danih pojmova. Cesto je bilo potrebno uvesti dodatne pojmovei rezultate radi boljeg shvacanja nacina na koji smo ta preslikavanja ravnine isprogramiralikoristeci Matlab. Svi obradeni pojmovi potkrijepljeni su slikama i ilustrativnim primjerimaza jos bolje shvacanje. Takoder, iskazani su i dokazani potrebni teoremi. Na kraju samogarada, u detalje je opisano koji nacin su sva obradena preslikavanja ravnine isprogramirana,te kako se sam program koristi. Program je jednostavan i nije potrebno posebno predznanjeza njegovo koristenje, a koristiti ga mogu i nastavnici i ucenici.

Kljucne rijeci - preslikavanja ravnine, izometrije, slicnost, graficko korisnicko sucelje

Abstract

In the thesis we stated when and in which part of the material we introduce particulartransformations of the plane. We described in which way we introduce and process thosetransformation in elementary and high school. If it was necessary, we described some addi-tional results needed for a better understanding of the concepts. Often it was necessary tointroduce additional concepts and results for better understanding and we had programmedthem using Matlab. Also, important theorems are presented and proven. At the end of thethesis, we described in detail the way we programmed all the transformations of the plane,and how to use the program. The program is simple and you don’t need special knowledgeto use it, and it can be used both by teachers and students.

Key words- transformations of the plane, isometry, similarity, graphical user interface

44

Zivotopis

Moje ime je Ana Kisurek. Rodena sam 28. prosinca 1989. godine u Osijeku. Trenutnozivim u Antunovcu. 1996. godine upisujem prvi razred u Osnovnoj skoli ”Vladimira Nazora”u Cepinu. Tu pohadam prva dva razreda, a potom nastavljam svoje skolovanje u Osnovnojskoli ”Antunovac” u Antunovcu koju zavrsavam 2004. godine. Te iste godine upisujem prvirazred 2. (jezicne) gimnazije u Osijeku koju uspjesno zavrsavam 2008. godine. U srednjojskoli sudjelovala sam na tri drzavna natjecanje (dva puta iz vjeronauka i jednom iz filozofije).2008. godine upisujem Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike na Odjelu zamatematiku u Osijeku.

45