osnove nosivih konstrukcija ii - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/portals/9/docs/katedre/teorija...
TRANSCRIPT
OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJA II
Prof. dr. sc. Željana Nikolić
Sveučilište u SplituGrađevinsko-arhitektonski fakultet
Sadržaj: 1. UVOD
2. ANALIZA NAPREZANJA I DEFORMACIJA
3. SVOJSTVA MATERIJALA
4. VEZE IZMEĐU NAPREZANJA I DEFORMACIJA
5. KOEFICIJENTI SIGURNOSTI I DOPUŠTENO NAPREZANJE
6. AKSIJALNO OPTEREĆENJE ŠTAPA
7. SMICANJE (ODREZ)
8. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPOVA
9. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA 10. DEFORMACIJA RAVNOG ŠTAPA PRI SAVIJANJU
11. TORZIJA RAVNIH ŠTAPOVA
12. STABILNOST KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA
13. VIRTUALNI RAD
14. STATIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE
1. UVOD
STATIČKI ODREĐENE KONSTRUKCIJE
Mehanika krutih tijela zasniva se na idealizaciji stvarnog tijela krutim tijelom koje ne mijenja oblik niti veličinu pod utjecajem vanjskih sila.
Unutrašnje sile ne ovise o deformacijama.
Rješenje sila veza i unutrašnjih sila iz uvjeta ravnoteže.
STATIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE
Realno tijelo se deformira (mijenja oblik i volumen) – unutrašnje sile ovise o deformacijama
Uvjeti ravnoteže nisu dovoljni za rješenje sila veza i unutrašnjih sila.
Potrebni dodatni uvjeti (veza između vanjskih sila, oblika tijela, vrste materijala s naprezanjima i deformacijama tijela)
Otpornost materijala – ovu zadaću rješava jednostavnim metodama uz uvođenje određenih pretpostavki.
Teorija elastičnosti i teorija plastičnosti također rješava probleme deformabilnog tijela, ali su uvjeti koji se postavljaju znatno složeniji.
Otpornost materijala proučava probleme čvrstoće, krutosti i stabilnosti pojedinih dijelova tehničkih konstrukcija od čvrstog deformabilnog materijala.
OTPORNOST MATERIJALA
ČVRSTOĆA Sposobnost prenošenja opterećenja bez pojave loma.
KRUTOST Otpornost konstrukcije na deformiranje (promjenu oblika i volumena).
STABILNOST Sposobnost konstrukcije i njezinih elemenata da pod zadanim opterećenjem zadrže prvobitni oblik elastične ravnoteže.
Elementi konstrukcije izloženi djelovanju opterećenja se deformiraju. Grana primijenjene mehanike koja utvrđuje vezu između sila koje djeluju na element i deformacija prouzrokovanih tima silama (progib grede uslijed poprečnog opterećenja, izduženje elementa uslijed vlačne sile, skraćenje štapa rešetke zbog tlačne sile, uvrtanje uslijed momenta torzije, …) naziva se otpornost materijala.
Vlačne sileVlačne sile razvlače materijal te uzrokuju povećanje duljine konstruktivnog elementa. Veličina produljenja ovisi o krutosti materijala, površini poprečnog presjeka i iznosu opterećenja.
Tlačne sileTlačne sile vrše zbijanje čestica materijala što uzrokuje skraćenje promatranog elementa.
Posmične silePosmične sile izazivaju pomicanje u horizontalnim ili vertikalnim paralelnim ravninama.
SavijanjeElement izložen poprečnom opterećenju deformira se savijanjem.
TorzijaPojava uvrtanja konstruktivnog elementa najčešće uzrokovana ekscentričnim opterećenjem.
Dimenzioniranje elemenata konstrukcije:
Proračun čvrstoće
Proračun stabilnosti
Proračun krutosti
Određivanje najmanjih dimenzija pojedinih dijelova konstrukcije pod djelovanjem zadanog opterećenja.
Određivanje deformacija konstrukcija pod djelovanjem zadanog opterećenja, koje moraju ostati u dopuštenim granicama određenima uvjetima uporabe same konstrukcije.
Određivanje opterećenja pod kojim konstrukcija i njezini elementi zadržavaju prvobitni elastični oblik.
Važnost otpornosti materijala u analizi konstrukcija:
- Kako bi se izračunale unutrašnje sile u pojedinim konstruktivnim elementima,
projektant mora odabrati dimenzije elemenata i vrstu materijala. Ovo zahtijeva
razumijevanje načina prijenosa sila među konstruktivnim elemetima i deformacija
koje te sile uzrokuju.
- Kod statički neodređenih konstrukcija unutrašnje sile nije moguće dobiti samo na
osnovu poznavanja geometrije i opterećenja. Raspodjela unutrašnjih sila ovisi o
relativnoj krutosti elemenata i sposobnosti njihovog deformiranja.
Načelo sigurnosti i racionalnosti
O sigurnosti građevinskih konstrukcija ovise ljudski životi i materijalna dobra.
Racionalnost podrazumijeva pravilan izbor dimenzija i metoda proračuna. Načela
sigurnosti i racionalnosti su međusobno suprostavljeni. Potrebno je upotrijebiti
onoliko materijala koliko je nužno da budu zadovoljeni traženi uvjeti sigurnosti.
Poznavanje mehaničkog ponašanja materijala
Inženjerske konstrukcije su sastavljene iz elemenata koji su izrađeni od konkretnog
materijala. Materijal posjeduje svoja mehanička svojstva. Otpornost materijala ovisi
o mehaničkim svojstvima materijala. Načelo sigurnosti i racionalnosti možemo
zadovoljiti tek uz poznavanje mehaničkih svojstava materijala.
Struktura prirodnih čvrstih tijela
Tijelo predstavlja skup čestica (molekula) na okupu. U početnom stanju tijela
odnosno nultom stanju molekularne sile su u ravnoteži. Vanjsko djelovanje uzrokuje
promjenu položaja čestica i sila među njima. Zbog razlike između novonastalih sila i
sila nultog stanja nastaje naprezanje u tijelu.
Opće pretpostavke otpornosti materijala
• Materijal je neprekinut (kontinuiran) – tvar ima svojstvo neprekinute sredine,
kontinuuma, tj. tvar jednoliko i bez šupljina ispunjava volumen tijela.
• Materijal je homogen – fizikalno-mehanička svojstva u svim točkama su
jednaka.
Nehomogen materijal – svojstva se mijenjaju od točke do točke.
• Materijal je izotropan - fizikalno-mehanička svojstva u svim smjerovima su
jednaka (metal, staklo).
Anizotropan materijal - fizikalno-mehanička svojstva u različitim smjerovima su
različita (drvo).
Ortotropan materijal - fizikalno-mehanička svojstva su jednaka u određenim
smjerovima vlakana (valjani čelik).
• Materijal je elastičan – elastičnost je svojstvo materijala da se vraća u prvobitno
stanje nakon uklanjanja vanjskih opterećenja. Realno tijelo ponaša se elastično
samo do jedne određene granice koja se naziva granica elastičnosti.
• Između naprezanja i deformacija postoji linearna zavisnost do određene
granice koja se naziva granicom proporcionalnosti.
• Hipoteza ravnih poprečnih presjeka – poprečni presjeci okomiti na os štapa pri
deformaciji tijela ostaju ravni i okomiti na deformiranu os štapa.
• Deformacije tijela su male u odnosu na konačne dimenzije tijela te ih u
matematičkom smislu možemo smatramo beskonačno malim veličinama prvog
reda. Promjene u rasporedu vanjskih sila zbog deformacija pojedinih tijela
možemo zanemariti pa jednadžbe ravnoteže postavljamo na nedeformiranom
tijelu.
Postupak rješavanja problema u otpornosti materijala
1. Usvajanje pretpostavki
Cilj: određivanje naprezanja i deformacija u elementima konstrukcije.
2. Postavljanje statičkih jednadžbiPostavljanje jednadžbi ravnoteže unutarnjih i vanjskih sila za promatrani dio konstrukcije.
3. Postavljanje geometrijskih jednadžbiUspostavljanje veze između deformacija i pomaka pojedinih dijelova konstrukcije.
4. Postavljanje fizikalnih jednadžbiUtvrđivanje veze između naprezanja i deformacija pojedinih dijelova konstrukcije.
5. Rješavanje sustava jednadžbiNa osnovu dobivenih rezultata utvrđuje se stanje naprezanja i deformacija promatranih dijelova konstrukcije.
Naprezanja bolje prikazuju stanje promatranog elementa nego unutrašnje sile.
Naprezanje:
Općenito - sila u presjeku elementa podijeljena s površinom na koju djeluje.
Jedinica za naprezanje - Pascal (Pa).
1 Pa = 1 N/m2 ili 1 MPa = 1 N/mm2.
Složeno stanje naprezanja u presjeku:
- normalno naprezanje
(okomito na ravninu promatranog presjeka)
- posmično naprezanje
( u ravnini promatranog presjeka).
2. ANALIZA NAPREZANJA I DEFORMACIJA
2.1. Naprezanja
2.1.1 Normalno naprezanje
Rezultat djelovanja uzdužne sile Nx je
naprezanje σxx jednoliko raspoređeno po
površini poprečnog presjeka:
AN x
xx =σ
Prvi indeks - smjer vanjske normale na
poprečni presjek
Drugi indeks - smjer naprezanja.
Naprezanje σxx - normalno naprezanje koje djeluje u smjeru osi x u poprečnom
presjeku s vanjskom normalom u smjeru osi x.
U slučaju nejednolike raspodjele naprezanja: dA
dN xxx =σ
dA - elementarna površina
dNx sila na elementarnu površinu
Ukupna sila: ∫σ=A
xxx dAN
2.1.1 Posmično naprezanje
Poprečna sila u ravnini poprečnog presjeka uzrokuje posmično naprezanje.
Normalno i posmično naprezanje u presjeku
Posmično naprezanje za poprečnu silu u smjeru y i jednoliku raspodjelu po površini poprečnog presjeka:
ATy
xy =τ
Ako u presjeku djeluje i poprečna sila u smjeru z:
ATz
xz =τ
Prvi indeks - smjer vanjske normale na poprečni presjek Drugi indeks - smjer naprezanja
Za nejednoliku raspodjelu naprezanja u presjeku:
dAdT,
dAdT z
xzy
xy =τ=τ
Odgovarajuće poprečne sile u presjeku:
∫∫ τ=τ=A
xzzA
xyy dAT,dAT
xyτ , xzτ ↔ xyσ , xzσ
2.1.1 Prostorno stanje naprezanja
Vektor punog naprezanja na ravninu presjeka: normalno naprezanje i posmično naprezanje
Orjentiramo li ravnine presjeka okomito na koordinatne osi y i z, dobit ćemo na svakoj od tih ravnina tri komponente naprezanja, jednu normalnu i dvije posmične.
Prostorno stanje naprezanja na diferencijalnom elementu
Matrica tenzora naprezanja (tenzor naprezanja):
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσσσσσσσσ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
στττστττσ
=σ
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
Stanje naprezanja u prostoru - određeno s 9 komponenti (3 normalne i 6 posmičnih) Elementi jednog retka matrice - komponente naprezanja u jednoj ravnini
Oznake: iiσ ↔ iσ , ijτ ↔ ijσ
ijσ su pozitivna:
- u pozitivnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom
orjentiranom u smjeru koordinatne osi
- u negativnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom
orijentiranom suprotno od koordinatne osi.
)z,y,x(ijij σ=σ → na paralelnim stranicama diferencijalnog elementa ne djeluju komponente naprezanja jednakog iznosa. Razlika između komponeti može se prikazati preko diferencijalnih prirasta naprezanja na razmacima dx, dy, dz.
Posmična naprezanja na diferencijalnom elementu u ravnini xy
0M0z =Σ (moment daju samo posmične komponente naprezanja okomite na z0)
02
dydzdxdxy2
dxdzdydyx2
dydzdx2
dxdzdy yxyx
xyxyyxxy =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
τ∂+τ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
τ∂+τ+τ−τ /
: dzdydx
Zanemarenje diferencijalnih prirasta u odnosu na xyτ i yxτ → yxxy τ=τ
Analogno za 0M0x =Σ i 0M
0y =Σ : → zxxzyzzy , τ=ττ=τ
Općenito: )z,y,xj,i;ji(,jiij =≠τ=τ
Zakon o uzajamnosti posmičnih naprezanja: U dvjema međusobno okomitim ravninama komponente posmičnih
naprezanja koje su okomite na presječnicu tih ravnina jednake su po
iznosu i usmjerene su prema presječnici tih ravnina ili od nje.
Broj nezavisnih komponenti naprezanja se smanjuje s 9 na 6.
Matrica tenzora naprezanja ima oblik:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
στττστττσ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
στττστττσ
=σ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
ij
Primjer:
Naprezanja u presjeku
Normalno
ϕ=
ϕ
ϕ==σϕ
2cosAF
cosA
cosFAN
Posmično
ϕ=ϕϕ=
ϕ
ϕ==τϕ
2sinA2Fcossin
AF
cosA
sinFAT
Normalno naprezanje opada s povećanjem kuta ϕ.
Najveće normalno naprezanje A/F=σ → u poprečnom presjeku okomitom na os
štapa (ϕ=0°).
Posmično naprezanje raste s povećanjem kuta ϕ od 0° do 45°. Najveće je za ϕ=45°
i iznosi A/F5.0=τ . S daljnjim povećavanjem kuta posmično naprezanje opada.
aa
φ
φ
F
R=F
T
N
F
A
2.1.1 Ravninsko stanje naprezanja
Tenzor naprezanja: [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡σττσ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡σττσ
=σyyx
xyx
yyyx
xyxxij
Jednadžbe transformacije
σ σ
σ
x
n n
y
τ
τ
τ
x
nt
t
y
y
x
φ
φA
B
O x
y
Jednadžbe transformacije služe za
određivanje naprezanja u proizvoljnom
smjeru ako su poznate komponente
naprezanja u dva međusobno okomita
smjera.
φ⋅=φ⋅=
cosABOBsinABOA
Uvjeti ravnoteže:
0X =∑ ; φ⋅⋅τ−φ⋅⋅σ=⋅τ+⋅σ sinABcosABA0B0 ntnxyx
⇓ φ⋅τ−φ⋅σ=φ⋅τ+φ⋅σ sincossincos ntnxyx (1)
0Y =∑ ; φ⋅⋅τ−φ⋅⋅σ=⋅τ+⋅σ cosABsinABB0A0 ntnxyy φ⋅τ+φ⋅σ=φ⋅τ+φ⋅σ cossincossin ntnxyy (2)
Iz (1) i (2) slijedi sustav od 2x2 jednadžbi:
1sincos)S(DET
cossincossin
sincossincos
22
xyyntn
xyxntn
=φ+φ=
φ⋅τ+φ⋅σ=τ⋅φ+σ⋅φ
φ⋅τ+φ⋅σ=τ⋅φ−σ⋅φ
Rješenje sustava:
φ⋅τ+φ⋅σ−σ
=τ
φ⋅τ+φ⋅σ+φ⋅σ=σ
2cos2sin2
2sinsincos
xyxy
nt
xy2
y2
xn
analogno je: φ+π
=φ21
φ⋅τ+φ⋅σ−σ
=τ
φ⋅τ−φ⋅σ+φ⋅σ=σ
2sincos2
2sincossin
xyxy
tn
xy2
y2
xt
yx
xy1e1
2arctg
21
σ−σ
τ=φ=α
Smjerovi i veličine glavnih naprezanja
Traži se kut φe=α za koji su normalna naprezanja ekstremna.Jednadžba (1) se derivira po ϕ i izjednači s nulom:
Jednadžbe transformacije:
ϕ⋅τ+ϕ⋅σ−σ
=τ
ϕ⋅τ+ϕ⋅σ+ϕ⋅σ=σ
2cos2sin2
2sinsincos
xyyx
nt
xy2
y2
xn (1)
(2)
02cos2cossin2cossin2d
dxyyx
n =ϕ⋅τ+ϕϕ⋅σ+ϕϕ⋅σ−=ϕ
σ
yx
xye
22tg
σ−σ
τ=φ (3)
Jednadžba (3) ima 2 rješenja za koja vrijedi: o902e1e =φ−φ
Kutevi koji određuju pravce ekstremnih normalnih naprezanja:
i o9012 ±α=α (4)
Uvrštavajući (4) u (1):
2xy
2yxyx
2,1minmax, 22τ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ±
σ+σ=σ=σ
Maksimalno naprezanje ima pravac koji leži između dijagonale posmika i algebarski većeg normalnog naprezanja.
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
x x
y
1
1
2
2
y
τ τ
τ
τ
x x
y
y
y y
x
x
S
1
2
α
A
B Dijagonala posmika – pravac koji spaja vrhove kvadrata prema kojem djeluju posmična naprezanja τxy
Pravci na kojima ne djeluje posmično naprezanje nazivaju se glavne osi naprezanja, a normalna naprezanja koja djeluju na tim pravcima nazivaju se glavna naprezanja i označavaju s σ1, σ2.
Uvrštavajući (4) u (2) dobivamo: 0nt =τ
121yxtn I=σ+σ=σ+σ=σ+σ I1 – prva invarijanta naprezanja
Zbroj normalnih naprezanja u bilo koja dva okomita smjera je uvijek konstantan.
yx
xy2
y2
xxy2
y2
xtn 2sincossin2sinsincos
σ+σ=
φ⋅τ−φ⋅σ+φ⋅σ+φ⋅τ+φ⋅σ+φ⋅σ=σ+σ
Deriviranjem jednadžbe (2)
po ϕ dobiva se da je najveće posmično naprezanje u ravnini koja je nagnuta za 45° u odnosu na osi glavnih naprezanja.
4παβ −=
( ) 2xy
2yx21
max τ2σσ
2σστ +
−=
−=
Kut najvećeg posmičnog naprezanja:
Najveće posmično naprezanje:
ϕ⋅τ+ϕ⋅σ−σ
=τ 2cos2sin2 xy
yxnt
σ
Mohr-ova kružnica naprezanja
Grafička konstrukcija za transformaciju naprezanja i određivanje smjerova i veličine glavnih naprezanja.
σxσy
τxy
τxy
(σ1+ σ2)/2 (σ1- σ2)/2
σ1
τ
σσ1
σ1
σ2
σ2
2αα
σ2
α
σ1
σ1σ2
σ2
σ1
σ1
σy
σx
τxy
σx
σy
τxy
Posebni slučajevi naprezanja
σσ x 1x xx
S
σ
=
=
0
0 =2
β = 45
σσ
xx
σx
τ
σ
σ
y
y
max =2
τmax = σ
ββ
= 45
2β
JEDNOOSNO STANJE NAPREZANJA
σx
σ = 0σ y
maxτmax
σ
σ σσ
σ
σ
xx x
1 2
x
τσ
σ
σ
σ
σσ
y
y
=
=
=
= =
= σ
σ σσ
σ
σ
xx x
1 2
x
τσ
σ
σ
σ
σσ
y
y
=
=
=
= =
=
IZOTROPNO STANJE NAPREZANJA /TLAČNO, VLAČNO/
Mohr-ova kružnica
degenerira u točku.
Nema glavnih osiju.
Nema posmika.
ČISTI POSMIK σ=σ=σ yx
σ
τ
τ
τ
σ
Max
y
a
b
c
d
a1
b1
c1
d1 0
π/2 + γπ/2 − γ
=
τ
ττ
x x
σ
σ
σ
σ
σ
y
y
x
a
b
c
d
a1
b1
c1
d1 0
π/2 + γπ/2 − γ
=
z
x
y
V
V
A
0
F
F
F
F
1 1
n
i
2k
r 1
r
u
wv
p
ij
)z,y,x(ww)z,y,x(vv)z,y,x(uu
===
kwjviuwvuprrrrrr
⋅+⋅+⋅=++=
Relativna deformacija:promjena udaljenosti među točkama podijeljena s početnom duljinom
Pomaci točke prikazani preko komponenti:
Ukupan pomak točke:
Apsolutna deformacija dužine AB:promjena razmaka među promatranim točkama tijela
Relativna deformacija: normalna i posmična
2.2. Pomaci i deformacije
∆l/2∆l/2 lx
Crtež. Deformiranje štapa izloženog djelovanju uzdužne sile
lx - početna duljina štapa
∆lx - produljenje (apsolutna deformacija)
Relativna normalna deformacija
x
xxx l
l∆=ε
Relativna normalna deformacija
Normalno naprezanje izaziva samo promjenu duljine štapa → nema promjene kuta među slojevima koji se pomiču.
Relativna normalna deformacija je bezdimenzionalna veličina najčešće izražena u %.Obično pozitivna vrijednost označava povećanje, a negativna smanjenje dužine.
Pravokutna ploča zglobnim ležajevima vezana s podlogom, opterećena posmičnom silom
Crtež. Deformiranje pravokutne ploče izložene posmičnoj sili
Ploča se posmično deformira - međusobno klizanje horizontalnih slojeva i promjena kuta
među stranicama.
Relativna posmična (kutna) deformacija predstavlja relativnu promjenu kuta među stranicama u odnosu na početni pravi kut.
y
xxy l
utg =γ≈γ
Relativna posmična deformacija
Pozitivnoj vrijednosti odgovara smanjenje pravog kuta, a negativnoj povećanje.
ux
ly
Veza između relativnih deformacija i pomaka u ravnini
u
A x
y
A’
dx
dy
dxxuu ⋅
∂+
B’
D’
C’
B0
d xxv
⋅∂
v
CD
α
β
xu
∂∂
Relativna promjena pomaka ″u″ u x smjeru:
xu
dx
udxxuu
xx ∂∂
=−
∂∂
+=ε
yv
dy
vdyyvv
yy ∂∂
=−
∂∂
+=ε
yutan
∂∂
=β
Normalna deformacija:
Analogno je:
xv
1xv
dxxudx
dxxv
tanxx ∂
∂≈
ε+∂∂
=
∂∂
+
∂∂
=α za εxx<<1
Posmična deformacija (ukupna promjena kuta):yu
xvtantanxy ∂
∂+
∂∂
=β+α=γ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=ε=εyu
xv
21
yxxy
Relativne normalne deformacije u prostoru:
zw;
yv;
xu
zzyyxx ∂∂=ε
∂∂=ε
∂∂=ε
zw
zu;
zy
yw;
yu
xv
zxyzxy ∂∂
+∂∂
=γ∂∂
+∂∂
=γ∂∂
+∂∂
=γ
Relativne posmične deformacije u prostoru:
Tenzor deformacija u prostoru:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εεεεεεεεε
ε
Vrijedi uzajamnost posmičnih deformacija: 3,2,1j,i,jiij =ε=ε
.
(u smjeru koordinatnih osi)
(u koordinatnim ravninama)
zxzxyzyzxyxy 21;
21;
21
γ=εγ=εγ=ε
Veza između relativnih deformacija i pomaka u prostoru
U slučaju slobodnog pomicanja konstrukcije može doći do translacijskih pomaka irotacija, ali pri tome ne dolazi do deformacije konstrukcije. Deformacija se događa samo u uvjetima spriječenih pomaka odnosno rotacija. Primjer translatornog pomaka (nema deformacija):
δ t
Primjer rotacijskog pomaka (nema deformacija):
θ
Priroda materijala određena je tehničkim i ostalim svojstvima.
Tehnička svojstva materijala su: čvrstoća, tvrdoća, deformabilnost, krutost, krtost,
dinamička čvrstoća, elastičnost, plastičnost, ...
Čvrstoća je iznos naprezanja neposredno pred razaranje. Razlikujemo aksijalnu čvrstoću
(tlačnu i vlačnu) i posmičnu čvrstoću.
Tvrdoća je otpornost tijela (materijala) prodiranju drugih tijela.
Deformabilnost (aksijalna i posmična) je svojstvo materijala da pri naprezanju trpi
deformacije bez razaranja.
Krutost je svojstvo materijala da se pri naprezanju opire deformiranju.
Krtost je svojstvo materijala da se ne odupire udarnome naprezanju (udaru).
Ciklička čvrstoća je granično cikličko naprezanje koje materijal može izdržati.
3. SVOJSTVA MATERIJALA
Elastičnost je svojstvo materijala da nakon otklanjanja naprezanja u cijelosti vrati svoj
prvotni oblik.
Plastičnost je svojstvo materijala da pri određenom naprezanju trenutno poprima
deformacije bez povećanja naprezanja.
Puzanje (tečenje) je svojstvo materijala da pri vremenski stalnom naprezanju doživljava
prirast deformacija tijekom vremena.
Gustoća je količina materije po jedinici volumena.
Homogenost, izotropnost, ortotropnost, anizotropnost
Ostala važna svojstva: toplinska i električna provodljivost, boja, korozivna otpornost,
zavarljivost, ugradljivost, ...
Vrste materijala: kamen, drvo, opeka, beton, metali, plastici, ...
( ) ( )ij1ijijij f,f σ=εε=σ - funkcionalna veza između naprezanja i deformacija
Određuje se eksperimentalno ispitivanjem uzoraka izrađenim od određenog materijala.
Pokusi: rastezanje, pritisak, posmik, torzija, savijanje.
Pretpostavke: uzorak je od neprekinutog, homogenog i izotropnog materijala.
Osnovni oblik ispitivanja pri statičkom opterećenju – rastezanje (vlačni pokus).
4. VEZE IZMEĐU NAPREZANJA I DEFORMACIJA
4.1. Eksperimentalni podaci
• između točaka O i P: dijagram je pravac (sila F i produljenje ∆l linearno su ovisni)
• do točke E: deformacije su elastične (potpuno iščezavaju nakon rasterećenja)
• nakon točke E: u uzorku se, osim elastičnih,javljaju i trajne ili plastične deformacije
• u točki T: nastaje tečenje (popuštanje) materijala - deformacije rastu bez povećavanja opterećenja
• nakon točke T: nakon stanja tečenja dolazi do ojačanja materijala (materijal ponovno dobiva sposobnost da se opire djelovanju opterećenja)
• do točke M: sila se povećava sve do točke M, povećava se deformacija uzorka. U točki M sila prima maksimalnu vrijednost Fmax.
• nakon točke M: nastaje iscrpljenost materijala, deformacija uzorka raste uz smanjenje sile F
• u točki L: raskid uzorka.
Karakteristične točke dijagrama:
• σP – granica proporcionalnosti – najveće naprezanje do kojeg vrijedi linearna ovisnostizmeđu naprezanja i deformacija
• σE – granica elastičnosti – najveće naprezanje do kojeg se materijal ponašaelastično (nakon rasterećenja uzorak se vraća u prvobitni oblik)
• LPσ – granica tečenja (popuštanja) - naprezanje pri kojem deformacije rastu bez porastaopterećenja
• σM – vlačna čvrstoća – naprezanje koje odgovara najvećem opterećenju kojeguzorak može izdržati
• σL – granica loma – prijelomno naprezanje, raskid uzorka
≈
P
P
A
l0
E
E
σ
σσ
σ
σ σσt
ε ε
ε
L
Pl PlPLP
i
E
E∆
σ
δ
εP εe
ε
Da bi se dobio dijagram koji karakterizira mehanička svojstva materijalaneovisno o apsolutnim dimenzijama uzorka, dijagram rastezanja F-∆ltransformira se u koordinatni sustav σ-ε.
Ostale veličine:
• E - modul elastičnosti (Young-ov modul) - koeficijent proporcionalnosti izmeđunaprezanja i deformacija
• Et - tangentni modul (Et<E) - pojavljuje se nakon granice proporcionalnosti, porastomnaprezanja opada Et
• Ukupna deformacija: ε = εe + εP
• Relativno produljenje pri raskidu: δ = (lL-l0) / l0 x100%
Duktilni materijali (žilavi) δ > 5% (meki čelik, bakar) - znatne plastične deformacije
prije raskida uzorka
Krhki materijali δ < 5% (kamen, staklo, lijevano željezo) - raskid bez pojave znatnijih
plastičnih deformacija
Potpuni σ-ε dijagram za čelik, aluminij i beton
σσ σ
εεε
P
P P
σ − ε dijagram za čelikσ − ε dijagram za aluminij σ − ε dijagram za beton
σ σ σ
Vlačni test - čelik Tlačni test - beton
εP = - ν ε (uzdužne i poprečne deformacije su suprotnog predznaka)
l
∆l
νε/2 νε/2
Izotropni materijali 0 ≤ ν ≤ 0.5
Svi materijali u plastičnom području ν = 0.5
Čelik ν = 0.3, beton ν ≈ 0.17
Granične vrijednosti: guma (ν = 0.5), pluto (ν = 0.0)
4.2. Hook-eov zakon, konstante elastičnosti materijala
Hook-eov zakon za jednoosno stanje naprezanja
σ = E ⋅ ε
Iz σ-ε dijagrama: tg α = σ / ε = E
Vrijedi za jednoosno stanje naprezanja do granice proporcionalnosti.
Poisson-ov koeficijent νApsolutna vrijednost omjera između relativne poprečne i relativne uzdužne deformacije.
Hook-eov zakon pri posmiku
( ) γ⋅=γ⋅ν+
=τ G12E
G - modul posmika
(veza između posmičnih naprezanja i deformacija)
Konstante elastičnosti materijala:
E - modul elastičnostiG - modul posmikaν - Poisson-ov koeficijent
( ) MPa10808,03,012
101,2G,30,0,MPa101,2E 55
5 ⋅=+⋅
==ν⋅=
( ) MPa10508,116,012
105,3G,16,0,MPa105,3E 44
4 ⋅=+⋅
==ν⋅=
Hladno valjani čelik:
Beton (prosječno):
Naprezanje i deformacije u prostoru:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εεεεεεεεε
,στττστττσ
εσ
Generalizirani Hook-eov zakon:
D – matrica konstanti elastičnosti
Potpuna veza naprezanja i deformacija u prostoru:
( )( )
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
εεεεεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−ν−
ν−ν−νν
νν−νννν−
ν−ν+=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
τττσσσ
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
z
y
x
210000002100000021000000100010001
211E
εDσ ⋅=
4.3. Potpuna veza naprezanja i deformacija
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
εεε
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−ν
ν
ν−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
τσσ
xy
yy
xx
2
xy
y
x
1000101
1E
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
τ⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν+ν−
ν−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ε xy
y
x
xy
yy
xx
σσ
1000101
E1ε
ε
εDσ r ⋅= σDε 1r ⋅= −
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
εεε
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
τσσ
=
xy
y
x
xy
y
x
, εσ
Naprezanje i deformacije u ravnini:
Potpuna veza naprezanja i deformacija (ravninsko stanje naprezanja):
4.4. Zakon superpozicije
Pretpostavke: elastično, homogeno, izotropno tijelo → linearna ovisnost opterećenja, naprezanja, deformacija i pomaka
U nekoj točki ravninskog stanja 1. opterećenje 1
111 σDεσ ⋅=→ −
2. opterećenje 222 σDεσ 1 ⋅=→ − Ukupno ( )2121 , σσDεσσσ 1 +⋅=+= −
Uvjet: σ u granicama proporcionalnosti Zakon superpozicije: Stanje naprezanja (deformacija i pomaka) zbog zbroja dvaju ili više stanja opterećenja jednako je zbroju dvaju ili više stanja naprezanja (deformacija i pomaka) izazvano s dva ili više stanja opterećenja. Zakon superpozicije za jednoosno stanje naprezanja
σ1
σ2
σσ
σ
σ
2
1
l
σ1
σ2
σσ
σ2
1
E
E2
2
11
σε
σε
=
=
( )212121 σσE1εεε,σσσ +⋅=+=+=
ALNOSTIPROPORCIONσσ ≤
4.5. Saint Venantov princip
Ako zadano opterećenje zamijenimo sa statički ekvivalentnim opterećenjem, stanje naprezanja, deformacija i pomaka razlikuje se na relativno malom dijelu elastičnog tijela, upravilu u blizini djelovanja opterećenja. U presjecima dovoljno udaljenim od mjestadjelovanja opterećenja razlike su neznatne te se mogu zanemariti.
1
1
1
1a
σ= P/a
P
1
1
1
1a
= P/a
P
R
AσA
σ (1) (2)
(1) (2)
R
A
R
σ
A (1) (2) σ σA A
(1) (2)=
(1) (2)
4.6. Volumenska dilatacija
σ
σ
σ
3
2
1
σ
σ
σ
3
2
1
σ1, σ2, σ3 - glavna naprezanja
( )
( )
( )2133
1322
3211
σσσE1ε
σσσE1ε
σσσE1ε
ν−ν−=
ν−ν−=
ν−ν−=
dx1, dx2, dx3 - bridovi paralelepipeda u smjeru glavnih deformacija
Volumen prije deformacije:dV = dx1 dx2 dx3
Volumen nakon deformacije: dV1 = (1+ε1) (1+ε2) (1+ε3) dx1 dx2 dx3
Relativna promjena volumena - volumenska deformacija:
εV = (dV1-dV) / dV = (1+ε1) (1+ε2) (1+ε3) -1
Zanemarimo li beskonačno male veličine višeg reda:
εV = ε1 + ε2 + ε3
ili εV = ε1 + ε2 + ε3 = εxx + εyy + εzz = G1
G1 - prva invarijanta deformacija
Volumenska deformacija jednaka je zbroju normalnih deformacija na glavnim osima.
Dužinska deformacija zbog utjecaja temperature:
εt = α ∆T
α - koeficijent linearnog toplinskog rastezanja - jedinica K-1 (Kelvin-1)
Ukupna deformacija u promatranoj točki tijela:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ] TE1
TE1
TE1
yxzzz
xzyyy
zyxxx
∆α+σ+σν−σ=ε
∆α+σ+σν−σ=ε
∆α+σ+σν−σ=ε
zxzx
zx
yzyz
yz
xyxy
xy
E1
G2
E1
G2
E1
G2
τν+
=τ
=ε
τν+
=τ
=ε
τν+
=τ
=ε
4.7. Utjecaj temperature
5. KOEFICIJENTI SIGURNOSTI I DOPUŠTENO NAPREZANJE
Nosivost konstrukcije je sposobnost konstrukcije da prenese određeno opterećenje.
Razlikujemo nosivost u odnosu na određeni kriterij (nosivost pri slomu, nosivost na granici
elastičnog ponašanja, ...
Deformabilnost konstrukcije je svojstvo konstrukcije da pod djelovanjem opterećenja
promijeni svoj oblik. Promjena oblika je ograničena uporabljivošću konstrukcije.
Uporabljivost može biti u odnosu na progibe, zakrivljenost, nagibe, pukotine.
Granično opterećenje je maksimalno opterećenje koje konstrukcija može preuzeti, a da ne
bude prekoračen zadani kriterij. Razlikujemo granično opterećenje pri slomu, granično
opterećenje na granici elastičnosti, granično opterećenje za uporabljivost, ...
Radno (stvarno) opterećenje je opterećenje koje se očekuje da će se pojaviti na
konstrukciji.
Lokalni koeficijent sigurnosti je kvocijent granične sile (naprezanja) i radne sile
(naprezanja).
Globalni koeficijent sigurnosti je kvocijent graničnog opterećenja i radnog opterećenja.
Globalni koeficijent sigurnosti k raščlanjuje se na parcijalne koeficijente sigurnosti ki, od
kojih svaki izražava utjecaj jednog od faktora na konstrukciju.
k = k1 ⋅ k2 ⋅ k3 ⋅ ...
Parcijalni koeficijent sigurnosti je recipročan vjerojatnosti otkazivanja po određenom
parametru ili skupini parametara.
Koeficijent sigurnosti je uvijek veći od 1.
Važnost izbora koeficijenta sigurnosti: premali koeficijent - konstrukcija nije u stanju
ispunjavati uvjete uporabe, previsok koeficijent - neekonomična konstrukcija.
Izbor koeficijenta sigurnosti ovisi o:
- vrsti materijala konstrukcije
- veličini i karakteru opterećenja koje može djelovati na konstrukciju, a uvjetovano je
namjenom građevine (stambeni, industrijski, sportski, ...) i lokacijom objekta ( seizmičko
opterećenje, opterećenje snijegom i vjetrom).
Grublja procjena veličine i karaktera opterećenja → veći koeficijent sigurnosti.
Praktična ilustracija koeficijenta sigurnosti
δ
φFFFFFF FFFFFFF F1 2 4
AB
Radno opterećenje: F1 = 1.0 MN; F2 = F3 = F4 = 0.5 MN
Granično opterećenje:
- pri slomu F1 = 2.5 MN; F2 = F3 = F4 = 1.25 MN
- na granici elastičnog ponašanja F1 = 2.0 MN; F2 = F3 = F4 = 1.0 MN
- pri graničnim pomacima δ F1 = 1.5 MN; F2 = F3 = F4 = 0.75 MN
Globalni koeficijenti sigurnosti:
- protiv sloma k = 2.5 / 1.0 = 2.5
- protiv pojave graničnih pomaka k = 1.5 / 1.0 = 1.5
Lokalni koeficijenti sigurnosti:
Radne sile u presjecima A i B:
MAR, TAR, NAR, MBR, TBR, NBR
Sile na granici elastičnosti:
MAE, TAE, NAE, MBE, TBE, NBE
Lokalni koeficijenti sigurnosti:
kA = MAE / MAR
kB = MBE / MBR
Kod linearno elastičnih materijala i konstrukcija vrijedi:
kGLOB = max kLOK
Kod nelinearnih materijala i konstrukcija vrijedi:
kGLOB > max kLOK
Parcijalni faktori sigurnosti (lokalni i globalni)
Vjerojatnost pojave graničnog opterećenja pri slomu v=0.70 → koeficijent sigurnosti na
pojavu slomnog opterećenja kPARC = 1 / 0.70 = 1.42.
Kritično naprezanje σK - naprezanje kod kojeg konstrukcija dolazi u neželjeno stanje
(stanje loma ili pojava trajnih deformacija)
Dopušteno naprezanje σdop - naprezanje pri kojemu smo sigurni da materijal neće doći u
neželjeno stanje, tj. ne može doći do loma materijala ili pojave trajnih deformacija nazivamo
dopuštenim naprezanjem.
σdop = σK / k
Elastoplastični materijal Krhki materijal
7. SMICANJE (ODREZ)7.1. Čisti posmik
σ
τ
τ
τ
σ
a
b
c
d
a1
b1
c1
d1 0
π/2 + γπ/2 − γ
τ
x x
σ
σ
y
y
a
b
c
d
a1
b1
c1
d1 0
π/2 + γπ/2 − γ
Čisti posmik - 0,0 =σ≠τ
Čisti posmik ekvivalentan je istodobnom rastezanjui pritisku s jednakim intenzitetom u međusobno okomitim smjerovima.
σ=σ=σ yx
Posmična naprezanja ne mijenjaju volumen većsamo oblik tijela.
GAaT
⋅⋅
=δ
Mjera posmične deformacije je kut relativnog smicanja γ.Za posmične deformacije u ravnini xy: γ = 2εxy
Apsolutni pomak uslijed smicanja
Posmično naprezanje:
γ⋅==τ GAT
GAT⋅
=γ
GAT
atg
⋅=
δ=γ≈γ
A⋅G – posmična krutost
Srednja vrijednost posmičnih naprezanja
AT
=τ
Uvjet čvrstoće za elemente opterećene na smicanje dopAT
τ<=τ
7.2. Proračun elemenata opterećenih na smicanje (odrez)
Sila koja pripada jednoj zakovici: nFF1 =
- Zakovica je opterećena na smicanje u presjeku 1-1.
- Na trup zakovice djeluje bočni površinski pritisak.
- U presjeku oslabljenom s rupama za zakovice može doći do raskida ploče.
- U krajnjem dijelu ploče, između njezina kraja i zakovice može doći do smicanja.
Analiza naprezanja u spoju s vijcima (zakovicama) – jednorezni spoj
Površina smicanja
Bočni površinski pritisak
Uvjeti čvrstoće:
(1) Na smicanje zakovice dop21
4dF
τ≤π
=τ
(2) Na bočni površinski pritisak između trupa zakovice i ploče dop01
0 tdF
σ≤⋅
=σ
σ0 dop – dopušteni bočni površinski pritisak
Bočni površinski pritisak
Površina smicanja
Površina smicanja
Uvjeti čvrstoće:
(3) Na rastezanje ploče u presjeku oslabljenom s rupama za zakovice (m – broj rupa u
promatranom presjeku)
( ) dopdmbtF
σ≤⋅−
=σ
(4) Na smicanje u krajnjem dijelu ploče dop1
t2dc2
Fτ≤
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=τ
b
Uvjet čvrstoće na smicanje zakovice: dop2
4dn2
Fτ≤
π=τ
n – broj zakovica s jedne strane spoja
Bočni površinski pritisak: dop00 tdnF
σ≤⋅⋅
=σ
Analiza naprezanja u spoju s vijcima (zakovicama) – dvorezni spoj
Površine smicanja
• Materijalno tijelo, materijalni lik, materijalna crta - prostor D ispunjen materijalnim česticama
• Gustoća ρρρρ - količina materijalnih čestica po jedinici prostora
• Elementarna (diferencijalna) masa – produkt gustoće i elementa prostora D, dDdm ⋅ρ=
• Masa tijela – zbroj svih elementarnih masa u prostoru D, ∫∫ ⋅ρ==DD
dDdmM
• Sila težine – sila kojom Zemlja privlači materijalno tijelo mase M, dDgMgGD
⋅ρ⋅=⋅= ∫
• Središte masa ili težište – točka hvatišta sile težine. Nalazi se na sjecištu dviju ili više težišnica. Težišnica predstavlja pravac na kojem djeluje sila težine.
Pri zaokretanju materijalnog tijela središte masa ostaje na istome mjestu, dok se za svaki novi položaj uspostavlja nova težišnica. Ova činjenica se koristi za određivanje središta masa.
8. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAP OVA
8.1. Težina tijela, središte masa ili težište
Moment sile težine tijela G na bilo koju točku prostora jednak je sumi momenata elementarnih težina tijela dG na istu točku prostora.
GrGdrM T
D
0 ×=×= ∫
( ) ( ) eGkzjyixedGkzjyix TTTD
⋅×⋅+⋅+⋅=⋅×⋅+⋅+⋅∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ekGzejGyeiGxekdGzejdGyeidGx TTTDDD
×⋅+×⋅+×⋅=×⋅+×⋅+×⋅ ∫∫∫
GzdGz,GydGy,GxdGx TD
TD
TD
⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅ ∫∫∫
Koordinate težišta tijela: G
dGz
z,G
dGy
y,G
dGx
x DT
DT
DT
∫∫∫ ⋅
=
⋅
=
⋅
=
Analitičko određivanje koordinata težišta:
Težište volumena Homogeno tijelo ρ=const., dVgdG ⋅ρ⋅= , VgdVgG
V
⋅ρ⋅=⋅ρ⋅= ∫
V
dVx
x VT
∫ ⋅
= ; V
dVy
y VT
∫ ⋅
= ; V
dVz
z VT
∫ ⋅
=
Težište površine Homogena ploča (ρ=const.) deb. t, dAtgdG ⋅⋅ρ⋅= , AgdAtgG
A
⋅ρ⋅=⋅⋅ρ⋅= ∫
A
dAx
x AT
∫ ⋅
= ; A
dAy
y AT
∫ ⋅
= ; A
dAz
z AT
∫ ⋅
=
Težište linije Homogeno tijelo (ρ=const.) vrlo malih poprečnih dimenzija u odnosu na duljinu
dsAgdG ⋅⋅ρ⋅= , sAgdsAgGs
⋅⋅ρ⋅=⋅⋅ρ⋅= ∫
s
dsx
x sT
∫ ⋅
= ; s
dsy
y sT
∫ ⋅
= ; s
dsz
z sT
∫ ⋅
=
Težište složenih tijela
Homogeno tijelo (ρ=const.) se sastoji od n pravilnih dijelova čija su težišta poznata.
Koordinate težišta tijela
Volumen Površina Linija
Tx
V
Vxn
1ii∑ ∆⋅
A
Axn
1ii∑ ∆⋅
S
sxn
1ii∑ ∆⋅
Ty
V
Vyn
1ii∑ ∆⋅
A
Ayn
1ii∑ ∆⋅
S
syn
1ii∑ ∆⋅
Tz
V
Vzn
1ii∑ ∆⋅
A
Azn
1ii∑ ∆⋅
S
szn
1ii∑ ∆⋅
∑∆=n
1iVV ∑∆=
n
1iAA ∑∆=
n
1isS
8.2. Stati čki momenti i momenti tromosti (inercije) ravnih pre sjeka
Statički momenti presjeka površine A s obzirom na osi z i y
∫ ⋅=A
z dAyS ∫ ⋅=A
y dAzS
Na osnovu teorema o jednakosti momenta sile i momenata njezinih komponenti:
Tz yAS ⋅= Ty zAS ⋅=
∫=A
dAA - površina poprečnog presjeka.
Statički moment presjeka s obzirom na bilo koju os jednak je produktu površine popre čnog presjeka i pripadaju će koordinate težišta.
Za bilo koju težišnu os statički moment presjeka jednak je nuli.
Aksijalni momenti tromosti (inercije)presjeka s obzirom na osi z i y:
∫ ⋅=A
2z dAyI ∫ ⋅=
A
2y dAzI
Centrifugalni moment tromosti (inercije)presjeka s obzirom na osi z i y:
∫ ⋅⋅=A
zy dAyzI
Polarni moment tromosti (inercije) presjeka s obzirom na pol O:
∫ ⋅ρ=A
2P dAI
222 yz +=ρ
∫∫∫ ⋅+⋅=⋅+=A
2
A
2
A
22P dAydAzdA)yz(I
yzP III +=
Zbroj aksijalnih momenata tromosti u odnosu na dvij e međusobno ortogonalne osi jednak je polarnom momentu tromosti u odnosu na pol koji se nalazi na sjecištu koordinatnih osi.
Dimenzija momenata tromosti [l4]
Predznaci: Iz, Iy, Ip su uvijek pozitivniIzy može biti manji, jednak ili veći od nule
dA
y
z
y
A
z
I >0zy
dAy
z
yA
z
I <0zy
Ako je bar jedna od koordinatnih osi os simetrije presjeka → centrifugalni moment tromosti
s obzirom na te osi je jednak nuli.
dAy
z
y
z
dA-y
z
Elementarni centrifugalni momenti tromosti za simetrično raspređene površine dA u odnosu na os z dAyzdIzy ⋅⋅= su suprotnog
predznaka.
Zbroj para elementarnih površina = 0
→ Izy = 0
dA
y
y1
A
z
T
O
z
y
y1
a
b
ρ
Momenti tromosti obzirom na koordinatne osi z i y koje prolaze težištem presjeka T:
∫ ⋅=A
2z dAyI ; ∫ ⋅=
A
2y dAzI ; ∫ ⋅⋅=
Azy dAyzI
Momenti tromosti obzirom na koordinatne osi z1 i y1 paralelne s osima z i y:
∫ ⋅=A
21z dAyI
1 ; ∫ ⋅=
A
21y dAzI
1; ∫ ⋅⋅=
A11yz dAyzI
11
ayy;bzz 11 +=+= →→→→ ∫∫∫∫∫ ⋅++⋅=⋅+=⋅=AA
2
A
2
A
2
A
21z dAya2dAadAydA)ay(dAyI
1
zA
SdAy =⋅∫ statički moment presjeka u odnosu na težišne osi = 0 →→→→
8.3. Promjena momenta tromosti pri translaciji koord inatnog sustava
AaII 2zz1
+= AbII 2yy1
+= AbaII zyyz 11⋅⋅+=
Steiner-ovo pravilo za momente tromosti s obzirom n a paralelne osi:
Aksijalni moment tromosti presjeka s obzirom na zad anu os jednak je zbroju momenata tromosti s obzirom na paralelnu te žišnu os i produkta površine presjeka i kvadrata udaljenosti zadane i te žišne osi.
Steiner-ovo pravilo za centrifugalni moment tromost i:
Centrifugalni moment tromosti presjeka s obzirom n a zadani pravokutni koordinatni sustav jednak je zbroju centrifugalnog momenata tro mosti s obzirom na paralelni te žišni koordinatni sustav i produkta površine presjeka i k oordinata te žišta presjeka u zadanome pravokutnome koordinatnom sustavu.
AaII 2zz1
+= AbII 2yy1
+=
AbaII zyyz 11⋅⋅+=
dA
y
y1
A
z
T
O
z
y
y1
a
b
ρ
Polarni moment tromosti obzirom na pol O 1:
A)ba(IIIIdAI 22yzyz
A
21P 111
+++=+=⋅ρ= ∫
2220 ba +=ρ
→→→→ AII 20Pp1
ρ+=
Polarni moment tromosti presjeka ima najmanju vrijednost ako je pol u težištu.
dA
y
y1
A
z
T
O
z
y
y1
a
b
ρ
AaII 2zz1
+=
AbII 2yy1
+=
Od svih momenata tromosti s obzirom na skup paralelnih osi, najmanju vrijednost ima moment tromosti s obzirom na os koja prolazi težištem.
AII 20Pp1
ρ+=
9.6. Polumjer tromosti
dA
yy =is z
z z
y y
A A
zz =is y
AidAidAidAydAyI 2z
A
2z
A
2z
A
2s
A
2z ===== ∫∫∫∫
AidAidAidAzdAzI 2y
A
2y
A
2y
A
2s
A
2y ===== ∫∫∫∫
Polumjeri tromosti presjeka iz, iy : A
Ii,
A
Ii y
yz
z ==
Glavni polumjeri tromosti iu, iv : A
Ii,
A
Ii v
vu
u ==
9. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA
Čisto savijanje – savijanje štapa u slučaju kada se u poprečnim presjecima pojavljuje samo moment savijanja.
Poprečno savijanje ili savijanje silama – savijanje štapa u slučaju kada se u poprečnim presjecima pojavljuje poprečna sila i moment savijanja.
Obično ili ravno savijanje – ravnina djelovanja momenta savijanja se poklapa s jednom od glavnih središnjih osi tromosti poprečnog presjeka štapa. Tada se štap savija u ravnini djelovanja momenta savijanja.
Koso savijanje – ravnina djelovanja momenta savijanja ne poklapa se ni s jednom od glavnih središnjih osi tromosti presjeka. Ravnina savijanja ne podudara se s ravninom djelovanja momenta savijanja.
P
a
la
P
c
-
+Tx
Mx +
Čisto savijanje i savijanje silama
A
lM
Tx
-Mx
Čisto savijanje
Čisto savijanje ravnog štapa konstantnog poprečnog presjeka od Hookeovog materijala (homogen, izotropan, elastičan)
9.1. Čisto savijanje
Uvjeti ravnoteže:
0dAT;0F
0dAT;0F
0dAN;0F
Axzzz
Axyyy
Axx
=∫ τ=∑ =
=∫ τ=∑ =
=∫σ=∑ =
0dAyM;0M
MdAzMM;0M
0dA)zy(MM;0M
Axzz
Axsyy
Axyxztxx
=∫σ=∑ =
=∫σ==∑ =
=∫ τ−τ==∑ =
Kako je 0MTT xzy === → 0dAy;MdAz;0dAA
xA
xA
x =∫σ=∫σ=∫σ
Nepoznat zakon raspodjele naprezanja σx
Bernoullieva hipoteza ravnih poprečnih presjeka – ravni poprečni presjeci pri deformaciji štapa ostaju ravni i okomiti na savijenu os štapa.
Uzdužna vlakna na konveksnoj strani se izdužuju
Uzdužna vlakna na konkavnoj strani se skraćuju
Neutralni sloj - sloj čija se vlakna ne produžuju niti
skraćuju
Presječnica neutralnog sloja i ravnine poprečnog
presjeka – neutralna os presjeka
Uzdužna deformacija: AB
ABBA 11xx
−=ε
Duljina vlakna prije deformacije:
ϕρ==== d'B'AdxBAAB 0000
Duljina vlakna nakon deformacije: ϕ+ρ= d)z(BA 11
ρ=
ϕρϕρ−ϕ+ρ=ε z
d
dd)z(xx
Naprezanje u uzdužnim vlaknima:
zE
Exxx ρ=ε=σ
Uvjeti ravnoteže u presjeku:
(1) 0dAz0dAzE
dAzE
dAAAAA
x =⇒=ρ
=ρ
=σ ∫∫∫∫
Statički moment površine je jednak nuli.
→ Neutralna os prolazi težištem poprečnog presjeka.
(2) zyAAA
x I0dAyz0dAyzE
dAy ==⇒=ρ
=σ ∫∫∫
z, y – gl. središnje osi tromosti
(3) MI
E
IdAzMdAzE
dAz
y
yA
2
A
2
Ax
=ρ
=→=ρ
=σ ∫∫∫
yEI
M1 =ρ
elasti čna ili progibna linija štapa(zakrivljenost neutralnog sloja)
Normalno naprezanje u svakoj točki presjeka:
zEIE
Mz
EE
yxxx =
ρ=ε=σ
zI
M
yx =σ
Mjesta najvećih naprezanja su u najudaljenijim vlaknima.
Normalna naprezanja su na neutralnoj osi jednaka nuli 0x =σ .
Moment otpora:
z
IW y
y =
Normalna naprezanja xσ u svakoj to čki popre čnog presjeka :
yx W
M=σ
yEI
M1 =ρZakrivljenost neutralnog sloja:
Dijagram normalnih naprezanja xσ za bilo kakav presjek s horizontalnom osi simetrije:
Presjek s horizontalnom osi simetrije y:
2h
z ±= → 2
h
I
M
yminmax,x ⋅±=σ
yy W
2hI
= → yminmax,x W
M±=σ
yminxmaxx W
M=σ=σ
Pravokutni presjek:
12
hbI
3
y =
2minmax,xhb
M6⋅±=σ
y
zb
h 6
hb
2h
IW
2y
y ==
yx W
Mminmax,
±=σ
Prostorni dijagram naprezanja za pravokutni presjek:
Okrugli presjek:
64
dI
4
y
π=
π⋅±=σ3maxx
d
M32
z
y
d
yx W
Mminmax,
±=σ
32
dW
3
y
π=
Naprezanje kod nepravilnog presjeka:
s
z
h1
h2
y
1max hz = , 2min hz −= :
1y
maxx hI
M=σ
2y
minx hI
M−=σ
Raspodjela normalnih naprezanja u poprečnom presjeku ne ovisi o obliku poprečnog presjeka.
Prostorni dijagram normalnih naprezanja za T presjek
Slučaj savijanja kada u proizvoljnom presjeku štapa djeluje moment savijanja i poprečna sila. Naprezanja u presjeku :
9.2. Opće savijanje štapova
Normalna σx
Posmična τxz, τzx
P1 P2 P3
xs s
3 3
1 2
d xx
A B
1 2M+ dM
T
sa
b
Z
M
T
b’
a
dx
s‘τxy
τyxσx
σx
dσxτyx
h/2
h/2B B’
τ τ
τ
b b‘
a
N+ dN
d x
a‘b
a a‘N
σσ
bI
ST
y
yzxz ⋅
⋅=τ
Posmično naprezanje:
Tz – poprečna sila u presjeku
Sy – statički moment površine odrezanog dijela presjeka s obzirom na neutralnu os
Iy – aksijalni moment tromosti cijelog presjeka
b – širina poprečnog presjeka
zx
xz
x dx
Tz Tz
My My+dMy
x
σx σx+dσx
τxz
τxz
τzx
x dx
zx
x
A1b
s
A
Z Z1
T/A
τmax = 32
H/2
H/2
)z4
h(
2
b
2
z2h
)z2
h(bS 2
2
y −⋅=+
⋅−⋅=
)z4
h(
bh
T6
bI
ST 22
3z
y
yzxz −==τ
A
T
2
3
bh
T
2
3 zzmaxxz ⋅=⋅=τ
Pravokutni presjek:
2
h
2
h
A
T
2
3 zmaxxz =τ
A
Tz
Kružni presjek:
τ r
224
z zrr
T
3
4 −π
=τ
A
T
3
4 zmax ⋅=τ
Raspodjela posmičnih naprezanja u I presjeku: zx
bI
ST
y
yzxz ⋅
⋅=τ
Raspodjela naprezanja u T presjeku
x
z
y
9.3. Glavna naprezanja i trajektorije glavnih naprez anja
Naprezanja pri savijanju silama:
zI
M
y
yx =σ bI
ST
y
yzxz =τ
Ravninsko stanje naprezanja
zxxz τ=τ 0z =σ
Glavna naprezanja:2
xz2
xx
minmax,2,1 42
1
2τ+σ±σ=σ=σ
ττττxz
σ2
σ2
σ1
σ1
σσσσxσσσσx
ττττxz
;
Smjerovi glavnih naprezanja:
x
xz0
22tg
στ=ϕ
1
xz10tg
στ=ϕ
2
xz20tg
στ=ϕ
ili
,
Ekstremna posmična naprezanja: 2xz
2x
21minmax,2,1 4
2
1
2τ+σ±=σ−σ±=τ=τ
(u presjecima nagnutima pod 45° prema smjerovima gl. naprezanja)
Trajektorije glavnih naprezanja
Međusobno okomite krivulje, tangente kojih u svakoj točki imaju smjerove glavnih naprezanja.
Trajektorije: vlačne i tlačne
ττττxz
σ2
σ2
σ1
σ1
σσσσxσσσσx
ττττxz
;
l
q
.lq2
.lq2
-
+Tz
My +
Vlačne i tlačne trajektorije su međusobno okomite.
Trajektorije sijeku neutralnu os pod kutem 45°.
Trajektorije su okomite na gornji i donji rub nosača.
P
A Ba l-a a
P
-
+Tz
My +
a l-a a
P P
9.4. Koso savijanje
y
zx
PPz
Py
My
Mz
z
y
y
yzx W
M=σ
-
Tz
-My-
Ty
Mzz
zyx W
M=σ
zx
yxx σ+σ=σ
Koso savijanje: superpozicija- savijanja u ravnini xy- savijanja u ravnini xz
-
-
vlak
tlakz
y
tlak
vlak
12
3 4
N.O.
1σ
y
z
4σ
2σ
3σ
2
y
2z
1max bh
lP6
hb
lP6
⋅⋅⋅
+⋅
⋅⋅=σ=σ
,
2
y
2z
2 bh
lP6
hb
lP6
⋅⋅⋅
−⋅
⋅⋅=σ
2
y
2z
3min bh
lP6
hb
lP6
⋅⋅⋅
−⋅
⋅⋅−=σ=σ 2
y
2z
4 bh
lP6
hb
lP6
⋅⋅⋅
+⋅
⋅⋅−=σ
9.5. Savijanje s uzdužnom silom
NN MM
z
y+ =
yyM I
zM
W
M ⋅==σ
A
NN =σ
yminmax,2,1 W
M
A
N ±=σ=σ
N.O.
yM W
M=σ
vlak
tlak
A
NN =σ
vlak
vlak
1σ
2σ
vlak
tlak
9.6. Koso savijanje s uzdužnom silom
NNMy
z
yMy
MzMz
N.O.
z
z
y
ymax W
M
W
M
A
N ++=σ
z
z
y
ymin W
M
W
M
A
N −−=σ
z
z
y
y
W
M""
W
M""
A
N ++=σ
9.7. Proračun čvrsto će pri savijanju silama
Točke s najvećim naprezanjima:
a) Točka s σx → max
b) Točka s τxz → max
c) Točka s σ1, σ2 → max
Točka s naglim promjenama širine poprečnog presjeka, npr. spoj pojasa i rebra kod I presjeka
dopy
maxmaxx W
M σ≤=σ
dopy
maxymaxzmaxxz bI
STτ≤
⋅⋅
=τ
6. AKSIJALNO OPTEREĆENJE ŠTAPA
Aksijalno opterećen štap je štap opterećen samo uzdužnom silom N.
+ Rastezanje (vlak) → N u smjeru vanjske normale presjeka
- Pritisak (tlak) → N u smjeru suprotnom od smjera vanjske normale presjeka
Za štap promjenjive aksijalne krutosti: ∑= ⋅
⋅=∆n
1i ii
ii
AE
lNl
6.1. Rastezanje i pritisak ravnog štapaPretpostavke:• Štap od homogenog, izotropnog materijala• Hipoteza ravnih poprečnih presjeka• Naprezanja jednoliko raspodijeljena u poprečnim presjecima dovoljno udaljenim od krajnjih presjeka štapa
E – modul elastičnostiA – površina poprečnog presjeka
A
P
A
N
x
xx −==σ
AE
P
Ex
x ⋅−=σ=ε
dxdudx
duxx ε=→=ε
AE
xPdx
AE
Pdxu
x
0
x
0xx ⋅
⋅−=⋅⋅
−=⋅ε= ∫∫
AE
lPl
⋅⋅−=∆ → skraćenje štapa
Aksijalna krutost
Rastezanje ravnog štapa razlikuje se samo po predznaku
A
Px =σ ,
AE
lPl
⋅⋅=∆ → produženje štapa
xσ
Uzdužna sila u presjeku )xl(AN x −γ=
6.2. Utjecaj vlastite težine
Pretpostavke:• Štap od homogenog, izotropnog materijala• Hipoteza ravnih poprečnih presjeka
E – modul elastičnostiA – površina poprečnog presjekaγ - specifična težina materijala
AE2
lGl
⋅⋅⋅=∆
Težina štapa AlG γ= → )xl(l
GN x −=
l
xl
A
G
A
N
x
xx
−⋅==σ ; )xl(lAE
G
Ex
x −⋅⋅⋅
=σ=ε
−⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅−⋅= ∫ 2
xxl
lAE
Gdx
lAE
)xl(Gu
2x
0x
→ produženje štapa
Sile u štapovima: tlaktg
PS1 →
φ−= ; vlak
sin
PS2 →
φ=
6.3. Sustavi sastavljeni iz više štapova
Pomak točke B → rezultirajući pomak
Produljenja i skraćenja štapova:
→⋅⋅−=∆
1
111 AE
lSl skraćenje; →
⋅⋅=∆
2
222 AE
lSl produljenje
φ
6.4. Stati čki neodre đeni sustavi štapova
lba =+
Jednadžba ravnoteže:
)1(PRR ba =+Jednadžba kontinuiteta:
ba ∆=∆
AE
bRb;
AE
aRa ba
⋅⋅=∆
⋅⋅=∆
)2(Rb
aR ab =
Iz (1) i (2) slijedi:
PRb
aR aa =+
Pl
b
b
abP
b
a1
PRa ⋅=
+=
+=
Pl
aRb ⋅=
AE
bR
AE
aR ba
⋅⋅=
⋅⋅
6.5. Naprezanja uslijed temperaturnih djelovanja
l
∆t=t-t0
αt , E, A
Slobodan štap
Produljenje štapa:
( ) ltlttl t0tt ⋅∆⋅α=⋅−⋅α=∆
Dužinska deformacija zbog utjecaja temperature:
ttt ∆⋅α=ε
α - koeficijent linearnog toplinskog rastezanja - jedinica K-1
(Kelvin-1)
l
∆t=t-t0
αt , E, A
Kod statički određenih sustava nema temperaturnih naprezanja jer je deformiranje slobodno.
Kod statički neodređenih konstrukcija pojavljuju se sile i naprezanja pri promjeni temperature.
Pri porastu temperature štap bi se produljio za:
ltll ttt ⋅∆⋅α=⋅ε=∆Reakcije koje ne dopuštaju produljenje:
BA FF =Uvjet kompatibilnosti:
0lll Ft =∆−∆=∆
AE
lFlt A
t ⋅⋅=⋅∆⋅α
Reakcije oslonca:
AEtFF tBA ⋅⋅∆⋅α==Naprezanja u štapu:
EtA
Ft
A ⋅∆⋅α==σ
∆t > 0 – porast temperature, naprezanje tlačno∆t < 0 – pad temperature, naprezanje vlačnoZa istovremeno djelovanje opterećenja i porasta temperature: ( ) Et ⋅ε−ε=σ
Štap sa sprije čenim pomacima uzdu ž osi izlo žen promjeni temperature:
AF
BFBF
6.6. Koncentracija naprezanja
Pri nagloj promjeni poprečnog presjeka (u okolici utora ili otvora) u linearnom području ponašanja materijala dolazi do lokalnog povećanja naprezanja koje nazivamo koncentracija naprezanja .
Faktor koncentracije naprezanjaS
maxk σ
σ=α
(αk >1) pokazuje stupanj koncentracije. σmax – maksimalno naprezanje, σS – srednje naprezanje po oslabljenom presjeku
nS A
F=σ
An – površina oslabljenog presjeka
10. DEFORMACIJA RAVNOG ŠTAPA PRI SAVIJANJU
Elasti čna linija ili progibna linija nosa ča - deformirana (savijena) uzdužna os štapa
Zakrivljenost nosača kod čistog savijanja: Zakrivljenost krivulje (matematički izraz)
y
y
IE
M1 =ρ
23
2
2
2
dxdw
1
dx
wd1
+
±=ρ
Zanemarujemo 2
dx
dw
kao diferencijalno malu veličinu višeg reda.
10.1. Diferencijalna jednadžba elasti čne linije
y
y2
2
IE
M
dx
wd −=
ili y2
2
y Mdx
wdIE −=
Deriviranjem po x slijedi
z3
3
y Tdx
wdIE −=
)x(qdx
wdIE
4
4
y =
Diferencijalna jednadžba progibne linije
(približna, vrijedi kad su pomaci mali u odnosu na raspon nosača)
Mehaničko značenje matematičkih veličina:
xy
xwx
Progibnalinija
x
My1M
Tz Tz1
y
q(x)
)x(ww = progib
)x(dx
dw ϕ= kut zaokreta progibne linije
2
2
yydx
wdIEM −= moment savijanja
3
3
yydx
wdIET −= poprečna sila
4
4
ydx
wdIE)x(q = opterećenje
yIE - krutost presjeka na savijanje
Greda opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem
A B
w
M x
l
wmax
x=0, w0=0 → 0C2 =
( )
( )
1
23
y
22
2
y
l0
y2
2
y
22
y
C2
xl
3
x
2
q
dx
dwIE
xlx2
q
dx
wdIE
0w,0w:uvjetiRubni
Mdx
wdIE
xxl2
q
2
xqxAM
2
lqBA
+
⋅−=⋅
⋅−=⋅
==
−=⋅
−⋅=⋅−⋅=
⋅==
21
34
y CxC6
xl
12
x
2
qwIE +⋅+
⋅−=⋅
10.2. Progibna linija stati čki odre đenih nosa ča
x
zx
q
x=l, wl=0 → 0lC6
l
12
l
2
q1
44
=⋅+
− ,
24
qlC
3
1 =
+
−
⋅=l
x
l
x2
l
x
EI24
lqw
34
y
4
−
+⋅==ϕ23
y
3
l
x6
l
x41
EI24
lq
dx
dw)x(
wmax za 0dx
dw = →
y
4
max EI
ql
384
5w
2
lw ==
( )y
3
A EI24
ql0 =ϕ=ϕ ( )
y
3
B EI24
qll −=ϕ=ϕ
Jednadžba progibne linije:
Jednadžba kuta zaokreta:
Progib u sredini raspona:
Kutevi zaokreta na ležajevima:
Desna konzola opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem
M x
l
q
w
( )
( )
21
4322
y
1
322
y
222
2
y
2A
2
2
A
CxC12
x
3
xl
2
xl
2
qwIE
C3
xlxxl
2
q
dx
dwIE
xlx2l2
q
dx
wdIE
xl2
qM
2
xqxA)x(M
2
qlM,lqA
++
+−=⋅
+
+−=⋅
+−=⋅
−−=+⋅−⋅=
−=⋅=
0w,0'w)0(uvjetiRubni 00 ===ϕ
C1=0, C2=0
A
MA
+
−
⋅=432
y
4
l
x
l
x4
l
x6
EI24
lqw
+
−
⋅==ϕ32
y
3
l
x
l
x3
l
x3
EI6
lq
dx
dw)x(
( )y
4
max EI8
qlwlw ==
( )y
3
max EI6
ql)l('wl ==ϕ=ϕ
Jednadžba progibne linije:
Jednadžba kuta zaokreta:
Progib na kraju konzole:
Najveći kut zaokreta:
Greda opterećena koncentriranom silom u sredini raspona P
A B /2 l /2 l
M
Rubni uvjeti : w0=0, C2=0
w’(l/2)=0, y
2
1 EI16
PlC =
−=
3
33
l
x
3
4
l
x
EI16
Plw
21
3
y
1
2
y
2
2
y
CxC3
x
4
PwIE
C2
x
2
P
dx
dwIE
x2
P
dx
wdIE
x2
P)x(M,
2
lx0Za
2
PBA
++−=⋅
+−=⋅
−=⋅
⋅=≤≤
==
Jednadžba progibne linije:
Jednadžba kuta zaokreta:
−=
3
33
l
x
3
4
l
x
EI16
Plw
( )y
3
max EI48
Plw2/lw ==
y
2
max EI16
Pl)0('w −==ϕ
Za lx2
l ≤< progibna linija je simetrična oko osi 2
lx =
Progib u sredini raspona:
Najveći kut zaokreta:
−==ϕ
2
22
l
x41
EI16
Pl
dx
dw)x(
Konzola opterećena momentom
A
l M M
M
y
22
21
2
y
1
1y
2
2
y
AHV
EI2
xMw
0C0,w(0)
CxC2
xMwIE
0C0,(0)w
CxMdx
dwIE
Mdx
wdIE
M)x(MMM,0AA
⋅−=
==
++−=⋅
==′
+⋅−=⋅
−=⋅
====
( )
y
2
max EI2
Mllww −==
ymax EI
Ml)l('w −==ϕ
• Određivanje reakcija
• Određivanje funkcije M(x)
• Integriranje diferencijalne jednadžbe y2
2
y Mdx
wdIE −= po područjima 2 puta
• Uvrštavanje rubnih uvjeta i izračunavanje konstanti integracije
• Ako ima više područja integracije, konstante integracije izračunavamo izjednačavanjem kuteva zaokreta i progiba u dodirnim točkama područja
10.3. Postupak odre đivanja progibne linije stati čki odre đenih nosa ča
12. TORZIJA RAVNIH ŠTAPOVA
Torzija (uvijanje) – slučaj opterećenja kada je štap opterećen momentima koji djeluju u ravnini okomitoj na os štapa.
U većini slučajeva torzija (uvrtanje) elemenata konstrukcije nastaje kao posljedica djelovanja ekscentričnog opterećenja.
Torzija uslijed ekscentričnog opterećenja
Torzija višekatnih zgrada uzrokovana djelovanjem horizontalnih sila (vjetar, potres)
Deformacija ravnog štapa pri torziji ovisi o obliku poprečnog presjeka:
• kružni poprečni presjekvrijedi hipoteza ravnih poprečnih presjekanema vitoperenja presjeka
• neokrugli poprečni presjekpoprečni presjeci ne ostaju ravnirješenje s teorijom elastičnostiotpornost materijala daje samo konačno rješenje
• tankostijeni zatvoreni poprečni presjekrješenje metodama otpornosti materijala uz uvođenje niza pretpostavki
11.1. Torzija štapova kružnog poprečnog presjeka
Pretpostavke:
• pri deformaciji štapa poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na os štapa (hipoteza ravnih poprečnih presjeka)
• poprečni presjeci rotiraju se oko osi štapa kao kruti diskovi (ne deformiraju se u svojoj ravnini); polumjeri u tim presjecima ostaju pravci i rotiraju se za isti kut (hipoteza krutosti presjeka)
• razmak između poprečnih presjeka se ne mijenja pri deformaciji štapa (nema normalnih naprezanja u smjeru osi štapa)
∫ τρ=A
t dAM
Relativno smicanje:dxd
dx'AAtg ϕ
ρ==γ≈γ
Relativni kut uvijanja:dxdϕ
=Θ → ρΘ=γ
Hookeov zakon za čisti posmik: GG ρΘ=γ=τ
Moment torzije ∫ρΘ=A
2t dAGM
32ddAI
4
A
2P
π=ρ= ∫
P
tIG
M=Θ ; ρ=ρ=ρΘ=τ
P
t
P
tIMG
GIMG
Najveće naprezanje:
rIM
IM
P
tmax
P
tmax =ρ=τ
P
tmax W
M=τ
16d
rIW
3P
Pπ
==
Pt IGM Θ=
Torzija – element u stanju čistog posmika
Glavna naprezanja: τ±=σ=σ minmax,2,1 ; o452,1 ±=ϕ
Analiza loma štapa opterećenog na torziju:
Krhki materijali – manja otpornost na razdvajanje čestica nego na smicanje, ravnina loma pod 45°
Elastoplastični materijali – manja otpornost na smicanje nego na razdvajanje čestica, lom u ravnini najvećih posmičnih naprezanja (okomito na uzdužnu os štapa)
Dimenzioniranje štapova opterećenih na uvijanje
• Uvjet čvrstoće
dopP
tmax W
Mτ≤=τ →
dop
tP
MWτ
≥
• Uvjet krutosti
dopP
tmax IG
MΘ≤=Θ →
dop
tP G
MIΘ
≥
Promjer štapa određujemo na osnovu oba uvjeta. Mjerodavna je veća vrijednost.
ŠTAP PRIJE UVIJANJA
ŠTAP NAKON UVIJANJA
11.2. Torzija štapova pravokutnog poprečnog presjeka
Poprečni presjeci se pri uvijanju znatno iskrivljuju. Ne vrijedi Bernouli-eva hipoteza ravnih poprečnih presjeka.
Dijagram posmičnih naprezanja (b<h)
2t
maxA bhM
α=τ=τ maxB τη=τ
3t
bhGMβ
=Θ 3t
bhGlM
β=ϕ
Vrijednosti koeficijenata α, β i η:
Torzijski moment tromosti: ∑=
=n
1ii
3it sb
31I
Maksimalno naprezanje: maxt
tmax b
IM
=τ
Maksimalno naprezanje u presjeku nastaje u sredini duljih stranica elementa koji ima najveću debljinu
11.3. Torzija štapova s otvorenim tankostijenim profilom
Tankostijeni presjek sastavljen od niza tankih pravokutnika:
11.4. Torzija štapova s tankim stijenkama zatvorenog profila
Poprečni presjeci tijekom deformacije se slobodno vitopere, ali se ne iskrivljuju u svojoj ravnini (oblik poprečnog presjeka ostaje nepromijenjen).
Središnja linija presjeka – skup točaka jednako udaljen od vanjske i unutarnje konture presjeka
Tok posmičnih naprezanja .konstt =⋅τ
po dužini zatvorene konture:
min0
ttA2
M=τ
A0 - površina obuhvaćena središnjom linijom presjeka
1010
10
1
Zatvoren profil Otvoren profil
1102M
tA2M
2t
min0
tZ
⋅⋅==τ ; ( )1014
M3sb
M33
t
i3
i
tO
⋅⋅==τ
∑;
151021043 2
Z
O =⋅⋅⋅
=ττ ; ZO 15τ=τ
11.5. Izbor poprečnog presjeka
Za preuzimanje torzijskog opterećenja zatvoreni presjeci su znatno povoljnjiji od otvorenih.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π=
π−
π= 4
4444
p Dd1
32D
32d
32DI ; ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π= 4
43
p Dd1
16DW
U štapu šupljeg poprečnog presjeka materijal je bolje iskorišten(za jednake momente otpora prstenastog i punog presjeka štap prstenastog presjeka može izdržati jednako opterećenje s manjim utroškom materijala).
Najpovoljniji su poprečni presjeci cijevnog oblika.
12. IZVIJANJE TLAČNO OPTEREĆENIH ELEMENATA
12.1. Ponašanje tlačno opterećenih konstruktivnih elemenata
Stupovi su konstruktivni elementi izloženi djelovanju tlačnih sila, iako su često opterećeni i momentima savijanja i tlačnim silama.
Ponašanje stupa pri djelovanju tlačne sile ovisi o dimenzijama poprečnog presjeka i duljini stupa.
Gubitak nosivosti stupa
Kratki stupovi imaju relativno veliku površinu poprečnog presjeka u odnosu na duljinu. Pri povećanju tlačne sile, može doći do sloma stupa uslijed prekoračenja graničnog naprezanja. Posljedica su dijagonalne pukotine i drobljenje stupa.Provjera granične nosivosti stupa provodi se metodama otpornosti materijala (uspostavljanjem ravnoteže na nedeformiranom sustavu).
Nosivost kratkog stupa ovisi o:- površini poprečnog presjeka - dopuštenom naprezanju materijala.
Veći poprečni presjek → manje naprezanje → stup može preuzeti veću silu
dopAN
σ≤=σ
Gubitak stabilnosti stupa
Vitki stupovi imaju relativno malu površinu poprečnog presjeka u odnosu na duljinu. Pri povećanju tlačne sile povećavaju se deformacije konstrukcije što može dovesti do izvijanja stupa i gubitka stabilnosti pri naprezanju nižem od granice popuštanja.Provjera nosivosti stupa na izvijanje provodi se metodama stabilnosti konstrukcija (uspostavljanjem ravnoteže na deformiranom sustavu).
PRI PRORAČUNU VITKIH ELEMENATA IZLOŽENIH TLAČNOM OPTEREĆENJU MJERODAVNO JE IZVIJANJE, A NE TLAČNA NOSIVOST.
12.2. Eulerova teorija izvijanja stupova
Švicarski matematičar Leonard Euler je prvi uočio da slom vitkih stupova opterećenih centričnom tlačnom silom nastaje zbog gubitka stabilnosti prouzročenog izvijanjem stupa, a ne gubitka nosivosti presjeka.
Prema Euler-ovoj teoriji, uslijed djelovanja tlačne sile, stup se izvija. Uklanjanjem opterećenja, stup se može vratiti u početni položaj.
Ako se tlačna sila poveća do neke kritične vrijednosti, stup dostiže kritično stanje (gubitak stabilnosti) nakon kojeg se više ne može vratiti u prvobitni položaj.
Pretpostavke:
• stup je prizmatičnog oblika s konstantnim poprečnim presjekom;
• os stupa je idealno ravna, a opterećenje djeluje u osi;
• materijal je homogen, izotropan i idealno elastičan (Hookeov);
• vrijedi hipoteza ravnih poprečnih presjeka (Navier, Bernouli);
• pomaci i deformacije su mali pa se zakrivljenost ( ) 2
32)'v(1
''v
+=ρ može
pojednostavniti i izraziti kao 2
2
dxvd''v ==ρ ;
• ravnoteža se uspostavlja na deformiranom položaju stupa.
Osnovni Euler-ov stup
l
N
vmax vN
M=N⋅v
N
Moment u presjeku stupa: 2
2
dxvdEINvM =−=
2
2
dxvdEI - moment unutrašnjih sila
Nv - moment vanjskih sila nastao kao posljedica promatranja ravnoteže na deformiranom položaju stupa.
0vkdx
vd 22
2=+ ;
EINk2 =
Rješenje DJ: kxcosbkxsinav +=
DJ:
Rubni uvjeti: v(0)=0, v(l)=0 → b=0,
0klsina = za a=0 (slučaj kada nema izvijanja štapa) ili za 0klsin =
π= ikl (i=1,2,...) →l
ik π=
Kritična sila: 2
22
ki lEIiN π
=
Pripadni oblik izvijanja:lxisinavi
π=
Najniža kritična sila (Eulerova kritična sila): 2
2
k lEIN π
=
Pripadni oblik izvijanja: lxsinav π
=
Kritična sila ovisi o aksijalnom momentu tromosti presjeka.
Kod poprečnih presjeka s različitim momentima tromosti Iy i Iz, izvijanje nastaje oko osi s manjim aksijalnim momentom tromosti.
z
z
y
y
N
N
Izvijanje stupa I-poprečnog presjeka
2
2
k lEIN π
=
DJ: 0dx
vdNdx
vdEI 2
2
4
4=+
Izvijanje ostalih osnovnih stupova
Duljina izvijanja clli = (udaljenost između dviju susjednih točaka infleksije deformacijske
linije), konstanta c ovisi o načinu pridržanja.
Kritična sila: 2i
2
kl
EIN π= ; 2AiI = → 2
i
22
klEAiN π
= → 2
2
kEAN
λπ
=
I - Moment tromosti presjeka; 2i - kvadrat radijusa tromosti
2
2
kEIN
lπ= 2
2
k )5.0(E INl
π=2
2
k )7.0(E INl
π= 2
2
k )2(E IN
lπ=
ll l
l
l = li 0.7l = li 0.5 l =2lil =li
N N N N
N N N
N
Crtež 13.7. Kritične sile, duljine i oblici izvijanja osnovnih stupova
M
Vitkost stupa:
i/li=λ
Kritično naprezanje:
2
2
kE
λπ
=σ
λ
stabilno
nestabilno
σk
AE2
kπ=σ
Euler-ova krivulja nosivosti stupa
Nosivost vitkih stupova
Ovisi o:• Duljini stupa
Kraći stupovi imaju veću nosivost. S porastom duljine stupa opada mu nosivost.
• Krutosti stupaKrutost stupa ovisi o modulu elastičnosti materijala E i aksijalnom momentu tromosti I. Dva stupa istih modula elastičnosti i površina poprečnog presjeka, za različit oblik poprečnog presjeka mogu imati različitu nosivost.
4RI
RA4
1
21
⋅π=
⋅π=
x
y
a
x
Ry
12aI
aA4
2
22
=
=
21
21IIAA
>=
Nosivost vitkih stupova
• Uvjetima pričvršćenja stupaStup sa spriječenim rotacijama krajeva (ukliješteni stup) ima manju duljinu izvijanja i može preuzeti veću silu nego zglobno pridržan stup (koji ima mogućnost zaokreta na krajevima).Stup s manjom duljinom izvijanja ima veću nosivost.
Nosivost stupa može se povećati smanjivanjem duljine izvijanja.
N
N
v
x
V
N/Nk
v0 u
v=v +u0
0
0.5
1.0 V=0
V=0.1 V=0.3
12.3. Izvijanje stupa s nesavršenom osi
12.4. Veza između popuštanja i izvijanja
Granična vitkost λ između ova dva ponašanja određena je izrazom:
TE σπ=λσ
0
elastičnaravnoteža
λ
popuštanje =σ σT
izvijanje = E/σ π λ2
π( σ )E/ T1/2
Veza između izvijanja i popuštanja Eulerovog stupa
Ponašanje stupova od elastoplastičnih materijala
S povećanjem opterećenja, kod elastoplastičnog materijala dolazi do popuštanja materijala koje izaziva smanjenje krutosti stupa uz daljnje povećanje poprečne deformacije pa je putanja ravnoteže znatno različita od one kod elastičnog stupa.
Vmax
Stup s početnim odstupanjemelastoplastični materijal
N
NE
Nm
NT
Stup s početnim odstupanjemelastični materijal
Idealno ravni stup
Putanja ravnoteže stupa od elastoplastičnog materijala
Projektne krivulje nosivosti stupova
Pokusi velikog broja istraživača pokazali su granice u kojima se mogu kretati kritične sile, za određene konstruktivne materijale i određene tipove presjeka.
Tehničkim propisima pojedine zemlje propisuju projektne krivulje nosivosti stupova za određene materijale i tipove poprečnih presjeka. 0
Kratkistupovi
σ σk T/
λ λ/ e 1.0
Vitkistupovi
λe =λelastičnosti
1.0Euler
Projektna nosivost čeličnih stupova
13. VIRTUALNI RAD
13.1. Načelo virtualnog rada
Načelom virtualnog rada izražavaju se uvjeti ravnoteže na indirektan način. Načelo
podrazumijeva davanje infinitezimalno malih, zamišljenih pomaka krutom tijelu.
Pomaci zadovoljavaju uvjete pridržanja odnosno veza tijela za relativno
nepomičnu podlogu.
Virtualni pomaci su zamišljeni ili stvarni diferencijalni pomaci. Označavamo ih
znakom varijacije ϕδδ ,r .
Virtualni rad sile F na virtualnom pomaku rδ : rFA δ⋅=δ
Virtualni rad momenta M na virtualnoj rotaciji (kutu zaokreta) ϕδ : ϕδ⋅=δ MA
Načelo virtualnog rada slobodnu materijalnu točku
Sile koje djeluju na materijalnu točku su u ravnoteži ako je virtualni rad
tih sila na bilo kojem virtualnom pomaku jednak nuli.
( ) 0rRrFFFrFrFrFA n21n21 =δ⋅=δ⋅+++=δ⋅++δ⋅+δ⋅=δ LL
∑=
==n
1iiFFR , glavni vektor sila = rezultanta sustava sila
Načelo virtualnog rada za slobodno kruto tijelo
Vanjske sile i momenti koji djeluju na kruto tijelo su u ravnoteži ako je
virtualni rad svih sila i momenata na bilo kojim virtualnim pomacima
rδ i rotacijama ϕδ jednak nuli.
0MrFA M =ϕδ⋅+δ⋅=δ ,
MM,F - dinama sustava sila
Načelo virtualnog rada u sustavu s idealnim vezama i virtualnim
pomacima koji ispunjavaju uvjete veza
Sustav s idealnim vezama je u ravnoteži ako je virtualni rad aktivnih sila
na bilo kojim virtualnim pomacima, koji zadovoljavaju uvjete veza,
jednak nuli.
Idealne veze – nemaju trenja, sila veze je u smjeru spriječenog gibanja, u
smjeru dozvoljenog gibanja nema sile. Rad sila veza na pomacima
idealnih veza je nula jer je rR δ⊥ ili je 0r =δ .
13.2.1. Određivanje nepoznatih sila koje uravnotežuju konstrukciju
u datom položaju
1. Traženu nepoznatu silu prevesti od sile veza ili presjeka u aktivnu
silu, a ukloniti vezu koju ona pruža.
2. Sustav postaje pomičan s jednim stupnjem slobode i moguće mu je
dati jedan nezavisan virtualni pomak koji ispunjava uvjete preostalih
veza.
3. Iz jednadžbe virtualnog rada 0A =δ odrediti nepoznatu silu.
13.2. Primjena načela virtualnog rada kod statički određenih sustava
( )
l
ll
l
aPB
0BaPBaPA0yByPA
y,ay
BP
BP
⋅=
=δϕ⋅⋅−⋅=δϕ⋅⋅−δϕ⋅⋅=δ=δ⋅+δ⋅=δδϕ⋅=δδϕ⋅=δ
• Odrediti reakciju na ležaju B koristeći načelo virtualnog rada.
• Odrediti moment u presjeku t-t koristeći načelo virtualnog rada.
( )
( )ll
l
l
ll
21tt
2
2tt1
2
2tttt1
1P2
21212
aaPM
0a
a1MaP
0a
aMMaPA
aya
aaa
−⋅⋅=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⋅−⋅
=δϕ⋅−
⋅−δϕ⋅−δϕ⋅⋅=δ
δϕ⋅=δ
δϕ⋅−
=δϕ→−⋅δϕ=δϕ⋅
−
−
−−
Pt
tl
a2
a1A B
P
δϕ
δϕ1
Mt-tMt-t
δyP
l-a2
• Odrediti poprečnu silu u presjeku t-t koristeći načelo virtualnog rada.
( )( )
l
ll
1tt
22tt12tt2tt1
1P
aPT
0aaTaP0aTaTaPA
ay
⋅=
=−+⋅−⋅=δϕ⋅−⋅−δϕ⋅⋅−δϕ⋅⋅=δ
δϕ⋅=δ
−
−
−−
Pt
tl
a2
a1A B
P
δϕ
δϕ
Tt-t
δyP
l-a2
Tt-t
13.2.2. Određivanje pomaka konstrukcije
Kao što se pomoću načela virtualnog rada mogu izračunati unutrašnje sile
uvodeći virtualne pomake, slično je moguće izračunati pomake
konstrukcije uvodeći virtualne sile. Kako bismo došli do realnih pomaka
konstrukcije, u proračun treba ući s realnim deformacijama koje nastaju
kao posljedica uvođenja virtualnih sila.
vi – pomak na mjestu i, u smjeru sile Pi
vij – pomak na mjestu i u smjeru sile Pi
uzrokovan silom Pj
ijiii vvv += ; jjjij vvv +=
1. indeks – mjesto, 2. indeks - uzrok
Teoremi o uzajamnosti radova i pomaka
ijijij vPvP ⋅=⋅ Betty-ev teorem o uzajamnosti radova
Rad jedne sile na pomacima nastalima uslijed djelovanja druge sile
jednak je radu druge sila na pomacima nastalima uslijed prve sile.
Za Pi=Pj=1:
ijji vv = Maxwell-ov teorem o uzajamnosti pomaka
Pomak na mjestu i u smjeru sile Pj uslijed djelovanja sile Pi jednak je pomaku
na mjestu i u smjeru sile Pi uslijed djelovanja sile Pj.
Općenito: ijji δ=δ
i j
Postupak proračuna pomaka:
1. Za promatranu konstrukciju i zadano opterećenje odrediti unutrašnje sile (Mix, Tix, Nix).
2. Na mjestu i u smjeru traženog pomaka (zaokreta) postavlja se virtualna sila Pj (ako se
traži zaokret postavlja se virtualni moment) jediničnog iznosa te se odrede pripadni
dijagrami unutrašnjih sila sile (mjx, tjx, njx).
3. Postavlja se jednadžba virtualnog rada u kojoj izjednačavamo rad vanjskih i unutarnjih
sila uv AA δ=δ
( )∫ ⋅+⋅+φ⋅=δ⋅l
0jxixjxixjxixjij duNdvTdMP
dxEI
md jx
jx =φ ... diferencijalna promjena zakrivljenosti
dxGAt
dv jxjx = ... diferencijalna promjena posmične deformacije
dxEAn
du jxjx = ... diferencijalna promjena uzdužne deformacije
4. Iz jednadžbe virtualnog rada izračunavamo traženi pomak (kako je virtualna sila Pj =1,
rad vanjskih sila na lijevoj strani jednadžbe odgovara traženom pomaku) :
dxEAn
NGAt
TEI
mM
l
0
jxix
jxix
jxixji ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=δ ...pomak na mjestu j uzrokovan opterećenjem i
Primjer 1:Izračunati vertikalni pomak (progib) i kut zaokreta kraja konzole za
zadano jednoliko raspodijeljeno opterećenje q.
ll
q P =1j
xx
Mix
mjxM =-qx /2ix
2 m =-xjx
ql /22
l
- -
δϕ
l
M =1j
x
mjx
m =-1jx
l-
Pomak: EI8
qldxEI
x2
qx14l
0
2=
−⋅−=δ⋅ ∫ ; Zaokret:
EI6qldx
EI1
2qx1
3l
0
2=
−⋅−=ϕ⋅ ∫
Pravila integriranja produkta dviju funkcija
f (x)1
f (x)2
f1T
f2T
F1
F2
a
a
b
b
x
x
∫ ⋅=⋅=⋅b
aT12T2121 fFfFdx)x(f)x(f
F1 - površina lika ispod f1(x)
f2T - ordinata funkcije f2(x) ispod težišta f1(x)
F2 - površina lika ispod f2(x)
f1T - ordinata funkcije f1(x) ispod težišta f2(x)
Primjer 2: Odrediti kut zaokreta ϕ na ležaju proste grede.
l
q
x
Mixql /82+
ϕ
lx
+
M =1j
mjx
10.5
EI24ql5.0l
8ql
32
EI1
dxEI
mM
32
l
0
jxix
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=
==ϕ ∫
14. STATIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE
14.1. Uvod
Statički neodređena konstrukcija – konstrukcija kod koje nije moguće odrediti
unutrašnje sile iz uvjeta ravnoteže jer je broj mogućih jednadžbi manji od broja
nepoznatih veličina potrebnih za izračun unutarnjih sila.
Lz2n3s −⋅−⋅= , 0s < - statički neodređena konstrukcija
0s = - statički određena konstrukcija
S=3x1-2x0-4=-1 S=3x1-2x0-5=-2
S=3x1-2x0-6=-3 S=3x2-2x1-5=-1
Postupak proračuna (jedanput statički neodređena
konstrukcija):
1. Uklanjanjem suvišne veze statički neodređen sustav se
pretvara u statički određen sustav. Zbog uklanjanja veze
nastaje pomak δ10 koji na stvarnoj konstrukciji ne postoji.
2. Na osnovnom sustavu na mjestu uklonjene veze dodaje se
sila koja mora prouzročiti pomak po iznosu jednak δ10, a
suprotnog smjera.
3. Iz uvjeta kompatibilnosti pomaka izračunava se tražena sila.
0X 01111 =δ+⋅δ
4. Konačno stanje unutrašnjih sila na konstrukciji dobiva se
superpozicijom stanja nastalog od vanjskog opterećenja i
izračunate sile na mjestu uklonjene veze.
1x
10
xx XmMM ⋅+= , 1x
10
xx XtTT ⋅+= ,
1x
10
xx XnNN ⋅+= , 1x
10
xx X⋅δ+δ=δ
14.2. Metoda silaMetoda sila je metoda rješavanja statički neodređenih konstrukcija oslobađanjem sila u prekobrojnim vezama.
PA
B
δ10
PB
Osnovni sustav
A
PB
A X1
Postupak proračuna (višestruko statički neodređene konstrukcije):
1. Uklanjanjem suvišnih veza statički neodređen sustav se pretvara u statički određen
sustav (tzv. osnovni sustav). Zbog uklanjanja veza nastaju pomaci δ10, δ2
0,..., δn0 koji
na stvarnoj konstrukciji ne postoje.
2. Na osnovnom sustavu na mjestu svake uklonjene veze dodaje se sila. Dodane sile
moraju prouzročiti pomake po iznosima jednake δ10, δ2
0,..., δn0, a suprotnog smjera.
3. Iz uvjeta kompatibilnosti pomaka izračunavaju se tražene sile.
0...XX
0...XX0...XX
0n22n11n
02222121
01212111
=δ++⋅δ+⋅δ
=δ++⋅δ+⋅δ=δ++⋅δ+⋅δ
M
4. Konačno stanje unutrašnjih sila na konstrukciji dobiva se superpozicijom stanja
nastalog od vanjskog opterećenja i izračunatih sila na mjestu uklonjenih veza.
...XmXmMM 2x
21x
10
xx +⋅+⋅+=
...XtXtTT 2x
21x
10
xx +⋅+⋅+=
...XnXnNN 2x
21x
10
xx +⋅+⋅+=
...XX 2x
21x
10
xx +⋅δ+⋅δ+δ=δ
Primjer 1: Konzola poduprta na slobodnom kraju.a b
PEI
l
Osnovni sustavX =11
1
Pab/l
m1
Mx0
Mx
b/l
2b/3l
1/32b/3l
Pab/l
t1
Tx0
Tx
1/l+
+-
+-
Pa/lPb/l
S = 3x1-0-4 = -1
m1 – dijagram momenata za jedinični moment na osnovnom sustavu Mx
0 – dijagram momenata za vanjsko opterećenje na osnovnom sustavu
Pri određivanju pomaka zanemaruje se utjecaj poprečnih sila.
Jednadžba kontinuiteta: 0
1111 X δ−=⋅δ
EI31
32
21
EI1
11ll
=⋅⋅⋅
⋅=δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅=δ
lllb
32
2bb
32
31
2aPab
EI10
1 ( )b22PabX 2
11
01
1 +−
=δδ−
= ll
Unutrašnje sile:
110
xx XmMM +=
110
xx XtTT +=
Poprečne sile možemo izračunati: - metodom sila 11
0xx XtTT +=
- iz dijagrama momenata dx
dMT xx =
Primjer 2: Kontinuirana greda
Osnovni sustav
X =11
1m1
Mx0
Mx
q
EIll
EI
EI EI
q /8l2
q /16l2
q /8l2
2132
21
EI1
11 ⋅⋅⋅⋅
⋅=δl
21
8q
32
EI1 2
01 ⋅⋅⋅=δ ll
16qX
2
1l−
=
Primjer 3: Kontinuirana greda – utjecaj krutosti na ponašanje sustava
a) q
4EIll
EI
Mx
q /40l2
q /8l2
b)
q
4EIll
EI
q /8l2 q /10l2
Osnovni sustav, m1 i Mx0 isti kao i kada
je krutost cijelog nosača konstantna.
3EI451
32
21
EI1
EI41
11ll⋅=⋅⋅
⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=δ
24q
EI41
21
8q
32
EI41 32
01
lll⋅=⋅⋅⋅=δ
40qX
2
1l−
=
10qX
2
1l−
=
Primjer 4: Obostrano upeta greda
q
EIl
Osnovni sustavX =11
1
ql /82
m1
Mx0
Mx
X =X =11 2
ql /242
ql /122ql /122
Jednadžba kontinuiteta: 0
1111 X δ−=⋅δ
11EI1
11 ⋅⋅⋅=δ l
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅⋅=δ 1
8q
32
EI1 2
01 ll
11
01
1Xδδ−
= ; 12qX
2
1l−
=
- Metoda pomaka je metoda rješavanja statički određenih i neodređenih konstrukcija.
Osnovne nepoznanice su pomaci čvorova konstrukcije.
Ravninska linijska konstrukcija
1
xG
yG
Promatrani cvor
u1
v1
ϕ1
Prostorna linijska konstrukcija
1
xG
zG
Promatrani cvor
u1
w1
ϕx1
yG
v1
ϕz1
ϕy1
14.3. Metoda pomaka
- Ukupno stanje sustava U (pomaci i sile) može se prikazati u obliku:
nn22110 yUyUyUUU ⋅++⋅+⋅+= L
y1, y2, ..., yn – pomaci čvorova konstrukcije
U0 – stanje sustava u kojem su svi nezavisni pomaci spriječeni. Nazivamo ga stanje
pune upetosti.
Ui – stanje sustava bez vanjskih sila. Dopušten je pomak yi=1, a svi ostali nezavisni
pomaci su spriječeni. Ovo stanje nazivamo stanje jediničnih pomaka.
Zadani sustav i opterećenje
EI2
EI3
p(x)
EI1
Diskretizacija sustava (definiranje broja nepoznatih pomaka) Pretpostavka: deformiranje uslijed savijanja u=y3 u=y3 φ2 2=yφ1 1=y
y1, y2, y3 – 3 nezavisna pomaka čvorova (minimalni broj pomaka) Utjecaj savijanja i uzdužnog deformiranja
E , I , A1 1 1 E , I , A2 2 2
E , I , A3 3 3
u =y1 1 u =y2 4φ1 3=y φ2 6=y
v =y1 2 v =y2 5
y1, y2, ..., y6 – 6 nezavisnih pomaka čvorova
Minimalni broj nezavisnih pomaka
Bez obzira kakva zanemarenja deformiranja vršimo, svaki sustav ima minimalni brojnezavisnih pomaka koji moramo uzeti u obzir pri diskretizaciji.
Ako zanemarimo uzdužne deformacije te biramo minimalni broj nezavisnih pomaka, sustave možemo podijeliti na nepomične i pomične.
Pri diskretizaciji možemo slobodno usvojiti veći broj nezavisnih pomaka od minimalnog,ali među njima moraju biti sadržani oni koji su se nalazili u minimalnom broju.
Minimalni broj nezavisnih pomaka Broj nezavisnih pomaka veći od minimalnog
EI2
3
1
y1 y3
y2
xG
yG
φG
EI
23 4
5
61
y3
y4
y5
y2
y8
y9
y6 y7
xG
yG
φG
Primjeri nepomičnih sustava Primjeri pomičnih sustava
Ako nakon zanemarenja uzdužnog deformiranja sustav ima samo kuteve zaokreta kao nezavisne pomake, nazivamo ga nepomičnim. U suprotnom je pomičan onoliko puta koliko ima nezavisnih translatornih pomaka.
Globalni i lokalni koordinatni sustav
- Globalni koordinatni sustav i globalne sile i pomaci
• U globalnom koordinatnom sustavu (obično desnom) definira se sustav kao cjelina
• Svaki nezavisni pomak dobije svoj redni broj
• Smjerovi pomaka, čvornih sila, opterećenja i unutrašnjih sila u globalnom
koordinatnom sustavu definiraju se pozitivnim smjerovima koordinatnih osiju.
φG
yG
xG
Smjerovi pozitivnih pomaka u globalnom
koordinatnom sustavu
- Lokalni koordinatni sustav i lokalne sile i pomaci
• Svaki element se definira početkom i krajem (brojem početnog i krajnjeg čvora)
yLxL
φL • Ishodište lokalnog sustava se bira u početnom čvoru. Lokalna os xL ide od
početnog prema krajnjem čvoru. Okomito na nju u skladu s orjentacijom desnog
koordinatnog sustava postavlja se lokalna os yL te zaokret φL.
• Predznaci pomaka, čvornih sila, opterećenja i unutrašnjih sila definiraju se
pozitivnim smjerovima lokalnih koordinatnih osiju ako se iskazuju u lokalnom
sustavu.
Analiza stanja pune upetosti Stanje pune upetosti je stanje kod kojeg su spriječeni pomaci svih čvorova konstrukcije.
p(x)
Sprijecenzaokret
Pomaci i unutrašnje sile postoje samo na onim elementima koji su izravno opterećeni.
Istodobno postoji djelovanje sila tih elemenata na pridržane čvorove.
Postoji kontinuitet (kompatibilnost) pomaka, ali ne postoji ravnoteža sila u pridržanim čvorovima.
Pomaci i sile cijelog sustava za stanje pune upetosti U: 0x
0x
0x
0x N,T,M,δ
Sile upetosti pojedinačnih elemenata:
F13 3
F23
F33
F53
F43
F63
1
p (x)1
F11
F21
F31
2
F62
F52
F42
Fi
m – sila upetosti što je daje zadano opterećenje na mjestu i u smjeru ″i″-tog pomaka, posredstvom m-tog elementa.
∑=m
mii FF – sila upetosti što je daje zadano opterećenje na mjestu i u smjeru ″i″-tog
pomaka, posredstvom svih elemenata.
Određivanje unutarnjih sila za stanje pune upetosti za svaki štap svodi se na rješavanje tri
puta statički neodređenog nosača metodom sila ili rješavanjem diferencijalnih jednadžbi
štapa s homogenim rubnim uvjetima.
q
EIl
Mx
ql /242
ql /122ql /122
0 l
12qlM
2
0 = ; 12qlM
2
l −=
Mx
P /8l
PEI
l/2 l/2
P /8lP /4l
0 l
8PlM0 = ;
8PlMl −=
Analiza stanja jediničnih pomaka
1
3
2
y =11
- Promatra se stanje za jedinični zaokret y1=1 - Postoje unutrašnje sile na elementima koji dodiruju promatrani
čvor. Istodobno postoje sile tih elemenata na čvorove sustava.
- Postoji kompatibilnost (kontinuitet) pomaka, ali ne postoji
ravnoteža čvorova.
Pomaci i sile na pojedinim elementima:
1k1
13
k123 k1
33 3
k313 k3
33
k323 k3
53
k343k3
63
kijm – sila na mjestu i u smjeru ″i″ koju daje jedinični pomak na mjestu i u smjeru ″j″
posredstvom elementa m.
∑=m
mijij kk – sila na mjestu i u smjeru ″i″ koju daje jedinični pomak na mjestu i u smjeru ″j″
posredstvom svih elemenata.
Zbog uzajamnosti radova vrijedi: jiij kk =
Ravnoteža čvorova sustava se uspostavlja linearnom kombinacijom stanja jediničnih
pomaka sa stanjem pune upetosti. Sada je promatrani sustav u ravnoteži, a postoji i
kontinuitet njegovih pomaka, što predstavlja traženo rješenje.
Jednadžbe ravnoteže:
0Fykykyk
0Fykykyk
0Fykykyk
nnnnini11n
ininiii11i
1nn1ii1111
=−++++
=−++++
=−++++
LLM
LLM
LL
ili u matričnom obliku
FYK =⋅ K – matrica krutosti, pravokutna i
simetrična Rješenje jednadžbi ravnoteže:
FKY 1 ⋅= −
Traženi pomaci ili sile na proizvoljnom mjestu:
nnx2x21x1x0x yUyUyUUU ⋅++⋅+⋅+= L
Analiza jediničnih stanja pomaka i sila upetosti štapnog elementa provodi se slijedećim metodama: - metoda pomaka – izravnom integracijom jednadžbi ravnoteže
- metoda pomaka – numeričko rješenje metodom virtualnog rada
- metoda sila
EIl
y
xM0 T0
N0
MlTl
Nl
Pozitivni predznaci sila i pomaka na rubovima odgovaraju pozitivnim smjerovima osi lokalnog koordinatnog sustava.
Jednadžba ravnoteže: syk =⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
−
−
=
lEI4
lEI60
lEI2
lEI60
lEI6
lEI120
lEI6
lEI120
00l
EA00l
EAlEI2
lEI60
lEI4
lEI60
lEI6
lEI120
lEI6
lEI120
00l
EA00l
EA
22
2323
22
2323
k ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ϕ
ϕ=
l
l
l
0
0
0
l
l
l
0
0
0
MTNMTN
;
vu
vu
sy
EIl
y
xM0 T0
N0
MlTl
Nl
N0
T0
M0
Nl
Tl
Ml
u0 v0 ϕ0 ul vl ϕl
Značenje prvog stupca (retka) u matrici
k16
k15
k14k11
k12
k13
1.0 u
lEAkk 1411 =−=
0kkkk 16151312 ====
Značenje drugog stupca (retka) u matrici v(y)
k21
k22
k23
k24
k25
k26
1.0
0kk 2421 ==
32522 lEI12kk =−=
22623 lEI6kk ==
Značenje trećeg stupca (retka) u matrici v(y)
k31
k32
k33
k34
k35
k36
0kk 3431 ==
23532 lEI6kk =−=
lEI4k33 = ;
lEI2k36 =
Zadatak 1:
1EI 2EI
2l1l
q
111k
211k
EI EIll
12
3
P
φ2 1=y
y =11
1 1k
22k
Nepoznati pomaci
Koeficijenti matrice krutosti
11F
21F
1
2
1F
2F
Određivanje koeficijenata kij
1
1111 l
EI4k = ; 2
2211 l
EI4k =
2
2
1
111 l
EI4lEI4k +=
Određivanje sila upetosti:
12qlF
211
1 −= ; 8
PlF 221 =
8Pl
12qlF 2
21
1 +−=
Postavljanje sustava jednadžbi: 1111 Fyk −=⋅ Uvrštavanje konkretnih vrijednosti: 21 ll = , 21 II = , Plq =⋅
Rješenje jednadžbe: 24Pl
8Pl
12Ply
lEI8 1 −=−=⋅ ,
EI192Ply
2
1 −=
Sile na rubovima elementa:
22222
10 ql
967
96ql
12ql
EI192Pl
lEI2
12qlM =−=−=
22222
11
111l
1l ql
485
48ql
12ql
EI192Pl
lEI4
12qlykFM −=−−=−−=⋅+=
2222
12
112
02
0 ql485
48ql
8ql
EI192Pl
lEI4
8PlykFM =−=−=⋅+=
2222
2l ql
9613
96ql
8ql
EI192Pl
lEI2
8PlM −=−−=−−=
Dijagrami unutrašnjih sila
796
2ql
548
2ql
ql 2
8Pl4
0168. ql 0 768. P
0 531. P0532. ql
Plql 2
9613
9613
=796
2ql
548
2ql
ql 2
8Pl4
+-
0168. ql
0532. ql+ +
--Tx
MxPlql 2 1313
=
Zadatak 2:
1EI 2EI
2l1l
1q 2q
111k 1
21k
233k2
23k
112k 2
32k122k
222k
11F 1
2F1q
22F
23F2q
EI EIll
1 2
φ1 1=y φ2 2=y φ3 3=y
y =11
11k 1k
y =13
233k2
23k2
y =12
12
1k 232k
1k
2k
1F 1Fq 1
2F
23F
2
q
Nepoznati pomaci
Koeficijenti matrice krutosti
Sile upetosti
Koeficijenti matrice krutosti:
1
1111 l
EI4k = ; 1
1112 l
EI2k =
112
121 kk =
2
2
1
1222
12222 l
EI4lEI4kkk +=+=
2
2232 l
EI2k = ; 232
223 kk =
2
2233 l
EI4k =
Sile upetosti:
12lqF
2111
1 = ; 12lqF
2111
2 −=
12lqF
2222
2 = ; 12lqF
2222
3 −=
Uvrštavanje konkretnih vrijednosti: 21 ll = = l, 21 II = = I, q2q2q 12 ==
Jednadžbe ravnoteže:
6qly
lEI4y
lEI2
12qly
lEI2y
lEI8y
lEI2
12ql0y
lEI2y
lEI4
2
32
2
321
2
21
=⋅+⋅
−=⋅+⋅+⋅
−=+⋅+⋅
Rješenje:
EIql
961y
3
1 −= ; EIql
481y
3
2 −= ; EIql
965y
3
3 =
Vrijednosti momenata savijanja: 0M 1
1 =
2332
12
22 ql
163
EIql
965
lEI2
EIql
481
lEI4
12ql2MM =+
−+=−=
Dijagrami unutrašnjih sila:
ql165
2/l
ql325
T2
1 == ; ql1611
2/l
ql325
163
T
2
L2 =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
ql1619
2/l
ql412
323
T
2
D2 =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= ; ql1613
2/l
ql412
323
T
2
L3 =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=
Zadatak 3: Okvir s krutim prečkama
412k
422k 5
22k
512k
111k 2
11k1y1 =
411k
421k 5
21k
511k
Zadani sustav
1
1
2
2
3 3
4
5
4
5
66
EI EI
EIEI l
l
H1
H2
EI1→∞
EI1→∞
u =u =y5 6 2
u =u =y3 4 1
4k
4k 5k
5k1k 2k
1y4k
4k 5k
5k
Nepoznati pomaci
Jedinicni pomaci i koeficijenti krutosti
l
y =12
511
211
4113
111 kkk
lEI12k ==== 3
512
412 l
EI12kk −==
35
214
21 lEI12kk −== 3
522
422 l
EI12kk ==
Jednadžbe ravnoteže:
0HylEI122y
lEI122
0HylEI122y
lEI124
22313
12313
=−⋅+⋅⋅−
=−⋅−⋅⋅
Matrično: 0FYK =−⋅
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
2
1
2
13 H
H;
yy
;2224
lEI12 FYK
Rješenje:
3212
3211 l
EI24H2Hy;l
EI24HHy ⋅
+=⋅
+=
4lHMMMM 25
l5
04
l4
0⋅
==== ; ( )4
lHHMMMM 212l
20
1l
10
⋅+====
Dijagrami pomaka i unutrašnjih sila
4l)HH( 21 +
4l)HH( 21 +
4l)H2H( 21 +
4l)HH( 21 +
4lH2
4lH2
4lH2
2HH 21 +
2HH 21 +
2H2H 21 +
2H2
2H2
2H2H 21 +
2H3H 21 +
2H3H 21 +
2H2
2H2
4l)HH( 21 +
4l)HH( 21 +
4l)H2H( 21 +
4l)HH( 21 +
4lH2
4lH2
4lH2
Mx
2HH 21
2HH 21
2H2H 21
H2
2H2
Tx
dx
Nx
2H2H 21
2H3H 21
2H3H 21
H22
H2
+ -
-
-
Simetrično opterećen okvir s krutim prečkama
2q
1q
8Lq 2
1 ⋅
8Lq 2
2 ⋅
q
q
px Mx
Lq 21 ⋅
Lq 22 ⋅
Tx Nx
-
-
-
-
Simetrično opterećen okvir s deformabilnim prečkama
2q
1q
8Lq 2
1 ⋅
8Lq 2
2 ⋅q
q
px TxMx
Lq 21 ⋅
Lq 22 ⋅
Nx