os desafios da escola pÚblica paranaense na … · uso de recursos em que o aluno pode construir...
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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLITICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2013
Título: O Software GEOGEBRA no Ensino da Matemática
Autor: Maria Eliza Wolff
Disciplina/Área: Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização:
Colégio Estadual Floriano Peixoto
Município da escola: Laranjeiras do Sul
Núcleo Regional de Educação: Laranjeiras do Sul
Professor Orientador: Dirceu Pereira da Silva
Instituição de Ensino Superior:
UNICENTRO
Relação Interdisciplinar:
Resumo: O uso de mídias na educação desperta o interesse do aluno, pois atualmente as tecnologias como o computador e o celular fazem parte da sua rotina. O uso de recursos em que o aluno pode construir experimentar ou manipular determinado experimento fazendo comparações, generalizações e análises, além de permitir o trabalho colaborativo, propõe um ensino de forma mais dinâmica confrontando teoria e prática. Neste sentido, o presente trabalho baseia-se na necessidade de formação do professor de matemática, na utilização do software GeoGebra de maneira a contribuir para a construção da aprendizagem matemática, propiciando oportunidade de rever sua prática. Tem por objetivo investigar e potencializar junto com os docentes da disciplina de Matemática o uso do software GeoGebra na elaboração e resolução de
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atividades pedagógicas. As aulas de implementação pedagógica na escola serão ministradas em forma de oficinas, direcionadas aos professores de Matemática das escolas estaduais do NRE de Laranjeiras do Sul. A proposta propiciará discussões acerca das construções realizadas, permitindo assim uma prática reflexiva aos professores, para que estes façam uso do programa na sua prática docente, como um ambiente de estudo para produção de materiais e aprofundamento pedagógico.
Palavras-chave: Ensino, Matemática, Geogebra, Metodologia
Formato do Material Didático: Caderno Temático
Público: Professores
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Sumário 1 – APRESENTAÇÃO ........................................................................................................ 5
1.1 Tecnologias no Ensino da Matemática ................................................................. 5
1.2 – O Software Geogebra .......................................................................................... 7
Unidade 1 - GEOMETRIA ............................................................................................... 10
Orientações metodológicas ......................................................................................... 10
Atividade 1 - Reconhecimento das ferramentas do Geogebra .................................... 11
Como exportar a figura no formato de imagem. ......................................................... 18
Atividade 2 – Exploração dos recursos disponíveis .................................................... 20
2.1 Estudo dos ângulos. ............................................................................................... 20
2.2 - Estudando a bissetriz. .......................................................................................... 21
2.3 Construindo a bissetriz apenas com régua e compasso. ........................................ 22
2.4 Construção de um triângulo equilátero. ................................................................. 23
Atividade 3 – Estudo dosTeoremas: Pitágoras e Tales .......................................... 24
3.1. Assunto: Teorema de Pitágoras ..................................................................... 24
3.2 Assunto: As pequenas Lúnulas de Hipócrates .............................................. 26
3.3 Assunto:Teorema de Tales ................................................................................ 27
4 - Pontos notáveis do triângulo ................................................................................. 29
4.1 Obtendo o baricentro de um triângulo ............................................................ 29
4.2 Obtendo o circuncentro de um triângulo. .............................................................. 31
4.3 Obtendo o incentro de um triângulo ...................................................................... 32
4.4 - Obtendo o ortocentro de um triângulo ................................................................ 32
4.5 - Localização no mapa ........................................................................................... 34
4.6 - A reta de Euler .................................................................................................. 36
5. Soma dos ângulos internos de um triângulo........................................................ 37
5.1. Soma dos ângulos internos de um triângulo – utilizando planilha ....................... 38
6. Calculando áreas ...................................................................................................... 39
O problema do tesouro dos piratas .............................................................................. 41
7 – Construção de mosaicos. ....................................................................................... 45
7 - Animação ................................................................................................................. 48
7.1.Animação ângulo ................................................................................................... 49
8. Fractais ...................................................................................................................... 53
Unidade 2 – Estudo das Funções .................................................................................. 56
Orientações metodológicas: ........................................................................................ 56
1 - Controle Deslizante ................................................................................................ 56
2 - Comandos algébricos - Utilizações do Geogebra para construir gráfico de funções
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..................................................................................................................................... 57
Atividade para a ambientação dos comandos algébricos: ..................................... 58
Função Afim ................................................................................................................... 58
3.1 - Estudando o Zero da função afim ....................................................................... 61
3.2 - Função Crescente e decrescente .......................................................................... 63
3.3 - Estudo do sinal de uma função afim ................................................................... 66
3.4 - Domínio de uma função real ............................................................................... 70
3.5 - Assunto: Função Composta ................................................................................. 71
Função Quadrática ....................................................................................................... 71
4.1 - Raízes ou zeros da função quadrática ................................................................. 74
Relação entre o ∆ (delta) e as raízes da função. .......................................................... 74
4.2 - Estudando o vértice da parábola ......................................................................... 76
4.3 - Função quadrática – estudo do sinal: intervalos em que a imagem é positiva, a
imagem é negativa e quando possui imagem zero. ..................................................... 78
Unidade 3 - Trigonometria ............................................................................................... 81
Orientações metodológicas: ........................................................................................ 81
1 - Trigonometria no triângulo retângulo. .................................................................. 82
2 - Lei dos Senos .......................................................................................................... 83
Construção da circunferência circunscrita ao triângulo. ............................................. 85
3 – Lei dos cossenos .................................................................................................... 86
3 – Ciclo Trigonométrico .............................................................................................. 89
Orientações metodológicas ............................................................................................. 93
Referências Bibliográficas ............................................................................................... 95
1 – APRESENTAÇÃO
1.1 Tecnologias no Ensino da Matemática
As Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do Paraná apontam
que o trabalho com mídias tecnológicas insere diversas formas de ensinar e
aprender, valorizando o processo de produção de conhecimentos, segundo este
documento:
“As ferramentas tecnológicas são interfaces importantes no
desenvolvimento de ações em Educação Matemática. Abordar atividades
matemáticas com os recursos tecnológicos enfatiza um aspecto fundamental da
disciplina, que é a experimentação.” (DCE, 2008, p.66).
A utilização de mídias tecnológicas na Educação matemática como
softwares, podem auxiliar o professor na sua prática pedagógica, pois este é um
recurso que possibilita a experimentação matemática, a análise de construções e
resultados. Nas DCE’s (p.65) citando D’Ambrosio e Barros (1988):
Atividades com lápis e papel ou mesmo quadro e giz, para construir gráficos, por exemplo, se forem feitas com o uso de computadores, permitem ao estudante ampliar suas possibilidades de observação e investigação, porque algumas etapas formais do processo construtivo são sintetizadas.
A tecnologia oferece a possibilidade de mudança na prática pedagógica do
professor e a utilização de mecanismos além do quadro e giz, oportuniza a
renovação da abordagem e explanação de conteúdos curriculares.
O uso do computador permite que o aluno manipule concretamente com o
conteúdo, que antes era apenas estático. Na utilização do computador ou outras
ferramentas tecnológicas é importante ressaltar que podem contribuir com
situações de aprendizagem, em que sejam utilizados como recurso facilitador e
não somente como substituto de outras técnicas como o quadro e o giz. A
contribuição do computador para a educação reside em proporcionar situações de
aprendizagem que dificilmente poderiam ser desenvolvidas por outros recursos ou
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ferramentas. (Barbosa, 2008).
O uso de tecnologias possibilita tornar mais reais os conceitos abstratos e
simbólicos do ensino da matemática, proporciona a interação entre o
conhecimento e o aluno e novas formas de atuação do professor. Esta utilização
de tecnologias pode se dar através do uso de softwares.
Muitas são as oportunidades que o uso de softwares educacionais
oferecem ao Ensino da Matemática, pode-se considerar como um meio para
dinamizar a prática, no entanto, é importante ressaltar que somente o uso sem a
reflexão, não proporcionando uma mudança no direcionamento da prática, não é
o ideal. Não adianta utilizar-se de tecnologia se a metodologia é a mesma. Para
continuar “tomando tabuada” dos alunos não faz diferença o meio utilizado, o
quadro ou o computador, pois a ação é a mesma. Como afirma Assis 2011,
A utilização dos softwares em sala de aula deve ser norteada por interesses pedagógicos, pois o software em si, não implica em nenhuma mudança no processo educacional. Com a introdução do computador como mediador didático, desenvolveram-se softwares específicos para serem utilizados em contextos de ensino aprendizagem. (p.2).
O uso do software com interesses pedagógicos proporciona ao aluno a
interação com a máquina, a interação com os demais colegas e com o professor,
proporcionando a troca de experiências e uma aprendizagem colaborativa.
Dentre os softwares que proporcionam tais interações o mais utilizado é o
GeoGebra por ser livre e disponibilizado nos laboratórios do Paraná Digital,
presente em todas as escolas estaduais o Paraná.
Os software como o GeoGebra, estimulam a investigação através da
experimentação proporcionada pelo contato com o ferramenta durante a criação
da figura. Neste processo, as suas propriedades podem ser compreendidas, de
forma que ao serem manipuladas percebe-se que suas propriedades são
mantidas. Deste modo, o software proporciona a interatividade do aluno com a
ferramenta, de modo investigativo, além de proporcionar a pesquisa da teoria de
forma prática através de demonstrações.
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1.2 – O Software Geogebra
O Geogebra é um software de geometria dinâmica que combina conceitos
de geometria, álgebra e cálculo em uma única interface gráfica. É gratuito,
desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática, com aplicabilidade
em todos os níveis de ensino, do ensino fundamental ao ensino universitário.
Criado pelo austríaco Markus Hohenwarter em 2001, na University of
Salzburg e tem continuado o desenvolvimento na Florida Atlantic University.
Informaçoes sobre o software pode ser obtidas no site www.geogebra.org, além
de materiais de apoio, tutoriais e download do programa.
É um software livre, e por isso o código fonte é aberto, podendo aos seus
usuários fazerem alterações necessárias para o uso pedagógico, com o
compromisso de diponibilizar tais mudanças. De acordo com Petla (2008):
No Paraná os laboratórios de informática das escolas públicas, os chamados Laboratórios do Paraná Digital, rodam em suas máquinas suma versão do sistema operacional (OS) Linux, desenvolvido pela Universidade Federal do Paraná, e também a versão em português do GeoGebra ... por ser multiplataforma ele roda tanto em Linux quanto Windows facilitando a sua utilização em qualquer ambiente.
O Geogebra é um programa que permite realizar construções geométricas
podendo modificar-se dinamicamente. Por outro lado, pode-se inserir equações e
coordenadas diretamente. Nas duas perspectivas tem-se uma importante
característica do GeoGebra: uma expressão na janela algébrica corresponde a
um objeto na área gráfica e vice-versa. Este é um programa de fácil acesso,
permite visualizar e interagir com conteúdos geométricos. Reforça e explora
conceitos matemáticos, generalizações e propriedades que muitas vezes o
educando tem dificuldades diante de possíveis alterações do objeto em estudo,
utilizando apenas a representação no quadro ou no papel, e ainda sua
imaginação.
Alguns autores como Gerônimo, Barros e Franco, destacam que o
uso do GeoGebra pode substituir o uso do caderno de desenho geométrico.
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O software GeoGebra pode substituir satisfatoriamente o caderno de desenho geométrico. Podemos utilizar sua interface gráfica e suas ferramentas para traçar retas, ângulos, circunferências etc. uma das vantagens do uso do GeoGebra é que as construções são dinâmicas, isto é, sem a perda dos vínculos geométricos. Isso permite que o usuário faça grande quantidade de experimentações que lhe possibilite construir proposições geométricas. (2010, p.11)
No entanto, é importante destacar que o uso do software GeoGebra não
deve se opor ou substituir outras ferramentas utilizadas. O uso é mais um recurso
auxiliar no ensino da matemática, poderá conferir maior precisão e rapidez em
determinadas práticas, pois sozinho o GeoGebra não ensina coisa alguma,
conforme citado por Nóbriga e Araújo (2010), na apresentação do livro
Aprendendo Matemática com o GeoGebra:
Para que possa haver aprendizagem, é necessário que o aluno reflita durante a execução das atividades, ou seja, que ele busque experimentar de diferentes maneiras, percebendo as propriedades, conjecturando e justificando... Daí a importância do professor. O papel do professor é de fundamental importância nesse processo. Ele precisa criar novos mecanismos pra fazer com que os alunos reflitam o que de fato está por trás das construções que eles estão fazendo, além de auxiliá-los nas justificativas das construções.
Além da ação do aluno, há necessidade de destacar principalmente a ação
do professor no uso do GeoGebra, pois é através deste que se dará a mediação
da tecnologia e o conteúdo, é o professor que propicia situações de
aprendizagem, conduzindo a novas descobertas.
O nome GeoGebra deriva das palavras – GEOmetria e álGEBRA.
Por ter sido escrito em Java roda em qualquer plataforma (Microsoft
Windows, Linux, etc.). O Geogebra pode ser baixado através do link:
http://www.geogebra.org
Neste trabalho, a apresentação do software Geogebra, sua interface,
ferramentas e comandos estão disponibilizados no blog “Matemática no Floriano”
da professora autora neste material. Endereço do blog:
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Neste sítio além do manual de instruções contendo todas as ferramentas
do software também há uma orientação para baixar o programa no seu
computador.
Unidade 1 - GEOMETRIA
O ensino da Geometria utilizando-se de ferramentas tecnológicas como o
software GeoGebra oferecem a possibilidade de construir e manipular figuras na
tela do computador. Por ser um software de geometria dinâmica possibilita a
manipulação da figura construída em tempo real, permitindo assim a interação
com o objeto de estudo.
Através das criações e experimentações são feitas conjecturas e análises.
Introduzindo assim conceitos matemáticos dos objetos e suas representações
gráficas, oportunizando o processo de questionamento, argumentação e dedução,
propiciando um ambiente de construção do conhecimento matemático.
Orientações metodológicas
As atividades iniciais são apresentações das ferramentas do software
GeoGebra, trata-se de uma familiarização das principais funções do programa.
As atividades serão realizadas pelos participantes do curso que poderão
acompanhar o desenvolvimento pelo projetor multimídia que será utilizado pela
professora ministrante do curso que estará orientando passo a passo.
Durante a realização das oficinas os participantes poderão expor suas
dúvidas e trocas de ideias, promovendo assim um ambiente de aprendizagem
colaborativa.
As atividades de exploração dos recursos do programa têm por objetivo
aprofundar o conhecimento das ferramentas disponibilizadas bem como
aprofundar as discussões acerca da utilização do programa.
Nesta unidade de Geometria as atividades estão concentradas em
construção de conceitos, demonstrações de teoremas e propriedades. Através
das criações, demonstrações e experimentações são feitas discussões,
oportunizando questionamentos, argumentações e deduções, propiciando novas
formas de ensinar e aprender matemática.
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Atividade 1 - Reconhecimento das ferramentas do Geogebra
Nestas primeiras atividades serão disponibilizadas orientações detalhadas
de resolução no software Geogebra.
Objetivo: Reconhecer as ferramentas disponíveis no software Geogebra e utilizá-
las na elaboração e resolução de atividades.
Atividade 1.1 - Retas Trace uma reta que passa pelos pontos A e B.
Ferramenta utilizada
Orientações:
Clique em B3 >> reta definida por dois pontos >> Após clique em dois pontos de
visualização.
Observações:
- Em toda construção é possível mover. Para isso clique em B1 >> Mover. Clique
no ponto e observe as alterações quando este é movimentado.
- Em todas as atividades podemos adicionar textos explicativos, clique em B10 >>
inserir texto >> clique na janela de visualização >> automaticamente abre a janela
para digitação, após este clique em OK.
- Salvar: Arquivo >> gravar como >> escolha a pasta >> atividade 1.1> gravar.
Atividade 1.2 – segmento de reta Pelos pontos A(-3,-1) e B(4,2) trace um
Ferramenta utilizada
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segmento de reta.
Orientações:
- No campo de entrada digite > (-3,-1) > Enter. O ponto A será exibido na janela de
visualização e na janela algébrica suas coordenadas.
- Proceda da mesma forma com o ponto B.
- Após a criação dos dois pontos clique em B3 – segmento definido por dois
pontos > clique no ponto A e depois no ponto B.
- Salve a atividade.
Atividade 1.3 – segmento com comprimento fixo Construa um segmento de reta cuja medida é de 10 unidades.
Ferramenta utilizada
Orientações:
- Clique em B3 – segmento com comprimento fixo > clique na janela de
visualização > abrirá automaticamente uma caixa > digitar 10 e OK.
- Clique em B1 – mover > movimente os pontos e observe as alterações.
- Clique com o botão direito sobre a reta > propriedades > na caixa que se abre
altere cor, espessura e estilo da linha.
- Salve a atividade.
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Atividade 1.4
Construa um segmento de reta
qualquer e determine seu ponto médio.
Ferramentas utilizadas
Orientações:
- Construa o segmento de reta utilizando B3 – segmento de reta definido por dois
pontos, clique em dois lugares na janela de visualização.
- Clique em B2 – ponto médio ou centro, em seguida clique no ponto A e B.
- Salve a atividade.
Atividade 1.5
Construa uma reta r, construa
uma paralela s e uma perpendicular t a
esta.
Ferramentas utilizadas
Orientações:
- Clique em B3 – reta definida por dois pontos > clique sobre dois espaços na
janela de visualização > Botão direito propriedades> altere o nome da reta.
- Clique em B4 – reta perpendicular > clique em um ponto na janela de
visualização e depois sobre a reta r. Altere o nome da reta para s.
- Clique em B4 – reta paralela > selecione primeiro o ponto e depois a reta. Altere
o nome da reta paralela para t.
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- Salve a atividade.
Atividade 1.6
Construa duas retas paralelas r e s.
Construa agora uma reta t paralela e
equidistante às retas r e s.
Ferramentas utilizadas
Orientações:
- Clique em B3 – reta definida por dois pontos, altere o nome para r.
- Clique em B4 – reta paralela > clique em um ponto e depois na reta r. Na reta
construída altere o nome para s.
- Clique B2 – ponto médio ou centro> clique em dois pontos (ponto A da reta r e B
da reta s). O ponto médio será marcado pelo ponto C.
- Clique novamente em B4 – reta paralela > clique no ponto C e depois na reta r
ou reta s.
- Salve a atividade.
Atividade 1.7
Construa um hexágono, identificando
seus ângulos. Mude a cor dos ângulos
internos e externos para diferenciá-los.
Ferramentas utilizadas
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Orientações:
- Clique em B5 – polígono > clique na janela de visualização.
- Clique em B8 – ângulo > clique nos dois segmentos do polígono que formam o
ângulo > sentido horário ângulo externo e sentido anti-horário ângulo interno.
- Alterar a cor dos ângulos em propriedades.
- Salve a atividade.
Atividade 1.8
Construa um quadrado inscrito em uma
circunferência.
Ferramentas utilizadas
Orientações:
- Clique em B5 – polígono regular, clique na janela de visualização sentido anti-
horário em dois pontos > abre automaticamente uma caixa do número de vértices
> digite 4 e clique em OK.
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- Encontre o centro do quadrado, construindo duas diagonais. Clique em B3 – reta
definida por dois pontos > clique nos pontos A e C e depois em B e D.
- Clique em B2 – intersecção de dois objetos > clique sobre o ponto de encontro
das duas retas.
- Clique em B6 – círculo dado centro e um de seus pontos. Clique no ponto de
intersecção e um dos vértices do quadrado.
- Oculte as retas.
- Altere as características das figuras em propriedades.
- Salve a atividade.
Atividade 1.9
Construa duas circunferências, de tal
forma que uma seja tangente interna da
outra no ponto P.
Ferramentas utilizadas
Orientações:
- Clique em B6 – círculo definido pelo centro e um de seus pontos > renomeie o
ponto B para P.
- Clique em B3 – segmento definido por dois pontos > clique sobre o ponto A e P.
- Em B6 – círculo definido pelo centro e um de seus pontos > clique sobre o
segmento AP e o ponto P.
- Com o botão direito esconder segmento AP.
- Para verificar as propriedades, movimento – B1 > as duas circunferências e o
ponto P.
- Salvar a atividade.
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Atividade 1.10 – Simetria
Faça a reflexão de um ponto através de
uma reta.
Ferramentas utilizadas
Orientações:
- B2 >Crie um novo ponto.
- Em B3 – reta definida por dois pontos > clique em dois pontos (diferentes do
ponto criado anteriormente).
- B9 – clique em reflexão com relação a uma reta > clique no ponto A e depois na
reta.
- Movimente o ponto A.
- Salvar a atividade.
Atividade 1.11 – Simetria
Usando a malha construa a letra M,
faça a reflexão dela através de uma
reta.
Ferramentas utilizadas
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Orientações:
- Botão direito > exibir malha.
- Com B5 – polígonos > construa a letra M.
- Com B3 – construa uma reta definida por dois pontos.
- Clique em B9 – reflexão em relação a uma reta > clique sobre a letra M e depois
sobre a reta.
- Salvar a atividade.
- Para refletir: Qual a semelhança desta atividade com espelhos?
Como exportar a figura no formato de imagem.
- Clique em arquivo >> exportar >> Janela de visualização como imagem
>> na janela que se abre clique em >> gravar >> na próxima janela digite um
nome para o seu arquivo e escolha a pasta para salvá-lo.
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Atividade 2 – Exploração dos recursos disponíveis
2.1 Estudo dos ângulos.
Objetivo: Compreender os tipos de ângulos e suas características e definir
bissetriz.
Processos de construção:
- Clique em B2 >> novo ponto e crie o ponto.
- Clique em B3 >> segmento de reta e crie duas semiretas com a mesma origem,
no ponto A.
- Ative a ferramenta ângulo B8 e clique sobre o ponto C, depois em A e em B.
- Selecione a ferramenta mover B1, e movimente os pontos de forma a obter um
ângulo nulo, obtuso, reto, etc.
- Selecione a ferramenta B4 >> bissetriz, clique sobre os três pontos C, A e B. O
segundo ponto é o vértice da bissetriz.
- Selecione a ferramenta novo ponto B2 e crie um novo ponto D sobre a bissetriz.
- Selecione a ferramenta B8 ângulo novamente e clique sobre C, A e D, depois
sobre D, A e B.
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Obs.: Pode ser usado o campo de entrada para mostrar o ângulo, escrevendo o
comando: Ângulo[C,A,D] >> enter. Digite o outro ângulo: Ângulo [D,A,B] >> enter.
- Selecione a ferramenta B1 >> mover, movimento os pontos e perceba a
alteração dos ângulos.
Reflexão: O que a bissetriz faz com os ângulos?
2.2 - Estudando a bissetriz.
- Com a mesma figura já criada, trace uma perpendicular B4 que passe pelo
ponto D e por uma das semiretas. Marque o ponto de intersecção da
perpendicular com a semireta utilizando a ferramenta B2, a intersecção é o ponto
D. Repita o processo com a outra semireta, trace a perpendicular e a intersecção
é o ponto E.
- Marque os segmentos B3 de ED e DF.
- Esconda as retas perpendiculares>> na janela de álgebra desmarque-as. Assim
só ficará visível os segmentos.
- Ative a ferramenta Distância B8 – e clique sobre o segmento ED e depois sobre
DF.
- Utilizando a ferramenta B1 e movimente o ponto D sobre a bissetriz.
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Reflexão:
- O que você observa?
- Salvar a atividade>> ângulos_bissetriz.
2.3 Construindo a bissetriz apenas com régua e compasso.
(Obs.: Sem utilizar a ferramenta pronta B3).
- Selecione a ferramenta B3 >> semireta >> faça duas semiretas com a a mesma
origem (ponto A). Semireta AB e AC.
- Ative B6 >> Compasso >> clique em A depois C e por último no ponto A
novamente.
- Com B2 >> intersecção >> marque a intersecção da circunferência com a
semireta AB. Criou-se o ponto D.
- Novamente com B6 >> compasso >> clique em D, em A e finalmente em C.
- Crie a circunferência com centro em D. Com B6 >> compasso >> clique em C, A
e D. Marque a intersecção das duas últimas circunferências, criando o ponto E.
- Utilizando B3 >> semireta >> crie a semireta que passa por A e E.
Obs.: Você pode esconder as circunferências para melhorar a visualização.
Reflexão: Qual o nome da semireta AE? Marque os ângulos e movimente os
pontos, o que você observa?
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2.4 Construção de um triângulo equilátero.
- Crie um segmento AB. Utilize B3>> segmento definido por dois pontos.
- Ative em B6 >> circunferência definida por dois pontos >> clique em A e depois
em B (criou uma circunferência com centro em A e raio AB). Utilizando a mesma
ferramenta crie a circunferência de centro B e raio BA.
- Selecione B2 >> intersecção de dois objetos >> marque a intersecção das
circunferências, ponto C.
- Ative a ferramenta B3 >> segmento de reta >> crie os segmentos AC e BC.
- Utilize B8 >> distância >>clique sobre os segmentos.
Reflexão: Por que todas as medidas do triângulo são iguais? Reflita sobre a
construção. Marque os ângulos internos, o que você observa?
Exercício:
“Profissionais que trabalham na construção civil utilizam com muita frequência um
tipo em particular de triângulo. Um triângulo de lados: 3m, 4m e 5 m. Construa
este triângulo e descubra que propriedade há nele? Use a ferramenta B8 >>
ângulo >> para medir os ângulos internos, que tipo de triângulo é este?
Reflexão:
Discuta qual a condição de existência de um triângulo.
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Atividade 3 – Estudo dosTeoremas: Pitágoras e Tales
3.1. Assunto: Teorema de Pitágoras
Por volta de 586 a.C. nasceu o homem que viria a emprestar seu nome ao
mais famoso teorema de todos os conhecidos da matemática: Pitágoras. O
período em que transcorreu sua vida não é estabelecido com exatidão, conjetura-
se que tenha vivido entre 586 a 500 a.C. Pitágoras fundou por volta de 540 a.C.,
uma escola voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da
Matemática, esta reuniu muitos discípulos interessados em estudar tais temas e
acabou por se transformar em uma sociedade secreta. Apesar de seu
comportamento místico-religioso os pitagóricos desenvolveram estudos
matemáticos da melhor qualidade. Os pitagóricos foram os primeiros a produzir
demonstrações razoavelmente rigorosas e também, os primeiros a enxergar a
matemática como algo abstrato, pairando acima da realidade física. As fontes
históricas da geometria afirmam que Pitágoras foi o primeiro grego a demonstrar a
propriedade geral dos triângulos retângulos (que já era conhecida dos babilônios
e chineses havia séculos). Existem muitos e belíssimos teoremas na
Matemática, mas a aura de surpresa e originalidade, estética e importância
que cerca o teorema de Pitágoras, fazem dele algo realmente incomparável
em relação aos demais: todos os caminhos da Rainha das Ciências
conduzem a ele. (GARBI, 211, p.25-27)
Processo de construção:
- Utilizando B3>> segmento >> construa um segmento AB;
- Com B4 >> reta perpendicular >> determine uma reta perpendicular a este
segmento passando por B;
- Ative B2 >> novo ponto >> marque sobre a perpendicular um ponto C;
- Com B3 >> segmento definido por dois pontos >> construa o segmento CB, e o
segmento CA, desta forma você construiu um triângulo retângulo em B;
- Oculte a reta perpendicular (na janela de álgebra);
- Utilizando B5 >> polígono regular >> construa três quadrados tendo como base
os lados do triângulo (clique nos pontos no sentido anti-horário para a figura ser
criada para fora).
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- Utilizando B8 >> Área >> clique sobre os quadrados construídos determinando a
área de cada um.
- Ative B10 >> inserir texto >> clique sobre a área gráfica aonde deseja que fique
o texto. Na caixa que se abre digite: a^2=b^2+c^2+ (clique sobre o segmento a da
janela de álgebra)^2=(clique sobre o segmento b na janela de álgebra)^2+(clique
sobre o segmento c na janela de álgebra)^2.
Marque a opção fórmula LaTex e dê ok.
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Reflexão:
Qual a conclusão que esta construção permite enunciar?
Movimentando os pontos, o que você observa?
3.2 - Assunto: As pequenas Lúnulas de Hipócrates
Fonte: Material didático do Professor Rivelino José Petla – PDE 2008, p.29)
A demonstração do teorema de Pitágoras fazendo o uso de quadrados e
triângulos é muito comum, porém existem outras formas de fazer tal
demonstração, as Lúnulas (luas) de Hipócrates é uma destas formas, construindo
semicírculos cujos diâmetros correspondam aos catetos e a hipotenusa de um
triângulo retângulo, onde a soma das áreas dos semicírculos menores é igual à
área do semicírculo maior.
- Construa um segmento AB;
- Determine seu ponto médio;
- Utilizando B6 >> Setor Circular definido pelo Centro e Dois Pontos >> construa
um setor com centro em C e extremos em B e A;
- Selecione B2 >> novo ponto >> crie um ponto D sobre o setor;
- Selecione B3 >> construa os segmentos AD e DB.
- Utilizando B2 >> Determine o ponto médio destes segmentos;
- Utilizando B6 >> Setor Circular definido pelo Centro e Dois Pontos>> construa
um setor com centro em E e extremos em D e A;
- Utilizando B6 >> Setor Circular definido pelo Centro e Dois Pontos>> construa
um setor com centro em F e extremos em B e D;
- Selecione B8 >>área >> determine a área de cada setor clicando sobre eles.
27
Reflexão: - Movimentando-se o ponto D sobre o setor o que se pode concluir?
3.3 Assunto:Teorema de Tales
Na cidade de Jônia de Mileto (hoje território pertencente à Turquia), viveu
um dos homens considerado um dos Sete Sábios da Grécia Antiga, chamado
Tales. Ele é considerado o primeiro filósofo e o primeiro matemático grego é
provável que tenha vivido entre 640 a.C. e 564 a.C. Embora a matemática e a
filosofia fossem suas paixões, a atividade rotineira de Tales era o comércio.
Jamais saberemos como ocorreu a Tales a revolucionária ideia que deu rumos
definitivos ao pensamento matemático, ou seja, a de que suas verdades devem
ser justificadas, demonstradas, provadas por meio de raciocínio. Tales é
considerado o pai das deduções. (GARBI, 2011, 21-22).
Processo de construção:
- Clique em B3 >> reta definida por dois pontos >> clique em dois lugares distintos
na janela de visualização, de forma a criar uma reta horizontal.
- Com B2 >> Novo ponto >> crie dois pontos acima da reta, pontos C e D.
- Ative B4 >> Reta paralela >> clique na reta a e ponto C, depois clique
novamente na reta e no ponto D.
28
- Selecione B2>> Novo ponto>> e clique sobre a reta a (que passa por A e B) e
sobre a reta b (que passa pelo ponto C), criou-se os pontos E e F.
- Selecione B3 >> reta definida por dois pontos>> clique sobre os pontos EF.
- Com B2>> intersecção de dois objetos>> marque a intersecção da reta c e da
reta d. Criou-se o ponto G.
- Selecione novamente B2>> novo ponto>> clique sobre a reta a e b. Criou-se os
pontos H e I.
- Selecione B3 >> reta definida por dois pontos>> clique sobre os pontos HI.
- Marque a intersecção da reta c e da reta e, utilizando B2. Ponto J.
- Utilizando B8 >> distância >> clique em H depois em I, clique em I depois J,
clique em E depois F, clique em F depois G. Aparece o comprimentos dos
segmentos HI, IJ, EF e FG.
- Selecione B10 >> inserir texto >> clique na área gráfica onde deseja que fique o
texto – na janela que se abre digite: \frac{EF}{FG}=\frac{HI}{IJ}.
29
Reflexão:
- Movimente os pontos em azul, o que ocorre em relação a razão HI/IJ e EF/FG?
- Faça experiências e anote suas considerações.
- Você consegue identificar outras razões que darão o mesmo resultado?
Investigue.
4 - Pontos notáveis do triângulo
4.1 Obtendo o baricentro de um triângulo
Baricentro o encontro das medianas de um triângulo. Também chamado de centro
de gravidade, isto quer dizer, que se suspendermos um triângulo de material
homogêneo pelo seu ponto de gravidade, este fica em equilíbrio.
Processo de construção:
- Com B5 >> polígono >> crie um triângulo ABC.
30
- Encontre o ponto médio dos segmentos do triângulo. Utilizando B2 >>ponto
médio ou centro. Cria-se os pontos D, E e F.
- Com B3 >> segmento definido por dois pontos >> clique em A e no ponto médio
do lado oposto. Clique em B e no ponto médio do lado oposto.
- Utilizando B2 >> intersecção >> marque o encontro das medianas.
- Construa a 3ª mediana do triângulo, unindo o ponto C com o ponto médio do
lado oposto.
- Renomeie o ponto de intersecção das medianas para G. (Botão direito do mouse
>> renomear).
- Movimente os pontos utilizando B1 >> mover.
Reflexão:
- É possível movimentar os pontos D, E e F? por quê isso ocorre?
- O encontro das medianas é chamado baricentro. É possível que este encontro
ocorra fora do triângulo?
- Crie os segmentos AG e GF, utilizando a ferramenta B3>> segmento.
- Selecione B8>> distância >> e clique sobre os segmentos AG e GF. Qual a
razão AG/GF?
- Crie os demais segmentos das medianas DG, GC, BG e GE, meça-os utilizando
B8. Qual a razão entre os segmentos GC/DG e BG/GE?
- Movimente os pontos A, B e C e investigue sobre as razões. Pode inserir textos
explicativos.
31
4.2 Obtendo o circuncentro de um triângulo.
O circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um
triângulo. Deste ponto pode-se desenhar uma circunferência circunscrita ao
triângulo, tangenciando os vértices.
Processo de construção:
- Construa um triângulo ABC. Utilize >> B5 >> polígono.
- Construa a mediatriz do lado AB.
Obs.: Mediatriz é uma reta perpendicular que passa pelo ponto médio do
segmento.
- Para a construção selecione B4>> Mediatriz >> e clique sobre o lado AB.
- Construa a mediatriz do lado AC.
- Marque a intersecção das mediatrizes, utilize B2>> intersecção.
- Construa a mediatriz do lado BC.
- Renomeie o ponto de intersecção para H. (Botão direito do mouse >>
Renomear).
- Crie uma circunferência com centro em H e raio HA.
Reflexões:
- Movimente os pontos A, B e C, o que você observa?
- Exercício: três moradores de um sítio desejam construir um poço artesiano que
fique a mesma distância de cada uma das suas casas. Em qual local o poço
artesiano deve ser construído?
32
4.3 Obtendo o incentro de um triângulo
O incentro de triângulo é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos
internos deste triângulo. Deste ponto pode-se construir uma circunferência inscrita
no triângulo.
Processos de construção
- Construa um triângulo ABC. Utilize B5 >> polígono.
- Selecione B4 >> Bissetriz >> clique em A, B e C. Será construída a bissetriz do
vértice B, construa as outras bissetrizes.
- selecione B2 >> intersecção >> clique no encontro das bissetrizes (observe que
estas parecem selecionadas para marcar a intersecção).
- Renomeie o ponto de intersecção para I (botão direito do mouse >> renomear).
- Oculte as bissetrizes (utilize a janela de álgebra), deixando apenas o ponto I.
- Pelo ponto I trace uma perpendicular (B4) que passe pelo lado AB.
- Marque a intersecção da reta perpendicular com o lado AB. Utilize B2.
- Renomeie o ponto de intersecção para T (botão direito do mouse >> renomear).
- Selecione B6 >> círculo dado centro e um de seus pontos>> clique em I e
depois em T. Criou-se uma circunferência de centro em I e raio IT.
- Movimente os pontos e observe.
4.4 - Obtendo o ortocentro de um triângulo
Ortocentro é o ponto onde se interceptam as 3 alturas de um triângulo, isto
é, as perpendiculares traçadas do vértice ao lado oposto ou seu prolongamento.
33
Processo de construção
- Crie um triângulo ABC.
- Pelo ponto A trace uma perpendicular a BC. Utilize B4 >> reta perpendicular.
- Pelo ponto B trace uma perpendicular a AC.
- Pelo ponto C trace uma perpendicular a AB.
- Crie o ponto O – intersecção das retas.
- Movimente um dos pontos para verificar que continuam mantendo em comum o
ponto de intersecção.
- Movimente os pontos e observe a posição do ortocentro em relação ao triângulo.
Reflexão:
- Em que situações o ortocentro é interno ao triângulo,
existe alguma relação entre a forma do triângulo e esta localização?
34
Contextualizando de acordo com Pataro e Souza (2012, 8º ano, p.245):
O general francês Napoleão Bonaparte (1769-1821) além de ser um
notável estrategista de guerra, demonstrava grande interesse pela matemática,
em particular pela geometria. Napoleão era amigo de vários matemáticos, como
Lorenzo Mascheroni (1750-1800) e Gaspard Monge (1746-1818).
Entre as contribuições de Napoleão à Matemática, podemos destacar a
demonstração para o seguinte teorema:
4.5 - Localização no mapa
Objetivo: Identificar a localização e movimentação de objeto em mapas, croquis e
outras representações gráficas.
- Encontre o ponto equidistante das cidades: Laranjeiras do Sul, Irati e
Umuarama.
Dado um ∆ABC qualquer, se construirmos três triângulos equiláteros, tendo como base cada um dos lados do ∆ABC, então o triângulo cujos vértices são os baricentros dos triângulos equiláteros também será equilátero.
35
Processos de construção:
- Para inserir imagem no geogebra utilize B10 >> inserir figuras >> clique na área
gráfica, na janela que se abrir selecione a figura e clique em abrir ou dê dois
cliques sobre a figura.
- Marque os pontos: Laranjeiras do Sul, Irati e Umuarama. Selecione B3>>
segmento de reta.
- Utilize B2 >> ponto médio ou centro >> e clique sobre os dois segmentos
criados.
- Trace uma perpendicular com o segmento que passe pelos pontos médios.
Utilize B4 >> perpendicular.
- Marque a intersecção das perpendiculares. Utilize B2>> intersecção.
- Trace uma circunferência com centro na intersecção e raio até o ponto A. Utilize
B6>> círculo dados centro e um de seus pontos.
- Marque os segmentos dos pontos A, B e C até o centro da circunferência.
- Selecione a opção B8 >> distância >> e clique sobre os segmentos.
Figura 1- Mapa Paraná (fonte: http://correiogourmand.com.br/images/elvi_news01_34_550y.jpg)
36
Reflexão:
(vamos aproveitar a atividade para introduzir o conceito de lugar geométrico).
O que é lugar geométrico?
Conjunto de pontos que possuem a mesma propriedade.
Exemplo: O lugar geométrico dos pontos que distam 5cm de um ponto A é a
circunferência de centro A e 5cm (atividade do mapa).
- Mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado.
- Paralela é o lugar geométrico.....
- Bissetriz o lugar geométrico.......
Desafio:
- É possível criar uma nova ferramenta para que inserindo 3 pontos (3 cidades)
determine o ponto equidistante? Caso seja possível construa.
4.6 - A reta de Euler
Leonhard Paul Euler (1707-1783) foi um matemático e físico, considerado
um furacão que varreu o território da Matemática durante a maior parte do séc.
XVIII e que, nas quase seis décadas da sua vida matematicamente produtiva,
dominou o cenário mundial das Ciências Exatas. É sem dúvida o matemático que
mais obras produziu em todos os tempos, cobrindo todas as ares conhecidas da
Matemática e criando outras que não haviam sido sequer vislumbradas. Ao final
de sua vida, Euler havia escrito cerca de 900 tratados, livros e estudos, cuja
velocidade de produção jamais conseguiu ser acompanhada pelos editores ou
jornais acadêmicos da época. Escreveu sobre Álgebra, Geometria, Teoria dos
Números, Topologia, Cálculo, Equações Diferenciais, Geometria Diferencial,
Cálculo da variações, Música, Astronomia, Mecânica, Engenharia, etc. (GARBI,
2011, p.242).
Dentre muitas descobertas e contribuições está a reta de Euler cuja
construção segue a seguir:
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Processos de construção:
- Construa um triângulo ABC. Utilize B5 >> polígono.
- Construa duas medianas para encontrar o baricentro B do triângulo.
- Esconda as medianas deixando apenas o ponto B.
- Construa duas alturas para encontrar o ortocentro O do triângulo.
- Esconda as alturas deixando apenas o ponto O.
- Construa duas mediatrizes para encontrar o circuncentro C.
- Esconda as mediatrizes deixando apenas o ponto C
- Movimente um dos vértices do triângulo e investigue a posição relativa dos
pontos B, O e C.
Reflexão:
Movimente os pontos A, B e C de modo que o baricentro, o ortocentro e o
circuncentro coincidam. Qual relação pode ser observada entre os pontos B, O e
C, quando estes pontos são coincidentes?
5. Soma dos ângulos internos de um triângulo Processo de construção:
- Utilizando B2 >> Novo ponto >> marque 3 pontos na área gráfica, A, B e C.
- Selecione B3 >> reta definida por dois pontos >> trace retas passando por AB,
BC e AC.
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- Ative B5 >> polígono >> construa o triângulo ABC.
- Ative B8 >> ângulo>> meça os ângulos internos do triângulo.
- Qual a soma dos ângulos internos do triângulo? Utilize B10 >> inserir texto >>
monte uma expressão algébrica para efetivar a soma.
Reflexão:
- Movimente os vértices dos triângulos e observe a alteração dos ângulos internos
e o resultado da soma. O que se pode concluir com isso?
5.1. Soma dos ângulos internos de um triângulo – utilizando planilha
Processos de construção:
- Selecione B5 >> polígono>> clique na área gráfica e faça um triângulo ABC.
- Selecione B8 >> ângulo >> meça os ângulos internos do triângulo (clique nos
pontos no sentido anti-horário).
- Clique com o botão direito do mouse sobre cada ângulo e renomeie-os, assim: α
para CAB, β para ABC e γ para BCA.
- Clique em Exibir >> Planilha>> no campo que se abre digite nas células A1, A2 e
A3, Ângulo 1, Ângulo 2 e Ângulo 3, respectivamente.
- Nas células B1, B2 e B3, digite =ABC, =CAB e =BCA.
- Na célula A5 digite Soma e em B5 digite =B1+B2+B3.
- Selecione B1>> mover >> movimente os pontos A, B e C.
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- Construa outros polígonos de maneira semelhante, verifique a soma dos ângulos internos.
6. Calculando áreas
Processo de construção:
- Acione B5 >> polígono regular >> construa um polígono regular de 4 lados.
- Altere a cor do polígono para azul >> botão direito do mouse >> propriedades.
- Determine as bissetrizes dos ângulos A e B. Utilize B4 >> bissetrizes.
- Selecione B2 >> intersecção >> marque o ponto de intersecção das bissetrizes,
ponto E.
- Ative B6 >> círculo dado centro e um de seus pontos >> faça uma circunferência
com centro em E e raio EA.
- Altere a cor do círculo >> botão direito do mouse >> propriedades.
- Determine a área do círculo e do polígono >> utilize B8 >> >> clique sobre o
círculo e sobre o polígono.
- Determinar a área entre o círculo e o quadrado, na janela de álgebra está escrito
pol1 e áreag. No campo de entrada digite áreag-pol.
- Na janela de álgebra aparecerá o número h.
- Acione B10 >> inserir texto >> clique sobre a área gráfica e na janela que se
abre escreva: Área excedente = clique sobre o número h na janela de álgebra.
Clique sobre aplicar.
- O texto pode ser editado, alterado o tamanho da fonte e cor >> botão direito >>
propriedades.
40
Reflexão:
Movimentando os vértices do quadrado o que acontece com a construção e o valor das áreas?
41
O problema do tesouro dos piratas
(Nóbriga e Araújo, 2010, p.88)
O problema proposto é uma oportunidade de interpretação de problemas,
para isso faça um esboço em uma folha de papel da situação apresentada no
problema.
Processos de construção:
- vamos imaginar que o mar está na parte de baixo da tela/ área gráfica.
- Vamos construir dois pontos representando as rochas. Renomeie os pontos para
Rocha_1 e Rocha_2 >> botão direito do mouse >> renomear.
- Selecione B2 >> novo ponto >> crie um ponto acima das rochas para
representar a palmeira. Renomeie o ponto para: Palmeira >> botão direito do
42
mouse>> renomear.
- Utilize B3 >> segmento de reta >> clique sobre a palmeira e sobre a rocha 1 e
depois sobre a palmeira e a rocha 2.
- O pirata percorreu a distância da palmeira até a rocha e girou 90º e andou a
mesma distância. Vamos traçar primeiro a perpendicular aos segmentos >>
selecione B4 >> perpendicular >> clique sobre o segmento e sobre a rocha 1.
Repita o processo para a rocha 2.
- O pirata andou na direção desta reta (perpendicular) e não molhou os pés, logo
não pode ter ido para baixo (direção do mar).
- Tomemos primeiro o pirata da rocha 1. Ele andou da palmeira até a rocha 1,
girou 90º e andou a mesma distância (sobre a perpendicular) da palmeira até a
rocha 1. Para fazermos a mesma distância utilizaremos B6 >> círculo dados
centro e um de seus pontos >> clique sobre a rocha 1 e sobre a palmeira. Uma
circunferência será criada.
43
- marque a intersecção da circunferência com a reta>> B2>> intersecção.
Renomeie o ponto para Pirata_1.
- Esconda a reta perpendicular e a circunferência. Construa o segmento de reta
da rocha1 até o pirata 1. Altere as propriedades dos segmentos de reta
percorridos pelo pirata 1 >> botão direito do mouse >> propriedades.
- Siga os mesmos passos para o caminho percorrido pelo pirata 2.
- Vamos obter a seguinte ilustração:
44
- A história conta que o pirata Barba-ruiva enterrou o tesouro exatamente a meio
caminho entre eles. Então vamos traçar o segmento entre os dois piratas >> B3
>> segmento definido por dois pontos >> clicar em pirata 1 e em pirata 2.
- Para encontrar o ponto médio entre eles clique em B2 >> ponto médio >> clique
sobre o segmento. Renomeie o ponto encontrado para Tesouro.
Reflexão:
- Movimente o ponto da palmeira e veja o que acontece, o tesouro muda de
lugar?
- Analisando as alterações responda, a posição do tesouro depende da
localização da palmeira? Porque isto ocorre?
45
7 – Construção de mosaicos.
Obs.: A atividade seguinte é retirada do livro didático “Vontade de Saber
Matemática”, 7º ano, p.238 de Pataro e Souza.
Atividade1:
Processo de construção:
- Com o botão direito do mouse desmarque a opção eixos.
- Selecione B5 >> polígono regular >> construir um hexágono. Clique sobre dois
pontos da janela de visualização e na caixa que se abre digite 6 >> ok.
- A seguir, utilizando a mesma ferramenta construa um triângulo regular com
vértices em F e E. Caso o triângulo fique virado para o lado errado, vá em
desfazer ou clique “Ctrl+Z”, repita a construção do triângulo, só alterando o clique
nos vértices(exemplo: se antes você clicou em E e F, agora clique em F e E).
- Nos vértices do hexágono construa triângulos equiláteros. Utilizando B6 >>
polígono regular.
- Repita a operaçao até formar um mosaico, conforme figura abaixo:
46
Outra sugestão de construção de mosaicos é apresentada pelo professor
Sergio Dantas no vídeo:
<iframe width="640" height="390" src="//www.youtube.com/embed/HZ1rFyIjA5Q"
frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
Atividade 2 – Para decorar a fachada de um prédio, um arquiteto pretende
construir um mosaico composto por polígonos regulares e iguais, ele percebeu
que somente alguns polígonos poderia utilizar. Utilizando o geogebra construa
polígonos regulares e descubra quais podem ser utilizados. (Pataro, Souza,
2012).
47
Processos de construção:
- Selecione B5 >> polígono regular >> construa polígonos regulares e tente
montar o mosaico.
- Construa triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, heptágonos e
octógonos.
- Monte o mosaico repetindo sempre a mesma figura, conforme a imagem abaixo:
- Exiba os ângulos que compõem o mosaico e descubra porque algumas figuras
se “encaixam” e outras não.
48
Reflexão:
- E agora você saberia responder por que alguns polígonos possibilitam a
construção de mosaicos?
7 - Animação - Construa um controle deslizante com B11 >> controle deslizante >> clique sobre
a área gráfica e janela que se abre digite:
Nome: a (pode já aparecer).
Mínimo: 1
Máximo: 10
Incremento: 1
49
- clique em aplicar.
- Selecione Segmento com comprimento fixo >> B3 >> clique em algum lugar da
área gráfica e na janela que se abre (pede o valor do comprimento do segmento)
digite a.
- Tecle ESC para que o comando seja >> mover >> movimente o controle
deslizante e veja o que ocorre.
- Agora utilize mesmo controle deslizante com a circunferência: Selecione B6 >>
círculo dado centro e raio >> clique sobre a área gráfica, na janela que se abre
digite a.
- Tecle ESC movimente o controle deslizante.
Reflexão:
- O que acontece quando movimentamos o controle deslizante.
- por que o valor do incremento não pode ser negativo?
7.1 - Animação ângulo
- Construa um controle deslizante >> Ative em B11.
- Clique sobre a janela de visualização >> na janela que se abre apenas selecione
ângulo, os outros dados serão mantidos, conforme a figura abaixo:
50
- Clique em exibir >> eixos.
- Selecione B6 >> círculo dados centro e raio >> clique na origem dos eixos e na
janela que se abre (valor do raio) – digite 3 e dê enter.
- Utilize B2 >> novo ponto >> marque um ponto sobre a circunferência.
- Clique em B8 >> Ângulo com amplitude fixa >> clique em B e no centro.
- Na caixa que se abre digite α para o nome do ângulo >> para isso na caixa
aberta o clique em α (final do campo do nome) e procure a letra grega para
representa o ângulo, conforme demonstra a figura abaixo: - mantenha o sentido
anti-horário.
-Clique em ok.
51
- Perceba que criou-se o ponto B’ e que o ângulo formado é o mesmo de α, ou
seja, 45º.
- Movimente o controle deslizante e perceba as alterações.
- Crie um segmento de reta entre a origem da circunferência e o ponto B, outro
segmento entre a origem e B’.
- Altere cores e espessuras >> botão direito do mouse em propriedades.
- Com o botão direito do mouse sobre o controle deslizante e clique em animar.
Reflexão:
- O que acontece ao selecionar “animar”?
52
9 - Criando novas ferramentas
- Construa um triângulo equilátero. Use a ferramenta B5>> polígono regular.
- Utilizando o menu de comando entre em Ferramentas >> Criar nova ferramenta:
- Na janela que se abre em >> objetos finais >> clique no ícone ▼ e selecione
os seguintes objetos: nos pontos A e B, os segmentos a, b e c e no polígono pol
1:
- Clique em próximo >> selecione os objetos inicias >> pontos A e B.
53
- Clique em próximo novamente >> Nomeie a nova ferramenta como triângulo equilátero.
- Clique em concluir – a ferramenta criada aparecerá como B13.
- A ferramenta criada aparece com o texto explicativo: Ponto, Ponto. Ou seja, faça
dois pontos na área gráfica e a ferramenta cria um triângulo equilátero, as
medidas dos segmentos será a medida do segmento entre A e B.
10 - Fractais Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. Fonte Wikipédia - http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal
Atividade 1: Construa o triângulo de Sierpinski
Processo de construção:
- Com a ferramenta construída no assunto anterior selecionada B13 >> triângulo
equilátero, dê dois cliques sobre a janela de visualização em pontos distintos.
Obs.: Fazer um triângulo grande.
- Determine os pontos médios dos lado do triângulo.
- Selecione B13 >> clique nos pontos E e D (sentido anti-horário).
- Para os 3 triângulo ao redor do triângulo criado, faça o mesmo procedimento >>
determine os pontos médio e com B13 construa outros triângulos.
- Ao selecionar a ferramenta B13 certifique de clicar nos pontos no sentido anti-
horário para que o triângulo fique virado para baixo. Se isto não ocorrer clique nos
pontos ao contrário da ordem anterior.
54
- Repita até que sejam possíveis os passos descritos.
- Desmarque os pontos da formação dos triângulos para que a figura final fique
visualmente melhor, altere também a cor das figuras.
55
Atividade 2:
a) Vamos criar uma ferramenta de construção do baricentro (medianas) de um
triângulo
- Na Janela “Ferramentas” – criar uma nova ferramenta
- Objetos finais: baricentro e os 3 lados
- Objetos iniciais: ponto A, ponto B, ponto C (já discriminados pelo programa)
b) Criar para o circuncentro (mediatrizes)
c) Criar para o ortocentro (alturas)
d) Criar para o incentro (bissetrizes)
Unidade 2 – Estudo das Funções
O uso do software Geogebra no estudo das funções pode propiciar o
conhecimento das relações entre variáveis dependentes e independentes, os
valores numéricos de uma função, a representação gráfica da função afim e
quadrática (estudadas nesta unidade), perceber a diferença entre função
crescente e decrescente, sinais da função, estudo dos zeros da função, estudo do
vértice da parábola e análise de situações contextualizadas.
Orientações metodológicas:
A representação gráfica é um dos principais conceitos tratados no estudo
de funções. Neste sentido as atividades apresentadas nesta unidade buscam
explorar e aprofundar conceitos para a utilização do software geogebra em sala
de aula.
Estas atividades serão trabalhadas com professores participantes do curso,
de forma expositiva e construtiva. Os participantes estarão realizando suas
atividades e ao mesmo tempo podem acompanhar pelo projetor multimídia,
podendo questionar, dar sugestões e interagir durante a aula.
As atividades de função afim e quadrática são adaptadas do livro
“Aprendendo Matemática com o Geogebra” dos autores Nóbriga e Araújo.
1 - Controle Deslizante
No estudo de funções estaremos utilizando bastante o uso da ferramenta
controle deslizantes. B11>> controle deslizante.
Ao selecionar a ferramenta e clicar sobre a área gráfica aparecerá a
seguinte tela:
57
Neste quadro você pode editar as propriedades, nas guias:
- intervalo: valor mínimo e máximo e o tamanho do incremento.
- controle deslizante: você escolhe se será horizontal ou vertical e se será fixo ou
não.
- animação: você escolhe a velocidade com que o controle mudará de valor no
caso automático e como deve ser a repetição: oscilando, crescente ou
decrescente.
Clique em OK e estará criado o seu controle deslizante.
Agora digite no campo de entrada: f(x)= a*x+1. Movimente o controle
deslizante e veja o que acontece.
Agora veja o que ocorre quando ativamos a animação. Clique com o botão
direito do mouse >> animar. No canto inferior esquerdo da área gráfica aparecerá
um botão de pause. Clicando sobre este a animação irá parar e aparecerá o
botão de play para reiniciar a animação.
2 - Comandos algébricos - Utilizações do Geogebra para construir gráfico de funções
Para confeccionar gráfico de funções é necessário que se utilize a
ferramenta visualizar eixos, para tornar possível a interpretação dos resultados
obtidos, também é aconselhável que a janela de álgebra seja acionada para que
se possa acompanhar as funções e pontos que estão sendo formados.
58
Atividade de ambientação dos comandos algébricos:
- Insira dois seletores a e b(intervalo de -5 a 5 e incremento 0.1).
- Na janela de entrada digite a função f(x)=a*x+b (enter).
- Na janela de visualização será exibida a imagem do gráfico. Movimente os
seletores e observe o aspecto da reta.
Reflexão:
- Faça uma análise das principais modificações ocorridas em função da
movimentação dos valores,
- Em que circunstâncias a reta f ficará paralela ao eixo x?
- Inserir texto com a resposta.
Função Afim
Atividade 1:
Objetivo: verificar que os pontos do tipo (ax+b) estão alinhados.
Processos de construção:
Inserindo os coeficientes da função:
- No campo de entrada digite a=1 (enter) digite b=3 (enter).
59
- insira um novo ponto sobre o eixo x. B2>> novo ponto>> clique sobre o eixo x,
inserindo o ponto A.
- No campo de entrada digite a
função: a*x(A)+b.
- Após esses passos você observará que aparece na janela algébrica “c=4”. Este
número corresponde ao f(x) na função f(x)=x+3, com x igual ao valor da abscissa
do ponto A. Agora vamos transferir o valor de c no eixo y.
- Digite no campo de entrada (o,c).
- Observe que aparece o ponto B no eixo y.
- Ative B4 >> reta perpendicular >> trace uma perpendicular entre o ponto B e
eixo y, trace outra perpendicular entre o ponto A e o eixo x.
- Marque a intersecção entre as perpendiculares. Selecione B2 >> intersecção.
- A intersecção é marcado como ponto C.
- Esconda as duas perpendiculares. Clique na bolinha azul ao lado de d:y=4 e
e:x=1. As retas ficarão escondidas.
Lembrete: - O Símbolo * significa multiplicação. - x(A) simboliza a abscissa do ponto A.
60
- Utilizando B3>> segmento de reta definido por dois pontos >> trace os
segmentos AC e BC. Segmentos f e g
- Clique com o botão direito do mouse sobre o segmento g >> selecione
propriedades >> na aba estilo.
- Na aba estilo >> clique sobre o estilo da linha >> escolha o tracejado.
- Faça a mesma coisa para o segmento f >> não há necessidade de fechar a
janela >> clique em f >> mude o estilo da linha >> tracejado >> feche a janela.
- Clique com o botão direito sobre o ponto C >> clique em >> Habilitar rastro.
- Selecione B2>> mover > movimente devagar o ponto A sobre o eixo x.
Reflexão: o que você observa?
_________________________________________________________________
- Com o botão direito do mouse sobre o ponto C >> clique sobre habilitar rastro >>
para desmarcar a opção.
- O ponto B e C não podem ser movimentados porque são
classificados como dependentes, eles dependem de quem?
61
- No campo de entrada digite f(x)=a*x+b. Esse gráfico coincidirá com o rastro
deixado pelo ponto C. Por que isto ocorre?
- Exiba na janela de visualização os números a e b.
- Clique na bolinha azul ao lado de a e b. observe que na janela de visualização
aparecem como controle deslizante.
- Movimente o controle deslizante a e b. O que acontece?
Reflexão:
- O que acontece com a reta quando mudamos o valor de “a” de 2 para -2?
_________________________________________________________________
- O que acontece quando a=o?
______________________________________
___________________________
- O que ocorre quando movimentamos b? e quando alteramos b de 1 para 2?
_________________________________________________________________
- Salve a atividade mas não feche, continuaremos estudando-a.
3.1 - Estudando o Zero da função afim
- Selecione B2>> intersecção >> marque a intersecção do Eixo X com a reta do
gráfico. Aparecerá o ponto D.
- Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto D >> clique em propriedades
>> na aba básico >> selecione exibir rótulo >> mude para exibir nome e valor.
- Para inserir a raiz da função temos duas opções:
1ª - No campo de entrada: digite: “raiz=\frac{“+b+”}{“+a+”}=”+(-b/a)
2ª - Selecione B10 >> inserir texto >> clique sobre a área gráfica aonde deseja
exibir o texto.
62
- Na janela que se abre digite: raiz= raiz=\frac{a}{b}=-b/a >> selecionar fórmula
latex.
Obs.: nas opções da fórmula látex aparece a opção por funções, não sendo
necessário digitar o comando. O valor de –b/a já deve estar inserido na janela
algébrica pelo campo de entrada, nesta opção do geogebra de inserir texto não
divide os valores, apenas exibe-os.
Reflexão:
- Altere os valores de a e b, escreva a nova função caso a=2 e b=0.
- Se b=-1 e a=-2, qual o valor do zero da função? Escreva a nova equação.
63
3.2 - Função Crescente e decrescente
- Vamos construir outra função:
- no campo de entrada digite: a=2 (enter) b=2 (enter) e g(x)=a*x+b (enter)
- Selecione a e b para que apareçam na área gráfica.
- Altere os valores de a e b e observe.
Refletindo: movimente somente a, o que você observa?
- Utilizando B11>> inserir texto >> escreva quando a função é crescente e quando
é decrescente.
Será que o texto pode mudar automaticamente e marcar quando a função é
crescente ou decrescente?
Vamos criar textos dinâmicos que mostre quando a função é crescente ou
decrescente.
– Utilizando B11>> inserir texto >> clique sobre a área gráfica >> escreva:
Crescente. Crie outro texto e escreva: Decrescente.
- Após inserir os textos >> com o mouse sobre o texto crescente clique com o
botão direito e acesse propriedades.
64
- Na opção Condição para Exibir Objetos(s) >> digite:
- clique no texto2 e digite:
- feche a janela.
- Movimente os controles deslizantes a e b e observe o que ocorre.
Obs.: se os controles não estiverem na área gráfica clique em exibi-los
selecionando a bolinha azul ao lado do objeto na janela de álgebra.
- Podemos inserir cor aos textos conforme a descrição crescente ou decrescente.
Clique com o botão direito sobre a palavra crescente >> acesse propriedades:
- No vermelho escreva: a>0 e no verde a<0.
a>0
a<0
65
- Na opção texto pode-se alterar a fonte como aumentar o tamanho da letra.
66
3.3 - Estudo do sinal de uma função afim
Para quais valores de x, os valores de y serão positivos ou negativos?
- Vamos fazer a construção no geogebra semelhante a que fizemos na atividade
1.
Processos de construção:
Inserindo os coeficientes da função:
- No campo de entrada digite a=-1 (enter) digite b=3 (enter).
- insira um novo ponto sobre o eixo x. B2>> novo ponto>> clique sobre o eixo x,
inserindo o ponto A.
- No campo de entrada digite a função: a*x(A)+b.
- Após esses passos você observará que aparece na janela algébrica “c=1”. Este
número corresponde ao f(x) na função f(x)=-x+3, com x igual ao valor da abscissa
do ponto A. Agora vamos transferir o valor de c no eixo y.
- Digite no campo de entrada (o,c).
- Observe que aparece o ponto B no eixo y.
- Ative B4 >> reta perpendicular >> trace uma perpendicular entre o ponto B e
eixo y, trace outra perpendicular entre o ponto A e o eixo x.
- Marque a intersecção entre as perpendiculares. Selecione B2 >> intersecção.
- A intersecção é marcado como ponto C.
- Esconda as duas perpendiculares.
- Utilizando B3>> segmento de reta definido por dois pontos >> trace os
segmentos AC e BC. Segmentos f e g.
67
- Clique com o botão direito do mouse sobre o segmento g >> selecione
propriedades >> na aba estilo.
- Na aba estilo >> clique sobre o estilo da linha >> escolha o tracejado.
- Faça a mesma coisa para o segmento f >> não há necessidade de fechar a
janela >> clique em f >> mude o estilo da linha >> tracejado >> feche a janela.
- Crie dois textos dinâmicos: um escrito positivo e outro escrito negativo.
Para isso clique em B11 > inserir texto >> clique sobre a área gráfica e na janela
que se abre digite: Positivo. Repita o processo para o texto: Negativo.
- Clique com o botão direito sobre a palavra positivo >> acesse propriedades >>
na aba avançado digite: y(B)>0
68
Ainda em propriedades >> na aba posição >> selecione o ponto B.
Selecione agora o texto da palavra negativo >> texto 4 >> na aba avançado digite:
y(B)<0
Na aba posição >> selecione o ponto B.
Obs.: a aba posição vincula o texto ao ponto B.
- Pode ser alterado outras características do texto com tamanho da fonte, negrito
e itálico na aba texto e na aba cor podemos alterar a cor do texto.
- Movimente o ponto A e observe.
- insira pelo campo de entrada o seguinte comando: x(A) (enter) y(B) enter.
Na janela de álgebra aparecerá os números h e i
Relativos a posição x e y respectivamente, do ponto C.
- Clique para inserir outro texto. Na janela que se abre digite x=(clique sobre “h”
na janela de álgebra).
- Vincule o texto ao ponto A. Clique com o botão direito >> propriedades>> clique
na aba posição e selecione o ponto A.
Obs.: se o texto ficar encima do ponto A arraste a caixa de texto para posicioná-la
69
melhor.
- Insira outro texto e na janela que se abre digite f(x)= (clique sobre “i” na janela
de álgebra).
- Vincule f(x) como ponto B. Em propriedades >> aba posição >> B.
Reflexão:
- Explore a construção.
- Relacione o valor da raiz com o valor de x e f(x)
70
A atividade a seguir é adaptada do livro didático Vontade de Saber Matemática
(Pataro e Souza, 2012, 9º ano, pag.94)
Desafio
Uma empresa de telefonia fixa oferece a seus clientes dois planos de serviços.
Plano A: mensalidade de R$19,10 mais R$0,26 por minuto falado.
Plano B: mensalidade de R$52,60 mais R$0,10 por minuto falado.
a) Para cada um dos planos, escreva a função afim que represente o valor da
conta telefônica em função da quantidade x de minutos falados. Construa
esta função utilizando o GeoGebra.
b) Se um cliente utilizar, no mês, o telefone durante 356 minutos no plano A,
quantos reais ele vai pagar na fatura? E se ele usar o plano B?
c) Em relação ao valor da fatura, a partir de quantos minutos de ligação o
plano B é mais vantajoso que o plano A? Por quê?
Obs.: É necessário adaptar os eixos para visualizar os gráficos. Clique em B12 >>
mover janela de visualização >> com o mouse sobre o eixo y e depois sobre o
eixo x, altere-os.
3.4 - Domínio de uma função real
Para verificar a existência de uma função podemos fazer o uso do
Geogebra para que através da construção gráfica possa se verificar tal existência.
Para isso fazemos o uso da janela de Álgebra e da caixa de Entrada.
Verificar o domínio das seguintes funções:
a) f(x)= 1/(x-2)
b) g(x)= (x+1)/x
c) h(x)= 2/√(x-1)
71
A letra a e b digite como está escrito no campo de entrada do geogebra, na letra c
digite: 2/sqrt(x-1)
Reflexão:
Fazendo as construções gráficas, o que pode ser observado? Registre.
_________________________________________________________________
3.5 - Assunto: Função Composta
É possível determinar o valor numérico de uma função composta fazendo o
uso da janela de entrada definindo as funções e depois as composições. Deve-se
digitar na janela de entrada as expressões como é escrita normalmente. Cada
parêntese aberto deve ser fechado.
Sejam as funções f(x)= - 2x + 1 e g(x)= 2x +1 determinar:
a) f(g(1)) b) g(f(2))
Para fazer a composição das funções digita-se a composição que o programa
criará o gráfico correspondente.
Função Quadrática
O Geogebra possibilita a construção e análise do gráfico da função
f(x)=a +bx +c onde a, b e c são números reais e a≠o. Permite que se
determinem as raízes de uma função, seja ela quadrática ou de um grau maior.
Atividade 1
Objetivo – Ilustrar que os pontos (x,y) formam uma parábola e analisar sobre o
parâmetro a for positivo ou negativo.
Processos de construção:
- Digite no campo de entrada a=1 (enter), b=2 (enter) e c=3 (enter), valores dos
coeficientes da função quadrática.
72
- Marque para exibir os objetos na janela de álgebra.
- Crie um novo ponto sobre o eixo x – ponto A. verifique se o ponto está realmente
sobre o eixo x, tente movê-lo, se ele não sai do eixo está certo.
- No campo de entrada digite: a*x(A)^2+b*x(A)+c (enter).
- Na janela de álgebra apareceu o valor “d”, que corresponde ao valor da função
para o valor da abscissa A.
- Transfira o valor “d” para o eixo y – digite no campo de entrada (0,d) (enter).
- Construa uma perpendicular que passe por B e o eixo y, outra perpendicular que
passe pelo ponto A e o eixo x.
- Marque a intersecção das duas perpendiculares.
- Oculte as duas perpendiculares.
- Construa um segmento entre A e C, e outro segmento entre B e C.
- Altere as características dos segmentos >> botão direito em propriedades >>
estilo.
- Clique com o botão direito sobre o ponto C >> clique em habilitar rastro.
- Movimente o ponto A, o que você observa? Qual o nome desta curva?
- Desabilite >> habilitar rastro. Depois selecione B4>> lugar geométrico >> clique
no ponto D e depois em A, nesta ordem.
73
- No campo de entrada a*x^2+b*x+c (enter) a função aparecerá na janela de
álgebra e na janela de visualização.
- Selecione B1 >> mover >> movimente os controles deslizantes “a”, “b” e “c”.
Reflexão
Movimente apenas o controle deslizante “a” e complete as sentenças abaixo:
Se a>0 a parábola possui concavidade voltada para
___________________.
Se a<0 a parábola possui concavidade voltada para
___________________.
E se a=0? ___________________________________________________.
Movimente agora apenas o controle deslizante “b” e complete as sentenças
abaixo:
Se b>0, a parábola intercepta o eixo y com a sua parte
_________________
(crescente ou decrescente?).
Se b<0, a parábola intercepta o eixo y com a sua parte
_________________
(crescente ou decrescente?).
Se b=0, a parábola intercepta o eixo y em apenas um ponto, que será
chamado de ___________________________________.
Movimentando somente o controle deslizante “c” o que você observa?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
- Salve a atividade, mas não feche, continuaremos estudando com a mesma
apresentação no geogebra.
74
4.1 - Raízes ou zeros da função quadrática
- Marque os pontos em que a parábola corta o eixo x. Marque a intersecção >>
pontos D e E.
- Clique com o botão direito sobre o ponto D >> propriedades >> na aba básico >>
Exibir rótulo: nome e valor. Faça o mesmo para o ponto E.
- Os pontos D e E tem em comum o valor da abscissa 0 (zero) e são chamadas
de zeros da função. Altere o valor dos controles “a”, “b” e “c” para 1, 3 e 2.
Escreva a função da nova função. Quais os zeros da função?
Relação entre o ∆ (delta) e as raízes da função.
- No campo de entrada digite: delta=b^2-4*a*c (enter). Aparece na janela de
álgebra.
- O delta que calculamos é chamado de discriminante da função quadrática e o
representamos pela letra grega ∆. Para alterar o nome na janela de álgebra,
clique com o botão direito sobre “delta” e vá em “renomear”. Na janela que se
abre procure a letra grega ∆.
- Clique sobre ∆ e ok.
Podemos inserir o valor do ∆ em um texto dinâmico na área gráfica:
- Clique em B11 >> inserir texto >> clique n a área gráfica e na janela que se abre
digite: ∆=(clique sobre o ∆ da janela de álgebra) >> clique em fórmula látex.
75
- clique em ok.
Reflexão:
- Qual a relação do valor do ∆ com as raízes da função?
Se ∆>0
Se ∆<0
Se ∆=0
Obs.: Mantenha o gráfico feito anteriormente na área gráfica do programa.
76
4.2 - Estudando o vértice da parábola
Processo de construção:
- No campo de entrada digite a expressão para cálculo do x e y do vértice:
X_v=-b/2*a (enter),
y_v=-∆/4*a (∆ encontramos este símbolo ao final da barra em inserir símbolos).
- Digite também no campo de entrada as coordenadas do ponto – vértice:
V=(x_v,y_v) (enter)
- Conhecendo o vértice da parábola podemos construir o eixo de simetria. Digite
no campo de entrada:
x=x_v (enter) - irá criar uma reta perpendicular ao eixo y que passa pelo vértice
da parábola – criando assim o eixo de simetria.
- Altere as propriedades do ponto V >> botão direito>> propriedades>> aba
básico>> exibir rótulo: nome e valor.
- Movimente os controles deslizantes e observe o ponto V.
Obs.: Quando criamos o ponto do vértice digitamos V – maiúsculo, o programa entende que se trata de um ponto. Para criarmos o eixo de simetria digitamos x – minúsculo, o programa entende que se trata de uma reta, se digitarmos X maiúsculo o programa não irá construir a reta.
77
Reflexão:
- O ponto V é chamado de ponto de mínimo se ___________________________.
- ponto V é chamado de ponto de máximo se ____________________________.
Em B10 >> inspetor de funções – apresenta as coordenadas do vértice sem
necessidade de cálculo.
Utilizando a ferramenta – Inspetor de Funções
Processo de construção:
- insira a função no campo de entrada f: -x^2+2*x+3
- Marque as intersecções da parábola com o eixo x – raízes da função – utilizando
B2>> intersecção.
- Para visualizar as coordenadas do vértice da parábola clique em B11 >> inspetor
de funções e clique sobre qualquer ponto da parábola para abrir a janela.
- Com a janela aberta clique e arraste os pontos que aparecerão em destaque, de
modo que um fique à esquerda e outro à direita do vértice. As coordenadas estão
indicadas.
78
4.3 - Função quadrática – Estudo do sinal
Processos de construção:
- No campo de entrada digite: a=1 (enter) b=0 (enter) e c=-4 (enter)
- Digite a função: f:x^2+b*x+c
- Crie um ponto sobre o eixo X, para isso digite no campo de entrada.
- Aperte a tecla ESC ou ative B1>> mover >> movimente o ponto
A sobre o Eixo X.
- Digite no campo de entrada: Raiz (f) (enter), com isso
aparecerão as raízes da função, os pontos B e C.
- Digite no campo de entrada: (x(A),f(x(A))). Um ponto D será
criado sobre a parábola.
- Digite no campo de entrada: (0,f(x(A))). Um ponto E será
criado sobre o Eixo Y, marcando a posição da imagem de X(A).
- Digite no campo de entrada: Segmento[A,D] (enter)
Segmento[D,E] (enter).
- Modifique as propriedades dos segmentos AD e DE, faça com que sejam
pontilhados. Clique com o botão direito em AD >> propriedades>> estilo>> altere
para pontilhado.
- Para o segmento DE utilize . B12>> Copiar estilo visual >> clique no
objeto modelo e depois clique no objeto que pretende copiar o estilo.
- Utilize B10>> inserir texto >> clique em qualquer lugar da área gráfica e digite na
janela que se abre: Imagem Positiva. Insira outro texto e escreva: Imagem
Negativa. Iremos vincular os dois textos ao ponto E.
- Clique com o botão direito sobre o texto “imagem positiva” >> propriedades >>
na aba posição escolha o ponto E.
79
- Na aba avançado escreva a condição para exibir objeto:
y(E)>0
- Selecione agora o texto: “imagem negativa” vincule ao ponto D e na aba
avançado escreva:
Y(E)<0.
- Pode ser alterado outros atributos do texto como cor e tamanho, e só depois
fechar.
- Utilizando B1>>mover >> coloque o texto na posição mais indicada.
Reflexão:
- Para quais valores de x a imagem é positiva? E para quais valores de x a
imagem é negativa?
Exercício:
80
Considere as funções:
1) f(x)= +x-6
2) g(x)= +7x-10
Determine para cada uma delas:
a) Se a parábola tem sua cavidade voltada para cima ou para baixo.
b) Encontre ∆ e decida se ela possui duas raízes distintas, uma única raiz
ou nenhuma raiz.
c) Faça um esboço do gráfico em um papel.
d) Construa a função no geogebra e veja se o resultado que você obteve é
igual ao mostrado no programa.
e) Encontre as raízes da função.
f) Encontre o vértice da parábola e descubra se tem valor de máximo ou
de mínimo.
g) Estude o sinal da função.
Unidade 3 - Trigonometria
Segundo as Diretrizes Curriculares de Matemática (DCEs p.54): “Com a
trigonometria pretende-se contemplar as relações entre medidas dos lados e dos
ângulos de um triângulo, relações essas desenvolvidas a partir da necessidade do
homem de determinar, por exemplo, distâncias inacessíveis (a altura das
pirâmides, distância entre os astros, largura de rios, etc.).”
Orientações metodológicas:
Nesta unidade as atividades trazem o enfoque mais aprofundado exigindo
maior conhecimento do conteúdo e das ferramentas do programa.
As orientações para construção de cada atividade serão diferenciadas das
disponibilizadas nas unidades anteriores. Ao invés de “processo de construção”
teremos “protocolo de construção” que é disponibilizado pelo próprio software de
acordo com a construção realizada. Com exceção da construção do ciclo
trigonométrico e da atividade de “Construção da circunferência circunscrita ao
triângulo” que exibirão somente o processo de construção.
O protocolo de construção pode ser importante quando disponibilizamos do
arquivo de uma construção mas não temos o passo a passo para construí-la.
Neste sentido, é importante saber interpretá-lo. Se tiver dificuldades, volte em
outra atividade que tenha o “processo de construção” e peça para exibir o
protocolo de construção antes de iniciar, assim poderá acompanhar como o
protocolo descreve os passos.
A atividade de construção do ciclo trigonométrico terá descrito o processo
de construção por possuir mais comandos e também devido à necessidade de
visualização dos passos. Já a atividade da construção da circunferência
circunscrita ao triângulo, por ser sequência de uma atividade optou-se por
descrever o processo de construção.
Caso necessite do processo de construção de todas as atividades acesse o
blog “Matemática no Floriano” disponível no endereço:
82
www.mariaelizawolff.blogspot.com.br e selecione as atividades que desejar.
1 - Trigonometria no triângulo retângulo.
“Trigonometria é o estudo das relações entre as medidas de ângulos e
lados no triângulo retângulo (trigono= triângulo e metria – medida).”
.
Protocolo de construção exibido pelo software:
83
Reflexões:
- O que acontece quando movimentamos os pontos A, B e C?
- O que acontece com o valor de seno, cosseno e tangente quando aumentamos
o ângulo?
2 - Lei dos Senos
“Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos
ângulos opostos”.
84
Protocolo de construção:
N. Nome Definição Bravura
1 Ponto A A = (-2,68, 1,88)
2 Ponto B B = (1,4, 3,82)
3 Ponto C C = (5.96, 0.48)
4 Triângulo pol1
Polígono A, B, C pol1 = 11,24
4 Segmento c
Segmento [A, B] de Triângulo pol1
c = 4,52
4 Segmento uma
Segmento [B, C] de Triângulo pol1
a = 5.65
4 Segmento b
Segmento [C, A] de Triângulo pol1
b = 8,75
5 Ângulo α Ângulo Entre C, A, B α = 34,63 °
6 Ângulo β Ângulo between A, B, C β = 118,35 °
7 Ângulo γ Ângulo between B, C, A γ = 27,02 °
8 Nummer d sen (α) d = 0,57
9 Nummer e sen (β) e = 0,88
10 Nummer f sen (γ) f = 0,45
11 Nummer g a / d g = 9,95
12 Nummer h b / e h = 9,95
13 Nummer i c / f i = 9,95
14 Texto texto1
"\ Frac {a} {sen \ alpha} = \ frac {" + (LaTeX [a]) + "} {sen" + (LaTeX [α]) + "} = \ frac {" + (LaTeX [a] ) + "} {" + (LaTeX [d]) + "} =" + (LaTeX [g]) + ""
\ Frac {a} {sen \ alpha} = \ frac {5,65} {sen34.63 °} = \ frac {5,65} {0,57} = 9,95
15 Texto texto2
"\ Frac {b} {sen \ beta} = \ frac {" + (LaTeX [b]) + "} {sen" + (LaTeX [β]) + "} = \ frac {" + (LaTeX [b] ) + "} {" + (LaTeX [e]) + "} =" + (LaTeX [h]) + ""
\ Frac {b} {sen \ beta} = \ frac {8,75} {sen118.35 °} = \ frac {8,75} {0,88} = 9,95
16 Texto texto3
"\ Frac {c} {sen \ gamma} = \ frac {" + (LaTeX [c]) + "} {sen" + (LaTeX [γ]) + "} = \ frac {" + (LaTeX [c] ) + "} {" + (LaTeX [f]) +
\ Frac {c} {sen \ gamma} = \ frac {4,52} {sen27.02 °} = \ frac {4,52} {0,45} = 9,95
85
"} =" + (LaTeX [i]) + ""
CRIADO com o GeoGebra
Refletindo:
- Movimente os vértices do triângulo, alterando os ângulos e segmentos. O que
acontece com a razão?
- Salve a atividade, mas não feche, continuaremos estudando na mesma
construção.
Construção da circunferência circunscrita ao triângulo.
Ao construir a circunferência vamos observar uma nova propriedade.
Processos de construção:
- Ative a ferramenta B4>> mediatriz >> clique sobre os lados a e b.
- Ative B2>> intersecção de dois objetos >> clique sobre a intersecção das duas
mediatrizes. O ponto D será criado.
- Selecione B6 >> círculo dados centro e um de seus pontos>> clique sobre o
ponto D e sobre um dos vértices do triângulo.
- Utilizando B2>> intersecção >> marque a intersecção da circunferência com
uma das mediatrizes. Um ponto E e outro F serão criados.
86
- Selecione B8 >> distância >> meça o comprimento do segmento EF. Compare
esta medida com as razões encontradas anteriormente. Qual a relação entre o
diâmetro da circunferência e o resultado de cada razão?
Por quê?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
3 – Lei dos cossenos
“Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual a soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das
medidas desses lados pelo cosseno do ângulo que ela formam.”
87
Protocolo de construção:
N. Nome Definição Valor
1 Ponto A A = (-2.28, 0.6)
2 Ponto B B = (0.04, 4.64)
3 Ponto C C = (8.56, 1.98)
4 Triângulo pol1
Polígono A, B, C pol1 = 20.3
4 Segmento c
Segmento [A, B] de Triângulo pol1
c = 4.66
4 Segmento a
Segmento [B, C] de Triângulo pol1
a = 8.93
4 Segmento b
Segmento [C, A] de Triângulo pol1
b = 10.93
5 Ângulo α Ângulo entre C, A, B α = 52.88°
6 Número d a² d = 79.67
7 Número e b² e = 119.41
8 Número f c² f = 21.7
9 Número g cos(α) g = 0.6
10 Número h e + f h = 141.11
11 Número i 2b c g i = 61.45
12 Número j h – i j = 79.67
13 Texto texto1
"a^2=" + (LaTeX[d]) + ""
a^2=79.67
14 Texto texto2
"b^2+c^2-2.b.c.cosα=" + (LaTeX[e]) + "+" + (LaTeX[f]) + "-2*" + (LaTeX[b]) + "*" + (LaTeX[c]) + "*cos" + (LaTeX[α]) + "=" + (LaTeX[h]) + "-" + (LaTeX[i]) + "=" + (LaTeX[j]) + ""
b^2+c^2-2.b.c.cosα=119.41+21.7-2*10.93*4.66*cos52.88°=141.11-61.45=79.67
criado com o GeoGebra
88
Possíveis reflexões:
- Qual a relação entre o valor de e o valor final da expressão da 2ª caixa de
texto?
- Utilizando B1>>mover >> movimente os vértices do triângulo ABC. O que
acontece com os dois resultados?
- Escreva a propriedade que você verificou. Essa propriedade vale para qualquer
triângulo?
- Movimente B e/ou C de forma que α=90º. Você consegue relacionar esta
propriedade com algum teorema importante? Qual?
89
3 – Ciclo Trigonométrico
Processos de construção:
- Na janela de visualização peça para exibir eixos.
- Clique em B6 >> Círculo dado centro e raio >> clique no centro dos eixos e na
janela que se abre digite 1 >> aplicar.
- Selecione B12 >> mover janela de visualização >> mova a janela e em
propriedades >> aumente o zoom.
- Utilize B2>>novo ponto >> marque um ponto sobre a circunferência >> criou-se
o ponto B >> renomeie-o para P.
- Utilizando B3>>segmento definido por dois pontos >> crie o segmento AP.
- Selecione B2>>intersecção >> marque a intersecção da circunferência com o
eixo X, ponto B.
- Com B8 >>ângulo>> clique em B, A e P.
- Selecione B3>>reta perpendicular >> trace uma perpendicular ao eixo X que
passe pelo ponto P. Trace outra perpendicular em relação ao eixo Y que passe
também pelo ponto P.
- Marque a intersecção das retas perpendiculares com o eixo x e y. Criou-se os
pontos B e C.
- Trace os segmentos CP e BP.
- Oculte as perpendiculares.
- Clique com o botão direito sobre o segmento >> propriedades >> selecione os
dois segmentos >> aba estilo >> altere o estilo da reta para pontilhado >> na aba
básico selecione >> exibir rótulo >> valor.
- Construa o segmento AD e AC, altere a cor e espessura de cada segmento.
90
- Ainda em propriedades >> na básico em exibir rótulo >> peça para exibir apenas
valor.
- Vamos inserir textos com o valor do seno e do cosseno do ângulo α.
- Primeiro digite no campo de entrada:
cos(α) >> enter >> sen(α) >>enter.
- Vá em B10 >> inserir texto >> clique sobre a área gráfica e na janela que se
abre digite:
cosα= “clique na janela de álgebra sobre o valor correspondente a cosseno .”
>> clique em OK.
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- insira outra caixa de texto:
- Na caixa que se abre digite:
senα= “clique na janela de álgebra sobre o valor correspondente a seno.”
>> clique em OK.
- Vincule o texto cosα com o ponto C. Clique com o botão direito sobre o texto1 >>
propriedades >> posição >> origem: C.
- Vincule o texto senα com o ponto D. Clique com o botão direito sobre o texto 2
>>propriedades >> posição >> origem: D.
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- Movimente o ponto P e verifique o que acontece.
- Volte com o ponto P ao 1º quadrante e marque o arco do ângulo: clique em B6
>> arco circular dados o centro e dois pontos >> clique no centro da
circunferência e nos pontos B e P, respectivamente.
- Altere a cor e a espessura do arco, peça ainda para exibir valor.
- Se desejar peça para esconder outros rótulos que não necessite.
Reflexão:
- Movimentando o ponto P o valor de seno e cosseno podem ser positivo e
negativo. Por que isso ocorre?
- Observe que ao movimentarmos o ponto P o comprimento do arco também é
alterado, qual é o comprimento máximo deste arco? Veja se você descobre a
fórmula do comprimento de uma circunferência.
- Insira abaixo o protocolo de construção do ciclo trigonométrico e compare com o
processo de construção.
Orientações metodológicas
Este material didático pedagógico, no formato de caderno temático
pretende que o software GeoGebra seja utilizado por professores e alunos de
modo a potencializar o seu uso auxiliando no processo ensino aprendizagem.
As aulas de implementação pedagógica na escola serão ministradas em
forma de oficinas, direcionadas aos professores do Colégio Estadual Floriano
Peixoto em Laranjeiras do Sul, havendo interesse e disponibilidade de vagas será
ofertada aos professores da área de outros estabelecimentos. As oficinas serão
realizadas no referido colégio, podendo ser utilizado o laboratório PRD ou em
outra sala utilizando notebooks dos professores participantes.
As oficinas serão desenvolvidas em 6 aulas presenciais, com duração de 4
horas cada e com atividades à distância com duração de 16 horas, perfazendo
um total de 40 horas de carga horária, certificadas pela UNICENTRO.
As oficinas terão os seguintes conteúdos por encontro:
Oficina 1 - Ambientação
- Apresentação do projeto;
- Instalação do software nos notbooks dos professores participantes;
- Apresentação do programa – ferramentas e comandos disponíveis;
- Atividades de ambientação.
Oficina 2 - Geometria
- Atividades de Geometria.
Oficina 3 – Geometria
- Atividades de Geometria.
Oficina 4 – Função
- Estudo da função Afim.
- Estudo da função Quadrática.
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Oficina 5 – Trigonometria
- Atividades de trigonometria.
Oficina 6 – Apresentação de atividades dos participantes
- Cada participante apresentará individualmente ao grupo uma atividade que
construiu ou desenvolveu utilizando o geogebra. Considerando as turmas que
ministra aulas e os conteúdos contemplados. Proporcionando a construção de
uma sequencia didática e troca de ideias entre os professores.
As atividades realizadas à distância serão encaminhadas ao final de cada
encontro e enviadas para ao email da professora ministrante do curso e
posteriormente serão publicados no blog “Matemática no Floriano”.
O material desenvolvido neste caderno será utilizado nas oficinas
propiciando a manipulação e exploração das ferramentas e recursos disponíveis
no software GeoGebra. Além das atividades propostas neste material, os
professores também poderão apresentar atividades pedagógicas.
Espera-se anos final dos encontros (oficinas) que os professores façam
uso destes conhecimentos de maneiras a proporcionar o uso do software
GeoGebra como ferramenta auxiliar significativa no processo de ensino
aprendizagem.
Desenvolver um trabalho com o objetivo de possibilitar o aprendizado efetivo, um despertar no aluno à beleza da Matemática de suas demonstrações, darem significados a conceitos que parecem coisas do outro mundo, desenvolver o gosto pela geometria, é muita pretensão... espera-se que possa dar início a novas discussões e reflexões. (Petla, 2008).
Neste sentido, espera-se que este trabalho seja o início de muitas
descobertas e possibilidades pedagógicas que conduzam ao caminho estreito,
mas grandioso do conhecimento.
Referências Bibliográficas
ARAÚJO, L.C.L; NÓBRIGA, J.C.C. Aprendendo matemática com o Geogebra. São Paulo: Editora Exato, 2010; 226p.
ASSIS, Cibelle de Castro. Formação continuada para professores de Matemática: integrando softwares educativos à prática docente. In: XIII Conferência interamericana de Educação Matemática – CIAEM, p.1-12. Recife: Jun 2011. Disponível em:
http://cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/view/629. Acesso em 02 de abril de 2013.
BARBOSA, Angela Afonsina de Souza. O uso das tecnologias como suporte no ensino e a aprendizagem da matemática no ensino fundamental e médio. Curitiba, Secretaria de Estado da Educação, 2008. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1421-8.pdf . Acesso em 21 maio de 2013. DANTAS, Sergio. Canal mais Matemática. Disponível em: http://www.youtube.com/playlist?list=PL4Setj2LURCKaSmD86mQdtiaQIl3v7umc Acesso em 10 de setembro de 2013. GERÔNIMO, João Roberto; BARROS, Rui Marcos de Oliveira; FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria euclidiana – um estudo com o software GeoGebra. Maringá: EDUEM, 2010. GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. 5.ed. São Paulo: Editora Livraria da Física. 2011. PARANÁ Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Educação Básica Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: SEED/DEB, 2008. PATARO. Patricia Moreno; SOUZA, Joamir. Vontade de Saber Matemática, 6º ao 9º ano. 2.ed. São Paulo: FTD. 2012 PETLA, Rivelino José. Possibilidade Para o Ensino da Matemática. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1419-6.pdf. Acesso em 03 de novembro de 2013.