os desafios da escola pÚblica paranaense na … · letras de campo mourão, departamento de...
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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
TÍTULO
O software Jclic como ferramenta pedagógica para se explorar os cinco significados de
fração: uma intervenção com alunos de 6°Ano do Ensino Fundamental.
Autor Aparecida de Araújo
Disciplina/Área
(ingresso no PDE) Matemática
Escola de
Implementação do
Projeto e sua
localização
Colégio Estadual Antônio Lacerda Braga – EFM e
Profissionalizante
Município da escola Goioerê
Núcleo Regional de
Educação Goioerê
Professor Orientador Veridiana Rezende
Instituição de Ensino
Superior Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão
Resumo
Nossa experiência como professora de Matemática, juntamente
com resultados de pesquisas como Nunes e Bryant (1997),
mostram que os alunos apresentam dificuldades para
compreender o conceito de fração. Este fato reflete em seu
baixo desempenho no rendimento de avaliações realizadas pelo
índice de desenvolvimento da educação básica-IDEB, Prova
Brasil, Provinha Brasil, Saresp, Enem e SAEB em todo o Brasil
(Nunes e Bryant,1997). Observamos que alguns livros didáticos,
assim como Bonotto (2011), abordam as frações como
exercícios práticos, sequência de conceitos ilustrativos e
conceito contextualizado, limitando a compreensão de fração
apenas com significado parte do todo.
Desta forma, a Produção Didático-Pedagógica fundamenta-se
em alguns pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais, e
tem intenção de explorar os cinco significados do conceito de
fração: número, relação parte-todo, medida, quociente e
operador multiplicativo proposto por Nunes (2003). Além de
apresentar uma abordagem diferenciada por meio do Software
Jclic. Pretende-se criar um ambiente de reflexão, discussões e
compreensão, apresentando uma diversidade de situações, para
contribuir, com a compreensão do conceito de fração, pelos
alunos envolvidos.
Palavras-chave Cinco significados de fração; Software Jclic; Teoria dos Campos
conceituais.
Formato do Material
Didático Unidade Didático-Pedagógica
Público Alvo Alunos do 6°Ano do Ensino Fundamental
APRESENTAÇÃO
Este material refere-se à Produção Didático-Pedagógica, como resultado do
programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, elaborado como capacitação
continuada aos Professores da Rede Pública de Ensino Fundamental e Médio do
Estado do Paraná. Foi elaborado no segundo semestre de 2013, sendo
desenvolvido em parceria com a UNESPAR/FECILCAM - Faculdade de Ciências e
Letras de Campo Mourão, Departamento de Matemática, sob a orientação da
Professora Doutora Veridiana Rezende. Trata-se da Produção Didático-Pedagógica
intitulada “O software Jclic como ferramenta pedagógica para se explorar os cinco
significados de fração: uma intervenção com alunos de 6°Ano do Ensino
Fundamental”.
O objetivo desta produção é oferecer subsídios metodológicos e práticos para
o Projeto de Intervenção Pedagógica que será implementado no primeiro semestre
de 2014, para os sextos anos do período matutino, no Colégio Estadual Antônio
Lacerda Braga – Ensino Fundamental, Médio e Profissionalizante, no município de
Goioerê. Como consequência, espera-se contribuir com a prática no ensino de
Matemática de outros colegas professores da Rede Básica.
Trata-se de atividades que propõem explorar os cinco significados do
conceito de fração: número, relação parte-todo, medida, quociente e operador
multiplicativo, além de uma contribuição por meio do uso de algumas ferramentas do
software Jclic. Pretende-se criar um ambiente de reflexão, discussões e
compreensão, apresentando uma diversidade de situações, para contribuir com a
compreensão do conceito de fração, pelos alunos envolvidos.
A Unidade Didática está organizada em cinco seções: Seção 1: História das
frações relação parte-todo; Seção 2: número; Seção 3: operador multiplicativo;
Seção 4: medida; Seção 5 quociente.
MATERIAL DIDÁTICO
Esta “Unidade Didática” tem como objetivo trabalhar os cinco significados da
fração: número, relação parte-todo, medida, quociente e operador multiplicativo.
Para cada significado da fração, busca-se apresentar encaminhamentos,
situações problemas com objetivo de auxiliar a construção da ideia daquele
significado. Apresenta também o espaço “Importante” e “Relembrando o que
aprendemos...” que interessa tanto ao aluno quanto ao professor, onde estão
registrados os conceitos do significado explorado.
A autora, através do espaço “professor – Esta é a ideia da construção”
propicia ao professor a intenção da proposta das atividades de construção para o
aluno.
E como não poderia faltar, uma relação de atividades para que o aluno
pratique o significado estudado: “Vamos praticar?”, “Mais algumas situações”
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Caro professor(a), percebemos hoje que nossa escola é fruto de todos os
experimentos e tentativas de ensinar e colaborar com uma sociedade positivamente
ativa, principalmente quando partimos para o pensar e fazer matemático.
Nossa experiência mostra que em relação ao conceito de fração, nossos
alunos apresentam muitas dificuldades, não abstraem os conceitos que as
fundamentam. Como pode ser confirmado com os resultados de pesquisas, nas
provas para medição de qualidade: Saeb , Ideb , Prova Brasil , Provinha Brasil ,
Saresp , Enem .
Fração vista a partir de cinco significados, de acordo com Magina (2013 p.91,
apud Nunes, 2003), inspirada nos trabalhos de Kieren, afirma que uma
aprendizagem de conceito de fração pode ser obtida com maior êxito quando esse
conceito é explorado por meio de cinco significados: parte-todo, medida, quociente e
operador multiplicativo e número, sendo cada um trabalhado a partir de uma gama
diversificada de situações.
Nesta perspectiva, fundamentaremos na Teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud para a classificação proposta por Nunes para os significados das frações.
Primeiro significado a ser abordado: Relação Parte-Todo. Esta ideia representa um
todo (contínuo ou discreto) dividido em partes iguais, onde cada uma dessas partes
é representada como . A relação parte-todo implica em um procedimento de dupla
contagem, onde o denominador representa o número de partes que este todo foi
dividido e o numerador quantas partes foram consideradas. Nota-se que esta ideia é
bastante abordada pelos livros didáticos, sendo muitas vezes utilizada como uma
estratégia para a introdução do conteúdo de frações. Este fato por ser observado
nos livros didáticos como: Dante, L.R ; Andrini, A. e Vasconcellos M. J , Jakubovic, J.
e Lellis, M , entre outros.
Nas atividades proposta vamos trabalhar como surgiu a ideia de fração
através da leitura de recortes da história e debates contextualizando frações no dia-
a-dia. Em seguida na construção do conceito do “Inteiro” do “Todo”. Sempre
trabalhando com conceito mais palpáveis como folhas de sulfite, materiais e objetos
que estão ao alcance de sua vivencia. É importante estabelecer a relação com o
“todo”. Também são propostas atividades que propicia ao aluno desenhar o “todo” e
em seguida desenhar o numerador o denominador, escrever a fração e realizar a
leitura. Outra questão importante é a leitura de frações que, são abordadas em
paralelo a construção da parte-todo. Permitindo desta forma que o aluno já
estabeleça relação entre a situação, a escrita da fração que representa a parte-todo
e a leitura, além de estabelecer relações e identificar numerador e denominador.
Significado Número: Uma fração a/b, com b ≠0, pode assumir o significado
de número e ser posicionada na reta numérica. Assim como os pesquisadores
Bonotto (2011) e Moutinho(2005), podemos observar que, esta abordagem
raramente é utilizada pelos livros didáticos, o que prejudica a organização do
conceito, pois o aluno tende a não identificar a fração como um número. É
importante que o aluno reconheça este significado, visualizar seu posicionamento na
reta numérica, além do fato deste número também poder ser representado como um
decimal.
O estudante irá construir com auxilio da régua uma reta e dividi-la em partes
iguais. Ele será desafiado a representar ½ na reta numérica. O valor numérico de
uma situação em que o número racional na forma fracionária, possui uma
representação decimal, e que representa um valor na reta numérica. Para
compreender esse subconstruto, o aluno precisa entender que o número racional na
forma fracionária não representa um número sobre outro, mas sim a divisão de um
número por outro, além de saber que esse número representa uma posição na reta
numérica, que entre esses dois números existem infinitos números e observar que
há duas formas para representarmos um número racional, isto é, a forma fracionária
e a forma decimal.
Espera-se que o estudante identifique o “ todo” e realize a operação para
encontrar o valor numérico de qualquer fração, além de posicioná-lo na reta
numérica.
Significado - Operador Multiplicativo: A fração a/b, com b ≠0, observada
pela ótica do operador multiplicativo, atua como fator transformador de um número
ao ser multiplicando por e, logo em seguida, dividindo por ‘b ’. O número resultante
deste processo pode ser maior ou menor que o número em seu estado inicial,
dependendo do quociente. Este momento poder aproveitado para abordar as ideias
de número inverso e identidade.
Através de situações problemas proposta, instigar o estudante a desenhar o
“todo”, compreender e desenhar quantas unidades representa cada parte do “todo” e
quantas partes do todo foram tomadas, ou seja, consumidas. Chamar atenção para
várias outras formas de resolver a mesma situação, ou seja, utilizando operações e
encaminhado-os para resolver através das mesmas. Sempre questionar: Quem é o
inteiro? Quantas partes o inteiro foi dividido? Quantas partes foram tomadas?
Quantas partes sobraram? Quem é maior, a parte consumida ou a parte que restou?
Desta forma o estudante ficará atento ao que está sendo desenvolvido.
Significado - Medida: Neste caso, a ideia é de comparação entre duas
grandezas, podendo estas ser intensivas ou extensivas (medida de quantidade de
mesma natureza, parte todo). Como exemplo, cita-se o cálculo da probabilidade de
um evento, que é obtido através da razão entre o número de casos prováveis e o
número de casos possíveis desse evento ocorrer. Assim, a chance de ocorrer de tal
evento varia entre 0 e 1, sendo este número, na maioria dos casos, uma fração. Da
mesma forma que o estudo de probabilidades, podemos relacionar a este significado
a porcentagem.
Na primeira situação problemas, trabalharemos com dois experimentos, onde
os estudantes vivenciarão as misturas de dois tubos de tinta guache azul e dois
tubos de tinta guache branca. E no segundo, irão misturar três tubos de tinta guache
azul com três tubos de tinta guache branca. Em cada experimento, serão utilizados
palito de sorvete e dois copos descartáveis, pois as misturas devem ser separadas
para que os estudantes observem a cor das mesmas. Em seguida responderão as
questões propostas.
Para vivenciar o problema 37, deverá ser colocado dentro de uma caixa duas
fichas azuis e uma branca. Solicitar para que um estudante realize várias retiradas
de fichas. Apresentar as fichas retiradas e solicitar que as registrem. Chamar
atenção para a probabilidade de sair “ficha azuis ou branca “. O professor poderá
realizar outros experimentos com: moedas, dados etc., sempre estabelecendo a
relação entre o “todo” e as possibilidades- fração.
Para trabalhar porcentagem relacionada com a fração, será solicitado aos
alunos que tragam panfletos de propagandas que apresentem promoções e
descontos. Fazer a leitura dos cartazes. Questionar o que eles entendem por
desconto e o símbolo %. Estabelecer relação com o “Todo, mas sempre dividido em
cem partes iguais. Em seguida, trabalhar o problema 39 e 40, os quais propicia a
ideia de porcentagem : Todo divido em cem partes iguais, ½, relacionado a 50 %,
depois a 1/4 , 25%.
Significado-Quociente: é empregado quando, em uma determinada situação,
a divisão é o recurso empregado para a solução do problema, ou seja, quando a
situação , com b diferente de 0” , é utilizado para escrever a : b . Este aspecto do
conceito de fração é pouco explorado pelos materiais didáticos. Torna-se Importante
observar que nas situações desenvolvidas, a fração indica uma divisão e seu
resultado. Nas situações de quociente, temos duas variáveis, sendo que uma
variável corresponde ao numerador e a outra ao denominador.
No problema proposto é importante encaminhá-los para leitura, a
compreensão e logo após a desenhar a situação do problema. Questioná-los de que
maneira poderiam ser resolvidos. Solicitar que pensem se há como apresentar uma
fração desta situação e logo em seguida como poderiam fazer para encontrar a
solução, ou seja, quanto cada um levaria de bolo para sua festa.
Chamar atenção de que temos duas variáveis ( o número de crianças e o número
de bolos), sendo que uma variável corresponde ao numerador e a outra ao
denominador.
A avaliação será contínua e através de registros escrito, pois as atividades
propostas serão impressas, assim que os estudantes executarem, serão recolhidas
e observadas.
Para realizar as atividades de fração criadas no Software Jclic, acesse o link
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43336033/jclic/index.htm. As instruções para
desbloquear o navegador encontra-se no final desta Unidade Pedagógica.
Atividade 1
Objetivo: Entender como surgiu o conceito de fração.
Vamos entender como e porque surgiu o conceito de fração?
Desde o início da
humanidade, quando as
pessoas deixaram de ser
nômades e começaram a
produzir seus próprios
alimentos, dão conta que há
necessidade de criarem
mecanismos para facilitar a
sua vida. Acredita-se que a
utilização da matemática
tenha sido associada a
processos de contagens, quando surgem os números naturais, relacionados a
problemas práticos. Desta forma, um pouco mais avançado na vivencia e no tempo,
a humanidade percebe que apenas o sistema de contagem utilizado até então, não
era suficiente para resolver novas medidas que se deparam.
Segundo Boyer (2002), os homens da idade da pedra não usavam frações,
no entanto, um pouco mais adiante, surgiu a necessidade do conceito e da notação
para frações, devido as culturas mais avançadas.
Segundo Almeida (2004), por volta de 3000 a.C., um antigo faraó dividiu o
solo às margens do Rio Nilo, no Egito, entre uns poucos habitantes privilegiados. Na
Figura 1- Conceito frações
Fonte:ARAUJO, 2013
época das cheias que durava de junho a setembro, as águas do rio Nilo subiam
muito acima do seu leito normal e alagavam uma grande região às suas margens.
Passada a inundação as terras ficavam férteis e próprias para o plantio. A cada
inundação, era necessário refazer a demarcação das terras.
Para fazer as medições, usavam uma unidade de medida marcada em cordas.
No entanto, as medidas, por mais adequadas que fossem, não cabia um número
inteiro de vezes nos lados do terreno.
Diante desta necessidade, os egípcios criaram os números fracionários.
A palavra fração vem do latim fractione e quer dizer dividir, rasgar.
A fração no dicionário, também quer dizer parte de um todo.
No princípio, os egípcios conheciam as frações como parte da unidade, as
frações unitárias, ou seja, aquelas com numerador igual a 1, e eles representavam
por um desenho na forma oval, o que limitava muito os seus cálculos.
Não encontravam problemas quando a medida era inteira, mas se a medida
fosse maior que um inteiro e menor que dois, como eles poderiam representar?
Ao longo da história, foram usadas muitas notações para representar frações.
Hoje, representamos a fração conforme determinado no século XVI.
Ação 1:
1- Debata com seus colegas e escreva algumas situações do seu cotidiano
em que você observa o uso de frações.
Relembrando o que aprendemos...
O significado da palavra fração é dividir, partir, quebrar, rasgar;
O conceito de fração é utilizado sempre que precisamos dividir as coisas;
Atividade 2
Objetivo: Explorar o significado parte-todo
Ação 2:
Como você já observou, uma fração representa quantas partes estamos
considerando do todo.
2- O que é um todo ou um inteiro?
3- Desenhe um objeto ou faça uma figura que represente um inteiro e escreva
como você lê essa representação (barra de chocolate, laranja, bolacha, folha de
caderno, etc.)
Bem já sabemos que temos um inteiro quando ainda não dividimos nosso objeto,
ou seja, uma fruta, uma bolacha, uma melancia, uma folha de caderno, uma
cartolina, etc.
4- Como dividimos um inteiro em partes iguais?
a) Pegue uma folha de sulfite.
b) Podemos dizer que a folha de sulfite representa um inteiro?
__________________________
c) Vamos dobrá-la ao meio.
d) Quantas partes foram obtidas? ___________________
e) Podemos dizer que dividimos o inteiro em ____ partes iguais.
f) Agora vamos fazer um desenho qualquer ou colorir em apenas uma das partes
da folha do papel, ou seja, vamos usar apenas uma das partes da folha para
desenhar, escrever, pintar....
g) Quantas partes usamos do inteiro? _____________
h) Agora vamos fazer o desenho da folha e pintar a parte que usamos.
Como podemos escrever o que acabamos de fazer utilizando notação de fração?
Para escrever uma fração usamos uma notação especial, contendo um
numerador e um denominador;
Para entender melhor vamos ver outras situações:
Ação 3:
5 – Imagine que sua mãe fez um bolo e o dividiu em dez pedaços iguais.
a) Desenhe o bolo e divida-o como sua mãe poderia fazer.
b) Suponha que você e seus colegas comeram seis pedaços desse bolo.
No desenho que você acabou de fazer, pinte os pedaços que sobraram do
bolo.
c) Agora escreva na forma de fração o desenho que você fez e represente os
pedaços de bolos que vocês comeram.
d) Faça a leitura das frações que já estudamos:
a)
b)
c)
Leitura de frações
Assim como lemos os números, as frações também têm sua forma de leitura:
Não por acaso, o denominador é o termo que dá nome à fração.
Ao lermos uma fração, a leitura do numerador é realizada de forma direta, já a leitura
do denominador segue as regras descritas abaixo.
Para os denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, utilizamos respectivamente os termos
meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo e nono.
Exemplos de leitura de fração:
Um meio. dois terços. Três quartos. Quatro quintos.
Cinco sextos. Seis sétimos. Sete oitavos. Oito novos.
Para denominadores a partir 10, devemos ler o numerador, o denominador e
acrescentar o termo "avos".
Exemplos:
Um doze avos. Dois vinte avos. Três setenta e quatro avos.
Os denominadores múltiplos de 10, de 10 a 90, também podem ser lidos segundo a
leitura dos números ordinais:
Um décimo. três vigésimos. cinco sexagésimos.
Temos ainda:
Um centésimo. Dois milésimos.
Sempre seguindo a leitura dos números ordinais.
Ações 1 e 2 são exemplos de ideia de fração
que representa um “todo” (contínuo). A divisão de
um “todo” em “ n “ partes iguais, em que cada parte pode ser representada com .
Podemos observar que, o “TODO” neste caso é um único objeto que foi dividido
em partes iguais.
Ação 4:
6- Suponha que você tem nove laranjas e cinco melancias.
a) Faça um desenho que represente:
o “todo” o numerador e denominador fração leia a fração
b) Que fração representa as laranjas do total de frutas?
c) Quais frutas representam o denominador? ___________________
d) Que fruta representa o numerador?_______________________
Esta é a ideia da construção:
Desenhe o todo desenhe o numerador e escreva a fração leia a fração
Denominador
Ação 5:
7- Escreva os dias da semana:
8- Represente por meio dos dias da semana uma fração dos dias que começam
com a letra “s”:
o “todo” numerador e denominador escreva a fração leia a fração
Esta é a ideia da construção:
Chamar a atenção do aluno que esta ideia
representa um todo (discreto) dividido em partes iguais, onde cada uma dessas
partes é representada na Ação 3, o TODO corresponde a um conjunto de
catorze objetos, sendo cinco melancias e nove laranjas.
Já na Ação 4 , o TODO corresponde a um conjunto de 7 dias da semana, sendo
que três dias começam com a letra “S”. Nestes casos, temos uma representação
parte-todo chamada de discreta porque cada elemento que compõe o todo são
independentes.
A relação parte-todo implica em um procedimento de dupla contagem, onde o
denominador representa o número de partes que este todo foi dividido e o
numerador quantas partes foram consideradas.
Relembrando o que aprendemos...
O que acabamos de fazer foi encontrar a relação parte-todo
Palavras como: metade, pedaço, parte, etc... estão relacionadas a ideia de
fração;
As frações são representadas por uma notação especial, contendo um
numerador e um denominador;
O denominador significa em quantas partes está
dividido o todo (ou inteiro), enquanto o
numerador significa quantos pedaços vai ser utilizado.
Eu sempre preciso ‘dividir’ o todo em partes iguais.
Como o próprio nome diz, denominador dá nome às frações, ou seja,
denomina os nomes das frações. É observando-o que você vai identificar e ler
a fração.
9- Num grupo de três formigas, uma tem a cor diferente. Represente essa
situação na forma de fração fazendo a leitura.
10- Considerando o quadrado ABCD como todo-referência, escreva a fração
correspondente a: (POSITIVO, 2005)
a) parte F: c) parte H:
b) parte E: e) parte G:
Figura 2 - Formigas
Fonte: ARAUJO, 2013
11- Pedro é jardineiro e semeou flores vermelhas no jardim. Mas para surpresa de
Pedro nasceram flores vermelhas e azuis.
Qual a fração que representa as flores azuis?
12- Observe os desenhos abaixo. Escreva e leia a fração
que representa cada ideia.
Figura 3- Canteiro
Fonte:ARAUJO, 2013
Figura 4 - menino
Fonte: ARAUJO, 2013
13- Observe o desenho que Ana fez no passeio ao parque ecológico.
Responda:
a) Que fração do total de insetos representa o número de formigas?
b) Que fração do total de insetos é representada pelas joaninhas?
Adaptado (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
14- Escreva e leia as frações do problema anterior.
15- Descreva o que você considerou mais importante nesta parte das atividades ou
o que você ainda não conhecia sobre frações e que aprendeu com as
atividades que realizou.
Figura 5 - Floresta
Fonte: ARAUJO, 2013
Atividade 3
OBJETIVO: Estabelecer relação entre fração e número decimal e a posição na
reta numérica.
Ação 6:
16- Você considera que frações são números ou não? Por quê?
17- Desenhe uma reta e enumere-a de 0 a 5 ( use a régua e meça o mesmo espaço
entre os números)
Você acha que é possível representar (ou localizar) ½ na reta? Em caso positivo
represente. Em caso negativo justifique.
18- Além da forma de fração, será que existe uma outra forma de representar este
mesmo número? Em caso positivo, qual seria esta outra forma.
Vimos nas atividades anteriores que a ideia de frações está relacionada à ideia de
divisão.
A fração também significa “um dividido por dois”. Para isso podemos usar a
calculadora para fazer a conta 1 ÷ 2, ou ainda fazer o calculo no caderno.
O resultado é:
R =
A fração é número em si, não é necessário expressar uma relação ou contexto
para ser compreendida numa dada situação como “número decimal”. Desta forma,
toda vez que dividirmos o numerador pelo denominador encontraremos a
representação decimal da fração, ou seja, o número decimal da fração em
estudo .
Assim, sabemos que a fração 2
1tem sua representação decimal 0,5. E já podemos
localizar este valor na reta.
Podemos concluir que 2
1 (fração) é igual a 0,5 (representação decimal).
19- Qual é o “representação decimal” fração 4
3 ? Como poderemos fazer para
achar esse valor?
Localizar esse valor decimal na reta é fácil !!!!
De 0 (zero) a 1 (um) vamos dividir este espaço em quantas partes iguais?
Esta é a ideia da construção:
1-Frações são números?
Registrem em seus cadernos qual a sua opinião sobre esta pergunta:
O professor deve provocar um debate.
Depois de identificar os grupos que acreditam e os que não acreditam que a
fração é um número, estabelecer um diálogo para que os grupos cheguem a
uma conclusão (Sempre mediado pelo professor).
1- O professor deve auxiliar o aluno para desenhar uma reta e enumera-la de 0
a 5 ( use a régua e meça o mesmo espaço entre os números)
3 – Chamá-los a localizar o valor encontrado na reta.
4 - Qual é a “representação decimal” fração 4
3 ? Questioná-los como fazer para
encontrar o ponto na reta que represente esta fração. Depois chamar o aluno para
que localize a fração na reta.
É só dividir 3 4 . Que será 0,75.
Uma fraçãob
a com b ≠ 0 pode assumir o significado
de número e ser posicionada na reta numérica. Para Rodrigues (2010), de acordo
com definições propostas por Lamon (1999) que se aproximam bastante das
propostas por Nunes e Bryant (1996), isso significa que o valor numérico de uma
situação em que o número racional na forma fracionária, possui uma
representação decimal, e que representa um valor na reta numérica. Para
compreender esse subconstruto, o aluno precisa entender que o número racional
na forma fracionária não representa um número sobre outro, mas sim a divisão de
um número por outro, além de saber que esse número representa uma posição na
reta numérica, que entre esses dois números existem infinitos números e observar
que há duas formas para representarmos um número racional, isto é, a forma
fracionária e a forma decimal.
De acordo com Vasconcelos e Belfort (2006), a visualização dos números
fracionários na reta numérica não deveria, a rigor, ser considerada como
uma nova ideia, pois também se trata da divisão de uma unidade em
partes iguais. Só que, ao invés de destacarmos a parte, passamos a
destacar pontos da reta. (p. 2)
Relembrando o que aprendemos...
A fração é um número em si, toda vez que dividir o numerador pelo
denominador encontraremos sua representação decimal.
Fazemos isso sempre que quiser saber a ‘representação decimal’ da
nossa fração.
20- (TEIXEIRA, 2008) Identifique as frações 2
1
, 5
3
, 12
3
e 2
5
na reta numérica abaixo.
21- (MERLINI, 2005) Represente na forma de número decimal as seguintes frações:
a) 5
1 b)
10
2
22- Utilizando os sinais de >, < ou =, compare as frações:
a) 10
7
20
7
b)
2
1
10
5
c) 8
5
8
7
d)
5
2
5
1
23- (GIOVANNI e GIOVANNI JR, 2002) Entre as frações qual 3
6,
5
20,
4
12,
1
4,
representa o número natural 3?
24- (EF SARESP, 2005) Localizando o número 2
3 na reta numérica, representada
pela figura abaixo, ele vai estar no intervalo ente os números:
a) 3 e 4 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 0 e 1
25- Um dos corredores venceu a maratona. Descubra quem foi, sabendo que o
número de sua camiseta está compreendido entre 5
13 e
4
13 (ANDRINI e
VASCONCELLOS, 2012).
26- Descreva o que você considerou mais importante nesta parte das atividades ou
o que você ainda não conhecia sobre frações e que aprendeu com as
atividades que realizou.
ATIVIDADE 4
Objetivo: Reconhecer e associar a transformação de um valor nesse processo.
Ação 7:
Já observamos anteriormente que as frações são representadas por uma notação
especial, contendo um numerador e um denominador;
O denominador significa em quantas partes está dividido o todo (ou
inteiro), enquanto;
O numerador significa quantos pedaços vai ser utilizado.
Eu sempre preciso ‘partir’ o inteiro em pedaços de mesmo tamanho ou
em valores iguais.
27- Mas será possível utilizar as frações para resolver problemas?
Você já fez isso? Registre suas experiências ou ideias.
Vejamos a seguinte situação:
28- Ângela ganhou uma caixa contendo 15 bombons. Ela já comeu 5
2 dos bombons.
a) Quantos bombons ela comeu?
b) Quantos bombons sobraram?
c) Ela comeu mais ou menos da metade dos bombons?
Para resolver precisamos saber:
a) Qual é o número que representa o inteiro - “TODO”? Desenhe o “todo”(os bombons).
b) Em quantas partes iguais o inteiro foi dividido?
c) O que temos que fazer para saber quantos bombons ela colocou em cada
parte? Realize a operação:
d) Em cada parte foram colocado____________ bombons.
e) Desenhe os bombons de acordo com a divisão que Ângela fez. Lembre-se
que juntando todas as partes tem que dar o “todo”.
d) Ela já comeu 5
2 dos bombons. Quantos bombons ela comeu?
Ângela dividiu os bombons em 5 partes e comeu duas partes.
Desenhe a quantidade de bombons em cada parte respondendo a questão
acima.
e) Se Ângela comeu duas partes de cinco que ela dividiu os bombons, então
qual é outra maneira de descobrir quantos bombons ela comeu? Será que
posso fazer por meio de operações? Quais?
f) E para responder a questão “b” Quantos bombons sobraram?
Olhando no desenho é possível responder?
Qual é a outro jeito de descobrir quantos bombons sobraram? Será que é
possível por meio de operações? Quais?
g) Observando o desenho é possível responder se Ela comeu mais ou menos
da metade dos bombons? Quais são as outras maneiras?
Esta é a ideia da construção.
a) Qual é o número que representa o inteiro - “TODO”? Desenhe o “todo”(os bombons).
Figura 6
Autora:Aparecida de Araujo
Orientar para que o aluno desenhe os 15 bombons. ( o inteiro )
b) Em quantas partes iguais o inteiro foi dividido?
c) Para saber quantos bombons ela colocou em cada parte o que temos que
fazer? Realize a operação:
d) Em cada parte foram colocado____________ bombons.
Se Ângela comeu duas partes de cinco.
Para responder a questão
a) Quantos bombons ela comeu?
É só multiplicar a quantidade de bombons de uma parte por 2.
3 x 2 = 6
Ângela comeu 6 bombons
E para responder a questão,
b) Quantos bombons sobraram?
É só multiplicar as partes que sobraram pelo número de bombons em cada parte.
Que seria 3 x 3 = 9
Sobraram 9 bombons.
Outro caminho é subtrair do “todo”, os bombons que Ângela já comeu:
15 – 6 = 9
Há ainda
a questão
e) Ela comeu mais ou menos da metade dos bombons?
Basta analisar o que fizemos até agora:
Eram 15 bombons.
Ângela comeu 5
2 dos bombons que são 6 bombons do total de 15 bombons.
Sobraram 5
3dos bombons da caixa, que são 9 bombons do total de 15 bombons.
Então Ângela comeu menos da metade dos bombons.
Podemos observar que 5
2 é menor que
5
3.
Ou seja5
2 é igual a 6 bombons de 15 bombons e
5
3 é igual a 9 bombons de 15
bombons.
Se juntarmos 5
2 com
5
3 ou seja, os bombons que ela comeu e o que sobraram.
Vamos ter 5
5 que é o “todo”, a caixa inteira. Que são 15 bombons.
Ação 8:
29- Um horticultor dividiu um terreno em 28 partes iguais e usou para plantar
tomates.
a) Em quantas partes ele plantou tomates?
Podemos resolver por meio de operações? Quais?
b) Faça um desenho para representar a plantação de tomates.
c) Que fração representa a quantidade de tomates plantados em relação ao
“todo”?
A fração b
a, com b 0, observada pela ótica do
operador multiplicativo, atua como fator transformador de um número ao ser
multiplicando por ''a e, logo em seguida, dividindo por ‘b ’. O número resultante
deste processo pode ser maior ou menor que o número em seu estado inicial,
dependendo do quociente b
a. Este momento poder aproveitado para abordar as
ideias de número inverso e identidade.
Relembrando o que aprendemos...
A barra da fração também significa divisão (÷).
Para saber quanto é uma determinada fração de um valor, basta fazer a
multiplicação de um pelo outro.
30- Uma caixa contém 24 lápis coloridos. Soninha deu dos lápis para sua amiga
Dorinha. Quanto lápis Soninha deu?
31- (POSITIVO, 2005) Sabendo-se que uma hora tem 60 minutos, determine
quantos minutos há em:
a) de hora;
b) de hora;
c) de hora;
d) de hora;
e) de hora;
f) de hora.
32- Sabe-se que de um número é 5. Qual é esse número? (IEZZI, DOLCE e
MACHADO, 2005).
33- Observe a coleção de bolinhas abaixo:
Luís ganhou das bolinhas de gude desta coleção. Quantas bolinhas de
gude Luís ganhou? (MERLINI, 2005)
34- João ganhou um chocolate e Maria ganhou outro chocolate do mesmo
tamanho. João comeu de seu chocolate, enquanto Maria comeu do
chocolate dela. Quem comeu mais chocolate? Como você convenceria seu
amigo que sua resposta está correta? (MERLINI, 2005)
35- Recebo 30 reais de mesada mensal e gasto apenas dessa quantia. Deposito o
restante na poupança para comprar um aparelho de som. Quanto deposito por
mês? (ANDRINI e VASCONCELLOS, 2012).
36- (ANDRINI e VASCONCELLOS, 2012) Margarete comprou um saco de batatas
pesando 12 quilogramas. Deu um sexto à sua irmã.
a) Quantos quilogramas de batatas recebeu a irmã de Margarete?
b) Escreva uma fração que representa a parte do saco de batatas com que
Margarete ficou.
37- Na 5ª série A, há 36 alunos. Numa avaliação de Matemática sobre frações,
dos alunos obtiveram resultados satisfatórios. Quantos alunos obtiveram bons
resultados? (MERLINI, 2005)
38- No sítio de seu Gustavo há 32 galinhas, 47 porcos e 21 patos. Certo dia,
desses animais adoeceram. Dos animais que ficaram doentes, eram galinhas.
Três empregados do sítio, José, João e Celina, cuidaram dos animais e eles se
recuperaram logo.
a) Que fração do conjunto de animais as galinhas representam?
b) Os porcos representam que fração do conjunto de animais?
c) Quantos animais adoeceram?
d) Quantas galinhas adoeceram?
e) Que fração representa a quantidade de animais
que ficaram sãos?
(IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
39- Descreva o que você considerou mais importante nesta parte das atividades
ou o que você ainda não conhecia sobre frações e que aprendeu com as
atividades que realizou.
ATIVIDADE 4
Objetivo: Estabelecer a relação de proporção, probabilidade e porcentagem.
Ação 9:
Os alunos devem se organizar em 5 grupos. Cada grupo receberá:
Para o primeiro experimento:
um copo descartável com uma etiqueta “2ª–feira”, um palito de sorvete, três
tubinhos de tinta guache azul e três tubinhos de tinta branca.
Para o segundo experimento:
um copo descartável com uma etiqueta “3ª–feira”, um palito de sorvete, dois
tubinho de tinta guache azul e dois brancos.
Após realizem as misturas e observem os resultados vamos responder o
problema abaixo:
40- (MAGINA e CAMPOS) Na segunda-feira você misturou 3 litros de tinta branca e
3 de tinta azuis. Na terça-feira você misturou 2 litros de branca e 2 de azuis.
Vamos visualizar a situação proposta?
Represente através de desenho as tintas que você misturou na :
segunda-feira terça-feira
Agora responda de acordo com o que você observou:
a) A mistura vai ficar da mesma cor nos dois dias?
b) Por que?
c) Que fração da mistura foi feita com tinta azul na segunda-feira?
d) E na terça-feira?
OBS: Para vivenciar o problemas 2, deverá ser colocado dentro de uma
caixa duas fichas azuis e uma branca.
41- João terá que passar por uma prova de fogo. Seu amigo colocou dentro de uma
caixinha 3 bolas coloridas, duas azuis e uma branca, e apostou com João: Se
você tirar uma bola dessa caixa sem ver, e se ela for azul, você ganha o jogo.
Que fração representa a chance de João ganhar o jogo? (MERLINI, 2005).
Você já deve ter visto anúncios como esses: ( Nesta aula os alunos deverão trazer
panfletos de lojas com descontos ou tirar fotografias das vitrines estampadas com
promoções )
O que você entende por promoção?
A) E por desconto?
B) Quais símbolos estão presentes em todos os cartazes?
C) Você sabe o que este símbolo significa?
Vamos entender essa notação?
42- Na figura “a” você deve contar os quadradinho e pintar a metade. Na figura “b”
você vai representar a parte pintada da figura “a” dividindo-a em partes iguais,
com apenas com um traço. Depois escrever as frações que representa cada
figura relacionada com o todo:
a)
Figura “a” Figura “b”
O que você observou? Registre e leia cada fração:
b) Conte o número de quadradinho da figura “c” e pinte apenas 25
quadradinhos.
Na figura “d” você vai representar a parte pintada da figura “c” dividindo-a em
partes iguais, com apenas dois traços. Depois escrever as frações que
representa cada figura relacionada com o “todo”:
a) Escreva a fração que representa cada figura e leia.
b) Você observou que os inteiros foram todos divididos por 100 partes
iguais?
Toda vez que dividimos o inteiro por 100 estamos trabalhando com o
símbolo % que aparecem em todas as propagandas de descontos, que
observamos.
O símbolo % significa porcentagem.
A porcentagem de algo significa quantas partes nós estamos considerando, depois de dividir o nosso objeto de estudo em 100 partes iguais.
Na figura “a” e “b”, 50% indica 50 partes das 100 partes total de quadrinhos.
A porcentagem pode ser representada como 50% ou pelas frações ou ,
ou seja: 50 % também pode ser escrito na forma de fração e vice-versa.
Na figura “c” e “d”, 25% indica 25 partes das 100 partes total de quadrinhos.
A porcentagem pode ser representada como 25% ou pelas frações ou
Ou seja, 25% também pode ser escrita na forma de fração.
43- Observe a figura abaixo e responda:
a)Que fração representa os caqui verdes?
b)Se todos os caquis estivessem maduros, qual é a fração
que pode representar todos os caqui maduros?
c) Represente a porcentagem dos caquis verdes.
Os caquis, quando ainda estão
verdades, possuem a cor amarela!
Figura 7 – caqui 1
Fonte: ARAUJO, 2013
d) Observe a imagem e responda:
a) Que fração representa os caquis verdes?
b) Represente na forma de porcentagem a quantia de :
___________caquis verdes
___________ maduros.
c) Podemos dizer que ______% ( porcentagem) dos caquis estão maduros.
d) Podemos dizer que _______% (porcentagem) dos caquis estão verdes.
Neste caso, a ideia é de comparação entre duas
grandezas, podendo estas ser intensivas ou
extensivas (medida de quantidade de mesma natureza, parte todo). Como
exemplo, cita-se o cálculo da probabilidade de um evento, que é obtido através da
razão entre o número de casos prováveis e o número de casos possíveis desse
evento ocorrer. Assim, a chance de ocorrer de tal evento varia entre 0 e 1, sendo
este número, na maioria dos casos, uma fração. Da mesma forma que o estudo
de probabilidades, podemos relacionar a este significado a porcentagem. Na
maioria dos valores que trabalhamos são fracionários.
Relembrando o que aprendemos...
O símbolo % significa porcentagem.
A porcentagem de um valor ou quantidade, significa quantas partes estamos
considerando, depois de dividir o nosso objeto de estudo em 100 partes
iguais.
Figura 8 – Caqui 2
Fonte: ARAUJO, 2013
Por exemplo: 20% indica 20 partes das 100 partes do “TODO”, ou seja, do
INTEIRO.
A porcentagem pode ser representada como 20% ou na forma de fração
Para calcular a porcentagem, basta multiplicar o valor do produto, da
quantidade, pelo índice da porcentagem.
Por exemplo:
30% de R$ 500,00 é calculado por x 500,00, que resulta em R$ 150,00.
Esta é a ideia da construção.
Na atividade 1 da Acão 7, As misturas tem a mesma cor nos dois dias. Pode
ser representada por meio da razão e/ou da fração (isto é, 3/3 = 1 e 2/2 = 1)
Segunda feira terça-feira
Na oportunidade o professor poderá apresentar outras proporções como:
¼ polpa, ¾ de água ( Nunes, 2005)
Na Atividade 2 da Ação 7, será trabalhado probabilidade, também relacionado
com fração.
Na oportunidade o professor poderá apresentar e exercitar outras possibilidades
como:
Jogar moedas
Adivinhar números pares de 0 a 10.
Uma relação: o valor do todo não influencia a quantidade intensiva – Uma
quantidade intensiva ( a probabilidade de retirar uma bolinha branca é ¼ ).
(Nunes 2005)
Na atividade 3 da Ação 7, o professor poderá solicitar para que o aluno traga
panfletos de lojas com descontos, ou ainda tirar fotografias das vitrines
estampadas com promoções .
Trabalhar a leitura das porcentagens nos panfletos.
Questionar o que eles entendem por promoção, desconto. O que significa o
símbolo % .
Além de apresentar a fração na forma de porcentagem, trabalhar o inverso,
porcentagem na forma de fração.
44- Na escola de Pedro foi feita uma rifa e foram impressos 150 bilhetes. A mãe de
Pedro comprou 20 bilhetes. Qual a chance da mãe de Pedro ganhar o prêmio?
(MERLINI, 2005)
45- Observe os baralhos abaixo?
a) Se tomarmos o baralho vermelho, qual a chance de tirarmos uma carta
branca?
b) Se tomarmos o baralho azul, qual a chance de tirarmos uma carta branca?
c) Em qual dos dois baralhos existe maior chance de tirarmos uma carta
branca? (MERLINI, 2005)
46- Uma farmacêutica mistura groselha num remédio de tosse. Para melhorar o
gosto do remédio que é muito amargo ela usa uma colher do remédio e 4 de
groselha. Que fração da mistura foi feita com groselha? (MAGINA e CAMPOS,
2005)
47- Escreva em forma de frações as seguintes porcentagens: (GIOVANNI e
GIOVANNI JR, 2002)
a) 55% b) 95% c) 48% d) 100%
48- (Cesgranrio-RJ) A firma onde Paula trabalha dará vale quinzenal de de seu
salário-base como prêmio pelo aumento de trabalho no mês de julho. Se o
salário de Paula é R$ 750,00, quanto ela receberá de vale nesse mês?
49- A geleia de morango contida na embalagem abaixo tem 28% de açúcar.
(ANDRINI e VASCONCELLOS 2012)
a) O que significa a expressão 28% de açúcar?
b) Qual é o peso do açúcar contido nessa
embalagem de geleia?
50- Escreva cada fração na forma de porcentagem.
a) b) c)
e) f)
51- Descreva o que você considerou mais importante nesta parte das atividades ou
o que você ainda não conhecia sobre frações e que aprendeu com as
atividades que realizou.
ATIVIDADE 5
Objetivo: Identificar que uma fração é a representação de uma divisão
Ação 10:
52- Carlos e Pedro são dois irmãos e irão participar de festas diferentes. Pediram
para sua mãe fazer três bolos e decidiram dividi-los igualmente entre os dois.
A) Desenhe Carlos e Pedro e os bolos que a mãe deles fez.
B) Vocês notaram que são dois meninos e três bolos. Qual o total de bolo
que cada filho levará para a festa?
Como poderemos ajudar os irmãos a dividirem os bolos para que cada
um leve a mesma quantidade para a festa?
Podemos fazer uma operação? Qual?
C) Represente esta divisão de bolos na forma de fração.
D) Agora efetue a operação e responda representando a quantidade que
cada irmão levará para a festa.
53- Um bolo foi dividido igualmente para 3 crianças, e 2 bolos de mesmo tamanho
foram divididos igualmente para 6 crianças. (MERLINI, 2005)
Observe as imagens, pense e responda:
a) ) As 9 crianças comerão a mesma quantidade de bolo?
Sim ( ) Não ( )
b) Que fração representa a divisão do bolo na figura 1?
c) Que fração representa a divisão do bolo na figura 2?
d) As crianças comerão a mesma quantidade de bolo? Faça a operação e
responda.
O significado quociente é empregado quando, em
uma determinada situação, a divisão é o recurso empregado para a solução do
problema, ou seja, quando a situação , com “a diferente de 0” , é utilizado para
escrever a : b . Este aspecto do conceito de fração é pouco explorado pelos
materiais didáticos. Importante observar que nas situações desenvolvidas, a
fração indica uma divisão e seu resultado. Nas situações de quociente, temos
duas variáveis, sendo que uma variável corresponde ao numerador e a outra ao
denominador.
Relembrando o que aprendemos...
Uma fração também pode ser interpretada como uma divisão, e o traço
da fração pode ser interpretado como ÷ .
A palavra fração significa uma parte.
Esta é a ideia final da construção.
1-Carlos e Pedro são dois irmãos e irão participar de
festas diferentes. Pediram para sua mãe fazer três bolos
e decidiram dividi-los igualmente entre os dois.
E) Desenhe Carlos e Pedro e os bolos que a mãe
deles fez.
Figura 9 - Irmãos
Fonte:ARAUJO, 2013
F) Vocês notaram que são dois meninos e três bolos. Qual o total de bolo
que cada filho levará para a festa?
Como poderemos ajudar os irmãos dividir esses bolos para que cada um
leve a mesma quantidade para a festa?
Podemos fazer uma operação? Qual? Divisão
G) Represente esta divisão de bolos na forma de fração.
H) Agora efetue a operação e responda representando a quantidade que cada
irmão levará para a festa.
É Importante chamar o aluno a observar que nas situações desenvolvidas, a
fração indica uma divisão e seu resultado. Nas situações de quociente, temos
duas variáveis ( o número de crianças e o número de bolos), sendo que uma
variável corresponde ao numerador e a outra ao denominador.
Figura 10 – Irmãos 2
Fonte: ARAUJO, 2013
54- As meninas dividem uma torta e os meninos também dividem uma torta igual a
das meninas. (Magina e Campos, 2005)
a) Cada menina vai comer o mesmo tanto que cada menino? Por que?
c) Que fração as meninas vão comer? E os meninos?
d) Qual a maior fração?
55- Tenho 10 bolinhas de gude e vou dividir igualmente para 5 crianças.
a) Quantas bolinhas cada criança ganhará?
b) Que fração representa esta divisão?
(MERLINI, 2005)
56- Foram divididas igualmente 3 barras de chocolate para 4 crianças. Que fração
de chocolate cada criança receberá? (TEIXIERA, 2008)
57- Ana comprou um sofá no valor de R$ 2.400,00 e pagou em 5 prestações iguais.
Escreva a fração que representa o valor de cada prestação.
58- Descreva o que você considerou mais importante nesta parte das atividades ou
o que você ainda não conhecia sobre frações e que aprendeu com as
atividades que realizou.
Link das atividades do Software Jclic
https://dl.dropboxusercontent.com/u/43336033/jclic/index.htm
OBS: Se não abrir o jogo, clique no “ícone” do Fiferox do lado esquerdo da “URL” ,
depois na seta – “continuar bloqueado” e escolha “desativar proteção”. Quando
aparecer o Java, clicar em “eu aceito...”> executar.
Referências :
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática. 3. ed.
renovada São Paulo: Editora do Brasil, 2012. 288 p. (6). Coleção Renovada. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. 5ª. Série. São Paulo: FTD, 2000.
BONJORNO, Regina Azenha; BONJORNO, José Roberto. Pode contar comigo: Matemática. 4ª. Série. São Paulo: FTD, 1994. CAVALCANTE, Luiz G.; SOSSO, Juliana; VIEIRA, Fábio; POLI, Ednéia. Para saber Matemática. 5ª. Série. 2. Ed. São Paulo: Saraiva, 2006. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy. Matemática Pensar e Descobrir: o + novo. 5ª. Série. São Paulo: FTD, 2002.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. 5ª. Série.São Paulo: Atual, 2005. IMENES, Luiz Márcio Pereira; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática. 5ª. Série. São Paulo: Scipione, 1993. MERLINI, Vera Lúcia. O conceito de frações em seus diferentes significados: um estudo diagnóstico com alunos de 5ª e 6ª série do ensino fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005. MAGINA, Sandra; CAMPOS, Tânia. A FRAÇÃO NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO DAS SÉRIES INICIAIS DA ESCOLARIZAÇÃO BRASILEIRA. PUC - SP. Disponível em:
<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/artigo_magina_e_campos_fracao.pdf>. Acesso em: 24 set. 2013. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: Idéias e desafios. 5ª. Série. São Paulo: Saraiva, 2005. TEIXEIRA, Alexis Martins. O professor, o ensino de fração e o livro didático: um estudo investigativo. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.
OBRAS CONSULTADAS: BEZERRA, Francisco Brabo; MAGINA, Sandra; SPINILLO, Alina. Como desenvolver a compreensão da criança sobre fração?: Uma experiência de
ensino. ESTUDOS RBEP. Disponível em: http://rbep.inep.gov.br/index.php/RBEP/article/viewFile/1362/1246 . Acesso em: 20 set. 2013. GUIMARÃES, Gilda Lisbôa; CAVALCANTI, Érica Michelle Silva. Diferentes Significados de Fração: Analise de Livros Didáticos das Series Iniciais.
Disponível em: http://www.ufpe.br/ce/images/Graduacao_pedagogia/pdf/2007.2/diferentes%20significados%20de%20frao.pdf . Acesso em: 22 set. 2013.
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