Eulerova krunica i Eulerov pravac trokuta

Krunica devet toaka, isto tako zvana Eulerova krunica ili Feuerbachova krunica je krunica koja prolazi kroz noita visina trokuta. Euler je pokazao 1765. da prolazi i kroz polovita stranica trokuta, a prema Feuerbachovom teoremu, krunica s devet toaka isto prolazi kroz polovita spojnica vrhova i ortocentra trokuta. Te toke, kojih ima devet, se obino nazivaju Eulorove toke.Teorem 3. Neka su u trokutu ABC toke A', B', C' polovita stranica, toke A'h, B'h, C'h polovita duina , , , gdje je H ortocentar, a toke Ah, Bh, Ch noita visina. Svih devet toaka A', B', C', A'h, B'h, C'h, Ah, Bh, Ch lee na istoj krunici.

Slika 3. Prikaz Eulerove krunice trokuta koja prolazi kroz devet karakteristinih toakaDokaz: etverokut A'B'A'hB'h je pravokutnik, poto je srednjica trokuta ABH, a srednjica trokuta ABC. Kako je srednjica trokuta AHC, to je || CH, pa je A'hB' AB i stoga A'hB' A'hB'h. Dakle, B'A'hB'h je pravi. Pravokutniku A'B'A'hB'h moemo opisat krunicu i njegove su dijagonale i jednake duljine i meusobno se raspolavljaju. Oznaimo njihovo sjecite sa S. S je tada sredite krunice koja prolazi tokama A', A'h, B', B'h, C', C'h. Kako je kut C'hChC' pravi po Talesovom teoremu onda Ch takoer lei na promatranoj krunici. Na isti nain pokae se da toke Bh i Ah lee na istoj krunici. Dakle, toke A', B', C', A'h, B'h, C'h, Ah, Bh, Ch lee na istoj krunici.

Definicija 2.Neka je ABC trokut. Pravac koji prolazi sreditem opisane krunice trokutu ABC, ortocentrom i teitem trokuta zove se Eulerov pravac.Teorem 4. Sredite S opisane krunice, teite T i ortocentar H trokuta lee na jednom pravcu i pri tome je |TO| = 2|ST|.Dokaz: Promatrajmo pravac ST. Na tom pravcu postoji toka H tako da je T i |TH| = 2|ST|. Odmah se vidi da su trokuti SA'T i HAT homotetini sa sreditem homotetije u T i koeficijentom homotetije k=1/2. Na temelju te injenice slijedi da je AH||SA'. Budui da je SA' BC, to je i AH BC, a to znai da na pravcu AH lei visina trokuta ABC. Na slian nain, iz homotetinosti trokuta SB'T i HBT, odnosno trokuta SC'T i HCT, proizlazi da na pravcu BH lei visina , a na pravcu CH visina . Prema tome, zajednika toka H pravaca AH, BH i CH je ortocentar trokuta ABC.

Slika 4. Prikaz Eulerovog pravca koji prolazi kroz sredite opisane krunice, ortocentar i teite trokutaOva dva teorema su od iznimne vanosti jer predstavljaju temelj na kojem se zasniva povezanost ortocentrikog tetraedra i trokuta. U sljedeem poglavlju emo prikazati analogije ovih teorema.