OSNOVI RAOSNOVI RAČUNARSKE ČUNARSKE TEHNIKE 1TEHNIKE 1

ELEKTRONSKE OSNOVE RAČUNARA

4

Aksiome i teoreme Bulove algebreAksiome i teoreme Bulove algebre Osnova za rad digitalnih kola su logičke

operacije nad iskazima koji mogu da imaju samo dve istinitosne vrednosti:TAČAN (TRUE)NETAČAN (FALSE)

Da bi skup S = {x, y, z,….}, gde x, y, z,…(0, 1) i operandi definisani na ovom skupu: + logičko sabiranje ( ILI ) • logičko množenje ( I ) ’ negacija ( NE )

predstavljali Bulovu algebru moraju da budu zadovoljene teoreme Hantingtona

BINARNI OPERANDIBINARNI OPERANDI

UNARNI OPERANDUNARNI OPERAND

Aksiome i teoreme Bulove algebreAksiome i teoreme Bulove algebre

Osnovne aksiome:A-1:Binarne operacije + i • su komutativne na skupu S i uzajamno su distributivne:

x + y = y + x x • y = y • xx • ( y + z ) = x • y + x • z x + ( y • z ) = (x + y)•( x+ z) A-2:Za binarne operacije + i • postoje neutralni elementi 1 i 0, tako da za svako x iz skupa S važi: x + 0 = 0 + x = x x • 1 = 1 • x = xA-3:Za svako x iz skupa S postoji jedinstven inverzan element x, tako da važi:

x + x = 1 x • x = 0

Aksiome i teoreme Bulove algebreAksiome i teoreme Bulove algebre Osnovne teoreme:T-1: Teorema idempotentnosti:

x + x = x x • x = xT-2: Teorema o nultim elementima:

x + 1 = 1 x • 0 = 0T-3: Teorema o involuciji:

x = xT-4: Teorema o apsorpciji:

x + x • y = x x • (x + y) = xT-5: Teorema o asocijativnosti:

x + (y + z) = (x + y) + zT-6: De-Morganove teoreme:

x • y = x + y x + y = x • y

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije

NEGACIJA (NOT)

1

10

0

Z=XX X XZ =

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije

I - OPERACIJA (AND)

X Y X Y

1 11

10 0

0

0

1 0

0 0

X

YX Y Z =Z =

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije

ILI - OPERACIJA (OR)

X Y X + Y

0 0

0

0

1 1

1

1

0

1

1

1

X

YX + Y Z =Z =

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije

EKSKLUZIVNA ILI – OPERACIJA

(EX-OR)

X Y X Y

0 0

0

0

1 1

1

1

0

0

1

1

Y

XX Y Z = Z =

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije

NI - OPERACIJA (NAND)

X Y X Y

1 01

10 1

1

1

1 0

0 0

X

YX Y Z =Z =

X

Y

X YZ =

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije

NILI - OPERACIJA (NOR)

X Y X + Y

0 0

0

0

1 1

1

1

1

0

0

0

X

YX + Y Z =Z =

X

Y

Z = X Y+

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije

EKSKLUZIVNA NILI - OPERACIJA (EX-NOR)

X Y X Y

0 0

0

0

1 1

1

1

0

0

1

1

X

YX Y Z = Z =

X

Y

X YZ =

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije Realizacija NE, ILI i I operacija samo

pomoću NI logičkih kola

X

X

1

YX Y

X 1

1 X Y 1

X1

X 1

Y1

Y 1

X 1 Y 1

X=

= X Y

= X Y+

X

X

1

YX Y

X 1

1 X Y 1

X1

X 1

Y1

Y 1

X 1 Y 1

X=

= X Y

= X Y+

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije Realizacija NE, ILI i I operacija samo

pomoću NILI logičkih kola

X

X

0

YX Y

X 0

0 X Y 0

X0

X 0

Y0

Y 0

X 0 Y 0

+

++ +

+

+

+ + +

= X Y

= X Y

+

X=X

X

0

YX Y

X 0

0 X Y 0

X0

X 0

Y0

Y 0

X 0 Y 0

+

++ +

+

+

+ + +

= X Y

= X Y

+

X=

Osnovne logiOsnovne logičke operaciječke operacije

Kada je potrebna primena logičkih operacija nad više ulaza, to se rešava:

Upotrebom višeulaznih logičkih kolaPovezivanjem više dvoulaznih kola

Osnovne logiOsnovne logičke operacije nad čke operacije nad binarnim ciframabinarnim ciframa

Tabela istinitosti za troulazno ILI - kolo

X Y Zi

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

F = X + Y + Z

0

1

1

1

1

1

1

1

XY

X Y+

ZXYZ

X Y Z+ +X Z+ +Y

Osnovne logiOsnovne logičke operacije nad čke operacije nad binarnim ciframabinarnim ciframa

Tabela istinitosti za četvoroulazno I - kolo

X Y Z Wi

0

1

2

3

4

14

15

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

0

0

0

0

0

0

1

WZYXF

XY

X Y

ZW

Z W

X Y Z W

XYZW

X Y Z W

Logičke funkcijeLogičke funkcije

Logičke funkcije mogu da se predstave:ŠEMATSKI

Pomoću logičkih kolaTABELARNO

Pomoću tabela istinitostiANALITIČKI

Pomoću osnovnih logičkih operacija

Logičke funkcijeLogičke funkcijeAnalitičko predstavljanje

DISJUNKTIVNA FORMA (DF) je logička suma logičkih proizvodaLogička suma potpunih logičkih

proizvoda je disjunktivna normalna forma (DNF)

KONJUKTIVNA FORMA (KF) je logički proizvod logičkih sumaLogički proizvod potpunih logičkih suma

je konjuktivna normalna forma (KNF)

Logičke funkcijeLogičke funkcije

Funkcija dve promenljive F(X, Y)Proizvodi i sume ulaznih promenljivih

X Yi F = 1

0

1

0 0

0 1

P0 = X Y

2 1 0

3 1 1

P1 = X Y

P2 = X Y

P3 = X Y

F = 0

S0 = X Y

S1 = X Y

S2 = X Y

S3 = X Y

Logičke funkcijeLogičke funkcijeFunkcija tri promenljive

F(X, Y, Z)Proizvodi i

sume ulaznih promenljivih

X Y Zi

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

F = 1

P0 = X Y Z

P1 = X Y Z

P2 = X Y Z

P3 = X Y Z

P4 = X Y Z

P5= X Y Z

P6 = X Y Z

P7 = X Y Z

F = 0

S0 = X Y Z

S1 = X Y Z

S2 = X Y Z

S3 = X Y Z

S4 = X Y Z

S5= X Y Z

S6 = X Y Z

S7 = X Y Z

Logičke funkcijeLogičke funkcije

Funkcija četiri promenljive

F(X, Y, Z, W)Proizvodi i

sume ulaznih promenljivih

X Y Z Wi F = 1

0

1

2

3

4

14

15

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

P0 = X Y Z W

P1 = X Y Z W

P2 = X Y Z W

P3 = X Y Z W

P4 = X Y Z W

P14 = X Y Z W

P15 = X Y Z W

F = 0

S0 = X Y Z W

S1 = X Y Z W

S2 = X Y Z W

S3 = X Y Z W

S4 = X Y Z W

S14 = X Y Z W

S15 = X Y Z W