Introduccin

El principio del pndulo fue descubierto por Galileo, quien estableci que el periodo de la oscilacin de un pndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia mxima que se aleja el pndulo de la posicin de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del pndulo s depende de ella). Galileo indic las posibles aplicaciones de este fenmeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del pndulo depende de la gravedad, su periodo vara con la localizacin geogrfica, puesto que la gravedad es ms o menos intensa segn la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un pndulo dado ser mayor en una montaa que a nivel del mar. Por eso, un pndulo permite determinar con precisin la aceleracin local de la gravedad.

En el pndulo ms sencillo, el llamado pndulo simple, puede considerarse que toda la masa del dispositivo est concentrada en un punto del objeto oscilante, y dicho punto slo se mueve en un plano. El movimiento del pndulo de un reloj se aproxima bastante al de un pndulo simple. En este informe nos ha tocado estudiar y demostrar que el periodo de un pndulo simple solo depende de la longitud de la cuerda de masa despreciable mas no de su amplitud ni de la masa del objeto que dibuja el arco del pndulo con su trayectoria para ello haremos uso de nuestroconocimientoy experiencia obtenidos en las clases pasadas tales como el uso de mnimos cuadrados, anlisis degrficas, error porcentual, entre otros. Los objetivos del mismo son: Estudiar el movimiento del pndulo en funcin :1. la longitud del pndulo2. la masa de oscilacin3. el ngulo de oscilacin obtener el valor de la aceleracin de gravedad en forma experimental.

MARCO TEORICO

Pndulo: Llamamos pndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo.Pndulo simple: Se denomina as a todo cuerpo de masa m (de pequeas dimensiones) suspendido por medio de un hilo inextensible y sin peso, siendo la longitud de la cuerda mucho ms grande que el radio de la esfera. Estas dos ltimas condiciones no son reales sino ideales.Cuando dicho pndulo se encuentra en reposo la cuerda esta en forma vertical; pero si al ser desplazado de dicha posicin de equilibrio en forma lateral, l se mover en un plano en torno a tal posicin con un movimiento llamado oscilatorio.Movimiento oscilatorio: Es un movimiento de vaivn! Una masa suspendida del extremo de una cuerda (un pndulo simple), cuando la masa se desplaza de su posicin de reposo y se la suelta se producen las oscilaciones, las oscilaciones dadas pueden definirse como simples o completas. Oscilacin simple: es la trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco AB). Oscilacin completa o doble oscilacin: es la trayectoria realizada desde una posicin extrema hasta volver a ella, pasando por la otra extrema (arco ABA). Angulo de amplitud o amplitud (alfa) es el ngulo formado por la posicin de reposo (equilibrio) y una de las posiciones extremas.Considerando que el pndulo oscila libremente (sin roce), se puede demostrar que su movimiento es un movimiento armnico simple, siempre y cuando la amplitud de su oscilacin sea pequea. Movimiento armnico simple tambin denominado movimiento vibratorio armnico simple (m.v.a.s.), es un movimiento peridico, y vibratorio en ausencia de friccin, producido por la accin de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posicin. La caracterstica fundamental de este movimiento es que la aceleracin en cada punto de la trayectoria es proporcional al desplazamiento angular () correspondiente a dicho punto. Lo anterior puede ser demostrado considerando las fuerzas que actan sobre la masa (m).Como puede observarse en la figura 1, Las fuerzas que actan sobre la partcula de masa m son dos el peso mg La tensin T del hiloLa atraccin gravitatoria; conocida comnmente como peso, y de valor p = mg, que siempre est orientada verticalmente en la direccin del eje y.La tensin del hilo; que aqu se indicar como T cuyo valor cuando el pndulo se encuentra en posicin vertical es exactamente igual al del peso. Al descomponer la fuerza peso en sus dos componentes (ver figura 2), una en la direccin de la cuerda y la otra en la direccin de la tangente al arco de circunferencia descrito por la esfera, se logra comprender que la causa de movimiento en estudio, es una furza restauradora f dirigida hacia la posicin del equilibrio.En la figura tenemos:T - mg = m.ar (1)f = -g.Donde: Ar = aceleracin centrpetaYa que, f es diferente de 0, se tiene, f = m.at donde at= aceleracin tangencial-mg.= m.at (2)

Considerando que en el movimiento circular la aceleracin tangencial est dada por: at= R (3)donde R es el radio de la trayectoria circular descrita por el cuerpo y la aceleracin angular. Para el caso dl pndulo simple R = reemplazando en la ecuacin (2) M = -m.g.

= (4) Cuando se tienen desplazamientos angulares pequeos en la posicin de equilibrio ( medido en radianes)

= (5)

Esta es la ecuacin que rige el movimiento del pndulo simple y nos dice que el movimiento de dicho pndulo es armnico simple. La solucin a la ecuacin (5) es de la forma: = 0.cos (Wt) (6)Al introducir la solucin (6) y su segunda derivada en la ecuacin (5) se obtiene que la frecuencia angular de oscilacin del pndulo est dada por W= como, W= Entonces, el periodo de oscilacin del pndulo es: T = Como se pude observa el perodo de oscilacin del pndulo simple no slo es independiente de las condiciones iniciales (amplitud), sino adems es independiente de la masa. Depende slo de la longitud del pndulo y la aceleracin d gravedad del lugar.

A continuacin estudiaremos una serie de procesos que ocurren durante la oscilacin de los pndulos y que permiten enunciar las leyes del pndulo.Longitud del pndulo (l) es la distancia entre el punto de suspensin y el centro de gravedad del pndulo.Tiempo de oscilacin simple (t) es el tiempo que emplea el pndulo en efectuar una oscilacin simple.Elongacin (e). Distancia entre la posicin de reposo OR y cualquier otra posicin. Mxima elongacin: distancia entre la posicin de reposo y la posicin extrema o de mxima amplitud. Frecuencia (f). Es el nmero de oscilaciones en cada unidad de tiempo. f=nmero de oscilaciones/tiempo

Leyes del pndulo:a) Ley de las masas:Los tiempos de oscilacin de varios pndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su naturaleza, o tambin El tiempo de oscilacin de un pndulo es independiente de su masa y de su naturaleza.b) Ley del Iscrono:Para pequeos ngulos de amplitud, los tiempos de oscilacin de dos pndulos de igual longitud son independientes de las amplitudes, o tambin: El tiempo de oscilacin de un pndulo es independiente de la amplitud (o sea, las oscilaciones de pequea amplitud son iscronas)

c) Ley de las longitudes:Los tiempos de oscilacin (T) de dos pndulos de distinta longitud (en el mismo lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las races cuadradas de sus longitudes.

o sea: a menor longitud menor tiempo de oscilacin y a mayor longitud mayor tiempo de oscilacin.T1 y T2: tiempos de oscilacin; l1 y l2 : longitudes.

d) Ley de las aceleraciones de las gravedades:

Los tiempos de oscilacin de un mismo pndulo en distintos lugares de la Tierra son inversamente proporcionales a las races cuadradas de las aceleraciones de la gravedad.Al estudiar el fenmeno de la oscilacin dejamos aclarado que la accin gravitatoria tiende a hacer parar el pndulo, pues esa es la posicin ms cercana a la Tierra. Significa esto, en principio, que la aceleracin de la gravedad ejerce una accin primordial que evidentemente debe modificar el tiempo de oscilacin del pndulo.

Si tenemos presente que la aceleracin de la gravedad vara con la latitud del lugar, resultar que los tiempos de oscilacin han de sufrir variaciones segn el lugar de la Tierra.Frmula del tiempo de oscilacin del pndulo simple:

Donde:t: tiempo de oscilacin; l: longitud de pndulo; g: aceleracin de la gravedad.El pndulo y sus aplicaciones:Las aplicaciones del pndulo son variadas. Las ms importantes son:a) Determinacin de la aceleracin de la gravedad.Sabemos que:

Elevando al cuadrado miembro a miembro es:

y despejando g, es:

En esta igualdad es: numero pi (constante=3.1415), y l: medible fcilmente, T: se determina con un buen cronmetro.Por lo que esta ltima expresin nos permite calcular con relativa facilidad la aceleracin de la gravedad en un lugar determinado.Esto constituye la aplicacin cientfica de mayor importancia del pndulo. Para estas determinaciones se emplean pndulos reversibles, es decir, pndulos que pueden oscilar primero alrededor de un eje y despus alrededor de otro. Colocado de tal modo que en cada una de esas posiciones el pndulo posea la misma longitud, y por lo tanto las oscilaciones son iscronas (igual tiempo de oscilacin).

As se logran valores de gran precisin. Se debe tener en cuenta en estas determinaciones la temperatura, amplitud de las oscilaciones y las influencias del rozamiento del aire y del soporte del pndulo.El mtodo de medicin de g, con el pndulo, lo imagin y expres Huygens, y fue aplicado por el fsico matemtico Borda.b) Determinacin del movimiento de rotacin de la Tierra.Si disponemos de un pndulo suspendido de un alambre como indica la figura, y procedemos a sacarlo de su posicin de equilibrio, observaremos que el plano de oscilacin del pndulo no vara al girar el alambre sostn.Por tanto: El plano de oscilacin de un pndulo se mantiene invariable al modificarse la posicin del plano sostn.Foucault, haciendo uso de esa propiedad, pudo demostrar la existencia del movimiento de rotacin de la Tierra. Emple un pndulo que constaba de una esfera de cobre de 25 kilogramos provista de un fiel y suspendida de la cpula del Panten (Pars) por medio de un alambre de acero de 79 m de largo.En el suelo dispuso una capa de arena hmeda en la cual el fiel de la esfera pendular marcaba los trazos de sus oscilaciones.As se pudo ver que, a medida que transcurra el tiempo, esas marcas se iban modificando. Como el plano de oscilacin es constante, significaba ello que lo variable era el plano del soporte, es decir, el Panten o, lo que es igual, la Tierra. En realidad, este experimento puede realizarse en una sala ordinaria con pndulo ms corto.J. BI. Foucault: Fsico francs, nacido y muerto en Pars (1819-68). Entre sus trabajos recordamos la invencin del giroscopio, con el que puede determinarse la direccin del meridiano del lugar sin necesidad de la observacin astronc5mica, el mtodo para calcular la velocidad de la luz en el aire y en el agua, as como la demostracin del movimiento de rotacin de la Tierra valindose del pndulo.

c) Medicin del tiempo Huygens fue quien ide un mecanismo para poder medir el tiempo. Sabemos que, para determinada longitud, el pndulo cumple una oscilacin simple en un segundo. Por tanto, dando a un pndulo esa longitud, nos indicar, para cada oscilacin, un tiempo igual a un segundo.En otras palabras, si construimos un pndulo que efecte en un da solar medio 86.400 oscilaciones, cada una de stas nos indica un segundo. Un pndulo que rena estas condiciones, aplicado a un mecanismo motor (cuerda o pesas, que harn mover el pndulo) y a un sistema destinado a contar las oscilaciones, o sea, los segundos, constituye un reloj de pndulo.(figura izquierda)En los relojes porttiles (de bolsillo, despertadores, etc.) el pndulo est reemplazado por el volante (rueda) que produce el movimiento oscilatorio del pndulo.

Materiales y Equipo:

Balanza : graduada en gramos con una apreciacin de 0,1 g Escala Semicircular Cuerpos de Diferentes masas Hilo inextensible Cronmetro: Dicho cronometro era digital cuya apreciacin es de 0,001 seg. Cinta mtrica: su apreciacin es de 1 mm.

Muestra de Clculos

1. Datos para la grfica de T vs L

T = (1) (2)

TIEMPO PROMEDIO PERODO

En la tabla 1 Perodo en funcin de la Longitud se calcula el promedio delos tiempos que tardo el pndulo en dar 10 oscilaciones con la formula (1)

Para L = 20

T = 10,74 s

Una vez calculado el tiempo promedio se calcula el perodo con la formula (2)

= = 1,074 seg

Para L = 25

T = = 11,62 s

= = 1,162 seg

Para L = 30

T = = 12,52 s

= = 1,252 seg

Este procedimiento se repiti para calcular los perodos restantes de la tabla 1. Y tambin para calcular el tiempo promedio (T) y el perodo () de las tablas 2 y 3

Clculos de la pendiente (m); De la funcin potencial de la forma T2 Vs L, ajustando recta con el uso de mnimos cuadrados

nLiTiLg YiLg Xi(Lg Xi)2(LgX1.LgYi) Yi(lgYi-b-m.LgXi)2

1201,070,031,301,690,040,04

2251,160,061,401,960,080,02

3301,250,101,482,190,143,84x10-4

4351,320,121,542,370,181,95x10-3

5371,360,131,562,430,204,73x10-3

6321,270,101,512,280,155,29x10-6

7341,340,121,532,340,181,36x10-3

8401,400,141,602,560,220,01

9271,180,071,432,040,107,41x10-3

10391,390,141,592,520,220,01

31912,741,0414,9422,381,510,10

Clculos de (lgYi-b-m.lgXi)2 Clculo de b=

b = (22,38).(1,04) (14,94)(1,51) 10(22,38) (14,94)2 b= 23,28 22,56 223,8 223,2b= 1,2Para n=1 (lgYi-b-m.lgXi)2 = 0,03 1,2 (-0,73)(1,30) 2 = 0,04Para n=2(lgYi-b-m.lgXi)2 = 0,06 1,2+ (0,73)(1,40) 2 = 0,02Para n=3(lgYi-b-m.lgXi)2 = 0,10 1,2+ (0,73)(1,54) 2 = 3,84x10-4Nota: de la misma forma se encontr lgYi-b-m.lgXi)2 para n=4,5,6,7,8,9 y 10Clculos de la pendiente (m)De la funcin potencial de la forma T2 Vs L, ajustando recta con el uso de mnimos cuadradosCambio de variable:

m= n.(lgx.lgy) - lgx.lgy n.(lgx)2 - (lgx)2 m= 10(1,51) - (14,94)(1,04) 10(22,38) - (14,94)2 m= -0.73para calcular la gravedad m= 42/gg= 42/m g= 4/-0,73 g= -54,08m/s2

Clculo del error m y bm= )

m= 10 . 0.10 10(22,38) (14,94)2 10

m= 0,41

para b= (lgx)2 ______ . (lgYi-b-m.lgXi)2 n. (lgx)2 - ( lgx)2 n

b = 22,38 . 0,10 10(22,38) (14,94)2 10

b= 0,61

Tablas de Resultados

Tabla 1. Perodo en funcin a la longitud

Longitud cmt1 (s)t2 (s)t3 (s)T (s) (s)

12010,7610,7810,6810,741,074

22511,5711,5411,6611,621,162

33012,3612,5712,6312,521,252

43513,1513,1313,2013,161,316

52711,8511,8211,8711,841,184

63713,5313,6213,6013,581,358

73212,6912,7712,7112,721,272

83413,3913,3313,3613,361,336

93913,9414,0014,0213,981,398

104013,9614,0314,01141,4

Tabla 2. Periodo en funcin del ngulo

Angulo t1 (s)t2 (s)t3 (s)T (s) (s)

11011,9811,9311,9511,951,195

21512,0412,0612,1012,021,202

32012,1112,0812,1012,101,210

42512,0112,0012,2912,081,208

53012,3112,3512,2412,301,230

63512,5512,6512,5012,571,257

74012,7212,6812,7012,701,270

84512,4812,4012,6212,501,250

95012,7612,6612,7412,721,272

105513,0413,0712,9713,031,303

Tabla 3. Perodo en funcin de la masa de oscilacin

Masa gt1 (s)t2 (s)t3 (s)T (s) (s)

115412,4912,6012,6312,571,257

2178,5512,6512,7312,6712,681,268

3178,6312,5312,4612,5812,521,252

4178,6012,6712,5212,6112,431,243

5178,5012,5212,6212,6212,591,259

6178,4412,4812,5012,6212,541,254

7178,5912,4612,4812,5012,481,248

8203,1812,8012,4612,9012,721,272

9203,0112,4812,6112,6012,561,256

10203,0312,5212,6612,8012,661,266

En la muestra de clculo se presenta una tabla donde se encuentran los datos obtenidos sacando mnimos cuadrados para obtener la pendiente de la recta m= n.(lgx.lgy) - lgx.lgy n.(lgx)2 - (lgx)2 para luego despajar el valor de la gravedad.

Bibliografa

Serway, Raymon A. Fsica. Tomo I. 4ta. Edicin Mc Graw Hill. Mxico 1997.M. Alonso y E. Finn, Fsica, Mxico, Addison-Wesley Iberoamericana 1995.

ANEXOS

FIGURA 1.

FIGURA 2.

Repblica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la EducacinUniversidad de OrienteBarcelona- Edo. Anzotegui

Pndulo Simple

Profesor: Bachilleres:

Aleidys Tineo Oryanis Rojas C.I.:24868681 Jormary Guarema C.I.:24828460 Monica Campos C.I.: 25058521 Oved Mario C.I.: 25012697 Miguel Quintero C.I.: 24240668

fecha: viernes, 11-04-14