opti parte 1

INDICE

I.- Introducción

II.- Toma de decisiones

III.- Conceptos y técnicas de probabilidades.

IV.- Programación lineal

V.- Método Simplex

VI.- Análisis de sensibilidad

VII.- Modelos de transporte

VIII.- Programación entera

1

I INTRODUCCIÓN.-

Nace a partir de la segunda guerra mundial, en las operaciones militares cuando estos querían dar en un blanco.

También se da en la industria, en las fábricas, etc.

Productos Disponibilidad por semanaA B

Acabados 1h 2h 40Pintura 0.5h 1h 30P. V. Unitario S/. 10 S/.15Costo unitario S/. 6 S/. 7 MinimizarUtilidad S/.4 S/.8 Maximizar

Producción: Utilidad (U = Ingresos - Costos)

Estudio de mercado (demanda clientes)

TOMA DE DECISIONES.-

Las decisiones son complejas e importantes (operaciones del cerebro). También decisiones simples(ir en combi o ir a pie). Todos los días tomamos decisiones.

Organizac. / Sociedad / Negocios

S. S. I. S. S. D.

Entradas Salidas

- +Incertidumbre

(escasa información)

Probabilidades

Llueva Ganar Éxito un en

partido negocios

Certidumbre(información total)

Tipos de decisiones:1. Decisiones bajo certeza : Se cuenta con toda la información necesaria. Ejm:

Mañana viajo a Lima.De lunes a jueves tengo que ir a clases

2. Decisiones bajo incertidumbre : La información es escasa. Ejm:

2

Información

Probablemente ha de llover hoy día.

3. Decisiones estáticas : Decisiones que se toman una y sólo una vez. Ejm:Comprar o no comprar.

4. Decisiones dinámicas : Se toma una secuencia de decisiones interrelacionadas. Ejm:Producción

+Estudio

de mercado -

No estudio de mercado

Compro Promoción

No compro

Compro No promoción

No compro

5. Decisiones donde el oponente es la naturaleza :El estado del tiempoEl estado de la economía.

Elementos:a. Toma de decisiones: Individual.

Empresarial.Grupal.

b. Acciones.c. Estado de la naturaleza. (Economía, tecnología, política).d. Resultados.

AccionesEstados de la naturaleza

e1 e2

A1

A2

R11 r12

R21 r22

¿Por qué la toma de decisiones es compleja? Lo único estable es el cambio. El futuro no es lo que solía ser. Ambientes local, regional, nacional, mundial hasta familiar están sujetos a cambios.

Ej.: Cambios tecnológicos. Cambios económicos.

3

resultados

Cambios políticos. Cambios de mercado.

Los Sistemas de Información y la toma de decisiones:

Ej.:Alternativa “A” S/. 10 (beneficio)Alternativa “B” S/. 20 (beneficio)

La alternativa B es la mejor decisión.

Ej.:Alternativa “A” S/. 50Alternativa “B” entre S/. 49 y S/. 51

Es subjetivo

Ej.:Un profesional en Sistemas de Información recibe dos ofertas de trabajo:

Empresa A Empresa B Sueldo $1000 Sueldo $400

¿Qué decisión toma?El centro de trabajo es: Selva peruana Cajamarca en un campamento en medio del calor y los mosquitos

Además ofrecen un puesto de trabajo en: Desarrollo de S. I. Control de calidad

Ej.:Un vendedor de periódicos: Felipe, vende en el centro de Cajamarca y cada día debe determinar cuántos periódicos pedir.

Felipe compra a 20 centavos y lo vende a 25. Felipe sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 periódicos.

Hacer la matriz de pagos.

Solución:o Estados de la naturaleza.

S = {6, 7, 8, 9, 10} posibles valores de la demanda.o Felipe debe escoger una acción: “n periódicos que debe pedir cada día”.

A = {6, 7, 8, 9, 10}

Acciones Demanda

4

G = PV - PC

6 7 8 9 106 30 30 30 30 307 -10 35 35 35 358 -10 15 40 40 409 -30 -5 20 45 4510 -50 -25 0 25 50

G = PV - PC

G1 = 25x6 – 20x6 = 30 G2 = 30 = G3 = G4 = G5 G6 = 25x6 – 20x7 = 10 G7 = 25x7 – 20x7 = 35 = G8 = G9 = G10

G11 = 25x6 – 20x8 = -10 G12 = 25x7 – 20x8 = 15G13 = 25x8 – 20x8 = 40 = G14 = G15

G16 = 25x6 – 20x9 = -30 G17 = 25x7 – 20x9 = -5G18 = 25x8 – 20x9 = 20 G19 = 25x9 – 20x9 = 45 = G20

G21 = 25x6 – 20x10 = -50 G22 = 25x7 – 20x10 = -25G23 = 25x8 – 20x10 = 0 G24 = 25x9 – 20x10 = 25G25 = 25x10 – 20x10 = 50

Ej.: Aprovisionamiento de truzas de tenis:Usted es el propietario de artículos de tenis y debe decidir cuántas truzas para

hombre debe pedir para la estación de verano. Para un tipo particular de truzas, debe pedir lotes de 100. Si pide 100 truzas su costo es de S/. 10 por unidad. Si pide 200, su costo es de S/. 9 por unidad. Su precio de venta es de S/.12 por unidad, pero si algunas quedan sin vender al final del verano, éstas se deben vender a mitad de precio. Por sencillez Ud. cree que la demanda de la truza es de 100, 150 o 200. Es claro que Ud. no puede vender más de lo que almacena. Sin embargo si se queda corto hay una pérdida de buen nombre de S/. 0.5 por cada truza que una persona desee comprar, pero que no pueda hacerlo por no tenerla en el almacén. Además, Ud. debe colocar el pedido ahora, por que la estación de verano venidera, no puede esperar a observar como varía la demanda de esta truza antes de pedir, ni se puede colocar varios pedidos. Construir la matriz de pago*Si se pide 300 o más su costo es de S/. 8.50 por unidad.

Solución Costos

Precio de venta = PV = S/. 12 por unidad.

Si alguno no se vende entonces se remata a mitad de precio. Si se queda corto (no satisface demanda) entonces pérdida = S/.0.50 por unidad.

Costo AccionesDemanda

100 150 20010 a1: pedir 100 200 175 150

5

Lotes de 100 S/. 10 por unidad

Lotes de 200 S/. 9 por unidad

Lotes de 300 S/. 8.5 por unidad

Decidir cuántas truzas pedir

9 a2: pedir 200 0 300 600

8.5 a3: pedir 300 -150 150 450

G = PV – PC

G1 = 100(12) – 100(10) = 200G2 = 150(12) – 100(10) – 0.5(50) = 175G3 = 200(12) – 100(10) – 0.5(100) = 200G4 = 100(12) – 200(9) + 100(6) = 0G5 = 150(12) – 200(9) + 50(6) = 300G6 = 200(12) – 200(9) = 600G7 = 100(12) – 300(8.5) + 200(6) = -150G8 = 150(12) – 300(8.5) + 150(6) = 150G9 = 200(12) – 300(8.5) + 100(6) = 600

Mejor acción / θ1 = acción a1: “Pedir lotes de 100”Mejor acción / θ2 = acción a2: “Pedir lotes de 200”Mejor acción / θ3 = acción a3: “Pedir lotes de 200”

Final: podría elegir las acciones a2 o a1

Criterios no probabilísticos de Elección

1. Optimista (Maxi Max)Puede suceder lo mejor

2. Pesimista (Maxi Min)Puede suceder lo peor

3. EclépticoNi lo mejor ni lo peor(promedio de los mejores resultados y los peores resultados)

4. La placePromedio general

Solución: G = PV – PC

Costo Acciones Demanda Optimista MaxiMax

Pesimista MaxiMin

Ecléptico Prom. (>y<)

La place Prom. Gral100 110 120

0.05 100 5 4.5 4 5 4 4.5 4.5110 5.2 5.5 5 5.5 5 5.25 5.23120 5.4 5.7 6 6 5.4 5.7 5.7

6

Toma de decisiones usando probabilidades

1. Valor esperado

V. E. = Σ x.p(x) V. E.= E (x)

AccionesDemanda

V. E. σ2σ

C. V.(0.7) (0.2) (0.1)100 110 120

a1 100 5 4.5 4 4.8 0.11 0.33 7a2 110 5.2 5.5 5 5.24 0.02 0.14 3a3 120 5.4 5.7 6 5.52 0.04 0.2 4

a1: V. E. = 5x0.7 + 4.5x0.2 + 4x0.1 = 4.8a1: V. E. = 5.2x0.7 + 5.5x0.2 + 5x0.1 = 5.24a1: V. E. = 5.4x0.7 + 5.7x0.2 + 6x0.1 = 5.52

La mejor opción es a3: producir 120 panes por día.

2. Varianza:

σ2 = E(x2) – [E(x)]2

a1: E(x2) = (5)2x0.7 + (4.5)2x0.2 + (4)2x0.1 = 4.8a1: E(x2) = (5.2)2x0.7 + (5.5)2x0.2 + (5)2x0.1 = 5.24a1: E(x2) = (5.4)2x0.7 + (5.7)2x0.2 + (6)2x0.1 = 5.52

La mejor opción es a2 (< variabilidad)

3. Coeficiente de Variación (mejor criterio)

C. V. = x 100


4. Desviación Estándar


Árbol de decisiones

7

σ(x)

Herramienta gráfica para describir las acciones, los eventos y las relaciones entre estas.

En el ejemplo de la producción de pan:

Acciones Nodos Utilidad5

4.5

4

5.2

5.5

5

5.4

5.7

6

Ej.:Una empresa debe decidir acerca del tamaño de una nueva planta en Atlanta. En

este momento, la empresa solo tiene un potencial en ventas mínimo en los estados el sur, sin embargo, cuando la planta en Atlanta esté lista, se expenderá una campaña de promoción; en cierto modo, la gerencia no esta segura acerca del éxito que tendrá esta campaña. Se estima que hay 0.4 de oportunidad de que la empresa capte una participación significativa del mercado y de 0.6 de que sólo consiga una participación moderada.

Se necesitará de una planta grande si se consigue una participación significativa, y una planta pequeña sería suficiente para el caso moderado.

El costo de la planta grande es de $ 8 millones y el costo de la planta pequeña es de $5 millones. Si se consigue una participación significativa de mercado, el valor presente estimado de las utilidades resultantes (excluyendo el costo de la planta) es de $13 millones; si se logra una participación moderada, el valor presente de las utilidades resultantes (sin el costo de planta) es de $8 millones. La gerencia tiene otra alternativa: construir una planta pequeña, esperar el resultado de la campaña de promoción y luego ampliar la planta si la situación lo garantiza. Costaría $ 4.5 millones adicionales ampliar la planta pequeña hasta la capacidad de la grande.

a) Trazar un árbol de decisiones para este problema.b) Qué decisión debe tomar la empresa y cuál es el valor esperado.

Participación. moderada Utilidad5

8

2

0

3.5

3

3

* El supuesto es que sin expansión la compañía puede mantener sólo una participación moderada de mercado.

Análisis de Sensibilidad

Modificar las estimaciones de las probabilidades para los estados de la naturaleza afectan la decisión recomendada.Ej.:

θ 1 – θÉxito Fracaso

a1 8 7a2 14 5a3 20 -9

V. E. (a1) = 8(θ) + 7(1 - θ) = 7 + θV. E. (a2) = 14(θ) + 5(1 - θ) = 5 + 9θV. E. (a3) = 20(θ) – 9(1 - θ) = -9 + 29θ VE(a)

a1 a2 a3

0.25 0.7

θ

θ = 0 V. E. (a1) = 7θ = 1 V. E. (a1) = 8θ = 0 V. E. (a2) = 5θ = 1 V. E. (a2) = 14

9

25

20

15

10

5

0

-5

-10

-15

3.5

3.2

3.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

θ = 0 V. E. (a3) = -9θ = 1 V. E. (a3) = 20

Si θ = 0.25 V. E. (a1) = 7.25V. E. (a2) = 7.25V. E. (a3) = -1.75

Entonces a1 o a2

Si θ = 0.7 V. E. (a1) = 7.7V. E. (a2) = 11.3V. E. (a3) = 11.3

Entonces a2 o a3

Se forman 3 áreas.

Ej.:

a) Si θ = 0.2 a1

b) Si θ = 0.6 a2

c) Si θ = 0.9 a3

Ej.:El gerente de Márketing de una empresa debe decidir si introduce un nuevo

producto. Ocurre que la probabilidad que exista competencia es 0.8 y que no exista competencia 0.2. Si existe o no competencia el gerente puede fijar precios altos, medios o bajos.

Las probabilidades de la competencia de fijar precios altos, medios o bajos dado que el gerente de la empresa fija precios altos es 0.3, 0.5, 0.2.

La competencia fija precios altos, medios o bajos con las siguientes probabilidades 0.1, 0.6, 0.3; si el gerente fija precios medios.

La competencia también fija precios altos, medios o bajos con probabilidad 0.1, 0.2 y 0.7 si el gerente fija precios bajos.

a) Construir el árbol de decisiones.

Decisión Acción

b) Con los datos de utilidades, determinar la mejor decisión.

Utilidades

10

$ 0

La mejor decisión es introducir el producto ya que el valor esperado neto es de $156 > $0

Valor esperado de la información perfecta:

V.E.I.P. = Ganancia esperada con - Ganancia esperada sin información perfecta información perfecta

Ej: tabla de ganancias

Resultados

Acciones Fracaso0.4

Éxito 0.4

Gran Éxito0.2

Ganancia esperada

a1: baja -2 5 8 2.8a2: moderada -5 10 12 4.4

a3: alta -8 8 15 2.2

Ganancia esperadacon información perfecta = (-2)(.04) + (10)(0.4) + (15)(0.2) = $6.2

11

5

70

-50

0.3 $ 1500.5 $ 00.2 $ -200

0.1 $ 2500.6 $ 1000.3 $ -50

0.1 $ 1000.2 $ 500.7 $ -100

70

500

156

156

$ 500

$ 300

$ 100

mejor ganancia

V.E.I.P. = 6.2 – 4.4 = $1.8

Con información perfecta AUMENTA la GANACIA ESPERADA de $4.4 a $6.2

ANÁLISIS DE DECISIÓN CON INFORMACIÓN MUESTRAL

Es posible tener la información adicional sobre los estados de la naturaleza a fin de actualizar probabilidades (revisión bayesiana)

REVISIÓN BAYESIANA

Ej.:

Demandaθ1 0,8 θ2 0,2

Acciones Alta aceptación Baja aceptaciónComplejo pequeño 8 7Complejo medio 14 5Complejo grande 20 -9

Estudio de mercadoResultados condicionalesFavorable (F) Desfavorable(D)

1: alta aceptación P(F/ θ1) = 0.90 P(D/ θ1) = 0.10 12: baja aceptación P(F/ θ2) = 0.25 P(D/ θ2) = 0.75 1

I1 = FI2 = DS1 = θ1

S2 = θ2

Árbol de decisiones con investigación de mercado preliminar

12

ProbabilidadesPrevias

Información nueva(Investigac. mercado)

Probabilidades posteriores

7.93

18.1 13.4

8

7

14

5

20

-9

Teorema de Bayes

1) F = 1 F + 2 FP(F) = P(1 F) + P(2 F)

P(F) = P(1) x P(F/1) + P(2) x P(F/2) Prob. Total

P(F) = 0.8 x 0.9 + 0.2 x 0.25P(F) = 0.77

2) BayesP(1/F) =

P(1/F) =

Calculamos las probabilidades posteriores

1. P(1/F) = = 0.935

2. P(2/F) = 0.065

3. P(1/D) = = .

= = 0.348

13

18.1

7.35

8.13 8.13

1.09

15.8

8

7

14

5

20

-9

1 2

P(1 F)P(F)

P(1) x P(F/1)P(F)

(0.8) x (0.9)0.77

P(1 D)P(D)

P(1) x P(D/1)P(D)

(0.8) x (0.10)0.23

4. P(2/D) = 0.652

Valor esperado de la estrategia S/. 15.82

Si I. M. favorable complejo grandeSi I. M. desfavorable complejo medio

PROGRAMACIÓN LINEAL

Es un procedimiento de resolución de problemas desarrollado para ayudar a los Administradores a tomar decisiones.

Aplicaciones1. Un fabricante desea desarrollar un programa de producción y una política de

inventarios que satisfágala demanda.

2. Un analista financiero de inversiones desea seleccionar la mejor cartera de inversiones a partir de una diversidad de alternativas.

3. Un especialista de mercadotecnia desea determinar la mejor manera de asignar un presupuesto de publicidad, entre medios alternos de publicidad, radio, TV, periódico y revistas.

Función: F(z) = c1x1 + c2x2 . . . + cnxn

Objetivo a11x1 + a12 x2 + . . . + a1nxn b1

a21x1 + a22 x2 + . . . + a2nxn b2

Recursos disponibles(Condicionamientos)

am1x1 + am2 x2 + . . . + amnxn bm

Ej.:Una compañía produce 2 productos químicos :

1. Aditivo para combustible.

14

RECURSOS OptimizarProducción, ventas, ingresos(MAXIMIZAR)

Gastos(MINIMIZAR)

.

.

.

2. Base disolvente.

Para formar ambos productos se mezclan 3 materias primas, según la siguiente tabla:

ProductosDisponibilidad para producción (Ton.)

Aditivo para combustible

Base disolvente

Materia Prima 1 2/5 1/2 20Materia Prima 2 0 1/5 5Materia Prima 3 3/5 3/10 21Utilidad unitaria S/.40 S/.30

¿Cuántas toneladas deberá producir la compañía para maximizar su utilidad?

Solución

1° Variables de decisión

x1: N° de toneladas de aditivos a producir.

x2: N° de toneladas de base disolvente a producir.

2° Función objetivo

Max Z = 40x1 + 30x2

3° Restricciones

2/5 x1 + 1/2x2 20 (mp1) 1/5x2 5 (mp2)3/5 x1 + 3/10x2 21 (mp3) x1, x2 0

4° Método gráfico

2/5 x1 + 1/2x2 = 20x1 = 0 x2 =40x2 = 0 x1 =50

1/5x2 = 5x2 =25

3/5 x1 + 3/10x2 21 (mp3)x1 = 0 x2 =70x2 = 0 x1 =35

15

70

60

50

40

30

20

10

Punto Vértice ZA (0,0) 0B (0,25) 7.5C (20,25) 15.5D (25,20) 16E (35,0) 17

Ej.:Una compañía fabrica 2 tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un

soldado se vende a S/.27 y se usan S/. 10 de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en S/. 14. Un tren se vende en S/. 21 y se usan S/. 9 de materia prima.

Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en S/. 10. La producción de soldados y trenes de madera necesitan 2 tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado.

Un soldado requiere 2 horas de acabado y 1 hora de carpintería. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 de carpintería. Cada semana se dispone de 100 horas de acabado y 80 horas de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límite, pero se vende a lo más 40 soldados semanales.

La compañía quiere maximizar su ganancia semanal (Ingresos - Costos) Formule un modelo matemático y luego haga la solución gráfica.

Solución

1. Variables de decisión:

x1 : N° de soldados producidos cada semana.

x2 : N° de trenes producidos cada semana.

2. Función Objetivo:3.

16

10 20 30 40 50 60 70 80

A

B C

D

E

Maximizar “Ganancia”G = Ingresos – Costos = (27x1 + 21x2) – Costo M. prima – Costos Mano obra y gastos grales. = (27x1 + 21x2) – (10x1 + 9x2) – (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2

Max Z = 3x1 + 2x2

4. Restricciones:

2x1 + 1x2 100 Restricción de acabado.1x1 + 1x2 80 Restricción de carpintería. x1 40 Restricción de demanda. x1, x2 0

2x1 + 1x2 = 100 1x1 + 1x2 = 80x1 = 0 x2 = 100 x1 = 0 x2 = 80x2 = 0 x1 = 50 x2 = 0 x1 = 80

a) Existen infinitas soluciones factibles

b) El punto P(60,20), ¿es solución factible?No, el punto está fuera de la región factible.

Puntos vértices ZA (0,0) 0B (0,80) 160C (20,60) 180D (40,20) 160E (40,0) 120

17

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

A

B

C

D

E

acabado

demanda

carpintería

REGIÓNFACTIBLE

CASOS ESPECIALES

1. Soluciones Óptimas alternativasEj.:

Max z = 40x1 + 50x2

2/5x1 + 1/2x2 201/5 5

3/5x1 + 3/10x2 21

x1, x2 0

En un problema de programación lineal con soluciones óptimas alternativas significa que existen varias combinaciones de soluciones óptimas y el administrador podrá elegir la solución óptima más adecuada.

2. No factibilidad

x1

x2

Ej.:Max z = 5x1 + 6x2

Solución alternativa: x1 + x2 1x1 + x2 4x1, x2 0

18

4

1

Puntos de solución óptima(Cualquier punto de la línea resulta una solución óptima)

x1 = 25x2 = 20z = 2000

10 20 30 40

40

30

20

10

1 4

3. Ilimitado

Ej.:Max z = 2x1 + x2

X1 2X2 5X1, X2 0

x1

x2

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Es el estudio de la forma en que los cambios en los coeficientes de un programa lineal afecta a la solución óptima.

Utilizando análisis de sensibilidad podemos responder preguntas como las siguientes:

1. z = c1x1 + c2x2 + . . .Si c1 en una unidad entonces z = ?

2. Restricciones c1x1 + c2x2 20Si 20 es una unidad entonces z = ?

Razón del análisis de sensibilidad

Entorno Cambiante

Precios Demanda Tecnología Proveedores

Ej.: Max z = 40x1 + 30x2

Solución alternativa:

19

5

2

REGIÓN FACTIBLE

(2/3)x1 + (1/2)x2 20 (mp1) (1/5)x2 5 (mp2)

(3/5)x1 + (3/10)x2 21 (mp3) x1, x2 0

Solución óptima: x1 = 25 x2 = 20 z = $1600

Forma Pendiente – Intersección

y = mx + bx2 = mx1 + b

z = 40x1 + 30x2

1600 = 40x1 + 30x2

x2 = - x1 +

20

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

70

60

50

40

30

20

10

25 mp2

mp3

mp1

P(25,20)

Región factible

Línea de Función objetivo

4030

160030

pendiente Intersección con el eje x2

(-) (+)

1) Si se hace girar la línea de la función objetivo contra las manecillas del reloj (incrementando la pendiente) nos da un límite superior para la pendiente de la línea de la función objetivo.

2) Si se hace girar la línea de la función objetivo en el sentido de las manecillas del reloj (reduciendo la pendiente) nos da un límite inferior para la pendiente de la línea de la función objetivo.

Límite inferior Pendiente de Z Límite Superior

. . . ()

Línea A(2/5)x1 + (1/2)x2 = 20

x2 = (-4/5)x1 + 40

Línea B(3/5)x1 + (3/10)x2 = 21

x2 = -2 x1 + 70

LíneaZ = c1x1 + c2x2

21

Pendiente Línea B Pendiente de Z Pendiente Línea B

pendiente

pendiente

Z – c1x1 = c2x2

x2 = - x1

reemplazando en ()

-2 - -

Ej.:Calcular el rango de optimalidad para c1, manteniendo constante c2 = 30

-2 - -

- -2 2 c1 60

- - c1 24

24 c1 60

Ej.:Calcular el rango de optimalidad para c2, manteniendo constante c2 = 40

-2 - -

c2 20

c2 50

20 c1 50

CAMBIOS SIMULTÁNEOS:

Ej.:Suponga que la contribución a la utilidad / tonelada de x1 se incrementa a $55 y

que de manera simultánea a la contribución a la utilidad / tonelada de x2 se reduce a $25 qué sucede con x1, x2 y Z original (con los valores anteriores x1 = 25, x2 = 20, Z = 1600)

Max Z = 40x1 + 30x) (inicial)

22

Zc2

c1

c2

c1

c2

45

c1

3045

c1

30c1

30

c1

3045

40c2

45

50 25

-2 - -

-2 - - 0.8

- = = -2.2

Este valor –2.2 está fuera del intervalo óptimo x1 = 25; x2 = 20 ya no será solución óptima.

LADOS DERECHOS DE LAS DESIGUALDADES:

Veamos ahora como un cambio en el valor del lado derecho de una restricción puede afectar la región factible y quizás causar un cambio en la solución óptima del problema.

Ej.:Max Z = 40x1 + 30x2 Max Z = 40x1 + 30x2

S.A.: x1 + x2 20 S.A.: x1 + x2 20

x2 5 x2 5

x1 + x2 21 x1 + x2 24

23

Intervalo óptimo

-2,2 -2 -1 -0.8 0

c1

c2

4 5

c1

c2

c1

c2

5525

25

12

15

35

310

25

12

15

35

310

Veamos lo que ocurre si se

consiguen tres toneladas

adicionales de la materia prima 3

80

x2

Solución óptima:

Nueva solución óptima: x1 = 100 / 3x2 = 40 / 3

La utilidad adicional aparece a una tasa de

= $ 44.44 / ton. de mp3

La mejoría en el valer de Z por incremento unitario del lado derecho de la restricción se conoce como PRECIO DUAL (precio sombra).En otras palabras:Si 1 Ton al lado derecho m.p.3 Z mejorará en $ 44.44Si 1 Ton al lado derecho m.p.3 Z empeorará en $ 44.44

En general se puede utilizar:

El valor del PRECIO DUAL puede aplicarse sólo para pequeños cambios del lado derecho.

Conforme se vayan obteniendo más y más recursos, y se vaya incrementando el valor del lado derecho, otras restricciones se convertirán en recursos limitantes y restringirán el valor de Z.NOTA:

PRECIO DUAL = PRECIO SOMBRA (En maximización)

24

X1 = 25; x2 = 20; Z = 1600

Z = $ 1733.33

133.333

El PRECIO DUAL para determinar lo que le ocurrirá a Z para un cambio unitario en el lado derecho de una restricción

Cada restricción tiene su precio dual

Región factible adicionalRegión factible

original

35 40 50

40

25

x1

PRECIO DUAL = - PRECIO SOMBRA (En minimización)

MÉTODO SIMPLEXMax Z = 3x1 + 4x2

x1 + 2x2 1000 3x1 + 2x2 1800

x2 400x1, x2 0

Forma estándarMax Z = 3x1 + 4x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

x1 + 2x2 + S1 = 1000 3x1 + 2x2 + S2 = 1800

x2 + S3 = 400

S1, S2, S3 variables de Holgura (Tiempo ocioso, demanda insatisfecha, recursos no utilizados)

cj 3 4 0 0 0cj xk b x1 x2 S1 S2 S3 000

S1

S2

S3

10001800400

130

221

100

010

001

1000/2 = 5001800/2 = 900400/1 = 400 (sale)

Zj Z = 0 0 0 0 0 0Cj - Zj 3 4 0 0 0

004

S1

S2

X2

2001000400

130

001

100

010

-2-21

200/1 = 200(sale)1000/3 = 333.33400/0 = indeterm.

Zj Z=1600 0 4 0 0 4Cj - Zj 3 0 0 0 -4

304

x1

S2

x2

200400400

100

001

1-30

010

-241

200/-2 = -100400/4 = 100(sale)400/1 = 400

Zj Z = 2200 3 4 3 0 -2Cj - Zj 0 0 -3 0 2

304

x1

x5

x2

400100300

100

001

-½-¾¾

½¼-¼

010

Zj Z = 2400 3 4 3/2 ½ 0Cj - Zj 0 0 -3/2 -½ 0

Valor de la función objetivo: Z = 3(400) + 0(100) + 4(300)Z = 2400

Se puede observar que los Cj – Zj son ceros o negativos es decir se ha llegado a a la condición de optimidad y la función objetivo no se puede incrementar más.

La solución óptima es la siguiente:

25

x1 = 400; x5 = 100; x2 = 300; x3 = 0; x4 = 0 Z máx = 2400

MODELO DEL TRANSPORTE

Se aplica a algunos problemas de negocios.- Control y diseño de plantas de fabricación.- Determinación de lugares de venta.- Localización de centros de distribución y almacenaje.

METAMinimizar el costo total de envío de un producto (o productos) desde los puntos

de existencia hasta los puntos de demanda bajo las siguientes restricciones:1. Cada punto de demanda recibe su requerimiento.2. Loa embarques desde un punto de suministro (existencia) no exceden su

capacidad disponible.

Ejemplo:Considere la red de distribución de un producto con 2 puntos de suministro y 3 puntos de demanda

El numero de unidades disponibles del producto para envío desde los dos puntos de suministro es como sigue:

N° del punto de suministro

Capacidad disponible

1 102 15

25

26

Punto de suministro 1

Punto de suministro 2

Punto de demanda 1

Punto de demanda 1

Punto de demanda 1

$2 $4 $6 $3 $6 $9

Disponibilidad total (o suministro total)

El N° de unidades requeridas del producto en cada uno de los tres los puntos de demanda es como sigue:

N° del punto de demanda

Capacidad requerida

1 102 53 10

25

Observe que el total de disponibilidad es igual al total (suministro) demandado.Cuando esto ocurre se dice que el modelo de transporte está balanceado.El costo de enviar una unidad el producto desde un punto de suministro dado

hasta un punto de demanda dado, se da en la siguiente tabla:

Costo del envío ($ / unidad enviada)

N° del punto de suministro

N° del punto de demanda

1 2 31 2 4 62 3 6 9

Cuesta $2 enviar una unidad desde el punto de suministro 1 hasta el punto de demanda 1

Formulación del modeloxij = Cantidad enviada desde el punto i hacia el punto j

Ej.:x23 : N° de unidades enviadas desde el suministro 2 hacia el punto de demanda 3

Meta: minimizar costo total del envío

F. O.

Min Z = 2x11 + 4x12 + 6x13 + 3x21 + 6x22 + 9x23

Restricciones x11 + x12 + x13 10x21 + x22 + x23 15

27

Demanda total (o requerimientos totales)

x11 + x21 = 10x12 + x22 = 5x13 + x23 = 10

Xij 0 i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3

PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN

En una diversidad de situaciones de toma de decisiones se presenta un PROBLEMA DE ASIGNACIÓN.

Los problemas típicos de asignación implican asignar maquinaria, agentes a trabajos especiales, personal de ventas a territorios, contratos a licitantes y así sucesivamente.

Una característica que distingue a los problemas de ASIGNACIÓN es que un agente se asigna a una y solamente una tarea.

Específicamente buscamos el conjunto de ASIGNACIONES que optimizarán un objetivo dado como:

MINIMIZAR EL COSTOMINIMIZAR EL TIEMPOMAXIMIZAR UTILIDADESMAXIMIZAR VENTAS

Ej.:Una empresa ABC recibe solicitudes de estudio de investigación de mercados de

3 clientes.La empresa debe asignar un responsable para cada proyecto.Los 3 (tres) proyectos tienen aproximadamente la misma prioridad y la

administración desea asignar líderes de proyecto para minimizar el N° total de días necesarios para completar los tres proyectos.

Las alternativas, tiempos de terminación del proyecto para el problema de asignación de la empresa ABC son:

JefesClientes

1 2 31 Carlos 10 15 92 Pedro 9 18 53 Juan 6 14 3

La siguiente red muestra la representación en red del problema:

28

1 Carlos

2 Pedro

Cliente 1

Cliente 2

10159

9185

(1) Ofertas (1)Demandas

Asignaciones posibles(flechas)

El problema de asignación es un caso especial del problema del transporte.Como en el problema del transporte, utilizamos variables de decisión con doble

índice(xij)

Xij =

Objetivo: Minimizar tiempo de terminación de los 3 proyectos

Min Z = 10x11 + 15x12 + 9x13 + 9x21 + 18x22 + 5x23 + 6x31 + 14x32 + 9x33

Restricciones x11 + x12 + x13 1x21 + x22 + x23 1x31 + x32 + x33 1

x11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1

Xij 0 i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3

Solución óptimax12 = 1x23 = 1x31 = 1

Asignación de responsables a clientesResponsable Cliente Días

Carlos 2 15Pedro 3 5Juan 1 6

26 días

29

3 Juan Cliente 3

6143

1; si el responsable del proyecto se asigna al cliente0; en otro caso

opti parte 1

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