opšta relativnost i prvi kosmološki modelcosmology.aob.rs/prezentacije/2015-05-08.pdf ·...
TRANSCRIPT
Fridmanovi modeli, opservabilne veličine
08.05.2015. Kosmologija
2015
FRW metrika vs. Švarcšildova metrika
• Masa M u koordinatnom početku generiše Švarcšildovu metriku:
• što nije definisano za
i
• FRW metrika:
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) sin
1
drds c dt a t r d d
kr
2
2 2 2 2 2 2 2
2
2
21 sin
21
GM drds c dt r d d
GMc r
c r
0r 2
2g
GMr r
c
Kosmologija
2015
• Jedini nenulti članovi su dijagonalni:
• pošto je
• kontravarijantne komponente su:
• Koren iz negativne determinante metričkog tenzora je:
• Dalji postupak uključuje računanje Kristofelovih simbola...
2 2 2
33 sing a r 2
11 21
ag
kr
00 1g 2 2
22g a r
g g
00 1g 2
11
2
1 krg
a
22
2 2
1g
a r
33
2 2 2
1
sing
a r
,
,
3 2
2
sin
1
a rg
kr
Kosmologija
2015
• Opšta formula za Kristofelove simbole je:
• Svi simboli sa različitim indeksima su jednaki 0. Npr.:
• Među nenultim Kristofelovim simbolima imamo npr.:
• Itd. itd. Računanje Kristofelovih simbola „rukom“ je teško!
• Ajnštajn 1917. pokazuje da na kraju dobijamo dve netrivijalne jednačine:
1
2
g g gg
x x x
1 11 1131 232123 3 2 1
1 1(0 0 0) 0
2 2
g ggg g
x x x
2 21 11 1111 1 2 2 2
1 1 1
2 2 1 1
g kr a krg
x a r kr kr
2 21 2 3
1 2 32 2 2 2
8 8 82
a a kc G G GT T T
a a c c c
2 20
02 2
8
3
a kc GT
a c
Kosmologija
2015
Sledeći korak: komponente Tμν
• Podsetimo se:
• Ako zanemarimo sopstvena kretanja (= galaksije u homogenom stanju mirovanja u odnosu na celinu fluida = CMB referentni sistem), 4-brzina je jednostavno:
• Dakle, biće
• U aproksimaciji prašine, p = 0, pa se stvari dalje uprošćavaju. Ali pre toga...
2
pT u u pg
c
(1,0,0,0)u
1 2 3
1 2 3T T T p 0 2
0T c Kosmologija
2015
Ključni rezultat: Fridmanove jednačine • Ključne dinamičke jednačine za faktor skaliranja:
• k ima tri vrednosti: -1, 0, 1. Uz malo manipulacije dobija se:
• Odavde ima više puteva, u zavisnosti od jednačine stanja!
2 3 23 0d
c a pada
2 2
2 2
82
a a kc Gp
a a c
2 22
2 2
8 8
3 3
a kc G Gc
a c
Kosmologija
2015
Da ponovimo...
• Različite materijalne komponente i njihove različite jednačine stanja (karakteristične jednačine).
• U opštem slučaju, jednačina stanja je
• ...uz određeni broj parametara (npr. temperatura).
• U realnom svemiru imamo
• prašinu (P = 0)
• idealni gas (P )
• zračenje (P = 1/3 c2)
• vakuum (P = -c2)
P f
Kosmologija
2015
• U kasnijim epohama, u kojima svemirom dominira materija i pritisak je zanemariv, p = 0, dobijamo:
• Ovo nam pokazuje kako gustina materije opada sa širenjem svemira! (u fizičkoj zapremini, ne usputnoj zapremini)
• Međutim, za zračenje imamo jednačinu stanja
• za šta dobijamo:
3
2 3 2
0
0
3 0d a
c a pada a
21
3p c
4
0
0
a
a
Kosmologija
2015
Ovo se lako objašnjava crvenim pomakom
• Gustina zračenja opada sa 3 stepena faktora skaliranja zbog širenja prostora – i dodatni 1 stepen zbog kosmološkog crvenog pomaka.
• Ako se crveni pomak definiše standardno:
• onda važi
• što objašnjava zašto je crveni pomak baš crven – zato što se svemir širi!
obs lab
lab
z
0
1a t
za t
Kosmologija
2015
Vreme
za
pauzu! Kosmologija
2015
Epohe u istoriji svemira
• Epoha kvantne kosmologije (?)
• Kosmološka inflacija (10-36 – 10-32 s)
• Period dominacije zračenja (10-32 s – 400.000 god)
• Period dominacije materije (400.000 god – 10 109 god)
• Period dominacije vakuuma (10 109 god – danas... i još jako
dugo!)
Kosmologija
2015
U periodu dominacije zračenja...
• Odigrali su se i sledeći ključni procesi:
• bariogeneza
• nastanak tamne materije
• primordijalna nukleosinteza
• početak formiranja strukture
• Period dominacije zračenja okončan je razdvajanjem materije i zračenja (decoupling) tokom rekombinacije.
Kosmologija
2015
Hablov parameter
• I u periodu dominacije zračenja i u periodu dominacije materije, univerzum se širi usporeno.
• Stopa širenja:
• što je očigledno u opštem slučaju zavisno od vremena!
• U današnjoj epohi, ovo se najčešće naziva „Hablovom konstantom“ i piše kao
• Uprkos dugačkoj kontroverzi, današnja posmatranja konvergiraju ka vrednosti:
1 da a
H ta dt a
-1 -1
0 100 kms MpcH h
0,69 0,02h
Kosmologija
2015
Parametar usporenja
• Informacija sadržana u drugom izvodu faktora skaliranja izražava se kroz parametar usporenja q0:
• Kada je q0 pozitivno, širenje svemira se usporava, kada je q0
negativno, ono se ubrzava.
• Dugo vremena je najpopularnija vrednost bila q0 = 0,5 , mada se ispostavlja da je uistinu q0 < 0!
• Predmet tzv. neoklasičnih kosmoloških testova.
• Tejlorov razvoj crvenog pomaka:
0 2
0
a t a tq
a t
2 2
0 0 0 0 0
1( ) ( ) 1 ...
2z t t H t t q H
Kosmologija
2015
Ovako postaje jasno zašto se crveni pomak koristi kao časovnik!
Ali se isto tako koristi i za merenje udaljenosti:
• Npr. kažemo da se rekombinacija odigrala na t = 400.000 god
ILI na z = 1100.
2 2
3 30 00 02
11
2
H l H lz q O H l
c c Kosmologija
2015
Potrebna nam je i mera gustine svemira • Kritična gustina = gustina ravnog
svemira koji prestaje da se širi
• Numerički: 10-29 g cm-3.
• Može se lako izvesti u njutnovskoj slici!
• Ako imamo konstituent x , njegova kosmološka gustina (ili kosmološka frakcija gustine) je:
2
0crit
3
8
H
G
crit
xx
Kosmologija
2015
Kosmološka gustina
• Gustine raznih konstituenata su aditivne!
• U svemiru bez kosmološke konstante, kosmološka gustina bi bila determinanta budućnosti prostorvremena.
• Sa kosmološkom konstantom, situacija je malo kompleksnija...
• Određivanje za razne komponente svemira je ključni zadatak posmatračke kosmologije Kosmologija
2015
Kosmologija
2015