opsta fizika 1.pdf

8/20/2019 Opsta fizika 1.pdf

1/188

ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

КРАГУЈЕВАЦ

ВЛАДИМИР ПЕЈЧЕВ

ФИЗИКА ЗА СТУДЕНТЕ ХЕМИЈЕ И БИОЛОГИЈЕ

(Механика и молекуларна фиика)

КРАГУЈЕВАЦ, 1994.


2/188


3/188

Садржај

!а"р#а$.........................................................................................................................i

УВОД............................................................................................................................i1. Пре"ме% и &о"ела фиике ...................................................................................i

2. Фии'ке (ели'ине ..............................................................................................ii

2.1. О)но(не и и(е"ене фии'ке (ели'ине. Ме*унаро"ни )и)%ем $е"ини+а

(SI )и)%ем) ................................................................................................................iii

2.2. Димени$е и(е"ених фии'ких (ели'ина............................................... iv

2.3. !каларне и (ек%ор)ке фии'ке (ели'ине.................................................. v

I МЕ,АНИКА .......................................................................................................... 1

1. Кинема%ика ма%ери$алне %а'ке ......................................................................... 2

1.1. О)но(ни &о$мо(и......................................................................................... 2

1.2. -рина ма%ери$алне %а'ке........................................................................... 2

1.3. У.ра/е ма%ери$алне %а'ке........................................................................ 41.4. Вр)%е кинема%и'ких кре%а/а..................................................................... 5

1.5. Ра(номерно кре%а/е ма%ери$алне %а'ке ................................................... 6

1.6. Пра(олини$)ко ра(номерно у.рано кре%а/е ма%ери$алне %а'ке .......... 6

1.7. Кру#но кре%а/е ма%ери$алне %а'ке .......................................................... 8

2. Кинема%ика кру%о0 %ела .................................................................................. 11

2.1. У0аона .рина ............................................................................................ 12

2.2. У0аоно у.ра/е ......................................................................................... 13

2.3. Линеарни елемен%и кре%а/а %ела ко" ро%а+и$е ..................................... 14

3. Динамика ма%ери$алне %а'ке........................................................................... 15

3.1. О)но(ни &о$мо(и....................................................................................... 15

3.2. О)но(ни акони "инамике........................................................................ 17


4/188

ii

3.3. Гра(и%а+иона )ила и 0ра(и%а+ионо &о1е............................................... 20

3.4. !иле %ре/а ................................................................................................. 23

3.5. Гу)%ина и )&е+ифи'на %е#ина................................................................. 25

3.6. 2акон о"р#а/а им&ул)а ........................................................................... 263.7 Ра" )иле ....................................................................................................... 29

3.8. !на0а........................................................................................................... 30

3.9. Ра" 0ра(и%а+ионе )иле. Конер(а%и(не и неконер(а%и(не )иле.........30

3.10. Енер0и$а механи'ко0 кре%а/а................................................................ 32

3.11. !у"ари ...................................................................................................... 36

3.12. !иле ко" ра(номерно0 кру#но0 кре%а/а.............................................. 39

3.13. Динамика рела%и(но0 кре%а/а ма%ери$алне %а'ке .............................. 40

4. Динамика кру%о0 %ела ...................................................................................... 46

4.1. Цен%ар ма)е................................................................................................ 46

4.2. Динамика ро%а+ионо0 кре%а/а кру%о0 %ела око не&окре%не о)е ......... 48

5. !%а%ика .............................................................................................................. 57

5.1. У)ло(и рела%и(но0 миро(а/а кру%о0 %ела ............................................. 57

3.2. Полу0а ........................................................................................................ 57

6. Ела)%и'не "еформа+и$е '(р)%их %ела ............................................................ 59

6.1. Ела)%и'на "еформа+и$а и)%еа/а ()а.и$а/а)......................................... 60

6.2. Ела)%и'на "еформа+и$а )ми+а/а ............................................................ 61

7. Механика флуи"а ............................................................................................. 63

7.1. При%и)ак .................................................................................................... 64

7.2. Прено3е/е &ри%и)ка у %е'но)%има. Па)кало( акон............................ 64

7.3. Промена &ри%и)ка ко" %е'но)%и у а(и)но)%и о" "у.ине .................... 66

7.4. При%и)ак у 0а)о(има................................................................................. 68

7.5. А%мо)фера и а%мо)фер)ки &ри%и)ак....................................................... 69


5/188

7.6. !ила &о%и)ка.............................................................................................. 71

7.7. По(р3ин)ки на&он.................................................................................... 73

7.8. По$а(е на 0рани+и %е'но)%и и '(р)%о0 %ела............................................ 75

7.9. Ка&иларно)%............................................................................................... 76

7.10. Динамика и"еално0 флуи"а ................................................................... 78

7.11. Динамика (и)коно0 флуи"а .................................................................. 86

8. О)+ила%орно кре%а/е ...................................................................................... 89

8.1. Линеарно хармони$)ко о)+ило(а/е ........................................................ 91

8.2. Енер0и$а линеарно0 хармони$)ко0 о)+ило(а/а...................................... 92

8.3. При0у3ено хармони$)ко о)+ило(а/е ..................................................... 94

8.4. Прину"но хармони$)ко кре%а/е .............................................................. 96

9. Тала)но кре%а/е ............................................................................................... 98

9.1. Механи'ки %ала)и ..................................................................................... 98

9.2. Је"на'ина &ро0ре)и(но0 %ала)а ............................................................. 103

9.3. Ин%ерферен+и$а %ала)а ........................................................................... 105

9.4. О".и$а/е ( рефлек)и$а) и &релама/е ( рефрак+и$а) %ала)а .................. 107

9.5. Дифрак+и$а ()а(и$а/е) %ала)а................................................................ 111

9.6. 2(ук ........................................................................................................... 112

II МОЛЕКУЛАРНА ФИ2ИКА ............................................................................ 117

10. Тем&ера%ура и %о&ло%а ................................................................................ 117

10.1. Тем&ера%ура........................................................................................... 117

10.2. 4ире/е '(р)%их и %е'них %ела &ри а0ре(а/у.................................. 119

10.3. Коли'ина %о&ло%е ................................................................................. 121

10.4. Пр(и акон %ермо"инамике.................................................................. 123

10.5. Ра" 0а)а &ри &ромени /е0о(е а&ремине............................................ 125

11. Динамика и"еално0 0а)а .............................................................................. 127


6/188

iv

11.1. Га)ни акони .......................................................................................... 127

11.2. Је"на'ина )%а/а и"еално0 0а)а ............................................................ 130

11.3. Молекуларно-кине%и'ка %еори$а и"еалних 0а)о(а ............................ 132

11.4. Уну%ра3/а енер0и$а и )&е+ифи'на %о&ло%а и"еално0 0а)а ............. 13611.5 Мак)(ело(а ра)&о"ела молекула 0а)а &о .ринама ............................ 141

11.6. А"и$а.а%)ки &ро+е) и"еално0 0а)а ...................................................... 142

12. Промена а0ре0а%них )%а/а .......................................................................... 144

12.1. Ме*умолекуларне )иле......................................................................... 144

12.2. Прелаак и '(р)%о0 у %е'но а0ре0а%но )%а/е .................................... 146

12.3. Прелаак и %е'но0 у 0а)о(и%о а0ре0а%но )%а/е................................. 148

12.4. Ди$а0рам )%а/а ...................................................................................... 151

12.5. Реални 0а)о(и ........................................................................................ 151

13. Пре%(ара/е %о&ло%е у механи'ки ра"........................................................ 154

13.1. Механи'ки ра" ко" 0а)них &ро+е)а .................................................... 154

13.2. Термо"инами'ки +иклу) (кру#ни &ро+е))......................................... 156

13.3. Карноо( +иклу) ..................................................................................... 158

13.4. Дру0и акон %ермо"инамике ................................................................ 161

14. Прено3е/е %о&ло%е ..................................................................................... 165

14.1. Про(о*е/е %о&ло%е ............................................................................... 165

14.2. !%ру$а/е %о&ло%е .................................................................................. 167

ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................ 169

И!ПИТНА ПИТА5А............................................................................................ 171


7/188

УВОД

1. Предмет и подела физике

Наи( физика &о%и'е о" 0р'ке ре'и »фии)«, 3%о на'и природа. И)%ори$)ки

0ле"ано, у &о'е%ку ра(о$а нау'но0 на'ина ми31е/а, &ре"ме% иу'а(а/а фиике

.иле )у )(е &о$а(е у &риро"и. Дана), фиика $е $е"на у ниу &риро"них наука и .а(и

)е &роу'а(а/ем )%рук%уре ма%ери$е у +елини, а &о)е.но &роу'а(а &о$а(е, &ро+е)е и

)(о$)%(а не#и(е &риро"е. Поре" фиике, не#и(у &риро"у &роу'а(а$у и "ру0е науке

(хеми$а, а)%рономи$а, ме%еороло0и$а, 0еоло0и$а, и%".), ме*у%им, фиика )е .а(и &ро-

у'а(а/ем о)но(них акона ма%ери$ално0 )(е%а. Пре+ини$е, мо#емо ре6и "а )у &ре-

"ме% &роу'а(а/а фиике о)но(ни, на$о&3%и$и и на$$е"но)%а(ни$и о.ли+и кре%а/а

ма%ери$е.

По" &о$мом материја &о"рауме(а )е о.$ек%и(на реално)% ко$а на) окру#у$е, а

/ено &ри)у)%(о ни$е (еано а )(о$)%(а на3их 'ула. Дру0им ре'има, ма%ери$а $е )(е

оно 3%о &о)%о$и.

Кретање $е о)о.ина ма%ери$е &ри 'ему )у &о$мо(и ма%ери$е и кре%а/а уа$амно

&о(еани. 2а кре%а/е )е ка#е "а &ре")%а(1а о.лик &о)%о$а/а ма%ери$е, и "а )е "е-

3а(а у &ро)%ору и (ремену. Кре%а/е ма%ери$е у филооф)ком )ми)лу $е)%е )(ака

&ромена ма%ери$е, о"но)но )(аки &ро+е) ко$и )е "е3а(а у &риро"и.

Ма%ери$а )е манифе)%у$е у "(а о)но(на о.лика: супстанција и физичко поље.

!у&)%ан+и$а &ре")%а(1а )кон+ен%ри)ани о.лик ма%ери$е у о.лику %ела или /ихо-

(их "ели6а, рали'и%их хеми$)ких елемена%а, $е"и/е/а, а0ре0а%них )%а/а и )л. Фи-

и'ко &о1е $е)%е о.лик ма%ери$е &о(еан )а )(о$)%(има %ела ко$а %о &о1е иаи(а$у.

Тако, на &ример, ралику$емо 0ра(и%а+ионо &о1е, елек%ри'но &о1е, елек%рома0-

не%но &о1е, и%".

О.ли+и кре%а/а ма%ери$е мо0у .и%и (еома рали'и%и, &а )е фиика &рема о.-

ли+има ко$е &роу'а(а "ели на механику, молекуларну фиику, елек%рома0не%иам,

о&%ику, а%ом)ку и нуклеарну фиику, и%".


8/188

ФИЗИКА за студенте хемије

ii

2. Физичке величине

Фии'ке (ели'ине )у )(а она )(о$)%(а фии'ких %ела, &о$а(а и &ро+е)а ко$а )е

мо0у к(ан%и%а%и(но о"ре"и%и, о"но)но не&о)ре"но или &о)ре"но имери%и. Так(е

(ели'ине )у: "у#ина, ма)а, (реме, .рина, у.ра/е, )ила, 0у)%ина, %ем&ера%ура, $а-'ина елек%ри'не )%ру$е, и%".

Фии'ке (ели'ине наи(а$у )е хомогене ( једнородне) ако ира#а(а$у и)%о )(о$-

)%(о ма%ери$е, а ме*у)о.но )е ралику$у &о (ели'ини и мо0у )е у&оре*и(а%и. 2а

у&оре*и(а/е хомо0ених фии'ких (ели'ина %ре.а )(аку о" /их имери%и, о"но)но

о"ре"и%и колико )е &у%а у )(ако$ о" /их )а"р#и фии'ка (ели'ина ко$а $е у)(о$ена

као $е"ини+а ( јединична мера). Дакле, мере/е $е о&ера+и$а )(о*е/а $е"не фии'ке (ели'ине на /ену $е"ини+у. Реул%а% мере/а )а"р#и у(ек "(а &о"а%ка: мерни број

(бројну вредност) и јединицу.

2а мере/е фии'ких (ели'ина у)%ано(1ене )у о"0о(ара$у6е $е"ини+е фии'ких

(ели'ина, а а /ихо(о &ре+ино ре&ро"уко(а/е кори)%е )е стандарди (еталони).

По" )%ан"ар"ом (е%алоном) &о"рауме(а )е $е"ини'на мера или $е"ини'ни мерни

уре*а$ ко$и )лу#и а ре&ро"ук+и$у о"ре*ене $е"ини+е )а на$(е6ом мо0у6ом %а'но-36у.

Мере/е фии'ких (ели'ина мо#е .и%и непосредно (директно) или посредно

(индиректно). Ко" не&о)ре"но0 мере/а, фии'ке (ели'ине )е &омо6у мера или

мерних ин)%румена%а не&о)ре"но &оре"е )а о"0о(ара$у6ом $е"ини+ом. Ко" &о)ре"-

но0 мере/а ра"и о"ре*и(а/а "а%е фии'ке (ели'ине не&о)ре"но )е мере "ру0е фи-

и'ке (ели'ине о" ко$их &о)ма%рана фии'ка (ели'ина а(и)и. На &ример, &ри ме- ре/у .рине %ела &ри ра(номерном &ра(олини$)ком кре%а/у мора )е &ре%хо"но

"ирек%но имери%и "у#ина &ре*ено0 &у%а s и (реме t а ко$е $е он &ре(а1ен, &а )е

он"а на о)но(у рела+и$е а .рину ко" ра(номерно0 &ра(олини$)ко0 кре%а/а

sv

t = (i)

"о.и$а (ре"но)% .рине v .


9/188

УВОД

iii

У фии'ким &о$а(ама а(и)но)% име*у фии'ких (ели'ина "а%а $е &реко фи-

и'ких акона и мо#е )е ираи%и у о.лику ма%ема%и'ке формуле, 0рафи'ки и %а-

.еларно.

Де%а1ни$а рама%ра/а о мере/има у фии+и "а%а )у у у(о"у »Ла.ора%ори$)ких (е#.и - $е"но0о"и3/и кур) фиике« (у "а1ем %ек)%у ЛВ).

2.1. Основне и изведене физичке величине.

Међународни систем јединица (SI систем)

На о)но(у %о0а 3%о &о)%о$и уа$амна (еа име*у рали'и%их фии'ких (ели'и-

на, мо0у6е $е о"а.ра%и )амо &о$е"ине, %е &реко /их ираи%и )(е о)%але. Тако о"а-

.ране фии'ке (ели'ине, ко$е 'ине )ку& неа(и)них фии'ких (ели'ина, наи(а$у

)е основне физичке величине.

На &ример, )(е фии'ке (ели'ине у механи+и мо0у )е ираи%и &реко )амо %ри

о" /их. До0о(ором $е у)(о$ено "а %о .у"у дужина l , маса m и време t . Поре" "у-

#ине, ма)е и (ремена, о)но(не фии'ке (ели'ине )у: јачина електричне струје,

термодинамичка температура, јачина светлости и количина супстанције, (и"е%и

табелу I.

Помо6у о)но(них фии'ких (ели'ина мо0у )е и(е)%и, на о)но(у функ+ионал-

не а(и)но)%и име*у &о$е"иних фии'ких (ели'ина, и )(е о)%але фии'ке (ели-

'ине ко$е )е )%о0а наи(а$у изведене физичке величине.

!ку& )(их мерних $е"ини+а рали'и%их фии'ких (ели'ина (и о)но(них и и(е-

"ених) 'ини $е"ан )и)%ем $е"ини+а, на(ан међународни (SI ) систем јединица.

Та.ела I

Осн!на "изи#$а !е%и#ина Једини&а Озна$а

"у#ина ма)а (реме %ермо"инами'ка %ем&ера%ура $а'ина елек%ри'не )%ру$е $а'ина )(е%ло)%и коли'ина )у&)%ан+и$е

ме%ар кило0рам )екун"а кел(ин ам&ер кан"ела мол

mkgsKAcd

mol


10/188


iv

Ра"и &рикла"ни$е0 ира#а(а/а ин%ени%е%а фии'ких (ели'ина у(е"ене )у /и-

хо(е ма/е и (е6е $е"ини+е, ко$е )у "ело(и или мно#и%е1и е%алонираних $е"ини+а

&о "е+ималном )и)%ему. У табели II "а%и )у &рефик)и и онаке "е+ималних "ело-

(а и мно#и%е1а.

На о)но(у 2акона о мерним $е"ини+ама и мерилима о" 1998. 0о"ине, на %е-

ри%ори$и !р.и$е мо#е )е кори)%и%и )амо SI )и)%ем.

2.2. Димензије изведених физичких величина

Димени$у неке и(е"ене фии'ке (ели'ине карак%ери3е /ена ма%ема%и'ка

а(и)но)% о" о)но(них фии'ких (ели'ина. На &ример, у механи+и )е и(е"ена

фии'ка (ели'ина, ре+имо A , карак%ери3е )ле"е6ом ма%ема%и'ком а(и)но36у о"

"имени$а L , M и T о)но(них фии'ких (ели'ина дужине l , масе m и времена t

[ ] L M T p q r A = , (ii)

&ри 'ему ек)&онен%и p , q и r мо0у .и%и .ило ко$и реални .ро$е(и. !им.оли'на

$е"на'ина (ii) наи(а )е димензиона једначина и(е"ене фии'ке (ели'ине A и мо-

ра а"о(о1а(а%и аконе ал0е.ре.

Та.ела II

Нази! Озна$а В'еднст

ек)а E 1810&е%а P 1510%ера T 12100и0а G 910

ме0а M6

10кило k 310хек%о h 210+ен%и c 210− мили m 310− микро 7 610− нано n 910− &ико p 1210−

фем%о f15

10−

а%о a 1810−


11/188

УВОД

v

На &ример. ако $е .рина %ела ко" ра(номерно0, &ра(олини$)ко0 кре%а/а "а%а

рела+и$ом (ii), он"а димензиона формула брзине 0ла)и

11

1

[ ] L[ ] LT

[ ] T

s sv

t t

− = = = =

. (iii)

Ако фии'ка (ели'ина не а(и)и о" о)но(них фии'ких (ели'ина, ка#е )е "а $е

%ак(а фии'ка (ели'ина нул%е "имени$е. Так(а $е н&р. фии'ка (ели'ина угао θ

ко$а $е "ефини)ана као о"но) "у#ине лука s и "у#ине полупречника кру0а r , о"но-

)но s r θ = , &а $е димензиона формула угла он"а

10

1

[ ] L

[ ] L[ ] L

s s

r r θ = = = = . (iv)

Ако )е на "имениона формула неке и(е"ене фии'ке (ели'ине, мо#е )е лако

ира'уна%и и /ена $е"ини+а у о"0о(ара$у6ем )и)%ему $е"ини+а. Н&р. на о)но(у

"именионе формуле а .рину (iii), $е"ини+а а .рину у SI )и)%ему $е 1ms− (или

m s ).

Пона(а/е "имени$а и(е"ених фии'ких (ели'ина на'а$но $е и ра"и &ро-(ера(а/а &о$е"иних фии'ких формула или "о.и$ених реул%а%а, &о3%о )е мо0у

и$е"на'а(а%и )амо фии'ке (ели'ине и)%их "имени$а.

2.3. Скаларне и векторске физичке величине

!каларне фии'ке (ели'ине (скалари) $е)у оне фии'ке (ели'ине ко$е )у &о%&у-

но о"ре*ене )(о$ом .ро$ном (ре"но36у и о"0о(ара$у6ом $е"ини+ом, как(е )у, н&р.

маса m , време t , рад A , енергија E , температура T , и%".

Век%ор)ке фии'ке (ели'ине (вектори) )у оне фии'ке (ели'ине ко$е )у &о%&у-

но о"ре*ене )(о$им ин%ени%е%ом, &ра(+ем и )мером. Так(е )у н&р. брзина v

, убр-

зање a

, сила F

, и%".

Век%ор )е 0рафи'ки &ре")%а(1а &омо6у ори$ен%и)ане "у-

#и, 'и$а "у#ина у неко$ )рамери &ре")%а(1а интензитет

(бројну вредност) (ек%ора, &ра(а+ "у#и &ре")%а(1а правац !лика i


12/188


vi

(ек%ора, "ок )%рели+а она'а(а смер (ек%ора. Век%ор )е она'а(а ла%ини'ним

)ло(ом )а )%рели+ом ина", на &ример (ек%ор a

(слика i), "ок )е /е0о( ин%ени%е%

она'а(а )а | |a

или, кра6е, )амо )а )ло(ом a .

Д(а или (и3е (ек%ора )ма%ра$у )е једнаким ако има$у $е"наке ин%ени%е%е, и)%е (или &аралелне)

&ра(+е и и)%и )мер. На &ример, на слици ii &рика-

ани (ек%ори a

, b

и c

, ко$и има$у $е"наке ин%ени-

%е%е ( a b c= = ), ме*у)о.но )у $е"наки: a b c= =

.

Д(а (ек%ора )у суп-

ротни ако има$у $е"наке ин%ени%е%е, и)%е &ра(+е (или

)у им &ра(+и &аралелни), али )у&ро%не )меро(е. На

&ример, на слици iii (ек%ори d

и e

&ре")%а(1а$у )у&-

ро%не (ек%оре, %е он"а (а#и d e= , али $е d e= −

.

О&ера+и$е )а (ек%орима ралику$у )е о" о"0о(ара-

$у6их о&ера+и$а )а )каларима (ко$е )у ал0е.ар)ке). По$е-

"ине о&ера+и$е )а (ек%орима ко$е )у нео&хо"не а "а1а

рама%ра/а .и6е о("е укра%ко на(е"ене, .е &о)е.них

ма%ема%и'ких "окаа.

Д(а (ек%ора )а.ира$у )е &реко правила троугла или

правила паралелограма. На о)но(у &ра(ила %роу0ла, .-

ир "(а (ек%ора f

и g

&ре")%а(1а %ре6и (ек%ор h

, 'и$и

)е &о'е%ак &окла&а )а &о'е%ком &р(о0 (ек%ора, а кра$ )а

кра$ем "ру0о0 (ек%ора (слика ivа). На о)но(у &ра(ила

&аралело0рама, .ир "(а (ек%ора "(а (ек%ора f

и g

.и6е %ре6и (ек%ор h

ко$и )е

"о.и$а &аралелним &омера/ем (ек%ора f

и g

)(е "ок )е не "о(е"у на и)%и

&о'е%ак, &ри 'ему $е (ек%ор h

о"ре*ен "и$а0оналом &аралело0рама (слика ivb). -е

о.ира на %о ко$е $е о" 0оре на(е"ених &ра(ила &риме/ено, (а#и )ле"е6а рела+и$а

!лика ii

!лика iii

!лика iv


13/188

УВОД

vii

h f g= +

; (v)

на о)но(у ко)ину)не %еореме, ин%ени%е% (ек%ора h

.и6е о"ре*ен формулом

2 2 2 2 cosh f g f g α = + + , (vi)

0"е $е α у0ао име*у (ек%ора f

и g

.

Ве6и .ро$ (ек%ора о" "(а (н&р. i

, j

, k

, l

и m

, као на

слици v) )а.ира )е на о)но(у правила полигона (&ра(ило %ро-

у0ла, уо&3%ено на (и3е (ек%ора). На о)но(у &омену%о0 &ра-

(ила, (ек%ори )е )а.ира$у %ако 3%о )е "ру0и (ек%ор j

&ара-

лелно &омера "ок му )е &о'е%ак не &окло&и )а кра$ем &р(о0

(ек%ора i

; &о%ом )е &аралелно &омера %ре6и (ек%ор k

)(е "о

&окла&а/а /е0о(о0 кра$а )а &о'е%ком "ру0о0 (ек%ора j

, и%".

По)%у&ак &аралелно0 &омера/а окон'ан $е он"а ка"а )е )(и

(ек%ори на)%а(1а$у $е"ан на "ру0и, а %а"а )е &о)%а(1а (ек%ор

'и$и )е &о'е%ак &окла&а )а &о'е%ком &р(о0 (ек%ора i

, а кра$ )а кра$ем &о)ле"/е0 (ек%ора m

. Така( (ек%ор наи(а )е резул-

танта R

, &ри 'ему (а#и "а $е

R i j k l m= + + + +

. (vii)

О&ера+и$а о"уима/а "(а (ек%ора )(о"и )е на о&ера-

+и$у )а.ира/а &р(о0 (ек%ора, ре+имо n

, )а )у&ро%ним (ек-

%ором "ру0о0 (ек%ора, ре+имо o

( ) p n o n o= − = + −

. (viii)

(и"е%и слику vi.

О&ера+и$а разлагања (ек%ора на ком&онен%е о.рну%а

$е о&ера+и$и )а.ира/а (ек%ора, и %а"а )е $е"ан (ек%ор ра-

ла#е на "(е или (и3е ком&онен%и. Рала0а/е (ек%ора на ком&онен%е у ра(ни )(о"и )е на конструкцију парале-

!лика v

!лика vi

!лика vii


14/188


viii

лограма 'и$а $е "и$а0онала &она%а. По3%о )е мо#е кон)%руи)а%и .е)кона'но

мно0о &аралело0рама )а и)%ом "и$а0оналом, "а .и ре3е/е .ило $е"нона'но

&о%ре.но $е а"а%и $о3 "(а &ра(+а "у# ко$их 6е (ек%ор .и%и рало#ен. Тако, на

&ример, (ек%ор s

на слици vii

рало#ен $е на ком&онен%е 1s

и 2s

"у# о)а 1e

и 2e

.У %ом )лу'а$у (а#и формула

1 2s s s= +

. (ix)

Ако #елимо "а (ек%ор s

рало#имо на ком&о-

нен%е "у# x − о)е и y − о)е &ра(оу0ло0 коор"ина%но0

)и)%ема, он"а $е, &рема слици viii

x ys s s= +

, (x)

"ок а ин%ени%е%е о"0о(ара$у6их (ек%ора (а#и ира

2 2 2 x ys s s= + . (xi)

Пројекција (ек%ора s

на о)у n

(слика ix) $е

)калар n

s , ко$и $е $е"нак

cosns s α = , (xii)

0"е $е α у0ао име*у о)е n

и (ек%ора s

.

Поло#а$ %а'ке A у &ро)%ору (слика x) $е"-

нона'но $е о"ре*ен (ек%ором положаја r

'и$и

)е &о'е%ак налаи у коор"ина%ном &о'е%ку

кар%еи$ан)ко0 &ра(оу0ло0 коор"ина%но0 )и)%е-

ма. Про$ек+и$е (ек%ора &оло#а$а на

коор"ина%ним о)ама )у

x , y , z , (xiii)

и наи(а$у )е координатама %а'ке A , и а /их (а#и )ле"е6а формула

2 2 2 2r x y z= + + . (xiv)

!лика viii

!лика ix


15/188

УВОД

ix

!лика x

Век%ор &оло#а$а r

мо#е )е рало#и%и на ком&онен%е e x x

, e y y

, e z z

"у# о)а

кар%еи$ан)ко0 коор"ина%но0 )и)%ема, као

e e e x y z

r x y z= + +

. (xv)

Прои(о1ни (ек%ор t

мо#е "а )е помножи скаларом k , &ри 'ему )е "о.и$а

)ле"е6и (ек%ор

u k t =

, (xvi)

'и$и $е ин%ени%е%

| |u k t = . (xvii)

Век%ори t

и u

и)%о0 )у )мера а 0k > , "ок )у )у&ро%но0 )мера а 0k < .

На о)но(у рела+и$а (xvi) и (xvii) $а)но $е "а )е )(аки (ек%ор,

ре+имо (ек%ор w

мо#е &ре")%а(и%и (слика xi) &реко &рои-(о"а )(о0 ин%ени%е%а w и $е"ини'но0 (ек%ора (ор%а) ew

ко$и

има и)%и &ра(а+ и )мер као (ек%ор w

, "ок му $е ин%ени%е%

$е"нак $е"ини+и

eww w=

, | e | 1w =

. (xviii)

Скаларни производ "(а (ек%ора a

и e

(слика xii), ко$и )е

)им.оли'ки она'а(а као a e⋅

, $е"нак $е )калару

!лика xi

!лика xii


16/188


x

cosc ae α = , (xix)

0"е $е α у0ао име*у (ек%ора a

и e

.

На о)но(у %о0а 3%о $е ко)ину) у "ефини+и$и (xix) парна функ+и$а, )ле"и "а $е

a e e a⋅ = ⋅ , (xx)

3%о на'и "а $е )каларни &рои(о" комутативан.

!каларни &рои(о" о"ре*ено0 (ек%ора a

)а )умом (и3е (ек%ора 1 2e e+ +

… ,

$е"нак $е )уми )каларних &рои(о"а %о0 (ек%ора )а )(аким &о$е"ина'ним (ек%ором

и )уме

1 2 1 2( )a e e a e a e⋅ + + = ⋅ + ⋅ +

… … , (xxi)

3%о на'и "а $е )каларни &рои(о" дистрибутиван у о"но)у на )а.ира/е (ек%ора.

Векторски производ (ек%ора a

и b

(слика xiii) $е"нак $е (ек%ору

c a b= ×

, (xxii)

'и$и $е ин%ени%е% $е"нак &о(р3ини &ара-лело0рама ко$и $е о"ре*ен (ек%орима a

и

e

| | sina b c ab α × = =

. (xxiii)

Пра(а+ (ек%ора c

нормалан $е на ра(ан о"ре*ену (ек%орима a

и b

, "ок му )е )мер

о"ре*у$е правилом десног завртња (ако )е &р(и (ек%ор a

у (ек%ор)ком &рои(о"у

ро%ира на$кра6им &у%ем "о "ру0о0 (ек%ора b

, )мер кре%а/а "е)но0 а(р%/а $е"нак

$е )меру кре%а/а (ек%ора c

). Како $е )ину) непарна функ+и$а, и формуле (xxiii)

)ле"и "а (ек%ор)ки &рои(о" није комутативан

a b b a× = − ×

. (xxiv)

Век%ор)ки &рои(о" (ек%ора a

)а )умом (и3е (ек%ора 1 2e e+ +

… , $е"нак $е

1 2 1 2( )a e e a e a e× + + = × + × +

… … (xxv)

!лика xiii


17/188

I МЕХА!"А

Механика $е "ео фиике ко$и )е .а(и &роу'а(а/ем на$$е"но)%а(ни$их о.лика

кре%а/а ма%ери$е. По" механи'ким кре%а/ем &о"рауме(а )е &ромена &оло#а$а "а-

%о0 %ела у о"но)у на коор"ина%ни )и)%ем (еан а "ру0о %ело ко$и )е уима као

референтни систем. По" референ%ним )и)%емом &о"рауме(а )е %ело (или 0ру&а

%ела) у о"но)у на ко$е )е &о)ма%ра кре%а/е. Како у &риро"и не &о)%о$и %ело ко$е

а&)олу%но миру$е, референ%ни )и)%ем %ако*е )е кре6е, 3%о на'и "а )е мо#е 0о(о-

ри%и )амо о релативном кретању, о"но)но рела%и(ном миро(а/у.

Тако н&р. а о)о.у ко$а )е налаи у ау%омо.илу ко$и )е кре6е, неко ко )е"и &о-

ре" /е у и)%ом ау%омо.илу налаи )е у )%а/у рела%и(но0 миро(а/а. Ме*у%им, %а

и)%а о)о.а налаи )е у )%а/у рела%и(но0 кре%а/а а неко0 ко )%о$и (ан ау%омо.ила.

Механи'ко кре%а/е &ре")%а(1а на$$е"но)%а(ни$и о.лик кре%а/а ма%ери$е а%о

3%о )е ко" о(о0 кре%а/а не уима у о.ир уну%ра3/а )%рук%ура %ела, као ни ако-

ни%о)%и ин%ерак+и$е %их )%рук%ура ко$е &ри&а"а$у (и3им о.ли+има кре%а/а ма%е-

ри$е, %е )у као %ак(е &ре"ме% &роу'а(а/а "ру0их о.ла)%и фиике.

Ка"а )е о.лик и "имени$е %ела ко$е (р3и механи'ко кре%а/е мо0у анемари%и

у о"но)у на "имени$е &о)ма%рано0 )и)%ема, %ак(о %ело мо#е )е &ре")%а(и%и 0ео-

ме%ри$)ком %а'ком у ко$о$ $е )кон+ен%ри)ана )(а ма)а %ела, ко$а )е )%о0а наи(а

материјална тачка. У&ра(о $е %ака( )лу'а$ )а &лане%ама !ун'е(о0 )и)%ема, ко$е )е

у )(ом кре%а/у око !ун+а мо0у )ма%ра%и ма%ери$алним %а'кама.

Механика )е "ели на кинематику и динамику. Кинема%ика )е .а(и &роу'а-

(а/ем о.лика кре%а/а %ела у &ро)%ору и (ремену не (о"е6и ра'уна о уро+има

ко$и их иаи(а$у. Динамика )е .а(и &роу'а(а/ем о.лика кре%а/а %ела &о" "е$-

)%(ом сила као урока ко$и иаи(а$у %а кре%а/а. По)е.на "и)+и&лина "инамике $е

статика ко$а &роу'а(а у)ло(е миро(а/а %ела.


18/188


2

1. Кинематика материјалне тачке

1.1. Основни #ојмови

По3%о )е кинема%ика .а(и &роу'а(а/ем о.лика кре%а/а %ела у &ро)%ору и (ре-мену, не (о"е6и ра'уна о уро+има ко$и их иаи(а$у, )(ако кинема%и'ко кре%а/е

о&и)у$е )е &омо6у о)но(них фии'ких (ели'ина "у#ине l и (ремена t . 2на'а$

"у#ине а о"ре*и(а/е &оло#а$а %ела у &ро)%ору (е6 $е .ио рама%ран. 4%о )е %и'е

о)но(не фии'ке (ели'ине (ремена, &омо6у /е мо0у )е и)каа%и "(е (р)%е инфор-

ма+и$а:

1. Ка"а )е не3%о "е)ило (у о"но)у на неки референ%ни "о0а*а$). О(а (р)%а

информа+и$е наи(а )е (ремен)ка коор"ина%а;

2. Колико $е %ра$ало "е3а(а/е неко0 &ро+е)а или &о$а(е.

2а о&и)и(а/е кре%а/а %ела &о%ре.но $е &она(а%и путању, пут, помера j, брзи-

ну и убрзање.

Путања (трајекторија) $е лини$а ко$у &ри

)(ом кре%а/у о&и)у$е ма%ери$ална %а'ка (слика 1.1). У а(и)но)%и о" о.лика &у%а/е, ралику$емо

"(е о)но(не (р)%е кре%а/а, праволини jско и кри-

волинијско.

Пут $е "ео &у%а/е име*у "(е о"ре*ена &оло#а$а (0еоме%ри$)ке %а'ке), и о.и'-

но )е она'а(а )ло(ом s (слика 1.1).

1.2. $рзина материјалне тачке

Нека )е ма%ери$ална %а'ка кре6е "у# кри(олини$)ке &у%а/е &рикаане на

слици 1.2.

У %оку кре%а/а ма%ери$алне %а'ке, /ен &оло#а$ A о"ре*ен $е вектором поло-

жаја r

, ко$и )е ме/а )а (ременом &рема функ+ионално$ а(и)но)%и

( )r r t =

. (1.1)

!лика 1.1


19/188

МЕХАНИКА

3

Током (ремен)ко0 ин%ер(ала t ∆ ма%ери$ална %а'ка &релаи елементарни пут s∆ ,

након 'е0а )е налаи у &оло#а$у A', ко$и $е о"ре*ен (ек%ором &оло#а$а r r + ∆

.

О("е $е r ∆

&рира3%а$ (ек%ора &оло#а$а %оком (ремен)ко0 ин%ер(ала t ∆ , и наи(а

)е елементарни померај %а'ке. Век%ор r ∆

функ+и$а $е (ремен)ко0 ин%ер(ала t ∆

.Коли'ник елемен%арно0 &омера$а r ∆

и (ремен)ко0 ин%ер(ала t ∆ у коме $е "о /е0а

"о3ло наи(а )е средња брзина

sr

r v

t

∆=

∆

, (1.2)

и (ек%ор $е ко$и има и)%и &ра(а+ и )мер као и (ек%ор

r ∆

, а о" /е0а )е ралику$е )амо &о ин%ени%е%у.!ма/и(а/ем (ремен)ко0 ин%ер(ала t ∆ &оло#а$ A'

&ри.ли#а(а6е )е &оло#а$у A , о"но)но )ма/и(а6е

)е елемен%арни &у% s∆ и елемен%арни &омера$ r ∆

,

"ок 6е )ре"/а .рина srv

и)%о(ремено ме/а%и и

ин%ени%е% и &ра(а+. Грани'на (ре"но)% коли'ника

r t ∆ ∆

ка"а 0t ∆ → наи(а )е тренутна брзина ма%ери$алне %а'ке (у %рену%ку t )

0limt

r dr v r

t dt ∆ →

∆= = =

∆

ɺ . (1.3)

Према формули (1.3) %рену%на .рина $е"нака $е &р(ом и(о"у (ек%ора &оло#а$а

ма%ери$алне %а'ке &о (ремену, и има &ра(а+ %ан0ен%е у "а%о$ %а'ки &у%а/е, а ори-

$ен%и)ана $е у )меру кре%а/а ма%ери$алне %а'ке. Ин%ени%е% (ек%ора %рену%не .ри-не, на о)но(у ираа (1.3), 0ла)и

0 0

| || | lim lim

t t

r s dsv v s

t t dt ∆ → ∆ →

∆ ∆= = = = =

∆ ∆

ɺ , (1.4)

3%о на'и "а $е ин%ени%е% %рену%не .рине $е"нак &р(ом и(о"у &у%а &о (ремену.

!лика 1.2


20/188


4

Ако $е &она%а .рина v као функ+и$а (ремена t , мо0у6е $е о"ре"и%и &у% s

ко$и ма%ери$ална %а'ка &ре*е о" %рену%ка 1t "о %рену%ка 2t , ин%е0ра+и$ом формуле

(1.4)

2 2

1 10

( ) ( ) ( ) ( )t t s

t t

dsv t ds v t dt ds v t dt s v t dt

dt = ⇔ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫ ∫ . (1.5)

О("е 6е .и%и о&е% на(е"ена формула (iii), димензиона формула .рине

1[ ][ ] L T[ ]

sv

t

−= = , (1.6)

као и /ена $е"ини+а у SI )и)%ему, метар по секунди, m s .

1.3. У%рза&е материјалне тачке

Нека )е ма%ери$ална %а'ка кре6е &о кри-

(олини$)ко$ &у%а/и у кар%еи$ан)ком коор-

"ина%ном )и)%ему. Нека v

.у"е /ена .ри-

на у %рену%ку t у &оло#а$у A , а нека v v+ ∆

.у"е /ена .рина у %рену%ку t t + ∆ у &оло-

#а$у A', слика 1.3. Век%ор v∆

&ре")%а(1а

&рира3%а$ .рине %оком (ремен)ко0 ин%ер-

(ала t ∆ .

О"но) &рира3%а$а .рине v∆

и (ремен-

)ко0 ин%ер(ала t ∆ %оком ко0а $е %а$ &рира3%а$ на)%ао, наи(а )е средње убрзање

sr

va

t

∆=

∆

(1.7)

и (ек%ор $е ко$и има и)%и &ра(а+ и )мер као и (ек%ор v∆

, а о" /е0а )е ралику$е

)амо &о ин%ени%е%у. Грани'на (ре"но)% коли'ника v t ∆ ∆

ка"а 0t ∆ → наи(а )е

тренутно убрзање ма%ери$алне %а'ке (у %рену%ку t )

0limt

v dva vt dt ∆ →

∆= = =∆

ɺ , (1.8)

!лика 1.3


21/188

МЕХАНИКА

5

ко$е )е мо#е, &рема формули (1.3), &и)а%и и на )ле"е6и на'ин

2

2

dv d dr d r a r

dt dt dt dt

= = = =

ɺɺ , (1.9)

3%о на'и "а $е у.ра/е $е"нако "ру0ом и(о"у (ек%ора &оло#а$а &о (ремену.

Димениона формула у.ра/а, на о)но(у ираа (1.8), 0ла)и

2[ ][ ] L T[ ]

v va

t t

− = = =

, (1.10)

"ок му $е $е"ини+а, у SI )и)%ему, метар по секунди на квадрат, 2m s .

1.4. Врсте кинематичких крета&а

Као 3%о $е (е6 .ило ре'ено у &о0ла(1у 1.2., &оло#а$ ма%ери$алне %а'ке о"ре*ен

$е &реко /ено0 (ек%ора &оло#а$а као функ+и$е (ремена (ек%ор)ком $е"на'ином

(1.1), ко$о$ о"0о(ара$у %ри )каларне $е"на'ине у кар%еи$ан)ком коор"ина%ном )и)-

%ему

( ) x x t = , ( ) y y t = , ( ) z z t = . (1.11)

Је"на'ине (1.1) и (1.11) наи(а$у )е коначним једначинама кретања. Уме)%о

кона'них $е"на'ина кре%а/а 'е)%о )е кори)%и функ+ионална а(и)но)% &у%а о"

(ремена

( )s s t = , (1.12)

уколико $е &она% 0еоме%ри$)ки о.лик &у%а/е. Рела+и$а (1.12) наи(а )е закон

пута.

2а &она(а/е кре%а/а ма%ери$алне %а'ке &о%ре.но $е &она(а%и .арем $е"ну

функ+ионалну а(и)но)% о" (ремена

( )r r t =

, ( )v v t =

, ( )a a t =

, (1.13)

&о3%о име*у /их &о)%о$и (еа ( v dr dt =

, a dv dt =

).

Поре" (е6 &омену%е &о"еле кре%а/а ма%ери$алне %а'ке &о о.лику &у%а/е на &ра(олини$)ко и кри(олини$)ко, &о"ела )е (р3и и &рема .рини: на равномерна и


22/188


6

неравномерна, као и &рема у.ра/у: на равномерно убрзана / успорена и неравно-

мерно убрзана / успорена.

У)ле" мо0у6но)%и ком.ино(а/а 0оре &о.ро$аних (р)%а кре%а/а, рано(р)но)%

кре%а/а ма%ери$алне %а'ке $е (елика. 2.о0 о0рани'ено0 о.има о(о0 кур)а, о("е 6е .и%и рамо%рена )амо она на$$е"но)%а(ни$а.

1.5. 'авномерно крета&е материјалне тачке

Ко" ра(номерно0 кре%а/а, ин%ени%е% .рине ма%ери$алне %а'ке константан $е

const.v = (1.14)

На о)но(у формуле (1.5), а const.v = , 1 0t = и 2t t = "о.и$а )е

00 0

t t t

s v dt v dt v t v t = = = =∫ ∫ . (1.15)

О"а("е )ле"и ира а .рину ко" ра(номерно0 кре-

%а/а

sv t = . (1.16)

На слици 1.4 0рафи'ки )у &ре")%а(1ени .рина

и &ре*ени &у% у а(и)но)%и о" (ремена ко" ра(но-

мерно0 кре%а/а.

1.6. (раволинијско равномерно у%рзано крета&е материјалне тачке

Нека $е )а"а кре%а/е %ак(о "а $е &ри /ему у.ра/е константно

const.a =

(1.17)

На о)но(у "ефини+и$е у.ра/а (1.8) )ле"и "а $е

dv a dt =

. (1.18)

Ако $е .рина у &о'е%ном %рену%ку ( 0t = ) $е"нака 0v

(почетна брзина), а након

о"ре*ено0 (ремена t ино)и v

, ира (1.18) мо#е )е ин%е0рали%и на )ле"е6и на'ин

!лика 1.4


23/188

МЕХАНИКА

7

0 0

v t

v

dv a dt =∫ ∫

. (1.19)

Како $е у.ра/е кон)%ан%но (1.17), оно )е мо#е и(у6и и)&ре" ин%е0рала, %е )е

"о.и$а )ле"е6а формула

0v v a t − =

, (1.20)

о"но)но, а&и)ано на уо.и'а$ени на'ин

0v v a t = +

. (1.21)

По3%о )у, ко" &ра(олини$)ко0 кре%а/а, )(а %ри (ек%ора у ирау (1.21) колине-

арни, (ек%ор)ка $е"на'ина (1.21) мо#е )е на&и)а%и у )каларном о.лику као

0v v a t = ± , (1.22)

&ри 'ему нак + (а#и а убрзано кре%а/е ( v

и a

и)%о0 )у )мера), "ок нак − (а#и

а успорено кре%а/е ( v

и a

рали'и%о0 )у )мера).

Ако $е &о'е%на .рина 0v

$е"нака нули, .и6е

v a t = , (1.23)

и %а"а кре%а/е мо#е .и%и )амо у.рано.

Графи'ка а(и)но)% .рине о" (ремена, ира#ена

рела+и$ама (1.22) и (1.23) &рикаана $е на слици 1.5.

Да .и )е "о.ио &у% ко" &ра(олини$)ко0 ра(но-

мерно у.рано0 кре%а/а, .рину и ираа (1.4) %ре.а амени%и у формулу (1.22), %е

6е .и%и

0 0

dsv a t ds v dt a t dt

dt = ± ⇔ = ± , (1.24)

након 'е0а %ре.а и(р3и%и ин%е0ра+и$у

0

0

0 0

s t t

s

ds v dt a t dt = ±∫ ∫ ∫ , (1.25)

!лика 1.5


24/188


8

0"е $е 0s &ре*ени &у% у &о'е%ном %рену%ку 0t = , "ок $е s &ре*ени &у% након &ро-

%екло0 (ремена t .

Како )у 0v и a кон)%ан%ни, мо0у )е и(у6и и)&ре" ин%е0рала, %е )е а &ре*ени

&у% "о.и$а )ле"е6и ира

2

0 0 2

a t s s v t = + ± . (1.26)

Ако $е 0 0s = , )ле"и "а $е

2

0

2

a t s v t = ± , (1.27)

а ако $е $о3 и 0 0v = , он"а $е

2

2

a t s = , (1.28)

3%о $е 0рафи'ки &рикаано на слици 1.6. И у о(ом

)лу'а$у (а#и "а кре%а/е мо#е .и%и )амо у.рано.

И формула (1.23) и (1.28) мо0у6е $е "о.и%и (еу

име*у .рине и &ре*ено0 &у%а ка"а $е &о'е%на .ри-

на $е"нака нули

2v a s= . (1.29)

1.7. "ружно крета&е материјалне тачке

Нека )е ма%ери$ална %а'ка кре6е &о кру#ни+и &олу&ре'ника r (слика 1.7), и

нека $е v

.рина ма%ери$алне %а'ке у &оло#а$у A и у %рену%ку t , а v′

у &оло#а$у

A′ у %рену%ку t t + ∆ . Пре*ени &у% о" &оло#а$а A "о &оло#а$а A′ .и6е она'ен )а

s∆ , елемен%арни &омера$ )а r ∆

, а у0аони &омера$ )а ϕ ∆ . Век%ори &омену%их .р-

ина v

и v′

има$у &ра(а+ %ан0ен%е, а у&ра(ни )у на &олу&ре'ни+има у "о"ирним

%а'кама A и A′ .

!лика 1.6


25/188

МЕХАНИКА

9

Паралелним &омера/ем (ек%ора

v′

и &оло#а$а A′ у &оло#а$ A ,

.и6е, &рема &ра(илу %роу0ла

v v v′ = + ∆

, (1.30)

0"е $е v∆

(ек%ор &ромене .рине,

&ри 'ему .рине v

и v′

ах(а%а$у

и)%и у0ао ϕ ∆ као и (ек%ори &оло#а$а

r

и r ′

у %а'кама A и A′ (у0ло(и )а

нормалним кра+има).

Век%ор v∆ мо#е )е рало#и%и на

"(е ком&онен%е:8

v∆

, ко$а )е &ро-

)%ире "у# &ра(+а .рине v

, и nv∆

, ко$а )е &ро)%ире нормално на &ра(а+ .рине v

.

Та"а $е ин%ени%е% &р(е ком&онен%е .рине $е"нак

8v v v′∆ = −

. (1.31)

О(а ком&онен%а .рине о"ре*у$е ин%ени%е% оне ком&онен%е )ре"/е0 у.ра/а ко$а о&и)у$е &ромену .рине v

&о ин%ени%е%у

88 sr( )

va

t

∆=

∆, (1.32)

"ок "ру0а ком&онен%а nv∆

о"ре*у$е ин%ени%е% оне ком&онен%е )ре"/е0 у.ра/а

ко$е карак%ери3е &ромену &ра(+а .рине

nn sr( )

va

t

∆=

∆. (1.33)

Ка"а $е (ремен)ки ин%ер(ал .е)кона'но мали ( 0t ∆ → ), рела+и$е (1.32) и (1.33)

&релае у формуле а ин%ени%е% %ан0ен+и$алне ком&онен%е 8

a и нормалне ком&о-

нен%е na %рену%но0 у.ра/а a

. Та"а )е ра)%о$а/е име*у &оло#а$а A и A′ )ма-

/у$е ( 0s∆ → ), као и у0аони &омера$ ( 0ϕ ∆ → ). !%о0а 6е ком&онен%а 8a

%рену%но0 у.ра/а у &оло#а$у A има%и &ра(а+ .рине v

, %$. &ра(а+ %ан0ен%е на &у%а/у у %ом

!лика 1.7


26/188


10

&оло#а$у. Ин%ени%е% 8

v∆ ком&онен%е 8

v∆

и$е"на'а(а )е &о ин%ени%е%у )а ин%ен-

и%е%ом v∆ (ек%ора &ромене .рине v∆

, %е )е а ин%ени%е% %ан0ен+и$алне ком&о-

нен%е %рену%но0 у.ра/а "о.и$а

88 0 0

lim limt t

v v dva

t t dt ∆ → ∆ →

∆ ∆= = =

∆ ∆. (1.34)

!а", "ок 0t ∆ → , у ра(нокраком %роу0лу ABC 0ϕ ∆ → , )%о0а о)%ала "(а у0ла

%е#е ка 2π , о"акле )ле"и "а ком&онен%а na

%рену%но0 у.ра/а, ко$а има &ра(а+

(ек%ора nv∆

, акла&а )а &ра(+ем .рине v

&ра( у0ао, о"но)но има &ра(а+ нормале

на %ан0ен%у у &оло#а$у A , &а )е .о0 %о0а и наи(а нормалном ком&онен%ом %ре-

ну%но0 у.ра/а. И )ли'но)%и %роу0ло(а ABC и OAA′ )ле"и "а $е

n | |v r

v r

∆ ∆=

, (1.35)

%е 6е ин%ени%е% нормалне ком&онен%е na %рену%но0 у.ра/а .и%и

2n

n

0 0 0 0

| | | |lim lim lim limt t t t

v v r v r v s v va v

t r t r t r t r r ∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

∆ ∆ ∆ ∆= = = = = =

∆ ∆ ∆ ∆

. (1.36)

Век%ор %рену%но0 у.ра/а a

"о.и$а )е као

(ек%ор)ки .ир %ан0ен+и$алне ком&онен%е у.ра-

/а 8

a

и нормалне ком&онен%е na

у.ра/а (сли-

ка 1.8)

8 na a a= +

, (1.37)

"ок му $е ин%ени%е%, на о)но(у формула (1.34) и

(1.36), $е"нак

22 22 28 n

dv va a a

dt r

= + = +

. (1.38)

!лика 1.8


27/188

МЕХАНИКА

11

И формуле (1.34) &рои)%и'е "а $е %ан0ен+и$ална ком&онен%а 8

a

у.ра/а &о)-

ле"и+а )амо &ромене ин%ени%е%а .рине. У )лу'а$у ка"а $е кру#но кре%а/е ма%е-

ри$алне %а'ке ра(номерно ( const. 0v dv dt = ⇒ → ), он"а $е 8

0a =

.

Нормална ком&онен%а na у.ра/а &о)ле"и+а $е &ромене &ра(+а .рине, 3%о

на'и "а она &о)%о$и и ко" ра(номерно0 кре%а/а ( const.v = ), а /е0о( ин%ени%е% $е

о"ре*ен ираом (1.36).

Према рела+и$и (1.38), ако n 0r a→ ∞ ⇒ →

, %е )е кру#но кре%а/е )(о"и на

&ра(олини$)ко. У %ом )лу'а$у &рео)%а$е )амо %ан0ен+и$ална ком&онен%а 8a

у.ра-

/а, 'и$и $е ин%ени%е% о"ре*ен рела+и$ом (1.34).

2. Кинематика крутог тела

Круто (чврсто) тело $е)%е механи'ки )и)%ем )а)%а(1ен о" (елико0 .ро$а ма%е-

ри$алних %а'ака, али %ака( "а ра)%о$а/е име*у .ило ко$е "(е /е0о(е %а'ке о)%а$е

непромењено .е о.ира на уроке. !(ако )ло#ено кре%а/е кру%о0 %ела мо#е )е

рало#и%и на "(е (р)%е кре%а/а: транслаторно и ротационо.

раслаторно кретање кру%о0

%ела $е кре%а/е &ри коме )е )(ака

лини$а ко$а )&а$а "(е &рои(о1не

ма%ери$алне %а'ке %ела кре6е &ара-

лелно )амо$ )е.и (слика 2.1). О(о

на'и "а )е а кинема%и'ко &роу'а-

(а/е %ран)ла%орно0 кре%а/а кру%о0

%ела мо0у кори)%и%и (е6 о&и)ани

акони кре%а/а ма%ери$алне %а'ке.

!отационо кретање кру%о0 %ела $е кре%а/е &ри коме )(е ма%ери$алне %а'ке

%ела о&и)у$у кру#ни+е 'и$и )е +ен%ри налае на $е"но$ &ра(о$, ко$а )е )%о0а наи(а

осом ротације.

!лика 2.1


28/188


12

Нека кру%о %ело ро%ира око не&оми'не о)е

ро%а+и$е ОО' (слика 2.2). О'и0ле"но $е "а )(ака

ма%ери$ална %а'ка о(о0 %ела, )ем оних ко$е ле#е

на о)и ро%а+и$е, има )(о$у &у%а/у, .рину и у.ра-

/е, &а )е )%о0а о(е (ели'ине не мо0у и)кори)%и%и

а о&и)и(а/е кре%а/а %ела као +елине. Ме*у%им,

(ек%ори &оло#а$а )(их %а'ака ((ек%ори &о(у'ени

и +ен%ра о"0о(ара$у6е кру#ни+е "о "а%е %а'ке)

аокрену )е а и)%и у0ао ϕ ∆ у %оку ро%а+и$е. По-

мену%и у0ао наи(а )е угаони померај кру%о0 %ела

као +елине.

Је"ини+а а у0аони &омера$ у SI )и)%ему наи(а )е радијан , а она'а(а )е )а

rad. У0ао о" $е"но0 ра"и$ана формира$у "(а &олу&ре'ника кру#ни+е ко$и о")е+а$у

лук ко$и $е $е"нак "у#ини &олу&ре'ника %е кру#ни+е (слика 2.3).

!лика 2.3

2.1. У)аона %рзина

О"но) &рира3%а$а у0аоно0 &омера$а ϕ ∆ и ин%ер(ала (ремена t ∆ у коме $е он

на)%ао наи(а )е средња угаона брзина

srt

ϕ ω

∆=

∆. (2.1)

Грани'на (ре"но)% 0ор/е0 коли'ника, ка"а 0t ∆ → , наи(а )е тренутна угаона

брзина тела

!лика 2.2


29/188

МЕХАНИКА

13

0limt

d

t dt

ϕ ϕ ω ϕ

∆ →

∆= = =

∆ɺ . (2.2)

Ра"и &о%&уни$е0 о&и)и(а/а ро%а+и$е у)(о$ено $е "а у0аона .рина &ре")%а(1а

(ек%ор ω

, ко$и има &ра(а+ о)е ро%а+и$е, )мер му $е о"ре*ен )мером на&ре"о(а/а

"е)но0 а(р%/а ка"а )е о(а$ о.р6е у )меру ро%а+и$е о.р%а/а %ела, "ок $е /е0о(

ин%ени%е% "а% формулом (2.2). Век%ори %и&а у0аоне .рине ω

, 'и$и )у &ра(а+ и

)мер (еани а )мер ро%а+и$е %ела наи(а$у )е аксијалним векторима.

Је"ини+а а у0аону .рину у SI )и)%ему, на о)но(у формула (2.1-2) $е rad s .

Ако $е const.ω =

он"а )е кре%а/е наи(а равномерно ро%а+ионо кре%а/е, и

карак%ери3е )е периодом ротације T , ко$и &ре")%а(1а (реме а ко$е %ело и(р3и $е"ан &ун о.р%. У %ак(ом )лу'а$у, на о)но(у ираа (2.1), .и6е

2

T

π ω = . (2.3)

Вели'ина "ефини)ана као ре+и&ро'на (ре"но)% &ерио"а ро%а+и$е T &ре"-

)%а(1а .ро$ о.р%а$а у $е"ини+и (ремена и наи(а )е фреквенција ( учестаност), ко$а

$е "а%а формулом

1

2T

ω ν

π = = . (2.4)

Је"ини+а а фрек(ен+и$у у SI )и)%ему $е ре+и&ро'на )екун"а 1s− , %$. херц ( Hz ).

2.2. У)аоно у%рза&е

Ако )е у0аона .рина ме/а )а (ременом, %а"а )е "ефини3е угаоно убрзање.Коли'ник &рира3%а$а у0аоне .рине ω ∆ и ин%ер(ала (ремена у коме $е %а$ &рира-

3%а$ на)%ао t ∆ наи(а )е средње угаоно убрзање

srt

ω α

∆=

∆. (2.6)

Грани'на (ре"но)% 0ор/е0 коли'ника, ка"а 0t ∆ → , наи(а )е тренутно угаоно

убрзање


30/188


14

0limt

d

t dt

ω ω α

∆ →

∆= =

∆. (2.7)

И формуле (2.2) )ле"и "а $е

2

2d

dt ϕ α ϕ = = ɺɺ (2.8)

По&у% у0аоне .рине, и у0аоно у.ра/е &ре")%а(1а )е ак)и$алним (ек%ором α

,

'и$и )е &ра(а+ и )мер о"ре*у$у на и)%и на'ин као и (ек%ора ω

.

Је"ини+а а у0аоно у.ра/е у SI )и)%ему, на о)но(у ираа (2.6-7) $е)%е 2rad s .

2.3. *инеарни елементи крета&а тела код ротације

Нека кру%о %ело &рои(о1но0 о.лика ро%ира

око не&оми'не о)е у0аоном .рином ω

и у0аоним

у.ра/ем α

(слика 2.4). По "ефини+и$и ро%а-

+ионо0 кре%а/а, &у%а/а )(аке ма%ери$алне %а'ке

кру%о0 %ела &ре")%а(1а кру#ни+у )а &олу&ре'-

ником 'и$и )е +ен%ар налаи на о)и ро%а+и$е. Нека )е &рои(о1на i − %а ма%ери$ална %а'ка кру%о0 %ела

кре6е &о кру#ни+и &олу&ре'ника ir , "ок $е is∆ &у%

ко$и она &ре*е а (реме t ∆ . На о)но(у "ефини+и$е

у0ла и 0еоме%ри$е, мо#е )е &и)а%и

i is r ϕ ∆ = ∆ , (2.9)

&ри 'ему $е у0аони &омера$ ϕ ∆ и)%и а )(е ма%ери$алне %а'ке кру%о0 %ела. Де1е-

/ем $е"на'ине (2.9) )а (ременом t ∆ у коме )е у0аони &омера$ "е)ио, у уима/е

0рани'не (ре"но)%и, ка"а 0t ∆ → , "о.и$амо

0 0lim limi it t

sr

t t

ϕ ∆ → ∆ →

∆ ∆ =

∆ ∆ . (2.10)

Како $е ir кон)%ан%но а )(е (реме кре%а/а i−

%е ма%ери$алне %а'ке (не а(и)и о" t ∆ ), мо#е )е и(у6и и)&ре" 0рани'не (ре"но)%и. До.и$а )е ира

!лика 2.4


31/188

МЕХАНИКА

15

0 0lim limi

it t

sr

t t

ϕ

∆ → ∆ →

∆ ∆=

∆ ∆. (2.11)

у коме )е на ле(о$ )%рани, на о)но(у формуле (1.4), налаи ин%ени%е% %рену%не

линеарне .рине i

v i − %е ма%ери$алне %а'ке, а на "е)но$ ин%ени%е% у0аоне .рине

ω кру%о0 %ела као +елине

i iv r ω = . (2.12)

На о)но(у формула (1.34) и (1.36), у кори36е/е ираа (2.12), мо0у )е "о.и%и

ираи а %ан0ен+и$алну

8

( )i ii i i

dv d r d a r r dt dt dt

ω ω α = = = = , (2.13)

(0"е )е ir мо#е и(у6и и)&ре" "иферен+и$ала &о3%о $е кон)%ан%но, а i − %у ма%ери-

$алну %а'ку), и нормалну ком&онен%у у.ра/а i − %е ма%ери$алне %а'ке

2 22

n 2( )i i

i i i i i

i i

v va r r r v

r r ω ω ω ω = = = = = . (2.14)

Формуле (2.12-14) мо0у )е на&и)а%и и у (ек%ор)ком о.лику

i iv r ω = ×

, (2.15)

8i ia r α = ×

, (2.16)

ni ia vω = ×

, (2.17)

&ри 'ему $е ir

(ек%ор &оло#а$а i − %е ма%ери$алне %а'ке (&о(у'ен и +ен%ра &о)ма%-

ране кру#ни+е).

3. Динамика материјалне тачке

3.1. Основни #ојмови

Као 3%о $е (е6 ре'ено, "инамика $е "ео механике ко$и &роу'а(а кре%а/е %ела

уима$у6и у о.ир и узроке %их кре%а/а, ко$и )е наи(а$у силама.


32/188


16

Урок &ромене кре%а/а %ела ле#и у /ихо(ом узајамном дејству (интеракцији),

&рем"а оно мо#е .и%и и урок "еформа+и$е %ела ((и3е 6е о %оме .и%и ре'ено ка)-

ни$е). Ин%ерак+и$а мо#е .и%и непосредна (директна), н&р. )у"ар "(е .или$ар)ке

ку0ле, и посредна (индиректна), "о ко$е "олаи &о)ре")%(ом о"ре*ено0 фии'ко0

&о1а, н&р. !ун+е &ри(ла'и &лане%е !ун'е(о0 )и)%ема )(о$им 0ра(и%а+ионим &о-

1ем.

Фии'ка (ели'ина ко$ом )е ира#а(а мера ин%ерак+и$е име*у %ела наи(а )е

сила. По3%о )е ин%ерак+и$а име*у %ела и)&о1а(а &реко &ромене /ихо(е .рине

или &реко "еформа+и$е %ела, кори)%е )е "(а на'ина мере/а )иле:

1. динамички, а)но(ан на мере/у &ромене кре%а/а $е"но0 %ела у)ле" /е0о(е ин%ерак+и$е )а "ру0им %елом;

2. статички, а)но(ан на мере/у "еформа+и$е %ела, иа(ане )илом.

Ако $е о"но) име*у )иле и /оме иа(ане "еформа+и$е %ела линеаран, он"а )е

"еформа+и$а %ела мо#е кори)%и%и а )%а%и'ко мере/е )иле, 3%о $е &риме/ено ко"

динамометра (слика 3.1).

Динамоме%ар )е )а)%о$и о" ела)%и'не о&ру0е 'и$е $е и)%е-а/е x∆ &ро&ор+ионално ин%ени%е%у )иле. И)%еа/е о&ру0е

"инамоме%ра кали.ри3е )е "ело(а/ем )ила рали'и%о0 ин-

%ени%е%а.

Ек)&еримен%ално $е у%(р*ено "а "е$)%(о )иле на %ело а-

(и)и о" на&а"не %а'ке )иле, /ено0 ин%ени%е%а, &ра(+а и )ме-

ра у коме )е (р3и ин%ерак+и$а, 3%о на'и "а $е )ила (ек%ор-)ка (ели'ина.

У )(ако"не(ном #и(о%у мо0у )е $а(и%и "(е %и&а о)но(них

(фун"амен%алних) )ила: гравитационе и електромагнетне. Поре" /их, &о)%о$е $о3

"(а %и&а о(ак(их )ила: нуклеарне $аке и )ла.е )иле ко$е )у кра%ко0 "оме%а, ма/е0

о" 151fm 10 m−= .

Ем&ири$)ки $е у)%ано(1ено "а "е$)%(о и)%е )иле на рали'и%а %ела &роуроку$е

/ихо(о рали'и%о &она3а/е. На &ример, &она%о $е "а 'о(ек мо#е )амо "е$)%(ом

!лика 3.1


33/188

МЕХАНИКА

17

)(о$их ми3и6а "а &омери ау%омо.ил, ме*у%им %о не мо#е у'ини%и ка" $е у &и%а/у

ау%о.у). !(а %ела има$у о)о.ину "а )е о&иру &ромени )(о0 кре%а/а / миро(а/а, ко$а

)е наи(а инерција. К(ан%и%а%и(на мера инер+и$е о"ре*ено0 %ела $е)%е о)но(на

фии'ка (ели'ина ко$а )е наи(а маса, m .

Прои(о" ма)е %ела m и /е0о(е .рине v

наи(а )е импулс (количина кре-

тања)

p mv=

. (3.1)

Је"ини+а а им&ул) у SI )и)%ему $е килограм метар по секунди, kg m s .

3.2. Основни закони динамике

И)ак 5у%н $е 1687. 0о"ине у )(ом "елу »Ма%ема%и'ки акони &риро"не науке«

ило#ио %а"а но(у %еори$у кре%а/а. У о(ом о"е1ку .и6е ре6и о %ри акона, ко$и )у

у$е"но и основни ( "утнови) закони кла)и'не "инамике. На .аи 5у%но(их акона

мо0у6е $е "инами'ки мери%и )илу.

3.2.1. ('!и )утн! за$н (за$н ине'&ије)

О(а$ акон мо#е )е ираи%и на )ле"е6и на'ин: »!(ако %ело о)%а$е у )%а/у миро(а/а или ра(номерно0 &ра(олини$)ко0 кре%а/а )(е "ок &о" "е$)%(ом )иле не

.у"е &рину*ено "а )(о$е )%а/е &ромени.« Дру0им ре'има, %ело (ма%ери$ална %а'ка)

о"р#а(а )%е'ену .рину након &ре)%анка "е$)%(а )ила, или у )лу'а$у ка" )иле не

"елу$у на /е0а. Ма%ема%и'ка формула+и$а о(о0 5у%но(о0 акона $е $е"но)%а(на и

мо#е )е ираи%и на )ле"е6и на'ин

const.v = (3.2)

Дакле, )%е'ена .рина )е о"р#а(а као (ек%ор)ка (ели'ина. 2а %ело ко$е )е кре6е на

%а$ на'ин ка#емо "а )е кре6е &о инер+и$и ()амо &о )е.и), &а $е &р(и 5у%но( акон

&она% и као закон инерције.

Н&р. &ло'и+а а хоке$, ко$а клии &о у0ла'аном ле"у, "у0о 6е )е кре%а%и &ри-

.ли#но кон)%ан%ном .рином, 'ак и ка" не &о)%о$и )ила ко$а у%и'е на /ено кре-

%а/е. Нара(но, &о)ле и(е)но0 (ремена, &ло'и+а 6е )е ау)%а(и%и у)ле" )иле %ре/а

име*у &ло'и+е и ле"а. 4%о $е &о(р3ина ле"а у0ла'ани$а, %ре/е 6е .и%и ма/е


34/188


18

ира#ено и &ло'и+а 6е "у#е клии%и. Ка"а .и )е )ила %ре/а мо0ла у &о%&уно)%и

елимини)а%и, &ло'и+а .и )е кре%ала .е)кона'но "алеко .е &ромене ин%ени%е%а и

&ра(+а )(о$е .рине.

Ек)&еримен%ално $е "окаано "а акон инер+и$е не (а#и а )(е референ%не )и)-%еме, $ер $е ра(номерно &ра(олини$)ко кре%а/е у)ло(1ено &о%&уном иола+и$ом о"

&ри)у)%(а "ру0их %ела. Референ%ни )и)%ем у коме (а#и &р(и 5у%но( акон наи(а

)е инерцијални референтни систем. Тако*е (а#и и "а )и)%ем ко$и )е кре6е &ра(о-

лини$)ки и ра(номерно у о"но)у на неки инер+и$ални )и)%ем $е и )ам инер+и$алан.

Референ%ни )и)%ем у коме не (а#и &р(и 5у%но( акон наи(а )е неинерцијални

референтни систем.

Н&р. а хелио+ен%ри'ни референ%ни )и)%ем ек)&еримен%ално $е у%(р*ено, )а

о"ре*еном %а'но36у, "а &ре")%а(1а инер+и$ални референ%ни )и)%ем. -у"у6и "а )е

2ем1а кре6е око !ун+а &о ели&%и'но$ &у%а/и и и)%о(ремено ро%ира око )(о$е о)е,

о'и0ле"но $е "а )е )(ака %а'ка на 2ем1и кре6е кри(олини$)ки у хелио+ен%ри'ном

референ%ном )и)%ему. По3%о $е )(ако кри(олини$)ко кре%а/е у.рано кре%а/е и

референ%ни )и)%еми (еани а 2ем1у )у неинер+и$ални. Како $е, ме*у%им, у.ра/е

2ем1е мало, у &р(о$ а&рок)има+и$и мо#е )е )ма%ра%и "а )у референ%ни )и)%еми,

ко$и )у (еани а 2ем1у или )е кре6у кон)%ан%ном .рином у о"но)у на /у, инер-

+и$ални референ%ни )и)%еми.

3.2.2. Д'у*и )утн! за$н

О(а$ акон о"ре*у$е карак%ери)%ике кре%а/а %ела &о" "е$)%(ом )ила, и 0ла)и:

»Грани'на (ре"но)% &ромене им&ул)а %ела p∆

у елемен%арном (ремен)ком ин-

%ер(алу, &о"е1ена )а t ∆ , ка"а 0t ∆ → , $е"нака $е )или ко$а "елу$е на %ело и о"(и$а

)е у &ра(+у и )меру %е )иле.« О(о )е мо#е а&и)а%и као

0limt

p dpF

t dt ∆ →

∆= =

∆

. (3.3)

Ако $е ма)а %ела кон)%ан%на, .и6е

( )dp d mv dvm m a F dt dt dt

= = = =

. (3.4)


35/188

МЕХАНИКА

19

О(о на'и "а )е %ело кон)%ан%не ма)е m мо#е кре%а%и у.рано )амо у)ле" "е$)%(а

о"ре*ене )иле на %ело, &ри 'ему )е &ра(а+ и )мер у.ра/а %ела &о"у"ара$у )а &ра(-

+ем и )мером %е )иле, "ок $е ин%ени%е% у.ра/а &ро&ор+ионалан ин%ени%е%у

)иле, &am

opsta fizika 1.pdf

Documents