oppsummering faktor 1 - minskole.no · 2015-11-01 · oppsummering faktor 1–3 9 utviding og...

OppsummeringFa

ktor

1–3

4

Oppsummering Faktor 1–3Tall og algebra

Naturlige tallNaturlige tall er hele tall som er større enn 0.

1 2 3 4 5 6 ...

Vi kan skrive naturlige tall på utvidet form.

1234 = 1 � 1000 + 2 � 100 + 3 � 10 + 4 � 1

Partall og oddetallPartall er hele tall som er delelige med 2.

2 4 6 8 10 ...

Oddetall er hele tall som ikke er delelige med 2.

1 3 5 7 9 11 ...

Primtall og sammensatte tallPrimtall er naturlige tall som bare er delelige med 1 og seg selv.

2 3 5 7 11 13 17 ...

Sammensatte tall kan skrives som et produkt av naturlige tall som er størreenn 1.

42 = 2 � 3 � 7

FaktoriseringNår vi faktoriserer et tall, skriver vi tallet som et produkt med flere faktorer.

24 = 3 � 8 24 = 4 � 6 24 = 2 � 12

Primtallsfaktorisering: 24 = 2 � 2 � 2 � 3 Alle faktorene er primtall

Oppsummering Faktor 1–3 5

DesimaltallEt desimaltall består av et helttall og desimaler.

Tallet 64,32 har to desimaler.

Den plassen et siffer har i et tall,er avgjørende for verdien til sifferet.

De fire regneartene

Addisjon SubtraksjonLedd + ledd = sum Ledd – ledd = differanse

Multiplikasjon DivisjonFaktor . faktor = produkt Dividend : divisor = kvotient

PotenserNår vi multipliserer tall eller variabler som er like store, kan vi skrive dem somen potens.

5 � 5 � 5 � 5 � 5 � 5 = 56

x � x � x = x3

Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potensmed det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen aveksponentene i de potensene vi multipliserer.

23 � 24 = 23 + 4 = 27

x3 � x2 = x3 + 2 = x5

Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens meddet samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i tellerenminus eksponenten i nevneren.

56 : 52 =56

52= 56 -- 2 = 54

x6 : x2 =x6

x2= x6 -- 2 = x4

6 4,3 2

OppsummeringFa

ktor

1–3

6

Tall på standardform og på utvidet form

Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på standardform.

250 000 = 2,5 � 105Vanlig form Standardform

0,0025 = 2,5 � 10�3

Vanlig form Standardform

Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på utvidet form.

24 537 = 2 � 10 000 + 4 � 1000 + 5 � 100 + 3 � 10 + 7 � 1= 2 � 104 + 4 � 103 + 5 � 102 + 3 � 101 + 7 � 100

385,39 = 3 � 100 + 8 � 10 + 5 � 1 + 3 � 0,1 + 9 � 0,01= 3 � 102 + 8 � 101 + 5 � 100 + 3 � 10�1 + 9 � 10�2

KvadrattallHvis x er et helt tall, kaller vi x2 et kvadrattall.

5 � 5 = 52 = 25

25 er et kvadrattall.

KvadratrotKvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv girtallet x.

ffiffiffiffiffi

25p

= 5 fordi 5 � 5 = 25

TrekanttallVi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover.

1 + 2 = 3 3 er et trekanttall1 + 2 + 3 = 6 6 er et trekanttall


Negative tallNegative tall er alle tall som er mindre enn 0.

Regning med fortegnstallÅ legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarendepositive tallet.

10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3

Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarendepositive tallet.

10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17

Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall og et negativt tall, blir svaretet negativt tall.

25 � ð--5Þ = --125

25 : ð--5Þ ¼ --5

Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall, blir svaret et positivt tall.

--25 � ð--5Þ = 125

--25 : ð--5Þ = 5

RomertallI romertallsystemet bruker vi bokstaver som symboler for tall.

Når et mindre romertall står foran et større tall, trekker vi det minste tallet fradet største.

Når det største tallet står først, skal du addere tallene. Vi plasserer aldriromertallene V, L eller D foran et tegn med høyere verdi.

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

Negative tall Positive tall

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

OppsummeringFa

ktor

1–3

8

TotallssystemetI totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dettetallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.).

1 1 0 1 1 16 (24) 8 (23) 4 (22) 2 (21) 1 (20)

Tallet 11011 i totallssystemet er

11011 = 1 � 24 + 1 � 23 + 0 � 22 + 1 � 2 + 1 � 1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27

i titallssystemet.

BrøkEn brøk består av teller, nevner og brøkstrek. Brøkstreken er det samme somdivisjonstegn.

Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1.

55= 1

Uekte brøk og blandet tall32

= 112

Uekte brøk Blandet tall

34

TellerBrøkstrekNevner


Utviding og forkorting av brøkNår vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med det sammetallet.

15=1 � 35 � 3 =

315

Når vi forkorter en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det sammetallet.

416

=4 : 416 : 4

=14

Addisjon og subtraksjon av brøkerNår vi skal addere eller subtrahere to eller flere brøker som har like nevnere,legger vi sammen tellerne og beholder nevneren.

79--59=7 -- 59

=29

Hvis brøkene ikke har lik nevner, må vi først finne fellesnevner.

23+14=2 � 43 � 4 +

1 � 34 � 3 =

812

+312

=8 + 312

=1112

Brøk og desimaltallEn brøk kan skrives som desimaltall. Da dividerer vi telleren med nevneren.

35= 3 : 5 = 0,6

Alle desimaltall kan skrives som en brøk med nevneren 10, 100, 1000 osv.

0,12 =12100

Mange brøker kan ikke skrives som et eksakt desimaltall. Da runder vi av tilønsket antall desimaler.

23= 0,6666 . . . � 0,67

OppsummeringFa

ktor

1–3

10

Brøk og multiplikasjonVi multipliserer et helt tall med en brøk ved å multiplisere det hele tallet medtelleren.

4 � 23=4 � 23

=83= 2

23

Vi multipliserer to eller flere brøker med hverandre ved å multiplisere tellerenmed telleren og nevneren med nevneren.

13� 23=1 � 23 � 3 =

29

Brøk og divisjonVi dividerer en brøk med en brøk ved å multiplisere med den omvendtebrøken.

49:12=49� 21=89

4 :23=4 � 31 � 2 =

122

= 6

ForholdForholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre.

Forholdet mellom 5 og 25 er

5 : 25 =15= 1 : 5

ProsentProsent betyr hundredeler.

5 % =5

100

Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall

5 % =5

100= 0,05

Prosent Brøk Desimaltall


Prosenten av et tallNår vi skal regne ut prosenten av et tall, gjør vi om prosenten til desimaltallog multipliserer med tallet.

5 % av 500 kr er

0,05 � 500 kr = 25 kr

Å finne prosentenVi finner ut hvor mange prosent 40 kr er av 250 kr slik:

40 kr250 kr

= 0,16

0,16 =16100

Det betyr at 0,16 = 16 %40 kr er 16 % av 250 kr

PromillePromille betyr tusendeler.Vi regner med promille på samme måte som vi regner med prosent.

5 ‰ =5

1000= 0,005

5 ‰ av 12 000 kr er 0,005 � 12 000 kr = 60 kr

Utregning av talluttrykkNår det er flere regnearter i et talluttrykk, regner vi i denne rekkefølgen:

1 parenteser2 multiplikasjon og divisjon3 addisjon og subtraksjon

5 + 3 � (4 + 2) = 5 + 3 � 6 = 5 + 18 = 23

BokstavuttrykkRegneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk ellerbokstavuttrykk. Bokstaven står da i stedet for et hvilket som helst tall.Bokstaven kaller vi en variabel.

A = g � hO = 2a + 2b

OppsummeringFa

ktor

1–3

12

Sette inn tall i bokstavuttrykkVi finner verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn tall for variablene ogregne ut uttrykket som et talluttrykk.

Hvis vi setter a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b får vi:

2a + 2b = 2 � 4 + 2 � 6 = 8 + 12 = 20

Regning med bokstavuttrykkNår vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som harden samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulikebokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall ogbokstavledd med bokstavledd.

5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b3x � 5y = 15xy3a2 � 2a3 = 6a5

4x7 : 2x3 = 2x4

Bokstavuttrykk og parenteserNår vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegneneinne i parentesen.

4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3

Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved å endre fortegnene på alleleddene inne i parentesen.

6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y

Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vitallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis talleteller bokstavuttrykket er negativt, må vi bytte fortegn på alle leddene inne iparentesen.

2xð5 + 7Þ = 2x � 5 + 2x � 7 = 10x + 14x = 24x

--2xð5 -- 7Þ = --2x � 5 -- 2x � ð--7Þ = --10x + 14x = 4x


Multiplikasjon av to parentesuttrykkNår vi multipliserer to parentesuttrykk med hverandre, multipliserer vi hvertledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen.

ða + 2Þ � ð2a -- 3Þ = a � 2a + a � ð -- 3Þ + 2 � 2a + 2 � ð -- 3Þ= 2a2 -- 3a + 4a -- 6 = 2a2 + a -- 6

KvadratsetningeneFørste kvadratsetning: ða + bÞ2 = a2 + 2ab + b2

Andre kvadratsetning: ða -- bÞ2 = a2 -- 2ab + b2

Tredje kvadratsetning: ða + bÞða -- bÞ = a2 -- b2

FaktoriseringVi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt avprimtallsfaktorer.

15x2y = 3 � 5 � x � x � yVi faktoriserer før vi forkorter en brøk.

4x2y6xy

=2 � 2 � x � x � y2 � 3 � x � y =

2x3

Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom tokvadrater. Da bruker vi setningen slik:

a2 -- b2 = ða + bÞða -- bÞ

Sammentrekking av brøkuttrykk med ett ledd i nevnerVi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk.

34x

+56x

--23x

=

3 � 34x � 3 +

5 � 26x � 2 --

2 � 43x � 4 =

912x

+1012x

--812x

=

1112x

Fellesnevner er 12x.

OppsummeringFa

ktor

1–3

14

Sammentrekking av brøkuttrykk med flere ledd i nevnera + 12a + 2

+2a + 23a + 3

=

a + 12ða + 1Þ +

2a + 23ða + 1Þ =

ða + 1Þ � 32ða + 1Þ � 3 +

ð2a + 2Þ � 23ða + 1Þ � 2 =

3a + 3 + 4a + 46ða + 1Þ =

7a + 76ða + 1Þ =

7ða + 1Þ6ða + 1Þ =

76

Egne notater:

Fellesnevner er 6ða + 1Þ.


Likninger og ulikheterLøsing av likningerI en likning er det to uttrykk som har samme verdi, ett på hver sin side avlikhetstegnet.

Å løse en likning vil si å bestemme den ukjente, slik at begge sider avlikhetstegnet får samme verdi.

x + 5 = 11 har løsningen x = 6, fordi 6 + 5 = 11

Regneregler for likningerVi kan addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med samme tall påbegge sidene av likhetstegnet i en likning.

Addisjonx -- 3 = 11

x -- 3 + 3 = 11 + 3

x = 14

Subtraksjonx + 6 = 13

x + 6 -- 6 = 13 -- 6

x = 7

Å sette prøve på likningerVi setter prøve på en likning ved å sette inn verdien for den ukjente ogundersøke om venstre og høyre side av likhetstegnet får samme verdi.

3x + 4 = 8 + 2x

3x -- 2x = 8 -- 4

x = 4

Prøve:Venstre side: Høyre side:

3x + 43 � 4 + 412 + 416

8 + 2x8 + 2 � 48 + 816

Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side.x = 4 er derfor riktig løsning.

Divisjon4x = 20

4x4

=204

x = 5

Multiplikasjonx7= 4

x � 77

= 4 � 7x = 28

Setter inn 4 i stedet for x.

OppsummeringFa

ktor

1–3

16

Kvadratiske likningerLikninger av typen x2 = 25 kaller vi kvadratiske likninger. Kvadratiske likningerhar alltid to løsninger.

x2 = 25

x =ffiffiffiffiffi

25p

eller x = --ffiffiffiffiffi

25p

x = 5 eller x = --5

Likninger med brøkNår vi skal løse en likning med brøk, multipliserer vi hvert ledd i likningenmed fellesnevneren.

2x3

--x4=x6+14

2x � 123

--x � 124

=x � 126

+1 � 124

8x -- 3x = 2x + 3

8x -- 3x -- 2x = 3

3x = 3

3x3

=33

x = 1

Grafisk løsing av likningerVi løser likningen x + 2 = 2x -- 3grafisk ved å tegne linjene y = x + 2og y = 2x -- 3 i det sammekoordinatsystemet.Førstekoordinaten til skjærings-punktet gir løsningen.

Løsningen er x = 5.

Her er fellesnevneren 12.

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

y

y = x + 2

y = 2x – 3

x


Likninger med to ukjenteÅ løse to likninger med to ukjente vil si å finne verdier for de ukjente sompasser i begge likningene.

Løsning av likningssett ved regning:I 2x + y = 7II y -- x = 1

II y = x + 1

I 2x + x + 1 = 7

3x = 6

x = 2

II y = x + 1y = 2 + 1y = 3

x = 2 og y = 3

Grafisk løsning av likningssett:

I 2x + y = 7II y -- x = 1

I y = --2x + 7II y = x + 1

Vi setter dette uttrykket inn i denandre likningen og løser denne.

Vi finner et uttrykk for en av deukjente fra en av likningene.

Vi finner verdien av den andreukjente ved å sette inn verdien til x.

Vi uttrykker y ved hjelp av x i begge likningene.

OppsummeringFa

ktor

1–3

18

Vi tegner til slutt de to linjenei det samme koordinatsystemetog leser av koordinatenetil skjæringspunktet.

Løsningen er:x = 2 og y = 3

UlikheterI en ulikhet kan vi flytte et ledd over på motsatt side av ulikhetstegnet hvis visamtidig skifter fortegn på leddet.

2x -- 3 < 7

2x < 7 + 3

2x < 10

x < 5

Vi kan dividere med positive tall på begge sider av ulikhetstegnet.

3x > 123x3

>123

x > 4

Vi kan dividere med negative tall på begge sider av ulikhetstegnet hvis visamtidig snur ulikhetstegnet.

--3x > 12--3x--3

<12--3

x < --4

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4

y

y = x + 1

y = –2x + 7

x


Omforming av formlerVi kan bruke en formel til å lage en ny formel.

Formelen for omkretsen O av et kvadrat er O = 4s, der s er siden i kvadratet.Vi kan lage en formel for s:

O = 4s

O4=4s4

O4= s

s =O4

Egne notater:

OppsummeringFa

ktor

1–3

20

ØkonomiMerverdiavgiftPå de fleste varer og tjenester må vi betale merverdiavgift (mva.). Merverdi-avgift blir ofte kalt moms. I 2013 var avgiften 25 % på de fleste varene. Påmatvarer var avgiften 15 %.

Ekskl. mva. betyr at prisen er oppgitt uten merverdiavgift.Inkl. mva. betyr at prisen er oppgitt med merverdiavgift.

RabattRabatt er avslag i pris. Det betyr at en vare blir solgt for en lavere pris enn denopprinnelige. Rabatten blir ofte gitt i prosent.

RenteBanken betaler oss renter når vi har penger i banken. På samme måte betalervi renter til banken når vi låner penger av banken.

Vi finner rentene for ett år ved å multiplisere renten i prosent med kapitalen.Kapitalen er 5000 kr. Renten er 3 % p.a.

Rentene for ett år er

0,03 � 5000 kr = 150 kr

Rentedager regner vi ut ved å telle dager på kalenderen.Rentene for én dag er

Rente for ett år365

Rente for 120 dager er: Rente for én dag � 120

AvbetalingNår vi kjøper noe på avbetaling, betaler vi bare en viss del kontant(med én gang). Resten betaler vi etter hvert, men da ofte med ganske storerentetillegg.

LønnFast lønn er avtalt lønn for den tiden vi arbeider. Det kan være fast timelønneller fast månedslønn.


SkattSkatt blir regnet ut etter et tabellkort eller etter en bestemt prosent avtrekkgrunnlaget. Trekkgrunnlaget blir ofte regnet ut slik:

Bruttolønn– Pensjonstrekk-- Fagforeningskontingent

= Trekkgrunnlag

SerielånI et serielån er avdragene like store hver termin.Terminbeløpet er summen av renter og avdrag.

AnnuitetslånI et annuitetslån er terminbeløpene like store hver termin.Avdragene er minst i begynnelsen og blir større etter hvert.

ForsikringerForsikring er en ordning som sikrer oss økonomisk mot uventede forhold sombrann, tyveri, trafikkuhell osv.Vi betaler en årlig sum, forsikringspremie, for de forskjellige forsikrings-ordningene.

Budsjett og regnskapEt budsjett er en plan for hvordan vi skal bruke pengene. Vi setter det opp førvi skal bruke pengene.Et regnskap er en oversikt over hva vi faktisk har brukt pengene til.Regnskapet fører vi etter at vi har brukt pengene.

Egne notater:

OppsummeringFa

ktor

1–3

22

Geometri

Linjer og punkter

Et linjestykke har et startpunktog et endepunkt.

En stråle har et startpunkt, men ikkenoe endepunkt.

En linje fortsetter uendeligi begge retninger.

Et punkt tegnes ofte med etkryss eller en prikk.

Skjæringspunktet mellom to linjermerkes med en stor bokstav.

To linjer er parallelle når avstandenmellom dem hele tiden er densamme.Vi skriver: l || m

Vinkler

En spiss vinkel er En rett vinkelmindre enn 90�: er lik 90�.

Slik måler vi en vinkelmed gradskive:

En stump vinkeler større enn 90�:

A B A

l

P PP

P

l

m

ml

Venstre vinkelbein

Toppunkt

Høyre vinkelbein

180

170

160

150 1

40

130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

62˚


Nabovinkler har samme toppunktog ett vinkelbein felles.

u + v = 180�

Toppvinkler har samme toppunkt ogfelles vinkelbein i motsatt retning.

u = vw = x

KonstruksjonNår vi skal konstruere mangekanter, kan vi få bruk for disse konstruksjonene:

Konstruksjon av 90° Konstruksjon av 60°

Halvering av en vinkel Nedfelling av ennormal fra etpunkt til en linje

Midtnormal

uv

u

x

v

w

P

OppsummeringFa

ktor

1–3

24

TrekanterI en rettvinklet trekant er én avvinklene 90°.

I en likebeint trekant er to sider likelange og to vinkler like store.

I en likesidet trekant er alle sidenelike lange og alle vinklene 60°.

Vinkelsummen i en trekant er alltid180°.

30° + 60° + 90° = 180°

FirkanterI et kvadrat er alle sidene likelange og alle vinklene 90°.

I et rektangel er to og to siderlike lange og alle vinklene 90°.

I en rombe er alle sidene like langeog motstående vinkler like store.

I et trapes er to avsidene parallelle.

I et parallellogram er to og to siderlike lange og parallelle. Motståendevinkler er like store.

60°

30°


SirkelenVi kaller linjestykket fra sentrum tilsirkellinjen radius. Linjestykket fra etpunkt på sirkellinjen til et annet,kaller vi en korde. Diameteren erden lengste korden vi kan trekke.

Ei linje som rører ved (tangerer)sirkellinjen i et punkt, kaller vi entangent. Tangenten står alltid vin-kelrett på radien fra tangerings-punktet.

Vinkelsummen i mangekanterVi kan finne vinkelsummen i mangekanterved å dele disse inn i trekanter.

Vinkelsummen i femkanten er:

3 � 180� = 540�

Regulær mangekantI en regulær mangekant er alle vinklene like store og alle sidene like lange.

Figurer og mønstreEt regulært mønster består avlike regulære mangekanter.

Et semiregulært mønster består avto eller flere slag regulæremangekanter.

radiussentrum

sirkellinje

diameter

tangent

korde

OppsummeringFa

ktor

1–3

26

Det gylne snitt og det gylne rektangelDet gylne snitt deler en lengde i forholdet 1,618.

I et gyllent rektangel er forholdet mellom den lengste siden og den kortestesiden 1,618.

5,15 cm : 3,18 cm � 1,62

Pytagoras-setningenVi bruker Pytagoras-setningen til å finne en ukjent side i en rettvinklettrekant.

Katet2 + Katet2 = Hypotenus2

KatetKatet

C

A BHypotenus

Spesielle trekanter og Pytagoras-setningen

Trekanter med vinkler på 45°, 45° og 90°I en slik trekant er katetene like lange. Dersom vi kjenner lengden til bare énav sidene, kan vi finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen.

5,15 cm

3,18 cm


Vi finner katetene på denne måten:

x2 + x2 = BC2

2x2 = 82

2x2 = 64

x2 =642

= 32

x =ffiffiffiffiffi

32p

x � 5,7

Trekanter med vinkler på 30°, 60° og 90°I en rettvinklet trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°, er hypotenusen dobbeltså lang som den minste kateten.Vi finner den minste kateten (x) og hypotenusen (2x) på denne måten når vikjenner bare den lengste kateten (AC):

x2 + AC2 = ð2xÞ2x2 + 52 = 4x2

25 = 4x2--x2

25 = 3x2

253

= x2

x2 � 8,33

x � ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

8,33p

x � 2,9

FormlikhetNår to figurer er formlike, er vinklene parvis like store. Forholdet mellomensliggende sider er likt.

60°

30°A B

C

60°

30°D E

F

4ABC � 4DEFTrekant ABC er formlik med trekant DEF.

A B

C

x

x

8 cm

60°90°

5 cm2x

x

30°

C

A B

OppsummeringFa

ktor

1–3

28

KongruensTo figurer er kongruente når den ene figuren nøyaktig kan dekke den andre.Det vil si at figurene er formlike og like store.

A B D E

C F

4ABC ffi 4DEFTrekant ABC er kongruent med trekant DEF.

KongruensavbildningerSpeilingssymmetriEn figur er symmetrisk hvis den kan deles i tokongruente figurer som dekker hverandre når vibretter dem om symmetriaksen. En og sammefigur kan ha flere symmetriakser.

Speiling ved hjelp av et koordinatsystemNår vi speiler en figur vedhjelp av et koordinatsystem,speiler vi figuren omførsteaksen eller andreaksen.

Symmetriakse

yAndreaksen

Førsteaksen

x


Speiling ved hjelp av passer og linjalNår vi speiler en figur om en linje, brukervi passer og linjal. Vi nedfeller normalerfra punkter på figuren til linja.Vi avsetter så avstanden frapunktet til motsatt side avnormalen slik at vi får etnytt punkt.

RotasjonHvis det ikke er gitt beskjed om noe annet, utfører vi rotasjonen mot venstre.

Rotasjon om punktet P. Rotasjon om hjørnet A.

P

A

A

B

B’

B’

C

C’

C’

B

C

A’

Parallellforskyving

AB

C

A’ B’

C’

l

OppsummeringFa

ktor

1–3

30

Perspektivtegning med ett eller to forsvinningspunkter

Egne notater:


Måling og enheter

Omkretsen og arealet til mangekanterVi finner omkretsen til en mangekant ved å summere alle sidene.Vi finner arealet til en mangekant ved å bruke formlene som er vist nedenfor:

Rektangel

A = l � b

Parallellogram

A = g � h

Trapes

A =ða + bÞ � h

2

Trekant

A =g � h2

Omkretsen og arealet til en sirkelVi regner ut omkretsen til en sirkelved hjelp av denne formelen:

O = � . d

der � = 3,14

Arealet regner vi ut ved hjelp avdenne formelen:

A = �r2

b

l

h

g

a

b

h

g

h

radius (r)

diameter (d)

OppsummeringFa

ktor

1–3

32

Omkretsen og arealet til en sirkelsektor

Osirkelsektor =�d � v360

+ 2r

Asirkelsektor =�r2 � v360

der v er vinkelen til sektoren.

Enheter for lengdeDe vanligste lengdeenhetene er meter (m), desimeter (dm), centimeter (cm),millimeter (mm), kilometer (km) og mil.

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm1 mil = 10 km = 10 000 m

MålestokkMålestokken er et mål for hvor stor en forstørring eller forminskning er.

M = 20 : 1

betyr at 1 cm i virkeligheten svarer til 20 cm på tegningen.Det vil si at tegningen er en forstørring av virkeligheten.

M = 1 : 10

betyr at 1 cm på tegningen svarer til 10 cm i virkeligheten.Det vil si at tegningen er en forminskning av virkeligheten.

Vi finner målestokken til en forstørring ved å dividere forstørringen med denvirkelige lengden.

Vi finner målestokken til en forminskning ved å dividere den virkelige lengdenmed den målte lengden.

Enheter for arealDe vanligste arealenhetene er kvadratmeter (m2), kvadratdesimeter (dm2),kvadratcentimeter (cm2), kvadratmillimeter (mm2), kvadratkilometer (km2)og mål/dekar (daa).

1 m2 = 100 dm2 100 m2 = 1 a (ar)1 dm2 = 100 cm2 100 a = 10 000 m2

1 cm2 = 100 mm2 10 000 m2 = 1 ha (hektar)1 mål � 1 daa = 1000 m2

r

v


Enheter for volumDe vanligste volumenhetene er kubikkmeter (m3), kubikkdesimeter (dm3),kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmillimeter (mm3).

1 m3 = 1000 dm3 = 1000 liter1 dm3 = 1000 cm3 = 1 liter1 cm3 = 1000 mm3

1 liter = 10 dL = 100 cL = 1000 mL

Vei, fart og tidVi bruker forskjellige enheter for tid, for eksempel timer (h), minutter (min),sekunder (s), dager, uker og år.

1 h = 60 min 1 h = 60 min = 60 � 60 s = 3600 s1 min = 60 s 3,6 km/h = 1 m/s

Sammenhengen mellom vei, fart og tid kan vi skrive slik:

veilengde = fart � tidfart = veilengde : tidtid = veilengde : fart

Egne notater:

OppsummeringFa

ktor

1–3

34

Romgeometri og massetetthet

Volumet og arealet av overflaten til et prismeVi finner volumet V til et prisme ved å multipliserearealet av grunnflaten G med høyden h.

V = G � h

Overflaten til et rett firkantet prisme består av seks rektangler.Vi finner arealet til overflaten ved å summere arealene til rektanglene.

Volumet og arealet av overflatentil en sylinderVi finner volumet V til en sylinder vedå multiplisere arealet av grunnflaten Gmed høyden h.

V = G � heller

V = �r2 � hOverflaten til en sylinder er satt sammenav to like store sirkelflater og et rektangel.Arealet er:

A = 2�r2 + 2�r � h

Volumet til en pyramideVolumet V til en pyramide er:

V =G � h3

Volumet til en kjegleVolumet V til en kjegle er:

V =G � h3

=�r2 � h

3

G

h

h

G

h

r

r

G

h

G

h


Volumet og arealet av overflaten til en kuleVolumet V til en kule er:

V =4�r3

3

Arealet A av overflaten til en kule er:

A = 4�r2

MasseDe vanligste enhetene for masse er kilogram (kg), hektogram (hg), gram (g),milligram (mg) og tonn.

1 kg = 10 hg = 1000 g1 g = 1000 mg1 hg = 100 g1 tonn = 1000 kg

MassetetthetMassetettheten til et stoff oppgis ofte i gram per kubikkcentimeter (g/cm3)eller i kilogram per kubikkdesimeter (kg/dm3).

Massetettheten =massen (vekten)

volumet

Vi skriver det også slik: T =MV

Gull har for eksempel massetettheten 19,3 g/cm3.

1 tonn/m3 = 1 kg/dm3 = 1 g/cm3

Egne notater:

r

OppsummeringFa

ktor

1–3

36

Statistikk

Frekvens og relativ frekvensFrekvens er hvor mange ganger en bestemt observasjon eller hendelseforekommer.

Relativ frekvens er frekvensen dividert på antall observasjoner.

Vi kan skrive den relative frekvensen som:

14

= 0,25 = 25 %

Brøk Desimaltall Prosent

Vi presenterer frekvensene i en frekvenstabell:

Kjønn Frekvens Relativ frekvens

Jenter 121225

= 0,48 = 48 %

Gutter 131325

= 0,52 = 52 %

Sum 252525

= 1,00 = 100 %

GjennomsnittVi regner ut gjennomsnittet ved å summere alle observasjonene og dividerepå antall observasjoner.

Gjennomsnittet av tallene 4, 6 og 8 er4 + 6 + 8

3= 6


MedianMedianen er den midterste observasjonen når observasjonene er ordnet istigende rekkefølge.

12 14 17 21 30

Medianen er 17.

Hvis antall observasjoner er partall, er medianen gjennomsnittet av de tomidterste observasjonene.

TypetallTypetallet er den eller de observasjonene som har den høyeste frekvensen.

Rød Blå Blå Gul Rød Grønn Blå

Typetallet er blå.

VariasjonsbreddeVariasjonsbredden er differansen mellom den høyeste og den laveste verdientil observasjonene i en undersøkelse.

6 km 2 km 8 km 3 km 9 km

9 km – 2 km = 7 km

Variasjonsbredden er 7 km.

SøylediagramVi bruker søylediagram nårobservasjonene ikke er tall.Frekvensen merker vi av påandreaksen.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Antall elever

2. aksen

Katt Hund KjæledyrFørsteaksen

OppsummeringFa

ktor

1–3

38

StolpediagramVi bruker stolpediagram nårobservasjonene er tall.Frekvensen merker vi avpå andreaksen.

LinjediagramVi bruker linjediagram når vivil vise forandring eller utviklingover tid. Tidsenhetene merkervi av på førsteaksen.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4 5 6321

Antall elever

Karakter

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Centimeter snø

Januar Februar Mars


SektordiagramVi finner gradtallet til hver sektor ved å multiplisere prosenten eller denrelative frekvensen med 360°.

Svar(Alternativ) Frekvens

Relativfrekvens Prosent

Gradtall tilsirkelsektorene

Ja 3 35 = 0,6 0,6 � 100 = 60 % 0,6 � 360° = 216°

Nei 2 25 = 0,4 0,4 � 100 = 40 % 0,4 � 360° = 144°

Sum 5 1 100 % 360°

Ja

Nei

Egne notater:

OppsummeringFa

ktor

1–3

40

Sannsynlighet

KombinatorikkVi bruker kombinatorikk for å finne antallet kombinasjoner eller antalletmulige måter å kombinere ting på. Vi kan kombinere bokstavene A, B og C påseks ulike måter:

ABC BAC CABACB BCA CBA

Trediagrammet viser antallet mulige utfall på tre spørsmål der svaralterna-tivene er JA eller NEI:

JA NEI1. spørsmål

2. spørsmål JA NEI JA NEI

JA NEI JA NEI JA NEI JA NEI3. spørsmål

Vi teller de nederste greinene for å finne antallet kombinasjoner. Her er detåtte mulige kombinasjoner eller utfall.

SannsynlighetHvis alle utfallene for en hendelse er like sannsynlige, finner vi sannsynlig-heten for et utfall slik:

Sannsynligheten =antallet gunstige utfallantallet mulige utfall

Sannsynligheten for en hendelse er alltid et tall mellom 0 og 1 og oppgis sombrøk, desimaltall eller prosent.

Sannsynlighet ved flere utfallNår sannsynligheten bestemmes av flere utfall, kan vi bruke et trediagram forå finne alle mulighetene.

krone1. kast

krone2. kast mynt

mynt

krone mynt


Antall mulige utfall er fire.

Sannsynligheten for å få krone i første kast og mynt i andre kast er14:

Vi kan også bestemme sannsynligheten ved hjelp av multiplikasjon.

Pðkrone, myntÞ =12� 12=14= 0,25 = 25 %

Sannsynlighet bestemt ved forsøkVi kan bestemme sannsynligheten for et utfall ved forsøk. Den relativefrekvensen er omtrent lik sannsynligheten for utfallet. Vi finner den relativefrekvensen slik:

Den relative frekvensen =antall ganger vi får utfallet

antall forsøk

Jo flere forsøk vi gjør, jo bedre verdier vil vi finne for sannsynligheten.

Egne notater:

OppsummeringFa

ktor

1–3

42

Funksjoner

KoordinatsystemEt koordinatsystem består av to akser, førsteaksen og andreaksen. Aksene stårvinkelrett på hverandre. Aksene skjærer hverandre i origo.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

Førsteaksen

Andreaksen

Origo

A

KoordinaterAlle punktene i et koordinatsystem er bestemt av et tallpar som vi kallerkoordinatene til punktet. Vi finner førstekoordinaten på førsteaksen, ogandrekoordinaten på andreaksen.

Koordinatene til punktet A ovenfor er (2, 3).

FunksjonEn størrelse y er en funksjon av en annen størrelse x hvis det til hver verdi av xsvarer én verdi av y.

y er for eksempel en funksjon av x gitt ved formelen y = 70 � x:


Grafen til en funksjonEn graf viser sammenhengen mellom to variabler x og y.Når vi lager grafen, velger vi verdier for x og regner ut verdier for y. De tallenevi velger, skal stå langs førsteaksen. De tallene vi regner ut, skal stå langsandreaksen.Vi kan tegne en graf på grunnlag av en likning eller funksjonsuttrykk:

y = 2x

Grafen til funksjonen y = 2x er en rett linje.Vi velger verdier for førstekoordinaten og setter opp en tabell. Så regner vi utverdiene for andrekoordinatene og tegner grafen til likningen.

x 2 3 4

y 4 6 8

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

OppsummeringFa

ktor

1–3

44

Lineære funksjonerEn lineær funksjon er av typen y = ax + b.

Tallet b i uttrykket kaller vi konstantleddet.Dette forteller hvor linja skjærer andreaksen.

Tallet a i uttrykket kaller vi stigningstallet forlinja. Stigningstallet forteller hvor mye y økereller minker når x øker med 1.

Hvis tallet b er 0, går linja gjennom origo.

Funksjonen y = 2x + 3 er et eksempel på enlineær funksjon.Her er konstantleddet 3, og linja skjærerandreaksen gjennom tallet 3.Stigningstallet er 2. Når x øker med 1,øker y med 2.

Kvadratiske funksjonery = x2 -- 2 er et eksempel på en kvadratisk funksjon.Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel.

x –2 –1 –0,5 0 0,5 1 2

y 2 –1 –1,75 –2 –1,75 –1 2

7

6

5

4

3

2

1

–1

–2 –1 1 2 3

y

x

origo

1

2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5y

x


Proporsjonale størrelserSammenhengen mellom to proporsjonale størrelser x og y kan vi alltiduttrykke på formen y = k � x, der k er et hvilket som helst tall bortsett fra 0.

Grafen til proporsjonale størrelser eralltid en rett linje gjennom origo.

Til høyre ser du grafen tilfunksjonen y = 2x.

x 0 1 2

y 0 2 4

Omvendt proporsjonale størrelserSammenhengen mellom to størrelser x og y som er omvendt proporsjonale,

kan vi uttrykke på formen y =kx, der k kan være et hvilket som helst tall

bortsett fra 0.

Grafen til omvendt proporsjonale størrelser er en hyperbel.

På neste side ser du grafen til funksjonen y =10x:

x 1 2 4 5 10

y 10 5 2,5 2 1

4

3

2

1

–1

–2 –1 1 2

y

y = 2x

x

OppsummeringFa

ktor

1–3

46

Egne notater:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10y

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10y

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10y

x

Tabeller 47

TabellerNoen utvalgte desimale multipler av SI-enheter (prefikser)

Faktorer Prefiks

Navn Symbol

1012 tera T

109 giga G

106 mega M

1000 kilo k

100 hekto h

10 deka da

0,1 deci d

0,01 centi c

0,001 milli m

10�6 mikro μ

10�9 nano n

Navn og symbol for multipler av grunnenheten for masse lages ved å føyeprefiksene til betegnelsen gram (g), for eksempel milligram (mg), hektogram(hg), etc.

Andre enheter

Størrelse Enhet

Navn Symbol, verdi

Elektrisk strøm ampere A

Termodynamisk temperatur kelvin K (K = °C + 273,15)

Celsiustemperatur grad celsius °C

Effekt watt W

Elektrisk spenning volt V

Resistans ohm Ω

Lengde nautisk mil 1 nautisk mil = 1852 m

Hastighet knop 1 knop = 1 nautisk mil per time

Tabeller

48

Grunnleggende matematiske symboler

Symbol Navn Mening /definisjon Eksempel

+ Plusstegn Addisjon 2 + 3

– Minustegn Subtraksjon 2 – 3

– Minustegn Fortegn –2

� Gangetegn Multiplikasjon 2 � 3: Deletegn Divisjon 2 : 3

/ Deletegn Divisjon 2 / 3

Brøkstrek Divisjon23

= Likhetstegn Likhet 2 + 3 = 5

6¼ Ikke lik Ulikhet 2 6¼ 3

� Omtrent lik � � 3,14

> Ulikhet større enn 3 > 2

< Ulikhet mindre enn 3 < 4

� Ulikhet større enn eller lik x � 0

Ulikhet mindre enn eller lik x 0

ð Þ ParentesRegn ut uttrykket iparentesen først.

2 � ð3 + 5Þ =2 � 8 = 16

½ KlammeparentesRegn ut uttrykket iparentesen først.

½ð1 + 2Þ � ð1 + 5Þ =½3 � 6 = 18

ab Potens Eksponent 23 = 2 � 2 � 2 = 8ffiffiffi

ap

Kvadratrotffiffiffi

ap � ffiffiffi

ap

= affiffiffi

9p

= 3ffiffiffi

a3p

Kubikkrotffiffiffi

a3p � ffiffiffi

a3p � ffiffiffi

a3p

= affiffiffi

83p

= 2

% Prosent per hundre, 1/100 150 � 10 % = 15

‰ Promille per tusen, 1/1000 1500 � 10 ‰ = 15

Tabeller 49

Andre symboler i digitale verktøy


^ Hatt Eksponent 2^3 = 8

* Stjerne Multiplikasjon 2*3 = 6

/ Deletegn Divisjon 2/3

Geometriske symboler


Vinkeldannet avto vinkelbein ABC = 45°

° Grader Ett omløp er 360°. ABC = 45°

? Vinkelrett vinkelrette lengder AB ? DE

k Parallell parallelle lengder AB k DE

6 k Ikke parallell

markerer at tolengder ikkeer parallelle

AB 6 k DE

4 Trekanttrekantetgeometrisk figur 4ABC

& Firkantfirkantet geometriskfigur

&ABCD

� Formlikhetsamme form, ikkesamme størrelse 4ABC � 4DEF

ffi Kongruenssamme form ogsamme størrelse 4ABC ffi 4DEF

� Pi-konstant

geometrisk forholdmellom omkrets ogdiameter i en sirkel

� =Od

φ Gylne snittkonstant Gylne snitt φ =1 +

ffiffiffi

5p

2� 1,618

Tabeller

50

Andre symboler


x x-variabel ukjent verdiHvis 2x = 4, da erx = 2.

y y-variabel ukjent verdiHvis --2x + y = 1 ogx = 1, da er y = 3.

f ðxÞ Funksjon av xoverfører verdier av xtil f ðxÞ f ðxÞ = 2x + 1

y Funksjon av xoverfører verdier avx til y y = 2x + 1

ðx, yÞPunkt ikoordinat-systemet

x-koordinaty-koordinat

(2, –3)

a x b Intervall for x

x-verdier varierer fraog med a til og medb.

0 x 10

x Gjennomsnitt

gjennomsnitt av etantall observasjons-verdier

For verdiene 2, 3, 5 og4, er

x =2 + 3 + 5 + 4

4= 3,5.

°C Grad Celsius celsius-grader 15 °C

°FGradFahrenheit

fahrenheit-grader 15 °F

! Utropstegn fakultet

4 elementer kanbytte rekkefølge4! = 4 � 3 � 2 � 1 = 24ganger.

oppsummering faktor 1 - minskole.no · 2015-11-01 · oppsummering faktor 1–3 9 utviding og...

Documents