2.TRANSPORTNI PROBLEMTransportni problem predstavlja model cijim se korišcenjem određuje optimalan program distribucije određene vrste robe iz razlicitih mesta ponude (tzv. ishodišta) do razlicitih mesta tražnje (tzv. odredišta), pri cemu se podrazumeva njihova teritorijalna razdvojenost. Kao kriterijum za optimizaciju programa transporta robe najcešce se uzima zahtev za minimizacijom ukupnih transportnih troškova, iako se kao kriterijum može uzeti i minimizacija ukupnog vremena transporta robe.Transportni problem se može posmatrati kao specijalan oblik zadatka linearnog programiranja, u kome funkcija cilja izražava ukupne transportne troškove, dok su ogranicavajuci uslovi određeni ponudom pojedinih ishodišta, odnosno tražnjom pojedinih odredišta. Transportni problem predstavlja znatno pojednostavljen model linearnog programiranja.

2.1. Opšti oblik transportnog problemaU cilju formulisanja opšteg oblika modela transpotra robe pretpostavimo da postoji konacan broj od m ishodišta (mesta ponude) P1, P2, ....,Pn koja raspolažu određenom homogenom vrstom robe za cije korišcenje je izražena potreba (tražnja) u n odredišta (mesta tražnje) T1, T2,...,Tn. Ako pretpostavimo da postoji teritorijalna razdvojenost ishodišta i odredišta, tada je jasno da postoji mn potencijalnih puteva (Slika 2.1.) preko kojih ova roba može biti dostavljena od mesta ponude do mesta tražnje.(2.1)pri cemu moraju biti zadovoljena tri ogranicenja: a) ukupna kolicina raspoložive robe svakog ishodišta mora biti raspodeljena (distribuirana) na mesta tražnje, tj.b) tražnja svakog ishodišta (mesta tražnje, potrošackog centra) mora biti u potpunostizadovoljena, tj. c) kolicine prevezene robe na pojedinim putevima, odnosno odgovarajuce promenljive moraju biti nenegativne velicine,

2.2. Određivanje pocetnog bazicnog rešenjaPostupak određivanja pocetnog bazicnog rešenja transportnog problema predstavlja pocetno raspoređivanje (prevoz) ponuđene homogene robe od strane pojedinih ishodišta na razlicita mesta tražnje. za određivanje pocetnog bazicnog rešenja razmotricemo tri metoda:▪ metod severozapadnog ugla ▪ metod minimalnih troškova, metod skakanja s kamena na kamen

2.2.1. Metod severozapadnog uglaMetod severozapadnog ugla predstavlja takav postupak određivanja pocetnog bazicnog rešenja u kome raspoređivanje kolicina robe za prevoz preko razlicitih puteva zapocinjemo iz levog gornjeg (severozapadnog) ugla tabele, odnosno polja (1,1). Nakon toga, u mn−1 koraka iduci dijagonalno raspoređuju se kolicine robe u razlicita polja tabele koja odgovaraju razlicitim putevima. Postupak se završava nakon iscrpljivanja svih ponuđenih kolicina robe u pojedinim ishodištima, odnosno nakon zadovoljenja ukupne tražnje pojedinih odredišta.U polje (1,1), zapocinjuci postupak određivanja pocetnog bazicnog rešenja metodom severozapadnog ugla, unosimo manji od iznosa ponude odnosno tražnje koji odgovaraju prvoj vrsti i prvoj koloni tabele, odnosno imamo da je x11 = min (a1, b1).. Ukoliko je a1 b1

tada je x11 a1 , tj. tada u prvom koraku iscrpljujemo ukupnu ponudu prvog ishodišta, zbog cega kolicine koje odgovaraju narednim poljima prve vrste moraju biti jednake nuli. Procedura se nastavlja prelaskom na naredno polje prve kolone u koje unosimo x21

min(a2,b1 −x11). Suprotno, ako je a1b1, tada ce preostala polja prve kolone ostati prazna,

tj. odgovarajuce promenljive ce biti jednake nuli, dok ce se u naredno poljeprve vrsteuneti x12 min(a1 −x11 , b2 ) . U svakom slucaju, metod severozapadnog ugla obezbeđuje naizmenicno iscrpljivanje ponude (ishodišta), odnosno zadovoljavanje tražnje odredišta. Postupak se završava u poslednjem polju po dijagonali (polje (m,n)) u koje se uvek unosi jednaka kolicina preostalog iznosa ponude poslednje vrste i preostalog iznosa tražnje poslednje kolone.Osnovna prednost primene metoda severozaoadnog ugla ogleda se u izuzetnoj jednostavnosti postupka određivanja pocetnog bazicnog rešenja

2.2.2. Metod minimalnih troškovaMetod minimalnih troškova podrazumeva prevashodno korišcenje puteva (polja tabele) kojima odgovaraju najmanji troškovi po jedinici prevezene robe. Zbog toga, ovaj metod u opštem slucaju obezbeđuje dobijanje pocetnog bazicnog rešenja koje je bliže optimalnom rešenju u odnosu na odgossvarajuce rešenje dobijeno metodom severozapadnog ugla.Postupak određivanja pocetnog bazicnog rešenja metodom minimalnih troškova zapocinje korišcenjem puta kojem odgovaraju najmanji troškovi, pri cemu u odgovarajuce polje tabele unosimo maksimalno mogucu kolicinu (manji od iznosa ponude i tražnje) za prevoz. Naizmenicnim popunjavanjem preostalih praznih polja kojima odgovarajunajmanji

transportni troškovi, u m n −1 koraka dolazi se do pocetnog bazicnog rešenja Prednost ovog metoda ogleda se cinjenici da njegova primena obezbeđuje znacajno skracivanje postupka određivanja optimalnog rešenja.

2.3. Metodi optimizacije programa transportaPocetno bazicno rešenje transportnog problema, određeno korišcenjem nekog od razmatranih metoda, predstavlja pocetni korak u algoritmu rešavanja transportnog problema, odnosno osnovu za primenu postupka optimizacije i određivanje optimalnog programa transporta robe. Svi metodi optimizacije zasnivaju se na proveri optimalnosti pocetnog bazicnog rešenja, tj. obezbeđivanju nacina iterativnog poboljšavanja pocetno određenog programa transporta (ukoliko takvo rešenje nije optimalno). Stepping stone metod i metod potencijala predstavljaju metode koji se najcešce koriste u rešavanju prakticnih problema transporta, zbog cega cemo posebnu pažnju posvetiti razmatranju ova dva metoda.

2.3.1 Stepping stone metod (metod skakanja s kamena na kamen)Ovaj metod se u literaturi može naci pod razlicitim nazivima - metod skakanja s kamena na kamen, metod raspodele, distributivni metod, metod šahovske kule i sl. Suština ovog metoda sastoji se u postupku ispitivanja uticaja potencijalnog korišcenja nezauzetih polja tabele (nebazicnih promenljivih) na “kvalitet” rešenja, odnosno na ukupne transportne troškove. Primenom ovog metoda u mogucnosti smo da odgovorimo na dva pitanja: 1) da li je pocetno bazicno rešenje optimalno i 2) koji je put izmene pocetnog bazicnog rešenja (ukoliko nije optimalno) koji ce obezbediti dobijanje poboljšanog programa transporta robe. Algoritam se na isti nacin primenjuje na poboljšano rešenje, sve do određivanja optimalnog programa transporta.Metod skakanja s kamena na kamen primenjuje se tako što se “skakanjem” za svako prazno polje tabele koje predstavlja pocetno bazicno rešenje obrazuje poligon cija su sva temena, izuzev pocetnog, nalaze u popunjenim poljima. Svi uglovi ovako formiranog poligona, koji ima paran broj temena, su pravi. Za svako prazno polje može se formirati samo jedan poligon u kome imamo najmanje 4, a najviše m n temena. Na osnovu ovako formiranog poligona, za svako prazno polje tabele izracunavamo tzv. relativne koeficijente troškova koji pokazuju

za koliko jedinica ce se ukupni troškovi transporta povecati (smanjiti) ukoliko u odgovarajuce polje uvrstimo jednu jedinicu prevezene robe. Relativne koeficijente troškova izracunavamo tako što od transportnog troška koji odgovara pocetnom polju naizmenicno oduzimamo i dodajemo jedinicne transportne troškove koji se nalaze na temenima poligona. Pozitivna vrednost ovako izracunatog relativnog koeficijenta troškova, pokazace da bi angažovanje odgovarajuceg polja dovelo do povecanja ukupnih transportnih troškova, dok je u slucaju njegove negativne vrednosti zakljucak suprotan. Prema tome, postojanje makar jednog negativnog relativnog koeficijenta troškova pokazuje da pocetno bazicno rešenje nije optimalno. U slucaju postojanja dva ili više negativnih relativnih koeficijenata troškova za poboljšanje rešenja se koristi polje kome odgovara najniža negativna vrednost. Postupak ispitivanja optimalnosti se nastavlja sve do dobijanja rešenja u kome su svi relativni koeficijenti troškova nenegativni što predstavlja optimalan program transporta robe.Postupak primene metoda skakanja s kamena na kamen za optimizaciju transportnog problema predstavicemo na pocetnom bazicnom rešenju prethodnog primera koje je određeno korišcenjem metoda minimalnih troškova23Tabela 2.6.za koje ukupni transportni troškovi iznose z 110 ⋅4 30 ⋅7 80 ⋅2 120 ⋅1 400 ⋅2 260 ⋅2 2250Koristeci prethodno opisani metod, za svako prazno polje tabele konstruišemo zatvorene poligone na sledeci nacin :d11 c11 −c13 c23 −c21 2−72−1−4 d22 c22 −c23 c13 −c12 3−27−44 d24 c24 −c14

c13 −c23 4−27−27 d31 c31 −c34 c14 −c13 c23 −c21 1−22−72−1−5 d32 c32 −c34

c14 −c12 7−22−43d33 c33 −c34 c14 −c13 6−22−7−1Poligoni na osnovu kojih su izracunate vrednosti relativnih koeficijenata su (pocetno teme je naglašeno) :Prodavnice SkladištaP1

P2

P3

P4

PonudaS1

24722201103080S2

1324520120

400S3

1762260260Tražnja12011043034024(1,1)(2,1) (1,3) (2,3)(1,2)(3,2)(1,3)(2,3) (1,4) (2,4)(1,4)(3,4)(1,2)(2,2)(1,3)(2,3) (1,4)(3,4)(1,3) (2,3)(2,1)(3,1)(1,3)(3,3)(1,4)(3,4)S obzirom da je broj temena važno u kom smeru ce se postupak naizmenicnog oduzimanja i dodavanja transportnih troškova realizovati. U svakom slucaju troškovi koji se nalaze u susednim temenima u odnosu na polazno polje uvek se uzimaju sa negativnim predznakom.Najmanji negativni relativni koeficijent jeste d31 −5 i odgovara polju (3,1). Kakokorišcenje ovoga polja, prema tome, obezbeđuje najvece smanjenje ukupnih transportnih troškova, to ovo polje koristimo za poboljšanje programa transporta. Poboljšavanje rešenja obezbeđuje se tako što se u polje (3,1) unosi promenljiva , a zatim bilansirajuci kolicine prevoza po temenima poligona, na isti nacin kao što smo to uradili sa troškovima prevoza, dolazi se do novog rešenja. Bilansiranje se vrši tako što se od kolicina na temenima poligona naizmenicno oduzima i dodaje promenljiva . Izjednacavanjem minimalne razlike (30 - ) sa nulom izracunava se vrednost , tj.30 −0 30ovako dobijenih poligona paran, ocigledno je da nije2530 – 80+400+

260 - Novo, poboljšano rešenje dobija se tako što se u polja na temenima ovako određenogpoligona unesu nove kolicine dobijene zamenom = 30, pa imamo Tabela 2.7.Na taj nacin smo dobili novo poboljšano rešenje u kome imamo m n −1 6 popunjenih polja, u kome je obezbeđena ravnoteža između ponude i tražnje. Da je ovako izracunato rešenje povoljnije u odnosu na pocetno bazicno (polazno) konstatujemo nakon izracunavanja ukupnih transportnih troškova, tj.z 110 ⋅4 110 ⋅2 90 ⋅1 430 ⋅2 30 ⋅1 230 ⋅2 2100Kako su ukupni transportni troškovi koji odgovaraju pocetnom bazicnom rešenju, koje je određeno metodom minimalnih troškova, iznosili 2250 ocigledno je da je rešenje dobijeno metodom skakanja s kamena na kamen poboljšano (ima niže ukupne transportne troškove). Ukupni transportni troškovi su ovakvim poboljšanjem promenjeni zazx31d31 30⋅(−5)−150 .Postupak ispitivanja optimalnosti rešenja, na isti nacin se primenjuje i na poboljšano rešenje, za cija prazna polja izracunavamo relativne koeficijente troškova u obliku120 – Prodavnice SkladištaP1

P2

P3

P4

PonudaS1

2472220110-1110+SS2

132452090-4430S3

176226030+2230-TTražnja120110

43034026d11 c11 −c14 c34 −c31 2−22−11 d13 c13 −c14 c34 −c31 c21 −c23 7−22−11−25 d22 c22 −c12 c14 −c34 c31 −c21 3−42−21−1−1 d24 c24 −c34 c31 −c21 4−21−12 d32 c32 −c34 c14 −c12 7−22−43 d33 c33 −c23 −c21 −c31 6−2 1−14Kao što vidimo, jedino polju (2,2) odgovara negativni relativni koeficijent troškova, te to polje koristimo za poboljšanje programa. Imajuci u vidu postupak izracunavanja ovog relativnog koeficijenta troškova, bilansiranje kolicina za poboljšano rešenje dobijamo nakon određivanja90 −0 90na osnovu cega je novo poboljšano rešenje Tabela 2.8.Preraspodelom kolicina prevoza, ocigledno je da je prethodno nebazicna promenljiva x22

sada postala bazicna dok je iz baze izašla promenljiva x21. Ovakav program transporta predstavlja i njegovo optimalno rešenje jer jed11 c11 −c14 c34 −c31 2−22−11 d13 c13 −c23 c22 −c12 7−23−44 d21 c21 −c22 c12

−c14 c34 −c31 1−34−22−11 d24 c24 −c14 c12 −c22 4−22−31 d32 c32 −c34 c14

−c12 7−22−43 d33 c33 −c34 c14 −c12 c22 −c23 6−22−43−23Prodavnice SkladištaP1

P2

P3

P4

PonudaS1

247222020200S2

132452090430S3

1762260120140Tražnja120

11043034027Vrednosti svih relativnih koeficijenata troškova su pozitivni, pa konstatujemo da dobijeno rešenje predstavlja optimalan program transporta robe za koji su ukupni transportni troškoviz 20 ⋅4 200 ⋅2 90 ⋅3 430 ⋅2 120 ⋅1 140 ⋅2 2010Prema dobijenom optimalnom rešenju, najpovoljnije je iz prvog skladišta transportovati 20t šecera u drugu i 200t šecera u cetvrtu prodavnicu, iz drugog skladišta 90t šecera u drugu i 430t šecera u trecu prodavnicu, dok iz treceg skladišta treba otpremiti 120t šecera u prvu i 140t šecera u cetvrtu prodavnicu. Realizacija ovog programa transporta obezbeđuje ostvarenje minimalnih ukupnih transportnih troškova u iznosu od 2010 din.2.3.2 Metod potencijalaMetod potencijala (MODI metod) predstavlja postupak za određivanje optimalnog programa transporta robe na osnovu vec određenog pocetnog programa transporta. Suština ovog metoda, kao i kod prethodnog, sastoji se u ispitivanju mogucnosti poboljšavanja vec dobijenog programa transporta, koji se u iterativnoj proceduri, transformiše u optimalno rešenje. Postupak primene metoda potencijala podrazumeva određivanje po jednog tzv. množitelja za svaku od jednacina ponude i tražnje sistema ogranicenja modela transporta. Množitelji za jednacine ponude ui (i=1,...,m) i množitelji za jednacine tražnje vj (j=1,...,n) – odnosno za odgovarajuce vrste i kolone tabele – određuju se tako da je za svaku bazicnu promenljivu, tj. popunjeno polje tabele, zadovoljen uslovcij ui vj i1,...,m j1,...,n 2.6.Kako ovako određenih množitelja ima m+n, dok je broj bazicnih promenljivih (popunjenih polja) u bilo kom od rešenja m+n-1, to jednom (pocetnom) od množitelja dodeljujemo proizvoljnu vrednost3 (uobicajeno nula). Preostali množitelji se izracunavaju rešavanjem m+n-1 jednacina cij ui v j , pri cemu je polje (i,j) popunjeno. Da bipokazali postupak optimizacije korišcenjem ovako izracunatih množitelja pođimo od osnovnog oblika modela transporta, tj.

z∑∑c x ij ij

i1 j1 ∑x a 2.7.ij in j1mn

3 Obicno se proizvoljna vrednost uzima za množitelj koji odgovara vrsti odnosno koloni u kojoj je broj popunjenih polja najveci.28m

∑x b ij ji1 Ukoliko sada i-tu jednacinu ponude pomnožimo množiteljem ui (i=1, ... , m) a j-tujednacinu tražnje množiteljem vj (j=1, ... ,n) i oduzmemo od funkcije cilja dobija se

mnmn ∑∑(c −u−v)x z−( au bv) 2.8.ij i j ij i1 j1 i1 j1jj

Ako sada u jednakosti 2.8. izvršimo smenu prema kojoj je c' c −u −vmožemo pisatiodnosnoij ij i j mn

2.9.

∑aubvzmn

∑∑∑jj0ii i1 j1

mn ∑∑c'x z−zi1 j1iiij ij 0

∑∑c'x z ij ij

2.10. Imajuci u vidu naše nastojanje da odredimo program sa nižim transportnimi1 j1

troškovima, na osnovu relacije (2.10.) vidimo da izracunata ocena c' za prazno polje (za ij

popunjeno je c' 0 ) tabele pokazuje pogodnost njegovog korišcenja za izracunavanje ij

poboljšanog rešenja. Na osnovu relacije (2.9.) ocigledno je da se u cilju ispitivanja mogucnostipoboljšavanja bilo kog programa transporta za svako prazno polje odgovarajuce tabele (nebazicna promenljiva) mogu izracunati promenljive c' na osnovu izracunatih simpleksij

množitelja i odgovarajucih transportnih troškova ( c′c −u −v ). Ukoliko za jedno ili ij ij i j

više praznih polja dobijemo negativnu vrednost potencijala (c′0) konstatujemo da ij

analizirani program transporta nije optimalan, vec se korišcenjem ovih polja može izracunati povoljnije rešenje. Za poboljšanje programa se koristi polje kojemu odgovara negativni potencijal sa najvecom apsolutnom vrednošcu. Postupak poboljšavanja rešenja je istovetan kao kod metoda skakanja s kamena na kamen. Nenegativne vrednosti potencijala za prazna polja nekog programa transporta pokazuju da se radi o optimalnom rešenju.Na taj nacin, da bi odredili optimalni program transporta robe metodom potencijala neophodno je: 1) odrediti pocetni program transporta robe, 2) odrediti množitelje ui i vj za svaku vrstu i kolonu pocetnog rešenja,293) izracunati potencijale c′za svako prazno polje tabele i 4) koristeci polje sa ij

najmanjom negativnom vrednosti potencijala c′odrediti poboljšani program transporta ij

odgovarajucim bilansiranjem kolicine prevezene robe. Postupak se realizuje uuzastopnim iteracijama sve dok se ne odredi takav program transporta robe za cija praznapolja tabele imamo nenegativne vrednosti potencijala, tj. c′0. ijNacin primene metoda potencijala za određivanje optimalnog programa transporta robe predstavicemo koristeci sledeci pocetni program transporta robeTabela 2.9za koji je z=2100.u1=0u2=0 u3=0Prodavnice SkladištaP1

P2

P3

P4

PonudaS1

2472220110110S2

132452090430S3

176226030230Tražnja120110430340v1=1v2=4 v3=2 v4=2U cilju ispitivanja optimalnosti ovako određenog pocetnog programa transporta, tj. određivanje optimalnog rešenja primenicemo prethodno opisani postupak. Tako, za svaku od vrsta i kolona naše tabele odredicemo vrednost odgovarajuceg simpleks množitelja, imajuci u vidu zahtev da za popunjena polja mora biti zadovoljen uslov da jecij=ui+vj.S obzirom na broj množitelja i broj bazicnih promenljivih, ukoliko pretpostavimo da je u1=0 (proizvoljno u startu opredeljujemo vrednost jednog množitelja), preostale množitelje preko popunjenih polja izracunavamo na sledeci nacin:c12 −u1 −v2 0 4 0 v2 v2 4Sada množitelj v4 možemo izracunati preko popunjenog polja (1,4), tj.30c14 −u1 −v4 0 2−0−v4 0 v4 2Množitelje u3, v1, u2 i v3 izracunavamo uzastopnim korišcenjem popunjenih polja, tj.c34 −u3 −v4 0 2−u3 −20 u3 0c31 −u3 −v1 0 1−0−v1 0v1 1c21 −u2 −v1 0 1−u2 −10 u2 0c23 −u2 −v3 0 2−0−v3 0 v3 2

Ovako izracunate simpleks množitelje uneli smo u dodatne vrste i kolone naše tabele u kojoj je predstavljeno pocetno rešenje. Sada izracunavamo potencijale c'zaprazna polja naše tabele koristeci relaciju c' c−u−v ∀i,j.Tada dobijamoij ij i j

c' c −u −v 2−0−11 11 11 1 1

c' c −u −v 7−0−25 13 13 1 3

c' c −u −v 3−0−4−1 22 22 2 2

c' c −u −v 4−0−22 24 24 2 4

c' c −u −v 7−0−43 32 32 3 2

c' c −u −v 6−0−24 33 33 3 3

Negativna vrednost potencijala c' −1 pokazuje da predstavljeni pocetni program 22

transporta robe nije optimalno rešenje, vec se za poboljšanje programa treba iskoristiti (popuniti) polje (2,2). Vrednost promenljive x22 koja ulazi u bazu, tj. kolicinu koju cemoij

31uneti u polje (2,2), dobijamo bilansiranjem kolicina na isti nacin kao kod metoda skakanja s kamena na kamen. Šema poligona na osnovu koga ce se izvesti ovo bilansiranje ima oblik110 - 90 - 30 - Kako je najmanja razlika 90 - , to imamo90 −0 90110+230 - na osnovu cega je poboljšani program transporta prikazan u tabeli 2.10. Za ovako dobijeno rešenje ukupni transportni troškovi iznose z = 2010. U cilju ispitivanja optimalnosti ovako dobijenog (poboljšanog) rešenja, pretpostavljajuci sada da je u2 = 0, odredili smo vrednosti ostalih simpleks množitelja, koji su predstavljeni udodatnoj vrsti, odnosno koloni tabele. Vrednosti potencijala za prazna polja sada ce biti : c'

c −u −v 2−1−0111 11 1 1

c' c−u−v7−1−24 13 13 1 3

c' c −u −v 2−0−02 21 21 2 1

c' c −u −v 4−1−03 24 24 2 4

c' c −u −v 7−1−33 32 32 3 2

c' c −u −v 6−1−23 33 33 3 3

32Tabela 2.10.Prodavnice SkladištaP1

P2

P3

P4

PonudaS1

247222020

200S2

132452090430S3

1762260120140Tražnja120110430340u1=1u2=0 u3=1v1=0 v2=3 v3=2 v4=1Kako su sve vrednosti izracunatih potencijala za prazna polja tabele pozitivne, konstatujemo da prethodno dobijeno rešenje predstavlja optimalni program transporta robe od skladišta do prodavnica. Svakako, optimalan program transporta je istovetan bez obzira koji metod optimizacije koristimo, tako da ovo rešenje u potpunosti odgovara rešenju određenom metodom skakanja s kamena na kamen.2.4. Otvoreni model transportaPrilikom prethodnih razmatranja metoda za rešavanje transportnog problema, u svim navedenim primerima ukupna ponuda bila je jednaka ukupnoj tražnji. Takav oblik transportnog problema, kao što smo kazali, predstavlja zatvoreni oblik modela transporta u kome raspodela robe koja postoji u pojedinim mestima ponude omogucuje zadovoljenje celokupne tražnje svih potrošaca (mesta tražnje).Kada nije zadovoljen uslov o postojanju jednakosti između ukupne ponude i ukupne tražnje, tj.kada je

mn ∑a�������������� b

∑j

tada kažemo da se radi o tzv. otvorenom modelu transporta. Kako ukupna ponuda može biti manja ili veca od ukupne tražnje, razlikujemo i dva razlicita oblika otvorenog transportnog problema, i to:i i1 j1

a) otvoreni model transpoita u kome je ukupna ponuda veca od ukupne tražnje, tj. mn

∑abj

b) otvoreni model transporta u kome je ukupna ponuda manja od ukupne tražnje,

i i1 j1

∑tj.33

mn ∑abj

Otvoreni model transporta rešava se slicno rešavanju zadatka linearnog programiranja u kome su ogranicavajuci uslovi dati u obliku nejednacina. Naime, sistem nejednacina koji izražava uslove zadatka u pogledu ponude i tražnje transformiše se u sistem jednacina uvocđenjem dodatnih promenljivih. Ovako uvedene dodatne promenljive uzimaju vrednosti za koje je ponuda pojedinih ishodišta veca (manja) od potreba pojedinih odredišta. Tabelarno, postupak re-šavanja otvorenog problema transporta svodi se, nakon određenih transformacija (odnosno "zatvaranja"j, na istovetan postupak koji se primenjuje u rešavanju zatvorenog modela transporta. U slucaju otvorenog modela transporta u kome je ukupna ponuda veca od ukupne tražnje, postupak transformacije modela sastoji se u definisanju jednog uslovnog (fiktivnog) mesta tražnje (fiktivna kolona u tabeli), kome se dodeljuje izaos za koji je ukupna tražnja manja od ukupne ponude, odnosnoji i1 j1

mn bn1a−b

∑∑Slicno, kod otvorenog transportnog problema u kome je ukupna ponuda manja od ukupne tražnje (model b) uvodi se uslovno (fiktivno) mesto poude (fiktivna vrsta u tabeli), cija je ponuda jednaka razlici izmedu ukupne tražnje i ukupne ponude, tj.mn am1b−a

∑∑∑i i1 j1j j1 i1i

U oba navedena slucaja otvorenog modela transportnog problema koeficijenti u funkciji cilja koji se nalaze uz dodatne promenljive, odnosno transportni troškovi po - jedinici prevezene robe, koje unosimo u ovako definisana polja tabele, jednaki su nuli. Nakon ovakve transformacije, postupak rešavanja otvorenog problema je istovetan kao i u slucaju zatvorenog problema. Kroz naredna dva primera (ne zadržavajuci se na prethodno objašnje rešavanja transportnog problema) cemo predstaviti prethodno navedene modalitete otvorenog transportnog problema, kao i nacin njihove transformacije u zatvoreni model transporta.Primer 2.2.Za potrebe tri industrijska centra uvozi se jedna vrsta materijala prema sledecim uslovimaPonuda zemlje a1 = 7000 a2 = 12500 a3 = 15500Tražnja ind. centara b1 = 6500 b2 = 9000 b3 = 16500Transportni troškovi po jedinici prevezenog materijala su:34c11 =7 c21 =8 c31 =9c12 =8 c22 =3 c32 =6

c13 =6 c23 =7 c33 =5Odrediti optimalan program transporta materijala za koji ce transportni troškovi biti minimalni. Pocetno bazicno rešenje odrediti metodom severozapadnog ugla a optimalno rešenje metodom potencijala.RešenjeOcigledno je da naš primer predstavlja tzv. otvoreni model transporta, pošto je ukupna ponuda materijala iz tri zemlje uvoza veca od ukupne tražnje industrijskih centara za 3000. Zbog toga cemo u našojtabeli, koju cemo koristiti za određivanje optimalnog programa transporta, uvesti jednu dodatnu kolonu - fiktivni industrijski centar, u kome ce ukupna tražnja iznositi 3000. U polja ove kolone unosimo transportne troškove jednake nuli. Na taj nacin dobijamo standardan zatvoreni transportni problem koji rešavamo na isti nacin kao i u prethodnim primerima. U našem zadatku pocetno bazicno rešenje, prikazano u Tabeli 2.11., odredeno je metodom severozapadnog ugla, dok smo za odredivanje optimalnog rešenja (Tabela 2.1.2..) koristili metod potencijala. Kao što vidimo, celokupna kolicina od 3000 jedinica posmatranog materijala, za koliko je ukupna ponuda veca od ukupne tražnje, u optimalnom programu transporta nalazi se u polju (2,4). To pokazuje da u optimalnom rešenju ostaje neiskorišcenih 3000 jedinica materijala ponude druge zemlje.Pocetno bazicno rešenje dato je u tabeli 2.11. a optimalno rešenje u tabeli 2.12.Tabela 2.11.Ind. centriZemljeC1

C2

C3

Fiktivni centarPonudaZ1

786070006500500Z2

83701250085004000Z3

965015500125003000

Tražnja650090001650030003500035Tabela 2.12..Optimalan program transportaInd. centriZemljeZ1

Z2

Z3

TražnjaC1 C2 C3 Fiktivni centar78606500 50083709000 500 30009650155006500 9000 165003000Ponuda7000125001550035000Transportni troškovi: (min)z = 156.500Primer 2.3.Cetiri skladišta (S1, S2, S3, S3) jednog trgovinskog preduzeca snabdevaju se šecerom iz tri fabrike (F1, F2, F3,), pri cemu su uslovi snabdevanja i transportni troškovi predstavljeni tabelomSkladišta FabrikeF1

F2

F3

TražnjaS1 S2 S3 S4

96324276215232000 38000 56000 54000Ponuda450005500060000Metodom minimalnih troškova odrediti pocetno bazicno rešenje, a zatim metodom potencijala odrediti optimalan program transporta šecera iz fabrika do skladišta, za koji ce ukupni transportni troškovi biti minimalni.Rešenje

36Ukupna ponuda šecera u našem primeru manja je od ukupne tražnje za 20000 kg, zbog cega se u cilju određivanja optimnlnog programa transpolrta mora uvesti jedno fiktivno mesto ponude (fabrika šecera), tj. fiktivna vrsta u našoj tabeli u kojoj ce jedinicni transportni troškovi u pojedinim poljima biti jednaki nuli. Na takav nacin, nakon korišcenja metoda minimalnih troškova dobicemo pocetno bazicno rješenje koje je predstavljeno u tabeli 2.13.Tabela 2.13. Pocetno bazicno rešenjeSkladišta FabrikeF1

F2

F3

Fiktivna fabrikaTražnjaS1 S2 S3

9632427610000360002152S4

45000900054000Ponuda45000550006000020000Ponuda4500055000600002000022000380000 0320003800000Transportni troškovi: z = 518.000 Tabela 2.14. Optimalan program2000056000S3

Skladišta FabrikeF1

F2

F3

Fiktivna fabrikaTražnjaS1 S2

S4

9632

360009000427617000380002152015000320000004500054000380002000056000Optimalan program tranaporta, prema tome, podrazumeva da se prvo skladište snabdeva u kolicinama od 17000kg I 15000 šecera, drugo skladište u kolicini od 38000kg37šecera iz druge fabrike; trece skladište u kolicini od 30000kg šecera iz prve fabrike I cetvrto skladište u kolicinama od 9000kg i 45000kg šecera iz prve i trece fabrike, respektivno. Pri takvom programu transporta, potrebe treceg skladišta ostaju nezadovoljene u iznosu od 20000kþ šecera. Minimalni ukupni transportni troškovi iznose 390000.2.5. Degeneracija problema transportaUkoliko u postupku rešavanja transportnog problema odredimo rešenje u kome nema m+n-1 bazicnih promenljivih, odnosno popunjenih polja tabele, konstatujemo da takvo rešenje ne zadovoljava neophodan uslov za primenu nekog od metoda optimizacije. Takav slucaj predstavlja degeneraciju transportnog problema, dok ovakvo rešenje smatramo degenerativnim. Ovakav slucaj se javlja kad je neka od parcijalnih suma ponude jednaka nekoj od parcijalnih suma tražnje.Slucaj degeneracije transoprtnog problema može se pojaviti prilikom određivanja pocetnog bazicnog rešenja, kao i u postupku poboljšavanja nekog programa transporta u proceduri optimizacije. Prilikom određivanja pocetnog rešenja degeneracija se javlja u slucaju kada popunjavanjem nekog od polja istovremeno eliminišemo raspoložive kolicine odgovarajuce vrste i kolone, odnosno istovremeno iscrpimo svu raspoloživu ponudu robe i zadovoljimo ukupnu tražnju koja odgovara tom odredištu. U postupku optimizacije, kada u nekoj od iteracija određujemo poboljšano rešenje, slucaj degeneracije se javlja kada u jednom koraku iskljucimo iz baze dve promenljive, a u bazu ukljucimo samo jednu prethodno nebazicnu promenljivu. Tabelarno, ovaj slucaj dakle nastaje kada u jednom koraku dva (ili više) prethodno popunjena polja ostaju prazna, dok popunjavamo samo jedno prethodno prazno polje.Kao što nije prethodno pokazano, za primenu nekog od metoda optimizacije programa transporta neophodno je da u tabeli bude popunjeno tacno n+m-1 polja, odnosno da se toliki broj promenljivih nađe u bazi. Zbog toga, slucaj degeneracije se prevazilazi tako što se u neko od praznih polja unosi kolicina od jedinica robe, gde je infinitezimalno mali broj, koji ne narušava izražene jednakosti ponude i tražnje. Obicno se ova velicina unosi u prazno polje kojemu odgovaraju najniži transportni troškovi po jedinici prevezene robe.Da bi pokazali slucaj degeneracije i postupak njegovog prevazilaženja, pretpo- stavimo da su uslovi za transportovanje jedne vrste robe (ponuda, tražnja i transportni troškovi) iz tri skladišta do cetiri prodavnice predstavljeni sledecom tabelom:

38Tabela 2.15Da bi bilo koji od određenih programa transporta robe u našoj tabeli predstavljao nedegenerisano rešenje potrebno je da ima tacno m+n-1=6 popunjenih polja. Ukoliko, kao što je to pokazano u našoj tabeli, pocetno bazicno rešenje određujemo metodom severo-zapadnog ugla, u trecem koraku, prilikom uobicajenog postupka popunjavanja polja (2,2) unošenjem vrednosti x22=170, istovremeno ce biti iscrpljena ponuda drugog skladišta i tražnja druge prodavnice. Raspoređivanjem preostale ponude b3=200 na polja (3,3) i (3,4) ocigledno bi ukupne kolicine po vrstama i kolonama odgovarale ukupnoj tražnji, odnosno ponudi. Međutim, na taj nacin bi dobili rešenje sa pet popunjenih polja, odnosno dobili bi degenerisano rešenje koje ne pruža mogucnost za primenu metoda optimizacije. Zbog toga smo nakon određivanja vrednosti x22=170 u polje (3,2) uneli kolicinu od jedinica robe (c32

< c23), i u narednim fazama optimizacije to polje cemo smatrati popunjenim odnosno odgovarajucu promenljivu bazicnom. Na taj nacin omogucava se uobicajen postupak optimizacije programa transporta robe.Prodavnice SkladištaP1

P2

P3

P4

PonudaS1

7492100100S2

168325080170S3

5371200112080Tražnja18017012080

39

3.MODEL ASIGNACIJE (RASPOREĐIVANJA)3.1. Osnovne karakteristike modela asignacijeProblem asignacije ili, kako se cesto naziva, problem rasporeda, predstavlja specijalan slucaj transportnog problema. Suština metoda je u tome da se na optimalan nacin rasporedi n aktivnosti (resursa, poslova) na n izvršilaca (radnih mesta, ljudi), pri cemu se polazi od sledecih pretpostavki:-jedna aktivnost može se dodeliti samo jednom izvršiocu, -jedan izvršilac može obavljati samo jednu aktivnost, i -poznata je efikasnost i −tog izvršioca na j −toj aktivnosti, pri cemu efikasnostmože biti iskazana razlicitim pokazateljima (vremenom potrebnim za izvršenje svih aktivnosti, kolicinom proizvodnje svakog izvršioca na pojedinim aktivnostima i sl.). U probleme koji se mogu rešavati metodom asignacije spadaju: -raspored poslova na radna mesta tj. na radnike ili mašine,-raspored mašina za obavljanje određenih poslova, -izbor kandidata sa konkursa u cilju zapošljavanja, -najkrace vreme izvršenja poslova i slicno.Matematicki, problem asignacije sastoji se u određivanju maksimalne (minimalne)4 vrednosti funkcije ciljapri ogranicenjiman

F(X)∑∑c x ij ij

i1 j1

(3.1.)

∑x 1 (j1,2,...,n) ij(i1,2,...,n)(3.2.)(3.3.) (3.4.)i1 n

∑x 1 ij

j1 xij 0.nn

Ogranicenje (3.2.) pokazuje da se za obavljanje jednog posla može angažovati samo jedan radnik a ogranicenje (3.3.) da jednom radniku može biti dodeljen samo jedan posao.Problemi asignacije mogu se rešavati samo ako postoji jednak broj aktivnosti i izvršilaca, odnosno mora biti zadovoljen uslov da je matrica C-kvadratna. Ako ovaj uslov4Ako cij oznacava vreme potrebno radniku i , da izvrši posao j , tada funkciju cilja treba minimizirati, a ukoliko je, naprimer, sa cij oznacena efikasnost osobe i na poslu j tada funkciju cilja treba maksimizirati.40nije zadovoljen radi se o otvorenom problemu asignacije. Da bi se otvoreni problem asignacije sveo na zatvoreni, odnosno da bi matrica C postala kvadratna, uvodi se:-fiktivna aktivnost, ako je broj izvršilaca veci od broja aktivnosti ili-fiktivni izvršilac, ako je broj aktivnosti veci od broja izvršilaca, pri cemu se uzima da su efikasnosti fiktivne aktivnosti, odnosno fiktivnog izvršioca jednake nuli. Iz matematickog modela asignacije se vidi da je to specijalan slucaj klasicnog transportnog problema kod koga je ai bj 1.3.2. Algoritam za rešavanje modela asignacije3.2.1.Mađarski metod

Autor mađarskog metoda za rešavanje problema asignacije je americki matematicar H.W.Kuhn5. On je metod nazvao mađarskim jer je svoj rad bazirao na radovima mađarskih matematicara E.Egervarya i D. Koniga.Osnovne karakteristike mađarskog metoda su u tome što se:-U rešavanju transportnog problema ne zahteva prethodno pronalaženje pocetnog bazicnog rešenja, pa se cesto, u određenom broju koraka, odmah određuje optimalno rešenje.-Kako je problem asignacije po svojoj fomi linearni problem, to se i za njega može formulisati odgovarajuci dualni model, tako da, mađarski metod u rešavanju transportnog problema koristi rešenje njegovog duala.Dualni problem, problema asignacije (3.1.)-(3.4.) definisan je funkcijom cilja

nn L(W)∑u vj

koju treba minimizirati, i sistemom ogranicenja ui vj cij, i1,2,...,n; j1,2,...,n.Međutim, ako cij oznacava vreme potrebno radniku i , da izvrši posao j , funkciju ciljaproblema asignacije treba minimizirati, odnosno u dualnom obliku, problem asignacije ce biti definisan kao problem maksimizacije, tj. potrebno je naci maksimalnu vrednost funkcije cilja5 H.W.Khun,”The Hungarian method for the Assignment Problem”, Naval Reserch Logistics Quarterly,V ol.2,No.1-2,1955i i1 i1

∑41j

dok su ogranicavajuci uslovi dati nejednacinom ui vj cij, i,j1,2,...,n.koraka.Algoritam problema asignacije, mađarskim metodom, odvija se u nekoliko KORAK 1: Potrebno je izvršiti transformaciju koeficijenata matrice efikasnostiCc umatricu C c ,pricemujeij

ij

najmanji koeficijenat (elemenat) ui , tj. ui mincij, i1,2,...,nj

nn L(W)∑u vi i1 j1

cij cij −ui −vj . Transformacija se vrši tako što se u svakoj vrsti matrice C c , odaberei oduzme od svih elemenata odgovarajuce vrste. Zatim se u novoj matrici pronađe minimalni elemenat u svakoj kolonivj mincij, j1,2,...,n i

pa se oduzme od svih elemenata odgovarajuce kolone. Tako dobijena modifikovanazove se prva transformisana matrica6 i ona sadrži samo pozitivne brojeve i nule i to bar po jednu nulu u svakoj vrsti i svakoj koloni.matrica cij

KORAK 2: U ovom koraku se određuju tzv. nezavisne i zavisne nule. Nezavisne nule se markiraju i one pokazuju da promenljiva xij , kojoj odgovara položaj nezavisne

nule, u polju tabele asignacije, ima vrednost jedan, tj. xij =1, za fiksno i, j .Zavisne nule su sve preostale nule, odnosno sve nemarkirane nule, a polja u kojima se one nalaze treba precrtati.Postupak određivanja nezavisnih i zavisnih nula vrši se na sledeci nacin:6 U slucaju kada se traži asignacija koja maksimizira funkciju cilja, koeficijenti transformisane matrice _

dobijaju se na sledeci nacin: cij (max cij ) −cij . Zatim se postupa po istoj proceduri kao i za problemmin, zbog toga što je

∑∑i1 j1 i1 j1 i1 j1

mnmnmn

max∑∑c x min (c )x min (maxc )−c x .ij ij

∑∑ij ijij ij

ij

∑ij

42a)Ispituju se sve vrste dok se ne nađe vrsta u kojoj je samo jedna nula. Ta nula se oznaci sa i proglasi se za nezavisnu a ostale nule, koje se nalaze u koloni kojoj pripada nezavisna nula, se precrtaju i postaju zavisne.b)Zatim se traže kolone koje sadrže samo jednu nulu. Ona se, takođe oznaci sa tj. postaje nezavisna a ostale nule, koje se nalaze u vrsti kojoj pripada nezavisna nula se precrtaju i postaju zavisne.c)Postupci a) i b) se ponavljaju sve dok: -sve nule ne postanu markirane, pri cemu, nule obeležene sa cinemaksimalnu asignaciju ( ova asignacija nije uvek optimalna ). Kada je broj nezavisnih nula jednak broju vrsta, odnosno kolona, nađeno je optimalno rešenje. Mesta nezavisnih nula određuju promenljive cija je vrednost jedan, ili,-se bar po dve nemarkirane nule nalaze u svakoj vrsti, odnosno koloni. Ova asignacija nije optimalna. Ide se na korak 3.KORAK 3: U ovom koraku se vrši nova transformacija koeficijenata matrice. Potrebno je odrediti minimalan broj linija koje prolaze kroz sve nule u matrici. Postupak određivanja sistema linija je sledeci:a)Oznace se sve vrste koje nemaju nezavisnu nulu (⇒) b)Precrtaju se sve kolone koje imaju nule u oznacenim vrstama c)Precrtaju se vrste koje imaju nezavisnu nulu u precrtanim kolonama d)Postupci b) i c) se ponavljaju sve dok je to moguce e)Na kraju se precrtaju sve neoznacene vrste.Opisani postupak je korektno vođen ako su: -po završenom postupku sve nule u matrici koeficijenata precrtane, -broj linija kojima su sve nule precrtane jednak broju nezavisnih nula, -nezavisne nule se ne nalaze na preseku linija i -svaka linija prolazi samo kroz jednu nezavisnu nulu.KORAK 4: Najmanji od neprecrtanih elemenata treba oduzeti od svih ostalih neprecrtanih elemenata, a dodati svim elementima koji leže na preseku dveju linija. Svi ostali precrtani elementi ostaju nepromenjeni. U novodobijenoj matrici potrebno je izvršiti razvrstavanje nula

na nezavisne i zavisne. Ponavljaju se koraci 2 i 3 sve dok se ne dobije optimalno rešenje tj. dok broj nezavisnih nula ne bude jednak broju vrsta (kolona).Primer 3.1.Preduzece X dobilo je narudžbinu da u toku predviđenog perioda isporuci određenu kolicinu nekog proizvoda. Proizvod se obrađuje na pet razlicitih mašina, za cije opsluživanje je odabrano pet radnika. U cilju optimalnog programa rasporeda radnika, u preduzecu je izvršeno testiranje osposobljenosti i brzine rada odabranih radnika na svih pet mašina. Vreme pojedinih radnika neophodno za obavljanje tacno određenih poslova na pojedinim mašinama (u minutima) predstavljeno je sledecom tabelom.Tabela3. 1.43RadniciMašineM1

M2

M3

M4

M5

R1

14912816R2

879914R3

911101012R4

1088614R5

11910713

Imajuci u vidu zahtev da jedan radnik može biti raspoređen da radi samo na jednoj mašini, odnosno da posao na jednoj mašini može biti obavljen samo od jednog radnika, optimalan raspored radnika odredicemo, u našem primeru, primenjujuci prethodno objašnjenu algoritamsku šemu.Rešenje:Na osnovu Tabele 3.1. formiracemo matricu C1, kako sledi14 9 12 8 168 7 9 9 14CC1=9 11 10 10 1210 8 8 6 14 11 9 10 7 13 Korak 1. Potrebno je izvršiti transformaciju koeficijenata matrice efikasnosti C cumatricu C c , pri cemu jeij

cij cij −ui −vj .U našem primeru, u matrici C1, najmanji elementi po vrstama su brojevi 8, 7, 9, 6 i 7 i njih treba oduzeti od svakog elementa odgovarajuce vrste. Tako da se dobija matrica C2, tj.6 1 4 0 81 0 2 2 7C2=0 2 1 1 34 2 2 0 84 2 3 0 4 Zatim je potrebno, u matrici C2, odrediti minimalne elemente po kolonama i oduzeti ih od svakog elementa odgovarajuce kolone. Tako se dobija transformisana matrica C3, kako slediij

446 1 3 0 51 0 1 2 4C3=0 2 0 1 04 2 1 0 54 2 2 0 3 Ova matrica mora sadržati bar po jednu nulu u svakoj vrsti i svakoj koloni.Korak 2.U ovom koraku se određuju nezavisne i zavisne nule. Polazi se od vrste matrice C3 u kojoj se nalazi samo jedna nula. Prva vrsta sadrži samo jednu nulu. Ona se nalazi u polju (1.4.). To je nezavisna nula i zaokružicemo je. U cetvrtoj koloni postoje još dve nule, u poljima (4.4.) i (5.4.). Njih treba precrtati kosom crtom. To su zavisne nule. Druga vrsta sadrži samo jednu nulu. Ona se nalazi u polju (2.2.). To je nezavisna nula. U drugoj koloni nema zavisnih nula. Nema više vrsta sa jednom nulom. U prvoj koloni postoji samo jedna nula, u polju (2.1.). To je nezavisna nula. Utrecoj vrsti, nule u poljima (3.3.) i (3.5.) treba precrtati. To su zavisne nule.6 1 3 0 5

1 0 1 2 4C3= 0 2 0 1 04 2 1 0 54 2 2 0 3 Sve nule, u matrici C3, su precrtane. Kada je broj nezavisnih nula jednak broju vrsta/kolona, nađeno je optimalno rešenje.U našem primeru, u matrici C3, postoje tri nezavisne nule što znaci da rešenje još nije optimalno. Prelazimo na korak 3.Korak 3.U ovom koraku je potrebno odrediti minimalan broj linija koje ce pokriti sve nule u matrici. Najpre se traži vrsta, u matrici C3 u kojoj nema nezavisnih nula.IV i V vrsta nemaju nezavisnih nula. Zbog toga ove vrste treba oznaciti strelicama. IV i V vrsta imaju zavisne nule u IV koloni, u poljima (4.4.) i (5.4.). Zbog toga treba precrtati IV kolonu45U IV koloni je precrtana nezavisna nula iz I vrste, u polju (1.4.). Zato treba oznaciti I vrstu I vrsta nema više zavisnih nula pa je postupak oznacavanja završen. Precrtati II i III vrstu jer su neoznacene.Dobili smo matricu C4.Korak 4.U ovom koraku, najmanji od neprecrtanih elemenata iz matrice C4, treba oduzeti od svih ostalih neprecrtanih elemenata, a dodati svim elementima koji leže na preseku dveju linija. Svi ostali precrtani elementi ostaju nepromenjeni.Najmanji nepokriveni elemenat u matrici C4 je broj 1 (c12=c43=1). Kada se broj 1 oduzme od svakog neprecrtanog elementa i doda svakom elementu na preseku linija, dobija se matrica C5

5 0 2 0 41 0 1 3 4C5=0 2 0 2 03 1 0 0 43 1 1 0 2 Dalje se ponavljaju koraci 2 i 3. dok se ne dobije optimalno rešenje.Korak 2.Potrebno je ponovo izvršiti novu kategorizaciju nula iz matrice C5. U II vrsti, u polju (2.2.) se nalazi samo jedna nula, i ona je nezavisna. Nula koja se nalazi u polju (1.2.) tj. u drugoj koloni postaje zavisna. Treba jeprecrtati Sada, u I vrsti, u polju (1.4.) postoji samo jedna nula i ona ce biti nezavisna

U IV koloni, nule u poljima (4.4.) i (5.4.) tj. u cetvrtoj i petoj vrsti postaju zavisne U IV vrsti u polju (4.3.) nalazi se nezavisna nula Nula u trecoj koloni u polju

(3.3.) postaje zavisna. Nula iz polja (2.1.), tj. iz prve kolone postaje nezavisna46 Nula iz pete kolone, tj. iz polja (3.5.) postaje zavisna Još nije pronađeno optimalno rešenje jer postoje samo cetiri nulea pet vrsta. Postupak se nastavlja ponavljanjem koraka 3.Korak 3. V vrsta nema nezavisnih nula. Potrebno je oznaciti petu vrstu V vrsta ima zavisnu nulu u IV koloni (polje 5.4.). Treba precrtati IV kolonu IV kolona ima nezavisnu nulu u I vrsti, u polju (1.4.). Treba oznaciti I vrstu I vrsta

ima nezavisnu nulu u II koloni (polje 1.2.). Treba precrtati II kolonu II kolona nema zavisnih nula. Treba oznaciti II vrstu Precrtati, neoznacene vrste (III i IV)Matrica C6

Korak 4.Najmanji nepokriveni broj u matrici C6 je broj 1. Broj jedan oduzimamo od svakog neprecrtanog elementa a dodamo svakom elementu koji se nalazi na preseku linija, dobija se matrica C7

Matrica C7

Korak 2.C7=47 U IV vrsti postoji samo jedna nula, u polju (4.3) i ona je nezavisna Sve nule trece kolene moraju biti zavisne i treba ih precrtati V vrsta ima samo jednu nulu, u polju (5.4.) i ona je nezavisna Nula iz te cetvrte kolone a prve vrste, u polju (1.4.), postaje zavisna i precrtanaU I vrsti sada ima samo jedna nula, u polju (1.2.), koju proglašavamo za nezavisnu Zbog toga nula u drugoj koloni druge vrste, u polju (2.2.), postaje zavisnaU II vrsti ostala je neoznacena nula u polju (2.1.), pa je proglašavamo za nezavisnu Pošto se precrta nula iz I kolone a trece vrste, u polju (2.1.), ostaje poslednja nula u V koloni III vrste, polje (3.5.), koja postaje nezavisna.Dobili smo matricu u kojoj ima pet nezavisnih nula koliko je i vrsta, tako da ova matrica daje optimalno rešenje zadatka.Optimalno rešenje jeX12=X21=X35=X43=X54=1a minimalna vrednost funkcije cilja iznosi 44 sata. Optimalno rešenje glasi: Radnik R1 treba da radi na mašini M2, radnik R2 namašini M1, radnik R3 na mašini M5, radnik R4 na mašini M3 dok radnik R5 treba da radi na mašini M4. Oni ce sve poslove obaviti za 44 sata rada što je najmanji broj sati za obavljanje svih poslova.3.3. Otvoreni model asignacijeModel asignacije u kome broj izvršilaca nije jednak broju poslova (m ��������������n) predstavlja tzv. otvoreni model asignacije. Pri tome, razlikujemo dva slucaja ove neusklađenosti:a) broj izvršilaca je veci od broja poslova (m>n), odnosno nj1

1 akojej−tiposaododeljeni−tomizvršiocu xij 0 u suprotnomb) broj poslova je veci od broja izvršilaca, odnosno

∑x 1 i1,...,m ij

48m

∑x 1 j1,...,n ij

i1

1 akojej−tiposaododeljeni−tomizvršiocu xij 0 u suprotnomU oba slucaja, slicno kao kod otvorenog modela transporta, problem se rešava uvođenjem neophodnog broja fiktivnih poslova, odnosno fiktivnih izvršilaca. Na taj nacin otvoreni model asignacije se transformiše u zatvoreni, nakon cega se primenjuje istovetan algoritam rešavanja kao kod zatvorenog modela. Postupak određivanja optimalnog rešenja predstavicemo na modelu u kome je broj izvršilaca manji od broja poslova .Primer 3.2.Jedno transportno preduzece ima u jednom trenutku 4 slobodna kamiona. Kamioni se nalaze

u garažama G1, g2, G3 i G4, koje su u razlicitim mestima. Potrebno je uputiti po jedan kamion na pet razlicitih utovarnih mesta M1, M2, M3, M4 i M5. Rastojanja garaža od utovarnih mesta su razlicita. U tabeli 3.2 nalaze se podaci o rastojanjima (cij) između utovarnih mesta i garaža.Tabela 3.2Potrebno je odrediti iz kojih garaža i na koja utovarna mesta treba uputiti kamione, pa da pređeni put svih kamiona bude najmanji, kao i koje utovarno mesto nece dobiti kamion.Rešenje:Problem se rešava tako što se proširi matrica iz tabele 2 još jednom kolonom koja predstavlja nepostojecu garažU, cija je udaljenost od svih utovarnih mesta jednaka nuli. Na taj nacin se dobija kvadratna matrica, koja ima isti broj vrsta i kolona, pa se problem Rešenje iz matrice C4 je optimalno rešenje. Cine ga promenljivex12=1, x21=1, x34=1, x45=1, x53=1a minimalna vrednost funkcije cilja je 41. Optimalno rešenje znaci da ce -u utovarno mesto M1 biti poslat kamion iz garaže G2Utovarna mestaGaražeG1G2G3G4M112111213M29161013M31110910M415131213M51114111549-u mesto M2 kamion iz garaže G1 -u mesto M3 kamion iz garaže G4 -u mesto M5 kamion iz

garaže G3. -u mesto M4 nece biti poslat nijedan kamionm jer garaža G5 ne postojiMinimalna vrednost funkcije cilja oznacava najkarci put koji ce preci svi kamioni od garaža do utovarnih mesta.rešava prethodno opisanim algoritmom. Nova, proširena matrica je12 11 12 13 09 16 10 13 0 C1=11 10 9 10 015 13 12 13 011 14 11 15 0 Proširenjem originalne matrice C još jerdnom kolonom, dobijena je matrica C1 koja vec ima nulu u svakoj vrsti. Zato se transformacija koeficijenata cij matrice C1 vrši samo po kolonama. Pošto se odrede minimalni elementi po kolonama i oduzmu od odgovarajucih elemenata svake kolone, dobija se matrica C2 u kojoj je izvršena kategorizacija nula na nezavisne i zavisne. Nezavisne nule se nalaze u poljima (1.4.), (2.1.) i (3.2.). Sistem linija koje pokrivaju sve nule u matrici C2 dobijen je na sledeci nacin: IV i V vrsta nemaju nezavisnih nula. Treba oznaciti IV i V vrstu IV i V vrsta imaju zavisne nule u IV koloni, u poljima (4.4.) i (5.4.). Trebaprecrtati IV kolonu. IV kolona ima nezavisnu nulu u I vrsti, u polju (1.4.). Treba oznaciti I vrstu. Precrtati neoznacene vrste (II i III)U matrici C2 treba izvršiti novu kategorizaciju nula na nezavisne i zavisne. Pošto je broj nezavisnih nula manji od pet, treba odrediti sisitem linija kojima ce biti pokrivene50sve nule u toj matrici. Zatim najmanji neprecrtani elemenat (c12=1) oduzmemo od neprecrtanih elemenata i dodamo elementima na preseku linija i dobijamo matricu C3, kako slediJoš uvek nije pronađeno optimalno rešenje. Određen je sistem linija kojima su precrtane sve nule u matrici C3. Najmanji neprecrtani elemenat je c51=c53=1. Nakon izvršene transformacije dobijena je matrica C4

Rešenje iz matrice C4 je optimalno rešenje. Cine ga promenljive x12=1, x21=1, x34=1, x45=1, x53=1a minimalna vrednost funkcije cilja je 41. Optimalno rešenje znaci da ce -u utovarno mesto M1 biti poslat kamion iz garaže G2 -u mesto M2 kamion iz garaže G1 -u mesto M3 kamion iz garaže G4 -u mesto M5 kamion iz garaže G3. -u mesto M4 nece biti poslat nijedan kamionm jer garaža G5 ne postoji. Minimalna vrednost funkcije cilja oznacava najkarci put koji ce preci svi kamioniod garaža do utovarnih mesta.514.MODELI ZALIHA 4.1. O problemu zalihaUpravljanje zalihama predstavlja veoma važnu oblast Operativnog menadžmenta, pre svega zbog vrednosti zaliha kojima preduzece raspolaže. Na troškove zaliha odnosi se veliki deo ukupnih troškova proizvodnje, pa je zbog toga problem zaliha jedan od najznacajnijih ekonomskih problema, kome je potrebno posvetiti dužnu pažnju.U industrijski razvijenim zemljama, upravljanju zalihama se poklanja znatno veca pažnja nego u manje razvijenim zemljama.Osnovni problem koji se rešava upravljanjem zalihama jeste vremenski nesklad koji postoji između tražnje i snabdevanja, odnosno nesklad između potreba i raspoloživog materijala koji se koristi u procesu proizvodnje. Upravljanje zalihama treba da obezbedi neophodne sirovine

i drugi materijal, tako da se proces proizvodnje može odvijati ravnomerno i bez prekida.Osnovni cilj upravljanja zalihama može se definisati na sledeci nacin: neophodno je obezbediti dovoljnu kolicinu potrebnih materijala tako da se proces proizvodnje odvija neprekidno i ravnomerno, pri cemu treba ispuniti i zahtev za minimizacijom ukupnih troškova zaliha.Savremeni pristupi upravljanja zalihama, znacajno se oslanjaju na intenzivno korišcenje informacionih sistema i pogodnih matematickih modela. Prvi matematicki model za racunanje optimalnih zaliha, nastao je pocetkom dvadesetog veka. Znacajan razvoj desio se 50-tih i 60-tih godina u okviru Operacionih istraživanja. Interesovanje za ovu oblast ne prestaje ni danas. Uzrok tome je svakako znacaj koji zalihe imaju.Znacaj funkcije upravljanja zalihama proizilazi iz -vrednosti zaliha kojima preduzece raspolaže i -troškova zaliha, koji su bitan deo ukupnih troškova proizvodnje. Kako definišemo zalihe? Zalihe su roba koja se u određenom vremenskom periodu nalazi u skladištimafirme, sa ciljem da kasnije bude upotrebljena. To su sirovine, materijal, poluproizvodi, odnosno gotovi proizvodi, koji se nalaze u skladištu preduzeca u određenom trenutku.Firma drži zalihe da bi mogla da obavlja posao zbog koga postoji, bilo da se radi o proizvodnji dobara ili o pružanju usluga.Zalihe su neophodne da bi se sprecili zastoji u procesu proizvodnje. Prema nameni, zbog kojih ih preduzece drži na skladištu, zalihe se dele na -proizvodne -tržišneProizvodne zalihe su zalihe koje se drže za interne potrebe i koriste se za sopstvenu proizvodnju. Tu spadaju sirovine, repromaterijal, rezervni delovi i slicno, koji treba da obezbede nesmetano odvijanje procesa proizvodnje tokom celog posmatranog perioda proizvodnje. U protivnom može doci do zastoja u proizvodnji, što može biti uzrok mnogih gubitaka i drugih negativnih posledica.Ovaj problem se cesto može rešiti tkz. hitnim nabavkama. Međutim, takav nacin poslovanja ima za posledicu povecanje troškova zaliha koji ponekad mogu biti veci i od gubitaka zbog zastoja u proizvodnji.52Neopravdano držanje velikih, odnosno nepotrebnih zaliha ima za posledicu: zamrzavanje velikih finansijskih sredstava povecanje troškova osiguranja povecanje troškova skladištenje i cuvanja zaliha gubitke u kolicini i kvalitetu zbog dugog vremena stajanja zaliha na skladištu.Tržišne zalihe, to su zalihe koje su namenjene tržištu, odnosno kupcu. To su najcešce gotovi proizvodi. Zbog nedostatka ovih zaliha nece doci do prekida u procesu proizvodnje, ali može doci do gubitka ugleda firme, gubitka kupaca pa time i do gubitka dobiti.Prema tome, osnovni problem u poslovanju zalihama jeste da se obezbedi takav obim i vreme nabavke zaliha koji ce zadovoljiti sve potrebe proizvodnje, ako se radi o proizvodnim zalihama ili sve potrebe kupaca i tražnju, ako se radi o tržišnim zalihama, a da pri tome ukupni troškovi, koji se sastoje od troškova porudžbine ili nabavke zaliha, troškova cuvanja zaliha, troškove hitnih nabavki, budu minimalni.Skup pravila i procedura kojima se u jednom preduzecu rešavaju zadaci u vezi sa obezbeđenjem neophodnih zaliha potrebnih za nesmetano odvijanje proizvodnog procesa, ili zadovoljanje tražnje na tržištu, naziva se sistem za upravljanje zalihama ili strategija upravljanja zalihama.Strategija upravljanja zalihama treba da odgovori na dva pitanja. To su: -koliko poruciti, koju kolicinu -kada poruciti, u kom trenutku vremena Klasican pristup upravljanja zalihama polazi od iskustvenog stava da „od viška ne

boli glava“. Iz ovog proizilazi da preduzeca treba da raspolažu zalihama u kolicinama vecim nego što su trenutno neophodne. Tako se izbegavaju moguci zastoji u proizvodnji ali se povecavaju troškovi. To su tkz. sigurnosne zalihe, koje možda nikada nece biti iskorišcene.Savremeni pristup upravljanja zalihama polazi od toga da se planiranje proizvodnje i upravljanje zalihama potpuno integrišu. Odnosno promoviše se koncept „u pravom trenutku“. U takvoj proizvodnji bi sve bilo tacno predviđeno i isplanirano do perfekcije pa je ovaj koncept još uvek ideal kome treba težiti.4.2.Troškovi zalihaCilj svakog preduzeca, odnosno svake strategije za upravljanje zalihama jeste da ukupni troškovi budu što je moguce manji. Ona strategija koja obezbeđuje minimum ukupnih troškova zaliha naziva se optimalna strategija za upravljanje zalihama. To znaci da optimalna strategija upravljanja zalihama treba da odgovori na dva osnovna pitanja:-koliko porucivati-kada porucivati ali pod uslovom da ukupni troškovi budu minimalni.Da bi mogli da rešimo ovaj problem, odnosno da bismo mogli da postavimo odgovarajuci matematicki model zaliha, potrebno je prethodno poznavati sve vrste troškova zaliha i nacine njihovog određivanja.53U analizi troškova zaliha pojavljuje se više razlicitih kategorija troškova od kojih su najznacajniji troškovi nabavke (narucivanja) troškovi cuvanja (skladištenja) troškovi nastali zbog nedostatka zaliha.Svaka od navedenih kategorija troškova, u zavisnosti od prirode problema koji se rešava ima određene specificnosti od kojih zavisi velicina ovih troškova.Osim pomenutih specificnosti, postoje i neke zajednicke osobine za svaku od navedenih kategorija troškova koje cemo u nastavku izlaganja u najkracim crtama izložiti.Troškovi nabavke obuhvataju sve troškove koji nastaju od trenutka utvrđivanja potrebe za robom do trenutka dobijanja robe na skladištu firme. Tu spadaju: troškovi administracije tj. plate u nabavnoj službi troškovi kancelarijskog materijala utrošenog radi nabavke PTT troškovi tj. troškovi komuniciranja sa dobavljacinma troškovi transporta zaliha od dobavljaca do magacinaOvi troškovi ne zavise od kolicine materijala (zaliha) koja se porucuje u jednoj porudžbini.Troškovi nabavke zaliha se u praksi najcešce određuju na taj nacin što se ovi troškovi prate u dužem vremenskom periodu (tri do šest meseci ili duže) a zatim se tako dobijeni ukupni troškovi podele sa brojem porudžbina u tom vremenskom periodu i tako se dobiju prosecni troškoviTroškovi držanja zaliha (troškovi skladištenja) nastaju iz potrebe cuvanja odnosno održavanja zaliha. Cim preduzece ima zalihe ono mora da vodi racuna o njima, da ih cuva i održava. Za to je potreban određeni skladišni prostor a takođe i ljudi koji ce se brinuti o zalihama. Najznacajnije stavke troškova držanja zaliha sutroškovi kapitala troškovi skladišnog prostora troškovi zaposlenih tj. plate zaposlenih na cuvanju zalihaDo troškova kapitala dolazi zato što prilikom nabavke zaliha preduzece koristi znacajna finansijska sredstva koja su u vremenskom periodu dok se zalihe nalaze u skladištima zamrznuta a mogla bi u tom vremenskom periodu biti upotrebljena na bolji nacin. Troškovi kapitala su izgubljena dobit zbog zamrzavanja određenih finansijskih sredstava u određenom vremenskom periodu.

Ovi troškovi zavise od kolicine zaliha koje se cuvaju na skladištu.Troškovi držanja zaliha dobijaju se tako što se saberu sve vrste troškova i tako dobijeni ukupni troškovi cuvanja zaliha se podele sa kolicinom zaliha i vremenskim periodom u kome se cuvaju, pa se dobiju troškovi po jedinici zaliha u jedinici vremena.Troškovi nedostatka zaliha (troškovi hitnih nabavki) predstavljaju troškove koje je najteže odrediti. Tu spadaju troškovi nastali zbog zastoja ili prekida u proizvodnji ciji je uzrok nedostatak zaliha troškovi vanrednih ili urgentnig nabavki zaliha. Troškovi izazvani prekidom ili zastojem proizvodnje, bez obzira na uzrokeprekida proizvodnje, mogu biti vrlo veliki i izuzetno su znacajni za vecinu preduzeca, jer pored izgubljene dobiti zbog prekida proizvodnje, kod nekih preuzeca mogu se pojaviti i54dodatni troškovi zbog prekida tehnološkog procesa, kao i troškovi ponovnog pokretanja tehnološkog procesa.Ovi troškovi su po jedinici materijala znatno veci od troškova koji nastaju pri redovnim nabavkama.Primer 4.1:Trgovinsko preduzece je u obavezi da tržište snabdeva proizvodom A. Ispitivanjem tražnje utvrđeno je da u toku određenog vremenskog perioda (T), koji najcešce iznosi jednu godinu, potražnja za proizvodom A mora biti zadovoljena, kontinualna i konstantna, i da potražnja iznosi Q jedinica.Trgovinsko preduzece ovaj problem može da reši na dva nacina: da odmah poruci celokupnu kolicinu (Q) proizvoda A i da je drži naskladištu, pa tržište snabdeva sa skladišta, tokom vremenskog perioda T da tokom vremena T narucuje određene kolicine proizvoda A i isporucujeih tržištu. U prvom slucaju preduzece ce imati izuzetno visoke troškove skladištenja, jer sevelika kolicina proizvoda A, u dužem vremenskom periodu, cuva na skladištu. Osim toga, preuzece ce imati i velike troškove kapitala, jer se velika finansijska sredstva biti zamrznuta u dužem vremenskom periodu. Troškovi narucivanja u ovom slucaju bice mali jer se radi o samo jednoj porudžbini.U drugom slucaju, gde se radi o više porudžbina tokom vremena T, troškovi narucivanja ce biti veci, ali troškovi skladištenje i troškovi kapitala ce biti znatno niži nego u prvom slucaju.Primer 4.2:Neka je neko proizvodno preduzece preuzelo obavezu da, u određenom vremenskom periodu T proizvede i isporuci ukupno Q jedinica proizvoda A, pri cemu ove isporuke moraju biti kontinualne i konstantne tokom citavog perioda T, ono može: odmah u jednoj proizvodnoj seriji da proizvede celokupnu kolicinu (Q) proizvoda A, da ga cuva na skladištu i isporucuje u potrebnim kolicinama tokom vremena Tu toku vremenskog perioda T može da organizuje proizvodnju proizvoda P u više manjih proizvodnih serija i tako ispuni svoju ugovorenu obavezu.I ovde ce u prvom slucaju biti veliki troškovi zaliha i troškovi kapitala, dok ce u drugom rešenju ovi troškovi biti manji ali ce zato biti uvecani troškovi pripreme proizvodne serije.Problem zaliha nije mogao biti rešen formiranjem jednog modela, koji bi bio univerzalan i pogodan za sve probleme. Naprotiv, problem je rešen tako, što je, u zavisnosti od karakteristika pojedinih problema zaliha, formiran veci broj razlicitih modela za upravljanje zalihama.Napisan je veliki broj knjiga i naucnih radova, teorijskog i aplikativnog karaktera, iz ove naucne oblasti, a posebno je razrađen veliki broj matematickih modela za optimizaciju

zaliha.Tako su razvijeni modeli zaliha sa deterministickom i stohastickom tražnjom.Od modela sa deterministickom tražnjom bice analizirani modeli sa konstantnom tražnjom u fiksnom vremenskom periodu, sa i bez mogucnosti hitnih nabavki zaliha dok55ce se modeli sa stohastickom tražnjom analizirati i za diskretne (prekidne) i kontinualne (neprekidne) slucajeve.4.3.Matematicki modeli zalihaZalihe predstavljaju izuzetno važan faktor i za proizvodnju i za potrošnju, pa je zbog toga jasno da sve organizacije i preduzeca, koji posluju sa zalihama, nastoje da se to poslovanje odvija na optimalnom nivou, odnosno uz minimalne ukupne troškove zaliha. Jedan od najboljih nacina da se to postigne, odnosno da se odredi optimalna strategija upravljanja zalihama jeste korišcenje odgovarajucim matematickih modela zaliha.4.2.1.Deterministicki modeli zaliha sa konstantnom tražnjom i fiksnim vremenskim periodomOvo je najjednostavniji model zaliha. Koristi se i za proizvodne i za tržišne zalihe. Kada se koristi za tržišne zalihe naziva se model optimalne ili ekonomicne kolicine narucivanja, a kada se koristi za optimizaciju proizvodnih zaliha naziva se model za određivanje optimalne velicine proizvodne serije.Uvedimo oznake:Q-ukupna kolicina sirovine potrebna za planiranu proizvodnju u posmatranom periodux-kolicina određene sirovine koja je potrebna u jednom periodu od t vremenskih jedinicaT-planski (vremenski) period narucivanja t- trajanje jednog perioda vremena za koji se vrši jedna nabavka n-broj perioda od t-vremenskih jedinica u posmatranom intervalu T C0-troškovi jedne redovne nabavke sirovine C1-troškovi skladištenja jedinice sirovine u jedinici vremena C2-troškovi naknadne (hitne) nabavke jedinice sirovine u jedinici vremena y-raspoloživa kolicina sirovine nakon prijema porucene kojicine P-nabavna cena jedinice sirovinePretpostavke koje su potrebne da bi se formirao model za upravljanje zalihama sa konstantnom tražnjom i fiksnim vremenskim periodom su:1. Potrošnja sirovine je unapred poznata i jednaka je u svim periodima. 2. Potrebnu kolicinu sirovine za jedan period narucujemo odjednom. Sirovina se dobija bez odlaganja u toku istog dana. Vreme porucivanja i vreme nabavke sezanemaruju. 3. Naredna porudžbina sirovine pristiže u magacin tek kada je prethodna potpunoutrošena. Zato u modelu nema ni pocetnih ni završnih zaliha. 4. Nisu dozvoljene naknadne (hitne) nabavke. 5. Troškovi skladištenja su proporcionalni sa kolicinom sirovine koja se skladišti.Problem se sastoji u tome da se odredi optimalna velicina porudžbine x0 koja ce da minimizira ukupne troškove zaliha, koji se sastoje od troškova narucivanja i troškova skladištenja, za ceo planski period T.56Ovako pojednostavljeni problem može se graficki prikazati kao na slici 4.1.Slika 4.1. Model zaliha sa konstantnom tražnjom i fiksnim vremenskim periodomProblem se može formulisati na sledeci nacin: Za posmatrani interval vremena koji iznosi T vremenskih jedinica, prduzecu je potrebno ukupno Q jedinica neke sirovine. Potrebno je odrediti režim nabavke sirovine.Kao što je prethodno receno, postoje dve mogucnosti: -da se celokupna kolicina sirovine Q

nabavi odjednom -da se u okviru više nabavki obezbedi ista kolicina Ako se potrebna kolicina sirovine obezbeđuje u okviru više nabavki, onda jepotrebno posmatrani interval vremena T podeliti na n-međusobno jednakih perioda od po t vremenskih jedinica, pri cemu jexttt TodnosnoT nt nT.tBroj perioda n može se odrediti i kao kolicnik nQ , jer su prema xpretpostavkama, potrebne kolicine sirovine x, po periodima, međusobno jednake. Ako su proizvodne serije jednake među sobom, onda se pretpostavlja da su iintervali između lansiranja dve proizvodne serije jednaki, odnosno iz relacija nQ i nTsledixtnTQ tj. tTx (4.1) txQ57Prema pretpostavci, stanje zaliha na pocetku planskog perioda T jednako je nula, što znaci da se odmah lansira prva porudžbina koja iznosi x. Tokom vremenskog perioda t, ove zalihe (koje iznose x-jedinica) se troše, tako da su na kraju perioda t ponovo jednake nuli. Nakon toga, lansira se nova porudžbina i ceo proces se ponavlja sve do isteka planskog perioda T.Kako je velicina zaliha na pocetku vremenskog perioda t jednaka x a na kraju perioda iznosi nula, prosecne zalihe tokom intervala t su x 0 x .dana) biti

x C1t 2gde su C1-troškovi skladištenja. Ukupni troškovi za vremenski period t dobijaju se ako se troškovima skladištenja22 Sledi da ce troškovi skladištenja zaliha za jedan vremenski interval (t, napr. brojdodaju troškovi narucivanja, tj. troškovi redovne nabavke C0 f(x)C0 xC1t2 Ukupni troškovi zaliha u celom planskom periodu T, u kome postoji tacno n-porudžbina iznosex F ( x ) C 0 2 C 1 t n(4.2) AkoseuprethodnojjednacinizamenitsatTx insanQ,dobijaseQx x2 Q CTxCQ F(x)C CT , odnosno F(x)1 0 . (4.3)0 2Q1x 2 xU ovoj jednacini jedina nepoznata velicina je x, što znaci da je minimizacijom ove funkcije po x moguce odrediti optimalnu velicinu porudžbine x0, a zatim i minimalne ukupne troškove zaliha za ceo period T.Uslov da bi funkcija (3) ima min je da je prvi izvod funkcije po x jednak nuli, a drugi izvod veci od nule.Prvi izvod funkcije F(x) jeodakle se dobija optimalna velicina narudžbine x0, kako sledi x0 2C0QCT1

CTCQ1−00 2 x2

(4.4)58Zamenom vrednosti x0 u funkciji ukupnih troškova zaliha F(x) dobice se ukupni minimalni troškovi zaliha F(x) koji iznoseF(x0)2C0C1QT.(4.5)Optimalni broj narudžbi (n0), kao i optimalni vremenski interval između dve narudžbe, (t0), dobija se ako se izvrši zamena optimalne velicine narudžbe u odgovarajuce izraze. Tako je(4.6) (4.7)Q C1Q Na ovaj nacin je moguce rešiti model optimizacije zaliha sa konstantnomtražnjom i fiksnim vremenskim periodom.Graficka interpretacija Funkcija ukupnih troškova F(x) sastoji se odCTx -funkcije troškova skladištenja, F1(x), pri cemu je F (x) 1 , linearna funkcijaQ CTQ n0 1

2C0 t0 Tx0 2C0T .x0

12 -funkcije troškova narucivanja F2(x),pri cemu je F2 (x) C0Q , opadajucaobima narudžbine x, ixfunkcija obima narudžbine x i predstavlja hiperbolu cije su asimptote koordinatne ose tj.F(x)=F1(x)+F2(x), odnosnoCTx CQ F(x)1 0 2x59

F(x0)F1(x)F2(x)putem.x0 x Slika 4.2. Funkcija troškova zalihaMinimalni ukupni troškovi dobijaju se samo ako su troškovi skladištenja jednaki troškovima nabavke, tj. F1(x)=F2(x), odnosnoC1Tx C0Q , odakle sledi da je x0 2C0Q , što je dobijeno i analitickim 2xCTPRIMER 4.3:Jedno preduzece u toku šestomesecnog ciklusa proizvodnje troši u proseku po 150 jedinica neke sirovine S. Isporuke ove sirovine su trenutne, a na pocetku proizvodnog ciklusa poruceno je 500 jedinica sirovine S. Troškovi jedne porudžbine iznose 2000 € a troškovi skladištenja jedne jedinice sirovine iznose 2 €. Odrediti:a)optimalnu velicinu porudžbine, minimalne ukupne troškove zaliha, optimalni broj porudžbine u toku planskog perioda T, optimalni vremenski interval između dve porudžbineb)graficki predstaviti dobijeno rešenje.REŠENJE: Prema pretpostavci zadatka poznate su sledece velicine: -planski period T=6 meseci=180 dana -ukupna potrebna kolicina sirovine S za celokupan planski period Q=900 jedinica,(mesecne potrebe od 150 jedinica x 6 meseci=900 jedinica)F(x)1

60-troškovi jedne narudžbine C0=2.000 € -troškovi skladištenja C1=2 €/jed. sirovine a)Optimalna velicina porudžbine jex0 2C0Q 2*2000*900 100 jedinica sirovine S. CT 2*180

1 Minimalni ukupni troškovi zaliha suF(x0) 2C0C1QT 2*2000*2*900*180 36.000€ Optimalni broj porudžbina je n0 Q 900 9 a optimalni vremenski period izmeđuGraficki prikaz:x 100

x0 9 dve narudžbe je t0 Tx0 180*100 20 dana.Q 90020 40 60 80 100 120 140 160 180 t-daniSlika 4.3: Kretanje optimalnih zaliha u toku zadatog planskog periodaPotrebnu kolicinu sirovine S od 900 jedinica treba nabaviti u okviru 9 istovetnih porudžbina (n0=9), pri cemu svaka porudžbina sadrži po 100 jedinica sirovine S (x0=100). Vremenski razmak između svake porudžbine iznosi 20 dana (t0=20). Ovakav režim snabdevanja sirovinom S može se vršiti uz minimalne troškove nabavke i skladištenja od 36.000 € (F(x)=36000).PRIMER 4.4:Za planirani obim proizvodnje preduzecu je potrebno 2000 jedinica sirovine S. Sirovina se može nabaviti svakog trenutka u dovoljnim kolicinama. Troškovi jedne redovne porudžbine iznose 54000€, a troškovi skladištenja jedne jedinice sirovine S su 9 € dnevno. Planiranu proizvodnju preduzece treba da završi za 150 dana.61Koju kolicinu sirovine S treba nabavljati u okviru jedne porudžbine, koliko ce takvih porudžbina biti u toku 150 dana i kako ce one biti vremenski raspoređene da bi se ostvarili minimalni troškovi nabavke i cuvanja zaliha sirovine S?Rešenje: Dato je: Q=2000, C0=54000, C1=9, T=150x02C0Q, x02*2000*54000400 CT 150*91 F(x0)2C0C1QT,F(x0)2*2000*150*54000*9540000n0 Q20005 t0 T 15030 x0 400 n0 5Objašnjenje: Potrebnu kolicinu sirovine S od 2000 jedinica treba nabaviti u okviru 5 istovetnih porudžbina (n0=5), pri cemu svaka porudžbina sadrži po 400 jedinica sirovine S (x0=400). Vremenski razmak između svake porudžbine iznosi 30 dana (t0=30). Ovakav režim snabdevanja sirovinom S može se vršiti uz minimalne troškove nabavke i skladištenja od 540.000 € (F(x)=540.000).4.3.2.Model sa hitnim nabavkamaOvaj model predstavlja opštiji slucaj prethodnog problema. Ovde se razmatra i mogucnost pojave nedovoljnih zaliha sirovina, usled neblagovremene isporuke ili nekog drugog razloga. Zbog toga se menja pretpostavka o mogucnosti pojave hitnih nabavki, pa cemo ovaj model formirati imajuci u vidu sledece pretpostavke:1. Potrošnja sirovine je unapred poznata i jednaka je u svim periodima 2. Potrebnu kolicinu sirovine za jedan period narucujemo odjednom. Sirovina se dobija bez odlaganja u toku istog dana. Vreme porucivanja i vreme nabavkese zanemaruju 3. U modelu nema ni pocetnih ni završnih zaliha 4. Dozvoljena je pojava nedovoljnih zaliha zbog cega ce postojati i hitnenabavke. U toku jednog perioda može postojati samo jedna hitna i jednaredovna nabavka. 5. Troškovi skladištenja su proporcionalni kolicini. 6.Graficki prikaz problema62

xyt1 t2 t1 t2

ttt Tx-ySlika 4.3:Model sa hitnim nabavkamaSa grafika se vidi da potrebna kolicina sirovine za period t iznosi x-jedinica, ali da se u okviru redovne nabavke nabavlja samo y-jedinica (y<x). Kolicina sirovine od y-jedinica dovoljna je za proizvodnju samo u periodu od t1 vremenskih jedinica, pa ce za ostatak vremena od t2 jedinica biti potrebno da se izvrši hitna nabavka u iznosu od (x-y) jedinica sirovine.Prosecna kolicina sirovine na zalihi u potperiodu t1 bice y/2 jedinica, a troškovi njihovog skladištenja iznosice

y C1t1 2Prosecna kolicina nedostajucih zaliha za potperiod t2 iznosi x −y , a troškovi hitne

nabavke ove kolicine su x −y C2t2 .2

2 Iz slicnosti trouglova sa prethodne slike, dobija se(4.9)( 4 . 1 0 )(4.11)t1 y; t2 x−y, txtxodakle sledi da je

t 1 xy t ; t2 x−ytxFunkcija ukupnih troškova za ceo interval T je63F(x, y) (C0 y C1t1 x −y C2t2 )n 22pa kada se izvrše potrebne zamene za t1, t2 i n dobija se(4.12)(4.13)x 2x 2x Minimalnu vrednost funkcije F(x,y) određujemo izjednacavanjem njenih parcijalnihC Q CTy2 C T(x−y)2 F(x,y)0 1 2 .izvoda po x i y sa nulom.odnosnoiF ( x , y ) C Q C T y 2 C T 2 x ( x −y ) −( x −y ) 2 −0−12

x x2 2x2 2x2 x2 2C0QC1C2 y2

(4.14)TC2 C2

F(x,y) CTy CT(y−x) 1 2

y x x odakle posle izjednacavanja sa nulom i sređivanja, dobijamoyC2 x (4.15) C1 C2

Zamenom vrednosti promenljive y iz relacije (4.15) u (4.14) dobija se da je optimalna kolicina narudžbine jednaka(4.16)(4.17)x0 2C0Q C1 C2 CTC12 Zamenom vrednosti za x iz relacije (4.16) u (4.15) određuje se da je

y0 2C0Q C2 CTCCI konacno, zamenom vrednosti za promenljive x i y iz relacija (16) i (17) u funkciji troškova (13) dobijaju se minimalni troškoviF(x0,y0)2C0C1QT C2 (4.18) C1 C2112

64Vrednosti za n i t dobijaju se na sledeci nacinn0 Q C1Q C2

PRIMER 4.5.Q CTQ C n0 1 2

(4.19) (4.20)2C0 C1 C2 t0TTx02C0T C1C2

x0

Radi poređenja, pođimo od pretpostavke da u primeru 4, postoji mogucnost pojave nedovoljnih zaliha. One ce se nadoknaditi hitnim nabavkama, a troškovi hitnih nabavki, po jedinici sirovine S iznose 16 €, dnevno. Dato je: Q=2000, C0=54000, C1=9, C2=16,T=150x0 2C0Q C1 C2 2*54000*2000 916 500 TC1 C2 9*150 16y0 2C0Q C2 2*54000*200 16 320CT C C 112

F(x0 , y0 ) 2C0C1QT C2 C1 C2

9*150 916 2*54000*9*2000*15016 432000 916n0 Q 2000 4 x0 4t0 T 150 37.5 n0 4t1 yt, ⇒t10 y0 t0 32037,524 x x0 500t2 x−yt, ⇒t21 t0 −t10 13.5 xObjašnjenje: Potrebnu kolicinu sirovine S od 2000 jedinica treba nabaviti u okviru 4 redovne nabavke i 4 hitne nabavke (n0=4). Redovna porudžbina sadrži 320 jedinica sirovine S (y0=400) i bice utrošena za 24 dana (t10=24).Za period t potrebno je međutim po 500 jedinica sirovine (x0=500), pa ce nedostajuce zalihe od 180 jedinica sirovine (x0-y0=180) nabaviti u okviru hitne nabavke i trošiti u preostalih 13.5, dana (t20=13,5) svakog perioda.Ovakav režim snabdevanja sirovinom S, u celom intervalu od 150 dana, može se vršiti uz minimalne troškove nabavke, skladištenja i hitnih nabavke od 432.000 € (F(x)=432.000).655.MREŽNO PLANIRANJE I UPRAVLJANJE 5.1.UvodU uslovima brzog razvoja nauke i tehnike, planiranje i upravljanje postaje sve složenije. Izvršenje bilo kog složenijeg zadatka (projekta) zahteva da se pitanja vezana za planiranje i upravljanje rešavaju na jedan sasvim nov nacin, tj. sa više sigurnosti i uz primenu rigoroznih naucnih metoda.Složeni projekti, koje treba izvršiti, sastoje se od velikog broja poslova, odnosno aktivnosti, koje su po strukturi veoma razlicite a međusobno vremenski uslovljene. Zbog toga, da bi se izvršio neki projekat, potrebno je obaviti sve aktivnosti iz kojih se on sastoji. Obavljanje svih tih aktivnosti predstavlja proces realizacije celokupnog projekta.Za uspešno upravljanje ovako složenim projektima nije dovoljno samo predvideti sve aktivnosti koje treba obaviti i odrediti njihove izvršioce. Potrebno je obezbediti i potpunu koordinaciju svih ucesnika u realizaciji projekta.Metode mrežnog planiranja i upravljanja predstavljaju instrument za upravljanje i kontrolu

toka realizacije složenih, međusobno povezanih procesa.Šta su to složeni procesi?Pod složenim procesom se podrazumeva proširen kompleks aktivnosti cijom realizacijom se ostvaruje unapred postavljeni cilj.Koji su procesi međusobno povezani?Međusobno povezani procesi su oni procesi u kojima mogu da se razlikuju prethodne i buduce aktivnosti, tako da završetak prethodnih aktivnosti predstavlja uslov za otpocinjanje buducih aktivnosti.Složene, međusobno povezane procese nalazimo u svim oblastima ljudske delatnosti, a narocito u oblasti ekonomije i pojedinih privrednih delatnosti. Primeri takvih procesa su:-realizacija raznih projekata -investiciona izgradnja -istraživanje i razvoj -opravka i rekonstrukcija uređaja za proizvodnju i td. Ono što je zajednicko za sve projekte je postojanje velikog broja pojedinacnihposlova, odnosno aktivnosti i komplikovanost njihovih uzajamnih odnosa. Sve do pronalaska metoda mrežnog planiranja i upravljanja, nisu postojale odgovarajuce naucne metode cijom primenom bi se u potpunosti, od prvih ideja i planova, do konacnog rešenja, na zadovoljavajuci nacin mogli rešiti problemi vezani za planiranje i upravljanje složenim i međusobno povezanim procesima (Gantovim dijagramom se može odrediti vremenski termin realizacije pojedinih aktivnosti ali se nemogu odrediti međusobni odnosi zavisnosnosti). Pod projektom se podrazumeva skup svrsishodno povezanih aktivnosti koje cinejednu celinu. Projekat je posao koji ima jasno određen cilj koji treba postici u datom vremenskom periodu, uz korišcenje raspoloživih resursa. To je poduhvat koji treba isplanirati i izvesti, a ne samo plan ili predlog da se nešto uradi. Projekat je jedinstveni proces koji se sastoji od skupa koordinisanih i kontrolisanih aktivnosti, sa određenim datumima pocetka i završetka, koji se preduzimaju da bi se isporucio proizvod u skladu66sa postavljenim zahtevima, pri cemu postoje ogranicenja u pogledu vremena, resursa i troškova.Projekti mogu biti mali i sastojati se od samo nekoliko operacija, ali i vrlo veliki, sa hiljadama operacija, u cijem izvršavanju ucestvuje desetine preduzeca i ustanova, kao što je:-izgradnja građevinskih objekata -izgradnja novih i rekonstrukcija postojecih fabrika, hotela -proizvodnja novog proizvoda, mašina i slicno. -razni naucni projekti -razni istraživacki i razvojni projekti -investicioni projekti -izrada projektne dokumentacije.Pojam aktivnost podrazumeva određeni, manje ili više složen posao, kome se može definisati pocetak i završetak. To je operacija u projektu koja se može definisati i vremenski odrediti. Na primer, kod projekta gradnje nekog objekta, kopanje temelja, betoniranje temelja, armiranje ploce, montiranje opreme, itd. su aktivnosti projekta gradnje.Pod pojmom događaj, podrazumeva se pocetak ili završetak neke aktivnosti. To je određeno stanje u kome nema aktivnosti. On ne troši ni vreme ni sredstva.Sveka aktivnost pocinje i završava se događajem, odnosno svaka aktivnost ima pocetni i završni događaj.Upravljanje projektom treba da obuhvati sve poslove od ideje do finalne realizacije projekta. Poznavanje metoda i tehnika za upravljanje projektima danas predstavlja jednu od neophodnih veština savremenog menadžera.Prilikom upravljanja projektom obicno se radi o tome:-da se u velikom broju raznih aktivnosti uvede neki poredak i redosled u realizaciji-da se odrede aktivnosti koje za realizaciju projekta i rok završetka projekta imaju najveci

znacaj-da se obezbedi njihova celishodna koordinacija -da se na najbolji nacin rasporede resursi. Kljucni elemenat upravljanja projektima je planiranje. Plan projekta je dokumenatkojim se utvrđuju specificne tehnike, resursi i nizovi aktivnosti potrebni za ostvarenje ciljeva projekta. Za planiranje realizacije projekta razvijen je skup metoda koje se jednim imenom nazivaju tehnike mrežnog planiranja.Ranije poznate metode nisu mogle dovoljno uspešno da odgovore svim ovim zahtevima pri realizaciji složenih projekata, posebno, kada se radilo o koordinaciji aktivnosti veceg broja ucesnika u realizaciji nekog zadatka, kao i o efikasnosti u procesu rokova i sredstava za tu realizaciju. Krajem pedesetih godina razvijene su metode mrežnog planiranja, koje ce za kratko vreme doživeti primenu u najrazlicitijim oblastima privrede i obezbediti znatno poboljšanje kvaliteta planiranja procesa realizacije složenih projekata i poboljšanje efikasnosti upravljanja tim procesima.Može se reci da je opšta karakteristika tehnike mrežnog planiranja, u odnosu na druge egzaktne metode, njena široka i masovna primenljivost. Nema ljudske aktivnosti na koju se ova tehnika ne može primeniti. Iako se radi o tehnici koja ima nov, strogo logican67i sistematski nacin predstavljanja, veliku pouzdanost i realnost u proceni vremena, dobijena je dovoljno jednostavna metoda koja se može koristiti kao pogodno sredstvo-za planiranje, -za kontrolu toka realizacije projekta, -za olakšanje razmene informacija izmedju ucesnika u realizaciji projekta, itd.Pored toga, mrežni dijagram sam po sebi predstavlja matematicki model koji omogucava da se prethodno može eksperimentisati i analizirati bilo koja promena u relizaciji složenih projekata.Sve su ovo razlozi da je za kratko vreme, za potrebe nekih vecih firmi na Zapadu, razvijeno više od 30 raznih metoda u okviru mrežnog planiranja. Sve su to, medjutim, razne modifikacije izvedene od dve osnovne metode: CPM i PERT.CMP metoda (Critical Path Method – metoda kritickog puta) razvijena je i prvi put primijenjena 1957.godine za potrebe planiranja generalnog remonta i održavanje u hemijskoj industriji Du Pont de Nemours and Co. Vec naredne 1958. godine ova metoda je uspešno primjenjena za planiranje izgradnje nove fabrike u istoj firmi. Osnovna karakteristika korišcene metode bila je stroga podela analize strukture i analize vremena u postupku planiranja. Pored toga, u analizi vremena i rokova izvršenja pojedinih delova projekta ova metoda operiše samo jednim vremenom. Zbog toga se CPM metoda koristi za planiranje projekta kod kojih se vreme, potrebno za izvršenje pojedinih aktivnosti, može dovoljno precizno odrediti.CPM-metoda se koristi za planiranje i kontrolu realizacije onih projekata kod kojih se trajanje svih aktivnosti može normirati i unapred precizno odrediti. To je deterministicka metoda.PERT metoda (Metoda ocene i revizije programa ) razvijena je 1958.godine za potrebe ratne mornarice SAD kao metoda za planiranje razvojnog programa za rakete «polaris». Osnovni zahtev koji je nova metoda trebalo da ispuni odnosio se na uspešnu koordinaciju velikog broja civilnih i vojnih ucesnika u programu. Metoda PERT se pokazala kao odlicno sredstvo za kontrolu napredovanja poslova i održavanja rokova svih podisporucilaca u ovom projektu. Prvi rezultati bili su iznad ocekivanja, tj. u realizaciji projekta «polaris» postignuto je skracenje rokova za dve godine.Za razliku od CPM metode, PERT metoda koristi tri procene vremena i omogucava da se planira s određenim elementima slucajnosti. Zbog toga se ova metoda primenjuje u

projektima istraživanja i razvoja. Kod ovih projekata nije moguce dovoljno precizno odrediti vremena trajanja pojedinih aktivnosti, pa se pomocu statistickih metoda određuje njihovo ocekivano vreme trajanja.PERT-metoda se smatra stohastickom metodom, jer se ova metoda koristi za planiranje i realizaciju onih projekata kod kojih se vremena trajanja aktivnosti ne mogu precizno odrediti, nego se određuju na osnovu tri procene-optimisticke -pesimisticke -najverovatnijea zatim se određuju njihova ocekivana vremena.Od 1958. godine, kada su ove metode prvi put primenjene u SAD došlo je do njihove nagle ekspanzije. (SAD, Francuska, Nemacka, Engleska, Italija).68Tehnika mrežnog planiranja obuhvata tri faze. To su: a)analiza stukture b)analita vremena c)analiza troškova5.2.ANALIZA STRUKTURE U MREŽNOM DIJAGRAMUPrva faza u primeni metoda mrežnog planiranja i upravljanja sastoji se iz-analize strukture datog projekta, tj. određivanja i preciznog definisanja svake aktivnosti pojedinacno, a zatim uspostavljanja logickog redosleda i međuzavisnosti između ovih aktivnosti. Lista aktivnosti sadrži sve radove i postupke koje treba izvesti u toku trajanja projekta.-konstrukcije odgovarajuceg grafickog modela analiziranog projekta tj. mrežnog dijagrama. Mrežni dijagram je prikaz plana projekta pomocu grafa i on ustvari predstavlja mrežni model odvijanja projekta.Glavna prednost mrežnog planiranja u odnosu na druge metode planiranja sastoji se upravo u razdvajanju analize strukture od analize vremena datog projekta. To odvajanje stvorilo je nove mogucnosti za:-utvrđivanje međusobnih odnosa između pojedinih aktivnosti i omogucilo je mnogo tacnije predviđanje u pogledu odvijanja projekta kao celine.-primenu racunara za izracunavanje termina za otpocinjanje i završavanje aktivnosti.Prva faza u primeni metoda mrežnog planiranja je u osnovi, kod obe metode (CPM i PERT) ista. Razlika nastaje tek prilikom transformacije grafickog u matematicki model.5.2.1.Mrežni dijagram i njegovi osnovni elementiMrežni dijagram je graficki prikaz odvijanja projekta. To je konacan, orijentisan i aciklican grafkoji se sastoji iz dva skupa cvorova i skupa orijentisanih grana

G (N,L) N 1 , 2 , . . . , i , j , . . . n Li,j/i,j∈N,ijPri konstrukciji mrežnog dijagrama, orijentisane grane se prikaziuju neprekidnim linijama sa strelicama i zovu se aktivnostima.69Cvorovi se prikazuju pomocu kružica i zovu se događajima.Prema tome, da bi mogao da se konstruiše mrežni dijagram, projekat mora da se podeli na aktivnosti i događaje.Aktivnost se definiše kao elemenat projekta koji ima određeno vremensko trajanje i za ciju su realizaciju potrebni odgovarajuci resursi (radna snaga, mašine, materijal, finansijska sredstva). Na primer, kopanje temelja, betoniranje temelja, armiranje ploce, montiranje opreme, itd.Postoje i aktivnosti koje imaju samo vremensko trajanje i za ciju realizaciju nisu potrebni nikakvi resursi. To su ustvari aktivnosti koje predstavljaju vremensko cekanje (u

građevinarstvu kada se ceka da se osuše betonski elementi ili ofarbani zidovi i slicno).Stepen detaljizacije prilikom rašclanjivanja projekta na aktivnosti je razlicit. Kada se informacija daje za niži nivo upravljanja tada se po pravilu rašclanjuje na veci broj aktivnosti (primer aktivnost izrada projekta se rašclanjuje na aktivnosti: razrada građevinskog projekta, razrada tehnološkog projekta, izrada projekta montaže i td.) dok za viši nivo upravljanja to može biti samo jedna aktivnost.Postoje i tzv. fiktivne aktivnosti, koje se u mrežnom dijagramu prikazuju isprekidanim linijama. One nemaju nikakav suštinski znacaj, nego samo metodološki i služe kao pomocno sredstvo za izražavanje određenih zavisnosti ili odnosa među aktivnostima. Prema tome fiktivna aktivnost je aktivnost za ciju realizaciju nije potreban nikakav konkretan rad, nema vremensko trajanje i ne troši nikakva sredstva.Događaj je takav elemenat projekta, koji ne troši ni vreme ni resurse. To je samo trenutak vremena u kome zapocinje realizacija jedne ili više aktivnosti ili vremenski trenutak u kome se završava realizacija jedne ili više aktivnosti.Svaka aktivnost ima jedan događaj kao svoj pocetak i svaka aktivnost ima jedan događaj kao svoj završetak. Prema tome, nijedna aktivnost ne može da pocne pre nego što se desi događaj koji predstavlja njen pocetak, odnosno pre završetka svih aktivnosti koje joj prethode.Znaci da se događaj ne pojavljuje kao proces, vec samo oznacava stanje u kome neka aktivnost može otpoceti, odnosno oznacava trenutak završetka neke aktivnosti. Iz ovog možemo zakljuciti da, u odnosu na posmatrane aktivnosti, događaje možemo podeliti na pocetne i završne.Specijalan slucaj su pocetni i završni događaj mrežnog dijagrama (projekta).Pocetni događaj projekta predstavlja vremenski trenutak u kome pocinje realizacija projekta. Zbog toga, njemu ne prethodi nijedna aktivnost.Završni događaj projekta predstavlja vremenski trenutak u kome se završava projekat. Zbog toga, posle ovog događaja nema nijedne aktivnosti.Svaki događaj treba numerisati nekim nenegativnim brojem (i 1,2,..., j,..., n) , pa je zato svaka aktivnost određena sa dva broja. To su broj pocetnog i broj završnogdogađaja.Primer: Ako aktivnost „montaža“ ima oznaku (i, j) , onda događaj „pocetak montaže“ ima oznaku (i) a događaj „završetak“ montaže ima oznaku ( j) . Graficki, to se može prikazati na sledeci nacin70

ij5.2.2.Pravila za konstrukciju mrežnog dijagrama1.Svaka aktivnost mora otpoceti događajem i završiti se događajem. Na slici 1 pod a) i b) nepravilno su graficki prikazane aktivnosti A i C ( A nema pocetni događaj, C nema završni događaj), dok je na istoj slici pod c) dat njihov ispravan graficki prikaz.71Slika 5.1.2. Ako neka aktivnost ne može poceti pre nego što bude završena neka druga aktivnost, onda one moraju biti postavljene jedna iza druge tako da je završni događaj prethodne aktivnosti identican pocetnom događaju druge aktivnosti. Na slici 5.2. aktivnost B može poceti tek kada se potpuno završi aktivnost A.72Slika 5.2.3. Ako više aktivnosti mora biti završeno da bi mogla poceti naredna aktivnost, onda se sve te aktivnosti moraju završiti u pocetnom događaju naredne aktivnosti. Na slici 5.3. aktivnost

D može poceti tek kada se završe aktivnosti A, B i C.Slika 5.3.Napr. Zidanje zgrade (D) ne može poceti pre nego što je izvršeno postavljanje temelja (A), pripremljen materijal za zidanje (B), i td.4. Ako po završetku jedne aktivnosti može poceti više aktivnosti istovremeno, onda je završni događaj, prethodne aktivnosti istovremeno pocetni događaj svih tih aktivnosti. Na slici 5.4., posle završetka aktivnosti A, mogu poceti aktivnosti B, C i D.73Slika 5.4.Napr. Pošto budu završeni zidarski radovi (A) mogu poceti : instalaterski radovi (B), stolarski radovi (C) i molerski radovi (D).5.Ako dve ili više aktivnosti imaju zajednicki pocetni i završni događaj, da bi se obezbedilo njihovo jednoznacno određivanje, uvodimo veštacke aktivnosti. Paralelne aktivnosti, na primer, mogu biti istovremeno izvršavane, ali ne mogu imati zajednicke i pocetne i završne događaje. Na slici 5.5., posle završetka aktivnosti A mogu poceti aktivnosti B i C, a posle njihovog završavanja pocinje aktivnost D.74Slika 5.5.Na slici broj 5.5., aktivnosti B i C imajuzajrdnicki i pocetni i završni dogđaj, a to je nedopustivo. Ispravno prikazivanje ovih aktivnosti obezbediže se uvođenjem veštacke aktivnosti. Moguca su cetiri ispravna nacina prikazivanja ovih aktivnosti, i to je prikazano na slikama 5.6.,5.7.,5.8., i 5. 9.Slika 5.6.75Slika 5.7.Slika 5.8.76Slika 5.9.6.Ako dve aktivnosti, B i C pocinju istovremeno po završetku aktivnosti A, onda se takva zavisnost može prikazati preko fiktivne aktivnosti, kao što je pokazano na slici 5.10., pod a)Slika 5.10. a)Ovaj slucaj se može prikazati i bez fiktivne aktivnosti, kao što je prikazano na slici 5.10, pod b), zato što se, sa gledišta vremena, događaji 2 i 3 poklapaju, a mogu se prikazati odvojeno i povezati fiktivnom aktivnošcu, kao što je prikazano na slici pod a).77Slika 5.10. b)7.Sasvim je drugacija situacija sa tkz. zavisnim i nezavisnim aktivnostima. Naprimer, ako aktivnost C zavisi od dveju aktivnosti A i B, pri cemu aktivnost D zavisi samo od aktivnosti B, onda je za pravilnu konstrukciju mrežnog dijagrama, potrebno uvesti fiktivnu aktivnost, kao što je prikazano na slici 5.11.Slika 5.11.785.2.3.Određivanje međusobnih odnosa aktivnostiDa bi mogao da se konstruiše mrežni dijagram, potrebno je da se napravi lista, odnosno spisak aktivnosti koje sacinjavaju dati projekat. Zatim je potrebno odrediti njihove međusobne odnose. Ovo treba da obave lica koja najbolje poznaju sami projekat.Lista aktivnosti treba da sadrži: -naziv svih aktivnosti, -redni broj aktivnosti, -vreme trajanja aktivnosti, -troškove aktivnosti i slicno. Međusobni odnosi aktivnosti daju informacije o vremenskoj zavisnosti i

redosledu izvođenja svih aktivnosti projekta, tj. koje aktivnosti neposredno prethode a koje neposredno slede posmatranu aktivnost. Međusobni odnosi aktivnosti najcešce se prikazuju u vidu tabele ili matrice.a)Tabelarno: Tabela sa najcešce sastoji od samo dve kolone. U prvoj koloni se obicno nalaze posmatrane aktivnosti, a u drugoj koloni aktivnosti koje im neposredno prethode, odnosno aktivnosti od cijeg završetka zavisi pocetak posmatrane aktivnosti.b)Matricno: Matrica je kvadratna i ima onoliko redova i kolona koliko aktivnosti ima u datom projektu. U šemu medjuzavisnosti po kolonama su obuhvacene posmatrane aktivnosti, a po redovima prethodne. Sama zavisnost izmedju aktivnosti oznacava se unošenjem odgovarajuceg znaka u presek i kolone medjusobno zavisnih aktivnosti.Primer 5.1.7Konstruisati mrežni dijagram za projekat koji se sastoji od aktivnosti A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K, za koje su međusobni odnosi dati tabelarno (tabela 5.1. i matricno (tabela 5.2.), kako slediTabela 5.1.7 Primer preuzet iz knjige Operaciona istraživanja, Backovic M, Vuleta J., Ekonomski fakultet, Podgorica, 2001.Posmatrane aktivnostiNeposredno prethodne aktivnostiA-B-C-DAEAFBGCHE,FIDJE,FKG,H79Tabela 5.2.Prethodna Posmatrana aktivnost aktivnost A B C D E F G H I J KA++B+C+D+E++F++G+H+IJKNa osnovu podataka o međusobnim odnosima aktivnosti, sadržanih u Tabeli 5.1 i Tabeli 5.2., može se konstruisati mrežni dijagram na sledeci nacin:

-prvo se konstruiše pocetni događaj mrežnog dijagrama (nacrta se krug), a zatim se, sa pocetkom u ovom događaju, konstruišu sve aktivnosti koje, prema podacima koji su dati u prethodnim tabelama o međusobnim odnosima aktivnosti, nemaju neposredno prethodne aktivnosti. U prethodnom primeru to su aktivnosti A, B i C. Ove tri aktivnosti se, prema pravilima o konstrukciji mrežnog dijagrama, moraju završavati događajima, što takođe treba nacrtati . Sve ovo je prikazano na slici 5.12.Slika 5.12. -iz matrice odnosa aktivnosti, vidi se da je aktivnost A, neposredno prethodnaaktivnost za aktivnosti D i E. To znaci da se pocetni događaji za aktivnosti D i E moraju80poklapati sa završnim događajem aktivnosti A. Tako je moguce konstruisati aktivnosti D i E (sa njihovim završnim događajima).-na isti nacin se mogu konstruisati i aktivnosti F i G, jer su njima prethodne aktivnosti B i C vec konstruisane (Slika 5.13.).-nastavljajuci dalje ovaj postupak, na osnovu matrice odnosa aktivnosti, vidi se da je aktivnost D, neposredno prethodna aktivnost za aktivnost I, pa se može konstruisati i aktivnost I.Slika 5.13.-Posmatrajmo aktivnost J. Ovoj aktivnosti neposredno prethode aktivnosti E i F. To znaci da pocetni događaj aktivnosti J, mora biti završni događaj za aktivnosti E i F. To je nemoguce jer jedna aktivnost ( J) mora imati samo jedan pocetni događaj, a ovde bi aktivnost J imala dva pocetna događaja (završni događaji aktivnost E i F bi bili pocetni događaji za aktivnost J). Ovaj problem se rešava na nacin što se proizvoljno odabere jedan od završnih događaja aktivnosti E ili F da bude pocetni događaj aktivnosti J. Neka je to završni događaj aktivnosti F, tako da je sada moguce konstruisati a aktivnost J. Uslov, po kome i aktivnost E treba da prethodi aktivnosti J, može se rešiti na nacin što se završni događaj aktivnosti E, poveže fiktivnom aktivnošcu sa pocetnim događajem aktivnosti J, odnosno sa završnim događajem aktivnosti F.-Slicna je situacija i sa aktivnosti H. I njoj su neposredno prethodne aktivnosti, aktivnosti E i F. Ovu aktivnost možemo konstruisati tako što ce joj pocetni događaj biti istovetan sa završnim događajem aktivnosti F. Tada ce biti ispunjeni svi uslovi o međusobnom odnosu aktivnosti.-Još je ostala aktivnost K. Ovoj aktivnosti prethode aktivnosti G i H, što podrazumeva da pocetni događaj aktivnosti K, može da bude ili završni događaj aktivnosti G ili završni događaj aktivnosti H. Neka to bude završni događaj aktivnosti H,81a uslov da i aktivnost G bude prethodnik za aktivnost K, izrazicemo pomocu fiktivne aktivnosti, koja spaja završni događaj aktivnosti G i pocetni događaj aktivnosti K.Slika 5.14.Na ovaj nacin dobijen je mrežni dijagram za posmatrani problem. Međutim, ovaj mrežni dijagram ima tri završna događaja (završni događaji za aktivnosti I, J, i K), a po definiciji, on može imati samo jedan završni događaj. Problem se rešava tako što se bilo koji od ova tri završna događaja odabere da bude završni događaj projekta, a ostala dva završna događaja se sa njim povežu pomocu fiktivnih aktivnosti. Neka u našem primeru, završni događaj projekta bude događaj K. Zbog toga je potrebno završne događaje I i J, fiktivnim aktivnostima povezati sa ovim događajem.Na kraju je, mrežni dijagram potrebno preurediti i poboljšati. Poboljšanja se vrše tako što se iz mrežnog dijagrama prvo eliminišu sve suvišne fiktivne aktivnosti. Prilikom izvođenja preuređenja, treba imati na umu da se aktivnosti mogu prikazivati i pomocu izlomljenih linija

i da vremensko trajanje aktivnosti nema nikakvog uticaja na dužinu linije kojom se prikazuje aktivnost. To znaci da se za isti problem može konstruisati više razlicitih dijagrama, a da pri tome budu ispunjeni svi uslovi koji du definisani u matrici međusobnih odnosa aktivnosti.Mrežni dijagram prikazan na slici 5.14. preuređen je tako što su prvo eliminisane cetiri fiktivne aktivnosti. Prvo je povezan pocetni događaj aktivnosti E sa pocetnim događajem aktivnosti J i H. Tako je eliminisana fiktivna aktivnost koja je povezivala završni događaj aktivnosti E sa pocetnim događajem aktivnosti J i H. Na slican nacin se eliminišu i ostale fiktivne aktivnosti i dobija se poboljšani mrežni dijagram prikazan na slici 5.15.82Slika 5.15.5.2.4.Numerisanje mrežnog dijagramaNakon konstrukcije mrežnog dijagrama, potrebno je svaki cvor numerisati nekim od brojeva i=1,2,...,j,...n, tako da pocetni cvor mrežnog dijagrama bude numerisan brojem 0 ili 1, a završni brojem n.Postoje dva osnovna nacina numerisanja mrežnog dijagrama:a)Proizvoljno numerisanje, koje se sastoji u tome da se svakom događajudodeljuje proizvoljan ceo broj, pri cemu ne mora biti ispunjen uslov i j , vec samouslov da svaki događaj bude numerisan razlicitim brojem. Ovaj nacin numerisanja retko se primenjuje u praksi.b)Metod rasuce numeracije, kod koga se svakom događaju dodeljuje jedan ceobroj iz intervala (1, n), pri cemu se vodi racuna da je ispunjen uslov i j . Metod rastucenumeracije se sprovodi primenom Fulkersonovog algoritma, koji se sastoji u sledecem: -Prvo se pocetni događaj mrežnog dijagrama obeleži brojem 0 ili 1, a zatim se sveaktivnosti koje izlaze iz ovog događaja precrtaju u blizini svojih završnih cvorova. -U sledecem koraku, treba numerisati sa sledecim celim brojevima samo one događaje mrežnog dijagrama za koje su sve ulazne aktivnosti precrtane. Ako ima više takvih događaja, numeraciju obaviti polazeci s leva na desno i odozgo prema dole. Nakontoga je potrebno precrtati sve aktivnosti koje izlaze iz numerisanog događaja. -Postupak precrtavanja aktivnosti i numerisanje događaja se ponavlja dok svidogađaji, ukljucujuci i završni događaj mrežnog dijagrama ne budu numerisani.83Primer 5.2.8Primenom Fulkersonovog algoritma, potrebno je numerisati mrežni dijagram dat na slici 5.15.Rešenje: Prvo je brojem 1 potrebno numerisati pocetni događaj iz koga izlaze aktivnosti A, B i C a ne prethodi mu nijedna aktivnost. Nakon toga, precrtane su aktivnosti koje izlaze iz pocetnog cvora. Uocimo završne cvorove ovih aktivnosti i kao što se može videti na dijagramu, u svaki od ovih cvorova ulaze samo precrtane aktivnosti. To znaci da ove cvorove možemo numerisati sledecim celim brojevima i to polazeci odozgo na dole. Na taj nacin završni cvor aktivnosti A je numerisan brojem 2, završni cvor aktivnosti B brojem 3 i završni cvor aktivnosti C brojem 4, kako je prikazano na slici 5.16.Slika 5.16 .Dalje je potrebno precrtati sve aktivnosti koje izlaze iz cvora 2.To su aktivnosti D i E. Sa dijagrama se može videti da u završni cvor aktivnosti D ulazi samo jedna aktivnost i ona je precrtana, dok u završni cvor aktivnosti E ulaze dve aktivnosti od kojih je jedna precrtana a jedna nije. To znaci da se završni cvor aktivnosti D može numerisati sledecim celim brojem, a to je broj 5, dok se završni cvor aktivnosti E (za sada) ne može numerisati.Sada je potrebno vratiti se na cvor 3 i precrtati sve aktivnosti koje izlaze iz ovog cvora. U

ovom slucaju to je samo aktivnost F. U završni događaj ove aktivnosti ulazi još samo aktivnost E, koja je vec precrtana, što znaci da se ovaj cvor može oznaciti brojem 6.8 Primer preuzet iz knjige Operaciona istraživanja, Backovic M, Vuleta J., Ekonomski fakultet, Podgorica, 2001.84Iz cvora broj 4 izlazi samo jedna aktivnost i nju je potrebno precrtati, ali nije moguce numerisati završni cvor aktivnosti G jer u njega ulazi još jedna aktivnost (H) koja nije precrtana.Iz cvora 5 izlazi jedna aktivnost i nju je potrebno precrtati, ali završni cvor aktivnosti I nije moguce još numerisati jer u njega ulaze još dve aktivnosti, koje nisu precrtane.Iz cvora 6 izlaze dve aktivnosti (J i H) i njih je potrebno precrtati.Sada je moguce numerisati završni cvor aktivnosti G i H jer u njega ulaze dve precrtane aktivnosti. Numerisacemo ga sa sledecim brojem, tj. kao cvor sedam.Iz cvora 7 izlazi jedna aktivnost i kada se i ona precrta moguce je završni cvor mrežnog dijagrama numerisati brojem 8 jer u njega ulaze tri precrtane aktivnosti.Time je postupak numeracije cvorova mrežnog dijagrama završen, što je prikazano na Slici 5.17.Slika 5.17.5.3.ANALIZA VREMENA U MREŽNOM DIJAGRAMUNakon analize strukture i konstrukcije mrežnog dijagrama, potrebno je izvršiti analizu vremena. Analiza vremena treba da odgovori na sledeca pitanja:a) Koliko je vremena potrebno za realizaciju projekta? To znaci da je potrebno odrediti datum tj. vremenski trenutak kada ce projekat biti završen.b) Posle koliko vremena, u toku realizacije projekta, pojedine aktivnosti mogu da pocnu, i kada moraju da se završe, a da se pri tome ne produži planirano trajanje projekta.85c) Koje su aktivnosti kriticne? Kriticne aktivnosti su aktivnosti cije produženje znaci istovremeno produženje trajanja projekta.d) Koji je kriticni putU analizi vremena javljaju se cetiri vremenske informacije. To su 1. i −pocetak2. j−završetak 3. o −najranije moguce vreme 4. k −najkasnije dozvoljeno vremeAnaliza vremena u mrežnom dijagramu, dakle, obuhvata određivanje: -najranijeg moguceg pocetka aktivnosti -najkasnijeg moguceg pocetka -najranijeg moguceg završetka-najkasnijeg moguceg završetka aktivnosti -vremenskih rezervi -kriticnih aktivnosti -kriticnog puta-vremena trajanja celog projekta5.2.1.Analiza vremena u mrežnom modelu primenom metode CPMZa odredjivanje vremena trajanja aktivnosti potrebno je precizno opisati predviđeni postupak izvođenja aktivnosti, uzeti u obzir vrstu i broj radnika, mašina, pomocnih sredstava, dužinu radnog vremena i druge relevantne faktore. Podaci o vremenima trajanja aktivnosti veoma su važni za dalji tok analize vremena i ukupnu efikasnost metoda mrežnog planiranja, pa se ovaj posao mora poveriti najboljim strucnjacima i poznavaocima odgovarajucih aktivnostiOvaj metod polazi od pretpostavke da su vremena trajanja svih aktivnosti u jednom projektu poznata, odnosno da je za svaku aktivnost moguce dovoljno precizno odrediti njeno trajanje. Vreme trajanja aktivnosti Aij obeležava se sa tij i na dijagramu seupisuje iznad odgovarajucih aktivnosti. Indeks i- oznacava broj pocetnog događaja a indeks j-brojzavršnogdogađajanekeaktivnosti.U sledecem koraku određuju se- najranije moguce vreme realizacije svih događaja, što ustvari odgovara vremenu najranije mogucih dozvoljenih završetaka pojedinih aktivnosti.

-najkasnije dozvoljeno vreme realizacije svih događaja, što ustvari odgovara vremenu najkasnije dozvoljenih završetaka pojedinih aktivnosti.

1.Najranije moguce ostvarenje nekog događaja, oznacavamo sa ti0 , je onaj vremenski trenutak kada su se završile sve aktivnosti koje ulaze u događaj i , pa se možepoceti sa izvođenjem aktivnosti koje izlaze iz tog događaja. Prema tome, najranije 86moguce ostvarenje događaja poklapa se sa vremenskim trenutkom najranijeg moguceg pocetka svih aktivnosti koje izlaze iz tog događaja.Neka imamo dva događaja, događaj i , i događaj j . Ako je poznato vreme ti0 - najranijeg moguceg pocetka događaja i, onda se vreme najranijeg moguceg pocetka događaja j dobija dodavanjem poznatog vremena trajanja aktivnosti tij , na ti0 , tj.t0 t0 t j i ij

Ako je u mrežnom dijagramu potrebno da se završi više aktivnosti da bi pocela aktivnost j , skup događaja koji prethode događaju j zove se skupom prethodnikadogađaja j , i oznacavamo sa . Ovo se dešava kada je događaj j završni događaj zaviše aktivnosti, tj. kada u mrežnom dijagramu postoji više pocetnih događaja sa kojima jepovezan događaj j . U ovom slucaju događaj j može poceti tek kada se realizuje onaaktivnost (koja najduže traje) ciji je zbir najranijeg moguceg ostvarenja i vremena trajanja te aktivnosti najveci, tj.

t0 maxt0 t , j1,2,...,n; i∈B jiij j

Ova vremena se izracunavaju za sve događaje u mrežnom modelu i to polazeci od pocetnog

ili nultog događaja pa sve do završnog ili n −tog događaja, pri cemu se

u s v a j a d a j e t 10 0 Izracunavanjem vremena tn0 , određuje se potrebno vreme za izvođenje celogprojekta (T). Ako je poznat planirani rok završetka celog projekta (T), on ce biti ostvarenBj

jedino ako je Ukoliko se desi da je tn0 >T, projekat ne može biti završen u planiranom roku, paje potrebno izvršiti skracivanje trajanja nekih aktivnosti, dok se ne dostigne planirani rok. Vreme najranijeg moguceg završetka aktivnosti (i, j) - je onaj najraniji vremenski trenutak do koga je moguce završiti posmatranu aktivnost. Dobija se kada senajranijem mogucem pocetku te aktivnosti ti0 doda poznato vreme trajanja aktivnosti tij .

2.Najkasnije dozvoljeno ostvarenje događaja i , tj. ti1 , predstavlja onajvremenski trenutak do koga se moraju završiti sve aktivnosti koje ulaze u taj događaj, a da se ne prekoraci vreme trajanja celog projekta. Znaci da je najkasnije dozvoljeno

ostvarenje događaja i isto što i najkasnije dozvoljeni završetak svih aktivnosti koje ulaze u taj događaj.Neka imamo dva događaja, događaj i, i događaj j. Ako je poznato vreme najkasnije dozvoljenog ostvarenja događaja j , onda se vreme najkasnije dozvoljenog

t n0 ≤ T .87ostvarenja događaja i dobija oduzimanjem poznatog vremena trajanja aktivnosti tij , od t 1j , t j .

t1 t1 −t i j ij

Ako je u mrežnom dijagramu i pocetni događaj za više aktivnosti, tada postoji više završnih

događaja aktivnosti koji su povezani sa događajem i .Ovi događaji su u mrežnom dijagramu iza događaja i , odnosno slede događaj i . Skup ovih događaja zove se skupom sledebenika događaja i , i oznacavamo sa .Trenutak najkasnijeg dozvoljenog ostvarenja događaja j se poklapa sanajkasnijim dozvoljenim trenutkom pocetka aktivnosti kod koje je razlika najkasnije dozvoljenog ostvarenja njenog pocetnog događaja i vremena trajanja te aktivnosti najmanja, što se može izraziti na sledeci nacin:t1 mint1 −t , i1,2,...,n−1; j∈A ijij i

Vreme najkasnijeg dozvoljenog ostvarenja događaja izracunava se za svaki događaj u mrežnom dijagramu i to polazeci od poslednjeg (n-tog) događaja pa sve do pocetnog (prvog) događaja, pri cemu se usvaja da jet0 t1 nn

Vreme najkasnije dozvoljenog pocetka aktivnosti (i, j) - je onaj najkasniji vremenski trenutak kada mora otpoceti realizacija posmatrane aktivnosti. Dobija se kada se od najkasnije dozvoljenog završetka aktivnosti t1j oduzme poznato vreme trajanjaaktivnosti tij .Vreme najranijeg moguceg i najkasnijeg dozvoljenog ostvarenja događaja predstavljaju najvažnije parametre u vremenskoj analizi mrežnog modela. Postoje razliciti postupci za izracunavanje ovih vremena, a ovde cemo pokazati kako se ovi vremenski parametri izracunavaju na samom mrežnom modelu. U tom cilju, svaki krug, koji predstavlja cvor u mrežnom dijagramu, potrebno je podeliti na tri dela. U gornji deo kruga upisuje se broj tj. oznaka cvora a u donji levi deo vreme najranijeg moguceg ostvarenja tog događaja a u donji desni deo vreme najkasnije dozvoljeno vreme njegovog ostvarenja, kao što je prikazano na slici 5.18.Ai

88Slika 5.18. Primer: Na mrežnom dijagramu, koji je dat na slici 5.19. a koji je istovetan samrežnim dijagramom na slici 5.17. izracunati vremenske parametre mrežnog dijagrama.Slika 5.19.Neka su za svaku aktivnost ovog dijagrama određena vremena trajanja. Vremana trajanja aktivnosti upisana su iznad tih aktivnosti.Prvo je potrebno odrediti najranije moguce trenutke ostvarenja svih događaja. Prvi događaj: Kako je ranije objašnjeno, polazeci od pocetnog događaja mrežnogdijagrama, usvajamo da je za prvi događaj t10 0 , i taj broj upisujemo u levi donji ugaoprvog događaja mrežnog dijagrama. Drugi događaj: Sada je potrebno odrediti najraniji moguci trenutak ostvarenjadogađaja 2. U događaj 2 ulazi samo jedna aktivnost koja je oznacena sa (1,2). Iz toga sledi da jet 20 t 10 t 1 2 0 7 7Ovaj broj se upisuje u donji levi ugao kruga cvora broj dva.Događaji tri i cetiri: Na isti nacin je moguce izracunati i najranija moguca ostvarenja događaja 3 i 4, koja iznose 9 i 8 vremenskih jedinica, kako sledi89t30 t10 t13 099 t 40 t 10 t 1 4 0 8 8što se upisuje u cvorove broj tri i cetiri. Događaj broj pet: U ovaj događaj ulazi samo jedna aktivnost, i to aktivnost (2,5),pa se najraniji trenutak ostvarenja ovog događaja dobija iz relacije t50 t40 t45 71219Događaj broj šest: U događaj broj šest ulaze dve aktivnosti. To su aktivnosti (2,6) i (3,6), što

znaci da postoji skup cvorova B6 2,3, pa jet0 maxt0 t , i∈B 2,36 ii6 6

odnosno Događaji sedam i osam: Na isti nacin (kao i za događaj broj šest) se određujuvremena najranijeg moguceg ostvarenja za događaje broj sedam i osam, kako sledi t70

maxt40 t47,t60 t67max81119,21123333t80 maxt50 t58,t60 t68,t70 t78 max24,25,3939Pošto je cvor broj osam istovremeno i završni cvor mrežnog dijagrama, određivanjem trenutka njegovog najranijeg ostvarenja, odredili i vreme trajanja celog projekta. Prema tome,t80 39 vremenskih jedinica je vreme najranijeg moguceg ostavrenja celog projekta predstavljenog mrežnimdijagramom na slici 5.19.Pretpostavimo sada da je vreme najranijeg noguceg završetka projekta jednako njegovom planiranom vremenu realizacije, tj. pretpostavimo da jet80 t81 39 vremenskih jedinica Sledeci korak u analizi vremena jeste određivanje najkasnije dozvoljenihtrenutaka pocetka svih događaja u datom mrežnom dijagramu. Ovivremenskitrenuci(t1, i8,7,...,1)racunajusepolazeciodzavršnogdogađajai

mrežnog djagrama (u prethodnom primeru to je cvor broj osam), za koji je vec utvrđeno da jet81 39 vremenskih jedinicat60 maxt20 t26,t30 t36max71421,9101921 .90što se upisuje u donji desni deo kruga koji oznacava završni događaj broj osam. Događaj sedam: Iz cvora sedam izlazi samo jedna aktivnost, i to aktivnost (7,8),pa jet71 t81 −t78 39−633što se upisuje u donji desni deo događaja sedam. Događaj šest: Iz događaja broj šest izlaze dve aktivnosti. To su (6,8) i (6,7). Skupdogađaja šest je skup A6 7,8, pa se najkasnije dozvoljeni trenutak realizacije događaja broj šest izracunava na osnovu relacijet1 mint1 −t , j∈A 7,8. 6j6j6

Na osnovu prethodne relacije dobija se t 61 m i n t 81 −t 6 8 , t 71 −t 6 7 m i n 3 9 −4 3 5 , 3 3 −1 2 2 1 2 1 .Događaj pet: Događaj cetiri: Događaj tri:t51 t81 −t58 39−534 t41 t61 −t46 33−1122 t 31 t 61 −t 3 6 2 1 −1 0 1 1Događaj dva: t21 mint51 −t25,t61 −t26min34−1222,21−1477Na ovaj nacin je završeno izracunavanje najranije mogucih i najkasnije dozvoljenih trenutaka realizacije svih događaja mrežnog dijagrama, što je prikazano na slici 5.19. a koji predstavljaju najvažnije parametre i osnovu za dalju vremensku analizu mrežnog modela.Odeđivanje vremenskih rezervi Aktivnosti kod kojih je maksimalno dozvoljeno vreme trajanja ( t1 −t 0 ), vece odji njihovog vremena trajanja (tij ) imaju određenu vremensku rezervu. To su tkz. nekriticneaktivnosti. Podatak o vremenskim rezervama aktivnosti ima poseban prakticni znacaj utehnici mrežnog planiranja. On pokazuje za koliko vremenskih jedinica može biti odložen pocetak pojedinih aktivnosti, a da to ne utice na konacni rok završetka celog projekta.

U vremenskoj analizi mrežnog modela postoji više vrsta vremenskih rezervi. -Ukupna ili opšta vremenska rezerva ( Ru ) predstavlja razliku između maksimalnoij

dozvoljenog vremena trajanja aktivnosti i stvarnog vremena trajanja aktivnosti, tj.Ru t1 −t0 −t ij j i ij

91Ukupna vremenska rezerva pokazuje za koliko se vremenaskih jedinica može pomeriti vreme najranijeg pocetka aktivnosti, a da se pri tome ne produži krajnji rok završetka projekta.-Slobodna vremenska rezerva ( Rs ) pokazuje za koliko se može produžiti trajanje ij

aktivnosti Aij ili pomeriti njen najraniji pocetak a da pri tome sve naredne aktivnosti zadrže najranija vremena pocetaka, tj.Rs t0 −t0 −t ij j i ij

-Nezavisna vremenska rezerva ( Rn ) pokazuje za koliko se možepomeriti ij

izvršenje neke aktivnosti i pored toga što je događaj Ai dostignut u najkasnijem dozvoljenom vremenu, pa da to ne utice na najraniji pocetak narednih aktivnosti, tj.Rn t0 −t1 −t ij j i ij

-Zavisna vremenska rezerva (Rz ) pokazuje za koliko se vremenskih jedinica ij

može produžiti vreme trajanja ili pomeriti rok najranije moguceg pocetka aktivnosti, ako se sve prethodne aktivnosti završe u najkasnije dozvoljenim vremenima, a sve sledece aktivnosti pocnu takođe u najkasnije dozvoljenim vremenima, tj.Rz t1 −t1 −t . ij j i ijVremenska rezerva događaja i, koju cemo oznaciti sa (Ri ) definiše se kao razlika između najkasnije dozvoljenog i najranije moguceg trenutka realizacije togdogađaja, tj. Vremenska rezerva događaja j , koju cemo oznaciti sa ( Rj ) definiše se kaorazlika između najkasnije dozvoljenog i najranije moguceg trenutka realizacije tog događaja, tj.R t1 −t0, j2,3,...,n−1 jjj

Ova vremenska rezerva pokazuje vremenski interval u kome je potrebno realizovati posmatrani događaj a da se ne menja vreme realizacije celog projekta.Šta je to kriticna aktivnost i kriticni put? Ako je maksimalno dozvoljeno vreme trajanja aktivnosti (i, j) jednako njenomtrajanju tij , onda takva aktivnost nema vremenskih rezervi i naziva se kriticna aktivnost. Kriticne aktivnosti karakteriše osobina da jet1 t0 ii

t1 t0 jj

tj. kod kriticnih aktivnosti se poklapaju najranije moguci i najkasnije dozvoljeni vremenski trenutak za njihov pocetak i završetak, što znaci da su vremenske rezerve i pocetnog i završnog događaja kriticnih aktivnosti jednake nuli.Najvažnija osobina kriticnih aktivnosti je u tome da svako prekoracenje njihovog trajanja dovodi do prekoracenja (produženja) krajnjeg roka završetka celog projekta.R t1−t0,i2,3,...,n−1 iii92Zbog toga, kriticne aktivnosti imaju odlucujucu ulogu pri pracenju izvršenja projekta. Dovoljno je pratiti relizaciju kriticnih aktivnosti i, ako se one odvijaju prema planiranom vremenu, nece doci do kašnjenja sa konacnim završetkom projekta. Isto tako, kod eventualnog skracivanja tajanja projekta svu pažnju treba koncentrisati na mere za skracenje trajanja kriticnih aktivnosti. Zato se kriticnim aktivnostima uvek mora posvetiti posebna

pažnja jer one ukazuju na potencijalne teškoce u toku relizacije projekta.Ako je za neki događaj i , Ri 0 , onda taj događaj pripada kriticnom putu.Narednu i veoma znacajnu etapu u analizi vremena predstavlja određivanje kriticnog puta u mrežnom dijagramu. Kriticni put je put koji sadrži samo kriticne aktivnosti i spaja pocetni sa završnim događajem mrežnog dijagrama. Put sacinjavaju istosmerne aktivnosti kod kojih se završni događaj svake aktivnosti poklapa sa pocetnim događajem naredne aktivnosti. Ispravno sastavljen mrežni dijagram mora omoguciti da se od ma kog događaja do završnog događaja dođe bar jednim putem. Od pocetnog događaja projekta do završnog događaja projekta u mrežnom dijagramu može postojati više puteva. Ako su poznata vremena trajanja svih aktivnosti, onda zbir trajanja aktivnosti koje leže na jednom putu predstavlja vremensko trajanje tog puta.Kriticni put ima najduže trajanje i ujedno određuje vreme trajanja celog projekta. Kao najduži put mrežnog dijagrama, kriticni put ujedno predstavlja i najkrace vreme za koje se može realizovati ceo projekat.U mrežnom dijagramu može postojati jedan ili više kirticnih puteva, pri cemu i veštacke aktivnosti mogu pripadati kriticnom putu.Inace kriticni put se posebno oznacava u mrežnom dijagramu da bi se lakše razlikovao od ostalih puteva ( duplim ili zadebljanim strelicama).935.3.2.Analiza vremena u mrežnom modelu metodom PERTDo razlike u primeni PERT metode u odnosu na CPM metodu dolazi tek kod analize vremena, tj. kada se konstruisani mrežni model transformiše u odgovarajuce matematicki model. Prilikom ove transformacije, kod primene CPM metode radi se o deterministickom, a kod PERT metode o stohastickom modelu, što znaci da se kod PERT metode uzimaju u obzir i izvesne nesigurnosti u proceni vremena trajanja aktivnosti.Kod PERT metode se polazi od toga da nije moguce unapred precizno odrediti trajanje pojedinih aktivnosti, pa se ono procenjuje uz primenu statistickih metoda. Upravo se zbog toga za PERT metodu i kaže da je stohasticka metoda. Zbog tih svojih svojstava, ova metoda je našla primenu uglavnom kod istraživackih i razvojnih projekata.Kod PERT metode za svaku aktivnost u okviru projekta utvrđuju se tri razlicite procene vremena trajanja. To su:-Optimisticko vreme trajanja aktivnosti (aij) je ono vreme koje se može ostvariti pod posebno povoljnim uslovima. Mala je verovatnoca da se aktivnost izvrši za ovo vreme, ali ono je moguce. Nema, međutim nikakvih izgleda da se aktivnost može izvršiti za krace vreme.-Najverovatnije vreme izvršenja aktivnosti (mij) je vreme koje bi se najcešce javljalo kad bi se aktivnost više puta izvodila pod istim uslovima. Verovatnoca izvršenja neke aktivnosti za ovo vreme je najveca.-Pesimisticko vreme izvršenja aktivnoati (bij) je vreme koje bi bilo potrebno da se aktivnost izvede pod narocito nepovoljnim uslovima (katastrofe i slicne nepredviđene okolnosti se iskljucuju). To je najduže vreme za izvršenje određene aktivnosti.Ocigledno je da za ove procene mora važiti uslov aij mij bij . Na osnovu procenjenih vremena aktivnosti, aij, mij i bij, izracunavaju se ocekivanavremena trajanja izvršenja aktivnosti (te)ij prema izrazui varijansa (2 )ij , prema izrazu(te)ij aij 4mij bij 62 bij −aij 2 ()ij 6 .Vidi se da u relaciji (te)ij optimisticko i pesimisticko vreme trajanja aktivnosti figurišu sa

faktorom jedan, dok najverovatnije vreme figuriše sa faktorom 4. Zbog toga ce ocekivano vreme (te)ij biti u blizini najverovatnijeg vremena mij ili ce se poklapati sa njim.Varijansa trajanja aktivnosti kod PERT metode predstavlja meru nesigurnosti procene trajanja aktivnosti. Ukoliko je varijansa manja, utiloko su polazni podaci precizniji, rasturanja su manja.94Sada cemo, slicno kao u prethodnom, deterministickom mrežnom modelu koji smo analizirali primenom CPM metode, definisati vremenske parametre i pokazati kako se oni izracunavaju pomocu PERT metode.1.Oznacimo sa TE (i) najranije moguci vremenski trenutak u kome je moduce, sa izvesnom verovatnocom, otpoceti realizaciju aktivnosti (i,j). Tada je

T E ( i ) m a x L k 1 ( i ) , k 1 1 , 2 , . . . , K 1 ki

pri cemu je - Lk1 (i) -dužina nekog puta od pocetnog događaja do događaja i ,- K1 predstavlja broj takvih puteva.2.Najraniji moguci završetak aktivnosti TE ( j) , kao najranije moguce vreme u kome se, sa izvesnom verovatnocom može ocekivati ostvarenje događaja j , dobija se iz relacijeT E ( j ) m a x T E ( i ) ( t e ) i j , i ∈B i . Na ovaj nacin se određuje i TE (n) , što, sa izvesnom verovatnocom, predstavljavreme završetka celog projekta. Usvajamo da jeTL (n) TE (n), gde je sa TL (n) oznacen najkasniji dozvoljeni završetak završnog (n-tog) događajamrežnog dijagrama. 3.Najkasniji dozvoljeni završetak aktivnosti (i, j) , TL ( j) koji se, sa izvesnom

verovatnocom,dodeljujedogađaju j,izracunavaseizrelacije TL (j)minTL (n)−Lk2

(j),k2 1,2,...,K2

k2 - Lk2 ( j) oznacena dužina najdužeg puta od događaja j do završnog događaja n ,gde je sa mrežnog dijagrama,- K2 predstavlja broj zakvih puteva.4.Sa TL (i) oznacimo najkasnijii dozvoljeni vremenski trenutak realizacije događaja i, odnosno najkasnije dozvoljene pocetke realizacije, sa izvesnom

verovatnocom, aktivnosti (i, j) , pa je T (i)minT (j)−(t ) , i∈A i1,2,...,n−1L i L eij i,

Sam proracun podataka može se izvoditi, kao i kod CPM metode, postupkom „napred-nazad“ na mrežnom dijagramu ili matricnim postupkom.95Na kraju, treba dodati da su podaci o vremenima nastupanja događaja adekvatni odgovarajucim podacima o pocecima i završecima pojedinih aktivnosti sa kojima se operiše u analizi vremena po CPM metodi, tj.T (i)t0; T (i)t1 EiLi

T (j)t0; T (j)t1 EjLj

a postupci njihovog određivanja istovetni.966.TEORIJA IGARAPretpostavljam da se vecina citalaca pita šta je to teorija igara? Rec igra je samo metafora kojom se opisuju karakteristicne društvene situacije. Navešcemo nekoliko primera.

Kada preduzece treba da donese investicionu odluku o tome da li da uđe u proizvodnju nekog novog proizvoda ili ne, na njegovu odluku uticu brojni faktori, među kojima je moguce izdvojiti dva. To su, recimo-da li je potencijalno tržište veliko ili malo i -kako ce se ponašati vec postojeca i potencijalna konkurencija.Ovakva situacija predstavlja klasican primer za upotrebu teorije igara. Teorija igara doživela je veliku primenu u analizi zamršenih politickih procesa, kakvi su naprimer izbori. Korišcenjem tkz. kooperativnih igara, mogu se analizirati sledeca pitanja: koje su koalicije politickih stranaka najverovatnije, koliko su one stabilne, na koji nacin ce se raspodeliti ostvareni glasovi na pojedine clanove koalicije.Problemi pregovaranja, posebno zanacajni za ekonomsku nauku, kakvi su pregovori između radnika i sindikata oko dnevnica, pregovori o razoružanju između velikih sila i sl.U svim ovim primerima radi se o „strateškim ponašanjima“. To znaci da racionalan igrac, kada bira vlastitu strategiju, mora da predviđa racionalno ponašanje drugih igraca u igri. Pri tome, on mora da polazi od toga da ce se i drugi igraci takođe „ponašati strateški“ i predviđati njegovo racionalno ponašanje.Znaci, teorija igara se primenjuje u svim situacijama u kojima postoji delimican ili potpun sukob interesa između ucesnika i gde konacan rezultat ne zavisi od postupaka i odluka samo jedne strane, nego i od akcija svih ostalih ucesnika.Prirodno se namece pitanje kako je došlo do toga da se ekonomisti bave teorijom igara i da je masovno koriste u svojim analizama?Teorija igara se nije pojavila slucajno. Do njenog razvoja je došlo tako što su tražena rešenja za određene problema koji su opterecivali ekonomsku nauku. To su zapravo svi oni problemi, odnosno uoceni paradoksi, koji nisu mogli da se reše postojecim metodama i od cijeg je rešenja zavisio kako opstanak tako i dalji razvoj same naucne discipline. Takvi problemi sasvim prirodno, postoje i u ekonomskoj nauci. To su pre svega problemi vezani za tretiranje neizvesnosti upotrebu modela97Najveci broj modela koji su predmet razmatranja kvantitativne analize ekonomskih pojava, jesu modeli u kojima postoji samo jedan donosilac odluka. Postojanje samo jednog donosioca odluka, u ovim modelima, podrazumeva da se svi ostali potencijalni subjekti, koji bi u oblasti ponašanja donosioca odluka imali suprotne interese u odnosu na njega, smatraju egzogenim elementima modela i predstavljaju ogranicavajucim uslovima. Ne postoje dakle, drugi subjekti koji direktno uticu na rezultat odluke, kao što i ne postoje subjekti koji se nalaze u sukobu interesa sa donosiocem odluka.Ovakav pristup u modeliranju ekonomskih aktivnosti iskljucuje mogucnost matematickog opisivanja i rešavanja situacija u kojima postoje suprotstavljeni interesi ekonomskih subjekata.Ali, šta se zbiva u stvarnosti.Na primer: Proizvodno preduzece u postupku definisanja svojih planova prodaje mora voditi racuna o potencijalnim potezima preduzeca konkurenata, koja na tržište izlaze sa slicnim ili istim proizvodom, a koja takođe sa svog aspekta žele da ostvare što povoljniji finansijski rezultat. Prema tome, nijedan od ekonomskih subjekata ne može u potpunosti kontrolisati rezultate svojih odluka, zato što postoji i suprotstavljena strana, koja takođe odlucuje u uslovima nepoznavanja odluka “protivnika”.Teorija igara predstavlja matematicku teoriju i metodologiju koja se koristi za analizu i rešavanje konfliktnih situacija u kojima ucesnici imaju suprotstavljene interese.Nazvana je teorijom igara zato što tipicne primere ovakvih situacija predstavljaju razlicite

društvene igre, kao što su sportske utakmice, kartaške igre (poker, bridž, i sl.), šah, itd. a koristi se za modeliranje konfliktnih situacija koje postoje u ekonomiji ( ekonomski i politicki pregovori, ucešce na aukcijama, marketinške kampanje), matematici, politici, vojnoj strategiji i slicno. Zajednicka kompomponenta im je da su pojedinacne odluke svakog ucesnika u izvesnom stepenu određene odlukama ostalih. Kao što naizmenicni potezi igraca šaha, zavise jedan od drugog, tako postoji međuzavisnost aktivnosti konkurentnih privrednih subjekata, zaracenih strana, suprostavljenih politickih stranaka, a konacan rezultat svakog od njih određen je svim pojedinacnim potezima ili odlukama.Šah je igra dva igraca, koji naizmenicno povlace poteze po tacno određenim pravilima. Pravila precizno određuju i kraj igre, rezultat koji se ostvaruje nakon konacnog broja poteza. Niz naizmenicnih poteza dva igraca, koji sa završava rezultatom, naziva se partijom.Ideju opšte teorije igara na teorijski konzistentan nacin prvi su predstavili John von Neumann i Oskar Morgenstern 1944. godine u svom fundamentalnom radu “Teorija igara i ekonomsko ponašanje”. U tom radu pokazano je da se mnogi ekonomski problemi mogu veoma uspešno modelirati korišcenjem teorije igara. U posleratnom periodu, skoro da nijedno podrucje ekonomske analize i matematickog modeliranja ekonomskih pojava nije ostvarilo toliku ekspanziju i razvoj kao što je to slucaj sa teorijom igara.986.1.Osnovne karakteristike i vrste igaraIgra predstavlja uprošceni model konflikta koji obuhvata ukupnost pravila ponašanja ucesnika u igri (igraca), koja opredeljuju njihove moguce poteze kao i potencijalne rezultate njihovog izbora.Igraci, tj. ucesnici u igri, mogu biti pojedinci, grupe pojedinaca, preduzeca, vojne formacije, itd. Pri tome, cilj svakog od ucesnika u igri jeste da postigne u igri takvo rešenje koje mu obezbeđuje ostvarenje najpovoljnijeg moguceg rezultata.Potencijalne rezultate igraca ucesnika, odnosno ishod igre, obicno predstavljamo tzv. funkcijom placanja koja predstavlja numericki izraz dobitaka odnosno gubitaka ucesnika neke igre.Osnovna karakteristika teorije igara sadržana je u cinjenici da velicina rezultata koji ce pojedini igraci ostvariti u igri ne zavisi samo od njihovog izbora moguceg pravila ponašanja u igri, vec i od izbora ostalih igraca. Svaki od igraca unapred poznaje moguce alternative koje mu stoje na raspolaganju u toku igre, koje nazivamo njegovim strategijama.Prema tome, strategije predstavljaju ukupnost pravila ponašanja igraca i potencijalne rezultate izbora pojedinih alternativa u svakoj konkretnoj situaciji.Svaka igra se realizuje preko pojedinacnih poteza igraca, pri cemu potez predstavlja jedan izbor moguce alternative od strane igraca.Skup veceg broja poteza obrazuje partiju.Postoje razlicite vrste igara, pri cemu se kao kriterijumi za klasifikacijuigara obicno uzimaju sledeci kriterijumi: broj igraca, broj strategija, karakter funkcije placanja i međusobna povezanost igraca.1.Prema broju igraca: Zavisno od broja igraca ucesnika, sve igre delimo na igre sa dva lica, igre sa tri lica, ..., igre sa n lica.PRIMER: Šah, tenis, kupoprodajni ugovori-predstavljaju igre sa dva lica dok aukcije, tenderi, parlamentarni pregovori predstavljaju igre sa više ucesnika.2.Prema broju strategija: Ukoliko svakom od igraca u igri stoji na raspolaganju konacan broj strategija, tada se radi o tzv. konacnoj igri. U suprotnom slucaju, kada broj strategija igraca nije ogranicen, igra predstavlja beskonacnu igru.

PRIMER: Kockarska igra par-nepar u kojoj dve osobe istovremeno biraju po jednu od dve ponuđene opcije, završava se jednim potezom. Takva su i nadmetanja na tenderu, gde svi ucesnici dostavljaju svoje ponude do određenog roka, nakon cega se bira najpovoljnija .3.Prema funkciji placanja: Prema karakteru funkcije placanja sve igre delimo na igre sa nultom sumom i igre sa nenultom sumom. Igra sa nultom sumom predstavlja takvu igru u kojoj je suma ukupnog placanja jednaka nuli, tj. ukupan dobitak jednog ili više igraca je jednak ukupnom gubitku “poraženih“ igraca. Ova igra se može prikazati kao “deoba kolaca fiksne velicine” u kojoj svaki igrac nastoji da prigrabi što veci deo.PRIMER: Borba konkurentnih firmi za tržišnu prevlast predstavlja igru sa konstantnom sumom, jer porast ucešca jednog proizvođaca prati istovremeno smanjenje ucešca ostalih. Specifican oblik predstavljaju igre sa nultom sumom u kojima je Db jednog igraca jednak Gb drugog. Takve igre su šah, tennis, pregovori.Igre sa nenultom sumom, su igre kod kojih su interesi iograca delimicno konflikti a delimicno saglasni. Moguci ishodi nisu const vec variraju. Moguce je99prikazati “kao deoba kolaca promenljive velicine”. Igraci najpre usklađuju svoje interese da bi povecali kolac, što je njihov zajednicki interes, dok konflikt nastaje u trenutku deobe kolaca.PRIMER: Pregovori o platama između menadžera i sindikata, rat cenama između konkurentnih kompanija.4.Prema odnosu igraca: Zavisno od međusobnog odnosa igraca ucesnika, sve igre delimo na kooperativne i nekooperativne. Kooperativne igre predstavljaju takvu vrstu igara u kojima igraci formiraju koalicije koje im služe za međusobno usklađivanje pona- šanja i izbor pojedinacnih strategija.5.Prema informisanosti igraca: Igre kod kojih ne postoji potpuna informisanost igraca o potencijalnim odgovorima protivnika na njihov izbor pojedinih strategija nazi- vamo igrom ekstenzivnog (opšteg) oblika. Ove igre se prikazuju pomocu drveta igre (poker).U situaciji tzv. pune informisanosti o potencijalnim rezultatima odabranih strategija od strane igraca, radi se o igri u normalnoj formi. Kod ovakve vrste igre, za sve alternativne kombinacije odabranih strategija od strane igraca unapred su poznata placanja, odnosno rezultat igre. Prikazuju se matricom igre, odnosno tabelom placanja.6.2.Proste matricne igreAnalizirajmo igru gde postoje dva igraca sa nultom sumom i u normalnoj formi (matrica placanja).cemuPretpostavimo da imamo igru u kojoj ucestvuju dva igraca, igrac A i igrac B, pri-igrac A raspolaže sa m tzv. cistih strategija A1, ..., Am, -igrac B raspolaže sa n strategija B1, ..., Bn. Izboru bilo koje od strategija igraca A odgovara izbor neke od strategija igraca B. Izboru svakog para mogucih strategija od strane igraca A i B odgovara rezultatkoji pokazuje -dobitak jednog (igraca A), odnosno-gubitak drugog igraca(igraca B).Tako cemo rezultat igre za slucaj izbora para strategija (Ai, Bj) predstavljati vrednošcu aij, koja pokazuje koliko iznosi dobitak igraca A, odnosno koliki je gubitak igraca B.Ukoliko je aij < 0 znaci da ce igrac A morati platiti igracu B iznos od aij

novcanih jedinica, odnosno da je “dobitak “ za igraca A negativan, što znaci da termine dobitak i gubitak ovde treba uslovno prihvatiti. Sve potencijalne rezultate razlicitih kombinacija izbora strategija od strane igraca A i B možemo predstaviti u obliku matrice igre, odnosno matrice placanja.

Matrica placanja P cesto se prikazuje u vidu odgovarajuce tabele:100B AB1 B2...Bn

A1

a11 a12 ... a1n

A2

a21 a22 ... a2n..

......... .....Am

am1 am2 ...amn

Strategije igraca A su predstavljene vrstama matrice placanja. Strategije igraca B su predstavljene kolonama matrice placanja. Osnovni cilj svakog igraca jeste da odabere strategiju koja ce mu obezbeditiostvarivanje najboljeg moguceg rezultata: -Za igraca A, to je maksimalan moguci dobitak.-Za igarca B, to je minimalan moguci gubitak. Ne znajuci kakav ce biti izbor protivnika, a uz pretpostavku da se igraci racionalnoponašaju, svaki od igraca vrši prethodnu analizu mogucih dobitaka, odnosno gubitaka.Igrac A: Za svaku svoju cistu strategiju Ai (i=1,..., m), igrac A određuje minimalan dobitak koji ce ostvariti bez obzira na izbor strategije igraca B, tj. opredeljuje minimalan elemenat u svakoj vrsti matrice placanja u obliku

i minaij i1,...,m j

Između svih ovako određenih minimalnih dobitaka za pojedine strategije, igrac A bira maksimalan elemenat u obliku

maxi maxminaij iij

koji predstavlja tzv. maksimin vrednost, odnosno donju granicu vrednosti igre, koja pokazuje garantovani (najmanji) dobitak koji ce igrac A ostvariti. To znaci da njegov Db ne može biti manji od ovog iznosa, ali može biti veci ukoliko igrac B ne odabere svoju optimalnu strategiju. Donja granica vrednosti igre određuje optimalnu strategiju za igraca A.Igrac B: Slicnu analizu moguceg rezultata izbora pojedinih strategija možemo izvršiti i za igraca B, koji se trudi da u igri odabere takve strategije koje mu obezbeđuju minimizaciju gubitaka.Zato za svaku od svojih strategije, koje su predstavljene kolonama matrice placanja, igrac B izracunava maksimalne gubitke, tj. određuje vrednosti

j maxaij j1,...,n i

Minimalan, od ovako određenih elemenata, odnosno vrednost

minj minmaxaij ji

101predstavlja gornju granicu vrednosti igre, odnosno tzv. minimaks vrednost za igraca B. To znaci da njegov Gb ne može biti veci od minmax vrednosti, ali može biti manji ukoliko igrac A ne bira svoju optimalnu strategiju. Racionalno se ponašajuci, igrac B ce strategiju kojoj odgovara ovako izracunata gornja granica vrednosti igre smatrati optimalnom strategijom, jer mu ona obezbeđuje poziciju u kojoj nikakav izbor strategije od strane igraca A ne može povecati njegov gubitak iznad vrednosti .Izborom optimalnih strategija od strane oba igraca oni obezbeđuju za sebe najpovoljniji rezultat i to,-Igrac A obezbeđuje dobitak koji nije manji od donje granice vrednosti igre , -dok gubitak igraca B ne može biti veci od gornje granice određene vrednošcu .

Ukoliko je u matricnoj igri donja granica vrednosti igre jednaka gornjoj granicivrednosti igre, tj. ako je , takva igra je prosta matricna igra i nazivamo jeigrom sa sedlastom tackom, ili jednostavno igrom sa sedlom. Sedlasta tacka matricne igre nalazi se na preseku optimalnih strategija igraca.Sedlasta tacka određuje optimalne strategije za oba igraca. Red matrice placanja, sa indeksom i*, predstavlja najbolju alternativu za igraca A,prema tome i njegovu najbolju strategiju. Kolona matrice placanja, obeležena indeksom j* , određuje optimalnu strategiju zaigraca B. Za takve maricne igre, u kojima oba igraca igraju uvek istu strategiju, kažemo da suigre sa cistom strategijom. Vrednost elementa koji predstavlja sedlastu tacku, istovremeno predstavlja i vrednostmatricne igre.Primer 5.1.Odrediti donju i gornju granicu vrednosti igre i optimalne strategije za igrace A i B u igri predstavljenoj matricom placanja25−40−3 2 6 1 P 7 4 3 8 4215Rešenje: Strategije igraca A i B su predstavljene vrstama i kolonama matrice P, respektivno. Da bi odredili njihove optimalne strategije, potrebno je da odredimo vrednosti minimalnih dobitaka za pojedine strategije igraca A i vrednosti maksimalnih gubitaka za igraca B, što je predstavljeno sledecom tabelom:102Tabela 5.1.Opredeljujuci se prema prethodno opisanom pravilu maksimina, igrac A ce odabratisvoju trecu strategiju kao optimalnu, jer mu ova strategija obezbeđuje ostvarenjevrednosti max max min aij= 3, dok je ocigledno za

igraca B optimalna iij

njegova druga strategija za koju se ostvaruje gornja granica vrednosti igre, odnosno vrednostmin j min max aij 5 . Kao što vidimo sve izracunatevrednosti

ji

minimalnih dobitaka za igraca A manje su od vrednosti maksimalnih gubitaka za igraca B, na osnovu cega se zakljucuje da donja granica vrednosti igre nikada nije veca od gornje granice vrednosti igre.Ako igrac A odabere svoju optimalnu, trecu strategiju, njegova Db nikada ne može biti manja od 3 (bez obzira koju strategiju odabere igrac B) Ako igrac B odabere svoju optimalnu strategiju (drugu), njegov Gb nikada ne može biti veci od 5 (bez obzira koju strategiju odabere igrac A).ZAKJLUCAK: Donja granica vrednosti igre (-4; -3; 3; 1) uvek je manja od gornje granice vrednosti igre (7; 5; 6; 8)Primer 5.2.Odrediti optimalne strategije igraca A i B, sedlastu tacku i vrednost igre ukoliko je matrica placanja predstavljena u obliku45346P=8 7 1 0 −2−5 10 −1 −4 2 Kao što vidimo, igrac A raspolaže sa 3, a igrac B sa pet mogucih strategija. Da bi opredelili optimalne strategije, za igraca A cemo odrediti minimalne dobitke, a za igraca B maksimalne

gubitke za pojedine strategije, što je predstavljeno tabelom 5.2.Vrednosti i i j u tabeli 5.2., koje pokazuju minimalne dobitke za igraca A imaksimalne gubitke za igraca B, određene su na prethodno opisani nacin. Kao što vidimo, za igraca A je optimalno da igra svoju prvu strategiju kao cistu, dok je za igraca B optimalna njegova treca strategija. Ove strategije, određene su na osnovuBAB1 B2 B3 B4

i

A1

2 5 -4 0-4A2

-3 2 6 1-3A3

74383A4

42151j

7568103Tabela 5.2.maksimin odnosno minimaks vrednosti, koje su u ovom slucaju izjednacene, tako da je vrednost igre određena vrednošcu sedlaste tacke (1,3) koja se nalazi na preseku optimalnih strategija (prve za igraca A i trece za igraca B), tj. v = 3. Ovakvo rešenje igre, tj. vrednost igre, pokazuje prosecan dobitak koji ce u svakom od poteza ostvariti igrac A, odnosno prosecan gubitak koji ce u svakom od poteza ostvariti igrac B.6.3. Matricne igre sa mešovitim strategijama Ukoliko je donja granica vrednosti igre manja od gornje granice vrednosti igre, tj.< , tada, izbor optimalne strategije obezbeđuje -igracu A dobitak koji nije manji od , -igracu B gubitak koji nije veci od .Racionalno se ponašajuci, svaki od igraca, ne znajuci koju ce strategiju odabrati njegov protivnik, u takvim uslovima nastoji da uveca svoj dobitak odnosno umanji svoj gubitak. Takav cilj igraci ostvaruju odabirajuci u nizu poteza, ne jednu, vec više strategija koje im stoje na raspolaganju.Sada igrac A nema cistu strategiju koja bi mu obezbedila najmanji Db, odnosno igrac B nema strategiju kojom osigurava gornju granicu svojih placanja. Oni više ne biraju po jednu alternativu, vec se odlucuju za razlicite alternative i to za svaku sa određenom verovatnocom.Igrac A naizmenicnim izborom razlicitih strategija može ostvariti dobitak koji je veci od vrednosti maksimin elementa, koji ce on ostvariti igranjem optimalne strategije.Analogno, igrac B izborom razlicitih strategija u uzastopnim potezima može uma- njiti svoj gubitak u odnosu na njegovu minimaks vrednost.Opredeljivanje za izbor razlicitih strategija od strane igraca A i B realizuje se slucajnim izborom, odnosno sa određenom verovatnocom, pri cemu jedan slucajan izbor razlicitih strategija predstavlja tzv. mešovitu strategiju. Mešovita strategija, prema tome, predstavlja

kombinaciju razlicitih verovatnoca sa kojima ce igraci u uzastopnom nizu poteza igrati pojedine strategije koje im stoje na raspolaganju.BAB1 B2 B3 B4 B5

i

A1

453463A2

8 7 1 0 -2-2A3

-5 10 -1 -4 2-5j

8 10 3 4 6tada:Ukoliko je igra dva lica sa nultom sumom definisana matricom placanja reda (m,n), Igrac A može izabrati bilo koju od m strategijaOznacimo sa(A1, A2,....,Am). (x1, x2,...,xm)104verovatnoce izbora pojedinih strategija od strane igraca A, pri cemu je m

xi 0 i1,2,...,m, Mešovitu strategiju možemo predstaviti u vidu vektora x x1

, x2 ,..., xm , ciji

∑i1

elementi pokazuje verovatnoce sa kojima igrac A primenjuje pojedine strategije. Kod ciste strategije jedna verovatnoca jednaka je 1 a sve ostale su jednake nuli. Kodmešovite strategije najmanje dve od verovatnoca<moraju biti pozitivne.Igrac B: Analogno, mešovitu strategiju igraca B možemo predstaviti u obliku vek- tora y y1 , y2 , ..., yn , ciji elementi pokazuju verovatnoce izbora igraca B neke od njegovih n strategija, pri cemu je

∑i1

y j 0 j 1 , 2 , . . . , n , Strategije igraca A i B za koje su verovatnoce xi i yj

vece od nulepredstavljaju aktivne strategije.Kako odrediti vrednost matricne igre?j

Ukoliko igraci A i B biraju strategije Ai i Bj, igrac A ce dobiti iznos od aij jedinica od igraca B samo ako on odabere i-tu alternativu a igrac B odabere j-tu alternativu. Verovatnoca da ce igrac A odabrati i-tu alternativu jednaka je xi a verovatnoca da ce igrac B odabrati j-tu alternativu jednaka je yj.Verovatnoca istovremenog izbora ove dve strategije, odnosno ostvarivanja para (Ai, Bj), određuje se u vidu proizvoda pojedinacnih verovatnoce javljanja alternativa Ai i Bj, tj.

proizvoda xi-verovatnoce javlajnja alternative Ai i yj- verovatnoce javljanja alternative Bj.Vrednost igre u uslovima realizacije mešovitih strategija, zbog toga, možemo predstaviti u vidu ocekivane srednje vrednosti placanja (matematickog ocekivanja), u oblikui1 j1

vf(x,y)xPy′odnosno u matricnom obliku

vfx,y∑∑a x y ij i j

gde funkcija f(x, y) predstavlja funkciju placanja, x vektor mešovite strategije igraca A, y vektor mešovite strategije igraca B, P matricu placanja .mnn

y1x 1 i

105Primer 5.3.Data je matrica placanja u obliku2450P−2 6−3 51−473 i mešovite strategije igraca x = (0,45 0.20 0,35 ) i y = (0.30 0,20 0,15 0,35). Odrediti ocekivanu vrednost igre.RešenjeNa osnovu predstavljene matrice placanja vidimo da igrac A raspolaže sa 3 strategije, dok igrac B može izabrati bilo koju od 4 strategije koje su predstavljene kolonama matrice P. Elementi vektora mešovitih strategija x i y pokazuju verovatnoce izbora pojedinih strategija od strane igraca A i B. Tako, za igraca A smo pretpostavili da ce od ukupnog broja poteza u 45% slucajeva igrati svoju prvu strategiju, u 20% slucajeva drugu, dok ce 35% poteza odigrati birajuci svoju trecu strategiju. Slicno znacenje imaju elementi vektora y,samo za igraca B.Vrednost igre odredicemo na sledeci nacin 2 4 5 00,30v xPy/ =(0,45 0.20 0,35) −2 6 −3 5 0,20 = 0,151−473 0,350,20 = (0,85 1,60 4,10 2,05) 0,15 = 1,90750,35 na osnovu cega konstatujemo da ce u našem zadatku prosecno u svakom od poteza igrac A dobijati 1,9075 jedinica, koliko ce igrac B gubiti.6.4. Rešavanje mešovitih matricnih igaraIgrac A:Izbor optimalne mešovite strategije od strane igraca A, koju cemo oobeležiti sa x*, njemu obezbeđuje maksimizaciju ocekivanog garantovanog (minimalnog) dobitka. Na osnovu toga, ukoliko krajnji rezultat, tj. vrednost igre, obeležimo sa v, tada izbor 0,30106optimalne mešovite strategije x* igracu A obezbeđuje dobitak u iznosu koji ne može biti manji od vrednosti igre, tj.m

fx* ,y∑x*a v j1,...,n i ij

i1

gde velicina f x* , y max min f ( x, y) predstavlja donjugranicu xy

vrednosti igre.Igrac B:Slicno, izbor optimalne mešovite strategije y* za igraca B znaci da njegov gubitak nece biti veci od vrednosti igre, odnosno

* ∑n * f(x,y )aij yj v i1,...,m

j1 gdeje fx,y* minmaxf(x,y)gornjagranicavrednostiigre.yxKao što vidimo, za izbor optimalnih mešovitih strategija od strane igraca A i B ostvarice se jednakost donje i gornje granice vrednosti igre, tj..odnosno

maxmin f(x,y)minxmax f(x,y)f(x*,y*)v xy yx

všto pokazuje da se u uslovima izbora optimalnih strategija od strane igraca A i B ostvaruje ravnoteža igre u kojoj vrednost v predstavlja prosecan dobitak za igraca A, odnosno gubitak za igraca B.Za takve vrste igara, kod kojih su matrice placanja reda (2, n) ili (m,2), postupak određivanja optimalnih mešovitih strategija igraca i vrednosti igre vrlo je jednostavan. Zbog toga igre kod kojih je matrica placanja sa vecim brojem redova i kolona od 2, tj. kod kojih je m > 2 i n >2, pokušavaju se uprostiti i svesti na oblik pogodan za rešavanje grafickim i analitickim postupkom. Ukoliko takvo uprošcavanje nije moguce, igra se može rešiti korišcenjem modela linearnog programiranja.1076.4.1. Rešavanje igre reda 2x2 Igra dva igraca sa nultom sumom kod koje igraci A i B mogu birati jednu od dvestrategije koje im stoje na raspolaganju definisana je matricom placanja sledeceg oblika Pa11 a12 ciji elementi pokazuju dobitke igraca A, odnosno gubitke za igraca B, u slucaju izbora bilo koje od cetiri moguce kombinacije njihovih strategija.U postupku rešavanja bilo koje igre, tako i igre predstavljene matricom placanja reda (2,2), prvo se na prethodno opisani nacin ispituje da li se mogu izborom maksimin i minimaks vrednosti opredeliti optimalne ciste strategije i vrednost igre. Ukoliko na takav nacin odredimo vrednosti igre, radi se o prostoj matricnoj igri u kojoj vrednost igre odgovara vrednosti elementa koji predstavlja sedlastu tacku. Postupak rešavanja igre, dakle, u slucaju postojanja cistih optimalnih strategija relativno je jednostavan.Ukoliko nakon ispitivanja elemenata matrice placanja utvrdimo da ne postoje ciste strategije, tj. zadata igra ne predstavlja prostu matricnu igru, neophodno je odrediti optimalne mešovite strategije za oba igraca i odgovarajucu vrednost igre. U uslovima ostvarivanja optimalnih mešovitih strategija oba igraca, donja granica vrednosti igre i gornja granica vrednosti igre su jednake i opredeljuju vrednost igre.Zbog toga, određivanje donje i gornje granice vrednosti igre predstavlja nacin za rešavanje matricne igre, tj. određivanje optimalnih mešovitih strategija i vrednosti igre.

Da bi igra reda (2,2), predstavljena matricom placanja P, predstavljala mešovitu matricnu igru neophodno je da pretpostavimo da su obe strategije za igrace A i B aktivne (u suprotnom slucaju igra bi predstavljala prostu matricnu igru).daOvo ce biti zadovoljeno ukoliko je za elemente matrice placanja zadovoljen uslov - za a11>a12, imamo da je a21<a22, i obrnuto.aa 21 22Oznacimo sa x x1 , x2 mešovitu strategiju igraca A, u kojoj -x1 pokazuje verovatnocu izbora prve strategije od strane ovog igraca,-x2 = (1 – x1) predstavlja verovatnocu da ce on primeniti svoju drugu strategiju. Analogno,

y y1 , y2 pokazuje verovatnoce izbora prve (y1) i druge (y2 = 1 – y1 )strategije od strane igraca B.Za optimalne mešovite strategije ostvaruje se jednakost donje i gornje granice vrednosti igre (koje su jednake vrednosti igre), pa jednacine koje moraju biti zadovoljene za optimalne mešovite strategije igraca možemo predstaviti u obliku:- Za igraca A108a11 x1 a21 x2 v a12 x1 a22 x2 vx1 x2 1gde prva i druga jednacina pokazuju moguce dobitke za igraca A koje ce on ostvariti u slucaju izbora prve, odnosno druge strategije od strane igraca B, respektivno. Treci uslov proizilazi iz karaktera vrednosti elemenata mešovite strategije igraca, koji pokazuju verovatnoce njegovog opredeljenja za prvu i drugu strategiju, zbog cega njihov zbir mora biti jednak jedinici.Kako je na osnovu treceg uslova sistema x2 =1–x1,te kako su desne strane prve dve jednacine jednake, nakon izjednacavanja njihovih levih strana imamo da je

a11x1 a211−x1a12x1 a221−x1na osnovu cega jex1 a22 −a21 a11 −a12 −a21 a22

Kako je x2 = 1 – x1, dobijamox2 Vrednost igre, koju dobijamo zamenom izracunatih vrednosti verovatnoca x1 i x2 ua11 −a12

bilo koju od jednacina sistema je v a11a22 −a21a12

a11 −a12 −a21 a22

Ukoliko, slicno prethodnom, izracunamo gornju granicu igre, koju ce igrac B ostvariti u slucaju izbora prve i druge strategije od strane igraca A, dobicemo sistem jednacinaa11 −a12 −a21 a22

109a11 y1 a12 y2 v a21 y1 a22 y2 vy1 y2 1 odakle, nakon rešavanja sistema jednacina, dobijamo optimalne mešovite strategije igracaB u oblikuy1 a22 −a12 a11 −a12 −a21 a22

y2 a11 −a21

a11 −a12 −a21 a22

S obzirom da izracunate vrednosti optimalnih mešovitih strategija obezbeđuju izjednacavanje donje i gornje granice igre, vrednost igre dobijena iz sistema je jednaka vrednosti koju smo izracunali na bazi mešovitih strategija igraca A.6.4.2.Postupak grafickog rešavanje igre 2x2Da bi rešili igru grafickim putem, na apscisu u tacki (1,0) povlacimo vertikalnu liniju, koja nam zajedno sa osnovnom ordinatom služi za određivanje zone dobitaka za igraca A, odnosno zone gubitaka za igraca B. Imajuci u vidu prethodno objašnjeno znacenje donje i gornje granice vrednosti igre, na osnovu opredeljene zone dobitaka i zone gubitaka za igrace A i B, određujemo rešenje igre.Pretpostavimo, kao i do sada, da je igra definisana predstavljenom matricom igre P ida su strategije igraca definisane vektorima x x1 , x2 i y y1 ,y2 . Nakonnanošenja vertikalne linije u tacki (1, 0) apscise, u cilju određivanja optimalne mešovite strategije za igraca A, na osnovnu ordinatu i pomocnu ordinatu nanosimo vrednosti dobitaka koje ce igrac A ostvariti u slucaju izbora prve, a zatim druge strategije od strane igraca B.Tako, kao što vidimo na slici 6.1. ordinate svih tacaka na duži MN i ispod nje pokazuju moguce dobitke koje ce igrac A ostvariti u slucaju izbora prve strategije od strane njegovog protivnika.110Slika 6.1.Slicno, nanošenjem vrednosti potencijalnih dobitaka igraca A u slucaju izbora druge strategije od strane igraca B na osnovnu i pomocnu ordinatu (vrednosti a12 i a22), odredili smo duž PQ, odnosno tacku preseka ovih duži .S obzirom da ordinate tacaka koje se nalaze na krivoj liniji MQ i ispod nje (išrafirani poligon) predstavljaju garantovane dobitke koje ce igrac A ostvariti bez obzira na izbor strategija od strane njegovog protivnika, tacka predstavlja maximin vrednost za igraca A, odnosno donju granicu vrednosti igre, cija odgovarajuca vrednost na ordinati pokazuje vrednost igre.Projekcija tacke na apscisu, odnosno odgovarajuca tacka / ,

pokazuje relativan odnos druge i prve strategije igraca A, tj. deli duž (0,1) u razmeri x2

: x1.Postupak grafickog rešavanje igre 2x2 može na slican nacin biti realizovan i za igraca B. Na glavnu ordinatu i pomocnu ordinatu nanosimo vrednosti gubitaka koje ce igrac B ostvariti u slucaju izbora prve a zatim druge strategije od strane igraca A, što je predstavljeno dužima LK i RS (slika 6.2.). Na taj nacin opredelili smo krivu liniju R K cije sve tacke kao i tacke iznad nje (išrafirani poligon) opredeljuju potencijalne gubitke za igraca B. Tacka preseka ovde predstavlja minimaks vrednost, tj. gornju granicu vrednosti igre, koja određuje vrednost igre, dok odgovarajuca tacka / na apscisi deli duž (0,1) u srazmeri y2 : y1. Na taj nacin opredeljene su optimalna mešovita strategija igraca B i vrednost igre. Svakako, vrednost igre mora biti jednaka bez obzira preko koga od igraca određivali ovu velicinu, što smo pokazali dokazivanjem da su za optimalne me- šovite strategije donja i gornja granica vrednosti igre jednake.111Slika 6.2Primer 5.4.Odrediti optimalne mešovite strategije igraca A i B i vrednost igre ako je matrica placanja data u oblikuP52 −1 4

Rešenje:Najpre treba proveriti da li se radi o prostoj matricnoj igri, tj. da li je moguce odrediti optimalne ciste strategije i sedlastu tacku, primenomi maksimin i minimaks principa.Prikažimo matricnu igru u obliku tabele.

Ako se primeni maksimin princip, donja granica vrednosti igre je maxminaij 2i,j1,2

ijdok je gornja granica vrednosti igreBAy1 y2

Min aij (max)x1

522x2

-1 4-1Max a (min)54112

minmaxaij 4 i,j1,2 ji

što znaci da je

na osnovu cega konstatujemo da ne možemo opredeliti optimalne ciste strategije igraca A i B.Neophodno je odrediti optimalne mešovite strategije igraca i odgovarajucu vrednost igre.Kao što smo prethodno pokazali, za rešavanje ovakve vrste igre može se koristiti

graficki ili analiticki postupak. Radi jednostavnijeg prikaza postupka rešavanja, matricu igre predstavicemo u viduodgovarajuce tabelegde smo, dakle, pretpostavili da -verovatnoce izbora prve i druge strategije od strane igraca A iznose x1 i x2, -verovatnoce izbora prve i druge strategija od strane igraca B predstavljene suvelicinama y1 i y2.Grafickim metodom optimalne mešovite strategije igraca A odredicemo nanošenjem vrednosti njegovih dobitaka za slucaj izbora prve, odnosno druge strategije od strane igraca B, na glavnu i pomocnu ordinatu. Pri tome pomocnu ordinatu dobili smo povlacenjem vertikalne linije kroz tacku (0,1) apscise.Na takav nacin, opredeljujemo zone potencijalnih dobitaka za igraca A, na osnovu kojih, koristeci princip minimaksa, određujemo njegovu optimalnu mešovitu strategiju i vrednost igre.BAy1 y2

x1

52x2

-1 4113Slika 6.3.Kao što vidimo na slici 6.3. duž MN predstavlja gornju granicu potencijalnih dobitaka koje igrac Amože ostvariti u slucaju izbora prve strategije od strane igraca B. Ova duž ucrtana je spajanjem tacaka koje predstavljaju odgovarajuce dobitke igraca A koje on ostvaruje igranjem prve (osnovna ordinata), odnosno druge strategije (pomocna ordinata), kada igrac B igra svoju prvu stra- tegiju. duž LK, koja predstavlja gornju granicu dobitaka prvog igraca kada igrac B igra svoju drugu strategiju. Dobijena je nanošenjem dobitaka koje ce u tom slucaju igrac A ostvariti igranjem prve (glavna ordinata), odnosno druge (pomocna ordinata) strategije.Racionalno ponašanje igraca B podrazumeva njegovo nastojanje da izbor svojih strategija vrši u skladu sa težnjom za minimizacijom gubitaka koje ce ostvariti. Zbog toga, potencijalni dobici igraca A se nalaze na izlomljnoj krivoj liniji L N i ispod nje, što je predstavljeno osencenim delom slike 5.3.Tacka predstavlja ocigledno tacku cijim ostvarenjem ce igrac A ostvariti maksimalan od mogucih dobitaka, tj. predstavlja maximin vrednost za igraca A. Zbog toga je tackom , odnosno vrednošcu odgovarajuce tacke na ordinati, određena donja granica vrednostiigre, tj. vrednost igre v = 11/4 = 2,75. (zameniti koordinate x1 i x2)Projekcijom tacke na apscisu dobili smo tacku / , koja duž (0,1) deli u srazmeri x2 : x1,takodasmodobilidajex1 =5/8=0,625,dokjex2 =3/8=0,375,naosnovucegaje vektor optimalne mešovite strategije igraca A114x* 0,625 0,375 ciji elementi pokazuju verovatnoce njegovog opredeljivanja za prvu i drugu strategiju, odnosno relativno ucešce (dobijamo ga množenjem dobijenih verovatnoca sa 100) prve i druge strategije u ukupnom broju poteza igraca A.Postupak grafickog određivanja otimalne mešovite strategije za igraca B je slican prethodnom, s tim što se za njega opredeljuje zona gubitakaSlika 6.4. Ukoliko pretpostavimo da igrac A igra svoju prvu strategiju kao cistu, tada potencijalne gubitke koje ce ostvariti igrac B u slucaju izbora prve i druge strategije nanosimo na glavnu i pomocnu ordinatu. Tako je na slici 6.4. određena duž EF, koja predstavlja donju granicu gubitaka koje ce igrac B ostvariti ukoliko igrac A igra svoju prvu strategiju. duž GH je ucrtana nanošenjem potencijalnih gubitaka igraca B u slucaju izbora druge strategije od strane njegovog protivnika (igraca A).Kriva linija EH pokazuje donju granicu gubitaka koje ce igrac B ostvariti u slucajevima izbora razlicitih kombinacija prve i druge strategije od strane prvog igraca. Tacka predstavlja minimaks vrednost za igraca B, odnosno gornju granicu vrednosti igre. Ordinata ove tacke pokazuje vrednost igre v = 2,75. Optimalna kombinacija relativnog ucešca dveju strategija koje stoje na raspolaganju igracu B opredeljena je tackom / , koja duž (0,1) deli u srazmeri y2 : y1, odakle vidimo da je y1 = 1/4 = 0,250, y2 = 3/4 = 0,750. Optimalnu mešovitu strategiju igraca B možemo, prema tome, predstaviti vektorom

115y* 0,250 0,750 ciji elementi pokazuju da ukoliko želi da ostvari za sebe najpovoljniji moguci rezultat, tj. vrednost igre od 2,75 n.j., igrac B mora u 25% slucajeva (poteza) odabrati svoju prvu, dok u 75% poteza mora odabrati svoju drugu strategiju.Pored grafickog postupka, kao što je prethodno pokazano, optimalne mešovite strategije igraca i vrednost igre 2x2 moguce je odrediti i analitickim metodom. Ukoliko za određivanje optimalnih mešovitih strategija igraca A i odgovarajuce vrednosti igre primenimo sistem (5.10), za zadatu matricu placanja imamo da je:5x1 −x2 v 2x1 4x2 vx1 x2 1u kome prve dve jednacine sistema, ocigledno predstvljaju jednacine pravih na kojima se nalaze duži MN i LK, na slici 3.3., odnosno definišu uslove za ostvarivanje tacke . Zamenom x2 = 1 – x1 u prve dve jednacine prethodnog sistema dobijamo5x1 −(1−x1)v 2x1 4(1−x1)vKako su desne strane prethodne dve jednacine jednake izjednacavanjem njihovih levih strana, nakon sređivanja imamo da jeodakle je6x1 −1−2x14 x1 850,625, x2 1−x1 830,375Zamenom izracunatih vrednosti x1 i x2 u bilo koju od jednacina prethodnog sistema dobijamo da je vrednost igrev 11 2,75 4116Slicno, analiticki postupak određivanja optimalnih mešovitih strategija za igraca B realizovali bi rešavanjem sistema jednacina5y1 2y2 v −y1 4y2 vy1 y2 1cijim rešavanjem cemo dobiti da je y1 140,25, y2 340,75odnosno vrednost igre v = 2,75. 6.4.2. Rešavanje igara (2, n) i (m, 2)Rešavanje igara kod kojih je matrica placanja predstavljena matricom reda (2, n) i (m, 2) veoma je slicno sa prikazanim postupkom određivanja optimalnih mešovitih strategija i vrednosti igre reda (2, 2).Posmatrajmo igru koja je definisana matricom placanja a11 a12 ...a1j... a1n Pa a ...a ... a 2122 2j 2n iz koje vidimo da igrac A raspolaže sa dve, dok igrac B može birati bilo koju od n strategija koje mu stoje na raspolaganjuPredpostavimo da je mešovita strategija prvog igraca određena vektorom X = (x1, x2), dok je mešovita strategija igraca B predstavljena vektorom Y = (y1, y2, ..., yj, ..., yn).Da bi odredili vrednosti elemenata vektora mešovitih strategija i odgovarajucu vrednost igre, na grafikonu predstavljamo potencijalne dobitke koje ce igrac A ostvariti u slucaju izbora prve, druge, ..., j-te, ..., n-te strategije od strane igraca B.Postupajuci, kao i kod igre 2x2 po principu maksimina opredeljujemo aktivne strategije igraca B, što nam prakticno služi za svođenje ovakve vrste igre na igru 2x2.117Slika 6.5.Kao što vidimo dužima na slici 6.5. su spojene tacke koje pokazuju potencijalne dobitke igraca A u slucaju njegovog igranja prve i druge strategije za izbor razlicitih cistih strategija

od strane igraca B.Ocigledno, garantovani dobici za igraca A se nalaze na krivoj liniji MN K i ispod nje. Tacka predstavlja maksimin vrednost, odnosno donju granicu vrednosti igre.Racionalno ponašanje drugog igraca podrazumeva da on nece nikada igrati one strategije koje ce za njega prouzrokovati povecanje ostvarenog gubitka. Kako se tacka nalazi na preseku j-te i k-te strategije igraca B, to ove strategije smatramo aktivnim stra- tegijama, na osnovu cega igru definisanu matricom placanja reda (2, n) svodimo na igru 2x2.Primer 5.5.Data je matrica placanja u obliku P2 3 −21−2 5 Odrediti vrednost igre i optimalne strategije igraca grafickim i analitickimmetodom.RešenjeZa datu matricu igre, igrac A ima na raspolaganju dve strategije, a igrac B tri strategije. Da bi se odredila vrednost igre i optimalne strategije igraca potrebno je za igraca B odrediti aktivne ciste strategije. Za određivanje aktivnih strategija igraca B118koristimo graficki metod i max-min princip, što znaci da igrac A primenjuje max-min princip pod uslovom da igrac B primenjuje svoje aktivne strategije (slika 6.6)Ocigledno je da se uslov ravnoteže (donja granica vrednosti igre jednaka gornjoj granici vrednosti igre) postiže u preseku duži CD i EF koje smo odredili pod pretpostavkom da igrac B igra drugu, odnosno trecu strategiju, koje predstavljaju njegove aktivne strategije.Slika 6.6 Aktivne strategije igraca B sa prvom i drugom strategijom igraca A formirajumatricu placanjaP3 −2 −2 5 cijim se rešavanjem, na prethodno pokazani nacin, analiticki dobijaju mešovite strategije igraca:- optimalna mešovita strategija igraca A x ( 7 , 5 ), 12 12- optimalna mešovita strategija igraca B y ( 7 , 5 ), 12 12- vrednost igre v 11 . 12119Da bi igrac A ostvario dobitak ( v 11 ) potrebno je da 7 puta (u relativnom 12 12smislu) primeni svoju prvu strategiju, a 5 puta svoju drugu strategiju . Za igraca B prva 12strategija je neaktivna, jer bi primenom te strategije ostvario veci gubitak, što se vidi na našoj slici. Optimalno za igraca B je da 7 puta igra drugu, a 5 puta igra svoju trecustrategiju.Primer 5.6.Data je matrica placanja u obliku12 122−23 −1 P −2 220 Odrediti vrednost igre i optimalne strategije igraca analitickim i grafickimmetodom.RešenjeZa datu matricu igre, igrac A ima na raspolaganju cetiri strategije, a igrac B dve strategije. Da bi se odredila vrednost igre i optimalne strategije igraca potrebno je za igraca A odrediti aktivne strategije. Za određivanje aktivnih strategija igraca A koristimo graficki metod i min-max princip za igraca B (slika 6.7.).

Aktivne strategije igraca A prikazane su punim linijama tako da je sada matrica igre P−22

2 0 cijim se rešavanjem dobijaju optimalne mešovite strategije igraca, odnosno120Slika 6.7.x ( 13 , 23 ), y (13 , 23),- optimalna mešovita strategija igraca A - optimalna mešovita strategija igraca Bv23. Donja granica vrednosti igre igraca A je v 23 , odnosno igrac A primenomoptimalne mešovite strategije x ( 13 , 23 ), ostvaruje dobitak u iznosu od 23 n.j. Gornja granica vrednosti igre igraca B je v 23 , odnosno igrac B primenom optimalnemešovitestrategije y(13,23), ostvarujeminimalangubitakuiznosuod 23 n.j.6.4.3. Redukcija matrice placanja Ukoliko je igra definisana matricom placanja reda (m, n), pri cemu je i m>2 i n>2,ne može se primeniti prethodno opisani postupak rešavanja igre.Jedan od najcešce korišcenih postupaka uprošcavanja matrice placanja jeste postupak redukcije matrice placanja primenom tzv. pravila dominacije.-vrednostigre121a11 a12 ... a1n a a ...a PP2122 2n LL LLam1am2 ... amn u kojoj, kao i do sada, vrste reprezentuju strategije igraca A, dok kolone predstavljaju n strategija koje može koristiti igrac B.Racionalno ponašanje igraca A, znaci da, vršeci prethodnu analizu svojih rezultata, igrac A nikada nece igrati one strategije koje su “lošije“ u odnosu na bilo koju od preostalih strategija. Tako, ukoliko u matrici placanja elementi neke k-te vrste nisu manjiod elemenata neke l-te vrste, tj. ako je akj alj ( j 1,..., n) , dobitak za igraca A nemože biti manji (može potencijalno samo biti veci) ukoliko izabere strategiju Ak u odnosu na dobitak ostvaren izborom strategije Al, bez obzira koju ce strategiju izabrati igrac B. Zbog toga, strategija Ak je pogodnija za igraca A u odnosu na strategiju Al, zbog cega strategiju Ak

smatrmo dominantnom, a strategiju Al dominiranom strategijom.Zbog toga mi vrstu matrice placanja (l-tu) koja predstavlja dominiranu strategiju možemo eliminisati, a da se ne promeni vrednost igre i optimalne mešovite strategije igraca.Analogno, za igraca B ukoliko elementi r-te kolone nisu veci od odgovarajucihelemenata s-te kolone, tj ukoliko je air ais (i 1,..., m) , tada je za njega povoljnije dabira strategiju Br u odnosu na strategiju Bs, zato što izbor r-te strategije obezbeđuje manje ili jednake gubitke u odnosu na s-tu strategiju. Smatrajuci, zbog toga, r-tu strategiju dominantnom, a s-tu strategiju dominiranom za igraca B, mi iz matrice placanja možemo eliminisati s-tu kolonuUzastopnom eliminacijom dominiranih strategija prvog i drugog igraca, odnosno iskljucivanjem odgovarajucih vrsta i kolona matrice placanja, u mogucnosti smo da smanjimo dimenziju ove matrice i svedemo je na oblik pogodniji za rešavanje od polazno definisane matricePrimer 5.7.Data je matrica placanjaP4x4

2−203 3 −1 1 1 2 2 0 2 −1 −2 1 2

a) Koristeci pravilo dominacije izvršiti redukciju matrice placanja tako da se dobije matrica P2x2;b) Analitickim metodom odrediti vrednost igre i optimalne strategije igraca na osnovu dobijene matrice.122RešenjeMatricu igre P4x4 moguce je metodom dominacije redukovati na matricu P4x3 tako što eliminišemo cetvrtu kolonu matrice P4x4. Ovakav postupak je moguc zato što cetvrta kolona matrice P jeste dominirana u odnosu na trecu kolonu, odnosnoai4 ai3, ∀i = 1,2,3,4. što znaci da ukoliko se racionalno ponaša igrac B nikada ne bi igrao svoju cetvrtustrategiju, zbog cega, nakon eliminacije ove kolone dobijamoP4x3

2−20 3 −1 1 2 2 0 −1 −2 1Slicno, prva kolona dobijene matrice P4x3 je ocigledno dominirana u odnosu na njenu drugu kolonu jer jeai1 ai2, ∀i = 1,2,3,4. zbog cega ovu kolonu eliminišemo, nakon cega je matrica placanjaP4x2

−2 0 −11 2 0 −2 1Princip racionalnog ponašanja, koji predstavlja osnovni princip ponašanja igraca u teoriji igara, nalaže igracu A da nikada ne bira one strategije koje ce mu izvesno umanjiti potencijalni dopbitak. Zbog toga u našoj matrici placanja P4x2 vidimo da druga strategija (druga vrsta) dominira nad njegovom prvom strategijom (prvom vrstom) odnosno.a1j a2j, ∀j=1,2. zbog cega iskljucujemo prvu vrstu matrice igre P4x2, nakon cega dobijamo −1 1 P2 0−2 1 Matricu igre P3x2 redukujemo na matricu igre P2x2 tako što eliminišemo treci red ove matrice, zato što su svi elementi ovog reda manji ili jednaki u odnosu na odgovarajuce elemente prvog reda, na osnovu cega je3x2

123P −1 1 2x2 2 0Aktivne strategije za igraca A su njegova druga i treca strategija, dok su za igraca B aktivne takođe druga i treca strategija.a) Primenom analitickog metoda optimalne mešovite strategije igraca A i B, kao i odgovarajuca vrednost igre sux 2 12 , x 3 12 y 2 34 , y 3 14 v 12što znaci da, imajuci u vidu pocetno definisaniu matricu placanja, optimalne mešovite strategije igraca A i B možemo predstaviti u vidu vektora x = (0, 1/2, 1/2, 0) i y = (0, 3/4, 1/4, 0 ). Prema tome, igrac A po 50% od ukupnog broja poteza treba da igra drugu i trecu1strategiju da bi ostvario dobitak od 2 n.j. Igrac B ostvaruje gubitak iznosu od 12 n.j. primenom optimalne mešovite strategijey = ( 14 , 34 ) , tj. treba da igra 14 puta drugu, a 34 puta svoju trecu strategiju.124