1

UNIVERZITET CRNE GORE EKONOMSKI FAKULTET STUDIJE MENADMENTA

OPERATIVNI MENADMENT -KVANTITATIVNA ANALIZA-

Podgorica, 2010.

2

SADRAJ

1.UVOD ......................................................................................................... 3 1.1.Razvoj nauke o menadmentu ............................................................ 4 1.2.Nauni menadmentu ........................................................................ 5 1.3.Kvantitativna analiza ........................................................................ 8 1.4.Predmet oparativnog menadmenta .................................................... 10 1.5.Metodologija nauke o upravljanju ...................................................... 11 2.TRANSPORTNI PROBLEM ............................................................................. 13

2.1. Opti oblik transportnog problema ..................................................... 13 2.2. Odreivanje poetnog bazinog reenja ............................................. 16 2.3. Metodi optimizacije programa transporta ........................................... 22

2.3.1. Stepping stone metod ......................................................... 23 2.3.2. Metod potencijala ............................................................... 28

2.4. Otvoreni model transporta ................................................................. 33 2.5. Degeneracija problema transporta ..................................................... 38

3.MODELI ASIGNACIJE .................................................................................... 40 2.1. Osnovne karakteristike modela asignacije ......................................... 40 3.2. Algoritam za reavanje modela asignacije ......................................... 41

3.2.1.Maarski metod .................................................................... 41 3.3. Otvoreni model asignacije .................................................................. 48

4.MODELI ZALIHA ............................................................................................ 52 4.1. O problemu zaliha .............................................................................. 52 4.2.Trokovi zaliha .................................................................................... 53 4.3.Matematiki modeli zaliha .................................................................. 56

5.MRENO PLANIRANJE I UPRAVLJANJE ................................................... 66 5.1.Uvod ..................................................................................................... 66 5.2.Analiza strukture u mrenom dijagramu .............................................. 69

5.2.1.Mreni dijagram i njegovi osnovni elementi ......................... 69 5.2.2.Pravila za konstrukciju mrenog dijagrama .......................... 71 5.2.3.Odreivanje meusobnih odnosa aktivnosti .......................... 79 5.2.4.Numerisanje mrenog dijagrama ........................................... 83

5.3.Analiza vremena u mrenom dijagramu .............................................. 85 5.2.1.Analiza vremena primenom metode CPM ............................ 86 5.3.2.Analiza vremena primenom PERT metode ........................... 94

6. TEORIJA IGARA .............................................................................................. 97 6.1.Osnovne karakteristike i vrste igara ...................................................... 99 6.2. Proste matrine igre ............................................................................. 100 6.3. Matrine igre sa meovitim strategijama ............................................. 104 6.4. Reavanje meovitih matrinih igara ................................................... 106

6.4.1. Reavanje igre reda 2x2 ........................................................ 108 6.4.2.Postupak grafikog reavanje igre 2x2 ................................. 111

7. VIEKRITERIJUMSKA ANALIZA ................................................................ 120 7.1.

3

1.UVOD Menadment kao poslovna filozofija postaje sve vie sastavni deo naeg

svakodnevnog ivota. To je oblik ponaanja privrede, preduzea i pojedinaca, atraktivna profesija, popularna tema razliitih skupova ali i osnovni sadraj mnogih obrazovnih procesa. Menadment je osnova funkcionisanja svakog poslovnog sisitema i prisutan je u svim formalnim organizacijama: preduzeima, dravnoj upravi, vojsci, univerzitetu i slino. Menadment obezbeuje poveanje ekonomske efiksnosti, smanjenje poslovnog rizika i negativnih uticaja okruenja.

Menadment je proces koordinacije, obezbeenja, rasporeivanja i korienja kadrovskih i drugih potencijala organizacije radi dostizanja njenih ciljeva. To je skup od pet povezanih funkcija: planiranje, organizovanje, kadrovska politika , voenje i kontrola.1

Menadment predstavlja funkciju iji je cilj da se na efikasan nain obezbede, rasporede i iskoriste ljudski napori i fiziki resursi kako bi se postigao neki cilj.

Menaderi su one osobe koje obavljaju aktivnosti menademnta. Oni se mogu sresti u razliitim organizacijama,odnosnu svuda gde ljudi ele da rade zajedno da bi postigli neki postavljeni zajedniki cilj. Mogue je, ali je malo verovatno, da grupa ljudi, bez menadera, proizvede TV aparat, da uvede novi program obrazovanja, da organizuje prodaju automobila, da obezbedi policijsku zatitu graanima, zatitu od poara i slino.

Kada se formiraju organizacije, sa ciljem da proizvedu neto ili da prue usluge, menaderi su ti koji obavljaju vrlo vaan posao. Oni utvruju strategiju razvoja, organizaciju rada, koordiniu rad, donose odluke, sve radi postizanja unapred definisanog cilja. Bez menadera nema organizovanog pregnua.

BIZNIS UNIVERZITET VLADA M E N A D E R I

Direktor Rektor Ministar Glavni rukovodilac Prorektor Sekretar ministarstva Upravnik pogona Dekan Direktor

Nadzornik ef katedre ef odelenja NE M E N A D E R I

Radnici Nastavnici Slubenici

Slika 1.1: Menadment i razliiti poloaj u razliitim organizacijama U domaoj strunoj i naunoj literaturi, nema usaglaenog i jedinstvenog prevoda

engleske sintagme management science. Jedan od prvih prevoda je nauka o radu i njegovom organizovanju, a jedan od poslednjih nauka o menadmentu. Mi emo, kao sinonime, koristiti rei menadment, rukovoenje i upravljanje odnosno menader, rukovodilac i upravnik. Prema tome, nai prevodi pomenute sintagme su nauka o upravljanju, nauka o rukovoenju ili nauka o menadmentu.

1 Wren D., Voich D.,Menadment-proces, struktura i ponaanje, Privredni pregled, Beograd,

1994, str.15

4

Re menadment se isto tako upotrebljava na razliite naine. esto ujemo da je neko dobar menader u domainstvu zato to uspeva da sa niim prihodima obezbedi potrebna sredstva za ivot, ili da neki teniser ima dobrog menadera ili da je neko dobar menader u fabrici i slino. Jednostavno moemo rei da je menader osoba koja nadgleda posao drugih ljudi.

1.1.Razvoj nauke o menademntu

Menadment kao praksa je vrlo star dok je zvanino prouavanje menadmenta

kao naune discipline relativno mlado. Pre industrijske revolucije, organizacije su uglavnom postojale kao: domainstvo,

crkva, vojska, drava. Neki ljudi su bili angaovani u privrednim aktivnostima malog obima, ali nita dovoljno veliko, kao to e biti organizacije nastale posle industrijske revolucije. Ipak, potreba za menadmentom postojala je i tada i to, za vreme voenja vojnih operacija, u poslovima voenja domainstva, u dravnoj upravi, radu crkve.

Poznato je da veliki graditeljski poduhvati datiraju jo od starih Egipana. Izgradnja piramida i Vavilonske kule, 2500 godina pre nove ere, su sigurno zahtevale dobru organizaciju poslova i ureen sistem upravljanja. Veliki kineski zid (200 g p.n.e.), hramovi u Staroj Grkoj, putevi, akvadukti, kupatila i palate Starog Rima i Vizantije, graevine Maja, Asteka i Inka, sve su to blistavi primerci civilizacije koje su morale i znale da reavaju sloene probleme upravljanja, koji su se odnosili na podelu rada meu radnicima, noenje razliite odee za radnike i nadzornike (koja je pokazivala razlike u statusu), ogranienja po pitanju broja ljudi koje jedan menader moe da nadgleda i slino.

Egipani su razvili vrlo sloen dravni birokratski sistem kome je svrha bila da meri poveanje vodostaja reke od koje je zavisio svaki pojedini deo njihove privrede.

Jedan drugi primer daje vavilonski kralj Hamurabi (2000 g. pre nove ere) koji je izdao kodeks koji je sadrao 282 zakona kojim su bile regulisane poslovne norme, ponaanje pojedinaca, odnosi meu ljudima, plate, kazne i mnotvo drugih pravila.

Najstariji pisani dokument u vojsci datira iz perioda od 600 g pre nove ere. On govori o podeli armije u divizije, o razliitim vojnim inovima, o korienju zastava i signalnih vatri za komunikaciju, o detaljnom planiranju pre zapoinjanja vojnih operacija.

Ukratko, rane civilizacije daju primere davnih menaderskih aktivnosti. Naime, potreba za voama, organizacijama, podelom rada, ocenom uspenosti i druge ideje menadmenta mogu se nai u svakom periodu razvoja ljudskog drutva.

Meutim, nijedan dogaaj u istoriji nije dao vei uticaj na prouavanje i praksu menadmenta od industrijske revolucije. Sutina ove revolucije bila je zamena ljudske snage, snagom maine, to je dovelo do promena u svakodnevnom ivotu ljudi. U srcu ove revolucije nalazila se parna maina koja je snizila cenu proizvodnje, cene proizvoda i proirila trite. Duh inventivnosti doveo je do novih pronalazaka, pronalasci su uticali na otvaranje fabrika, fabrike do potrebe za menadmentom i organizovanjem. Zamajac je krenuo!

5

1.2.Nauni menadment Brzi rast amerike industrije u XIX veku doveo je do formiranja velikih

organizacija. Ove organizacije su rasle zbog proirivanja trita, zbog usavravanja tehnologije, ireg korienja elektrine energije i poboljanja u transportu i komunikaciji. Ovo je bilo okruenje u kome je dolo do razvoja sledee faze ideje o menadmentu, naunog menadmenta, kao i do pojave kljune figure, koja je primenila naune metode na industrijske probleme. Bio je to Frederik Tejlor.

Raanje savremene nauke o upravljanju vee se za ime amerikog tehniara Frederika Tejlora (1915.), i njegovu knjigu Principi naunog menadmenta.

Frederik Tejlor je poeo da radi kao industrijski radnik. Brzo je napredovao u poslu. Postao je poslovoa, pa glavni mehaniar i lan menadmenta. Kasnije se kolovao i postao glavni inenjer. Na taj nain je upoznao probleme upravljanja na svim nivoima, od najnieg radnog mesta do nivoa rukovoenja kompanijom. Ubrzo je uoio da postoji velika neefikasnost u izvravanju poslova na svim nivoima. Tejlor je uoio da postoje brojni nedostaci u oblasti industrijskog menadmenta, kao to je postavlajnje normi za radnike, koje ne motiviu radnike da bolje rade, nedovoljno zalaganje radnika na poslu, neprimeran nain obuke radnika, nedostatak standarda za ocenjivanje uspenosti u obavljanju posla i jedan opti nedostatak a to je elja za saradnjom izmeu radnika s jedne i uprave sa druge strane. Nije se mirio sa tom injenicom i traio je reenja za poveanje produktivnosti rada.

Tejlor je smatrao da moe da rei sve ove probleme, na taj nain to e paljivo prouiti svaku operaciju i na osnovu toga odrediti standarde za obavljanje posla. Kad radnici budu videli da su norme postavljenje pravilno, na osnovu injenica a ne onako kako se nekome prohtelo, bie motivisani da vie rade. Problem se sastojao u odreivanju pravine norme za jedan radni dan. Kako je to uradio Tejlor? On je odluio da odredi, na naunim osnovama, ta je to to jedan radnik treba da bude u stanju da uradi sa opremom i materijalom koji su mu stajali na raspolaganju. To je bio pravi poetak naunog pristupa menadmentu, tj. korienje naunog metoda istraivanja radi empirijskog utvrivanja naina na koji jedan posao treba da se obavi umesto tradicije ili nagaanja.2

Tejlor je svaki posao razloio na najelementarnije pokrete, nepotrebni pokreti su bili eliminisani, do najbrih i najboljih elementarnih pokreta dolo se na osnovu posmatranja najvetijih radnika. Pokreti su bili zabeleeni a vreme potrebno za njihovo obavljanje precizno izmereno. Na tako izmereno vreme dodat je odreeni procenat na ime neizbenih zastoja i prekida do kojih dolazi u radu, jo jedan procenat dodat je na ime nepoznate operacije za radnike koji prvi put rade svoj posao i jo koji procenat za pauze za odmor. Kad je standard za posao bio odreen, Tejlor je odredio i stimulativne nadnice da bi motivisao radnike.

Tejlor je takoe imao i ideju o prvoklasnom radniku. Prvoklasni radnik je onaj radnik koji je fiziki i mentalno odgovarao poslu koji radi i koji je bio voljan da radi to bolje. Na osnovu toga mogao se vriti izbor radnika naunim metodama. Zadatak uprave, prema Tejloru, bio je da pronae poslove za koje su radnici najpodesniji, da im pomogne da postanu prvoklasni radnici i da im obezbedi stimulaciju kako bi radili to bolje mogu.

2 Wren D., Voich D.,isto, str.50

6

Jo jedan Tejlorov doprinos nauci o menadmentu odnosio se na posao menadera i delegiranje autoriteta. On je bio jedan od prvih koji je shvatio da se meu radnicima mora razvijati grupna saglasnost. On se zalagao za filozofiju revolucije u miljenju kojoj je bio cilj da ubedi i radnike i upravu da su efikasnost, produktivnost i visoke zarade od koristi i jednima i drugima.

Ukratko, Tejlorov nauni pristup menadmentu zalagao se za analizu postojee prakse, njeno prouavanje radi standardizacije i poboljanja, kao i za primenu strunosti u planiranju i nadzoru.

Tejlor je pokazao da nauni prilaz upravljanju moe da povea efikasnost rada. Svoje stavove je formulisao u etiri osnovna principa. To su:

Tejlorovi principi naunog menadmenta 1.Potrebno je sakupiti podatke o svakom segmentu posla i razviti standarde za radnike 2.Izvriti obuku i razvoj radnika, umesto preputanja njima samima da se osposobljavaju i usavravaju 3.Razvijati duh saradnje izmeu menadmenta i radnika, tako da se u fabrici vodi briga o visokoj produkciji i visokim platama 4.Podeliti posao izmeu menadmenta i radnika tako da svako radi svoj posao tj. svako radi posao za koji je najsposobniji.

Praktine primene Tejlorovih principa u SAD i Evropi ostavile su u senci evropske doprinose razvoju naune misli u oblasti menadmenta s poetka XX veka. Najznaajnije je delo francuskog naunika i praktiara Fajola iji su teorijski postulati izdrali vremensku i praktinu proveru do dananjih dana. Njegova knjiga, Industrijska i opta administracija, objavljena je 1916. godine u Francuskoj a u SAD je bila sasvim nepoznata do prevoda i publikovanja, 1949. godine.

Fajol smatra da uprava, ukoliko eli da bude uspena, mora da usvoji 14 principa rukovoenja koji su dati u sledeoj tabeli

Fajolovi principi rukovoenja 1.Podela rada (specijalizacija) 2.Ravnotea izmeu ovlaenja i odgovornosti 3.Jedinstvo komande (jedna osoba moe imati samo jednog pretpostavljenog) 4.Jedinstvo direkcije (aktivnosti koje imaju isti cilj treba da usmerava jedan rukovodilac) 5.Podreivanje (subordinacija pojedinanih ciljeva zajednikom cilju) 6.Disciplina ( zavisi od rukovodioca) 7.Centralizacija 8.Skalarni princip raspodele ovlaenja (ovlaenja se smanjuju od direktora nanie) 9.Naknade (poteno nagraivanje napora, razumni iznosi) 10.Inicijativa (izvor snage u poslu) 11.Duh kolektivnosti (grupna svest, jedinstvo je snaga) 12.Stabilnost (treba izbegavati este promene personala) 13.Pravinost (fer odnos, tj. Potenje, naklonost i pravda) 14.Red (mesto za svakog i pravi ovek na pravom mestu)

7

Tejlorov sledbenik Mejo (1933), bavio se istraivanjima vezanim za uslove rada (osvetljenje i buka) i njihov uticaj na produktivnost. Eksperiment je sproveo u fabrici Deneral elektrik u Hotornu, koji je po tome dobio naziv Hotornski eksperiment. Eksperiment je izveden na sledei nain. Radnici su podeljeni u dve grupe: eksperimentalnu i kontrolnu. Eksperimentalnoj grupi su poboljani uslovi rada a kontrolnoj nisu a produktivnost se pratila u obema grupama.

Efekti u eksperimentalnoj grupi su bili oekivani: sa poboljanim uslovima rada porasla je i produktivnost rada u eksperimentalnoj grupi.

Ono to je bilo neoekivano jeste da je produktivnost rada porasla i u kontrolnoj grupi, iako se uslovi rada nisu menjali.

Meutim, kada su ukinuta poboljanja u eksperimentalnoj grupi, produktivnost je opet porasla. Zapitao se zato? Odluio je da porazgovara sa radnicima. Odgovor koji je dobio od radnika je bio sledei:

-u eksperimantalnoj grupi, kada su ukinuta poboljanja vezana za uslove rada, radnici su mislili da je to zato to je preduzee zapalo u tekoe, pa su se osetili obaveznim da rade vie nego obino, kao bi svojoj firmi pomogli da izae iz tekoa.

-u kontrolnoj grupi, radnici su videli istraivae, koji su se interesovali za njihove uslove rada, pa su to shvatili kao brigu o njima, tako da im je to bila dodatna motivacija za rad i zato je u kontrolnoj grupi produktivnost porasla.

Hipoteza o uticaju osvetljenja na proizvodnju je odbaena. Istraivai iz ove grupe su postali glavni zastupnici novog pokreta u menadmentu - zastupnici miljenja o vanosti odnosa meu ljudima. Naime, porast produktivnosti i radnog elana bili su posledica poboljanja drutvenih uslova i odnosa meu ljudima a ne nekog fizikog faktora (kao to je naprimer, jaina osvetljenja).

I posmatrai su uticali na rezultate eksperimenta svojim linim ueem. Oni koji su vrili eksperimente postali su nadzornici, tj. menaderi i ponaali su se na nain koji se razlikovao od ponaanja ranijih nadzornika. Oni su radnike obavetavali o izmenama i traili njihovo miljenje o njima, paljivo su sluali ta radnici govore, bili su zainteresovani za njihovo fiziko i mentalno zdravlje. Kod radnika se razvila vea volja za radom i formirale nove line i prijateljske veze. Veza izmeu nadzora, morala i produktivnosti postala je kamen temeljac pokreta koji je, u okviru nauke o menadmentu, naglasak stavljao na odnose meu ljudima.

Rezultati Hotornskih eksperimenata otvorili su novi pravac istraivanja u domenu upravljanja koji teite stavlja na ovekove osobine. Posle Meja, postalo je moderno baviti se psihologijom i sociologijom rada, izuavati meuljudske odnose (human relations) i ponaanje (behaviour) oveka u procesu rada i organizaciji. Stvaraju se osnove bihevioralne TO.

Ameriki naunik Maslov (1943., 1954) je izneo originalne stavove o motivaciji za rad. On smatra da ne treba naglaavati samo jedan izvor motivacije, ve da treba posmatrati ukupne potrebe koje ima radnik. Te potrebe prikazuje u obliku piramide. Na dnu piramide su

-osnovne fizioloke i egzistencijalne potrebe (hrana, voda, san). To su prirodne potrebe, potrebe koje nastaju roenjem.

-zatim slede potrebe za sigurnou (zatita od povreda, bolesti, vremenskih nepogoda). To je zatita fizikog integriteta.

8

-socijalne potrebe (potrebe za ljubavlju, prijateljstvom, pripadanju). Zatita naeg ja.

-potrebe za potovanjem (potovanje od strane drugih i samopotovanje). Potrebe pripadnosti grupi (dobra kola, markirana odea, biti vaan).

-potrebe za samopotvrivanjem. Prema Maslovu, ove osnovne potrebe meusobno su povezane i hijerarhijski sreene prema hitnosti nagona. Na prvoj stepenici se nalaze najosnovnije (fizioloke ) potrebe. Ako nemamo ta da jedemo i ako smo gladni, neemo biti zainteresovani za drutvene potrebe. Nae ponaanje e biti usmereno ka ispunjenju osnovnih fiziolokih potreba. Kad su nae fizioloke potrebe zadovoljene, mi poinjemo da se brinemo za nae drutvene potrebe. Kad i ove budu zadovoljene, u strukturi potreba pojedinaca, glavno mesto e zauzeti potrebe za pripadanjem i ljubavlju, sa sledeeg nivoa hijerarhije. Poto je u prirodi ljudskih bia da stalno neto ele, nijedna potreba nije nikada u potpunosti zadovoljena, ukljuujui i potrebu za samopotvrivanjem. Pored toga, Maslov je primetio da se pojedinac moe kretati i na dole, u suprotnom smeru, ako oseti da su potrebe nieg stepena ugroene ili uklonjene.

Zadovoljavanju potreba vieg nivoa, prethodi zadovoljavanje potreba nieg nivoa. Piramida potreba objanjava postupnost u razvoju Ne moe se iz opanaka u mercedes.

Ideje Maslova se prepoznaju u Mec Gregorovim teorijama X i Y, koje se odnose na dva suprotna menaderska stava prema motivaciji.

Rukovodioci teorije X veruju da su radnici lenji, da se protive promenama i da im nedostaje ambicija. Zato radnike treba terati da bi radili, strogo ih kontrolisati i smanjiti im slobode odluivanja.

Rukovodioci teorije Y vei naglasak stavljaju na vie potrebe iz hijerarhije Maslova. Oni smatraju da radnike treba motivisati ciljevima ka ostvarenju potreba samopotovanja i samopotvrivanja. Posao menadera je da vodi radnike ka realizaciji tih ciljeva i da pomae u njihovom razvoju na obostranu korist radnika i rukovodioca.

Teorija Z je kompromis navedena dva ekstrema. Najvei uticaj na operativni menadment u ovom vremenu ipak imaju

informacione tehnologije. Internet je sredinom devedesetih godina napravio revolucuonarne promene u pogledu raspoloivosti informacija. Informacioni sisitemi za upravljanje ekspertni sistemi i sistemi za podrku odluivanju treba menaderima da pomognu u procesu donoenja odluka. Pomo je potrebna i mogua da brzo i efikasno koriste ne samo obilje informacija koje im stoje na raspolaganju ve i akumulirana znanja i iskustva.

Za veinu metoda i algoritama koje emo obraivati u okviru nastave na ovoj disciplini, postoje raspoloivi softveri.

1.3.Kvantitativna analiza Da bi bio uspean, savremeni menader mora da razume, razmatra i efikasno

reava probleme koji su vezani za upravljanje proizvodnjom, za raspodelu resursa, upravljanje zalihama, odluivanje, odravanje i unapreenje kvaliteta i slino. U tome

9

muveliku pomo prua nauna disciplina koja se zove operativni menadment i koja se uglavnom oslanja na kvantitativne metode, koje su se provobitno razvijale u okvirima kibernetike, operacionih istraivanja, matematikog programiranja.

Nauka o upravljanju (rukovoenju) se bavi naunim metodama koje se primenjuju na probleme sa kojima se susreu menaderi. Osnovni cilj nauke o upravljanju je da pobolja odluke koje donose menaderi, korienjem racionalnih analiza. Ove analize esto obuhvataju i kvantitativne pristupe u zakljuivanju.

Mi emo, u okviru ovog predmeta, obraditi upravo one probleme u rukovoenju za koje postoje dobro razvijeni i provereni modeli koji omoguavaju upotrebu racionalne analize. Vei deo materije odnosie se na kvantitativne pristupe problemima koji su se pokazali pogodnim za naunu analizu. To ne znai da se svi problemi sa kojoma se suoavaju rukovodioci, donosioci odluka, mogu tretirati postojeim naunim metodama, tj. racionalnim analizama, niti da su svi nauni pristupi obavezno kvantitativni.

Ima vie razloga to znaaj nauke o rukovoenju veoma brzo raste u poslednjih nekoliko decenija. Osnovno je to savremeni naini poslovanja zahtevaju od rukovodioca da brzo donosi odluke, ije posledice mogu biti vrlo ozbiljne. U veim i sloenijim organizacijama problemi odluivanja postaju sloeniji i tei. Vea konkurencija, brze komunikacije, este tehnoloke promene i druge karakteristike savremenog poslovanja, zahtevaju da se odluke donose brzo. Brzo odluivanje o sloenim problemima poveava ansu da se napravi greka, a cena pogrene odluke raste sa veliinom organizacije. Sve ovo zahteva da odluivanje bude i bolje i bre, to podstie razvoj naune metodologije u reavanju problema rukovoenja. Razumljivo je nastojanje naunika da razvijaju i koriste kvantitativne pristupe u reavanju problema rukovoenja. Kvantitativni pristupi su se pokazali ne samo korisnim ve i nezamenljivim u velikom broju naunih i tehnikih disciplina. Na alost, kod mnogih ljudi postoji uverenje da je neophodno da se odluivanje rukovodilaca prevashodno oslanja na iskustvo, dosetljivost, kreativnost i intuiciju, a nikako ili moda sasvim malo na kvantitativne pristupe.

Verovanje da se dobre odluke donose intuitivno na osnovu dara koji poseduju retki, bogom dani pojedinci, demantovanao je do sada mnogo puta. Kvantitativnim analizama je nedvosmisleno dokazano da su postojala bolja reenja razmatranih problema. Donoenje odluka nije samo vetina talentovanih ili umetnost koja se ne moe nauiti, esto je to i tehnika koja koristi pogodne matematike modele.

Za mnoge realne situacije, ne postoje dobri matematiki modeli koji su preduslov kvantitativnoj analizi. Zato kvantitativne analize u procesu donoenja poslovnih odluka treba posmatrati kao potrebne i korisne pristupe sagledavanju nekih aspekata problema, a ne kao neprikosnovene metode koje obavezno vode do dobre odluke.

Potrebno je uvek imati na umu da odluke o odreenom problemu donosi ovlaeni rukovodilac ili rukovodei organ. U procesu formiranja i izbora jedne od alternativa, dakle u procesu pripremanja odluke, kombinuju se kvalitativne i kvantitativne analize. Kvantitativne analize bi trebalo da im pomognu u objektivnom i naunom vrednovanju alternativnih odluka, izmeu kojih treba izvriti izbor, da bi se smanjila verovatnoa greke. To ne znai da bi odluka donesena na osnovu tih racionalnih analiza bila i najbolja.

Napomenimo, da namera da se matematiki modeli koriste u procesima rukovoenja nije nova i da se moe nai jo kod Arhimeda. Kvantitativne analize poele

10

su snano da se razvijaju tek posle Drugog svetskog rata, pojavom operacionih istraivanja, a poslednjih decenija, zahvaljujui razvoju raunara i iroko primenjivati.

Ideje i metode razvijene u okvirima operacionih istraivanja i drugih disciplina koje su sa istim ciljevima paralelno razvijane (kibernetika, sistemska analiza i slino) najpre su nale praktinu primenu u reavanju problema proizvodnje materijalnih dobara. Tako se javlja pojam upravljanje proizvodnjom ili proizvodni menadment. Primena se zatim iri na uslune delatnosti, vladine slube, javna preduzea i neprofitne organizacije. Metodologija za reavaje problema kvantitativnim pristupima u sutini je ista, bez obzira na tip organizacije. Bitna karakteristika te metodologije je da se proces poslovanja razlae na jednostavnije delove, operacije. Termin proizvodni menadent se proiruje na proizvodni i operativni menadment, a danas se esto koristi samo naziv operativni menadment.

1.4.Predmet operativnog menadmenta

Predmet operativnog menadmenta je proizvodnja i proizvodni sistem. Proizvoditi znai praviti neto novo. Proizvodnja je jedna od najosnovnijih i najvanijih aktivnosti u modernim industrijskim drutvima, kojom se kreira bogatstvo za ljudska bia, stvara dobrobit i obezbeuje blagostanje naciji. Proizvodnjom se omoguava potronja kojom se zadovoljavaju ljudske potrebe. Nema potronje bez proizvodnje ali vai i obrnuto, nema proizvodnje bez potronje. U stara vremena, priroda je bila jedini izvor dobara. Poljoprivreda, rudarstvo, lov, ribolov, bile su osnovne proizvodne aktivnosti. Savremene delatnosti, koje pripadaju ovoj kategoriji neki ekonomisti zovu primarna industrija. Pre oko dvesta godina, pioniri ekonomije su uveli koncept proizvodnje za trite kao i osobine proizvoda da bi mogao da se proda. Industrijska proizvodnja za trite postaje jedan od naina kreiranja dobara. Proizvodnja u ovom smislu, stavlja veliki naglasak na pravljenje stvari koje su opipljive, na tz. dobra ili proizvode. Ova kategorija je danas poznata kao sekundarna industrija. Krajem XIX veka pojavio se koncept korisnosti-utiliteta. Sa ekonomskog aspekta to je indeks koji izraava stepen zadovoljenja ovekove potrebe. Uvoenjem ovog koncepta, proirilo se znaenje pojma proizvodnje: proizvodnja je kreacija korisnosti. Ona ukljuuje i usluge, servise, tj. udruuje se sa transportnom, prodajom, trgovinom, obradom podataka i slino. Ova kategorija je danas poznata kao tercijarna industrija. Pomenimo i savremena ekonomska shvatanja koja se odnose na proizvodnju dobara koja do skoro nisu postojala na tritu niti su potroai oseali potrebe za takvim dobrima. Tipian primer je proizvodnja vokmena koji je tek posle razvoja i proizvodnje iznet na trite, a zatim jakom reklamom izvrena je njegova promocija i stvorena tranja. Savremena proizvodnja na taj nain nema samo funkciju da modernom drutvu stvara proizvode kojima e zadovoljavati postojee potrebe ljudi, ve i da generie nove tranje i odgovarajue proizvode.

11

1.5.Metodologija nauke o upravljanju Da bi razvila sopstvenu metodologiju naunog rada, nauka o upravljanju je pola

od optih principa koje koristi svaki nauni metod. U tabeli 1.1. prikazana je metodologija sistemske analize koju je preporuila i

praktikovala uvena amerika konsultantska kompanija RAND. Ovo je nesumnjivo jedna od dosada najboljih, najdoslednijih i najvie primenjivanih metodologija za reavanje problema u operativnom menadmentu i menadmentu uopte. Uoimo sledee bitne osobine predloene metodologije.

Problem se najpre jasno formulie i ograniava. Takoe je neophodno jasno iskazati namere i izabrati kriterijume za merenje ostvarivanja postavljenih ciljeva. Problem se reava u nekoliko faza, koje slede jedna drugu. U principu su mogue povratne sprege ali se veoma preporuuje da se u jednoj fazi uradi sve na takav nain da do vraanja na nju ne doe. Progres u reavanju problema je mogue slediti po fazama. Raunanja su, kad god je mogue poeljna, pa ak i analiza osetljivosti reenja na promene nekih parametara. Reenje koje se eli nai mora biti najbolje u odnosu na izabrane kriterijume, kojima se meri nivo postizanja eljenih ciljeva. Problem koji se reava postavlja se kao zadatak optimizacije.

Tabela 1. 1. Metodologija sistemske analize RAND korporacije 1.Formulacija (konceptualna faza) 1.1.Jasno formulisati i ograniiti problem 1.2.Klasifikovati i izabrati namere koje oekujemo da e se postii sistemom i aurirati ih kada je potrebno 1.3.Izabrati kriterijume za merenje postizanja namera i neprekidno ih aurirati 1.4.Postaviti hipoteze ( ili mogua reenja) u svetlu postavke problema 2.Traenje (faza istraivanja) 2.1.Utvrditi injenice i sakupiti podatke na kojima e se zasnivati analiza pridruiti verovatnoe onim injenicama koje su neizvesne 2.2.Proceniti trokove sakupljanja podataka 2.3.Generisati alternativne naine postizanja namera 3.Evaluacija (analitika faza) 2.1.Izvriti izgradnju modela (konceptualnog ili matematikog) da bi se predvidele posledice razliitih alternativa postaviti aproksimacije i pretpostavke na kojima poiva model 3.2.Izvriti raunanja da bi se objasnile posledice modela 3.3.Proceniti alternative merenjem trokova i odgovarajuih efekata 3.4.Ispitati rezultate iz 3.3. sa stanovita osetljivosti na promene parametara i promene pretpostavki 4.Interpretacija (faza prosuivanja, ocenjivanja) 4.1.Uzeti u obzir faktore koji se ne mogu kvantifikovati niti izmeriti 4.2.Uzeti u obzir stvarne neizvesnosti koje nisu statistike neizvesnosti 4.3.Predstviti zakljuke koji se razlikuju izmeu onog to je pokazala analiza i onog to je dolo ocenjivanjem 5.Verifikacija (nauna faza) 5.1.Ako je mogue, testirati zakljuak izvodei eksperimente

12

Pored ovih, treba uoiti i sledeu sutinsku osobinu navedene metodologije: realni

sistem u kome se reava problem upravljanja najpre se predstavlja pogodnim matematikim modelom. Pre donoenja konane odluke vre se eksperimenti na modelu, a ne na realnom sistemu. Zato dobijeno (optimalno) reenje predstavlja optimalno reenje za model a ne mora da predstavlja najbolje reenje za razmatrani realni problem. Ono je onoliko dobro reenje za realni problem koliko dobro izabrani model odgovara stvarnoj situaciji.

Znanja potrebna za reavanje upravljakih problema zavise od sloenosti sistema u kome se oni pojavljuju. Paralelno sa razvojem proizvodnih sistema unapreivana su i akumulirana znanja i vetine upravljanja. Donoenje odluka, sutina menaderskog posla

13

2.TRANSPORTNI PROBLEM

Transportni problem predstavlja model ijim se korienjem odreuje optimalan program distribucije odreene vrste robe iz razliitih mesta ponude (tzv. ishodita) do razliitih mesta tranje (tzv. odredita), pri emu se podrazumeva njihova teritorijalna razdvojenost. Kao kriterijum za optimizaciju programa transporta robe najee se uzima zahtev za minimizacijom ukupnih transportnih trokova, iako se kao kriterijum moe uzeti i minimizacija ukupnog vremena transporta robe.

Transportni problem se moe posmatrati kao specijalan oblik zadatka linearnog programiranja, u kome funkcija cilja izraava ukupne transportne trokove, dok su ograniavajui uslovi odreeni ponudom pojedinih ishodita, odnosno tranjom pojedinih odredita. Usled karaktera sistema ogranienja, odnosno odgovarajue matrice koeficijenata, transportni problem predstavlja znatno pojednostavljen model linearnog programiranja. Zato je za njegovo reavanje razvijen niz metoda, ija primena je za potrebe odreivanja optimalnog programa transporta robe jednostavnija u odnosu na simpleks metod.

Osim za optimizaciju transporta robe, transportni problem se moe efikasno koristiti za reavanje problema lokacije, kao i problema rasporeivanja. Formulisanje i reavanje problema lokacije primenjuje se u sluaju potrebe za odreivanjem optimalne lokacije maina u preduzeu, optimalne lokacije skladita ili prodajnih objekata, optimalne lokacije pojedinih slubi na nivou preduzea ili teritorijalne zajednice (grada), i sl. Model rasporeivanja predstavlja takav vid primene transpotrnog problema u kome se opredeljuje najpovoljniji raspored izvrilaca za obavljanje odreenih poslova, maina za obavljanje razliitih operacija i slino.

Zaetnikom ideje o potrebi reavanja transportnog problema smatra se ruski matematiar L.V. Kantorovi (1939), dok je rigoroznu formulaciju ovog modela prvi predstavio F.L. Hitchcook (1941). Formulacija transportnog problema u vidu modela linearnog programiranja predstavljena je od strane G.B. Dantzig-a, dok je u novije vreme od strane mnogih poznatih autora (Charnes, Cooper, Henderson, Ford, Fulkerson, i dr.) razvijen niz metoda koji se koriste za reavanje problema transporta.

2.1. Opti oblik transportnog problema U cilju formulisanja opteg oblika modela transpotra robe pretpostavimo da postoji

konaan broj od m ishodita (mesta ponude) P1, P2, .,Pm koja raspolau odreenom homogenom vrstom robe za ije korienje je izraena potreba (tranja) u n odredita (mesta tranje) T1, T2,,Tn. Ako pretpostavimo da postoji teritorijalna razdvojenost ishodita i odredita, tada je jasno da postoji mn potencijalnih puteva (Slika 2.1.) preko kojih ova roba moe biti dostavljena od mesta ponude do mesta tranje.

14

P1 T1 P2 T2 . . . . . . Pm Tn

Slika 2.1.

Ukoliko raspolaemo podacima o koliini ponude robe pojedinih ishodita, koliini tranje pojedinih odredita i iznosu transportnih trokova po jedinici prevezene robe na svih mn puteva, tada transportni problem zahteva odreivanje kombinacije puteva i odgovarajuih koliina za prevoz robe za koje e se ostvariti minimalni ukupni transportni trokovi.

Za formulisanje matematikog modela transportnog problema, u toku narednih razmatranja koristiemo sledee oznake:

xij koliina robe koja se transportuje iz i-tog ishodita u j-to odredite (i=1, , m;

j=1,,n); cij transportni trokovi po jedinici prevezene robe od i-tog ishodita do j-tog

odredita (i=1, , m; j=1,,n); ai raspoloiva koliina robe (ponuda) u i-tom ishoditu (i= 1,...,m) ; bj iznos tranje za posmatranom robom u j-tom mestu tranje (odreditu)

(j=1,...,n)

Metodoloki posmatrano, osnovni cilj reavanja transportnog problema moe se formulisati kao zahtev za odreivanje optimalnih vrednosti promenljivih xij (i=1,,m; j=1,,n), tj. optimalnih koliina prevezene robe na pojedinim putevima, za koje e se ostvariti minimalna vrednost ukupnih transportnih trokova, to jest minimalna vrednost funkcije cilja

==

=n

jijij

m

ixcz

11 (2.1)

pri emu moraju biti zadovoljena tri ogranienja: a) ukupna koliina raspoloive robe svakog ishodita mora biti raspodeljena (di-

stribuirana) na mesta tranje, tj.

15

iijn

jax =

=1 i=1,2,..,m (2.2)

b) tranja svakog ishodita (mesta tranje, potroakog centra) mora biti u potpunosti

zadovoljena, tj.

jijm

i

bx ==1

j=1,,n (2.3)

c) koliine prevezene robe na pojedinim putevima, odnosno odgovarajue promenljive

moraju biti nenegativne veliine, tj. njmixij ,....,1,...,10 == (2.4)

Funkcija cilja (2.1) zajedno sa navedenim uslovima obrazuje opti oblik zadatka

transportnog problema, u kome imamo m+n jednaina sa mn promenljivih. Proireni oblik navedenog modela moemo predstaviti u obliku

njmixbxxx

bxxxbxxxaxxx

axxxaxxx

xcxcxcxcxcxcz

ij

nmnnn

m

m

mmnmm

n

n

mnmnmmnnnn

...,,1,...,10

...

......

......

...............

21

222212

112111

21

222221

111211

11222121111111

===++

=++=++=+++

=+++=+++

++++++++=

(2.5)

Model (2.5) oigledno predstavlja specifian oblik modela linearnog programiranja, u kome se postavlja zahtev za odreivanjem nenegativnih vrednosti mn promenljivih xij (i=1,,m j=1,,n) za koje su zadovoljene sve m+n jednaine ponude i tranje, a za koje funkcija z ostvaruje minimum. Za potrebe jednostavnijeg i efikasnijeg reavanja, ovako formulisani model moemo predstaviti u vidu tabele

16

Tabela 2.1. Odredite Ishod

T1

T2

Tn

Ponuda

P1

c11 c12 c1n x11 x12 x1n a1

P2

c21 c22 c2n x21 x22 x2n a2

Pm

cm1 cm2 cmn xm1 xm2 xm3 am

Tranja b1 b2 bn

U levi ugao polja nae tabele, kao to vidimo, unose se transportni trokovi po

jedinici prevezene robe na odgovarajuem putu, poslednja kolona pokazuje ponudu robe pojedinih ishodita, dok poslednja vrsta pokazuje tranju pojedinih odredita.

Postupak odreivanja optimalnih vrednosti ijx ( ),...,1,,...,1 njmi == realizuje se u nizu faza (iteracija), u kojima se poboljavanjem poetnog bazinog reenja dolazi do optimalnog. Svakom reenju odgovara po jedna tabela u kojoj su upisane vrednosti bazinih promenljivih. Uslovi za reavanje prethodno definisanog modela transportnog problema predstavljeni su preko narednih teorema.

2.2. Odreivanje poetnog bazinog reenja

Postupak odreivanja poetnog bazinog reenja transportnog problema predstavlja poetno rasporeivanje (prevoz) ponuene homogene robe od strane pojedinih ishodita na razliita mesta tranje. Pri tome, bez obzira na nain odreivanja poetnog reenja neophodno je da ukupne koliine robe po vrstama i kolonama tabele transportnog problema odgovaraju ukupno iskazanim iznosima ponude i tranje, kao i da ukupno popunjenih polja bude tano 1+ nm .

Od razliitih metoda koji se mogu koristiti za odreivanje poetnog bazinog reenja razmotriemo tri metoda:

metod severozapadnog ugla metod minimalnih trokova

17

2.2.1. Metod severozapadnog ugla

Metod severozapadnog ugla (dijagonalni metod) predstavlja takav postupak odreivanja poetnog bazinog reenja u kome rasporeivanje koliina robe za prevoz preko razliitih puteva zapoinjemo iz levog gornjeg (severozapadnog) ugla tabele, odnosno polja (1,1). Nakon toga, u 1+ nm koraka idui dijagonalno rasporeuju se koliine robe u razliita polja tabele koja odgovaraju razliitim putevima. Postupak se zavrava nakon iscrpljivanja svih ponuenih koliina robe u pojedinim ishoditima, odnosno nakon zadovoljenja ukupne tranje pojedinih odredita.

U polje (1,1), zapoinjui postupak odreivanja poetnog bazinog reenja metodom severozapadnog ugla, unosimo manji od iznosa ponude odnosno tranje koji odgovaraju prvoj vrsti i prvoj koloni tabele, odnosno imamo da je x11 = min (a1, b1).. Ukoliko je 1a < 1b tada je 111 ax = , tj. tada u prvom koraku iscrpljujemo ukupnu ponudu prvog ishodita, zbog ega koliine koje odgovaraju narednim poljima prve vrste moraju biti jednake nuli. Procedura se nastavlja prelaskom na naredno polje prve kolone u koje unosimo ),min( 111221 xbax = . Suprotno, ako je 1a > 1b , tada e preostala polja prve kolone ostati prazna, tj. odgovarajue promenljive e biti jednake nuli, dok e se u naredno polje prve vrste uneti ),min( 211112 bxax = . U svakom sluaju, metod severozapadnog ugla obezbeuje naizmenino iscrpljivanje ponude (ishodita), odnosno zadovoljavanje tranje odredita. Postupak se zavrava u poslednjem polju po dijagonali (polje (m,n)) u koje se uvek unosi jednaka koliina preostalog iznosa ponude poslednje vrste i preostalog iznosa tranje poslednje kolone.

Osnovna prednost primene metoda severozaoadnog ugla ogleda se u izuzetnoj jednostavnosti postupka odreivanja poetnog bazinog reenja. Znaaj ove osobine posebno dolazi do izraaja kod sloenijih problema transporta u kojima imamo veliki broj ishodita i odredita. Jednostavno bi mogli dokazati da su vektori koeficijenata ijA koji u sistemu ogranienja transportnog problema odgovaraju rasporeenim koliinama po metodu severozapadnog ugla meusobno linearno nezavisni. Na taj nain, svako reenje odreeno ovim metodom jeste bazino mogue reenje transportnog problema.

Da bi predstavili i objasnili nain korienja metoda severozapadnog ugla posluiemo se sledeim primerom:

Primer 2.1. Trgovinsko preduzee snabdeva eerom svoje etiri prodavnice (P1, P2, P3, P4) iz

tri skladita (S1, S2, S3 ). Prodavnice su razliito udaljene od skladita, zbog ega preduzee eli da formulie optimalan program transporta eera za koji e se obezbediti minimiziranje ukupnih transportnih trokova. Mesene koliine eera koje se iz posmatranih skladita mogu transportovati su S1 220t; S2 520t i S3 260t. Na osnovu prosene prodaje, konstatovano je da su potrebe pojedinih prodavnica za nabavkom eera : P1 120t, P2 110t, P3 430t i P4 340t. Na osnovu udaljenosti izmeu pojedinih skladita i prodavnica, transportni trokovi po 1t prevezenog eera na relaciji (i, j ) (i=1,2,3; j=1,2,3,4) su

18

267142312742

34333231

24232221

14131211

============

cccccccccccc

Metodom severozapadnog ugla odrediti poetno bazino reenje.

Reenje Na osnovu uslova formulisanog problema, opti oblik transportnog zadatka

moemo predstaviti u obliku: Odrediti minimalnu vrednost funkcije

343332312423222114131211

2674232742

cxxxxxxxxxxxz

+++++++++++++=

pod uslovom da su zadovoljene jednaine

)4,3,2,1;3,2,1(0340430110120260520220

342414

332313

322212

312111

34333231

24232221

14131211

===++=++=++=++=+++=+++=+++

jixxxx

xxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxx

ij

Ovako formulisan problem, u kome funkcija cilja z predstavlja ukupne transportne

trokove, jeste specifian oblik zadatka linearnog programiranja koji bi se oigledno mogao reiti korienjem simpleks metoda. Od svih sedam jednaina sistema ogranienja prve tri predstavljaju uslove ponude, dok preostale etiri pokazuju nain zadovoljenja i iznose tranje pojedinih prodavnica. I na ovom primeru bi jednostavno mogli pokazati da ima tano 61 =+ nm linearno nezavisnih jednaina, koliko u svakom od reenja mora biti bazinih promenljivih.

U cilju jednostavnijeg reavanja odnosno odreivanja nenegativnih vrednosti promenljivih )4,3,2,1;3,2,1( == jixij za koje su zadovoljene sve jednaine a funkcija cilja ima minimum uslove naeg primera predstaviemo u obliku tabele

19

Tabela 2.2. Prodavnice Skladita

P1 P2 Pn Ponuda

S1

2 4 7 2 x11 x12 x13 x14 220

S2

1 3 2 4 x21 x22 x23 x24 520

S3

1 7 6 2 260 x31 x32 x33 x34

Tranja 120 110 430 340

U levi gornji ugao polja tabele, koja predstavljaju relacije izmeu pojedinih skladita i prodavnica, uneti su odgovarajui trokovi prevoza 1t eera. U desni ugao polja unosi se koliina prevezenog eera, tj. odgovarajua vrednost promenljive ijx . Postupak odreivanja poetnog bazinog reenja metodom severozapadnog ugla, kao to je naglaeno, zapoinje se iz polja (1,1) u koje se unosi koliina

120)120,220min(),min( 1111 === bax

Na taj nain u prvom koraku je zadovoljena tranja prve prodavnice, zbog ega

preostala polja prve kolone moraju ostati prazna. Kako je u prvom skladitu ostalo 100t eera, idemo na naredno polje prve vrste, tj. polje (1,2), u koje unosimo

100)110,100min(),min( 211112 === bxax

Ponuda eera prvog skladita sada je u potpunosti iskoriena, dok drugoj

prodavnici treba isporuiti jo eera, zbog ega idemo na naredno polje druge kolone (polje (2,2)), u koje unosimo

10)10,520min(),min( 122222 === xbax

Na slian nain odreujemo vrednosti preostalih promenljivih, tj. popunjavamo

preostala polja tabele, pa imamo

260)260,260min(),min(80)340,80min(),min(

430)430,510min(),min(

244334

42322224

322223

======

===

xbaxbxxax

bxax

20

Oigledno, metodom severozapadnog ugla dobili smo vrednosti 61 =+ nm promenljivih, zbog ega ovakvo reenje moemo smatrati bazinim moguim reenjem. Preostale promenljive su nebazine, tj. jednake nuli

0333231211413 ====== xxxxxx

Ako vrednosti ovako izraunatih promenljivih unesemo u polja nae tabele, poetno bazino reenje e biti

Tabela 2.3.

Prodavnice Skladita

P1

P2

P3

P4

Ponuda

S1

2 4 7 2 120 100 220

S2

1 3 2 4 10 430 80 520

S3

1 7 6 2 260 260

Tranja 120 110 430 340

Ukupna ponuda eera pojedinih skladita, prema predstavljenom poetnom bazinom reenju, rasporeena je na nain koji obezbeuje zadovoljenje tranje za eerom pojedinih prodavnica. Ukupni transportni trokovi, koji odgovaraju ovako formulisanom programu transporta eera, izraunavaju se uvrtavanjem vrednosti izraunatih promenljivih u funkciji cilja, tj. jednostavnim mnoenjem rasporeenih koliina za prevoz i transportnih trokova po 1t prevezenog eera. Tako, imamo da je

23702260480243031041002120 =+++++=z

Prema tome, poetno bazino reenje odreeno metodom severozapadnog ugla

podrazumeva obezbeenje svih 120t eera tranje prve prodavnice iz prvog skladita; u drugu prodavnicu treba prevesti 100t eera iz prvog i 10t eera iz drugog skladita; u treu prodavnicu treba prevesti svih 430t potrebnog eera iz drugog skladita, dok potrebe za eerom etvrte prodavnice treba zadovoljiti sa 80t iz drugog i 260t iz treeg skladita. Trokovi transporta takvog rasporeda prevoza eera iznose 2370 dinara. Da li je takvo reenje optimalno, odnosno da li postoji mogunost odreivanja programa distribucije robe za koji e trokovi transporta biti nii, zakljuuje se preko nekog od metoda optimizacije transporta, o emu e biti rei u nastavku.

21

2.2.2. Metod minimalnih trokova

U postupku odreivanja poetnog bazinog reenja metodom severozapadnog ugla prilikom rasporeivanja koliina robe za prevoz ne uzimaju se u obzir iznosi transportnih trokova na pojedinim putevima. Metod minimalnih trokova podrazumeva prevashodno korienje puteva (polja tabele) kojima odgovaraju najmanji trokovi po jedinici prevezene robe. Zbog toga, ovaj metod u optem sluaju obezbeuje dobijanje poetnog bazinog reenja koje je blie optimalnom reenju u odnosu na odgovarajue reenje dobijeno metodom severozapadnog ugla.

Postupak odreivanja poetnog bazinog reenja metodom minimalnih trokova zapoinje korienjem puta kojem odgovaraju najmanji trokovi, pri emu u odgovarajue polje tabele unosimo maksimalno moguu koliinu (manji od iznosa ponude i tranje) za prevoz. Naizmeninim popunjavanjem preostalih praznih polja kojima odgovaraju najmanji transportni trokovi, u 1+ nm koraka dolazi se do poetnog bazinog reenja. Kao to vidimo, odreivanje poetnog bazinog reenja primenom ovog metoda podrazumeva prethodnu i sukcesivnu analizu trokova transporta robe, to u problemima veih dimenzija oteava postupak i poveava mogunost pogrenog rasporeivanja. Prednost ovog metoda ogleda se injenici da njegova primena obezbeuje znaajno skraivanje postupka odreivanja optimalnog reenja.

Postupak odreivanja poetnog bazinog reenja korienjem metoda minimalnih trokova predstaviemo koristei prethodno formulisani primer 2.1. Na osnovu prethodne analize vidimo da minimalni trokovi odgovaraju poljima (2,1) i (3,1), zato to je

13121 == cc , tako da postupak odreivanja reenja moemo zapoeti korienjem nekog od ova dva polja. Ako izaberemo polje (2,1) tada je

120)120,520min(),min( 1221 === bax

to obezbeuje zadovoljenje tranje prvog odredita, zbog ega promenljive koje odgovaraju preostalim poljima prve kolone moraju biti jednake nuli. Od preostalih polja najmanji su trokovi transporta u poljima (2,3), (3,4) i (1,4). Ako se odluimo za polje (2,3), to obezbeuje rasporeivanje vee koliine robe za prevoz, imamo

80)80,220min(),min(260)340,260min(),min(

400)430,400min(),min(

344114

4334

321223

======

===

xbaxbax

bxax

Raspored preostalih koliina za prevoz u naoj tabeli je oigledno determinisan

ciljem za ispunjavanjem zahteva druge i tree prodavnice, tj. nezadovoljene tranje drugog i treeg odredita, zbog ega je

30)30,30min(),min(110)110,140min(),min(

2331412113

214112

======

xbxxaxbxax

22

Na taj nain izraunate su vrednosti svih 6 bazinih promenljivih, na osnovu ega tabelu koja predstavlja poetno bazino reenje odreeno metodom minimalnih trokova moemo predstaviti u obliku

Tabela 2.4. Prodavnice Skladita

P1

P2

P3

P4

Ponuda

S1

2 4 7 2 110 30 80 220

S2

1 3 2 4 120 400 520

S3

1 7 6 2 260 260

Tranja 120 110 430 340

Ukupne transportne trokove koji odgovaraju ovako formulisanom poetnom bazinom reenju dobijamo mnoenjem rasporeenih koliina i transportnih trokova po 1t prevezenog eera, odakle je

22502260240011202807304110 =+++++=z

Na osnovu izraunatog iznosa ukupnih transportnih trokova moemo kon-

statovati da je u naem primeru metodom minimalnih trokova dobijeno povoljnije poetno bazino reenje u odnosu na poetno bazino reenje dobijeno metodom severozapadnog ugla.

2.3. Metodi optimizacije programa transporta

Poetno bazino reenje transportnog problema, odreeno korienjem nekog od

razmatranih metoda, predstavlja poetni korak u algoritmu reavanja transportnog problema, odnosno osnovu za primenu postupka optimizacije i odreivanje optimalnog programa transporta robe. Svi metodi optimizacije zasnivaju se na proveri optimalnosti poetnog bazinog reenja, tj. obezbeivanju naina iterativnog poboljavanja poetno odreenog programa transporta (ukoliko takvo reenje nije optimalno). Stepping stone metod i metod potencijala predstavljaju metode koji se najee koriste u reavanju praktinih problema transporta, zbog ega emo posebnu panju posvetiti razmatranju ova dva metoda.

23

2.3.1 Stepping stone metod (metod skakanja s kamena na kamen)

Ovaj metod se u literaturi moe nai pod razliitim nazivima - metod skakanja s kamena na kamen, metod raspodele, distributivni metod, metod ahovske kule i sl. Sutina ovog metoda sastoji se u postupku ispitivanja uticaja potencijalnog korienja nezauzetih polja tabele (nebazinih promenljivih) na kvalitet reenja, odnosno na ukupne transportne trokove. Primenom ovog metoda u mogunosti smo da odgovorimo na dva pitanja: 1) da li je poetno bazino reenje optimalno i 2) koji je put izmene poetnog bazinog reenja (ukoliko nije optimalno) koji e obezbediti dobijanje poboljanog programa transporta robe. Algoritam se na isti nain primenjuje na poboljano reenje, sve do odreivanja optimalnog programa transporta.

Metod skakanja s kamena na kamen primenjuje se tako to se skakanjem za svako prazno polje tabele koje predstavlja poetno bazino reenje obrazuje poligon ija su sva temena, izuzev poetnog, nalaze u popunjenim poljima. Svi uglovi ovako formiranog poligona, koji ima paran broj temena, su pravi. Za svako prazno polje moe se formirati samo jedan poligon u kome imamo najmanje 4, a najvie nm + temena. Na osnovu ovako formiranog poligona, za svako prazno polje tabele izraunavamo tzv. relativne koeficijente trokova koji pokazuju za koliko jedinica e se ukupni trokovi transporta poveati (smanjiti) ukoliko u odgovarajue polje uvrstimo jednu jedinicu prevezene robe. Relativne koeficijente trokova izraunavamo tako to od transportnog troka koji odgovara poetnom polju naizmenino oduzimamo i dodajemo jedinine transportne trokove koji se nalaze na temenima poligona. Pozitivna vrednost ovako izraunatog relativnog koeficijenta trokova, pokazae da bi angaovanje odgovarajueg polja dovelo do poveanja ukupnih transportnih trokova, dok je u sluaju njegove negativne vrednosti zakljuak suprotan. Prema tome, postojanje makar jednog negativnog relativnog koeficijenta trokova pokazuje da poetno bazino reenje nije optimalno. U sluaju postojanja dva ili vie negativnih relativnih koeficijenata trokova za poboljanje reenja se koristi polje kome odgovara najnia negativna vrednost. Postupak ispitivanja optimalnosti se nastavlja sve do dobijanja reenja u kome su svi relativni koeficijenti trokova nenegativni to predstavlja optimalan program transporta robe.

Postupak primene metoda skakanja s kamena na kamen za optimizaciju transportnog problema predstaviemo na poetnom bazinom reenju prethodnog primera koje je odreeno korienjem metoda minimalnih trokova

24

Tabela 2.6.

Prodavnice Skladita

P1

P2

P3

P4

Ponuda

S1

2 4 7 2 110 30 80 220

S2

1 3 2 4

120 400 520

S3 1 7 6 2

260 260Tranja 120 110 430 340

za koje ukupni transportni trokovi iznose

22502260240011202807304110 =+++++=z

Koristei prethodno opisani metod, za svako prazno polje tabele konstruiemo zatvorene poligone na sledei nain :

1722634227

5127221727244472341272

1314343333

1214343232

21231314343131

2313142424

1213232222

2123131111

=+=+==+=+=

=++=++==+=+==+=+==+=+=

ccccdccccd

ccccccdccccdccccdccccd

Poligoni na osnovu kojih su izraunate vrednosti relativnih koeficijenata su (poetno teme je naglaeno) :

25

(1,1) (1,3) (1,2) (1,3)

(2,1) (2,3) (2,2) (2,3) (1,3) (1,4) (1,3) (1,4) (2,3) (2,3) (2,4) (2,1) (3,1) (3,4) (1,2) (1,4) (1,3) (1,4) (3,2) (3,4) (3,3) (3,4) S obzirom da je broj temena ovako dobijenih poligona paran, oigledno je da nije

vano u kom smeru e se postupak naizmeninog oduzimanja i dodavanja transportnih trokova realizovati. U svakom sluaju trokovi koji se nalaze u susednim temenima u odnosu na polazno polje uvek se uzimaju sa negativnim predznakom.

Najmanji negativni relativni koeficijent jeste 531 =d i odgovara polju (3,1). Kako korienje ovoga polja, prema tome, obezbeuje najvee smanjenje ukupnih transportnih trokova, to ovo polje koristimo za poboljanje programa transporta. Poboljavanje reenja obezbeuje se tako to se u polje (3,1) unosi promenljiva , a zatim bilansirajui koliine prevoza po temenima poligona, na isti nain kao to smo to uradili sa trokovima prevoza, dolazi se do novog reenja. Bilansiranje se vri tako to se od koliina na temenima poligona naizmenino oduzima i dodaje promenljiva . Izjednaavanjem minimalne razlike (30 - ) sa nulom izraunava se vrednost , tj.

30030

==

26

30 80+ 400+ 120 260 -

Novo, poboljano reenje dobija se tako to se u polja na temenima ovako odreenog poligona unesu nove koliine dobijene zamenom = 30, pa imamo

Tabela 2.7. Prodavnice Skladita

P1

P2

P3

P4

Ponuda

S1

2 4 7 2

110- 110+ 220

S2

1 3 2 4

90- 430 520

S3

1 7 6 2 260 30+ 230-

Tranja 120 110 430 340

Na taj nain smo dobili novo poboljano reenje u kome imamo 61 =+ nm

popunjenih polja, u kome je obezbeena ravnotea izmeu ponude i tranje. Da je ovako izraunato reenje povoljnije u odnosu na poetno bazino (polazno) konstatujemo nakon izraunavanja ukupnih transportnih trokova, tj.

21002230130243019021104110 =+++++=z

Kako su ukupni transportni trokovi koji odgovaraju poetnom bazinom reenju,

koje je odreeno metodom minimalnih trokova, iznosili 2250 oigledno je da je reenje dobijeno metodom skakanja s kamena na kamen poboljano (ima nie ukupne transportne trokove). Ukupni transportni trokovi su ovakvim poboljanjem promenjeni za

150)5(303131 === dxz . Postupak ispitivanja optimalnosti reenja, na isti nain se primenjuje i na

poboljano reenje, za ija prazna polja izraunavamo relativne koeficijente trokova u obliku

27

411263422721124

11122435211227

11222

3121233333

1214343232

2131342424

21313414122222

23213134141313

3134141111

=+===+=+==+=+=

=++=++==++=++=

=+=+=

ccccdccccdccccd

ccccccdccccccd

ccccd

Kao to vidimo, jedino polju (2,2) odgovara negativni relativni koeficijent trokova,

te to polje koristimo za poboljanje programa. Imajui u vidu postupak izraunavanja ovog relativnog koeficijenta trokova, bilansiranje koliina za poboljano reenje dobijamo nakon odreivanja

90

090==

na osnovu ega je novo poboljano reenje

Tabela 2.8.

Prodavnice Skladita

P1

P2

P3

P4

Ponuda

S1

2 4 7 2 20 200 220

S2

1 3 2 4 90 430 520

S3

1 7 6 2 260 120 140

Tranja 120 110 430 340

Preraspodelom koliina prevoza, oigledno je da je prethodno nebazina promenljiva x22 sada postala bazina dok je iz baze izala promenljiva x21. Ovakav program transporta predstavlja i njegovo optimalno reenje jer je

32342263422713224

112243144327

11222

23221214343333

1214343232

2212142424

31341412222121

1222231313

3134141111

=++=++==+=+==+=+=

=++=++==+=+==+=+=

ccccccdccccdccccd

ccccccdccccdccccd

28

Vrednosti svih relativnih koeficijenata trokova su pozitivni, pa konstatujemo da dobijeno reenje predstavlja optimalan program transporta robe za koji su ukupni transportni trokovi

20102140112024303902200420 =+++++=z

Prema dobijenom optimalnom reenju, najpovoljnije je iz prvog skladita

transportovati 20t eera u drugu i 200t eera u etvrtu prodavnicu, iz drugog skladita 90t eera u drugu i 430t eera u treu prodavnicu, dok iz treeg skladita treba otpremiti 120t eera u prvu i 140t eera u etvrtu prodavnicu. Realizacija ovog programa transporta obezbeuje ostvarenje minimalnih ukupnih transportnih trokova u iznosu od 2010 din.

2.3.2 Metod potencijala

Metod potencijala (MODI metod) predstavlja postupak za odreivanje optimalnog programa transporta robe na osnovu ve odreenog poetnog programa transporta. Sutina ovog metoda, kao i kod prethodnog, sastoji se u ispitivanju mogunosti poboljavanja ve dobijenog programa transporta, koji se u iterativnoj proceduri, transformie u optimalno reenje. Postupak primene metoda potencijala podrazumeva odreivanje po jednog tzv. mnoitelja za svaku od jednaina ponude i tranje sistema ogranienja modela transporta. Mnoitelji za jednaine ponude ui (i=1,,m) i mnoitelji za jednaine tranje vj (j=1,,n) odnosno za odgovarajue vrste i kolone tabele odreuju se tako da je za svaku bazinu promenljivu, tj. popunjeno polje tabele, zadovoljen uslov

njmivuc jiij ,...,1,...,1 ==+= 2.6.

Kako ovako odreenih mnoitelja ima m+n, dok je broj bazinih promenljivih

(popunjenih polja) u bilo kom od reenja m+n-1, to jednom (poetnom) od mnoitelja dodeljujemo proizvoljnu vrednost3 (uobiajeno nula). Preostali mnoitelji se izraunavaju reavanjem m+n-1 jednaina jiij vuc += , pri emu je polje (i,j) popunjeno. Da bi pokazali postupak optimizacije korienjem ovako izraunatih mnoitelja poimo od osnovnog oblika modela transporta, tj.

= =

=m

i

n

jijij xcz

1 1

i

n

jij ax =

=1 2.7.

3 Obino se proizvoljna vrednost uzima za mnoitelj koji odgovara vrsti odnosno koloni u kojoj je broj popunjenih polja najvei.

29

j

m

iij bx =

=1

Ukoliko sada i-tu jednainu ponude pomnoimo mnoiteljem ui (i=1, , m) a j-tu

jednainu tranje mnoiteljem vj (j=1, ,n) i oduzmemo od funkcije cilja dobija se

)()(1111====

+=n

jjj

m

iii

n

jijjiij

m

i

vbuazxvuc 2.8.

Ako sada u jednakosti 2.8. izvrimo smenu prema kojoj je

= =

=+

=

m

i

n

jjjii

jiijij

zvbua

vucc

10

1

'

2.9.

moemo pisati

01

'

1zzxc

n

jijij

m

i=

==

odnosno

zxcn

jijij

m

i=

== 1

'

1 2.10.

Imajui u vidu nae nastojanje da odredimo program sa niim transportnim

trokovima, na osnovu relacije (2.10.) vidimo da izraunata ocena 'ijc za prazno polje (za

popunjeno je 0' =ijc ) tabele pokazuje pogodnost njegovog korienja za izraunavanje poboljanog reenja.

Na osnovu relacije (2.9.) oigledno je da se u cilju ispitivanja mogunosti poboljavanja bilo kog programa transporta za svako prazno polje odgovarajue tabele (nebazina promenljiva) mogu izraunati promenljive 'ijc na osnovu izraunatih simpleks mnoitelja i odgovarajuih transportnih trokova ( jiijij vucc = ). Ukoliko za jedno ili vie praznih polja dobijemo negativnu vrednost potencijala ( 0

30

3) izraunati potencijale ijc za svako prazno polje tabele i 4) koristei polje sa najmanjom negativnom vrednosti potencijala ijc odrediti poboljani program transporta odgovarajuim bilansiranjem koliine prevezene robe. Postupak se realizuje u uzastopnim iteracijama sve dok se ne odredi takav program transporta robe za ija prazna polja tabele imamo nenegativne vrednosti potencijala, tj. 0ijc .

Nain primene metoda potencijala za odreivanje optimalnog programa transporta robe predstaviemo koristei sledei poetni program transporta robe

Tabela 2.9 Prodavnice Skladita

P1

P2

P3

P4

Ponuda

S1

2 4 7 2 110 110 220 u1=0

S2

1 3 2 4 90 430 520 u2=0

S3

1 7 6 2 260

u3=0 30 230

Tranja 120 110 430 340 v1=1 v2=4 v3=2 v4=2

za koji je z=2100.

U cilju ispitivanja optimalnosti ovako odreenog poetnog programa transporta,

tj. odreivanje optimalnog reenja primeniemo prethodno opisani postupak. Tako, za svaku od vrsta i kolona nae tabele odrediemo vrednost odgovarajueg simpleks mnoitelja, imajui u vidu zahtev da za popunjena polja mora biti zadovoljen uslov da je cij=ui+vj.

S obzirom na broj mnoitelja i broj bazinih promenljivih, ukoliko pretpostavimo

da je u1=0 (proizvoljno u startu opredeljujemo vrednost jednog mnoitelja), preostale mnoitelje preko popunjenih polja izraunavamo na sledei nain:

4

040

2

2

2112

=+=

=

vv

vuc

Sada mnoitelj v4 moemo izraunati preko popunjenog polja (1,4), tj.

31

2

0020

4

4

4114

==

=

vv

vuc

Mnoitelje u3, v1, u2 i v3 izraunavamo uzastopnim korienjem popunjenih polja, tj.

0

0220

3

3

4334

==

=

uu

vuc

1

0010

1

1

1331

==

=

vv

vuc

0

0110

2

2

1221

==

=

uu

vuc

2

0020

3

3

3223

==

=

vv

vuc

Ovako izraunate simpleks mnoitelje uneli smo u dodatne vrste i kolone nae

tabele u kojoj je predstavljeno poetno reenje. Sada izraunavamo potencijale 'ijc za prazna polja nae tabele koristei relaciju

jivucc jiijij ,

' = . Tada dobijamo

11021111'11 === vucc

52073113'13 === vucc

14032222'22 === vucc

22044224'24 === vucc

34072332'32 === vucc

42063333'33 === vucc

Negativna vrednost potencijala 1'22 =c pokazuje da predstavljeni poetni program

transporta robe nije optimalno reenje, ve se za poboljanje programa treba iskoristiti (popuniti) polje (2,2). Vrednost promenljive x22 koja ulazi u bazu, tj. koliinu koju emo

32

uneti u polje (2,2), dobijamo bilansiranjem koliina na isti nain kao kod metoda skakanja s kamena na kamen. ema poligona na osnovu koga e se izvesti ovo bilansiranje ima oblik

110 - 110+ 90 - 30 - 230 -

Kako je najmanja razlika 90 - , to imamo

90

090=

=

na osnovu ega je poboljani program transporta prikazan u tabeli 2.10.

Za ovako dobijeno reenje ukupni transportni trokovi iznose z = 2010. U cilju ispitivanja optimalnosti ovako dobijenog (poboljanog) reenja, pretpostavljajui sada da je u2 = 0, odredili smo vrednosti ostalih simpleks mnoitelja, koji su predstavljeni u dodatnoj vrsti, odnosno koloni tabele. Vrednosti potencijala za prazna polja sada e biti :

10121111'11 === vucc

42173113'13 === vucc

20021221'21 === vucc

30144224'24 === vucc

33172332'32 === vucc

32163333'33 === vucc

33

Tabela 2.10. Prodavnice Skladita

P1

P2

P3

P4

Ponuda

S1

2 4 7 2 20 200 220 u1=1

S2

1 3 2 4 90 430 520 u2=0

S3

1 7 6 2 260

u3=1 120 140

Tranja 120 110 430 340 v1=0 v2=3 v3=2 v4=1

Kako su sve vrednosti izraunatih potencijala za prazna polja tabele pozitivne,

konstatujemo da prethodno dobijeno reenje predstavlja optimalni program transporta robe od skladita do prodavnica. Svakako, optimalan program transporta je istovetan bez obzira koji metod optimizacije koristimo, tako da ovo reenje u potpunosti odgovara reenju odreenom metodom skakanja s kamena na kamen.

2.4. Otvoreni model transporta

Prilikom prethodnih razmatranja metoda za reavanje transportnog problema, u svim navedenim primerima ukupna ponuda bila je jednaka ukupnoj tranji. Takav oblik transportnog problema, kao to smo kazali, predstavlja zatvoreni oblik modela transporta u kome raspodela robe koja postoji u pojedinim mestima ponude omoguuje zadovoljenje celokupne tranje svih potroaa (mesta tranje).

Kada nije zadovoljen uslov o postojanju jednakosti izmeu ukupne ponude i ukupne tranje, tj.kada je

==

n

jj

m

ii ba

11

tada kaemo da se radi o tzv. otvorenom modelu transporta. Kako ukupna ponuda moe biti manja ili vea od ukupne tranje, razlikujemo i dva razliita oblika otvorenog transportnog problema, i to:

a) otvoreni model transpoita u kome je ukupna ponuda vea od ukupne tranje, tj.

==

>n

jj

m

ii ba

11

b) otvoreni model transporta u kome je ukupna ponuda manja od ukupne tranje,

tj.

34

==

n), odnosno

=

==

suprotnomu0izvriocutomidodeljenposaotijjeako1

,...,111

ij

n

jij

x

mix

49

b) broj poslova je vei od broja izvrilaca, odnosno

=

==

suprotnomu0izvriocutomidodeljenposaotijjeako1

,...,111

ij

m

iij

x

njx

U oba sluaja, slino kao kod otvorenog modela transporta, problem se reava uvoenjem neophodnog broja fiktivnih poslova, odnosno fiktivnih izvrilaca. Na taj nain otvoreni model asignacije se transformie u zatvoreni, nakon ega se primenjuje istovetan algoritam reavanja kao kod zatvorenog modela. Postupak odreivanja optimalnog reenja predstaviemo na modelu u kome je broj izvrilaca manji od broja poslova .

Primer 3.2. Jedno transportno preduzee ima u jednom trenutku 4 slobodna kamiona. Kamioni se nalaze u garaama G1, G2, G3 i G4, koje su u razliitim mestima. Potrebno je uputiti po jedan kamion na pet razliitih utovarnih mesta M1, M2, M3, M4 i M5. Rastojanja garaa od utovarnih mesta su razliita. U tabeli 3.2 nalaze se podaci o rastojanjima (cij) izmeu utovarnih mesta i garaa. Tabela 3.2 Utovarna mesta Garae

G1 G2 G3 G4 M1 12 11 12 13 M2 9 16 10 13 M3 11 10 9 10 M4 15 13 12 13 M5 11 14 11 15

Potrebno je odrediti iz kojih garaa i na koja utovarna mesta treba uputiti

kamione, pa da preeni put svih kamiona bude najmanji, kao i koje utovarno mesto nee dobiti kamion.

Reenje: Problem se reava tako to se proiri matrica iz tabele 2 jo jednom kolonom koja predstavlja nepostojeu garaU, ija je udaljenost od svih utovarnih mesta jednaka nuli. Na taj nain se dobija kvadratna matrica, koja ima isti broj vrsta i kolona, pa se problem

Nova, proirena matrica je

50

C1=

0151114110131213150109101101310169013121112

Proirenjem originalne matrice C jo jerdnom kolonom, dobijena je matrica C1 koja ve ima nulu u svakoj vrsti. Zato se transformacija koeficijenata cij matrice C1 vri samo po kolonama. Poto se odrede minimalni elementi po kolonama i oduzmu od odgovarajuih elemenata svake kolone, dobija se matrica C2 u kojoj je izvrena kategorizacija nula na nezavisne i zavisne. Nezavisne nule se nalaze u poljima (1.5.), (2.1.) i (3.2.). Sistem linija koje pokrivaju sve nule u matrici C2 dobijen je na sledei nain:

IV i V vrsta nemaju nezavisnih nula. Treba oznaiti IV i V vrstu

IV i V vrsta imaju zavisne nule u V koloni, u poljima (4.5.) i (5.5.). Treba precrtati V kolonu.

V kolona ima nezavisnu nulu u I vrsti, u polju (1.5.). Treba oznaiti I vrstu.

Precrtati neoznaene vrste (II i III)

U matrici C2 treba izvriti novu kategorizaciju nula na nezavisne i zavisne. Poto je broj nezavisnih nula manji od pet, treba odrediti sisitem linija kojima e biti pokrivene sve nule u toj matrici. Zatim najmanji neprecrtani elemenat (c12=1) oduzmemo od neprecrtanih elemenata i dodamo elementima na preseku linija i dobijamo matricu C3, kako sledi

51

Jo uvek nije pronaeno optimalno reenje. Odreen je sistem linija kojima su precrtane sve nule u matrici C3. Najmanji neprecrtani elemenat je c51=c53=1. Nakon izvrene transformacije dobijena je matrica C4

Reenje iz matrice C4 je optimalno reenje. ine ga promenljive

x12=1, x21=1, x34=1, x45=1, x53=1

a minimalna vrednost funkcije cilja je 41. Optimalno reenje znai da e -u utovarno mesto M1 biti poslat kamion iz garae G2 -u mesto M2 kamion iz garae G1 -u mesto M3 kamion iz garae G4 -u mesto M5 kamion iz garae G3. -u mesto M4 nee biti poslat nijedan kamionm jer garaa G5 ne postoji. Minimalna vrednost funkcije cilja oznaava najkari put koji e prei svi kamioni

od garaa do utovarnih mesta.

52

4.MODELI ZALIHA

4.1. O problemu zaliha

Upravljanje zalihama predstavlja veoma vanu oblast Operativnog menadmenta, pre svega zbog vrednosti zaliha kojima preduzee raspolae. Na trokove zaliha odnosi se veliki deo ukupnih trokova proizvodnje, pa je zbog toga problem zaliha jedan od najznaajnijih ekonomskih problema, kome je potrebno posvetiti dunu panju.

U industrijski razvijenim zemljama, upravljanju zalihama se poklanja znatno vea panja nego u manje razvijenim zemljama.

Osnovni problem koji se reava upravljanjem zalihama jeste vremenski nesklad koji postoji izmeu tranje i snabdevanja, odnosno nesklad izmeu potreba i raspoloivog materijala koji se koristi u procesu proizvodnje. Upravljanje zalihama treba da obezbedi neophodne sirovine i drugi materijal, tako da se proces proizvodnje moe odvijati ravnomerno i bez prekida.

Osnovni cilj upravljanja zalihama moe se definisati na sledei nain: neophodno je obezbediti dovoljnu koliinu potrebnih materijala tako da se proces proizvodnje odvija neprekidno i ravnomerno, pri emu treba ispuniti i zahtev za minimizacijom ukupnih trokova zaliha.

Savremeni pristupi upravljanja zalihama, znaajno se oslanjaju na intenzivno korienje informacionih sistema i pogodnih matematikih modela. Prvi matematiki model za raunanje optimalnih zaliha, nastao je poetkom dvadesetog veka. Znaajan razvoj desio se 50-tih i 60-tih godina u okviru Operacionih istraivanja. Interesovanje za ovu oblast ne prestaje ni danas. Uzrok tome je svakako znaaj koji zalihe imaju.

Znaaj funkcije upravljanja zalihama proizilazi iz -vrednosti zaliha kojima preduzee raspolae i -trokova zaliha, koji su bitan deo ukupnih trokova proizvodnje. Kako definiemo zalihe? Zalihe su roba koja se u odreenom vremenskom periodu nalazi u skladitima

firme, sa ciljem da kasnije bude upotrebljena. To su sirovine, materijal, poluproizvodi, odnosno gotovi proizvodi, koji se nalaze u skladitu preduzea u odreenom trenutku.

Firma dri zalihe da bi mogla da obavlja posao zbog koga postoji, bilo da se radi o proizvodnji dobara ili o pruanju usluga.

Zalihe su neophodne da bi se spreili zastoji u procesu proizvodnje. Prema nameni, zbog kojih ih preduzee dri na skladitu, zalihe se dele na -proizvodne -trine Proizvodne zalihe su zalihe koje se dre za interne potrebe i koriste se za

sopstvenu proizvodnju. Tu spadaju sirovine, repromaterijal, rezervni delovi i slino, koji treba da obezbede nesmetano odvijanje procesa proizvodnje tokom celog posmatranog perioda proizvodnje. U protivnom moe doi do zastoja u proizvodnji, to moe biti uzrok mnogih gubitaka i drugih negativnih posledica.

Ovaj problem se esto moe reiti tkz. hitnim nabavkama. Meutim, takav nain poslovanja ima za posledicu poveanje trokova zaliha koji ponekad mogu biti vei i od gubitaka zbog zastoja u proizvodnji.

53

Neopravdano dranje velikih, odnosno nepotrebnih zaliha ima za posledicu: zamrzavanje velikih finansijskih sredstava poveanje trokova osiguranja poveanje trokova skladitenje i uvanja zaliha gubitke u koliini i kvalitetu zbog dugog vremena stajanja zaliha na

skladitu.

Trine zalihe, to su zalihe koje su namenjene tritu, odnosno kupcu. To su najee gotovi proizvodi. Zbog nedostatka ovih zaliha nee doi do prekida u procesu proizvodnje, ali moe doi do gubitka ugleda firme, gubitka kupaca pa time i do gubitka dobiti. Prema tome, osnovni problem u poslovanju zalihama jeste da se obezbedi takav obim i vreme nabavke zaliha koji e zadovoljiti sve potrebe proizvodnje, ako se radi o proizvodnim zalihama ili sve potrebe kupaca i tranju, ako se radi o trinim zalihama, a da pri tome ukupni trokovi, koji se sastoje od trokova porudbine ili nabavke zaliha, trokova uvanja zaliha, trokove hitnih nabavki, budu minimalni. Skup pravila i procedura kojima se u jednom preduzeu reavaju zadaci u vezi sa obezbeenjem neophodnih zaliha potrebnih za nesmetano odvijanje proizvodnog procesa, ili zadovoljanje tranje na tritu, naziva se sistem za upravljanje zalihama ili strategija upravljanja zalihama. Strategija upravljanja zalihama treba da odgovori na dva pitanja. To su: -koliko poruiti, koju koliinu -kada poruiti, u kom trenutku vremena

Klasian pristup upravljanja zalihama polazi od iskustvenog stava da od vika ne boli glava. Iz ovog proizilazi da preduzea treba da raspolau zalihama u koliinama veim nego to su trenutno neophodne. Tako se izbegavaju mogui zastoji u proizvodnji ali se poveavaju trokovi. To su tkz. sigurnosne zalihe, koje moda nikada nee biti iskoriene.

Savremeni pristup upravljanja zalihama polazi od toga da se planiranje proizvodnje i upravljanje zalihama potpuno integriu. Odnosno promovie se koncept u pravom trenutku. U takvoj proizvodnji bi sve bilo tano predvieno i isplanirano do perfekcije pa je ovaj koncept jo uvek ideal kome treba teiti.

4.2.Trokovi zaliha

Cilj svakog preduzea, odnosno svake strategije za upravljanje zalihama jeste da ukupni trokovi budu to je mogue manji. Ona strategija koja obezbeuje minimum ukupnih trokova zaliha naziva se optimalna strategija za upravljanje zalihama. To znai da optimalna strategija upravljanja zalihama treba da odgovori na dva osnovna pitanja: -koliko poruivati -kada poruivati ali pod uslovom da ukupni trokovi budu minimalni.

Da bi mogli da reimo ovaj problem, odnosno da bismo mogli da postavimo odgovarajui matematiki model zaliha, potrebno je prethodno poznavati sve vrste trokova zaliha i naine njihovog odreivanja.

54

U analizi trokova zaliha pojavljuje se vie razliitih kategorija trokova od kojih su najznaajniji

trokovi nabavke (naruivanja) trokovi uvanja (skladitenja) trokovi nastali zbog nedostatka zaliha.

Svaka od navedenih kategorija trokova, u zavisnosti od prirode problema koji se reava ima odreene specifinosti od kojih zavisi veliina ovih trokova.

Osim pomenutih specifinosti, postoje i neke zajednike osobine za svaku od navedenih kategorija trokova koje emo u nastavku izlaganja u najkraim crtama izloiti.

Trokovi nabavke obuhvataju sve trokove koji nastaju od trenutka utvrivanja potrebe za robom do trenutka dobijanja robe na skladitu firme. Tu spadaju:

trokovi administracije tj. plate u nabavnoj slubi trokovi kancelarijskog materijala utroenog radi nabavke PTT trokovi tj. trokovi komuniciranja sa dobavljainma trokovi transporta zaliha od dobavljaa do magacina

Ovi trokovi ne zavise od koliine materijala (zaliha) koja se poruuje u jednoj porudbini.

Trokovi nabavke zaliha se u praksi najee odreuju na taj nain to se ovi trokovi prate u duem vremenskom periodu (tri do est meseci ili due) a zatim se tako dobijeni ukupni trokovi podele sa brojem porudbina u tom vremenskom periodu i tako se dobiju proseni trokovi

Trokovi dranja zaliha (trokovi skladitenja) nastaju iz potrebe uvanja odnosno odravanja zaliha. im preduzee ima zalihe ono mora da vodi rauna o njima, da ih uva i odrava. Za to je potreban odreeni skladini prostor a takoe i ljudi koji e se brinuti o zalihama. Najznaajnije stavke trokova dranja zaliha su

trokovi kapitala trokovi skladinog prostora trokovi zaposlenih tj. plate zaposlenih na uvanju zaliha

Do trokova kapitala dolazi zato to prilikom nabavke zaliha preduzee koristi znaajna finansijska sredstva koja su u vremenskom periodu dok se zalihe nalaze u skladitima zamrznuta a mogla bi u tom vremenskom periodu biti upotrebljena na bolji nain. Trokovi kapitala su izgubljena dobit zbog zamrzavanja odreenih finansijskih sredstava u odreenom vremenskom periodu.

Ovi trokovi zavise od koliine zaliha koje se uvaju na skladitu. Trokovi dranja zaliha dobijaju se tako to se saberu sve vrste trokova i tako

dobijeni ukupni trokovi uvanja zaliha se podele sa koliinom zaliha i vremenskim periodom u kome se uvaju, pa se dobiju trokovi po jedinici zaliha u jedinici vremena.

Trokovi nedostatka zaliha (trokovi hitnih nabavki) predstavljaju trokove koje je najtee odrediti. Tu spadaju

trokovi nastali zbog zastoja ili prekida u proizvodnji iji je uzrok nedostatak zaliha

trokovi vanrednih ili urgentnig nabavki zaliha. Trokovi izazvani prekidom ili zastojem proizvodnje, bez obzira na uzroke

prekida proizvodnje, mogu biti vrlo veliki i izuzetno su znaajni za veinu preduzea, jer pored izgubljene dobiti zbog prekida proizvodnje, kod nekih preuzea mogu se pojaviti i

55

dodatni trokovi zbog prekida tehnolokog procesa, kao i trokovi ponovnog pokretanja tehnolokog procesa.

Ovi trokovi su po jedinici materijala znatno vei od trokova koji nastaju pri redovnim nabavkama.

Primer 4.1: Trgovinsko preduzee je u obavezi da trite snabdeva proizvodom A.

Ispitivanjem tranje utvreno je da u toku odreenog vremenskog perioda (T), koji najee iznosi jednu godinu, potranja za proizvodom A mora biti zadovoljena, kontinualna i konstantna, i da potranja iznosi Q jedinica. Trgovinsko preduzee ovaj problem moe da rei na dva naina:

da odmah porui celokupnu koliinu (Q) proizvoda A i da je dri na skladitu, pa trite snabdeva sa skladita, tokom vremenskog perioda T

da tokom vremena T naruuje odreene koliine proizvoda A i isporuuje ih tritu.

U prvom sluaju preduzee e imati izuzetno visoke trokove skladitenja, jer se velika koliina proizvoda A, u duem vremenskom periodu, uva na skladitu. Osim toga, preuzee e imati i velike trokove kapitala, jer se velika finansijska sredstva biti zamrznuta u duem vremenskom periodu. Trokovi naruivanja u ovom sluaju bie mali jer se radi o samo jednoj porudbini. U drugom sluaju, gde se radi o vie porudbina tokom vremena T, trokovi naruivanja e biti vei, ali trokovi skladitenje i trokovi kapitala e biti znatno nii nego u prvom sluaju.

Primer 4.2: Neka je neko proizvodno preduzee preuzelo obavezu da, u odreenom

vremenskom periodu T proizvede i isporui ukupno Q jedinica proizvoda A, pri emu ove isporuke moraju biti kontinualne i konstantne tokom itavog perioda T, ono moe:

odmah u jednoj proizvodnoj seriji da proizvede celokupnu koliinu (Q) proizvoda A, da ga uva na skladitu i isporuuje u potrebnim koliinama tokom vremena T

u toku vremenskog perioda T moe da organizuje proizvodnju proizvoda P u vie manjih proizvodnih serija i tako ispuni svoju ugovorenu obavezu.

I ovde e u prvom sluaju biti veliki trokovi zaliha i trokovi kapitala, dok e u drugom reenju ovi trokovi biti manji ali e zato biti uveani trokovi pripreme proizvodne serije.

Problem zaliha nije mogao biti reen formiranjem jednog modela, koji bi bio univerzalan i pogodan za sve probleme. Naprotiv, problem je reen tako, to je, u zavisnosti od karakteristika pojedinih problema zaliha, formiran vei broj razliitih modela za upravljanje zalihama.

Napisan je veliki broj knjiga i naunih radova, teorijskog i aplikativnog karaktera, iz ove naune oblasti, a posebno je razraen veliki broj matematikih modela za optimizaciju zaliha.

Tako su razvijeni modeli zaliha sa deterministikom i stohastikom tranjom. Od modela sa deterministikom tranjom bie analizirani modeli sa konstantnom tranjom u fiksnom vremenskom periodu, sa i bez mogunosti hitnih nabavki zaliha dok

56

e se modeli sa stohastikom tranjom analizirati i za diskretne (prekidne) i kontinualne (neprekidne) sluajeve.

4.3.Matematiki modeli zaliha

Zalihe predstavljaju izuzetno vaan faktor i za proizvodnju i za potronju, pa je

zbog toga jasno da sve organizacije i preduzea, koji posluju sa zalihama, nastoje da se to poslovanje odvija na optimalnom nivou, odnosno uz minimalne ukupne trokove zaliha. Jedan od najboljih naina da se to postigne, odnosno da se odredi optimalna strategija upravljanja zalihama jeste korienje odgovarajuim matematikih modela zaliha.

4.2.1.Deterministiki modeli zaliha sa konstantnom tranjom i fiksnim vremenskim periodom

Ovo je najjednostavniji model zaliha. Koristi se i za proizvodne i za trine zalihe.

Kada se koristi za trine zalihe naziva se model optimalne ili ekonomine koliine naruivanja, a kada se koristi za optimizaciju proizvodnih zaliha naziva se model za odreivanje optimalne veliine proizvodne serije.

Uvedimo oznake: Q-ukupna koliina sirovine potrebna za planiranu proizvodnju u posmatranom periodu x-koliina odreene sirovine koja je potrebna u jednom periodu od t vremenskih jedinica

T-planski (vremenski) period naruivanja t- trajanje jednog perioda vremena za koji se vri jedna nabavka

n-broj perioda od t-vremenskih jedinica u posmatranom intervalu T C0-trokovi jedne redovne nabavke sirovine C1-trokovi skladitenja jedinice sirovine u jedinici vremena C2-trokovi naknadne (hitne) nabavke jedinice sirovine u jedinici vremena y-raspoloiva koliina sirovine nakon prijema poruene kojiine P-nabavna cena jedinice sirovine

Pretpostavke koje su potrebne da bi se formirao model za upravljanje zalihama sa konstantnom tranjom i fiksnim vremenskim periodom su:

1. Potronja sirovine je unapred poznata i jednaka je u svim periodima. 2. Potrebnu koliinu sirovine za jedan period naruujemo odjednom. Sirovina se

dobija bez odlaganja u toku istog dana. Vreme poruivanja i vreme nabavke se zanemaruju.

3. Naredna porudbina sirovine pristie u magacin tek kada je prethodna potpuno utroena. Zato u modelu nema ni poetnih ni zavrnih zaliha.

4. Nisu dozvoljene naknadne (hitne) nabavke. 5. Trokovi skladitenja su proporcionalni sa koliinom sirovine koja se skladiti.

Problem se sastoji u tome da se odredi optimalna veliina porudbine x0 koja e da

minimizira ukupne trokove zaliha, koji se sastoje od trokova naruivanja i trokova skladitenja, za ceo planski period T.

57

Ovako pojednostavljeni problem moe se grafiki prikazati kao na slici 4.1.

Slika 4.1. Model zaliha sa konstantnom tranjom i fiksnim vremenskim periodom

Problem se moe formulisati na sledei nain: Za posmatrani interval vremena

koji iznosi T vremenskih jedinica, prduzeu je potrebno ukupno Q jedinica neke sirovine. Potrebno je odrediti reim nabavke sirovine.

Kao to je prethodno reeno, postoje dve mogunosti: -da se celokupna koliina sirovine Q nabavi odjednom -da se u okviru vie nabavki obezbedi ista koliina Ako se potrebna koliina sirovine obezbeuje u okviru vie nabavki, onda je

potrebno posmatrani interval vremena T podeliti na n-meusobno jednakih perioda od po t vremenskih jedinica, pri emu je

ntT =

odnosno

tTn = .

Broj perioda n moe se odrediti i kao kolinik xQn = , jer su prema

pretpostavkama, potrebne koliine sirovine x, po periodima, meusobno jednake. Ako su proizvodne serije jednake meu sobom, onda se pretpostavlja da su i

intervali izmeu lansiranja dve proizvodne serije jednaki, odnosno iz relacija

xQn = i

tTn =

sledi

xQ

tTn == tj. Q

Txt = (4.1)

x

T

t t t

58

Prema pretpostavci, stanje zaliha na poetku planskog perioda T jednako je nula, to znai da se odmah lansira prva porudbina koja iznosi x. Tokom vremenskog perioda t, ove zalihe (koje iznose x-jedinica) se troe, tako da su na kraju perioda t ponovo jednake nuli. Nakon toga, lansira se nova porudbina i ceo proces se ponavlja sve do isteka planskog perioda T. Kako je veliina zaliha na poetku vremenskog perioda t jednaka x a na kraju

perioda iznosi nula, prosene zalihe tokom intervala t su 22

0 xx=

+ .

Sledi da e trokovi skladitenja zaliha za jedan vremenski interval (t, napr. broj dana) biti

tCx 12 gde su C1-trokovi skladitenja. Ukupni trokovi za vremenski period t dobijaju se ako se trokovima skladitenja dodaju trokovi naruivanja, tj. trokovi redovne nabavke C0

tCxCxf 10 2)( +=

Ukupni trokovi zaliha u celom planskom periodu T, u kome postoji tano n-porudbina iznose

ntCxCxF

+= 10 2

)( (4.2)

Ako se u prethodnoj jednaini zameni t sa QTxt = i n sa

xQn = , dobija se

xQTC

QxCxF

+= 1

2

0 2)( , odnosno

xQCTxCxF 01

2)( += . (4.3)

U ovoj jednaini jedina nepoznata veliina je x, to znai da je minimizacijom ove funkcije po x mogue odrediti optimalnu veliinu porudbine x0, a zatim i minimalne ukupne trokove zaliha za ceo period T. Uslov da bi funkcija (3) ima min je da je prvi izvod funkcije po x jednak nuli, a drugi izvod vei od nule. Prvi izvod funkcije F(x) je

02 2

01 =x

QCTC

odakle se dobija optimalna veliina narudbine x0, kako sledi

TCQCx

1

00

2= (4.4)

59

Zamenom vrednosti x0 u funkciji ukupnih trokova zaliha F(x) dobie se ukupni minimalni trokovi zaliha F(x) koji iznose

QTCCxF 100 2)( = . (4.5) Optimalni broj narudbi (n0), kao