Onde elettromagnetiche

n  Equazione delle onde per i campi n  Corda vibrante n  Onde piane n  Polarizzazione n  Energia e quantita` di moto - vettore di Poynting n  Velocita` di fase e di gruppo

Equazione delle onde per i campi

n  In assenza di cariche e correnti !! "!E = 0

!! "!B = 0

!!#!E = $ %

!B%t

!!#!B = 1

c2%!E%t

!!"

!!"!E( ) =

!!" #

$!B$t

%

&'

(

)*

!!!! "!E( )! "

!E = !

""t

!#$!B = !

1c2"2!E

!t 2=0

Equazione delle onde per i campi

n  Esattamente allo stesso modo

!!E " 1

c2#2!E

#t 2= 0

!!B " 1

c2#2!B

#t 2= 0

Equazione delle onde per i campi

n  L’equazione dell’onda e` relativisticamente invariante

n  Si introduce l’operatore differenziale d’Alambertiano

!! " #1c2

$2

$t 2

nel vuoto !"E = 0 !

"B = 0

Corda vibrante

! (t, x + dx)

! (t, x)

( , )T t x T=

T (t, x + dx) =T

u(t, x)

u(t, x + dx)

u(t, x + dx)!u(t, x) = "u"xdx

dx

λ dl

! (t, x) piccolo ! sin! (t, x) " tan! (t, x) " ! (t, x) cos! (t, x) ! 1

dl = dxcos!

! dx

!dx !2u!t 2

= "!dxg "T sin! (t, x)+T sin! (t, x + dx)

maverticale = ΣFverticale

tan! (t, x) = !u!x

" ! (t, x)

Corda vibrante

( , )t x dxϑ +

( , )t xϑ

( , )T t x T=

( , )T t x dx T+ =

( , )u t x

( , )u t x dx+

( , ) ( , ) uu t x dx u t x dxx∂

+ − =∂

dx

λ dl

2

2 sin ( , ) sin ( , )udx dxg T t x T t x dxt

λ λ ϑ ϑ∂

= − − + +∂

( )sin ( , ) sin ( , ) sin ( , )t x dx t x t x dxx

ϑ ϑ ϑ∂

+ = +∂

sin ( , ) cos ( , )t x t x dxxϑ

ϑ ϑ∂

= +∂

( , )t x dxxϑ

ϑ∂

≈ +∂

2

2

u u dxx x∂ ∂

≈ +∂ ∂

Corda vibrante

! (t, x + dx)

! (t, x)

T (t, x) =T

T (t, x + dx) =T

u(t, x)

u(t, x + dx)

u(t, x + dx)!u(t, x) = "u"xdx

dx

λ dl

!dx !2u!t 2

= "!dxg "T !u!x

+T !u!x

+T !2u!x2

dx

!2u!x2

"!T!2u!t 2

=!gT

Equazione delle onde (d’Alembert)

!2 f!x2

"1v2!2 f!t 2

= 0

f (t, x) = f1(x ! v t)+ f2(x + v t)

quantita` che si propaga lungo l’asse x positivo con velocita` v

quantita` che si propaga lungo l’asse x negativo con velocita` v

onda progressiva onda regressiva

Onde n  Fissiamo il punto di osservazione x=x0

n  Al variare del tempo si rileva g(t)=f(x0-vt)

n  Se dall’istante t=t0 iniziamo a muoverci verso le x positive con velocita` v

x(t) = x0 + v(t ! t0 )

f (x ! v t)

g(t) = f x(t)! v t( )= f x0 + v(t ! t0 )! v t( )= f (x0 ! v t0 )

= g(t0 )

Si osserva il valore della funzione d’onda nel punto x0 all’istante t0

Il profilo dell’onda trasla nella direzione x positiva con velocita` v

Onde

f (x ± v t)

si chiama fase dell’onda x ± v t

I punti in cui la fase e` costante formano il fronte d’onda

Onde piane n  Onda piana: propagazione di un’onda periodica

con frequenza definita lungo una direzione

!E(!r , t) =

!E0 e

i (!t!!k "!r ) (eix = cos x + i sin x)

!E(x, t) =

!E0 cos(!t ! kx)

0EEOnda sinusoidale:

-  profilo fisso in moto con velocita` v

-  fissato t, sinusoide lungo x

-  fissato x, sinusoide nel tempo

Onde piane

exp i!(t + 2!", x) = exp i!(t, x)

exp i!(t, x + 2!k) = exp i!(t, x)

!(t, x) =!t " kx fase dell’onda

T = 2!"

! =2"k

periodo

frequenza angolare

lunghezza d’onda

numero d’onda

Onde piane

!(t, x) =!t " kx fase dell’onda

n  Fissata la fase, dove la ritroviamo uguale?

d!(t, x) = 0 =!dt " kdx

! = k v velocita` di fase

1 lunghezza d’onda su 1 periodo

v = !k="T

Onde piane !E(t,!r ) =

!E0 e

i (!t!!k "!r )

!!E " 1

c2#2!E

#t 2= 0

!k2!1c2! 2 = 0

! = kc!! "!E = 0 #

!k "!E = 0

il campo elettrico oscilla in un piano ortogonale alla direzione di propagazione

Onde piane !B(t,!r ) =

!B0 e

i (!t!!k "!r )

!!"!E = # $

!B$t

!i!k "!E = !i!

!B

!B =!k!!!E

=k̂c!!E

!! "!B = 0 #

!k "!B = 0

anche il campo magnetico e` ortogonale alla direzione di propagazione

Onde elettromagnetiche

!k !!E = 0

il campo elettrico e magnetico oscillano in un piano ortogonale alla direzione di propagazione

!k !!B = 0

le onde elettromagnetiche sono onde “trasversali”

Onde piane n  Relazioni !

k !!E = 0

!k !!B = 0

!B =!k!!!E

n  campo elettrico e magnetico sono perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione

n  k, E0, B0 formano una terna destrorsa

!!"!E = # $

!B$t

!k !!E0 =!

!B0 k̂ !

!E0 = c

!B0

!!"!B = 1

c2#!E#t

!k !!B0 = "

!c2!E0 k̂ !

!B0 = "

!E0c

!E0 !

!B0 " k̂ E0 = cB0

Polarizzazione n  Onda piana propagantesi lungo l’asse x

!E = E0

!ey cos!t

!B = B0

!ez cos!t

costanti nel tempo è onda polarizzata linearmente direzione di polarizzazione = direzione del campo elettrico

E,B ruotano nel piano yz con frequenza ω

è onda polarizzata circolarmente

!E = E0

!ey sin(!t ! kx)+

!ez cos(!t ! kx)( )

!B =!ex !

!Ec

= B0 !!ey cos(!t ! kx)+

!ez sin(!t ! kx)( )

Polarizzazione

n  La polarizzazione caratterizza quindi la direzione del campo elettrico associato alla radiazione (perpendicolarmente alla direzione di propagazione)

n  La polarizzazione e` definita solo per le onde trasversali

n  Polarizzazione circolare/ellittica = combinazione lineare di onde polarizzate lineramente (e viceversa)

Polarizzazione

n  Polarizzazione lineare

La direzione di propagazione esce dalla pagina

Polarizzazione

n  Polarizzazione circolare

La direzione di propagazione esce dalla pagina

Polarizzazione

n  Polarizzazione ellittica

La direzione di propagazione esce dalla pagina

Polarizzazione

n  Onda non polarizzata

La direzione di propagazione esce dalla pagina

Onde sferiche n  Onde emesse da una sorgente puntiforme n  Simmetria centrale: nessuna direzione e`

privilegiata n  Una generica componente di un campo

dipende solo da r e t: !(r, t)

!! "1c2#2!#t 2

= 0

Onde sferiche

!! =1r"2(r! )"r2

1r!2(r! )!r2

"1c2!2!!t 2

= 0

laplaciano in coordinate sferiche (quando non c’e` dipendenza dagli angoli)

!"2(r! )"r2

#1c2"2(r! )"t 2

= 0

Onde sferiche

r!(r, t) = f (r ! ct)

!(r, t) = f (r ! ct)r

La funzione d’onda va come 1/r

Energia di un’onda n  La luce del sole scalda ....

U = u(t,!r )dV! =

12!0E

2 +12µ0

B2"

#$

%

&'dV!

!U!t

= !0!E " !

!E!t

+1µ0

!B.!!B!t

#

$%

&

'(dV) = !0

!E !!"#!B

µ0!0+1µ0

!B.($!"#!E)

%

&'

(

)*dV+

= !1µ0

!" #!E $!B( )dV% ! "

!# $!S dV% !

S =!E !!B

µ0vettore di Poynting

Energia di un’onda

!S =!E !!B

µ0

!! "!S + #u

#t= 0

Diretto lungo la direzione di avanzamento del campo e.m.

Il flusso attraverso una superficie chiusa fornisce la variazione temporale dell’energia nel volume racchiuso dalla superficie

2[ ]S LT

=Energia

2[ ] JSs m

=⋅

Energia di un’onda Se sono presenti cariche elettriche che si muovono sotto l’azione del campo elettrico dando luogo a una densita` di corrente, si deve considerare anche il contributo al bilancio energetico dello scambio di energia tra onde e cariche necessario per tenerle in movimento

!! "!S +!J "!E + #u

#t= 0

potenza per unita` di volume I =< S >intensita`

onda piana

I = E0B02µ0

=E02

2µ0c= c B0

2

2µ0I = !U

A!t

energia media per unita` di tempo (potenza) che fluisce per unita` di superficie lungo la direzione di propagazione

Energia di un’onda - esempio

n  Sorgente puntiforme che emette a potenza costante: dU/dt = costante

n  Flusso del vettore di Poynting attraverso una superficie sferica di raggio r coincidente con un fronte d’onda

!S !!ndA = S

S!! 4! r2 = c!0

2E02 !4! r2 = dU

dt= cost.

E0 !1r

Quantita` di moto superficie con densita` di carica σ

d!d!F = dq(

!E +!v!!B) =! d"(

!E +!v!!B)

velocita` acquisita dalle cariche sotto l’azione del campo elettrico potenza assorbita per unita`

di superficie

d!Fd!

"!v =! (

!E +!v#!B) "!v =!

!E !!v

energia media assorbita per unita` di tempo e superficie = intensita` ceduta dall’onda

=! E v I =! < E v >

Quantita` di moto superficie con densita` di carica σ

dΣ I =! < E v >

forza magnetica normale alla superficie individuata da v e B

diretta lungo il verso di propagazione dell’onda d!FMd!

=! <!v"!B >=! < vB >

!ex =! < v E

c>!ex =

Ic!ex

forza media per unita` di superficie = pressione

Quantita` di moto superficie con densita` di carica σ

dΣI =! < E v >

l’onda cede la quantita` di moto FM per unita` di tempo e superficie

(perfettamente assorbente)

se la superficie e` perfettamente riflettente la quantita` di moto cambia verso e quella trasferita e` doppia

pressione di radiazione Prad =Ic

Prad = 2Ic

per un angolo di incidenza θ le espressioni vanno moltiplicate per il fattore cos2θ ‒ componente normale (cosθ) e aumento dell’area (cosθ)

Velocita` di fase e gruppo n  Affinche` trasporti “informazione” un segnale non

puo` essere puramente periodico (informazione = cambiamento nell’onda)

!(t, x) = cos (! " #! )t " (k " #k)x$% &'+ cos (! + #! )t " (k + #k)x$% &'

= 2cos !!t " !kx#$ %&cos !t " kx#$ %&

onda sinusoidale “ampiezza”

velocita` del “contenuto”

v g =d!dk

v gr

Esempio n  Guida d’onda: la geometria impone un taglio alle

frequenze che si possono propagare (simile alle canne di un organo) La configurazione dominante di onde che si propagano ha una relazione tra il numero d’onda e la frequenza

k = 1c

! 2 !!02

v fase =!k=

c

1! !0

!

"

#$

%

&'

2

vgruppo =d!dk

=1dkd!

= c 1! !0

!

"

#$

%

&'

2

!!!0! "

! c

relazione di dispersione

!v g