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On traite de la propagation des ondes en régime linéaire
Particule
Multidiffusion et ondes cohérentes un essai de synthèse
Jean-Marc Conoir
UPMC Univ Paris 06, UMR 7190 Institut Jean Le Rond d’Alembert
kkll20 minutes
Bon courage
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Direction de propagation
Description microscopique des ondes cohérentes
k̂ k̂
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'''
effeffeffiKKK
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850 steel rods of 2 mm in the range [120x300 mm]
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Concentration c=12.6%
Signal incident Signal transmis
Coda
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Formalisme basé sur les équations de la diffusion multiple
Foldy (1945), Lax (1951), Waterman & Truell (1961), Twersky (1962), Fikioris & Waterman (1964), Lloyd & Berry (1967),…
Formalisme basé sur les représentations diagrammatiques
(équation de Dyson & Opérateur de Masse)
Bourret (1962) « approximation bilocale », Furutsu (1963), Tatarsky (1964), Uriel Frish (1965), …
Théories d’homogénéisation: a
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),()(0 kfkrGS
C’est une hypothèse qui revient implicitement à supposer que la concentration des diffuseurs est « faible »
Hypothèse de champ lointain
kr
Fonction de forme en champ lointain
nle
1
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ISA: Independent Scattering Approximation
Les formules célèbres
Waterman & Truell (1961)
Linton & Martin (2005) // Lloyd & Berry (1967)
)(f )0(f
)0(422 fnikkISA
22
2 )(2
)0(2
f
k
nif
k
nikK
WT
dfdd
gk
nfnikk
LM
22
02
2
22 )(2
cot8
)0(4
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Est-ce qu’on peut évaluer la nature des approximations effectuées?
Twersky (1964) a «montré» que l’approximation de Foldy consistait à interdire toutes les interactions doubles et supérieures.
1952
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2 2 2 ˆ ˆ4 (0) 4 ( , )effk k i n f k i n f k k= - = -
…
2 21
ˆ ˆ4 ( , )k k i n f k k= -2 22 1 1 1
ˆ ˆ4 ( , )k k i n f k k= -2 2
1ˆ ˆ4 ( , )p p p pk k i n f k k+ = -
La CPA est connue pour être « résistante » quand la concentration augmente. Est-ce qu’on a augmenté le nombre
d’interactions prises en compte?
ppeffkk
lim 0)ˆ,ˆ(
effeffkkf
k̂ k̂
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0
0
)1(
0
2222 )()()(2
)0(16 rdrrkJkrHrgi
fnkkLMLMeff
Corrélation Spatiale
: « radial distribution function »
(histogramme du nombre de diffuseurs situés à une distance donnée d’un diffuseur pris au hasard)
)(rg
A.Norris, J.M.Conoir, Multiple scattering by cylinders immersed in fluid: high order approximations for the effective wavenumbers (soumis).
A.Derode, V.Mamou, A.Tourin, Influence of correlations between scatterers on the attenuation of the coherent wave in a random medium, Phys. Rev. E 74 (2006) 036606.
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...
cos2)()()()(8
)()(2
cot8
)0(4
2
)(
022
2
2
02
2
22
)(
Teff
TTLL
LTTLTLLT
LLLL
L
LL
LLeff
k
dkkkkffffn
dffdd
gk
nfnikk
Milieux Elastiques
J.M.Conoir, A.Norris, Effective wave numbers and reflection coefficients for an elastic medium containing random configurations of cylindrical scatterers, Wave Motion, 47 (2010) 183-197.
F.Luppé, J.M.Conoir, S.Robert, Coherent waves in a multiply scattering poro-elastic medium obeying Biot’s theory, Waves in Random and Complex Media, 18 (2008) 241-254.
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J.M.Conoir, S.Robert, A.El Mouhtadi, F.Luppé, Reflection and transmission at low concentration by depth-varying distribution of cylinders in a fluid-like region, Wave Motion 46 (2009) 522-538.
C.Aristégui, Y.C.Angel, Effective mass density and stiffness derived from P-wave multiple scattering , Wave Motion 44 (2007) 153-164.
conditions de continuité entre un milieu multidiffuseur et un milieu homogène
micro
macro
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Masse volumique effective: feff /)(
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… and angle dependent ???
ka=0.5
2% on Re,
5% on Im
Métamatériaux ???
feff /),(
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F.Luppé, J.M.Conoir, P.Pareige, Dynamic effective properties of a random configuration of cylinders in a fluid (soumis).
Coefficient de viscosité effectif: )(eff
En basse fréquence , on peut assimiler le milieu multidiffuseur à un fluide visqueux
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LAUE
1995
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Et les bulles ?K.W.Commander, A.Prosperetti, Linear pressure wave in bubbly liquids: Comparison between theory and experiments, JASA 85 (1989) 732-746.
Wijngaarden (1968-1972), Caflish, Miksis, Ting, Papanicolaou (1985)Keller, Miksis (1980)
moi
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DIFFUSION MULTIPLE NON LINEAIRE
Merci pour votre attention