on the problem of plateau rcourant

7/27/2019 On the Problem of Plateau RCourant

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MATHEMA T I C S : R . COURANTS t r a i n l i n e s o n t h e e x t e r n a l s u r f a c e a p p e a i e d f i r s t n e a r t h e e d g e s w i t hw h i c h t h e y r a n n e a r l y p a r a l l e l .J u d g i n g f r o m t h e s e e x p e r i m e n t s , t h e s h e a r i n g s t r e s s e s i n r e c t a n g u l a r

t u b e s a r e d i s t r i b u t e d i n a v e r y i r r e g u l a r m a n n e r , q u i t e d i f f e r e n t f r o m t h a ta s s u m e d i n t h e h y d r o d y n a m i c a l a n a l o g y . Some r e g i o n s , l o c a t e d o n t h ei n t e r n a l s u r f a c e o f t h e w a l l s , a r e v e r y l o w - s t r e s s e d a t t h e p o i n t o f b r e a k -d o w n , s o t h a t o t h e r r e g i o n s m u s t b e s t r e s s e d v e r y h i g h l y s i n c e t h e means t r e s s f o r t h e w h o l e s e c t i o n m u s t b e e q u a l t o r o i n o r d e r t o b a l a n c e t h et w i s t i n g m o m e n t .The o b s e r v e d a n g l e o f t o r s i o n s h o w e d i n a l l c a s e s a v e r y c l o s e a g r e e m e n t

w i t h t h e o r y , a f a c t w h i c h m a y b e e x p l a i n e d b y t h e e q u a l i z i n g o r , i t m a y b es a i d , g e n e r a l i z i n g t e n d e n c y o f t h e t u b e a s a w h o l e , s i n c e t h e s t r e s s e s ,a l t h o u g h d i s t r i b u t e d i n a h i g h l y u n e v e n m a n n e r , y e t h a v e t o b a l a n c e t h ea p p l i e d t w i s t i n g m o m e n t . I n f a c t , t h e t w i s t o f t h e w h o l e t u b e i s a ne x p r e s s i o n o f t h e i n t e g r a l e f f e c t o f a l l t h e l o c a l a n d h i g h l y v a r i a b l e d i s t o r -t i o n s , a n d t h u s ' t h e t o t a l t o r s i o n a l s t i f f n e s s m a y n o t b e m a t e r i a l l y a f f e c t e d .H e n c e t h e a c c e p t e d t h e o r y , b y r e p r e s e n t i n g t h e a n g l e o f t o r s i o n c o r -r e c t l y u p t o t h e p o i n t o f b r e a k d o w n , w h i l e g i v i n g a n i n c o r r e c t p i c t u r e o ft h e s t r e s s d i s t r i b u t i o n , i s d e c e p t i v e a n d m a y i n s o m e c a s e s l e a d t o ad a n g e r o u s u n d e r e s t i m a t e o f t h e s t r e s s e s .

1 T h e w o r k o n w h i c h t h i s i e p o r t i s b a s e d w a s c a r r i e d o u t u n d e r t h e a u t h o r i t y o f t h eB u r e a u o f Y a r d s a n d D o c k s a n d w i t h t h e p e r m i s s i o n o f t h e B u r e a u o f C o n s t r u c t i o n a n dR e p a i r o f t h e U . S . Navy D e p a r t m e n t i n t h e M a t e r i a l L a b o r a t o r y o f t h e Ne w Y o r kNavy Y a r d i n 1 9 3 5 - 1 9 3 6 .2 A . a n d L . F o p p l , D r a n g u n d Z w a n g , p p . 8 0 a n d 1 2 8 ( 1 9 2 0 ) .3 L o r d R a y l e i g h , T h e o r y o f S o u n d , I I , p . 3 1 4 ( 1 9 2 6 ) .4 "On t h e T o r s i o n o f S h i p s , " T r a n s . I n s t . N a v . A r c h . ( 1 9 2 4 ) .

ON THE PROBLEM OF PLA TEA UBy R . COURANT

DEPARTMENT O F M A T H E M A T I C S , NEW YORK U N I V E R S I T YC o m m u n i c a t e d A p r i l 1 0 , 1 9 3 6

T h e s o l u t i o n o f P l a t e a u ' s p r o b l e m h a s r e c e n t l y b e e n t h e s u b j e c t o f a s e r i e so f i m p o r t a n t p a p e r s b y G a m i e r , D o u g l a s , R a d 6 , M c S h a n e a n d o t h e r s . 'The f i r s t c o m p l e t e g e n e r a l p r o o f s f o r t h e e x i s t e n c e o f a m i n i m a l s u r f a c ew i t h a s i n g l e g i v e n J o r d a n c u r v e a s b o u n d a r y were p u b l i s h e d i n d e p e n d e n t l yb y R a d 6 a n d D o u g l a s a t a b o u t t h e same t i m e . 2 D o u g l a s l a t e r h a s a t t a c k e dt h e p r o b l e m w i t h t h e much more g e n e r a l a i m o f e s t a b l i s h i n g t h e e x i s t e n c eo f a m i n i m a l s u r f a c e b o u n d e d b y k g i v e n J o r d a n c u r v e s a n d h a v i n g a p r e -s c r i b e d t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e . He h a s a n n o u n c e d a c o m p l e t e r e s u l t a n d

V O L . 2 2 , 1 9 3 6 3 6 7


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MATHEMA T I C S : R . CO URANTh a s s o f a r p u b l i s h e d t h e s o l u t i o n s f o r t h e c a s e k = 1 , k = 2 when t h e t o p o -l o g i c a l t y p e i s r e s p e c t i v e l y t h a t o f a c i r c l e , a n a n n u l a r r i n g o r M o b i u s s t r i p .H i s m e t h o d i s b a s e d u p o n t h e d i s c u s s i o n o f a f u n c t i on a l g i v i ng t h e v a l u eo f t h e D i r i c h l e t i n t e g r a l o f a p o t e n t i a l f u n c t i o n t h r o u g h i t s b o u n d a r yv a l u e s o n a c i r c u l a r d o m a i n . The p r o o f i s s t r i k i n g b y i t s b o l d d e p a r t u r ef r o m c l a s s i c a l l i n e s a n d b y s i g n i f i c a n t e x p l i c i t e x p r e s s i o n s . H o w e v e r , t h ed e s i r e t o u n d e r s t a n d D o u g l a s ' t h e o r y f r o m a m o r e c o n c e p t i o n a l a n d c l a s s -i c a l p o i n t o f v i e w h a s r e s u l t e d i n a n e x i s t e n c e p r o o f t h e o u t l i n e s o f w h i c ha r e g i v e n i n t h e f o l l o w i n g p a g e s . 3 T h i s p r o o f f u r n i s h e s t h e s o l u t i o n o f t h ep r o b l e m i n a s i m p l e way w i t h c o m p l e t e g e n e r a l i t y a s f a r a s t h e t o p o l o g i c a ls t r u c t u t e o f t h e m i n i m a l s u r f a c e i s c o n c e r n e d . M o r e o v e r , i t a l s o c ov e r s t h ec a s e w h e n p a r t s o f t h e b o u n d a r i e s a r e f r e e t o l i e o n p r e s c r i b e d s u r f a c e s .

1 . S t a t e m e n t o f t h e P r o b l e m . - A m i n i m a l s u r f a c e i n t h e n - d i m e n s i o n a ls p a c e o f t h e v e c t o r X w i t h t h e c o o r d i n a t e s x l , . . . , x , , i s d e f i n e d a s o n e c a -p a b l e o f a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n X ( u , v ) i n t e l - m s o f t w o p a r a m e t e r su , v s o t h a t i n t h e c o r r e s p o n d i n g u , v - d o m a i n A X = g u , + X v , = 0 a n dx u x v = 0 , 9 ' - e v = 0 . The p r o b l e m i s t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f s u c hs u r f a c e s b o u n d e d b y k p r e s c r i b e d J o r d a n c u r v e s r 1 , r 2 , . . . , r k . The s o l u -t i o n w i l l a p p e a r a s s o l u t i o n o f t h e f o l l o w i n g minimum p r o b l e m .P r o b l e m I . L e t G b e a n y d o m a i n i n t h e u , v - p l a n e b o u n d e d b y k c i r c l e sC i , . . . , C * . L e t X ( u , v ) - b e a v e c t o r c o n t i n u o u s i n G a n d o n i t s b o u n d a -

r i e s , s u c h t h a t X maps C 1 , . . . , C k i n a c o n t i n u o u s a n d m o n o t o n i c way i n t oi , . . . , r , , a n d t h a t t h e D i r i c h l e t i n t e g r a l o v e r GD ( S ) = f ( 2 + X 2 ) d u d v

e x i s t s . We a s k f o r a d o m a i n G a n d i n i t a v e c t o r X s o t h a t D ( S ) h a s t h es m a l l e s t p o s s i b l e v a l u e d .S i n c e D ( S ) i s i n v a r i a n t u n d e r c o n f o r m a l m a p p i n g we m a y a d d , w i t h o u tc h a n g i n g t h e v a l u e s o f D ( S ) , a n y k i n d o f c o n d i t i o n s w h i c h r e p l a c e G a n d Xb y c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t d o m a i n s a n d v e c t o r s .2 . S o l u t i o n o f P r o b l e m I . - L e t d b e t h e l o w e r l i m i t o f D ( S ) a n d X i ,

2 , . .. a m i n i m i z i n g s e q u e n c e o f a d m i s s i b l e v e c t o r s ; D ( X , , ) -* d , G 1 ,G 2 , . . . t h e c o r r e s p o n d i n g s e q u e n c e o f d o m a i n s . We m a y a s s u m e t h a tX n i s a p o t e n t i a l v e c t o r i n G , A r , , = 0 ; f o r o t h e r w i s e we c o u l d r e p l a c e i t b ya p o t e n t i a l v e c t o r w i t h t h e same b o u n d a r y v a l u e s a n d s m a l l e r D i r i c h l e ti n t e g r a l .We f i r s t c o n s i d e r t h e c a s e k = 1 . H e r e we m a y s u p p o s e t h a t a l l t h ed o m a i n s G n a r e i d e n t i c a l w i t h t h e u n i t c i r c l e C a n d t h a t g t r a n s f o r m s t h r e e

g i v e n p o i n t s o n t h e b o u n d a r y o f C i n t o t h r e e g i v e n p o i n t s o n r . We p r o v e :T h e b o u n d a r y v a l u e s o f F o n C a r e e q u i c o n t i n u o u s . 4 I f i t w e r e n o t s o wec o u l d a s s u m e t h e e x i s t e n c e o f a p o s i t i v e c o n s t a n t a a n d two s e q u e n c e sP n , Q , , o f p o i n t s o n C , b o t h c o n v e r g i n g t o t h e s a m e b o u n d a r y p o i n t R ,

3 6 8 P R O C . N . A . S .


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MATHEMA T I C S : R . CO URANTs u c h t h a t J T ( P . ) - a(Qn). L e t A a n d B b e t w o a r b i t r a r i l y f i x e dp o i n t s o n C w i t h t h e s a m e d i s t a n c e I f r o m R , b b e i n g t h e a r c A P n Q n B .L e t A , B ' n R P % , P ' , Q n b e t h e i m a g e s o f A , B , R , P , Q o n r . L e t b nb e t h e a r c A on r a n d ' y , t h e c o m p l e m e n t a r y a r c . T h e n t h e f o l l o w -i n g k e m m a h o l d s : T h e d i a m e t e r o f 5 n t e n d s t o z e r o a s n i n c r e a s e s . O t h e r -w i s e t h e r e w o u l d b e a p o s i t i v e c o n s t a n t q , f o r w h i c h r n ( P ) - X . n ( Q ) 2 qw h e n e v e r P l i e s i n b o n P , , A a n d Q i n Q , , B . We i n t r od u c e p ol a r c o o r d i -n a t e s r , t a r o u n d R . Then we c o n s i d e r a n a r c PQ o f a c i r c l e w i t h t h er a d i u s r o f t h i s p o l a r c o o r d i n a t e s y s t e m . We c e r t a i n l y h a v e q


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MATHEMATICS: R . COURANTI n t h e c a s e k > 1 we c o n s i d e r t h e t y p i c a l e x a m p l e k = 2 . The t w o

b o u n d a r y c i r c l e s C , , C 2 o f G c a n b e c h o s e n a s c o n c e n t r i c w i t h r a d i i p ia n d P 2 > P 1 o f w h i c h P 1 c a n b e f i x e d , p i = 1 . S e t t i n g u 2 = p l p 2 , we m o d i f yP r o b l e m I i n t o P r o b l e m I I b y a d d i n g t h e c o n d i t i o n g = 0 o n t h e i n t e r m e -d i a t e c i r c l e w i t h t h e r a d i u s a , t h u s r e s t r i c t i n g t h e r a n g e o f c o m p e t i t i o n .T h e r e f o r e f o r t h e l ow e r b o u n d / 6 . i n P r o b l e m I I we h a v e c e r t a i n l y d . 5 a .B u t , i f o a i s s u f f i c i e n t l y l a r g e , o n e n o t i c e s e a s i l y t h a t 5 , d i f f e r s b y a n a r b i -t r a r i l y s m a l l q u a n t i t y f r o m d 1 + d 2 , w h e r e d , a n d d 2 a r e t h e l o w e r l i m i t sb e l o n g i n g t o t h e s i n g l e c u r v e s r i a n d r 2 , r e s p e c t i v e l y ; h e n c e d , + d 2 2 d .W i t h D o u g l a s we e x c l u d e t h e e q u a l i t y s i g n b y r e q u i r i n g

d i +d> d .U n d e r t h i s c o n d i t i o n p 2 i n t h e m i n i m i z i n g s e q u e n c e T . a n d G n m u s t r e -m a i n b o u n d e d . F u r t h e r p 2 c a n n o t h a v e 1 a s a l i m i t , b e c a u s e t h i s e a s i l yi s s e e n t o c o n t r a d i c t t h e b o u n d e d n e s s o f D ( X n ) . H e n c e we m a y a s s u m et h a t G . c o n v e r g e s t o a c o n c e n t r i c a n n u l a r r i n g G , a n d we c o u l d h a v e c h o s e nG f r o m t h e b e g i n n i n g a s t h i s f i x e d a n n u l a r r i n g .No w we a g a i n p r o v e : g m i s e q u i c o n t i n u o u s o n C 1 a n d C 2 . We p u tg m = p n + A n w h e r e A p . = A i n = 0 a n d X m = 4nn= O o n C 2 ; t = 0 , i n= X . o n C 1 ; t h e n we h a v e

D ( g m ) = D ( l n ) + D ( i n ) + 2 j f t , n d s ,w h e r e r i s t h e r a d i u s , s t h e a r c l e n g t h o n C 1 . I f g m w e r e n o t e q u i c o n t i n u o u so n C 1 , t h e l e m m a p r o v e d a b o v e s h o w s e a s i l y t h a t t h e l a s t i n t e g r a l i n t h i sf o r m u l a t e n d s t o z e r o a s n i n c r e a s e s . S i n c e t h e v e c t o r 4 n , i f c o n t i n u e di d e n t i c a l l y z e r o i n s i d e C l , i s c o n t i n u o u s o n a n d i n s i d e C 2 , m a p p i n g C 2 o n r 2 ,we h a v e D ( p m ) 2 d 2 , a n d s i m i l a r l y D ( 3 . ) 2 d i . H e n c e f o r n X o t h el a s t e q u a l i t y y i e l d s d 2 d i + d 2 i n c o n t r a d i c t i o n t o t h e a s s u m p t i o n d 2 .E x a c t l y a s i n t h e c a s e k = 1 i t f o l l o w s t h a t we c a n c h o o s e a s u b s e q u e n c eX . u n i f o r m l y c o n v e r g i n g t o a s o l u t i o n X o f P r o b l e m I w i t h D ( t ) = d . 5G e n e r a l i z a t i o n s f o r t h e c a s e o f f r e e b o u n d a r i e s o r m i n i m a l s u r f a c e s o f , ad i f f e r e n t t o p o l o g i c a l t y p e ( e . g . , g e n u s d i f f e r e n t f r o m z e r o ) f o l l o w t h es a m e l i n e s . I n t h e l a t t e r c a s e t h e r e q u i r e d t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e c a n b ee s t a b l i s h e d b y s u i t a b l e c o o r d i n a t i o n o f b o u n d a r i e s , a n d c e r t a i n i n e q u a l i -t i e s o c c u r i n a n a t u r a l way a s s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s . 63 . T h e S o l u t i o n F u r n i s h e s a O n e - t o - O n e M a p p i n g o f t h e B o u n d a r i e s . 7 -T h a t X g i v e s n o t o n l y a c o n t i n u o u s b u t a o n e - t o - o n e m a p p i n g o f t h e b o u n d a -r i e s c a n b e s e e n a s f o l l o w s ( w e r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e t y p i c a l c a s e k = 1 ) :I f a w h o l e a r c b o n C w o u l d c o r r e s p o n d t o t h e s a m e p o i n t , e . g . , X = 0 o nr l , n o o t h e r p o i n t o f C b e i n g m a p p e d o n X = 0 , t h e n we c o u l d m a p G

3 7 0 P R O C . N . A . S .


5/6

MATHEMA T I C S : R . CO URA NTc o n f o r m a l l y o n t h e u n i t c i r c l e G ' w i t h a c u t c a l o n g o n e r a d i u s O B , i n s u c ha wa y t h a t b c o r r e s p o n d s t o t h e t w o e d g e s o f t h e c u t c . T h i s t r a n s f o r m a -t i o n t r a n s f o r m s X i n t o T ' i n G ' , s o t h a t d = D ( S ) = D G ' ( T ' ) = D ( T ' ) . B u tX ' i s a l s o c o n t i n u o u s i n t h e u n i t c i r c l e G , i r r e s p e c t i v e o f t h e c u t c l a n dm a p s t h e b o u n d a r y o f t h e u n i t c i r c l e o n r , s o t h a t t h e p o i n t B a n d o n l yB o n t h e b o u n d a r y C c o r r e s p o n d s t o T = 0 . No w X ' c a n n o t b e a r e g u l a rp o t e n t i a l f u n c t i o n i n G , b e c a u s e t h e n i t m u s t v a n i s h o n t h e w h o l e d i a m e t e rAOB, w h i c h c o n t r a d i c t s o u r a s s u m p t i o n s . B u t t h e n t h e r e g u l a r p o t e n t i a lv e c t o r 3 , h a v i n g t h e s a m e b o u n d a r y v a l u e s a s T ' w o u l d g i v e a s m a l l e rD i r i c h l e t i n t e g r a l t h a n d , w h i c h c o n t r a d i c t s t h e minimum c h a r a c t e r o f d .T h e r e f o r e n o s u c h a r c b c a n o c c u r . A s i m i l a r p r o o f h o l d s f o r a r b i t r a r y k .4 . T h e S o l u t i o n s A r e M i n i m a l S u r f a c e s . - s p ( w ) = 2 g u g , + i ( ' n l -2 ) i s i n G a r e g u l a r a n a l y t i c f u n c t i o n o f t h e c o m p l e x v a r i a b l e w = u +i v . We h a v e t o s h o w 8 t h a t i d e n t i c a l l y ( p ( w ) = 0 h o l d s . I n t h e c a s e k = 1we e s t a b l i s h t h i s f a c t b y u s i n g p o l a r c o o r d i n a t e s r , t c o n c e n t r i c t o C .We s u b s t i t u t e i n t h e D i r i c h l e t i n t e g r a l i n s t e a d o f g a n o t h e r v e c t o r 3 d e -f i n e d b y g ( r , 6 ) = X ( r , ( p ) , w h e r e p = t + e X ( r , # ) ; h e r e X i s a r b i t r a r y b u ts u f f i c i e n t l y d i f f e r e n t i a b l e , e a s m a l l p a r a m e t e r . By i n t r o d u c i n g r , ( p a snew c o o r d i n a t e s we e a s i l y f i n d t h e v a r i a t i o n a l c o n d i t i o n

( = 0 = - A ) + 2 X 4 4 o } r d r d 6 = 0w h i c h l e a d s i m m e d i a t e l y t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o nl i m X ( r , t ) r r , d 6 = 0 .

No w 2 r X X , i s a r e a l p a r t o f t h e a n a l y t i c f u n c t i o n w 2 ( p ( w ) , h e n c e a p o t e n t i a lf u n c t i o n . B u t s i n c e t h e v a l u e o f s u c h a p o t e n t i a l f u n c t i o n i n a n y i n t e r i o rp o i n t o f G a r e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f i t s v a l u e s o n a c o n c e n t r i c c i r c l e w i t ht h e r a d i u s r , c o n t a i n i n g t h i s p o i n t , o u r e q u a l i t y e x p r e s s e s t h a t t h i s r e a lp a r t v a n i s h e s i d e n t i c a l l y i n G . T h e r e f o r e we h a v e W 2 , p ( w ) = i c , w h e r e ci s c o n s t a n t . B u t s i n c e q p ( w ) i s r e g u l a r a t w = 0 , we h a v e c = 0 , h e n c es ( w ) = 0 , q . e . d .T h e s a m e a r g u m e n t y i e l d s f o r k = 2 , i f G i s a n a n n u l a r r i n g , w 2 p ( w ) =i c . T h e c o n c l u s i o n c = 0 n o w f o l l o w s e a s i l y b y t h e v a r i a t i o n a l c o n d i t i o nw i t h r e s p e c t t o t h e r a t i o o f t h e r a d i i .

I n a way c a p a b l e o f g e n e r a l i z a t i o n t o a r b i t r a r y k , we c a n e x p r e s s t h et o t a l i t y o f v a r i a t i o n a l c o n d i t i o n s i n t h e f o l l o w i n g w a y : ' p ( w ) = 4 " ( w )w h e r e 4 , f i s r e g u l a r a n d u n i f o r m i n G a n d w h e r e t h e s e c o n d n o r m a l d e r i v a t i v eo f t h e r e a l p a r t o f 4 v a n i s h e s o n a l l c i r c u l a r b o u n d a r i e s .I n s t e a d o f c o n c l u d i n g f r o m t h i s , t h a t 4 , 6 i s l i n e a r , o n e c a n i g i v e t h ef o l l o w i n g q u i t e g e n e r a l p r o o f t h a t s o = 0 . U s i n g e s s e n t i a l l y a s i m p l et h e o r e m o n c o n f o r m a l m a p p i n g we c a n p r o v e t h a t r s o l v e s a l s o t h e f o l l o w -

V O L . 2 2 , 1 9 3 6 3 7 1


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MATHEMA T I C S : R . CO URA NTi n g P r o b l e m I I I : D ( ^ ) = m i n , w h e r e i s a t i s f i e s t h e s a m e c o n d i t i o n s a s Ti n P r o b l e m I e x c e p t t h a t a i s a l l o w e d t o b e d i s c o n t i n u o u s o n a p r e s c r i b e dc u t c i n G , i n s u c h a w a y , t h a t S maps t h e t w o e d g e s o f c c o n t i n u o u s l y o n t h es a m e c u r v e i n t h e i - s p a c e . No w we t a k e a s s u c h a c u t a n a r b i t r a r y s t r a i g h ts e g m e n t v = c o n s t . i n G a n d r e p J a c e t h e minimum v e c t o r g b y S ( u , v ) =X ( u + e X ( u , v ) , v ) , w h e r e X i s z e r o e x c e p t i n a d o m a i n a d j a c e n t t o o n e e d g e o fc ; X m a y b e s u p p o s e d a s h a v i n g c o n t i n u o u s d e r i v a t i v e s u p t o t h e s e c o n do r d e r . The e q u a l i t y -D ( - ) / 0 = 0 y i e l d s i m m e d i a t e l y

X X u X v d u = 0a n d s i n c e X i s a r b i t r a r y X u X v 0 o n c ; h e n c e X u F v = 0 e v e r y w h e r e i n G .I f we t a k e c a s a s e g m e n t o f a s t r a i g h t l i n e u - v c o n s t . we o b t a i n i n t h esame wa y ( u - v ) ( X u + X v ) = 0 o r -u_X 2 = 0 . H e n c e t h e c h a r a c t e r asa m i n i m a l s u r f a c e i s e s t a b l i s h e d f o r a l l o u r s o l u t i o n s .

1 F o r r e f e r e n c e t o l i t e r a t u r e s e e t h e r e p o r t b y T . R a d 6 , "On t h e P r o b l e m o f P l a t e a u , "E r g e b n i s s e M a t h . , B d . 2 , 2 , S p r i n g e r B e r l i n ( 1 9 3 3 ) a n d J . D o u g l a s , " T h e P r o b l e m o fP l a t e a u , " B u l l . A m e r . M a t h . S o c . , A p r i l ( 1 9 3 3 ) .

2 D o u g l a s ' m e t h o d w h i c h h a d b e e n o u t l i n e d i n s e v e r a l a b s t r a c t s a n d l e c t u r e s s i n c e1 9 2 9 a t t a i n s a s o m e w h a t g r e a t e r g e n e r a l i t y p a r t i c u l a r l y w i t h r e s p e c t t o t h e c o n d i t i o n sf o r t h e b o u n d a r y .3A d e t a i l e d p r o o f w i l l b e p u b l i s h e d i n t h e A n n . M a t h .' E . g . , H u r w i t z - C o u r a n t , F u n k t i o n e n t h e o r i e , 3 r d e d . A b s c h n i t t 3 , K a p . V I , 4 . Rad6a l r e a d y h a s n o t i c e d t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h i s o l d e r t h e o r y a n d c e r t a i n s t e p s i n D o u g -l a s ' p r o o f .The c o r r e s p o n d i n g s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s t h e n c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m : d < d m +d i ' w h e r e d . i s t h e l o w e r l i m i t b e l o n g i n g t o y m a n d d " ' t h a t b e l o n g i n g t o t h e k - 1c u r v e s y l , . . . ' Y k e x c e p t - Y i , m r a n g i n g f r o m 1 t o k .( A d d i t i o n i n t h e p r o o f . ) A f t e r t h i s p a p e r h a d b e e n s e n t t o t h e p r e s s m y a t t e n t i o nw a s c a l l e d t o a n o t e b y J . D o u g l a s p u b l i s h e d a f e w w e e k s b e f o r e i n t h e J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s a n d P h y s i c s i n w h i c h e q u i v a l e n t r e s u l t s f o r k c o n t o u r s a n d a r b i t r a r yg e n u s on t h e b a s i s o f q u i t e d i f f e r e n t m e t h o d s a r e a n n o u n c e d . T h i s e a r l i e r p u b l i c a t i o ne s t a b l i s h e s D o u g l a s ' p r i o r i t y .

6 T h e s e c o n d i t i o n s e x p r e s s t h a t s u r f a c e s o f a l o w e r t o p o l o g i c a l t y p e ( s m a l l e r g e n u s )o r s u r f a c e s c o n s i s t i n g o f s e p a r a t e p a r t s f u r n i s h a l a r g e r l o w e r l i m i t o f t h e D i r i c h l e tI n t e g r a l .

7 T h i s s t a t e m e n t i s o n l y a n i l l u m i n a t i o n , n o t an i n d i s p e n s a b l e s t e p o f t h e e x i s t e n c ep r o o f .8 A l r e a d y T . R a d o h a s p o i n t e d o u t ( 1 . c . , p . 8 6 ) t h a t a p r o c e d u r e m o r e i n l i n e w i t h t h ec l a s s i c a l c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s l e a d s t o a s i m p l i f i c a t i o n o f t h e o r i g i n a l p r o o f .

3 7 2 P R O C . N . A . S .

on the problem of plateau rcourant

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