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On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)
2010年1月28日(木)
RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」
後藤 聡史 (上智大学理工学部)
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はじめに
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Classification of quantum subgroupsof quantum SU(2)
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・ 各頂点は「既約表現」・ グラフは2つの生成元(generator) による既約分解規則(fusion rule) を表す.(群のケーリーグラフのようなもの)・ 2つの生成元は互いに複素共役
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Quantum Symmetry for Coxeter Graphs
• Quantum Symmetry for Coxeter Graphs
• Chiral diagram
• Ocneanu Graph
(Coquereaux, Schieber,
Trinchero)
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Ocneanu Graph の描き方(1)
• Ocneanuのオリジナルの方法
• Connection (bimodule) の system (fusion rule algebra, 略してFRA ) による方法
• SU(2) の場合 (modular invariant が不要)
• SU(N) (N≧3) の場合は,SU(2)より複雑でSU(2)とは異なる新しいアイディアが必要.
(modular invariant の分類を使用)
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Ocneanu Graph の描き方(2)
• Boeckenhauer -Evans-Kawahigashi による方法
• Sector のFRAによる.
• Conformal Field Theory (CFT), WZW model,
confomal inclusion
• Braiding, α-induction
• Modular invariant
• SU(N) (N≧3) で実行可能
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Ocneanu Graph の描き方(3)
• Coquereaux, Schieber, Trincheroらの方法
• 純代数的な方法(FRA の相対テンソル積,weak Hopf algebra (quantum groupoid),行列計算)
• Ocneanu Graphに代数的な構造の意味づけがなされる.
• SU(N) (N≧3) の場合にも(SU(2)より複雑だが)実行可能.
• (SU(2)の場合) Modular invariant, toric matrix なども結果的に構成される.
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Modular invariants (SU(2) case)
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Classification of subfactors
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Classification of subfactors
• index = 4 ・・・ classical (McKay corresp.)• index < 4 ・・・ quantum
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Classification of connections on the Dynkin diagrams
Problem
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Strategy : How to find all K-K irreducible connections
• Extend Kauffman-Lins’recoupling theory
• Define double triangle algebra (DTA) with convolution product (⇒ finite dim C*-algebra)• minimal central projections
• irreducible *-representations of K-K DTA• irreducible K-K connections
• (minimal central projections of DTA, ・ product )= a system (FRA) of K-K irreducible connections
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Extension of Kauffman-Lins’recoupling theory
and the double triangle algebra
(DTA)
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Wenzl projectors and essential paths
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Wenzl projectors and essential paths
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Essential paths
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Extension of recoupling model and the double triangle algebras
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double triangle algebras (DTA)
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![Page 54: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/54.jpg)
![Page 55: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/55.jpg)
Ocneanu’s chiral projectors
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![Page 57: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/57.jpg)
Chiralleft projector
Chiralright projector
![Page 58: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/58.jpg)
Chiral projectors are central
![Page 59: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/59.jpg)
Gaps and minimal central projections
![Page 60: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/60.jpg)
Chiral generators
![Page 61: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/61.jpg)
![Page 62: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/62.jpg)
Strategy : How to find all K-K irreducible connections
• Extend Kauffman-Lins’recoupling theory
• Define double triangle algebra (DTA) with convolution product (⇒ finite dim C*-algebra)• minimal central projections
• irreducible *-representations of K-K DTA• irreducible K-K connections
• (minimal central projections of DTA, ・ product )= a system (FRA) of K-K irreducible connections
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![Page 64: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/64.jpg)
A system (FRA) of on connections
![Page 65: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/65.jpg)
Direct sum of connections
![Page 66: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/66.jpg)
Product of connections
![Page 67: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/67.jpg)
Irreducibility of connections
![Page 68: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/68.jpg)
A system (FRA) of connections
![Page 69: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/69.jpg)
Frobenius reciprocity of connection system
![Page 70: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/70.jpg)
![Page 71: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/71.jpg)
Examples of connection system
![Page 72: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/72.jpg)
![Page 73: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/73.jpg)
![Page 74: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/74.jpg)
Strategy : How to find all K-K irreducible connections
• Extend Kauffman-Lins’recoupling theory
• Define double triangle algebra (DTA) with convolution product (⇒ finite dim C*-algebra)• minimal central projections
• irreducible *-representations of K-K DTA• irreducible K-K connections
• (minimal central projections of DTA, ・ product )= a system (FRA) of K-K irreducible connections
![Page 75: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/75.jpg)
![Page 76: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/76.jpg)
Correspondencebetween connections and *-representations of DTA
![Page 77: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/77.jpg)
Extension of recoupling
![Page 78: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/78.jpg)
Correspondence between connections and *-representations of DTA
![Page 79: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/79.jpg)
![Page 80: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/80.jpg)
![Page 81: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/81.jpg)
![Page 82: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/82.jpg)
![Page 83: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/83.jpg)
![Page 84: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/84.jpg)
![Page 85: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/85.jpg)
Strategy : How to find all K-K irreducible connections
• Extend Kauffman-Lins’recoupling theory
• Define double triangle algebra (DTA) with convolution product (⇒ finite dim C*-algebra)• minimal central projections
• irreducible *-representations of K-K DTA• irreducible K-K connections
• (minimal central projections of DTA, ・ product )= a system (FRA) of K-K irreducible connections
![Page 86: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/86.jpg)
![Page 87: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/87.jpg)
Classification of irreducible bi-unitary
connections on the Dynkin diagrams
![Page 88: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/88.jpg)
Classification of irreducible A-K connections
![Page 89: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/89.jpg)
![Page 90: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/90.jpg)
![Page 91: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/91.jpg)
Global index for a system of connections
![Page 92: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/92.jpg)
![Page 93: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/93.jpg)
![Page 94: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/94.jpg)
![Page 95: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/95.jpg)
Classification of irreducible K-K connections
![Page 96: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/96.jpg)
Coset decomposition
![Page 97: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/97.jpg)
Classification of irreducible K-K connections
![Page 98: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/98.jpg)
![Page 99: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/99.jpg)
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![Page 101: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/101.jpg)
![Page 102: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/102.jpg)
Classification of quantum subgroupsof quantum SU(2)
![Page 103: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/103.jpg)
Goodman-de la Harpe-Jones subfactors
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![Page 105: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/105.jpg)
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Classification of quantum subgroupsof quantum SU(2)
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From Ocneanu Graph to Modular invariants
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Ocneanu Graph の描き方(1)
• Ocneanuのオリジナルの方法
• Connection (bimodule) の system (fusion rule algebra, 略してFRA ) による方法
• SU(2) の場合 (modular invariant が不要)
• SU(N) (N≧3) の場合は,SU(2)より複雑でSU(2)とは異なる新しいアイディアが必要.
(modular invariant の分類を使用)
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Ocneanu Graph の描き方(2)
• Boeckenhauer -Evans-Kawahigashi による方法
• Sector のFRAによる.
• Conformal Field Theory (CFT), WZW model,
confomal inclusion
• Braiding, α-induction
• Modular invariant
• SU(N) (N≧3) で実行可能
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Braiding, α-induction
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Braiding, α-induction
![Page 120: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/120.jpg)
Problem N-N, N-M, M-N given ⇒ find M-M
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![Page 122: On Quantum Subgroups of Quantum SU(2)nobuya/goto_RIMS2009.pdfOn Quantum Subgroups of Quantum SU(2) 2010年1月28日(木) RIMS共同研究「作用素環論と特異点の幾何学」](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041808/5e55a1d978e1d25d6a320f3d/html5/thumbnails/122.jpg)
Modular invariants
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Ocneanu Graph の描き方(3)
• Coquereaux, Schieber, Trincheroらの方法
• 純代数的な方法(FRA の相対テンソル積,weak Hopf algebra (quantum groupoid),行列計算)
• Ocneanu Graphに代数的な構造の意味づけがなされる.
• SU(N) (N≧3) の場合にも(SU(2)より複雑だが)実行可能.
• (SU(2)の場合) Modular invariant, toric matrix なども結果的に構成される.
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Classification of quantum subgroupsof quantum SU(N) (Ocneanu)
• First row of modular invariant ⇒ Gap
• Gap には level によらない uniform bound がある.
• Exceptional case は level に比例して Gap が大きくなる.
• SU(N) のexceptional graph (E series) にはlevel の比較的小さいところにしかない.
• (cf. Ganon の計算 level < 10000 )
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