Ôn luyện toán 9 tác giả: trần Đăng khoa, 2012

8/13/2019 Ôn luyện Toán 9 Tác giả: Trần Đăng Khoa, 2012

http://slidepdf.com/reader/full/on-luyen-toan-9-tac-gia-tran-dang-khoa-2012 1/39

Giáo án ôn luyện Toán 9

Tiết 1- 2 RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Bài 1: Thực hiện phép tính(Không dùng máy tính c ầm tay):

4 2 36 48 2 27 4 75 .

3 A

2 3 11 6 2 E

8 2 15 8 2 15 B 3

5 234 5 76

F

2 2 5:

3 2 2 3 2 2 2C

5 2

9 4 5 :5 2

G

1 2 3 1:

4 2 3 3 2 2 D

15 12 8

3 7 207 2 7 1 3 7

H

Bài 2: Thực hiện phép tính: 1 1 1 1

...1 2 2 3 3 4 99 100

Bài 3:Cho 8 4 3 A

và 8 4 3 B

. So sánh A + B và AB.Bài 4:Thu g ọn biểu thức:2 2 4

.2 2

x x x

x x x

với x > 0 và x ≠ 4

Bài 5:Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào các bi ến:

a/2

2

1 1 1 1. 1

12 2 2 2

a A

a aa a

b/

2 2.

2

xy x y y x B

x y x y y x x y

Bài 6: Cho bi ểu thức 1 21 :

1 1 1

x xK

x x x x x x

a/ Rút g ọn K. b/ Tính giá tr ị biểu thức K khi 4 2 3 x c/ Tìm x để K > 1.

Bài 7: Cho bi ểu thức 3 9 3 21 :

9 5 6 2 3

x x x x x H

x x x x x

a/ Rút g ọn H. b/ Tìm x để H < 1. c/ Tìm x Z để H Z.d/ Tìm giá tr ị lớn nhất của H.

Bài 8: Cho bi ểu thức 15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x xP

x x x x

a/ Rút g ọn P. b/ Tìm x khi 1

2P .

c/ Tìm giá tr ị nhỏ nhất của P.




Tiết 3- 4 RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC (tt)

Bài 1: Thực hiện phép tính (Không dùng máy tính c ầm tay): 3 2 4 18 2 32 50 A 3 4 19 8 3 E

1 3 327 6

3 3 B

2

2 5 14 6 5F

4 5 6

3 1 3 2 3 3C

3 2 2 3 5

3 2 6 1G

5 2 6 5 24 D 2 3 6 2 H

Bài 2: a/ Sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:2 3 , 3 2 , 1

162

b/ S ắp xếp theo thứ tự giảm dần:3 5 , 7 2 , 73 , 4 6

Bài 3: Không dùng máy tính c ầm tay, hãy so sánh:a/ 12 11 và 11 10 c/ 2 7 5 và 4 7

b/ 99 101 và 2 100 d/ 11 15 và 12 14 Bài 4: Cho hàm s ố 211 4 y f x x . Không tính, hãy so sánh:

a/ 11 19 f và 13 17 f

b/ 7

17 f

và 7

19 f

Bài 5:Chứng minh đẳng thức:2

59 2 14 28

7 2

Bài 6:Rút gọn biểu thức2

. x x y y x y

A xy x y x y

với x > 0, y > 0, x ≠ y.

Bài 7:Cho bi ểu thức2 2

11

a a a a B

a a a

a/ Rút g ọn B. b/ Tìm GTNN c ủa B.

Bài 8: Cho bi ểu thức 2 9 3 2 1

5 6 2 3

x a xP

x x x x

a/ Rút g ọn P. b/ Tìm x để P < 1. c/ Tìm x Z để P Z.

Bài 9: Cho bi ểu thức 1 1 8 3 1:

1 11 1 1

a a a a aQ

a aa a a

Tìm GTNN và GTLN c ủa Q.

Bài tập về nhà: 1.1; 1.2; 1.3; 1.4; 1.5; 1.9; 1.11; 1.12; 1.13




Tiết 5- 6 ĐỒ THỊ HÀM SỐy = ax + b VÀ y = ax2

Bài 1: Vẽ Parabol (P):2

2 x

y và đường thẳng (d): 3 y x trên cùng m ột hệ trục tọa độ.

Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d) b ằng phương pháp đại số.

Bài 2: Cho Parabol (P): 2 y x và đường thẳng (d): 2 y x .a/ Vẽ (P) và (d) trên cùng m ột hệ trục tọa độ.

b/ Tìm t ọa độ các giao điểmA và B c ủa hai đồ thị bằng phương pháp đại số. c/ Vi ết phương tr ình đường trung trực của đoạn AB.

Bài 3: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): 2 y x .a/ Vẽ (P).

b/ Gọi M, N là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 1 và – 2. Vi ết phương tr ìnhđường thẳng MN.

c/ Vi ết phương tr ình đường thẳng (d) song song với MN và tiếp xúc với (P). Bài 4: Cho (P): 2 y ax .

a/ Tìm a bi ết (P) đi qua 1; 1 A . b/ Trên (P) l ấy điểm B có hoành độ bằng – 2. Vi ết phương tr ình đường thẳng AB.

Bài 5: Cho (P): 2 y ax và (d): 2 2 y x .a/ Tìm a bi ết (P) đi qua 2;2 A .

b/ Ch ứng minh rằng (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. c/ Vi ết phương tr ình đường thẳng (d’) vuông góc với (d) tại A.

Bài 6: Cho (P): 214

y x . Vi ết phương tr ình đường thẳng (d) đi qua 4; 3 A và tiếp xúc

với (P). Bài 7: Cho (P): 2 y x và (d): 22 1 y m x m .

a/ Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm A, B phân biệt. b/ Tìm m sao cho 2 2 10 A B x x .

Bài 8: Cho Parabol (P): 212

y x và đường thẳng (d): 2 1 y x m .

a/ Tìm m để (d)cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 2. b/ Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.c/ Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ dương.

d/ Tìm m sao cho (d) c ắt (P) tại hai điểmA, B th ỏa mãn: 2 2

1 1 12 A B x x

.

Bài 9: Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham s ố, m ≠ 0) a/ Vẽ đồ thị (P) tr ên m ặt phẳng Oxy.

b/ Khi m = 3, tìm t ọa độ giao điểm của (P) và (d).c/ Gọi ; A A A x y , ; B B B x y là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). Tìm các giá tr ị

của m sao cho 2 1 A B A B y y x x .

Bài 10: Trong m ặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số 2 y ax có đồ thị (P).

a/ Tìm a, bi ết rằng (P) cắt đường thẳng (d) có phương tr ình 32

y x tại điểm A có

hoàn h độ bằng 3. Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm được. b/ Tìm to ạ độ giao điểm thứ hai B (khác A) của (P) và (d).




Tiết 9– 10 PHƯƠNG TR ÌNH – HỆ PHƯƠNG TR ÌNH

Bài 1:Giải các hệ phương tr ình:

a/2 3 3

5 6 12

x y

x y

b/

5 6 2

7 9 1

x y

x y

c/

2 3 7

5 4 28

x y

x y

d/3 2 10

5 3 5

x y

x y

e/

3 2 13

2 5 4

x y

x y

f/

6 6 54 3

1

x y xy

x y

g/

3 42

4 53

x y

x y

h/

3 61

2

1 10

2

x y x y

x y x y

i/

527

1 3

2 34

1 3

x y x y

x y x y

Bài 2:Giải các phương tr ình sau:a/ 2 2 3 2 3 0 x x b/ 2 6 2 18 0 x x

c/ 2 2 5 1 4 5 0 x x d/ 23 1 3 3 4 0 x x

e/ 23 1 2 3 3 1 0 x x f/ 22 1 3 2 2 2 2 0 x x

Bài 3: Giải các phương tr ình sau:a/ 4 229 100 0 x x b/ 4 2 20 0 x x c/ 4 24 7 2 0 x x

d/ 1 2 3 120 x x x x e/ 30 301

1 x x f/ 4

32

x x

g/ 4 53

1 2 x x

h/ 1 32

2 6 x x

i/2

2

1 1 22 2 4

x x x x x

Bài 4: Cho h ệ phương tr ình3

4

mx y

x my

(m là tham s ố)

a/ Giải hệ phương tr ình khi m = 2.

b/ Ch ứng minh hệ phương tr ình luôn có nghi ệm duy nhất với mọim.

Bài 5:Cho h ệ phương tr ình 1 2

1

m x y

mx y m

(m là tham s ố)

a/ Giải hệ phương tr ình với m = 2; b/ Ch ứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương tr ình luôn có nghi ệm duy

nhất (x ; y) thoả mãn 2x + y ≤ 3.

Bài 6: Cho h ệ phương tr ình 2 12 4 3mx y x y

(m là tham s ố) (I).

a) Gi ải hệ (I) vớim = 1. b) Tìm t ất cả các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất.

Bài 7:Cho h ệ phương tr ình2

1

mx y m

x m my

a/ Giải hệ phương tr ình khi m = 3. b/ Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên.




Tiết 13– 14 PHƯƠNG TR ÌNH – HỆ PHƯƠNG TR ÌNH (tt)

Bài 1:Cho phương tr ình b ậc hai 23 7 4 0 x x . Gọi hai nghiệm của phương tr ình là x1, x2.

Không gi ải phương tr ình, hãy l ập phương tr ình b ậc hai có hai nghiệm là 1

2 1 x

x và 2

1 1 x

x .

Bài 2:Lập phương tr ình b ậc hai có hai nghiệm là 2 32

và 2 32

.

Bài 3: Lập phương tr ình b ậc haicó hai nghi ệm là x1 và x2 thỏa : 1 2

2 21 2

6

12

x x

x x

Bài 4:Cho h ệ phương tr ình:2 3 5

2

x y a

x y

. Gọi nghiệm của hệ là (x ; y). Tìm a để 2 2 x y

bé nh ất. Bài 5:Cho phương tr ình 2 22 1 2 3 0 x m x m m

a/ Giải phương tr ình với m = 1. b/ Tìm m để phương tr ình có hai nghi ệm trái dấu. c/ Tìm m để phương tr ình có m ột nghiệm bằng 3. Tìm nghi ệm kia.

Bài 6:Cho phương tr ình 22 3 2 1 0 x m x m

a/ Chứng minh phương tr ình luôn có nghi ệm với mọi m. b/ Tìm h ệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không ph ụ thuộc vào m.c/ Tìm m để phương tr ình có hai nghi ệm là 2 số nghịch đảo của nhau. d/ Tìm m để phương tr ình có hai nghi ệmlà hai s ố đối nhau. e/ Lập phương tr ình b ậc hai có hai nghiệmu, v sao cho u = x1 + 2, v = x2 + 2.

Bài 7:Cho phương tr ình 2 2 0 x x m a/ Tìm m để phương tr ình có nghi ệm.

b/ Tìm m để phương tr ình có hai nghi ệm x1, x2 thỏa x1 = 3 x2.Bài 8:

a/ Cho phương tr ình 2 22 1 2 0 x m x m . Tìm m để phương tr ình có hai nghi ệm phân bi ệt sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệmkia.

b/ Cho phương tr ình 2 5 6 0 x m x m . Tìm m để phương tr ình có hai nghi ệm phân bi ệt x1, x2 sao cho 2 x1 + 3 x2 = 13.Bài 9: Cho phương tr ình vớim là tham s ố: 2 22 1 3 0 x m x m (1).

a) Tìm m để phương tr ình ( 1) có nghi ệm. b) Tìm m để phương tr ình ( 1) có hai nghi ệm sao cho nghiệm này gấp ba lần nghiệm

kia.

Bài 10: Cho phương tr ình2 2

2 3 0 x x m (1).a/ Giải phương tr ình với m = 1. b/ Tìm m để phương tr ình có hai nghi ệm trái dấu. c/ Ch ứng minh rằng phương tr ình 2 23 2 1 0m x x luôn có hai nghi ệm phân biệt mà

mỗi nghiệm của nó là ngh ịch đảo mỗi nghiệm của phương tr ình (1).Bài 11: Giảicác h ệ phương tr ình:

a/ 2 2

2

13

x y

x xy y

b/ 2 2

5

7

x y xy

x y xy

c/

2 2

2 2

1 x y

x x y y

Bài tập vềnhà: 2.1; 2.3 2.17




Tiết 15– 16 PHƯƠNG TR ÌNH – HỆ PHƯƠNG TR ÌNH (tt)

TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP GIẢI:1/ Dạng 1: ( ) ( ) A x B x

Điều kiện: A(x) 0 ho ặc B(x) 0. Bình ph ương hai vế được phương tr ình A( x) = B( x).

2/ Dạng 2: ( ) ( ) A x B x Điều kiện: B(x) 0. Bình ph ương hai vế được phương tr ình 2

( ) ( ) A x B x .Bài 1: Giải các phương tr ình sau:a/ 2 3 13 x b/ 2 3 1 x x c/ 2 5 4 9 x x

d/ 2 2 1 x x x e/ 5 4 0 x x f/ 2 3 7 0 x x g/ 5 2 2 x x h/ 2 3 2 1 5 0 x x i/ 4 4 x x Bài 2: Giải các phương tr ình sau:

a/ 2 6 9 x x x b/ 24 12 9 1 x x x c/ 24 4 1 2 x x x d/ 2 5 1 8 x x e/ 2 3 3 x x Bài 3: Giải các phương tr ình sau:

a/ 2 1 2 1 2 x x x x

b/ 4 4 4 4 4 x x x x

c/ 3 4 1 8 6 1 5 x x x x

d/ 2 2 5 2 3 2 5 7 2 x x x x

Tiết 19– 20 CÁC BÀI TOÁN TÌM GTLN - GTNN

Bài 1:Tìm GTNN c ủa các biểu thức sau:a/ 2 2 3 x x b/ 2 6 10 x x c/ 4 x x d/ 2 3 3 x x e/ 24 8 7 x x f/ 23 6 x x

g/ 22 3 5 x x h/ 22

1 x

x

Bài 2:Tìm GTLN c ủa các biểu thức sau:a/ 2 2 1 x x b/ 2 6 7 x x c/ 2 x x d/ 2 3 2 x x e/ 22 3 5 x x f/ 23 6 x x Bài 3: Cho phương tr ình: 2 2 1 4 0 x m x m

a/ Chứng tỏ phương tr ình luôn có hai nghi ệm phân biệt x1, x2 với mọim. b/ Cho 2 2

1 2 B x x . Tìm GTNN c ủa B và giá tr ị tương ứng củam.Bài 4: Cho phương tr ình: 2 21 2 0 x m x m m

a/ Chứng tỏ phương tr ình luôn có hai nghi ệm trái dấu x1, x2 với mọim. b/ Tìm m để 2 2

1 2 x x đạt GTNN. Bài 5: Tìm GTNN c ủa biểu thức: 2 22 5 10 26 x x x x Bài 6: Cho 2 2 4 x y . Tìm GTLN và GTNN c ủa x y .




Tiết 21– 24 CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNGTRÌNH, HỆ PHƯƠNG TR ÌNH

DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tínhquãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. Bài 2: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. khi được1/3 quãng đường AB, n gười đó tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đã đến B sớm hơnd ự định 24 phút. Tìm v ận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường. Bài 3: Kho ảng cách giữa hai thành ph ố A và B là 180km. M ột ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90

phút ở B rồi lại đi về A. Biết rằng vậntốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5km/h và th ời giantừlúc đi đến lúc về là 10 gi ờ. Tìm vận tốc lúc đi của ô tô.Bài 4:Quãng đường AB dài 180km. Cùng lúc có hai ô tô kh ởi hành từ A để đến B. Do vậntốc của ô tô thứ nhất hơn vận tốc của ô tô thứ hai 15km/h nên ô tô th ứ nhất đến B sớm hơn 2giờ. Tìm v ận tốc của mỗi ô tô. Bài 5: Một canô xuôi dòng t ừ A đến B, sau đó lại ngượcdòng t ừ B trở về A với cùng v ậntốc 30 km/h. Thời gian đixuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 1 gi ờ 12 phút. Tínhkhoảng cáchgiữa hai bến A và B, bi ết rằng vận tốc dòng n ước là 5 km/h.Bài 6: Một canô xuôi dòng từ A đến B dài 80km, sau đó lại ngược dòng đến C cách B72km. Th ời gian xuôi dòng ít h ơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính v ận tốc của canô,

biết rằng vận tốc dòng n ước là 4km/h.Bài 7: Hai người cùng kh ởi hành đi ngược chiều nhau, người thứ nhất đi từ A đến B, ngưthứ hai đi từ B đến A. Họ gặp nhau sau 3 giờ. Hỏi mỗi người đi quãng đường AB trong baolâu, n ến người thứ nhất đến B muộn hơn người thứ hai đến A là 2,5 gi ờ.Bài 8: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24km, cùng lúc đmột bè nứa cũng trôi từ A với vận tốc 4km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứatại địa điểm C cách A là 8km. Tính v ận tốc thực của ca nô.

DẠNG 2: TOÁN NĂNGSUẤT Bài 9: Hai người thợ cùng làm chung m ột công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. N ếungười thứ nhất làm trong 5 gi ờ và người thứ hai làm trong 6 gi ờ thì cả hai người chỉ làm

được43

công vi ệc. Hỏi một người làm công vi ệc đó trongmấy giờ thì xong?

Bài 10: Hai người cùng làm chung m ột công việc thì hoàn thành trong 4 gi ờ. Nếu làm riêngđể hoàn thành công vi ệc thì thời gian của người thứ nhất ít hơn thời gian của người thứ hlà 6 gi ờ. Hỏi nếu làm riêng thì m ỗi người sẽ hoàn thành công vi ệc trong bao lâu? Bài 11: Một đội xe cần phải chuyên ch ở 150 tấn hàng. Hôm làm vi ệc có 5 xe được điều đilàm nhi ệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 t ấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêuchiếc? Bài 12: Hai vòi n ước cùng ch ảy vào 1 cái b ể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu đểriêng vòi th ứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờnữa thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì m ỗi vòi ch ảy đầy bể trong bao lâu? Bài 13: Hai máy ủi làm vi ệc trong vòng 12 gi ờ thì san l ấp được1/10 khu đất. Nếu máy ủithứ nhất làm m ột mình trong 42 gi ờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm m ột mình trong22 giờ thì cả hai máy ủi san lấp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm m ột mình thì m ỗi máy ủisan lấp xong khu đất đã cho trong bao lâu.



Giáo án ôn luyện Toán 9 Bài 14:Một đội công nhân phải làm 216 s ản phẩm trong một thời gian nhất định. Ba ngàyđầu, mỗi ngày đội làm đúng theo định mức. Sau đó mỗi ngày h ọ đều làm vượt mức 8 sản

phẩm nên đã làm xong 232 s ản phẩm trước thời hạn 1 ngày. H ỏi theo kế hoạch mỗi ngàyđội phải làm bao nhiêu s ản phẩm? DẠNG 3: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC Bài 15:Một khu vườn hình ch ữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm lối đi xung quanhvườn rộng 2m (thuộc đất trong vườn). Tính kích thước củakhu vườn, biết rằngdiện tích đấtcòn l ại để trồng trọt là 4256m 2.Bài 16:Cho m ột hình ch ữ nhật. Nếu tăng chiều dài 10m và tăng chiều rộng5m thì di ện tíchtăng 500m2. Nếu giảm chiều dài 15m và gi ảm chiều rộng 9m thì diện tích giảm 600m2. Tínhchiều dài, chi ều rộng ban đầu. Bài 17: Một hình ch ữ nhật có diện tích 300m2. Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài5m thì di ện tích không đổi. Tìm kích th ước của hình ch ữ nhật ban đầu.Bài 18: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5cm và di ện tích là 6cm 2. Tính độ dài haicạnh góc vuông. Bài 19: Một hình ch ữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 7m và có độ dài đường chéo là 17m.Tính chu vi và di ện tích của hình ch ữ nhật. Bài 20:Một mảnh đất hình ch ữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 22m. Nếu giảm chiều dài2m và tăng chiều rộng 3m thì di ện tích sẽ tăng thêm 70m 2. Tính chi ều dài và chi ều rộng củamảnh đất đó. DẠNG 4: TOÁN VỀ TÌM SỐ Bài 21:Tìm hai s ố biết hiệu của chúng bằng 10 và tổng của 6 lần số lớn với 2 lần số bé là116. Bài 22:Tìm m ột số tự nhiên có hai ch ữ số, biết rằngtổng các chữ số bằng 11 và nếu đổi chỗchữ số hàng ch ục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Bài 23:Tìm m ột số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nóànếulấysố cần tìm chia cho t ổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3. Bài 24: Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá tr ị của phân số

bằng41 . Nếu tử số thêm 7 và m ẫu số tăng gấp 3 thì giá tr ị phân số bằng

245 . Tìm phân s ố đó.

Bài 25: Nếu thêm 4 vào c ả tử và m ẫu của một phân số thì giá tr ị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 ở cả tử và mẫu thì giá tr ị của phân s ố tăng

23 . Tìm phân s ố ban đầu.

Bài 26: Tìm s ố tự nhiên có 2 ch ữ số, biết rằng tổng của hai chữ số bằng 1/8 số đó, còn n ếuthêm 13 vào tích c ủa hai chữ số thì được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.

DẠNG 5: NỘI DUNG KHÁC Bài 27: Hai l ớp 9A và 9B có t ổng số học sinh là 84. Trong đợt mua bút ủng hộ nạn nhânchất độc màu da cam, m ỗi học sinh lớp 9A mua 3 chiếc bút, mỗi học sinh lớp 9B mua 2chiếc bút. Tìm s ố học sinh mỗi lớp, biết tổng số bút hai lớp mua là 209 chi ếc. Bài 28: Hai tổ sản suất cùng may m ột loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ haimay trong 5 ngày thì c ả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong m ỗi ngày tổ thứnhất may được nhiều hơn tổ thứ hai 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày đượcnhiêu chi ếc áo?



Giáo án ôn luyện Toán 9 HƯỚNG DẪN GIẢI:

Bài 8:Gọi x (km/h) là v ận tốc thực của canô ( x > 0).Vận tốc xuôi dòng: x + 4 (km/h).Vận tốc ngược dòng: x – 4 (km/h).

Thời gian xuôi dòng từ A đến B: 244 x

(h).

Thời gian ngược dòng từ B về C:16

4 x (h).

Ta có phương tr ình: 24 162

4 4 x x

.

Giải phương tr ình tìm được x = 20.

Bài 14: Gọi x là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo k ế hoạch. ( x > 0)

Thời gian dự định để làm 216 s ản phẩm:216 x

(ngày)

Số sản phẩm làm được 3 ngày đầu: 3 x (sản phẩm). Số sản phẩm còn lại: 232 – 3 x (sản phẩm). Số sản phẩm mỗi ngày làm được sau khi tăng năng suất: x + 8 (s ản phẩm). Thời gian để hoàn thành 232 – 3 x sản phẩm:232 3

8 x

x

Theo đề ta có phương tr ình: 216 232 34

8 x

x x

216 8 232 3 4 8 x x x x x 2 48 1728 0 x x

Giải được 1 24 x , 2 72 x (loại). Vậy theo kế hoạch mỗi ngày ph ải làm 24 s ản phẩm.




Tiết 25 - 26 ÔN TẬP HÌNH HỌC Bài 1: Cho nửa đường tr òn đường kính AB = 2R. Từ A và B k ẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm Mthuộc nửa đường tr òn k ẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đườthẳng AD và BC cắt nhau tại N.

a/ Chứng minh · 090COD . b/ Chứng minh AC.BD = R 2.c/ Chứng minh OC // BM d/ Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tr ònđường kính CD. e/ Chứng minh MN AB.

Bài 2: Cho đường tr òn (O),đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD AB ở H. Gọi M là điểm chínhgiữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh :

a/ AB

AC

KB

KC

b/ Tứ giác OHCI nội tiếp. c/ Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tr òn (O) tại M.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuôngở A (AB < AC), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao chHD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD (E AD).

a/ Chứng minh rằng AHEC là tứ giác nội tiếp. b/ Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tr òn ngoại tiếp tứ giác AHEC. c/ Chứng minh rằngCH là tia phân giác của góc ACE. d/ Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của đường tr òn nói

trên biết AC = 6cm,· 030 ACB .Bài 4: Cho đường tr òn tâm O cóđường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (AB< AC), D làđiểm thuộc bán kính OC. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.

a/ Chứng minh rằng ADCF là tứ giác nội tiếp. b/ Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng· ·2 AME ACB .c/ Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tr òn (O).d/ Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường tr òn (O)

biết BC= 8cm,· 060 ABC .Bài 5: Cho A là một điểm trên đường tr òn (O ; R). Gọi B là điểm đối xứng với O qua A. Kẻ đườngthẳng d đi qua B cắt đường tr òn (O) tại C và D (d không đi qua O và BC < BD). Các tiếp tuyến củđường tr òn (O) tại C và D cắt nhau tại E. Gọi M là giao điểm của OE và CD. K ẻ EH vuông góc vớiOB (H thuộc OB). Chứng minh rằng:

a/ Bốn điểm B, H, M, E cùng thuộc một đường tròn. b/ OM.OE = R 2 c/ H là trung điểm của OA. d/ EH cắt (O) tại N. Chứng minh BN là tiếp tuyến của (O).

Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A bằng 600 và các góc B, C nhọn. Vẽ các đường cao BD và CE củatam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.

a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB.c/ Tính tỉ số

BC DE .

d/ Gọi O là tâm đường tr òn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE. Bài 7: Cho đường tr òn (O), dây AB khôngđi qua tâm. Trêncung nhỏ AB lấy điểm M (M không tr ùngvới A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với AN (K thuộc AN).

a/ Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đường tr òn. b/ Chứng minh: MN là phân giác của · BMK .c/ Khi M di chuyển tr ên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN.Xác định vị trí của điểm M để MK.AN + ME.NB có giá tr ị lớn nhất.




I

N

C

D

O A B

M

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

a/ · · · · ·090

2 2 AOM MOB

COD COM MOD

b/ 2 2. . AC BD MC MD OM R c/ OC OD, BM OD OC // BM

d/ Gọi I là trung điểm CD Suy ra OI là đường trung bình của hình thang vuông ABDC OI // AC // BD OI AB.

e/ Vì AC // BD nênCN AC NB BD

Mà AC = CM, BD = MD nênCN CM NB MD

Suy ra MN // BD MN AB.Bài 2:a/ ¼ » MC MB AM là tia phân giác của góc A. b/ · · 090OHC OIC c/ MP AP, AP // OM MP PM.

Bài 3:a/ · · 090 AHC AEC Suy ra tứ giác AHEC nội tiếp đường tr òn tâm Iđường kínhAC.

b/ AB IA.c/ µ µ

1 1C A , ¶ ¶ 2 2C A , µ ¶

1 2 A A (do ABH = ADH)Suy ra µ ¶

1 2C C

Bài 4:a/ · · 090CAF CDF b/ AMF cân tại M, nên · µ2 AME F .Tứ giác ADCF nội tiếp nên µ µF C Suy ra · µ2 AME C

c/ AME cân tại M nên µ · 01

1 902

A AME

OAC cân tại O nên ¶ µ ·2

12

A C AME

Suy ra µ ¶ 01 2 90 A A .

Bài 5:a/ · · 090 BHE BME Suy ra tứ giác BHME nội tiếp đường tr òn đường kínhBE Bốn điểm B, H, M, E cùng thuộc đườngtrònđường kính BE.

21

21 I

E

D H B C

A

2

1

M

E

F

O B C

A

D

P

K

I

M

D

C

O A B

H




Tiết 27- 28 ÔN TẬP HÌNH HỌC (tt) Bài 1: Cho đường tr òn (O)đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng qua Cvuông góc với AB cắt (O) tại hai điểmP, Q. Tiếp tuyến tại D tr ên cung nhỏ BP, cắt PQ ở E; AD cắtPQ tại F.Chứng minh:

a/ Tứ giác BCFD là tứ giác nội tiếp. b/ ED = EFc/ ED2 = EP.EQ

Bài 2:Cho nửa đường tr òn tâm Ođường kính AB. Từ điểm M tr ên tiếp tuyến Ax của nửa đường tr ònvẽ tuyếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với AB, đường thẳng MB cắt đườntròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao điểm của MO và AC là I. Chứng minh rằng:

a/ Tứ giác AMQI nội tiếp. b/ · · AQI ACO .c/ CN = NH.

Bài 3: Cho tam giác vuông cân ADB (DA = DB) nội tiếp trong đường tr òn tâm O. Dựng hình bìnhhành ABCD. Gọi H là chânđường vuông góck ẻ từ D đến AC; K là giao điểm của AC với đường tr òn(O). Chứng minh rằng:

a/ HBCD là một tứ giác nội tiếp. b/ · ·2 DOK BDH c/ 2. 2CK CA BD

Bài 4:Cho đường tr òn (O ; R) đường kính AB. Tr ên tiếp tuyến Ax lấy điểm F, BF cắt đường tr òn tạiC, tia phân giác của · ABF cắt Ax tại E và cắt đường tr òn tại D.

a/ Chứng minh OD // BC. b/ Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BFc/ Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. d/ Xác định số đo của· ABC để tứ giác AOCD là hình thoi. Tính diện tích hình thoi AOCD

theo R. Bài 5: Cho 3 điểm A, F, B thẳng hàng (F nằm giữa A và B). Vẽ đường tr òn (O)đường kính AF; vẽđường tr òn (O’)đường kính AB. Dây cung BE của đường tr òn (O’) tiếp xúc với đường tr òn (O) tại C.Đoạn AC kéo dài cắt (O’) tại D. Chứng minh rằng:

a/ AE // OC. b/ AD là phân giác của · BAE .c/ ABC CBFd/ AC.AD + BC.BE = AB2.

Bài 6:Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trong góc ABC k ẻ tiaBx bất kỳ cắtAC tại D (D khôngtrùng vớiA và C). Qua C k ẻ đường thẳng vuông góc vớiBx tại E. Gọi F là giao điểm củaAB và CE.

a/ Chứng minh tứ giácABCE nội tiếp được trong một đường tr òn. b/ Chứng minh tia EA là tia phân giác của · DEF .c/ Tính số đo · BFD .d/ Gọi M là trung điểm của đoạn thẳngBE. Tìm quỹ tích điểm M khi tia Bx thay đổi vị trí nằm

giữa hai tiaBA và BC.Bài 7:Cho đường tr òn tâm Ođường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tr òn (O)khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộcAB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).

a/ Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật. b/ Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.c/ Gọi K là giao điểm củaEB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng. Suy

ra K là trung điểm của MP.




HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:a/ Tứ giác BCFD có· · 0 0 090 90 180 BCF BDF nên là tứ giác nội tiếp.

b/ · · EDF DBA (Vì cùng bằng »1s2

đ AD ).

· · EFD DBC (Vì cùng bù với · DFC )Suy ra · · EDF EFD EDF cân tại E ED = EF.c/ EPD và EDQ có µ E chung, · · EDP EQD

EPD EDQ EP ED ED EQ

ED2 = EP.EQ

Bài 2:a/ Tứ giác AMQI có· · 090 AIM AQM nên là tứ giác nội tiếp. b/ Vì tứ giác AMQI nội tiếp nên · · AQI AMI (1)Tứ giác AMCO có· · 0 0 090 90 180OAM OCM nên là tứ giácnội tiếp · · ACO AMO (2)Từ (1) và (2) suy ra · · AQI ACO .c/ Vì tứ giác AMQI nội tiếp nên · · MAI IQN Mà · · MAI ICN (so le trong)Suy ra · · IQN ICN Tứ giác IQCN nội tiếp

Suy ra · · INQ ICQ (Vì cùng bằng »1s2

đQI ).

Mà · · ICQ ABQ (Vì cùng bằng »1 s2

đ AQ ). Suy ra · · INQ ABQ IN // AB.

Mà I là trung điểm AC, suy ra IN là đường trung bìnhACH. Do đó N là trung điểm CH.

Bài 3:a/ Tứ giác HBCD có· · 090 DHC DBC nên là tứ giácnội tiếp. b/ · · · ·2 2 2 DOK DAK HCB HDB c/ OK AB OD CD CD là tiếp tuyến củađường tr òn (O) CK.CA = CD2 = AB2 = 2BD2.

Bài 4:a/ · ·OBD ODB ( OBD cân tại O) và · ·OBD DBC (gt)

· ·ODB DBC OD // BC b/ µ ·F CAB (cùng phụ với µ B )

· ·CAB CDB (Vì cùng bằng »1 s2

đ BC ).

Suy ra µ ·F BDC .

Suy ra BFE BDC (g-g) BF BE BD BC

BF.BC = BD.BE

c/ Tứ giác CDEF cóµ ·F BDC nên là tứ giác nội tiếp.

F

E

Q

P

O A B

C

D

I N

Q

H

C

O A B

M

K

H

C D

O A

B

D E

C

O A B

F



Giáo án ôn luyện Toán 9 d/ Tứ giác OADC là hình thoi khi và chỉ khi OA = AD OAD là tam giác đều.

· 060 AOD · 060 ABC Khiđó 0.sin 2 .sin 60 3 AC AB B R R

Suy ra21 3.

2 2 AOCD

RS OD AC .

Bài 5:a/ · · 090 AEB OCB b/ µ

1 1 A C (so le trong) và ¶ 2 1 A C ( OAC cân tại O) µ ¶

1 2 A A

c/ ABC và CBF có:µ B chung và ¶ ¶ 2 2 A C

ABC CBF (gg)d/ K ẻ CH AB tại H.

ACH ABD AC AH AB AD

AC.AD = AB.AH

BCH BAE BC BH BA BE

BC.BE = AB.BH

Suy ra: AC.AD + BC.BE = AB2.Bài 6:a/ Tứ giác ABCE có · · 090 BAC BEC nên là tứgiác nội tiếp. b/ Vì tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp nên

· · 045 AEB ACB .

Mà · 0=90 DEF nên · ·12

AEB DEF .

Suy ra EA là tia phân giác của · DEF .c/ Tứ giác ADEF có· · 0 0 0=90 +90 =180 DAF DEF nên là tứ giác nội tiếp.

· · · 045 AFD AED ACB .d/ Gọi I là trung điểm BC. Suy ra IM là đường trung bình của BEC IM // EC IM BE · 090 BMI .Suy ra M thuộc đường tr ònđường kính BI cố đ ịnh. Giới hạn: Khitia Bx trùng với tia BA thì M trùng với K, khi tia Bx tr ùng với tia BC thì M trùng với I. Vậy quỹ tích điểm M là cung nhỏ KI của đường tr ònđường kính BI. Bài 7:a/ · · 0 0 090 90 180OAE OME suy ra tứ giác AEMO nội tiếp. Tứ giác AQMP cóµ µ µ 090 A Q P nên là HCN. b/ Tứ giác AQMP là HCN nên hai đường chéo AM và QP cắt nhau

tại trung điểm mỗi đường I cũng là trung điểm AM. Mặt khác, có OE là đường trung trực của AM O, I, E thẳng hàng.c/ Vì OE AM, MB AM OE // MB · ·

AOM PBM EAO MPB vì cóµ µ 090 A P , · ·

AOM PBM .

EA AO MP PB

EA.PB = MP.AO (1)

Mặt khác do KP // EA nên KP BP EA BA

EA.PB = KP.AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MP.AO = KP.AB 2 MP ABKP AO

K là trung điểm MP.

21

21

H

D E

C

O'O A B

F

K

M

F

E

A

I B C

D

I K

Q

P

E

O A B

M




Tiết 29- 30 ÔN TẬP HÌNH HỌC (tt) Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD và AB>CD) nội tiếp trong đường tr òn (O). Tiếp tuyến vớiđường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.Đườngthẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh:

a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp. b/ Chứng minh AB // EI.c/ I là trung điểm củaRS.

d/ RS CD AB

211

Bài 2: Cho nửa đường tr òn tâm Ođường kính AB và điểm M bất k ì trên nửa đường tr òn (M khác A vàB). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tr òn k ẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phângiác của · IAM cắt nửa đường tr òn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.c) Chứng minh BAF là tam giác cân.d) Chứng minh rằng: Tứ giác AKFH là hình thoi.e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tr òn.Bài 3: Cho đường tr òn (O)đường kính AC. Tr ên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O và C). Gọi

M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đường tr òn đườngkính BC tại I.Chứng minh rằng:

a/ Tứ giác BMDI nội tiếp. b/ Tứ giác ADBE là hình thoi.c/ BI // AD.d/ Ba điểm I, B, E thẳng hàng.e/ MI là tiếp tuyến của đường tr òn đường kính BC.

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tr òn đường kính BCcắt AB, AC theothứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b/ Chứng minh AE.AB = AF.AC. c/ Gọi O là tâm đường tr òn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.Tính tỉ số OK

BC khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d/ Cho HF = 3cm, HB = 4cm, CE = 8cm và HC > HE. Tính HC.Bài 5: Cho đường tr òn (O ; R) và haiđường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên đoạn OB lấyđiểm M (khác O). Tia CM cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếptuyến qua N của (O) tại P. Chứng minh rằng:

a/ Tứ giác OMNP nội tiếp. Xác định đường tr òn ngoại tiếp tứ giác OMNP. b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành.c/ TíchCM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M.

d/ Tâm đườngtròn nội tiếp CND di chuyển tr ên một cung tr òn cố định khi M di chuyển tr ênđoạn OB. Bài 6: Cho ABC nội tiếp đường tr òn (O), có haiđường cao BM và CN. Vẽ tiếp tuyến xAy của (O).

a/ Chứng minh: Tứ giác BCMN nội tiếp một đường tr òn, xácđịnh tâm O’ của đường tr òn này. b/ Chứng minh: xy // MN c/ Gọi H là giao điểm của BM và CN. Vẽ đường kính AD của (O). Chứng minh: H, O’, D

thẳng hàng.

d/ AH cắt BC tại K. Chứng minh: 1 HK HM HN AK BM CN




HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:a/ Tứ giác AEDI có· · 0180 EDI EAI nên là tứ giác nội tiếp. b/ · · EAD ABD và · · EAD EID suy ra · · EID ABD .

c/ Vì RI // AB nên RI DI AB DB

(1)

Vì IS // AB nên IS CS AB CB

(2)

Vì IS // DC nên DI CS DB CB

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra RI IS AB AB

, suy ra RI = IS.

d/ Ta có RI DR AB DA

và RI ARCD DA

nên suy ra 1 RI RI AB CD

, suy ra 1 1 1 2 AB CD RI RS

.

Bài 2:a/ Tứ giác EFMK cóµ ¶ 0180 E M nên là tứ giác nội tiếp. b/ Áp dụng hệ thức lượng vào AIB vuông tại A, đường cao AM.c/ µ

1 1 B A , ¶ ¶ 2 2 B A và µ ¶

1 2 A A suy ra µ ¶ 1 2 B B . BAF có BE là

đường cao đồng thời là đường phân giác nên là tam giác cân.d/ AHK có AE là đường cao đồng thời là đường phân giác nên làtam giác cân tại A AE cũng là đường trung tuyến EH = EK.

BAF cân tại B đường cao BE cũng là trung tuyến EA = EF.Tứ giác AKFH có EA = EF, EH = EK và AF HK nên là hình thoi.e/ AM FB, BE FA K là tr ực tâm của FAB FK AB FK // IA AKFI là hình thang.Hình thang AKFI nội tiếp hình thang AKFI là hình thang cân · · MIA MAI · · MIA MBA

IAB vuông cân · 045 MBA M là điểm chính giữa » AB .Bài 3:a/ Tứ giác BMDI có· · 0180 BMD BID nên là tứ giác nội tiếp. b/ Tứ giác ADBE có MA = MB, MD = ME và AB DE nên làhình thoi.c/ BI DC và AD DC BI // AD.d/ ADBE là hình thoi EB // AD EB DC.Mà BI DC nên E, B, I thẳng hàng.e/ Tứ giác BMDI nội tiếp µ ¶

1 1 I D µ µ1 1 I E µ µ

1 1 I C . µ ¶

1 3 I C .Suy ra µ µ µ µ 0

1 2 3 2 90 I I I I MI là tiếp tuyến của (O’). Bài 4:a/ Tứ giác BEFC có· · 090 BEC BFC nên là tứ giác nội tiếp. BF AC, CE AB nên H là tr ực tâm ABC AD là đường caocủa ABC AD BC.

b/ AFE ABC AF AE AB AC

AE.AB = AF.AC

c/ Vì (O) ngoại tiếp ABC nhọn nên · ·2 BOC BAC (1).Vì tứ giác BHOC nội tiếp nên · · BOC BHC · · BOC EHF (2).Vì tứ giác AEHF nội tiếp nên · · 0180 BAC EHF (3)Từ (1), (2), (3) suy ra · 03 180 BAC · 060 BAC · 0120 BOC

R S I E

C

O A B

D

12

21

H K

F

E

I

O A B

M

1

1

1

321

I

O'

E

D

M O A C

B

O

D

H

F

E

K

A

C B




Suy ra · 030OBK . Suy ra · 3tan3

OK OBK

BK 3

6OK

BC .

d/ HEB HFC HB HE HC HF

HE.HC = HB.HF = 12. Do CE = 8 nên HE + HC = 8.

Suy ra HE và HC là 2 nghiệm của phương tr ình 2 8 12 0 x x . Giải được x1 = 2, x2 = 6.Vì HC > HE nên HC = 6cm.

Bài 5:a/ Tứ giác OMNP có· · 090OMP ONP nên là tứ giác nội tiếpđường tr ònđường kính OP. b/ Tứ giác OMNP nội tiếp µ ¶

1 1P N ; OCN cân ¶ µ1 1 N C ;

Có ¶ 01 190 M C , µ µ0

1 190O P ¶ 1 1 M O CM // OP.

Lại có CO // MP CMPO là hình bình hành.c/ CMPO là hbh MP = CO MP = OD.Tứ giác OMPD có MP // OD, MP = OD và · 090 MOD nên làhình chữ nhật · 090PDO .Suy ra D thuộc đường tr òn đường kính OP. Xét tứ giác OMND nội tiếp ¶ ¶ 1 1 M D

Suy ra COM CND CO CM CN CD

CM.CN = CO.CD = 2R 2 (không đổi).

d/ Gọi I là giao điểm hai tia phân giác góc C và góc D.Tính được· 0135CID (không đổi) I thuộc cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn CD. Bài 6:a/ Tứ giác BCMN có· · 090 BNC BMC nên nội tiếp đườngtrònđường kính BC. Tâm O’ là trung điểm BC. b/ Do tứ giác BCMN nội tiếp nên · · ANM ACB

Lại có: · · BAx ACB (Vì cùng bằng »1s2

đ AB ).

Suy ra · · BAx ANM xy // MN.

c/ BM AC, DC AC BM // DCCN AB, DB AB CN // DBSuy ra BHCD là hình bình hành Trung điểm O’ của đườngchéo BC cũng là trung điểm của đường chéo HD H, O’, Dthẳng hàng.

d/ HBC

ABC

S HK S AK

, HAC

ABC

S HM S BM

, HAB

ABC

S HN S CN

Suy ra: 1 HBC HAC HAB ABC

ABC ABC

S S S S HK HM HN

AK BM CN S S

1

1

1

1

1

1

P

N

D

C

O A B

M

x

y

K O'

D

H N

M

O

A

B C




Tiết 31- 32 ÔN TẬP HÌNH HỌC (tt) Bài 1: Cho đường tr òn (O ; R). Từ một điểm M ở ngoài (O ; R) k ẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là haitiếp điểm). Lấy một điểm C tr ên cung nhỏ AB (C khác A, B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuônggóc của C tr ên AB, AM, BM.

a/ Chứng minh AECD là tứ giác nội tiếp. b/ Chứng minh· ·CDE CBA .c/ Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh: IK // AB.d/ Xácđịnh vị trí điểm C tr ên cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó

khi 2OM R . (TS 09 – 10 )Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ tr ên cạnh BC (M khác B và C). Qua B k ẻđường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.

a/ Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp. b/ Chứng minh KM DBc/ Chứng minh KC.KD = KH.KB d/ Ký hiệu SABM, SDCM lần lượt là diện tích của ABM, DCM. Chứng minh tổng (SABM +

SDCM) không đổi. Xác định vị trí điểm M tr ên cạnh BC để 2 2 ABM DCM S S đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá

tr ị nhỏ nhất đó theo a. (TS 10 – 11 )Bài 3:Cho nửa đường tr òn tâm Ođường kính AB = 2R. Qua trung điểm I của AO, vẽ tia Ix vuông góvới AB và cắt (O) tại K. Gọi M là điểm di động trên đoạn IK (M khác I và K), kéo dài AM cắt (O) tạiC. Tia Ix cắt đường thẳng BC tại D và cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại E.

a/ Chứng minh tứ giác IBCM nội tiếp. b/ Chứng minh tam giác CEM cân tại E. c/ Khi M là trung điểm của IK, tính diện tích tam giác ABD theo R. d/ Chứng tỏ rằng tâm đường tr òn ngoại tiếp tam giác AMD thuộc một đường thẳng cố định kh

M thay đổi. (TS 11 – 12 )Bài 4: Cho nửa đường tr òn tâm Ođường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn AO (C khác A vàC khác O). Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AO cắt nửa đường tr òn đã cho tại D. Tr êncung DB lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tr òn đã cho tại M cắt đườngthẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.

a/ Chứng minh: BCFM là tứ giác nội tiếp. b/ Chứng minh: EM = EF. c/ Gọi I là tâm đường tr òn ngoại tiếp FDM. Chứng minh D, I, B thẳng hàng; từ đó suy ra

· ABI có số đo không đổi khi M thay đổi tr ên cung BD.




HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:a/ · · 0180 AEC ADC b/ · ·CDE CAE , · ·CAE CBA · ·CDE CBA c/ · ·CDE CBA , · ·CED CAB CED CAB

· · ECD ACB (1)· ·CDE CAE , · · ·CDK CBF CAD

· · IDK EAD (2)(1), (2) · · · · 0180 ICK IDK ECD EAD

Tứ giác CIDK nội tiếp · ·CIK CDK (3)Mặc khác: · · ·CDK CBF CAB (3)(3), (4) · ·CIK CAB IK // AB.d/ Gọi N là trung điểm AB.

2 22 2 2 2 2 2 22 2CA CB CD AD DB CN ND AN ND AN ND

2 2 2 2 2 22 2 2 . 2 .CN ND AN ND AN ND AN ND AN ND 2 2 2 212 22

CN AN CN AB

Do 212

AB không đổi nên CA2 + CB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi CN đạt giá trị nhỏ nhất C là

giao điểm của ON và cung nhỏ AB C là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Khi OM = 2R, vì OC = R C là trung điểm OM

2

OM CA CB R . Suy ra CA2 + CB2 = 2R 2.

Bài 2:a/ · · 090 BHD BCD b/ BC KD, DH KB M là tr ực tâm KBD KM BD.

c/ KHD KCB KH KD

KC KB KH.KB = KC.KD

d/ 21 1 1. .2 2 2 ABM DCM S S AB BM DC CM a (không đổi).

22 2 4124 ABM DCM ABM DCM S S S S a

2 2 418 ABM DCM S S a .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ABM DCM S S BM = CM.Bài 3:a/ · · 0 0 090 90 180 MIB MCB

b/ · · »1s2

ECM CBA đ AC (1)

Tứ giác IBCM nội tiếp nên · · EMC CBA (2)Từ (1), (2) suy ra· ·

ECM EMC ECM cân tại E.

c/ AKO đều 32

RKI 3

4 R

MI

74

R AM

N

I

E

K

D

A

F

B

O M

C

K

H

C B

A D

M

E

D

C

K

I O A B

M




AMI ABC AM AI AB AC

2 .. 42

7 74

R R AB AI R

AC AM R

127

R BC

ABC DBI BC AC

BI DI

4 3.. 27 3127

R R AC BI

DI R BC R

Suy ra: 21 . 32 ADBS AB DI R

Bài 4:a/ · · 090 BCF BMF b/ · ·

EFM CBM , · ·CBM EMF · ·

EFM EMF

c/ · · · »1 1s2 2

DIK DIF DMF đ AD ; · »1 s2

DBA đ AD

· · DIK DBA

Do IK // AB D, I, B thẳng hàng.

I K

F

E

D

O A BC

M



Giáo án ôn luy ện Toán 9

ĐỀ 1

Bài 1: (Không dùng máy tính b ỏ túi)

a/ Rút g ọn biểu thức: 33 2 27 75 12

2 A

b/ Gi ải hệ phương tr ình:2 1

2 3

x y

x y

Bài 2: Cho hàm s ố 214

y x .

a/ V ẽ đồ thị (P) của hàm số đó.

b/ Xác định a, b để đường thẳng (d): y ax b cắt trục tung tại điểm có tung độ

bằng – 2 và c ắt đồ thị (P) nói tr ên tại điểm có hoành độ bằng 2.

Bài 3: Cho phương tr ình 2 2 1 4 0 x m x m (với m l à tham s ố).

a/ Gi ải phương tr ình đã cho v ớim = – 5.

b/ Ch ứng tỏ phương tr ình đã cho luôn có hai nghi ệm phân biệt với mọi giá trịcủa tham sốm.

c/ Tìm m để phương tr ình đã cho có nghi ệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:

2 21 2 1 23 0 x x x x

Bài 4: Cho n ửa đường tr òn (O), đường kính BC. Gọi D là điểm cố định thuộc đoạthẳng OC (D khác O và C). D ựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắnửa đường tr òn (O) t ại A. Tr ên cung AC l ấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia BM

cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng

cắt nửa đường tr òn (O) t ại điểm N (N khác B).

a/ Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp.

b/ Ch ứng minh ba điểm C, K, N thẳng hàng.

c/ Gọi I là tâm đường tr òn ngo ại tiếp BKE. Ch ứng minh rằng điểm I luôn

nằm tr ên một đường thẳng cố định khi điểm M thay đổi.




HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 1 Bài 2: b/ Đường thẳng (d): y ax b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 2 nên b = – 2.

Đường thẳng (d): 2 y ax đi qua 2;1 B nên tìm được 32

a .

Bài 3:

a/ Vớim = – 5: Phương tr ình đã cho tr ở thành2

8 9 0 x x .Giải được x1 = – 1; x2 = 9.

b/ 2

2 2 1 19' 1 4 5 0

2 4m m m m m

, với mọim.

c/ Theo định lý Viet có:1 2 2 2 x x m ; 1 2 4 x x m .

Khi đó: 2 22 21 2 1 2 1 2 1 23 0 0 2 2 4 0 x x x x x x x x m m

2 94 9 0 4 9 0 0

4m m m m m m

Bài 4:a/ T ứ giác CDNE có· · 090CDE CNE nên là t ứ giác nộitiếp.

b/ ED BC, BM EC K là tr ực tâm của BCE CK BE C, K, N th ẳng hàng.c/ Lấy F đối xứng với C qua D. Vì KFC cân t ại K nên · ·KCF KFC Mà · ·KCF BEK (vì cùng ph ụ với · EBC )Suy ra · ·KFC BEK Tứ giác BEKF nội tiếp. Vì đường tr òn tâm I ngo ại tiếp BKE đi qua B và F cố định nên I thu ộc đường trung trựccủa BF.

F

N

E

K

A

O B C D

M




ĐỀ 2


a/ Rút g ọn biểu thức: 8 2 12

3 1 B

b/ Gi ải phương tr ình: 4 27 18 0 x x

Bài 2: Cho đường thẳng (d): 2 y x và parabol (P): 2 y x .

a/ V ẽ (d) và (P) trên cùng m ột mặt phẳng tọa độ.

b/ Xác định tọa độ A, B của (d) và (P) b ằng phép toán.

c/ Tìm điểm M tr ên cung AB c ủa (P) sao cho AMB có di ện tích lớn nhất.

Bài 3: Một mảnh đất hình ch ữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình ph ươngcủa số đo độ dài đường chéo gấ p 5 l ần số đo của chu vi. Tính diện tích của mảnh đấđã cho.

Bài 4: Cho t ứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tr òn (O) đường kính AD. Hai đườngchéo AC và BD c ắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD (F thuộc AD, F khác O).

a/ Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.

b/ Ch ứng minh tia CA là tia phân giác c ủa · BCF .

c/ Gọi M là trung điểm DE. Chứng minh:CM.DB = DF.DO .




HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 2 Bài 2: b/ Phương tr ình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2 22 2 0 x x x x Giải được 1 2 x x

1 1 x y : Tọa độ điểm 1;1 A

2 4 x y : Tọa độ điểm 2;4 B

c/ Vì A, B c ố định nên AB không đổi. Khi đó SAMB lớn nhất khi và ch ỉ khi M cách xa ABnhất. Xác định đườ ng th ẳng (d’) song song với AB và tiếp xúc với (P), tiếp điểm là điểm Mcần tìm.Phương tr ình đường thẳng (d’) có dạng: y ax b .Vì (d’) // (d) nên a = – 1.Xét phương tr ình hoành độ giao điểm của (d’) và (P): 2 2 0 x x b x x b (*)(d’) ti ếp xúc với (P) Phương tr ình (*) có nghi ệm kép = 0

11 4 0

4b b .

Hoành độ tiếp điểm là nghi ệm kép của phương tr ình (*): 1

2 x

.

Tìm được 1 1;

2 4 M

.

Bài 3: Gọi x là độ dài chi ều rộng của hình ch ữ nhật (x > 0). Độ dài chi ều dài của hình ch ữ nhật là x + 6.Chu vi hình ch ữ nhật: 4 x + 12Bình ph ương độ dài đường chéo của hình ch ữ nhật: 22 26 2 12 36 x x x x

Theo đề bài ta có phương tr ình: 2 22 12 36 5 4 12 4 12 0 x x x x x Giải phương tr ình được x1 = – 2 (lo ại) và x2 = 6.Do đó chiều rộng HCN là 6m, chi ều dài HCN là 12m.Suy ra di ện tích HCN là 72m 2.Bài 4:a/ Tứ giác ABEF có· · 0 0 090 90 180 ABE AFE nênlà tứ giác nội tiếp.

b/ · · BCA BDA (2 góc n ội tiếp cùng ch ắn » AB )· · EDF ECF (2 góc n ội tiếp cùng ch ắn » EF )Suy ra · · BCA ACF CA là phân giác c ủa · BCF .c/ Do M là trung điểm DE nên M là tâm đường tr ònngoại tiếp tứgiác DCEF.Suy ra MCD cân t ại M, hay MD = MC (1)

Mặt khác: MDF ODB nên . . DF DM DM DB DF DO DB DO

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: . .CM DB DF DO .

M

F

E

O A D

B

C




ĐỀ 3



2 3 3 2

b/ Gi ải phương tr ình: 12 1 18 9 4 8 4

3 x x x

Bài 2: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): 22 y x .

a/ V ẽ (P).

b/ G ọiA, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2. Vi ết phươngtrình đường thẳngAB.

c/ Vi ết phương tr ình đường thẳng (d) song song vớiAB và ti ếp xúc với (P).

Bài 3: Cho phương tr ình 2 2 2 1 0 x mx m .

a/ Chứng tỏ phương tr ình có nghi ệm với mọim.

b/ Tìm m sao cho 2 21 2 1 23 1 x x x x .

c/ Tìm m sao cho ph ương tr ình có hai nghi ệm x1, x2 thỏa 1 22 x x .

Bài 4: Cho 2 đường tr òn (O) và (O’) c ắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳngAO; AO’ c ắt đường tr òn (O) l ần lượt tại các điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E; F.

a. Chứng minh: C; B; F thẳng hàng.

b. Ch ứng minh: Tứ giácCDEF n ội tiếp được.

c. Chứng minh: A là tâm đường tr òn nội tiếp ∆BDE.

d. Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).




HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 3 Bài 2:

b/ 1 2 x y : Tọa độ điểm 1;2 A

2 8 x y : Tọa độ điểm 2;8 B Phương tr ình đường thẳng AB có dạng y ax b , thay t ọa độ của A, B ta được hệ phương

trình2 2

2 8 4

a b a

a b b

Vậy phương tr ình đường thẳng AB là 2 4 y x .c/ Phươngtrình đường thẳng (d) có dạng: y ax b . Vì (d) // AB nên a = 2.Xét phương tr ình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2 22 2 2 2 0 x x b x x b (*)(d) tiếp xúc với (P) Phương tr ình (*) có nghi ệm kép ’ = 0

11 2 0

2b b . Vậy phương tr ình đường thẳng (d): 1

22

y x

Bài 3:a/ 22' 2 1 1 0m m m với mọim.

b/ Theo định lý Viet có:1 2 2 x x m , 1 2 2 1 x x m .Khi đó: 22 2 2

1 2 1 2 1 2 1 23 1 5 1 0 2 5 2 0 x x x x x x x x m m .

Giải được 12

2m m .

c/ 1 2 1 2 2 2 22

2 3 2 33

x x x x x m x x m . Vì x2 là nghi ệm của phương tr ình đã cho

nên thay 223

x m vào phương tr ình ta được:2

2 22 . 2 1 0

3 3m m m m

28 18 9 0m m . Giải tìm được 3 32 4

m m .

Bài 4:a/ · 090 ABC AB BC· 090 ABF AB BFSuy ra C, B, F th ẳng hàng.

b/ T ứ giác CDEF có· · 090CDF CEF nên là t ứgiác n ội tiếp. c/ Ta có: µ

1 1 B C ; ¶ 2 1 B F ; µ µ

1 1C F µ ¶ 1 2 B B

Suy ra BA là tia phân giác c ủa BDE. (1)Mặt khác: ¶ ¶

1 2 D C ; ¶ ¶ 2 2 D C ¶ ¶

1 2 D D

Suy ra DA là tia phân giác c ủa BDE. (2)(1), (2) A là tâ m đường tr òn nội tiếp BDE.d/ Ta có ·

12 DOA C ;· µ

1' 2 EO A F và µ µ1 1C F · ·

' DOA EO A Tứ giác ODEO’ nội tiếp.

Nếu DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) · · 0' 90ODE O ED Tứ giác ODEO’ làhình ch ữ nhật OD = O’E hay OA = O’A.Gọi J là giao điểm của OO’ và AB. Do t ứ giác OAO’B là hình thoi nên J là trung điểm OO’.

AJ là đường trung bình của DOO’ 2

OD AJ AB = OD AB = OA.

Đào lại, nếu OA = O’A = AB thì DE là ti ếp tuyến chung của (O) và (O’).

12

1

12

21

J

D E

FC B

A

O O'




ĐỀ 4


a/ So sánh 19 15 và 23 19 .

b/ Tìm a , b biết rằng hệ phương tr ình 42 3 1ax byax by

có nghi ệm là 3; 2 .

Bài 2: Cho hàm s ố 2 y ax có đồ thị (P) đi qua điểm 2;2 A và hàm s ố 2 2 y x có

đồ thị (d).

a/ Tìm a và v ẽ (P) với a tìm được.

b/ Ch ứng minh rằng (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

c/ Vi ết phương tr ình đường thẳng (d’) vuông góc với (d) tại A.

Bài 3: Cho phương tr ình 2 24 2 0 x x m m .

a/ Chứng tỏ phương tr ình luôn có nghi ệm với mọim.

b/ Tìm m để phương tr ình có hai nghi ệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

2 21 2 1 24 x x x x .

c/ Lập phương tr ình b ậc 2 có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn điều kiện:1 2 1 2 y y x x và 1 2

2 1

31 1

y y y y

.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50. Đường phân giác của· ABC và đường trung tr ực của cạnh AC cắt nhau tại E.

1. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được trong một đường tr òn. Xác định

tâm O c ủa đường tr òn này.

2. Tính BE.

3. V ẽ đường kính EF của đường tr òn tâm (O). AE và BF c ắt nhau tại P. Chứngminh các đường thẳng BE, PO, AF đồng quy.

4. Tính di ện tích phần hình tròn tâm (O) n ằm ngoài ng ũ giác ABFCE.





a/ Ta có: 419 15 0

19 15 , 4

23 19 023 19

Vì 19 15 23 19 nên 4 4

19 15 23 19 hay 19 15 23 19

b/ 1315

a , 710

b

Bài 2:Bài 3:a/ 22 2 2' 2 2 2 4 1 3 0m m m m m với mọim.

b/ Theo định lý Viet có:1 2 4 x x , 21 2 2 x x m m .

Khi đó: 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 24 2 4 2 0 x x x x x x x x x x m m

Giải được 0 2m m .c/ 1 2 1 2 4 y y x x ;

1 2 1 1 2 2 1 22 1

3 1 1 3 1 11 1 y y y y y y y y y y

2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 1 4 3 3 0 y y y y y y y y y y y y y y

2

1 2 1 2 1 2 1 24 3 0 3 y y y y y y y y .

Suy ra y1, y2 là nghi ệm của phương tr ình: 2 4 3 0 y y .Bài 4:a/ Gọi I là trung điểm AC, O là giao điểm của IE vàBC. Do OI AC và IA = IC nên OI là đtb củaABC

O là trung điểm BC OB = OC = OA. (1)Mặt khác, · · ABE EBO (gt) và · · ABE BEO (slt)

· · EBO BEO OBE cân t ại O OB = OE (2)(1) (2) Tứ giác ABCE nội tiếp đt (O).

b/ 2 2 48 AC BC AB ; 72

ABOI

18 IE OE OI 2 2 30 EC IE IC

2 2 40 BE BC EC

c/ · · · ·PFE OCE OEC PEF PEF cân t ại P PO là trung tuy ến đồng thời là đường cao.

PEF có ba đường cao PO, EB, FA đồng quy.

d/ 7 50 .24 7682 2 ABFE AB EF S AI ; 1 1. 50.24 600

2 2 ECF S EF CI

250 768 600 2500 1368S .

P

F

I

E

O B C

A




ĐỀ 5


a/ Rút g ọn biểu thức: 4 24 2 54 3 6 96 A

b/ So sánh 911 2

a và 63 3

b .

Bài 2: Cho hàm s ố 2 y x có đồ thị (P).

a/ V ẽ (P) tr ên m ặt phẳng tọa độ Oxy.

b/ Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2. Ch ứngminh tam giác OAB vuông.

c/ Tìm m sao cho (d): 1 y mx cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn

2 21 2

1 111

x x .

Bài 3: Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc không đổi. Nhưng khđược 2 giờ, xe dừng lại 12 phút để ngh ỉ. Muốn đến B đúng thời gian dự định, ngườilái xe ph ải tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn l ại. Tìm v ận tốc ban đầucủa ô tô.

Bài 4: Cho hai đường tr òn (O) và (O’) c ắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Đườngthẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C và D. Đường thẳng OA’ cắt (O’) l ần lượt tại điểm thứ hai E và F.

a) Ch ứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.

b) Ch ứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tr òn.

c) K ẻ PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tr òn (P, Q l ần lượt là hai ti ếp điểm).Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.





b/ 911 2

11 2a , 6

3 33 3

b

Giả sử a b , vì a > 0, b > 0 nên 2 2a b 13 2 22 12 6 3 1 2 22 6 3 89 4 22 108 4 22 19 352 361 (vô lý).

Vậya < b . Bài 2:Bài 3: 40km/h Bài 4:a/

b/ Ta có:· ·CEB CAB (cùng b ằng »1

s2

đCB)

· ·CAB IFB (tứ giác ABFD nội tiếp) Suy ra · ·CEB IFB

Suy ra t ứ giác BEIF nội tiếp.

c/ Gọi K là giao điểm của AB và PQ.Ta có 2 .KP KA KB và 2 .KQ KA KB Suy ra KP = KQ .

I

E D

FC B

A

O'O

Q P

K

B

A

O O'




ĐỀ 6


a/ Tính giá tr ị biểu thức: 5 12 4 75 2 48 3 3 A

b/ Ch ứng minh đằng thức:17 4 9 4 5 5 2

Bài 2: Trên cùng m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): 214

y x và đường thẳng

(d): 2 1 y mx m .

a/ V ẽ (P).

b/ Tìm m sao cho (d) ti ếp xúc với (P).

c/ Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P).

Bài 3: Cho phương tr ình vớim là tham s ố: 2 22 1 3 0 x m x m (1).

a/ Gi ải phương tr ình ( 1) vớim = 2.

b/ Tìm m để phương tr ình ( 1) có nghi ệm.

c/ Tìm m để phương tr ình ( 1) có hai nghi ệm sao cho nghiệm này gấp ba lần

nghiệm kia. Bài 4: Cho góc vuông xAy, l ần lượt tr ên hai c ạnh Ax, Ay lấy B và C sao cho AB =

5cm và AC = 12cm. V ẽ đường tr òn (O) đường kính AB và đường tr òn (O’) đườngkính AC. Hai đường tr òn (O) và (O’) c ắt nhau tại điểm thứ hai D (D khác A).

a/ Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng.

b/ Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt (O) tại N và cắt BC tại E.

Chứng minh BA = BE.

c/ Chứng minh ba điểm O, N, O’ thẳng hàng.

d/ Gọi I là trung điểm MN. Chứng minh:· 0' 90OIO .




HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 6 Bài 1:Bài 2:Bài 3:

b/ 2 2' 1 3 2 4m m m

Phương tr ình (1) có nghi ệm khi và ch ỉ khi ' 0 2 4 0 2m m .c/ Theo Viet có 1 2 2 1 x x m .Giả sử phương tr ình có 2 nghi ệm x1, x2 thỏa 1 2 1 2 2 23 4 2 1 4 x x x x x m x

21

2m

x . Do x2 là nghi ệm của phương tr ình (1) nên:

2

2 21 12 1 3 0 6 15 0 3 2 6

2 2m m

m m m m m

Bài 4:a/ · 090 BDA , · 090CDA

b/ ·¼s

2

đ AM BAE

· » ¼ » ¼ ¼s +s s +s s

2 2 2đ AD đ MC đ AD đ DM đ AM

BEA

Suy ra · · BAE BEA BAE cân t ại B. c/ OAN cân t ại O nên · ·OAN ONA

· ·ONA BEA ON // BE (1)OO’ là đtb của BAC nên OO’ // BC (2)(1), (2) O, N, O’ th ẳng hàng.

d/ O’M DC O’M OO’. O’I = NI = IM · ·' ' IO N INO

· ·' IO N OAN Tứ giác OAO’I nội tiếp · · 0' ' 180OAO OIO

· 0' 90OIO

E

N

M

D

O'

O

A C

B

I

E

N

M D

O'

O

A C

B




ĐỀ 7



12

b/ Gi ải phương tr ình: 2 2 3 6 0 x x

Bài 2: Cho parabol (P):2

4 x

y và đường thẳng (d): 1 y x .

a/ Chứngminh r ằng (d) tiếp xúc với (P) và tìm t ọa độ tiếp điểm.

b/ V ẽ (d) và (P) trên cùng m ột mặt phẳng tọa độ.

c/ Vi ết phương tr ình các đường thẳng song song với (d) và cắt (P) tại điểm cótung độ bằng 4.

Bài 3: Cho phương tr ình ẩn x: 32 2 1 0 x mx m (vớim là tham s ố) (1)

a/ Gi ải phương tr ình ( 1) khi m = – 1.

b/ Xác địnhm để phương tr ình (1) có hai nghi ệm phân biệt, trong đó mộtnghiệm bằng bình ph ương của nghiệm còn lại.

Bài 4: Cho đường tr òn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tr òn đó

(C khác A, B). L ấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.

a/ Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.

b/ Ch ứng minh DA.DE = DB.DC.

c/ Chứng minh· ·CFD OCB .

d/ Gọi I là tâm đường tr òn ngo ại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếptuyến của đường tr òn (O).

e/ Cho bi ết DF = R, chứng minh tan · AFB = 2.




HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 7 Bài 1:Bài 2:a/ 2;1

b/ y x và 8 y x Bài 3:

a/ Khi m = – 1: (1) 2 42 8 02

x x x x

b/ Phương tr ình có hai nghi ệm phân biệt khi 32' 1 0m m (*)

Với hai nghiệm là x1, x2 và 21 2 x x , theo định lý Viet ta có:

22 2

322 2

2

1

x x m

x x m

1

2

Từ (2): 332 21 1 x m x m . Thay vào (1) ta được: 2

1 1 2m m m

2 03 0

3

mm m

m thỏa mãn (*).

Bài 4:a/ · · 090FCD FED

b/ ACD BED DA DC DB DE

DA.DE = DB.DC

c/ · ·CFD CED , · · ·CED OBC OCB · ·CFD OCB d/ Tâm đường tr òn ngo ại tiếp tứ giác CFED là trung điểm FD. Ta có · · IFC ICF · ·OCB ICF Suy ra: · · · · 090OCB DCI ICF DCI CI OC.e/ Tứ giác CFED nội tiếp · ·CFE CDA .

CAB CDF 2 2CA AB RCD DF R

đpcm.

I

F

E

O A B

C

D




ĐỀ 8


a/ Gi ải hệ phương tr ình:3 5

2 4

x y

x y

b/ Ch ứng minh đằng thức:4 15 5 32 2

Bài 2: Cho parabol (P):2

2 x

y và đường thẳng (d): 2 y mx m (m là tham s ố).

a/ Tìm m để (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4.

b/ Ch ứng minh rằng với mọi giá trịm thì (d) luôn c ắt (P) tại hai điểm phân biệt.

c/ Gi ả sử 1 1; x y và 2 2; x y là tọa độ các giao điểm của (d) và (P). Ch ứng minh

r ằng: 1 2 1 22 2 1 y y x x .

Bài 3: Cho phương tr ình 2 22 1 1 0 x m x m m (m là tham s ố).

a/ Chứng minh rằng phương tr ình luôn có nghi ệm với mọim.

b/ Gọi x1, x2 là hai nghi ệm của phương tr ình. Tìm m sao cho 1 2 2 12 2 x x x x

đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá tr ị nhỏ nhất ấy.

c/ Tìm m ột hệ thức liên hệ giữa x1, x2 mà không ph ụ thuộc vào m.

Bài 4: Cho ABC có ba góc nh ọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H; M là

trung điểm cạnh BC.

a/ Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp được trong đường tr òn.

b/ G ọi P là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh rằng: b 1/ Tứ giác BHCP là hình bình hành.

b 2/ P thu ộc đường tr òn ngo ại tiếp ABC.

c/ Chứng minh: DB.DC = DA.DH

d/ Ch ứng minh: 1. .

8 HD HE HF HA HB HC

.




HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 8 Bài 1:Bài 2:

b/ Phương tr ình hoành độ giao điểm của (d) và (P):2

22

xmx m

2 2 2 4 0 x mx m (*)

2

2' 2 4 1 3 0m m m , với mọi m. c/ Vì x1, x2 là 2 nghi ệm của phương tr ình (*) nên áp d ụng định lý Viet ta có:1 2 2 x x m

21 2 1 2 1 22 2 2 4 2 2 4 y y mx m mx m m x x m m m

Khi đó: 2 21 2 1 22 2 1 2 2 4 2 2 1 .2 2 4 2 4 y y x x m m m m m

2

2 2 0m đpcm. Bài 3:Bài 4:a/ · · 090 AEH AFH

b/ b 1/ MB = MC và MH = MP. b 2/ · · 090 ABP ACP Tứ giác ABHC nội tiếp.

c/ ABD CHD DA DB DC DH

DA.DH = DB.DC

d/ G ọi S, S1, S2, S3 lần lượt là di ện tích của ABC,HBC, HAC, HAB.

Ta có: 2 31

1 1

S S S S HA AD HD HD HD S S

;

Tương tự: 1 3

2

S S HB

HE S

; 1 2

3

S S HC

HF S

Suy ra: 2 3 1 3 1 22 3 1 3 1 2

1 2 3 1 2 3

2 2 2. . . . . . 8

S S S S S S S S S S S S HA HB HC HD HE HF S S S S S S

1. .

8 HD HE HF HA HB HC

P

M

H

F

E

D

O

A

B C

Ôn luyện toán 9 tác giả: trần Đăng khoa, 2012

Documents