on approximating complex polynomial zeros: modified quadtree

39
ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Victor Y. Pan N˚ 2894 Mai 1996 THE ` ME 2

Upload: lamkhanh

Post on 29-Jan-2017

222 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

� � � ���������� ��������� � �� ������ ������� ���� ���!�" ����$#&%(' �*)��,+��-) . /���) ������ 021 ���*�435#76

� ����#8���7/�9:�����$� �;��) <= �����?>��-) @ �BA �����C3D#<E���F�7���������

Victor Y. Pan

N˚ 2894

Mai 1996

THEME 2

Page 2: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree
Page 3: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

�������������� ������� �������������! "��#$��&%�����' !���)(* +��-,".0/132� !4� +25�6��-27��� + 98;: <%��>=?,A@B�����,C����6�DE�F !��G���72�HI�������J- +2LKM "NO���)=?,

HP� +���Q�� !R�

S�TVUXWZYI[]\_^E`badce+fhgjiRk-l�monqpjrhstk�uwvXx>swy�stk�uk�z�y�{;u|y�}~u����hi��PvXuws|��}~k����v;�?k�z��h���F���

��{>�~�Pv>��z<�~k-��kjy&fhk���y&fhk�r-��l;�X�X�-mo��{;sA�j�X�X�-m��X�]�~{XxXkj�

�� ¡�¢�£Z¤~¥X¢X¦ e+fhkE§¨rhvª©�rQ��kjy!v>���by!v>i]�huwk!«hswz���kj��z�swi]{;z�k��I¬­v���{X�®�~��vZ«hs|i]{;z�s|rhx<�®v>ut�hrhv�i¯sw{Xu;°�kj��v��C��k�ut�v�r�x>k�v�iRk�z���swy<y�v>r~��z���}~y!z�stv�r~��v>rRz�fhk�y�v>i]�huwk!«R�~uw{>rhkX±>©�fhswy&f¯{Xy&f~stk�²Xk<swr~stz�sw{Xu~{X�~�~��vZ«hswi]{Xz�swv>r-z�v�z�fhk°�k���v>�"{Xr~�d³Zv>��z�fhk�sw�<y�uw}~��z�kj���<{>��©"k�uwuC{X�"z�fhk�sw�"s|��v>uw{Xz�swv>r]¬´��v>iBkj{Xy&f3v>z�fhkj��±h{>r~��v�r�z�f~kb��}~�~��k��¨}hkjr>z¬´{>��zµ{Xr~{Xut�¨z�s|y���k!¶Pr~k�i¯k�r�z�vX¬�z�fhkqswr~stz�sw{XuP{X�®�~��vZ«hs|i]{;z�swv>r®��·¸¹kbiRvh�hst¬­�]¸¹k��¨u»º �µy�uw{>����s|y�{;u®xXk�v�i¯k�z���s|yy�v>r~��z���}~y�z�swv>r7¬­v>��{>�~�~��vZ«¨s|i]{;z�swrhx]{;uwu¼z�fhk�½¾�®v>ut�hrhv�i¯sw{XuC°�k���v>�<s|r�v>���hkj�<z�v�i¯v>��k-��{>�hs|�hut��{Xy&fhswk�²>kz�fhk�s|�+��z���v>rhx]s|��v>uw{Xz�swv>rC·F�®v��+{X�~�®��vZ«hs|i¯{Xz�s|rhx�z�fhk�s|��v>uw{Xz�k���°�kj��v��"v>�+y!u|}~��z�kj���<vX¬�°�k���v>��±�©"k��~��v>�Pv>��k{¯rhk�©$k!«hz�kjr~��stv�r�v;¬�¿�k�©+z�v>r�º �"swz�k���{;z�stv�r3z�v]�¨swk�u|�7�¨}~{X�®��{Xz�s|y�xXuwv>�®{;uCy!v�r>²>k���xXkjr~y!k-ÀV��swx>f�zµ¬´��v�iBz�fhk��z�{>��z&Á±�}~r®�hk��Q��}~�~��z�{Xr�z�sw{Xutuw��©µkj{X§;kj����k��¨}hs|��kji¯k�r�z��qz�v�z�f~k�s|�qs|rhswz�s|{;uFs|��v>uw{Xz�swv>rÃz�f~{Xr¹v>rhk]rhk�k��~�bs|rz�fhk-§¨rhvª©�r�{;uwxXv>��swz�f~i]��·Ä�Å�ÆIÇ�È�É £ZÊ�¡X¦ÌË v�i]�hutk�«��PvXuw�hrhv>i¯s|{;uI°�kj��v���±~{Xutx>v>��stz�f~i]��±hy!v�i]�~}hz�{Xz�swv>r~{XuCy!v>i]�huwk!«hswz��X·

ÍÏÎ�Ð�ÑÓÒ�Ô+Ð<Õ�ÖwÑÓ×ÓØ!Ù

ÚCÛZܵݻÜ?ÞVßjà áVÞAâÂãPáVÛZäåÞAæZçÂæXÜ?ÝAÛªç?è!Ü<é;Ü?Ü�ê-æZÝ´Ü?ÞVÜ?ê!áVÜ?ë]ç�áAá»ÛZÜ<ì�áVÛ�í�êZê�ߪçÂà~íîCïbð´ñ�òÏíFï�ñ�ó�ô+æ;â&ÞVäåßZôõâ&ê�ö�äåÞ»÷?Ý»Ü�á»Üí�àåø&â&Ý´ä áVÛZô+Þ�ùjíÝ»àåäåêjøÂáVâ&ê�ùjúFäåÝ´ø&äåêZäûçjù;ü&çÂê�ߪçÂÝ´óRý�þ&þÂÿ��ï�ç�á»ÛZÜ?ô�ç�áVäå÷?Þ+çÂêjë�îIâ&ô+æZß�áVÜ?Ý�ñ�÷?äåÜ?êZ÷?Ü�ö�Ü?æªçÂÝ­á»ô+Ü�ê!á�ù���Ü?ÛZô�çÂê7îIâ&àåàåÜ?ø&Ü!ùCî�����µù�IÝ»â&ê �>ù����0ý��Âÿ����jù���ñ�í��

�Pô�çÂäåà���èjæZçÂê���àå÷�è&ç���� éZä áVêjÜ?á���ñ�ßZæZæ;â&Ý´á»Ü?ë¯é!ó��Fñ ����Ý»çÂê�á"î�î� )þ���!"���&þ��QçÂêZë$#dñZîdð´î�����_í�%�çÂÝ´ëZÞ&�â&Þ��'����!�ÿ)("�çÂêZë*���Âÿ�+�+Âÿ��

Unite de recherche INRIA Sophia-Antipolis2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS Cedex (France)

Telephone : (33) 93 65 77 77 – Telecopie : (33) 93 65 77 65

Page 4: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

�36�� �X=?� ������+�7 ����Q�F !���2� +,�(��+��-, ����������"�� +,�2_=�6��#$��&%������� .�� �7 M/132� &4�Dµ�Q�F !��o2� �X=?� ���--�F Â���� 2� : <%�����-� 5 6��-27�� + +, "��6��� M� ������ �-����� !���2� ��� /��"� 732� 2�

KM "NO������ ¡��� � ¦�� kj�+i¯k�swutuwk�}~��k��+�Pv>��rhkj�+y!v>r®r�}~k��+��}~�<uw{3y�v>i]�huwk!«hswz�p��®v�}~��{>�~�~��v¨y&f~k��"utkj�<°�pj��v��"��º }~r�PvXuw�hr��>i¯k]�hp��Pk�r®�hk�r�z�±�~��pji¯stgj��kjiRkjr�z�±��hk]y!v�r~��z���}®y!z�swv>r®�qx>p�v�iRp�z���sw�¨}hkj�q�®{Xr~�buwk¯�hu|{Xr)y!v�i]�hutk�«hk�¨}hsd�hv>r®rhk�r�zµ}®rhkq{>�~�~��vZ«¨s|i]{;z�stv�r�s|rhswz�s|{;uwkq{X}h«¯°�p���v>�Ak�z³Zv�}3r¨}~{;x>k����~k�°�pj��v��Ez�v�}hzEkjr3utkj�µ��p��®{X��{Xr�zk�z�±I�hk�}h«¨swg�i¯kjr>z�±d��º }~r~kRy!v�r�²Xk���xXkjr~y!k�{>r~{;uw�¨z�s|��}~k���{>�hs|�hk����~{>��z�sw���hkRy�k���{>�~�~��vZ«hswi]{;z�stv�r~��·µ¿qv>}~�i¯vh�hst¶®v>r®��u|{�y�v>r~��z���}~y!z�stv�r3xXp�v>i¯p�z���s|�¨}hk�y�uw{>����sw�¨}hkq�hkq¸)k��¨uC�Pv>}~�"{X�~�®��vhy&fhkj�Ez�v�}~�µutkj��°�p���v>����º }~r�PvXuw�hr��>i¯k�{;¶Pr3�Cº {Xy�y�p�uwk���k��Fuwk�}~�Esw��vXu|{;z�stv�rC·¼�Fv>}®�E{X�~�®��vhy&fhkj�Futkj�E°�pj��v��Fv>}3r¨}~{XxXk��Fs|��vXuwp���±>rhv�}~�E�~��v���Pv>��v>r®�"}®rhk�k!«hz�kjr~��stv�r�rhv�}h²Xk�utuwk��hkQuw{]i¯p�z�fhvh�hk-�hk�¿qk�©+z�v�r�{Z²>k�yQ}~rhk�y�v>r�²Xkj��x>k�r~y�kq�¨}~{X�®��{Xz�s|��}~kx>utv��~{;uwk3À»�~g���uwk��hkj�~}hz&Á· � kj��f��h�®v>z�fhgj��kj����}~�+u|{���pj�~{X��{;z�stv�r7s|rhswz�s|{;uwk���v>r�z���stx�rhs ¶dy�{;z�st²>k�i¯k�r�z��hu|}~�¬´{Xsw�~utkj�+��}~k-�~{Xr~�<uwk��+{Xutx>v>��stz�f~i¯k��<y!v�r~r¨}~��·��É ¢j¡ Ç ¥�� � ¦ � p���v>�<y!v�i¯�~utk�«¨kj�+�hk��®v>ut�hr���i¯k���±~{;uwxXv>��swz�f~i¯k���±hy!v�i¯�~utk�«¨swz�p-�~kQy�{;u|y�}hu

Page 5: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� �

6 HI�����32�67D��� !R�87e+f~k¯��k�y�v>����}~�~�Pk����Pv>}~r®�~�Qv>r*z�fhk3y!v�i]�~}hz�{Xz�swv>r~{XuAy!v>i]�huwk!«hswz���v;¬µz�fhk3y!u|{X����s|y�{Xu��®��v��hutkji v;¬µ{>� ��®��vZ«hs|i¯{Xz�s|rhx7y�v>i]�huwk!«Ã°�kj��v���v;¬"{Xrý:9Óz�f¹�hk�x���k�kR�PvXuw�¨r~v>i¯sw{Xu$;=<">=?<f~{Z²>kR�Pk�kjr�v>�~z�{;s|rhkj������y�v>i ��~swrhs|rhx3��v>i¯k� ��'@($ A�2�����"���$��B�CD����'E�1����FG ����������� � 1���"�����A¬­v��+��kj{X��y&f7{>r~�7k�«~y!u|}~��swv>r7v>r�z�fhk�y�v>i]�huwk!«�~uw{>rhk�©+swz�f-��v>i¯k)���$��BHF����" ���BA�2����BH�I¨��}®y&f-{X�¼¿�k�©+z�v>rCº �stz�k���{;z�swv>r�{>r~�-r¨}~i¯k���s|y�{;u>swr�z�k�x>��{;z�stv�rKJ �hy��>l,LV±J ���NM�LV±:J �E�5LÓ±$J ���NO�LV±:J �PLV±$J Q<�SR-eLV±$J �µ�X��LÓ±*J Q9UTbeVLÓ±$J Q<���~�!LV·F�?r¯z�fhs|���®{X�Pk��A©"k�y!v�r>z�swr¨}hk+}~��s|rhx-��}®y&fz�k�y&f~r~swy�{;u��~{Xz�z�kj��r®�+�~}hz�{;u|��v]{>�~�huw�7��v>i¯k�rhk�© z�k�y&f®rhsw�¨}hkj��{Xr®��i]{X§Xkb¬´}~��z�fhk��+�®��v>x>��k�����·

�q�¼s|r�{Xuwi¯v>��z¼{Xutu�v;¬~z�fhk"y�stz�k��-�®{X�Pk����EÀ´©+swz�f�z�fhk"v>r~ut�bk!«~y!kj�hz�swv>r-v;¬~z�f~kµs|i]�®v���z�{Xr�z¼}~r~�®}~�huwsw��fhk���®{X�Pk���J �hy��>l,L­Á&±X©"k"{>����}~i¯k<z�fhk+{X��swz�f~i¯k�z�swy<y�v>i]�~}hz�{;z�swv>r®{;uhi¯v¨�~k�uV±Xi¯k�{X��}~��swr~x�z�f~k�y!v>i]�~}~z�{;z�stv�r~{;uy�v>i]�huwk!«hswz��¯���]z�fhkbr¨}~i��Pk���v;¬¼{X��swz�f~i¯k�z�swy�v>�Pk���{;z�stv�r~�E{Xr®��y!v�i¯�®{X��sw��v>r~�Eswr�²Xv>ut²>k��4W>©µkq{;u|��v�{Xutuwvª©ÀV��k�uw{Xz�sw²Xk�ut��¬­k�©"k��&Á�k�²ª{;u|}~{;z�stv�r~�qv;¬µz�fhkKXN9Vz�f¹��v¨vXz���vX¬µy!v�i¯�~utk�«*r�}®i��Pk�����¬­v��Qr~{;z�}~��{XuSXC±¼{Xr~�*v>}~�y�v>i]�~}hz�{;z�stv�r �Pk���¬­v>��iRkj� ©+swz�fZY�À2[½ÁR�hswz��]k�r®��}~��k��¯z�fhkÃv>}hz��~}hz3�~��k�y�sw��stv�r vX¬\Y�À2[�ÁR�hswz���±�¬­v��¯{�PvXuw�hrhv>i¯s|{;uS;]<�>]?&^`_baced4f�; c > c ©+stz�fhgU;]<">=?�gi^`_baced4fj ; c jk^ml>· À´¸)k���k!¬­kj��z�fhk���k�{>�hk���z�v)z�fhk{>��x�}~i¯k�r�zQswrnJ ���NO,Lµ��}~�~�Pv>��z�s|rhxÃz�fhk7uw{Xz�z�kj��}~�~�Pk��R�®v�}~r~�)v>r)z�f~k7�~��k�y!s|��stv�r*vX¬<y�v>i]�~}hz�{;z�swv>r_���v�}~�A{;uwxXv���swz�f®i¯��±X{>r~�¯©µk+rhv>z�k+z�f®{;zEvPÀ�[½Á29Ó�hswzE�~��k�y�sw��stv�r�vX¬Iy�v>i]�~}hz�{;z�stv�rRy�{Xr~rhv>zAxXkjrhk���{;uwut��k�r~��}~��kz�fhk&[9��hswz�v>}~z��~}hzq�~��kjy!s|��swv>r�±h¬­v>��{>�~�~��vZ«hswi]{;z�swr~x]�PvXuw�hrhv>i¯s|{;u�°�k���v>��±®rhv�i]{;z�z�kj��©�fhs|y&f�{;uwxXv>��swz�f~if®{X�<�®k�k�r�{X�~�~utswk��4oF¬­v��"swr~��z�{>r~y!k>±h�hk�uwk�z�swrhx]z�fhkE<�[½S?�9Vz�f��hswz+v;¬z�fhkp>�9V¬´��k�kQz�kj��iOvX¬z�fhk��®v>ut�hrhv�iRs|{;u> a�q�rts:u�a z�}~��r~�FswzEs|r>z�v�z�fhk��PvXuw�hrhv>i¯s|{;uA> a {>r~�¯z�f¨}~�Ey&f®{Xrhx>k���z�fhkv[9Vz�f]�hstzAvX¬dz�fhk���v�v>z�>w^ rAs:u ·åÁe+fhk ��kjy!v>��� k���z�s|i¯{Xz�k ¬­v��¾z�fhk {X��stz�f~i¯k�z�s|yõy!v�i]�~}hz�{Xz�swv>r~{Xu7y!v�i]�hutk�«hstz���vX¬Ãz�fhs|� �~��v>�huwk�i�±x <´½]y4ze{�|�½vze{�|*<�[½S?�?qv��®kj��{Xz�swv>r~��±Af~{X�¯�®k�k�r v>�hz�{;s|rhk��¾s|r}J ���NO,L<���¾i¯k�{>r~��vX¬+¶P����zRsw��vXu|{;z�swrhx¹z�fhk°�k���v>��v;¬V;=<">]?�{Xr®�P³Zv��-z�f~k�s|�¯y�uw}®��z�k����-¬´��v>iMk�{>y&f¾vXz�fhk���À»�®{X��k��¾v�r ¸)k��¨u»º �¯xXk�v>i¯k�z���s|y�y!v�r~��z���}~y �z�stv�r�¬­v��+��kj{X��y&f�{Xr®��k�«~y!u|}~��swv>r7v>r�z�fhk-y�v>i]�huwk!«7�hu|{Xr~kX±~©�fhs|y&f�swr�J �µ�NO�L�©<{X�<y�v>i]�huwk�i¯k�r�z�kj�7©+swz�fz�fhk-{X�®�huts|y�{Xz�swv>r�v;¬Ae�}~��{>rCº ���~��vZ«¨s|i¯stz��7z�k���zÂÁ+{Xr~��z�f~k�rÃ��{X�hs|�huw�7��k�¶Prhs|rhx3z�f~k���kj��}~utz�swrhx3��v>}hx�f�{>� ��®��vZ«hs|i¯{Xz�swv>r~��z�v�z�fhk¯°�kj��v��-À»����i¯k�{>r~�qv;¬Ez�f~kRz�k�y&f~rhs|�¨}hk��qv;¬"r�}®iRkj��s|y�{Xus|r�z�k�x>��{;z�swv>rÃ{>r~�ÃvX¬�z�fhk��k�y�}~����sw²XkQ���~utswz�z�swrhx7v;¬];]<�>]?�s|r�z�v���i¯{Xutuwk����hk�x���k�kq¬´{>y!z�v>���ÂÁ&·�¸)k��¨u»º ��y�v>r~��z���}~y!z�stv�r�sw��{�l�9Ó�~swi¯k�r®��swv��r®{;u¼k�«hz�k�r®��swv>rÃvX¬Az�fhk]�hs|��kjy!z�swv>r�vX¬�{�uwswr~kR{Xr®��sw�b{;u|��v�§�r~vª©�rÃ{X�&~1 ����������q{;uwxXv���swz�f®i�±Pk!�Ik�y�z�sw²Xk�uw�}®��kj�*s|r*²ª{>��swv>}~�Q{>��kj{X�bv;¬<y!v>i]�~}~z�s|rhx®±C¬­v��Qswr®��z�{Xr~y�kX±�s|r)swi]{;x>k¯�®��vhy!kj����s|rhx®±Cz�k�i]�hu|{;z�k3i]{;z�y&fhs|rhx®±{>r~��z�fhk���v>uw}~z�swv>r3vX¬z�f~kq½:9��®vh�h���®��v��hutkjiBv;¬�®{X��z�s|y!uwkb��swiR}hu|{;z�swv>r8J ���DLÓ±]J nb{�LV±]Jå�¨{,LÓ±]J �¨k!LÓ±]J n@LÓ·A¸¹k��k!¬­kj�Qz�fhk���kj{X�hkj�Qz�v�J ���DM�L�v>r)z�f~k���kjy!k�r�z�k�«¨z�k�r~��swv>r)v;¬<¸¹k��¨u»º �-{;uwxXv���swz�f®i z�vÃz�fhk7}~r~���hi]iRk�z���swyk�stx>k�r�²ª{;u|}hk-�~��v>�huwk�i�·+��v>i¯k-k�utkjiRkjr�z���vX¬�¸)k��¨uVº �q{X�~�®��v�{Xy&f�{;u|��v�{>�~�®kj{X��k���swr�Jå�¨y��>l,L�{Xr~��J �5LÓ±P{;u �z�fhv>}~x>f�Jå�¨y���l�L~}~��k�� � kjf~i¯k���º �µÀ»��{;z�fhk��z�f~{>r-¸)k��¨uVº �&Á�y�v>r~��z���}~y�z�swv>rC±ª{Xr®�GJ �5L~{X�~�huwswk��E�¨y&f¨}~��9 Ë v�r~rCº �ÀV��{Xz�fhkj�+z�f®{XrÃe�}~��{>rCº �ÂÁ<�®��vZ«hs|iRswz���z�k���zq{Xr®��¿�k�©+z�v>rCº �+swz�kj��{Xz�swv>r�¬­v>��fhstx�fhk���v>���hk��+�~k���st²ª{;z�st²>k��+vX¬;=<">=?RÀ»��{;z�fhk��-z�f~{>r¾r�}®iRkj��s|y�{XuEs|r>z�k�x���{Xz�swv>rPÁ&·iQ<v>z�f_{;uwxXv���swz�f~i]��Jå�¨y��>l�L<{Xr~�ZJ �5L+��}~�®�®v���z-z�fhk�v�� ��~k��qv;¬�½]�R{X��stz�f~i¯k�z�s|y¯y!v>��zq�Pv>}®r~�~��±I{Xutz�fhv>}~x>f�¬´}~��z�f~k��bswi]�~��vª²Xkji¯k�r�z��q{X��k��®v�����s|�hutkR©+stz�fhs|r¹�PvXz�f¬´��{Xi¯k�©µv���§¨��·

�?rõz�fhs|�7�~{>�®kj��©"k*��k�²¨sw��stz���v�iRk�¬´}®r~�~{Xi¯kjr>z�{;ubz�kjy&f~rhs|��}~k���s|r�²Xv>ut²>k�� swrõz�fhk¹{Xutx>v>��stz�f~i]�¯¬­v>�{>�~�~��vZ«hswi]{;z�swr~x*�®v>ut�hrhv�i¯sw{Xuµ°�k���v>��±Aswr �~{X��z�s|y�}hu|{X��±Az�f~k�x>k�v>i¯k�z���swy7z�k�y&f®rhsw�¨}hkj�-¬­v��¯z�fhk�sw��vXu|{;z�stv�rvX¬�z�f~k¯°�k���v>�q{Xr~�¹z�fhk]{Xr®{;uw��z�swy�{;u�z�kjy&f~rhs|��}~k��q¬­v>�bz�f~k]��k!¶drhk�i¯k�r�zbv;¬�z�fhk]{X�~�~��vZ«hswi]{Xz�swv>r~��z�v�z�fhks|��vXu|{;z�kj��°�kj��v���·be¼v�uws|r~§�z�fhkj��kRz�©µv�{X��k�{X��±®©"kR��k�uw��v>rÃz�fhkR}®��k�¬´}huAy!v>r®y!k��~z�v;¬�{>rÃs|��v>uw{Xz�swv>rÃ��{;z�swv®±�®}hk�z�vwJ ���NO,LI{>r~�3xXsw²¨swr~x�{��¨}~{>r>z�stz�{;z�st²>k�i¯k�{X��}~��k+¬­v>��z�fhkbs|��v>uw{Xz�swv>r]v;¬¼�PvXuw�hrhv>i¯s|{;uP°�k���v>��v>��z�fhk�sw�y�uw}®��z�k�����¬´��v�i k�{>y&f�v>z�fhkj��·�P}~��z�fhkj��i¯v���k>±;©µk+y�v>r�z���sw�®}hz�k+rhk�© k1�dkjy!z�sw²Xk�{Xutx>v>��stz�f~i]��swr]�PvXz�f]{>��kj{X��·

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 6: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

� ���������P���

Tb}~�"¶d����z�y!v�r>z���s|�~}hz�stv�r�s|�/�K�:�!0Z+������"�����5���E�!F�B�3 � �U~1 �������������G ���������� � !���"���P±h©�fhswy&f�kjr~{X�huwk��}®�Az�v�s|��v>uw{Xz�k+x���v�}~�~�<À»y�uw}®��z�k����ÂÁvX¬dz�fhk�°�kj��v��Fv;¬A;]<�>]?�±¨{Xy&f~stk�²�s|rhx�{�y!v�r~��z�{Xr�zAs|��v>uw{Xz�swv>r¯��{Xz�swv®±������ÀV��{Z�®Á&±®{;z+z�fhk�y!v���z+vX¬F}®��s|rhx x <»½]y4ze{�|E½S?Ev��®kj��{Xz�swv>r~��·k�q{Z²¨s|rhx3{Xy&fhswk�²>k�����}®y&f�{>r�swr~stz�sw{Xu�sw��vXu|{;z�stv�rvX¬�À´z�f~k�y!u|}~��z�kj����vX¬ÂÁQz�fhk7°�k���v>��±¼v�rhk7i]{Z�¹{>�~�huw�¹²ª{X��swv>}~��z�k�y&f~r~sw�¨}hkj��¬­v>�-z�fhk���}~�®��kj��}~k�r�z���{X�hs|�s|i]�~��vª²Xk�i¯kjr>zQvX¬<z�fhk�{>�~�~��vZ«hswi]{;z�stv�rC·7�?r_z�fhs|�R�~{>�®kj��©"k7�~��k���k�r�z-rhk�©Bz�k�y&f~rhs|�¨}hk��-¬­v>�R��}~y&f_{>rs|i]�~��vª²Xk�i¯kjr>z�·

e+fhs|�"��z�{;xXk+vX¬�v>}~��y!v>i]�~}~z�{;z�stv�r3�®k�xXs|r~�µ©+stz�f��®kj�?¬­v���i¯s|rhx x <»½]y4ze{�|E½pze{�|kze{�|E½S?�v>�Pk���{;z�stv�r~�As|rv����~k��Fz�v�utst¬­z�z�fhkqy�v>r~��z�{>r>zAs|��vXu|{;z�swv>r]��{;z�stv�����v-{X�Az�v�i]{X§;k�stzEuws|rhk�{>�Aswr�½�v���� ½A·��¨�®kjy!st¶Py�{Xutuw�X±>©µkr~k�k���z�v7f~{Z²Xk�{>r�s|rhswz�s|{;usw��vXu|{;z�stv�r���{;z�stv���� <������d½S? � r v>� �!� < r � � �d½S? � r ±P©�fhk���k�©µk-i]{Z�¶®«¹{Xr��"�$#&%~±¼swr¹v>���hk��bz�v�s|r~��}~��k¯z�f~{;z�v�}~�.�$�10 'E����� � �����"�����G�� -&�!0�� ���43 �E� �2�1�������"������{>�hsw�~ut�s|i]�~��vª²XkQz�fhkRswr~stz�sw{Xu{X�®�~��vZ«hs|i]{;z�swv>r®�<z�v�À»z�fhk¯y!u|}~��z�k����+v;¬&Á<z�f~k�°�kj��v��+v;¬];=<">]?<{Xr~�Ãy�v>r�²Xkj��x>kq©+swz�fz�fhk7�¨}~{>�~��{Xz�s|y3��{Xz�k>±���stx�f�z�¬´��v�i z�fhk���z�{>��z�±���v�z�f®{;z-©"k7{Xy&f~stk�²Xk3z�f~k7�hk���s|��kj�¾��k�¶Prhk�i¯kjr>z�vX¬�z�fhks|rhswz�s|{;uE{>�~�~��vZ«¨s|i]{;z�stv�r~��z�v�z�fhk]°�k���v>�RÀ»}®�¹z�v�©+swz�f~swr¹z�fhk]kj����v>�b�®v�}~r~� rts4u Á�swr x <»½]y4ze{�|E½pze{�|V[�?v��®kj��{Xz�swv>r~��·EÀ»�®v>�Fy�v>i]�~{X��s|��v�rC±ª��}~y&fR{���{X�hs|��y�v>r�²Xkj��x>k�r~y�k�f~{>��Pk�kjrR{>y&fhstk�²Xkj��swrwJ �PLh¬­v>�F{��hs|��z�s|r~y!z²ª{>��s|{Xr�z+v;¬A¿qk�©+z�v�rCº ��swz�k���{;z�stv�rC±P�®}hz�v>r~ut��¬­v>�q{Xr�swr~stz�sw{Xus|��v>uw{Xz�swv>r���{;z�swv�{X��uw{>��x>k-{X�'��(;½*)ª±d©�fhs|y&f��k��¨}hs|��k��)z�v¹swr~y���kj{X��k3z�fhk�©µv���§¹{;zRz�fhk�sw��vXu|{;z�stv�r¾��z�{;xXk>±���k����Pk�y!z�st²>k�uw�X·ûÁ �?r_z�fhs|�R©"{Z�>±�©"k7{>����st²>k{Xz�z�fhkqvª²>k���{;uwu®{X��swz�f~i¯k�z�swyqy!v�i¯�~utk�«¨swz��]k���z�s|i]{;z�k x <»½]y4z {D|E½pz {D|�<2[$z {D|E½S?�?�±>¬­v���z�fhkQ{X�~�~��vZ«hswi]{Xz�swv>rvX¬�{;uwuEz�fhk7½ °�k���v>�QvX¬�;=<">=?q©+swz�fhs|r rts4u ±F���)}~��s|rhxÃz�fhk��~��kjy!s|��swv>r)vX¬ x <�[½S?��~stz���·Ãe+fhs|�-x>st²>k���{;u �z�k���r~{;z�st²>k7{;uwxXv���swz�f®i¯��¬­v>�-kj��z�{X�huws|��fhs|rhx�z�fhk�y!v>i]�huwk!«hswz��)�Pv>}®r~�¾v;¬/J ���tO LV±A©�f~swy&f¾s|�Rz�fhk�y�}~����kjr�z��k�y�v>���¾s|r z�k���i¯�]vX¬v[�{Xr~� ½ {Xr®� ©�fhs|y&f s|�3��}~�~�Pv>��z�k�� ��� x <2[½S?"9��hswz]�®��kjy!s|��swv>r¾vX¬by�v>i]�~}hz�swrhxÀV{X���hi¯�~z�vXz�swy�{;uwut�¹v>�hz�swiR}~i�Á·�J e+fhk7{>��swz�f~i¯k�z�s|y3�®v�}~r~� f~{>�-�Pk�k�r ��z�{;z�kj�¾{X� x <´½]y4ze{�|�½vze{�|[�?�s|rJ ���tO LV±�©�fhs|y&f)sw�<��}®��z�s ¶®kj�)s ¬�{Xr®�¹v�rhuw��s ¬+z�fhk3k�����v��Q�®v�}~r~� rts4u sw��rhvXz�x���kj{;z�kj�bz�f~{>r¾��v�iRk¯¶~«hkj��Pv>��swz�sw²XkÃ�®vª©"k��¯vX¬&l,+ª½�W<z�fhkÃu|{;z�z�k��3{>����}~i]�hz�stv�rC±"f~vª©µk�²Xk���±As|�3²Xkj��� i¯swuw� {Xr®� y�vª²Xk����¯{;uwu�y�{X��k��vX¬�swr�z�kj��kj��z�· L � k�z�z�swr~x�-8</.�?G^ x </.]ze{�|�.=ze{�|�ze{�|0.�?R�~k�rhv>z�k�z�fhk Q<v¨vXuwk�{Xr ÀV�hstz�9Vv��®kj��{Xz�swv>rPÁ¯y�v>i ��~utk�«¨swz���vX¬�i�}huwz�s|�huwswy�{;z�swv>r¯vX¬Iz�©"v�s|r>z�k�x>k����AiRvh�~}~utv r�1 ±X©"k�rhvª© swi]i¯k��~sw{Xz�k�uw�R{>����sw²Xk+{;zEz�fhk��Pv>}~r®�x <´½]y4ze{�|�½vze{�|*<�[$ze{�|E½S?2-8<2[½S?�?�v�r z�fhk Q<v�v>utkj{Xr y!v>i]�huwk!«hswz�� v;¬Q{X�~�®��vZ«hs|i¯{Xz�s|rhx_�®v>ut�hrhv�iRs|{;u<°�k����v>��·�e+fhkRuw{Xz�z�k����Pv>}®r~��y�{>r��PkR��utswx>f�z�uw�Ã�hk�y���kj{X��k��#J �>��z�fhk-¬´{>y!z�v��Pze{�|*<�[½S?�L�st¬�v>r~k��®kj�?¬­v���i]�qz�fhky�v>i]�~}hz�{;z�stv�r~�+}~��swrhx]z�fhk-���Pk�y�sw{Xu�z�kjy&f~rhs|�¨}hk��<vX¬F�hs|r~{>���7��k�x�i¯k�r�z�{Xz�swv>rC±¨z�f®{;z+s|��±®���huwstz�z�s|rhx3z�f~k43�9Â���z���s|rhx�z�f~{;z-��k��®��kj��kjr>z��Q{��~swr~{>���òª{Xuw}hk]s|r�z�vÃ��k�²Xkj��{XuF��}~�~��z���s|rhx>�¯À»y�v>i]�~{>��k J ���kLV±J �¨y��>l�LÓ±VJ ����l;{,L{>r~����kjy!z�swv>r��¯v;¬Ay&f~{X�~z�k��+�¯vX¬J Q"�µ�;��L�v�r�z�fhs|����}~�¨�?k�y�zÂÁ&·e+fhk-{>��swz�f®iRk�z�s|yQy!v>i]�huwk!«hswz��7�Pv>}~r~� x <´½]y4ze{�|E½pze{�|*<�[½S?�?�À»y!uwv>��kQz�v3z�fhk-�®v�}~r~��v;¬�z�fhs|���~{>�®kj�ÂÁ

y�{Xr��Pk�{;u|��v3v��hz�{Xswr~k�������i]{X§�s|rhx�{3f��h�~��s|��v;¬Fv>}®��i¯v¨�~s ¶Py�{;z�stv�r�v;¬A¸¹k��¨u»º �+xXk�v>i¯k�z���s|y�y!v�r~��z���}~y �z�stv�r_{Xr~�¹z�fhk3z�k�y&f~r~sw�¨}hkj��v;¬pJ �¨y��>l�L�¬­v>�����hutswz�z�swr~x*{��®v>ut�hrhv�iRs|{;uAs|r�z�v�z�©"v�uwvª©"k��Q�hk�x���k�k¯¬´{Xy!z�v>����·�?rZJå�¨y��>l�LÓ±z�fhk7y�v>i]�~}hz�{;z�swv>r®{;u�y�v>i]�huwk!«hstz��)f~{X�R�®k�k�r_kj��z�swi]{;z�k��_v�rhut�¹swr_z�k���i]��v;¬+z�f~k7r¨}~i��Pk��vX¬<�~stz�9Vv��®kj��{Xz�swv>r~�Qs|r�²XvXuw²Xkj�C±¼{>����}~i¯swr~xòZ{>��s|{;z�stv�r*vX¬"z�fhk7�~��k�y�sw��swv>r¹v;¬�y!v�i¯�®}hz�{Xz�swv>r_{Xr~�_�hs|r~{>�����k�x�i¯k�r�z�{Xz�swv>rC±¼�®}hz���swi]�huwk3swr®���Pk�y�z�swv>r_��f~vª©��Qz�f~{Xz�z�fhk�v����~k��bv;¬+��v�}hx>f~ut��½ � {>��swz�f®iRk�z�s|y]v>�Pk���{ �z�stv�r~�+{X��k���kj�¨}hsw��k���·A�¨�Pk�y�s ¶dy�{;uwuw�X±d�¨y&f65>r~f~{XxXkbswr#Jå�¨y���l�L�¶P����z<{>�~�huwstkj�+��v�i¯kbx>k�v�iRk�z���swyqz�kjy&f~rhs|�¨}hk��À»©�fhs|y&f fhk�y�{Xutu|�]���huwswz�z�s|rhx_y!s|��y�utk�i¯k�z�fhvh�PÁ±µswr v>���hk���z�v¾��k�{Xy&f¾{>r s|��v>uw{Xz�swv>r ��{;z�stv)v;¬qz�fhk�v>���hk��l��}l,+ª½A±~{Xr~��z�fhk�r�{X�®�hutswk������Ae �~{X��k���r¨}~i¯k���swy�{;uCs|r�z�k�x���{Xz�swv>r�{Xr~��¿�k�©+z�v�rCº ��stz�k���{;z�swv>r¹À´s|r�z�©"v²>k�����swv>r®�ÂÁ¼z�v-���huwstz];=<">=?s|r>z�vQ¬´{Xy�z�v>����·e+fhk�s|r�z�k�x>��{;z�swv>rR��z�{;x>k+v;¬C���huwswz�z�s|rhx���k��¨}hs|��k��Fz�f~k+v>���hk��FvX¬I½]�{>��swz�f®iRk�z�s|y<v>�Pk���{;z�stv�r~�Fswr Jå�¨y��>l�LÓ· Q<�¯{X�~�huw�¨swr~x�v>}~�Ei¯vh�hst¶Py�{Xz�swv>r¯v;¬I¸)k��¨u»º ��y�v>r~��z���}~y�z�swv>rC±X��{;z�fhk��z�f~{Xr�z�f~kQ���huwstz�z�s|rhx�y!s|��y!uwkbi¯k�z�fhvh�7vX¬Jå�¨y���l�LÓ±~v>rhkQi]{Z��k�r®��}~��kQ{¯f~stx�fhk��"s|rhstz�sw{XuCsw��vXu|{;z�stv�r7��{;z�stvP±�vX¬

ò �� �òÏí

Page 7: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� M

� ^ �3v>� �8^ � À»��{Z�®Á±d{Xr~��z�fhk�r���k�{>y&f�{���i]{Xutuwk���{>��swz�f®iRk�z�s|y�y�v>i]�huwk!«hstz����®v�}~r~�¾ÀVy!swz�kj��{X�Pvª²XkªÁ{;¬­z�kj�"��v>i¯kb{X�Z��}~��z�i¯kjr>z<vX¬¼z�fhk����huwstz�z�s|rhx3{;uwxXv>��swz�f~i v;¬J �¨y��>l�LEÀV{;u|��v¯y!v�i¯�®{X��k���kji¯{>��§��>· l-swr�z�f~sw���k�y�z�swv>rPÁ&·e+fhk�{>���hi]�hz�vXz�s|y]�®v�}~r~� x <»½ y z {D|E½pz {D|�<2[$z {D|E½S?�?�v�r*z�fhk�y!v�i¯�~utk�«¨swz���vX¬"{X�®�~��vZ«hs|i]{;z�s|rhx�z�fhk

°�k���v>��v;¬A;]<�>]?¼s|�Av��hz�s|i�}~i�swr]z�k���i]�Fv;¬][)J �5LÓ±>�~}~zE²Xkj������k�y�k�r�z�uw��ÀV{;u|��kj{X�h��{;¬­z�kj�A��}~�®iRs|����swv>r¯v;¬Iz�f~sw��®{X�Pk��&Á¼f®{X�F�®k�k�r¯s|i¯�®��vª²>k��-s|rRz�k���i]�Fv;¬d½A±Xz�vQz�fhk+rhk�{>��uw�-v>�~z�s|i�}~i uwk�²>k�uhvX¬ x <�<"ze{�|E½S?2y�<�<"ze{�|E½S?2y �ze{�|[�?»½S?¯À»��k�k8J ���NM;{�LÓ±5J �F± {�L´Á·¹�®v>�R�~��{Xy!z�swy�{;uµswi]�huwk�i¯k�r�z�{;z�swv>r�±Efhvª©µk�²Xkj��±z�fhk�{;uwxXv>��swz�f~i]�-vX¬�z�fhk�®��kj��kjr>z]�~{>�®kj�3��z�stuwu�f~{Z²>k�{Xr {X�~²Z{>r�z�{;x>k�vX¬b�Pk�s|rhx¾i�}~y&f ��swi]�huwk��]z�v_y�vh�hkÃ{Xr~� z�v_s|i¯�~utkjiRkjr�z�±�Pk���s|�hk-�®k�swr~x]{¯²>k����7��v��~}~��z+{Xr~���hk!¶drhswr~x�{Xr�k�{X��swut�7y�v>r�z���vXuwu|{X�huwk�swz�kj��{Xz�sw²Xk��~��v¨y�k�����·

Tb}~��z�k�y&f~rhs|�¨}hk��F{>r~�-v�}~���k���}huwz��Fy�{>r-�Pk"k�«hz�k�r®�hk���z�vQ{X�~�~��vZ«hswi]{Xz�s|rhx�z�f~k"°�k���v>�v;¬P{>r�{>r~{;uw�¨z�s|y¬´}®r~y!z�stv�r�s|r�{]���¨}~{>��k>±�st¬Fz�fhkj��k�°�k���v>�<{X��kQsw��vXu|{;z�k��3¬´��v>i {;uwuCvXz�fhk��<°�k���v>�"v;¬Fz�fhkb¬´}~r®y!z�swv>r�·

�Pv>��{>r)k!«hz�kjr~��swv>r_z�v*{X�®�~��vZ«hs|i]{;z�s|rhx�z�f~k�k�swxXkjr>²ª{Xuw}hkj��v;¬�{����hi]iRk�z���swy]z���s|�hs|{;x>v>r~{XuEi¯{Xz���s «C±��k�kKJ ���X��L¼{Xr~�#J � � LÓ·¸)k-©+swutu��~��kj��kjr�z+z�fhk���k���}huwz��+s|r�z�f~k�¬­vXuwutvª©+s|rhx3v����hkj��·<��k�y�z�swv>r�l¯s|���hk�²XvXz�k���z�v���v>i¯k-�~��k�uws|iRs �

r®{X��stkj��·��?r���kjy!z�swv>r��¯©µk���k�y�{;uwud¸)k��¨uVº ��k!«~y!u|}~��stv�r7{;uwxXv���swz�f®i À»�¨}~{X�~z���k�k�{;uwxXv���swz�f~i�Á&·��?r���k�y!z�stv�r7�©"k��hk�¶Prhk-v�}~��i]{XswrÃ{Xutx>v>��stz�f~i�s|rÃz�f~k��®vª©<y&f~{X��z"¬­v>��i�±P{X�q{���k�y�}®����st²>k��~��vhy�k�����v;¬As|��v>uw{Xz�swv>r�{Xr®�y�v>r�z���{Xy�z�swv>rC·µ�¨k�y!z�stv�r MR�~k���y���sw�Pk��+z�fhk�xXk�v>i¯k�z���s|yQy!v�r~��z���}®y!z�swv>r�}~��k���{;z+z�fhk-s|��v>uw{Xz�swv>r���z�{;x>k���·A�?r��k�y�z�swv>r���{>r~�����®�®kjr~�hs|y!k���� {Xr~����©"k��~��k���k�r�z¼��v>i¯k�{>r~{;uw�¨z�s|yAz�kjy&f~rhs|�¨}hk��rhk�kj�hk���{Xz¼z�f~kµy!v�r�z���{Xy �z�stv�r3��z�{;x>k���·��q�~�®kjr~�hs|y!kj�µ��±NQ {Xr®� Ë y!v>r�z�{;s|r3��k�²Xk���{;uP{X}¨«hswuts|{X���R��k���}huwz���r~k�k��~k��3s|r3��kjy!z�stv�r~����¨�~·�q�~�Pk�r~�hst«�� y!v�r>z�{;s|r~�"¶®x�}~��kj��·�7Å � ¤~£� ����� %������N� �5(A��(A�1��I0 ���A��+��.�$���5 1� � ��w�* A'E�1���� t��(���(��!���&���A��� (*����(A���1��i+������"�� t�/� � �����*�"~! ��!� �!���K��(D(*�����D� 'E����� �tC ��B B ���t�E ���')($B �������!��,�.� �.�/(���BHF��:��'.�"��B��� A�P���"�i�$����� ,(�(:BHFi���A�K ��'��(��1��� ��� +,� 0 ������� ����!�.�!����� 'K��� ��� �!���p���t�/ ���'@($ A�2�����"���$��B ��'@(:B ����� ��F ���)'E���NC����A���1�\� �� �N���"~1 �����Ik0 �0�� �!� �2�K��� �NCDB �&�� A�V���t�#"/ A�����:�$�%E�!���:�!�p'K�!���t���G���$�G� �"�\+������"�� t� ���D�2�1�����"�����/���:�K'K� ��� �V ������"�����I�� � �� ��� ���$�!����F��&��1�����DI �8�D� �tBHF,I E�!���:�!��I �@�,�1~! A� �*�'$�(A��� C��"���*�2�!I*) ����'K�1� $�+ ���,� �� 8���:�-�!FG�����t�1������1����.'/0�102�,IE0*�D�" ��2�A��+��3����1��(*����+,��� �2�4��E(*��� 1���" ���B B F 'K�,���.��5@�� !��� +��8��'E���NC ��B BP���t�76,�$��0����(�($��� �D �A���w�2�����A�\($�����1B �1' ��G��(�($���8�D� 'K����� �NC���B B ���A� ��'@(:B ���7� �1������� �G��(A��BHF��$��'&�"��B �9(1�A���1�'K�1���A� ������B �1�8����~! A� �����2�����!� ��� � ��� � �*� ���"��B��1�1�p� �G��(D(*������� 'K�����"�����G� � ���t��½:� �1������� �P;]<�>]?�I��!���0*�N�" �.(* A�2(��,�1�.���:� 'K��Fw��(�(:BHF����t�/�2�� ��D���"~1 ��!� � � �� A�p�1�� !���"���3; ��7Å � ¤~£� ���=< %��w�!��'E�V(���(��1���I��:��� ���1BHF/� �>.�?: �@BA!0)���$��.'%C?D0IS���A�\�!������)� �@���t�\��(�(*��8�D� 'E�����"��� �2����t�E���!��,�@��4;=<">]?�� �5'E������ A������F\���t�@'E���D� '& A' 'E� C��*� �� ��D�GFK<e;4?P������t�v �� ��H 1�"�1�����P� �5���t�v�!�������(���B F��$��'.�"��B�;]<">=? q ; a�I aJ dLK�<"> qNMPOJ ?�I MQOJ ���1�$����� �tCE���A�/ ���')(* A� ���K��(D(*������� 'K�����"�����\�2�.���t�R���1��� M J� �:;]<">=?����$��; a ��1� �NC ���A�PB ������� �NCE �� ��Hn !�"�1���S��4;]<�>]? � %��G���N� �5 ��,�1�P���A�S(*����1B �!' � �P ��B B ����y�v>i]�huwk!«¬´{>y!z�v>��st°j{;z�swv>rS.�+��1���� t�-{>�~�~��vZ«¨s|i]{;z�swrhx�z�fhk�°�kj��v��w� �P;]<�>]?�Ip0*�t�1���w���t�i�� A� (* A�\�!�������K� ��'E������ A����!FTFRU�<e;4?^WVTXY J j MQOJ qZM J j 0 ��[@�� ���B B ������'`���A�K�\�t��'@(:B ����&���t�v(���BHF��:��'.�"��B:> aKq rts4u�a ���A���)���$��:������� �#�A��+��GFK<e;4?S^ x < rts:u�a ?� �w�����D�!�5� � �1���� A�������t����F]U�<e;4?�^ rts:u � �����t�@0 ������� ��,�1�!I ���:�\���t���B CN����� ���D'&����*.�?: �@BA!0����$�E.'%C?D0 �� ,(�(������:�� _����� ���*���"��B BHFP��'K��B B �1�� ,(�(��!����� A�$������E���t�5 ���')($B �\�D� ��Fp� ����t�E ���')($B �\� �!�D !� �����,�������"�������t���#��(�($���8�D� 'K����� �NCi���t�&���!����� �)%!��(��������" ! �B ����I`?4 �ba��c�t�1CN�.� �d.�?: �@BA!0���D �A�������A�7/v� ��B ����� ���')($B ���D� ��Fe��� A�:�,� x <�<2[ � ½pz {D|E½S?»½ y ze{�|*<�[½S?Dz {D|kz {D|�<2[½S?�?8���$� x <�<�[ �ze{�|�½S?»½]�4ze{�|*<�[½S?�ze{�| z {D|�<�[&½S?�? �!���v���t�V(*����1B �!'&�p� �v ���'@(:B �\� �!�� 1�2�����,�������"����Ik0�� ����FK< ;]?G^ rts:u I����$�� �5��(�($���8�D� 'K����� �NC&���t�`���1���,��I]0�� ���#FRU�< ;]?G^ rAs:u I=���!�2(A�� 1��� +��1B F �G. -/���2�@���t���=���A�PB ����� �!�R��� A�:� ����f��

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 8: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

� ���������P���

��B �1�E������ ��t��� �U���:�E� ����� C���� � �����2BHF.� '@($����+���� ����F.��� BHF�� �NCw��� ���t� ��B CD����� ���N'/� ��)���t�($�����1�1���4(���(��1����$�\�1'@(:B ��F�� �tC ���t���!��'E�5�2�� ��D���"~1 ��!������!� �$����Fv�1�2C�'K�1��� �����"���G�,�� �C.�?: �@BA!0 � � � ��� ����� �$ 1� ��(D(*������ ��� � .'%C?�0� t�1��� x <�<2[ �õ½S?V½vze{�| y ½S?G���:� x <�[&½]y4z {D| y ½S?G����� ���N'E�1���" ���(��!�������"����� ���$�� ���'@(������ �1������ �Z������1�G� � �1��BH+,�i���t� ���')($B �\� �!�D !� �����,�������"���#(*���P�!B �1' ���$����(�($���8�D� 'K����� �NC#���t�>���1���,�\($�����1B �1'/I����2(�� 1��� +,� BHF�.�0�� �������t�w�!�������-��� A�$���.� � �2�1��'&�K� �&FK< ;]?E���:�>FRU�< ;]?�Iv�����2(��� !��� +,� BHF 0v($����+��"�����8���A���½ ^ x <�[�?�I*ze{�| FK< ;]? ^ q [ ��(��&������ ��E���A���1����� A�:�,��IL�A��0 �1+,�1��I�'& �BH��� (���� ���$(���BHF��:��'.�"��B4�1+,��BH ������"����:��������5� ��+���BH+���� � �����t�)��B CN����� ���D' ���.'%C?�0I 0*�D�" ��. t�� ���B B FpB ��D�,�5� �v�� A'K�!���" ���BA��� ���!� BH� ��F(*���P�!B �1'&� �� � �$�P'E��F&��+����"�.���t�!�1��($�����1B �1'/�#�!F t��� �NC/���t�R6��:��0��w�� A'K�!���" ���B B F ���2�P�!B ��(���BHF��:��'.�"��B4�1+,��BH ������"�����B CN����� ���D'&���i���A�!��IT�t��0 �1+��!��IK���t�#�����+��# ���')($B ���D� ��F ���� A�$�����A�� �B � ��8� �$ 1�����,�1���4�!F����A� �!�� 1�2���½ +Sz {D|A½ � � (��� ��D�*�" ��B BHF,I&���t����B CN����� ���D' ��T.'%�?�0G� �i+,�1��F�� ��� �!���!����� �tC8��� �$ �� � �/���!(:B ��� ��� ���A�&(A�����B � ����� �tCG'K�1���A� ��I����� C�� �$���2���G� �f.�?�@�� 0I*.�?�@�;\0/���$�K'K���� ���� ��1���2BHFG���1+,� B ��(A���w� ��� �G� �D� CB�NBHF ��5@�� 1��� +����B CN����� ���D' �!���&�K��F,��� �1' ��5(A��BHF��$��'&�"��B ��~1 ������"������I�.�?_?D0I�.�?c?*I�� 0I*.�?c?�I ��0I .�?_?�I� �0I .�?c?*I�� 0 ���¥D�� É¨È � Å Ê� � Å �d¢�� �-·®�¨{>�hs|§;v>}3f®{X��i]{>�hkq��k�²>k���{;uP}®��k�¬´}hudy�v>i]i¯k�r�z��µv>r�z�fhkbv>��stx>swr®{;u®�~��{ª¬­z

vX¬z�fhsw���~{X�Pk���·

� <4�� &�� !���,B����2G���L� 6��7 ��� ��-�%'� �!��-�� &��� 7

¸)kb©+stuwu��~��k���k�r�z�z�fhk�y!v>i]�huwk!«hswz��3k���z�s|i]{;z�kj�<�>�3}~��s|rhxRz�fhk�rhvXz�{;z�stv�r x � <��?�±¨¬­v��5YÃÀ���ÁEv>�Pk���{;z�stv�r~��±©�f~swy&f3i]{Z�¯swr~y�uw}®�hkq{>��swz�f~i¯k�z�s|y+v>�Pk���{;z�stv�r~��±��~{;s|��©+sw��k�y!v�i¯�®{X��sw��v>r~�Ev;¬��®v���swz�sw²Xkqr�}®i��Pk�����{Xr®�3z�fhkk�²ª{;u|}~{;z�stv�rÃv;¬�z�fhk�XN9Óz�f*��v¨vXz���vX¬"y!v�i]�hutk�«�r�}®i��Pk�����±I¬­v��br®{;z�}®��{XuSXI·/z {D|��hkjrhvXz�k��buwvXx>{>��swz�f®i¯�qz�vz�fhk��~{>��k r ·�¸)k-©+stuwu¼y�v>}~r�z+z�f~k��®v>ut�hrhv�i¯sw{Xu�°�kj��v��<©+stz�f�z�fhk�s|��iR}huwz�s|�huts|y!swz�swk���±Pr~vXz��hs|��z�swr~x>}hs|��f~swrhx�Pk�z�©"k�kjr_y!u|}~��z�k���k��_{Xr®�)iR}huwz�s|�hutk7°�k���v>��·�Q<�¹��{Z�¨swr~x��?y!v�i]�~}hz�s|rhx�{��PvXuw�¨r~v>i¯sw{Xu��3©"k3©+stuwu�i¯k�{>r�?y!v�i]�~}hz�s|rhx¹stz��¯y�v¨k���y!swk�r�z����*À»}®rhutkj���¯©"k7k�«h�~uts|y!swz�uw� ���Pk�y�s ¬­�¾v>z�fhkj��©+s|��kZÁ· ;=<">]?��hkjrhvXz�k��]{ö~«hkj��PvXuw�hrhv>i¯s|{;uCvX¬��hk�x>��k�kQ½A±

;=<">=?S^ a�ced4f ;

c > c ^�; aa�

J dLK<"> q3M J ?��k; a��^ (�� ÀVlh·w�ZÁ

��Å� �!Ï¢"! É �:< ���$# ^ # <&%���'&?.���1�$���2�!�K���A�G��� �! i��E������ t�)($< # ?)^*' 0�� �������A�w ��1��� �!�+% ������t�i ���')($B ���w($B ���$���+, ^-,�<&%.��'/?K���1�$���2�!�����A�K�1~1 ������w0�� �������t�G���"���iB �1�NC���� r (*</,V?v^ r 'm���$�0�� ���w���t�/+��!�����" ����0% �1'.<�l�� � q l�?�I2% q '.<�l�� � q l�?�I2% �3'.<�l q � q l�?�I�% q '.<�l q � q l�? ���Å� �!Ï¢"! É �:< �'< (=0 �G ���'@(:B �\���1�!���04 ���$�65 �����/ ���B B ���G��~! A� +���B �!�*� � �p���t�1FK ������ ��� �8���t�� 1��BHFE���t��1��'E�&���!��,�/��V;]<">=? �f(A������� �!����'K�����"������.�K�1�1�74 � ��� ��� ���/�~1 A� +���B �1����� _���1�1�V� �& ���B B �����!�N��� � 6,� �NC���8 ����*�����D !���"����� % �84 ���1�$��� �!�8���1~1 ������#����� ��� �1 �Iw0 ���D�"� �$�8� ��� £9!:�;!´Ê!Ï¢ Æ £Z¤h¢<! É=6>?� >?�e<@4&?�I���$��� ��� !­¡ É �­¤h¢<! É � £j¤~¢<! É=BAC� >?� </4&?�I.�����!��B B ��0S� ���1���) � C� A���D� �FE8>?� >?�e<@4.?E^GAÓ½ � <�(*</4 s ? +?(*</4&?�?�IAC� >?� </4&? ^ .IHt;]<�(*</4)J ? +?(*</4&?�?�Ik0*�t�1���K($<@4.?@� �/�����k�$���E� �f"&���k�*� ���"���7A �L�w���$��0*�t�1���/���A�\� � � '& A'���$�E���t� �� ,(*���1'. A' �����&��+��!�/��B B4���t�p�1~1 ������!� � ���/��� �1 !�2�M4 s ���$�M4NJb���t��������/��~1 A� +,��B �!�*�V� �E���t��1~1 ��������2���!��(��� !��� +��1BHF,I\��� �1 �POh���:� �� � �����A���K4)J ���:�Q4 �����w ����$ ��!�*�����" !I04 sSR 4 R 4)J � ���� �1 &���&�E�1~1 ������TOn���:�G�1+,�1��F�� ���\��~1 A� +,��B �1���V�� _���1�!�������VU»Ç !­¡ É �­¤h¢ Å Ê � �WAC� >?�e<@4.? �$� �

ò �� �òÏí

Page 9: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� O

��Å� �!Ï¢"! É �:< ����� <@4&?�^ VTXYcU���� U��Pj M@q3M�� j��!���.�G ���')($B ���G�1�!� 4&I� O <@4&?S^ VTXYcU���� U ��V XBY��tj '�� MPq '�� M�� j ��j � - MPq ��- M�� j�� �0*�A�!���VTXYcU���� U � �D�!�:��� ���v���A�p'K�8�D� '& A' ��+,�1�\��B B:���t�(���� ��� M I M�� ��)���A�R���!��,�p� �S;]<">=?P� �Q4 ���$�0 �G t�1�K���t�i ! t��� ��'K����F �:��� �����"�����K^ '���� � � q l���-��,I)0�� ���8����B�'����8���$����-��,I �!���G���*F ���'@(:B �\��� �� £ É �EÉ ¡<!Ï¢"! É � < ��� >?� >?� </,V?S^ � O <@,? +t< r ($<@,V?�?��!���/�K�1~1 ������+, ��>?� >?�e< # ?S^ � O < # ?+t<!��(*< # ?�?�I� r ^"�]^ r I6�!���&�G��� �! # ���Å� �!Ï¢"! É �:< �$# ) ���E�i ���'@(:B �\� %�I �!���.������# l ���$� �!���.�i�:�����:�2CD����� +���%DIV���t�K��� �1 # <&%.�&%�?� �� ���B B ��� ¤ � �PÇ !´¡ É �­¤h¢ Å Ê %P$ �$�1� C� ����!�t����������f���!��� M J � �5;]<">=?&� �E���D� ����� �1 i ����� ��� ��� M J ���:� � �� $ � �1��B ��� ��� ���Å� �!Ï¢"! É �:< �(' A�< ;=<">=?��C4.?�I����A� !&�Ê Å*)Z��S;=<">]?)� �Q4&I � �p���t�p�* A' ��1�v��v���t�R���1���,�\��S;]<�>]?)B F�� �NC� �#�G ���')($B �\�G�1�!�74 ���:�G ��� A�*�2���E0�� ���w���t�1� � '. �BH��� ($BH�" 1� ���"�!� ���Å� �!Ï¢"! É �:< ��+ (1�t�R½ ��� ��� ���: ����N> K <&%�?4� > y <&%�?4�-,.,/, � > a <�%�?0������' ��(���� ��� % � � ���t��½���1���,�/� �k;]<�>]?p�����E ���B B ���G���A� £ É�É ¢3£j¤®Ê!:! ��k;=<">=?\���% ��� �G(A�������" 1 �B ����I > 1 <�%�?@� �& ���B B ��G���t��.!Ç ¢0£ É�É ¢]£j¤®Ê! �¡ ���;=<">]? ��� %�I ���:�K0 � �1�!� > 1 <�%�? ^21 �!��� .�^$(�I�> 1 <�%�? ^ (��!����.4# ½ �� £ É �EÉ ¡<!Ï¢"! É � < �'< l +9> 1 <�%�?w��~! ���B �G���t� <»½�� l q .�?\$ �����������\���D��� t� ���K% ��w���A� ���!�D� ��� ������$���!+��!���1��� �p(���BHF��:��'.�"��B <"> q %�? a ;]<&% � K

3 s54 ? ���Å� �!Ï¢"! É �:< �(6 ) ���k� �N���v(��,��� ��� +,� ' ���:�7%DIV���1�$���2�/���t���

[^}z {D|�< ' +8%D?�� ÀVlh·ål>Á($����+��"�����G���A��� ' � � ��� ,(�(��1������ A�$�w�������t�/'K� �� �BH� ��/��B B]���t�#� �1����� � �k;]<�>]?�I

'&�hj M J j ����99>7:.^ l �I�I�<����½7� ÀVlh· ��Á%!�K(��������" ! �B ��� ���!����.(;/��0Ik�1�� !���"���=< � >$� �,I ���t�/���1B �����"������� A ��? � �t��B ���!���

' ^ r V XBY� dLK �A@A@A@ � aj ; ats � +!; a j

K�B � � ÀVlh· �¨Á�7Å � ¤~£�Z<1��� ;/�1�������� �!��I���B B����t�)���� 1�2���NCDB �!�P���$� �1~! ��������@���G���t�p ���')($B ���@($B ���$�]�t��+,�)���t�1� �5���"���!�(������B B � B]� �K���t�. �� ������� �:��� �.���t��� ����:� É £9!Ï¢�0 � < ���DC�¡�� �EÅ £Z¡�¥>£9! � ¢"! É � É;U ¤_¡E �¼¤®£ Å ¤~  É ��¢3¤)¥�� É ¡ Å Êõ¡ Å ¢�F �G � � ��¢>¦ �G B �,�1�����!�1� 4`��� ���t�. ���')($B ���&($B ���$� �Y ��¢ � �¼¢X¦ ���A����"���5B �1�NC����������$�v���t������BA���$�v� 'K�1C�� �$����F/ �� ������� �:��� ���5�����A�P ��!�*�2�1�� � ���t����'K��B B ������� 1� ���NCDB �. ������ ��� �*� �NCG���A�\�1�1� 4 �U���:� �A��+�� �NCw� ���)���"���!�5(�������B B �1B=�2�����A�& ���������� �$���2�E�8�t�!�/� �H É � � ��¢j¤h¢<! É ��¦ �k��'@($ A�2� ���t�i'K�8�D� '. A'JI ���$�����t� '.� ��� '. A' - ��i���t�i������B (��������i��i���t�(���� �*�"�G� �M4 � � A� ($ A�KI q - ���$�ML JONy �d[)� (������v���A�K�1��'E� ���')(* A� �����"����� �!�������t���!�1�\��K���t�� 'K�1C�� �$����F\(�������� � �\���t�P(A��� �����\� �V4 �

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 10: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

� ���������P���

� £ É �EÉ ¡<!Ï¢"! É � < ��� (1�t�/��0 � �t��B �!$2�� A'/�p� � ���t�/�� A� ($ A� ��R�vB CN����� ���D' A �L�w�~1 ���B:���t� ������B]���$�E� 'K��C�� �$����F (���������������A�# �1��� �1� % � � ���t��'.� ��� '. A' �� 1� ���NCDB �# ����*�2��� ��� �NC ���t�8�1�1�64 � (1�A�#��0 ���� 5@�1���!�: ����K�~1 ���B ���t�KB �1�NC������E� �/���t�&���"�D������&���N� �&���� 1�2���NCDB � � (1�t�� ��1��� �!�V% ���$�w���t�KB �1�NC���� r >� �p���A�/B ���NCN�1�\���"���.�����k�$�/���t� ��'K��B B �����V�!~1 �����+,<�%.� >N?\ ����� ��� �*� �NCG���A�\�1�1�74 ��?r¾z�fhs|���~{>�®kj��±�©µk7©+stuwuµ}~��k�z�fhk7§¨rhvª©�r¾{;uwxXv���swz�f®i¯�b¬­v��-z�fhk7�~{>��s|y]v>�Pk���{;z�stv�r~��©+swz�f �PvXuw�hrhv��

i¯s|{;u|�PJ ��}~y&f3{>�Ez�fhk�s|�Ei�}~utz�sw�huws|y�{;z�stv�r�{Xr®�¯�~st²¨s|��swv>r]©+swz�f3{-��k�i]{Xswr~�~k���±>�hs|��y���k�z�k+�Pv>}~��stkj�Az���{Xr®�?¬­v���iÀ��q�Ae�Á&±¼��y�{;uwswr~x�{Xr®�*z�fhk3��fhst¬­zQv;¬"z�fhk]²ª{X��sw{>�huwk!L2W�z�fhk3{>��swz�f~i¯k�z�s|yRy�v>��zbvX¬�z�f~k���k]y�v>i]�~}hz�{;z�stv�r~�bsw�x � <´½pze{�|E½S?�ÀV��k�kEJ �P���@LÓ±=J ���>lX{,LÓ±=J Q<���X��L´Á·�7Å � ¤~£�Z<1�=< � A�i���!�� �BH�"�w���2���2��� �!��� ���A� A��� �.��� �1 # <�(�� l�?�� '.'E�����"��� �1BHF �\�D� �!�:���2�#���t�8��� �1 # <&%.��>D?�I �!���/����Fw ���'@(:B �\�M% ���$�p(��,��� ��� +,�V>�E)� � �� �Hn ����\� �.�!�D� ���P���:�K� �E�1 ���B �/���A� +������"�P�!B � �

� : <%��X=?,��õ�3D<��6�, ���L� �!��-�� &��� 7

�?r7z�fhs|�<��kjy!z�stv�rC±¨©µkb©+stuwuC��kjy�{Xutud¸¹k��¨u»º �"k!«~y!u|}~��stv�r7{;uwxXv���swz�f®i�±�©�fhkj��kb©µkq©+stuwuIswr®y!v>���Pv>��{;z�kbe}®��{>rCº ��®��vZ«hs|iRswz���z�k���zbv;¬µ�q�~�®kjr~�hst«¹� À�J ��k!LÓ±��~�C·]M~�,O���MXl~�ZÁ· � {;z�k��qv>rC±I©"kR©+swuwuF}®��kRz�fhs|�Q{;uwxXv>��swz�f~i�s|rv����~k��Ez�v�s|��v>uw{Xz�k�z�fhkQy!u|}~��z�k�����vX¬�z�fhkb°�kj��v��EvX¬�;]<">=?�±~{Xutz�fhv>}hx�f3fhs|��z�v>��swy�{;uwut�]��}®y&f�{Xr�{Xutx>v>��stz�f~iBf~{X��Pk�kjr�¶P����z<swr�z���vh�~}~y�k��7¬­v>�+{>�~�~��vZ«¨s|i]{;z�swrhx¯z�f~k�°�k���v>��·���:� É £9!Ï¢�0 � �1���DC�� Å�Æ �!F ���!���#)V� C� A���CA � �G � � ��¢>¦ (A����� ��� +��E� ��� �2CD�1���vX$I�� ��½ � X$IP���$� � � r I���A�� �� ��H 1�"�1�����.��&���A�v(���BHF��:��'.�"��BA;]<�>]?� ��� A �L� �,I �. ���'@(:B �\�)% ���$�E�@(A����� ��� +��K' �� � �K���t�������A�)�!~1 �����K,<&%.��'&?5 ����*�2��� ���v���t�� 1��B FpX����:����:�� �!���1����� BHFG��� ����� �$ 1� �C���1���,�/� �k;]<�>]?p���$�G� ��� K&B� $ � �1��B ��� ����Y ��¢ � �¼¢X¦ ��(��,��� ��� +��w� ��� �2CD�1��� ^ � ½ ���$�8 ��'@(:B ����+,��BH ����)% � I�� ^ lF�I�<�I�����#IP�� � ������t���)���t� A�*�"������� dLK�,�<&% � ��'4+ r�� ?pBH�"�!�p� �T,<&%���'&?v���:�G ����*�2��� ���@XN���1���,� ��k;=<">=? �G �2!Ï¢"!­¤ �:!��X¤h¢"! É ��¦ ����B B=���t� �1~! ������V,�<&%.��'/?"��}~���Pk�y!z&� �7?$�2� CD��� ���¢�¤ � Å�� = �.^ l �I�<�I���!� �G"/� + �"�D� ���� ��.�1~1 ������v���t���S� �P�� t��(��� !� � �f?*� �1CN�"�$#%� ���� � ��K�/�1~1 ������R�t������"�D������KB �1�NC�����' + r �w� �*�2� �!�� A�.�� _���1~! ������!�I50�� �������t�E���"�D�GB �1�NC�����' + r J K �S( �A�!��IP0�� ���N� � ���t��!�D !� ����� K&B� .�0*�D�" ���� �)B �!��P���t��� ���&� ;BA'�!���"`^ � r I]�1�� ���4� A � 0I���(�(*��8�D� 'E���2�\���A�v��� ���2���$ ���� �����'���t�w ��!�*�2�1���K� �K���t�E�� _���1~! ��������K� � ���t�G�$�������!���E���1���,����P;=<">=? � .'"&� ���N� �-��F���(�($B F�� �NCd�vB CN����� ���D'���L� �����(�(��!�:��� � � ���P���t� �!�� A�� ��!�*�2�1���E� �E���A� �!�� A�.�� _���!~1 ��������IP0*�t�1���w��D �� ��!�*�2�1�@(:B ��F,�K���t����B �.��\���t�/� ��($ A� +���BH ��V% � �]�vB CN����� ���D' �4�L�,IV0*�t�,�1�E�����t�1�\� ��($ A�V+���B �����I'#I�½SI�; f �<�I�I�I��; a I�������!�A�������E0�� ��� �vB CN����� ���D'-? �L� � 0#�k��B B �&�!~1 �����+��}®���Pk�y�z\� � ?*� �1CN��� A�*B �����)���t� B �����2�1�V(*������� '.� ��F.� �!���($����+��!�&���t���@���A�.�1~! ������� ����*�2��� ���&�:�>���!�����E� �;=<">=? � � A� (* A�����t�� ��1��� �!���+% � ��K��B BS���t�.�1~1 ������!�,�<&% � ��>N? ���A���)�����.�� t�2(A�� 1�5� �3?*� �1CN�(� �20*�t�1��� >G^ '4+ r � � � � A� (* A�)�#I5���t����+,�1����B BS�* A' ��1�.� ����t�.�� A� (* A�k�!~1 ������� � �8( �A�&�$����� ���!'K���!6.�!�t��0S� ���A���*� ^ � ½ � ��7Å � ¤~£� �L���,+ �� �� � �1������P;=<">=?E'K��F�'E�6�� ���p'K�,��� >��1~1 ������!�K�� t��(��� !�v� �S?$�2� CD�-�*I��!���w���*F� .��$��� �G���A���v�� A�v(*������� '.� ��F �2�!���) ���')(* A� ��� > a <�%�?/0�� ���D� ��%/. �1��������Iv�� ��G�2� � ���L� �,I����4� A � ���$���� �: �� �$� r 0 �

ò �� �òÏí

Page 11: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� �

�7Å � ¤~£� �L�=< %������ �����E����vB CN����� ���D' ���L�,Ik���*FE�����A�!�V(*�����D� '&� ��F&� �!��� ����7��\��(�($B �"����P%��.(��������" ! b�B ����Ik���U($B �D !� �tC>�vB CN����� ���D' �4�L�-�!FG��B CD����� ���N' �� ,(D(A������� �tC\(������5� �G�����������B B ����F�/��L�w���$� ��,�1���G������t�/��� B �����"����� �'/��=@ �w� �R�(D(A�1�$��� � / 0 �� �B �G���*BHFK����~1 A� ���/�2�E� �: !�����1�/���t� ���!�� �B ��� �tCw��+,�1����B B*��� A�$��������t�.����� ���D'K�!���" K ���')($B ���D� ��F ��FK���t� ��'E��B B��!�D !� ���Pze{�| z {D|E½ �5%����!�D !��IV� ���2(*� � �.� �p�� � � �K'.� �$���� �: !�����1�\��)���A�\����� ���D'K�!���" / ���')($B �\�D� ��F.�!����� 'K��� ����I����A�pB ����� �!� (*������� '.� ��F&� �����S� �@'K�����)�� A� � ���1B � �!���($���� 1���" ��B]� ')($B �1'K�!�*�2�����"������� �$ �� � �G�A�,� ��!��� �!�p�� A'K�1���" ��B:���2�P��� B � ��F �

� ������� ��� ��7� � ������+�7 ����Q�� ��� ����2MHd,��!���� !��M���#$��!%3����' !���(* +��,V7

Tb}®�+{;uwxXv>��swz�f~i ¬­v��+�®v>ut�hrhv�iRs|{;uC°�k���v>�"©+swutu¼��k�uw��v�r7z�fhk-��v>uw}~z�swv>r�v;¬Fz�fhkb¬­vXuwuwvª©+swrhx3�~��v>�~utkjiwo� £ É   � Å � #L���G � � ��¢>¦ ��0 �.������B: ��������2�������0��#hl����:��%v^ rts:u # (AIk ���')($B ���G �����Hn 1�"�!�*�"� ��p�)(A��BHF��$��'&�"��B�;]<�>]?� � � A �L� �,I)�i�$���� A����B$X � r ^ X ^ ½SI@���:� ���"� $ � �1��B ���2���w�1~! ������6, ���A���@ ����*�2��� ���K�\�t�� 1�2BHF.X ���!��,�� ��;]<�>]? �Y ��¢ � �¼¢X¦ ��� � ��� ��CN�1��X f I*( ^ZX f ^ZX$I � $ � �1��B ���2��� % � $ �:�!� CB�b����!�t��� ���&��5X f ���1���,� M�� ��S;=<">]?)� �Q,�!��� % � ^"% ����^ lF�<�I�I�I�X f I]���E� ��� �2CD�1��H"�$( � H"� r � � X f ^ ( �P���$� Hi�1~! ��������7, K �<�I�I�I�C,��E���t���4�������� ���1��� ����I � $ � �1��B ���2����Ik���$�.�� � ������A���, 6R , �5X ^ A�< ;=<">]?��C, ? �hl�I �.^ lF�I�<�I����H� _ � d4f=X ^ X*�e+f~k�y!v>i]�~}~z�{;z�stv�r)v;¬<z�fhk�s|r~�hs|y!kj��v;¬�;]<�>]?bswr)k�{>y&f_���¨}~{>��k , �(�8^ l �I�<�I����H±�y�{Xr_�Pk7�~{>��kj�*v�r�µ��v��®v���swz�swv>r Ë ·t�QvX¬����®�®kjr~�hst« Ë ·���:� É £9!Ï¢�0 � #L��� (*�K ���')(* A� � � $ � �1��B ���2����% � $ �:�!� CB�b����!�t��� ��� � �v��B B:���A�R���!��,� M � � � ;=<">]?�I:(*���� �������� �!��B B ��0S�IE@%��*� ���"��B BHF��1�1�kX�^ ½SI ,�^ ,<�( � '/?�I �!��� ' �� � A � > �,I5���$���1��BH+�� �����P�!B �!' > �L���!��� �� � ��8�1~1 ������Q, � (1�A�!�Z���� 1 A����� +,� BHF,I0�!��� ���D � �� A� ($ A�p�1~! �������, �� ^ l �I�<�I����H=I\�1�1�+, ^ , ���$��1��BH+,� �������1B �1'/� > �L� � �!��� , ^ , (:B ��F�� �tC����t� ���B � � �G���t� � ��(* A�p�1~1 ������� �S[@�� 1 A����� +,� BHF���� (���������D� �v(*�� ��!��. A����� B ���A�G���!��� ������� $ � �1��B ���2��� % � $ �$�1� C� ����!�t�����,�w��K��B B����A�C���!��,�����;]<�>]?��A��+��f����!� ���'@($ A�2��� ���s|r~y�k.X # XI±P¬­v>����^ lF�I�<�I�<� H�±®©"k�©+swutuF{X����sw²Xk�{Xz�z�f~kR�hkj��s|��kj� % � 9�rhk�swx>f¨�Pv>��fhv¨vh�~�+v;¬E{Xutu�z�fhk½_°�k���v>�+vX¬=;]<">=?µs|rD, s|r�{;z�i¯v���zq½ q lR��kjy�}~����sw²Xk���z�kj�~��vX¬E��v>ut²¨s|rhx�����v>�huwk�i �®·w�X·+��zb��kji]{;s|r~�+z�v

���Pk�y!st¬­�7z�fhk-��vXu|}hz�swv>r�v;¬�����v��huwk�iO�P·t��{Xr®��z�v]k���z�s|i¯{Xz�k�swz��+y�v>i]�huwk!«hstz��>·¸)k�©+stuwu¼�~{>��z�stz�stv�r7z�fhk-��vXu|}hz�swv>r�v;¬F����v>�huwk�iO�P·t�Qs|r�z�v]z�©µv3��z�{XxXk�� o

� £ É   � Å � #L����¤1�G � � ��¢>¦ �,� �!��� ������1B �!' > �L� �Y ��¢ � �¼¢X¦ �1� ���A�!�/�i ���'.'E��� � $ � �1��B ��� �� % � $ �:�!� CB�b����!�A� ��� ��/��B B]���t�vXN���!��,� M�� � �k;]<�>]?)� �N? �!����1��'E� % � ^ % ����IV� B �1�!I���#�~1 A� +���B �1���V�� _���1~1 ������+, O ^S,<&% O ��' O ?p��#?*I��� � �i���A���

�4� l +9>?� >?� </, O ? À´�®·w�ZÁ�!���/�P� �N���\(A����� ��� +�� � �

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 12: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

� 3 ���������P���

� £ É   � Å � #L���� `�G � � ��¢>¦ ���A�/�� A� (* A� �� _���1~1 ������ , O � � �����P�!B �!' > �L�D�,I �1����� � ��F�� �NC!�(> �L� � �Y ��¢ � �¼¢X¦ �,� �!���������P�!B �1' > �L� �¸)k�©+stuwu¼y�v>r~��sw�~k��<����v>�huwk�i��®·w����swr�z�f~k-rhk!«hz+��kjy!z�stv�r�{>r~������v��huwk�iO�P·t�j{�s|r���kjy!z�swv>r��~·

� Hd,��!���� !����� � 7 (* +��-,V7�?r�z�fhs|�µ��k�y�z�swv>r]©"k�©+swutud{X����}®iRkb{Z²ª{;swuw{>�hutk�{��huw{>y&§R�PvZ«�{;uwxXv���swz�f~i C����:� É £9!Ï¢0��+1��� F z�f~{Xzµ��vXuw²Xk���µ��v��hutkji �P·t�j{QÀ»��k�k���k�y�z�swv>r��¨ÁI{Xr~�-©+stuwu>���®kjy!st¬­� ���:� É £9!Ï¢�0 � '1��� ±�z�f~{;zsw��±Zz�fhk"�hutvhy&§¨�CvX¬h��utx>v>��stz�f~i�P·t��©�fhk���kE����v>�huwk�i �®·w���Qs|����v>ut²>k��C·�¸)k�©+swuwu��~��vhy!k�k���{X�¼swr�À´¸)k��¨u»º �&ÁC��uwxXv���swz�f®i �®·t�E{>�~�huwstkj��z�vqz�fhks|r~�~}~z����¨}~{X��k , O ^S,<�% O ��' O ?Iv;¬®��uwxXv���swz�f®i M~·t�qÀ´©�fhs|y&f-s|�z�fhk"v>}hz��~}hzF���¨}~{>��k�v;¬®��uwxXv���swz�f®i �®·t�ªÁ±��v¯z�f~{Xz<¬­v>�"k�²>k���� AE©µk��hk�¶Prhk�z�fhk A�9Óz�f���z�{;x>kqvX¬F��utx>v>��stz�f~i Mh·w��{X�"s|�hk�r�z�s|y�{XuCz�v]z�f~k)A�9Óz�f���z�{;x>kqvX¬��utx>v>��stz�f~i �®·t�>±hk!«~y!kj�hz+z�f®{;z�©"k-rhvª© {>�~�Ã��v>i¯k��hutvhy&§¨�<¬­v��<z�fhk-²>k���s ¶dy�{;z�stv�r7st¬Az�fhk-��k��¨}hs|��k�i¯k�r�z��z�v3z�fhk�v>}hz��~}hz+v;¬A��uwxXv���swz�f®i Mh·w�-f~{Z²>kQ{Xuw��k�{>�h���Pk�k�rÃ��{;z�sw��¶®kj�7¬­v��+��v�i¯k-���¨}~{>��kj�+��}~���Pk�y!z+s|r�z�f~sw���z�{XxXkDW�st¬q��vP±E©"k���z�v>� �~{X��z�swz�swv>r~swrhx¹z�fhkj��k�����}®{X��k���{>r~� §Xk�kj�¾z�fhkji s|r>²ª{>��s|{Xr�z�}~r�z�stu+z�fhk�kjr~� vX¬z�fhkQy!v>i]�~}~z�{;z�stv�r~��±�©�f~k�r�©µkbv>}hz��~}hz<z�f~k���kqs|r�²Z{>��s|{Xr�z"���¨}~{>��kj��·E�¨�Pk�y!st¶Py�{;uwut�>±¨¬­v>�µk�²Xkj����d±h©µkb©+swutu�®{X��z�swz�swv>r¹z�fhk�}~r~stv�r¹vX¬"{XutuEz�fhk�� < ��?����¨}~{X��k��bz�f®{;z-{X��k3��}®���Pk�y�z�swr ��z�{;xXk�Ãs|r�z�v��*< ��?bi¯{;«hswi]{;uy�v>r~r~k�y!z�k���y�v>i]�Pv>rhkjr>z���±���� K �<�I�I�<����� � � ±Ik�{>y&f�y!v�i]�®v�rhk�r�zqy�v>r�z�{Xswr®��{;zqutkj{X��z�v�rhk�°�k���v7v;¬=;=<">=?�±��vÃz�f®{;zGlN^ �$<��*?C^ XI±*�#^ l � r �<�I�<� W��$<�l�? ^ lX± , O ^�� KK · � k�zRz�fhk�<�l�� � f ?»z�f ��z�{;x>k��®k�z�fhk��k��®{X��{;z�swv>r���z�{;x>kqvX¬F��utx>v>��stz�f~i Mh·w�X±hz�f~{;z<s|��±

�$<��*? ^ l4��99>-�.^ l � r �<�I�<����� f�� �$<�� f �Zl�? #blF� À�Mh·w�ZÁ�?r_k�²Xkj���¾��z�{XxXk��d±¬­v�����# � f ±F{>�~�huw�¹��utx>v>��stz�f~iMl~·t�3z�v�z�f~k���k�z-vX¬+{Xutuµz�fhk�²Xkj��z�swy�k���vX¬+{Xutuµz�fhk��}~���®kjy!z3����}®{X��k��¯v;¬bz�fhk�y�v>i]�®v�rhk�r�z���� � ±�¬­v>� H ^ l �I�I�<�����$<��*?�±<{Xr®� {>����st²>k�{Xz3z�fhkÃi¯swr~swiR}~i���¨}~{X��kX± ,�� � ^S,<�%�� � ��'�� � ?�±�y!vª²>k���swrhx���� � À»y�v>i]�~{>��k+��kji]{X��§�lh·w��{Xr~�]�µ��v��®v���swz�swv>r]lh· ��Á&· Ë {Xutu� � �� {Xr�� $ � �1��B ��� ��w ���')(A���$�1���Cst¬Fz�fhk-����}®{X��k), � �� s|�<k��¨}hsw²Z{Xutkjr�z"z�v�� � � {>r~��s ¬

AC� >?� </, � � ? � � ���k�©���stz�kbz�fhk�u|{;z�z�k��+{>����}~i]�hz�swv>r�{X�"¬­v>utuwvª©�� o

� � � ^ V�������d �

<�VTXY��tj '��"% � � q '��<% � � j ��j � -Q% � �� q ��-8% � � j�� q ' � � ? � � ' � �� � À�Mh·ål>Á�Pv>�<kj{Xy&f H �0Hw^ lF�I�<�I�����*< ��?�±~z�kj��z+st¬

� r ' � � ^4V������%�� � � � + � ��� À�Mh· ��Á�Ó¬���v®±�v>}~z��~}hzRz�fhk��hs|��y # <&%�� � ��'�� �� � r ?b{X�R{Xr��*9Ósw��vXu|{;z�k�� < � r '�� �� ?�9Ór~k�swx>f¨�®v���f~v�vh�)v;¬+z�fhk7°�k����v>�]vX¬P;]<">=?Ruw�¨swrhx¾s|r z�f~k*y!v�i¯�Pv>r~k�r�z � � � {Xr®� �~k!¶Prhk�� � J c � ^ ,�<&% � � ��' � � ?i^ , � J c � ^,�<&% � J c � ��' � J c � ?�±�¬­v>��{>r${X�~�®��v��~��s|{;z�k!� ^"�*< � � A?�±b{X��{Xr$swr�²ª{X��sw{>r�z�y!v�i]�®v�rhk�r�z7z�f~{;zÃ��k��i]{Xswr~�]}~r®y&f~{Xrhx>k�� swr {;uwu���z�{XxXk���� � A�vX¬b��utx>v>��stz�f~i Mh·w�7¬­v�� A�# (®·nTqz�fhk���©+sw��k7z�k���z]s ¬¯À�Mh·ål>Á

ò �� �òÏí

Page 13: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� �>�

f~vXu|�~��· �Ó¬���vP±µv�}hz��®}hz3z�fhk����¨}~{X��k., � � {>�3{Xr swr®�~}hz7���¨}~{X��kT, ¬­v>�3��utx>v>��stz�f~i �®·t��{Xr®� �~k!¶Prhk� � J c � ^ ,<�% � � ��' � � ?&^ , � J c � ^ ,�<&% � J c � ��' � J c � ?b¬­v>�]{X�®�~��v��~��sw{Xz�k�� ^ �*< � � A?Q{>�R{>rs|r�²ª{X��sw{>r>z<y!v�i]�®v�rhk�r�z+z�f®{;z���k�i]{;s|r~�+}~r~y&f®{Xrhx>k���s|r�{;uwu���z�{;xXkj�����1AEv;¬A��uwxXv���swz�f~i Mh·w�q¬­v��WA # (~·�q�~�huw����z�{XxXk�� � l�vX¬��uwxXv���swz�f®i �®·t�qz�v]{;uwuPz�fhkQ���¨}~{>��kj��z�f~{;z"utswk�s|r�z�fhkQ��kji]{;s|rhswr~x�rhv>r~swr�²ª{X��sw{>r�zy�v>i]�Pv>rhkjr>z��<{Xr~��z�f~{Xz+{X��kQ��}~���®kjy!z<s|r���z�{;x>k �d·���z�v��7z�fhk-y!v�i]�~}hz�{Xz�swv>r��>����uwxXv>��swz�f~i M~·t�b©�fhkjr{XutuCz�fhk-y!v�i]�®v�rhk�r�z��+f®{Z²XkQ�®kjy!v>i¯k�s|r�²Z{>��s|{Xr�z�·� k�z-}~�-r~k!«hz-{Xr~{Xut�¨°�k]��utx>v>��stz�f~i M~·t�>·K��k���k�{;¬­z�kj��± �/< � � � ?��~k�rhv>z�k��Qz�fhk�r¨}~i��Pk��-v;¬+���¨}~{>��kj�

z�f~{;z�{>��kQ��}~���Pk�y�z+swr���z�{;x>k ��{>r~��utswk�swr�z�fhk-y!v�i¯�Pv>r~k�r�z � � � ±®��vRz�f~{;z

�/<��*?S^� � ��� dLK � < � �

� ?�� �.^ lF� r �I�<�I���Tb}®�+rhk!«hz<xXv�{;uCs|�<z�v��hkj�~}~y!kQz�f~{;z

� ^ �� d �� J K

� <��*?S^ x <�<�l���ze{�|0� ?2X$?�� À�Mh· �¨Á

¸)kR�~k!¶Prhk¯{3z���k�k�� ©+stz�f � �bl q � f uwk�²>k�u|�+v;¬�rhvh�hkj��±d©�fhkj��k�� f sw�b�hk!¶drhk������)À�M~·t�ªÁ·�e+fhk �*< ��?y�v>i]�Pv>rhkjr>z�� ��� K �<�I�<������� � � {>��k�s|�hkjr>z�s ¶Pk��3©+swz�f7z�fhk �*< ��?Frhvh�hk���¬­v>��i¯swrhx�z�fhk&<�� q � f ?»z�f�uwk�²>k�u®vX¬z�fhk�z���k�kX·�e+fhk¯y!v�i¯�Pv>r~k�r�z � � ���K s|��s|�hkjr>z�s ¶Pk��é+swz�fÃz�fhkR��v¨vXz+vX¬Ez�fhkRz���k�kX±d©�fhs|y&f�utswk��b{;z�utk�²Xk�u�3~·e+f~kRuwk�{Z²>k���{>��k�sw�hkjr�z�st¶®k��*©+stz�f*z�fhkRs|r�²ª{X��sw{>r>zqy!v>i]�Pv>rhkjr�z�� ��� � ±���}®y&fÃz�f~{XzRÀ2Mh·ål>Á�{Xr~�P³ªv>��À�Mh· ��Áf~vXu|�*¬­v���z�f~k3²Z{Xuw}~k��)% � �� ��' � � ·�e+fhk3kj�hxXkj��v;¬<z�fhk7z���k�k]xXv�¬´��v>i k�{Xy&f)y!v�i]�®v�rhk�r�z � � � z�v�{Xutuz�fhkQy!v>i]�Pv>rhkjr�z��vJ vX¬¼z�fhk.<��'� l q � f ?Vz�f�utk�²Xk�u Ld¬­v>��i¯k��7���]z�f~kb���¨}~{X��k��µz�f~{Xz"{>��kb��}®���Pk�y�z�s|r���z�{;x>k� �Zlb{>r~�7uwswkbs|r�� � � ·F¸¹kQuwk�z � �hk�rhv>z�k _ � < � � � ?A©�fhkj��kbz�fhk-��}~iBs|�<vª²Xkj�µ{XutuCz�fhkQutkj{Z²Xk�� � � � W©"k��hk��®}~y!kQ¬´��v>iO��k�i]{X��§3�~·w�Qz�f~{Xz

� ^ � X � À�Mh·HM>Á�qk���k�{;¬­z�k���±¨©µkb©+swutuC{X����}~i¯kqz�f~{;z"k�²>k����3°�k���v�vX¬*;]<�>]?Az�f®{;z+i]{X§;kj��z�©"v¯v>�"��k�²Xk���{;uI����}®{X��k��"��}~���Pk�y!zs|r)�¨z�{;x>k-�Ã��f~{;uwuFutswk¯swr*v>�Qy!v>swr~y�sw�~k�©+swz�f¹z�fhk]s|r>z�k�����kjy!z�stv�rÃv;¬�z�fhk3�®v�}~r~�~{>��swk��qv;¬µz�fhkj��k3����}®{X��k���·J Ë uwk�{X��uw�X±d©µk�i]{Z�Ã{;uw©<{Z�¨��iRvª²>k-z�f~k�°�kj��v���vX¬=;]<">=?"v�rÃz�f~kRy!v�i]�hutk�«��huw{>rhkX±I��v�{X��z�v���{Xz�s|�?¬­��z�f~sw�{>����}~i]�hz�stv�r]©+stz�fhv>}hz<{Xr��]�hk�y���kj{X��k�v;¬�z�fhk�²ª{Xuw}hk��'v;¬�À2Mh· �¨Á&· L+e+fhk�r�±�kj{Xy&f3rhvh�hk�� � � z�f~{;zµsw�"rhvXz{¯uwk�{;¬�y!v�r�z�{;s|r~�+rhv>z�i¯v>��kb��}~���®kjy!z�����}®{X��k��"z�f~{>r�stz��+y&fhstu|�~��k�r��hv®±®z�f~{Xz+sw��±

� < � � � ?G^ �� � � � < � � J K

� � � ?�� À�Mh· ��Á

©�f~k���k�z�fhk¯��}~i]i]{;z�stv�r�sw��vª²Xk��+{Xutuz�fhkRy&fhstu|�~��k�r!��� J K � � �

v;¬Az�fhk�rhvh�hk ��� �� ·"¸)k�rhvª© ��k�y�{;uwu�z�f~{Xz�±�Pk���s|�hk��Rz�fhk�uwk�{Z²Xkj��±Arhv�rhk7vX¬�z�fhk�y!v�i]�®v�rhk�r�z�� � � � ¬­v���� � � f sw� �*9Ósw��vXu|{;z�k��¾{Xr®� �hk��®}~y!k�z�fhk¬­v>utuwvª©+s|rhx¯�®��v��®v���swz�swv>r4o� £ É �EÉ ¡<!Ï¢"! É � ' ��� + +��1��FE ���')(����$�1��� ��� �� I ��# � f I �t���p��� ���$ ������ ��� $ �!���!6 �2���A����� ��I ��� ���: �!���2���0�� ��� ���5B ���,�����0 �i �N� B ����!� �i���5B �1+,� B � K I � K ^ � q � f q ze{�| <�<2� q l�? � < � � �� ?�? �4�����!���\�1��'K� #�(�Ik0*�t�1��� �\^ ( � � � � � � �/���8� ��+������"���*�P�� A� (* A�V ���')(����$�1����I��\^ lw�����A�!��0�� �1� �

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 14: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

�Zl ���������P���

���� � � �VTb�~��k���²XkEz�f~{;z ' � � ^ ' O �/< � � � ?+ r ±ª©�fhkj��kj{X�z�fhk<�hs|��z�{Xr~y�k�¬´��v>i % � � z�vbz�fhk<rhkj{X��k���z°�k���vqvX¬N;=<">]?�uw�¨swr~xqv�}hz���sw�~k � � �� s|�A{;zFutkj{X��z7' � �� � r ' O + r �� J � ±X�®kjy�{>}~��k+��}~y&f�{b°�k���vqvX¬N;]<�>]?¼iR}~��z�PkQ��kj�~{X��{;z�k��]¬´��v>i*% � �� �>�3�PvXz�f7z�fhkb���¨}~{X��k ,�<&% � � ��' � �� ?A{Xr®�7��v>i¯kb���¨}~{X��k+,<�%.��' O + r �� J � ?�~sw��y�{>���hkj�bswr���z�{;x>k)� f � � K · Ë v>r~��k��¨}hkjr�z�uw�X±"A�� >?�e<@, � � ? � l � y � � � � � � ��� �

� �������

·e+fhkj��k�¬­v>��kX±<A�� >?�e<@, � � ? � �st¬ </� q l�? � < ��� �� ?G^ r s � s �� J K v>��±>kj�¨}hst²ª{Xutkjr>z�ut�>±¨s ¬]ze{�|$<�</� q l�? � < ��� �� ?�?�^%� q � K q � f ��l>· Tbrz�fhk"vXz�f~k��Ff~{Xr®�C±?AC� >?�e<@,�� �� ?"#$�3}~r~utkj������� � s|�F{�uwk�{;¬®v;¬ ��±;{Xr~��s|rRz�fhk"uw{Xz�z�k��Fy�{>��k A�� >?�e<@,�� s K � ? # �¬­v��<z�fhk-�®{X��k�r�z ��� s K � vX¬ ��� � ·�Q<�7y�v>i��~swrhs|rhx]z�f~k-{X�Pvª²XkQ��k�uw{Xz�swv>r~�<©"k�y!v>i]�huwk�z�kQz�fhk-�~��v¨v;¬?·�

ev��hk���sw²Xk¯À�Mh· �¨Á&±h©µk�©+swuwu�{;u|��v3}~��kQz�fhkQ¬­v>utuwvª©+swr~x¯kj��z�swi]{Xz�k�� o� ¤~¥;¢�'1���,+ +��!��Fi ��'@(����:�!�*� � � � I �!���KHw^ lF�I�<�I�����*< ��?�I �&^ ���I�<�I���!�&Ik� �/ ��+,�1����� ��F

.D<�� � H ?*^ r ��� � < � � � ? + r���1~1 ������!�p���A���5����� �� t��(��� !�V� �7?$�2� CD��� q�r �e+fhk¯�~��v�vX¬Asw�b��{Xz�fhkj����z���{;swx>f�z?¬­v���©<{X���*ÀV{;uwz�fhv�}hx>f�z�k��hswv>}®�ÂÁ�o"swzq{>�~�Pk�{;u|��±®v>r�v>rhk�f®{Xr~�C±dz�v�z�fhk

¬´{>y!zbz�f~{Xz�{����¨}~{X��k-z�f®{;zQsw�Q��}~���®kjy!z�{;z-��z�{XxXk-� q r f~{>�qz�fhk¯��9V¬­vXu|��s|r~y���k�{>��kRv;¬�z�fhk3��s|�hk¯utkjrhxXz�f²>k�����}®�-z�f~k���sw�~k�uwk�rhx>z�f¾vX¬q{*���¨}~{X��k7z�f~{;z¯s|�R��}~���®kjy!z]{;z���z�{XxXk �_{Xr®�C±Ev>r z�fhk�vXz�fhk��¯f~{Xr®�C±Ez�vz�fhk3y!v�r~rhk�y�z�sw²¨stz��ÃvX¬µz�f~k]y�v>i]�Pv>rhkjr>z�� � � y!v>r®��s|��z�swr~x�vX¬�z�fhk3y&f~{Xswr¹v;¬ � < � � � ?+��i]{;uwutkj�Q��}~���Pk�y!z���¨}~{X��k���·Eev�y!v>i]�huwk�z�k-z�f~k-�~��v¨vX¬?±~stz�k�����kjr>z�sw{Xutuw����k�i]{Xswr~�<z�v�y!u|{X����st¬­��{Xutu�®v�����sw�~utk-y�v>r¨¶®x�}~��{;z�swv>r®�vX¬Az�fhkj��k��/< � � � ?"���¨}~{>��kj�QÀ´z�f~k�©"v>����z�y�{X��k-y!v>rh¶®x>}~��{;z�stv�r7s|����fhvª©�r�s|rÃ�Fstx�}~��k-�¨Á·<¸)k�©+swutuv>i¯stz¬´}®��z�fhk��-�~k�z�{Xstu|�-�~}~z�©+swutu�r~vXz�k7z�f~{Xz�¬­v>��z�fhk7�~��v¨v;¬<v;¬<z�fhk�{X���¨i]�hz�vXz�swy3�Pv>}~r®� À�Mh· �¨Á&±swz�{>y!z�}®{;uwut���} ��y!kj�Fz�v-�~��vª²Xk<{b©µkj{X§Xk���²Xkj����stv�r-vX¬P�P{>y!z M~·t�>±;©�fhk���k���z�{XxXk�� q�r sw�A��k��~uw{>y!k��¯���]��z�{;x>k � q x <�l�?{>r~�¯z�fhkq��swx>f�zA��s|�hk+vX¬Iz�fhk+s|rhk��¨}~{Xutswz���vX¬I�d{Xy�z Mh·w�"s|�Ez�}~��rhk��¯s|r>z�v x <�l�? ��� � < � � �� ?C¬­v>�E��v>i¯k<¶~«hkj�� # lX·�e+fhk7uw{Xz�z�kj�-²>k�����swv>r)v;¬+�d{Xy!z.Mh·w��swi]i¯k��~sw{Xz�k�uw�¹¬­vXuwutvª©��Q¬´��v>iÌz�f~k�lÃ{>�®vª²>k3v>�~��k���²ª{;z�swv>r®�ÀV{X�Pv>}hz+z�fhkQ��9V¬­vXu|�7s|r~y���kj{X��kbvX¬z�fhk-��s|�hk�uwk�rhx>z�f�{Xr~��z�fhk�y!v>i]�Pv>rhkjr�z�y!v>r®rhk�y�z�sw²�swz��®Á·H É £ É � �´¤~£ Æ '1��� .D<�� � H ? ^$( ����� � < ��� � ?)� � � < ��� � ? # % �¿qvª© utk�z ���/^ _ � � � < ��� � ?�� � O� ^ _9O�*� � < ��� � ?<©�fhk���k._G{Xr~��_eOR�hk�r~vXz�k�z�fhk]��}®i¯�qs|r

{Xutu®z�fhk��~{Xsw���*��{>r~� H7��}®y&fRz�f~{;z)� # � f ±�l�^ HN^ �$<��*?�± � < � � � ?`^�%~±��~��vª²�s|�hkj��z�f~{;z _:O y�v>r~��sw��z��vX¬�¬­v���§¨�Q{Xr~�¹uwk�{Z²Xkj��±Cz�f~{;zQs|��±swr®y!u|}~�hk���r~v��®{;s|���.<�� � H ?���}®y&f*z�f~{;zQz�f~k�rhvh�hk�� � � vX¬µz�f~k3z���k�k �f®{X�<k!«~{>y!z�uw��v�rhk�y&fhstu|�C·

Q<��y�v>iR�hswr~swrhx¯z�f~k-�®v�}~r~�~��À2Mh·HM>Áµ{Xr®�¹À2Mh· ��Á�©+swz�f Ë v>��vXuwuw{>����M~·t�>±h©µkQv>�~z�{;s|r�z�f~{Xz� q � � ^$��� ^$� r X � À�Mh· OXÁ

{>r~��stz���k�i]{;s|r~�<z�v¯kj��z�swi]{Xz�k�� � swr�v����hkj�"z�v��~��vª²XkRÀ�Mh· �¨Á&·����v>�Pv>��swz�swv>r�Mh·w�]swi]�huwstkj��z�f®{;z�s|r¹z�fhk�z���k�k �Bk�²Xk�����rhvh�hk�� � � ��}~y&f)z�f~{Xz�� < � � � ?�^ %Ãf~{X�

{Xz�i¯v>��zPz {D|�<2%�<2� q l�?�? q l�stz�����}~y�y�k�����sw²Xk��~��k��~k�y!kj����v>���<©+swz�fÃ{3��swrhx>utk-y&f~stu|�C·E�b}~k-z�v�z�fhk��Pv>}~r®�À2Mh· ��Á&±�kj{Xy&f7v;¬¼z�fhk���kb�®��kj�hk�y�k�����v����µy!v>r�z���s|�~}hz�k��<{;z<i¯v>��z � < � � � ?Fz�v¯z�fhk���}~i � � ·A��zµ¬­vXuwuwvª©��µz�f~{;z

� � ^ ze{�|$<�%�<2� q l�?�? � O� � À�Mh· ��Á

ò �� �òÏí

Page 15: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� �j�

��z���kji¯{Xswr®��z�v�k���z�s|i¯{Xz�k � O� ·�¸)kE¶P����z¼v>�~��k���²XkAz�f~{;z�z�fhk�z���k�k � f~{>�¼{;ziRv���zSXbutkj{Z²Xkj�1WZz�f~k���k!¬­v>��kX±swz-f~{>��{;z�i¯v>��z\X q l]¬­v���§¨�¯À´z�fhk�rhvh�hk��-©+stz�f)i¯v���k¯z�f~{>r)v>rhk3y&fhswuw�dÁ·�e+fhk���k�zQv;¬+{;uwuAz�f~k]¬­v>��§��{>r~�_uwk�{Z²Xkj��f~{>��{¹y�{X���hs|r~{;uwswz��*v;¬�{XzRi¯v>��z r X q l7{>r~� f~{>�R{���}~�~��k�zRv;¬�rhvh�hkj� � � � ��}~y&f¾z�f~{;z�/< ��� � ?#^&%~·]e+fhs|����}®�~��k�zQsw�b¬­v���i¯k��)����k!«~{>y!z�uw� � O� ���¨}~{X��k���±Ck�{>y&f�vX¬µ©�fhs|y&f*s|����}~���Pk�y�z�swr){;zuwk�{>��z<v�rhkQv;¬���z�{XxXk�� � f �}lF�<�I�<�����¯· Ë v�r~��kj�¨}hk�r�z�uw�X±

� O� ^ %�< r X q l�? ^ l r X q % �Ë v�i��hs|rhs|rhx]z�fhs|���Pv>}~r®�7v�r � O� ©+stz�f)À�Mh· ��Á"{>r~�¹À�Mh· OXÁ&±h©µk-{>����sw²Xkq{Xz�À�M~· �hÁ·¸)kÃf~{Z²Xk��hk��®}~y!kj� z�f~k��Pv>}®r~� À2Mh· �¨Á-¬­v>�]{)��s|rhx>utk�{X�~�~uts|y�{Xz�swv>r vX¬q��uwxXv���swz�f®i Mh·w�X±E©�f~swy&f sw�{>y!z�}~{;uwut�3y�{;uwutkj� x <»½S?�z�swi¯kj�<swr7z�fhk��~��vhy!k����µv;¬�Pk���¬­v>��i¯swrhx¯��uwxXv���swz�f~iB�P·t�>·�?r�k�²>k����3{X�~�huws|y�{;z�stv�rvX¬���uwxXv���swz�f~i Mh·w�X±Fswz��Rk�²>k����*v>}~z��~}hz]����}®{X��kQ,�� � ±E��{Xz�s|�?¬­�¨s|rhx�z�fhk���k�u|{;z�stv�r À�Mh·ål>Á-�~}hz¯rhvXz�À�Mh· ��ÁÀ»z�f~{Xzµs|��± �*9Vs|��v>uw{Xz�kj�3�~}hz+rhvXz"k�iR�®kj�~�hkj��s|r7{Xr7k��¨}hsw²ª{;uwk�r�z"{>r~� �*9Ós|��v>uw{Xz�k��3�~sw��y�vX¬��{X�hs|}~�"{;z<iRv���z%;Á&±>��k���²Xk��F{>�Az�fhk+s|r~�~}~z����¨}~{>��k<s|r¯z�fhk���}~�~��k��¨}hkjr�zF{>�~�huwswy�{;z�stv�rRvX¬I��utx>v>��stz�f~i��®·t�>±X©�fhs|y&fC±;s|r]z�}~��rC±x>k�rhkj��{Xutuw�¯v>}hz��~}hz��<{>r3swr®�~}hz+���¨}~{>��k�¬­v>�"����v>�huwk�i Mh·w�q{>r~�7��utx>v>��stz�f~i Mh·w�X·�¸¹kbz�f~k�r�}~��kqz�fhkbz���k�k� x>k�rhkj��{Xz�kj�Ãswr�z�fhk¯uw{Xz�z�k��b{X�~�huws|y�{;z�stv�rÃv;¬���utx>v>��stz�f~i Mh·w��z�v���k��hu|{Xy�k-z�fhk]��k����®kjy!z�sw²XkRutkj{ª¬EvX¬�z�fhkz���k�k]xXk�r~k���{;z�kj��s|r)z�fhk��~��k�y�k��hs|rhxÃ{X�®�huts|y�{Xz�swv>r¹v;¬<��uwxXv>��swz�f~imMh·w�X·]�?r*z�fhs|��©"{Z�>±�©"k]y�v>r~��z���}~y�zQ{��s|rhxXuwkQz���k�k�{X����vhy�sw{Xz�k��7©+stz�fÃ{;uwuCz�fhk x <´½S?�{>�~�huwswy�{;z�swv>r®�<v;¬���utx>v>��stz�f~i M~·t�Q©+swz�fhs|rÃ��uwxXv���swz�f~i��®·w�{>r~��f~{Z²¨s|rhx�{Xzbi¯v���zq½ utkj{Z²Xkj��·q����v��®v���swz�swv>r8Mh·w�R{Xr®���P{>y!z\Mh·w��{X��kR{Xuw��v7k�«hz�k�r®�hk��*z�v7z�fhk¯k�r�z�s|��ky�v>i]�~}hz�{;z�stv�r~{;u~�~��vhy!kj����±X��k��~��k���k�r�z�kj�R���Rz�fhk+u|{;z�z�k��Ez���k�kX±�{Xr~�¯s|r¯z�fhs|�E©<{Z�-©"k"k�«hz�k�r®��À�Mh· �¨Áz�v�z�fhk��{Xi¯k3{X���hi]�hz�v>z�s|y�kj��z�swi]{;z�kÃÀ´©+swz�f�X¹��kj�huw{>y!kj�*����½Á�¬­v>�Qz�fhk3z�v>z�{XuEr�}®i��Pk��Qv;¬<��}®���Pk�y�z-���¨}~{>��kj��®��vhy!kj����k���swr¹{;uwu�z�fhk���k]y�{;uwu|��¬­v��b��utx>v>��stz�f~i Mh·w�X±C�~��vª²¨sw�hkj�Ãz�f®{;zQswr*k�{>y&f�y�{Xutu�¬­v>�b��uwxXv���swz�f®i`Mh·w�©"k�v�rhut�õy�v>}~r�z�z�fhk¹��}~���®kjy!z����¨}~{X��k��7�~��vhy�k�����kj�õ{ª¬­z�kj��z�fhk�¶P����z����hutswz�z�swr~x v;¬-z�fhk¹��s|rhxXuwk�s|r~�~}hzy�v>i]�Pv>rhkjr>z<s|r�z�v3�hs|�­�?v>swr�z�y!v�r~rhkjy!z�kj��y�v>i]�Pv>rhkjr>z���·�Fs|r~{;uwut�>±~©"kQy�v>i]�huwk�i¯k�r�z+z�fhsw�<kj��z�swi]{Xz�k�©+swz�f�z�fhk-�Pv>}®r~�

� f ^ x <´½ �¾½pze{�| �D?�� À�Mh· ��Á©�f~k���k ��s|���~k!¶Prhkj�����¹À»�®·w�ZÁ<{>r~� � f �hkjrhvXz�k���z�fhk�vª²>k���{;uwu�r¨}~i��Pk��qv;¬E����}®{X��k��+z�f~{;z�{>��kR��}~���Pk�y!zs|r�{XutuA��z�{XxXk�������}~y&fÃz�f~{;z �*< ��?V^ l ��� ^ � f J ��k�k�À�Mh·w�ZÁ2LV±�À´z�f~{;zbs|��±�� � K s|��z�fhkR��swr~xXuwk�y!v�r~rhk�y�z�kj�y�v>i]�Pv>rhkjr>zAv�}hz��®}hzEs|r���z�{XxXk �~Á±>swr3{XutuPz�fhk�{>�~�huwswy�{;z�stv�r~�Av;¬Ce�}~��{>rt9Ó¸¹k���uVº �E��uwxXv���swz�f~i �~·w�X±X©+stz�fhswr��utx>v>��stz�f~iO�P·t�>·ev-�hk��®}~y!k�À2Mh· ��Á©"k<¶P����zEy!v�r~��sw�hkj�A{���s|rhx>utk+{X�®�huts|y�{Xz�swv>r¯v;¬C��uwxXv���swz�f®i Mh·w�+{Xr~�]��k�y�{;uwuhz�f~{XzEz�fhk

uwk�r~xXz�f�vX¬�z�fhk���sw�hkj�+v;¬Fz�f~k-���¨}~{>��kj�<z�f~{Xz�{X��k���}~���Pk�y!z+s|r*��z�{;xXk �7�~k�y���k�{>��kj�+����z�©+swy�k�{X���7x>��vª©�������>·F��z+sw����} ��y!swk�r�z<z�v�y�v>r~��s|�hk��"z�f~k-y�{X��k���±h©�fhkj��k

�/< � � K ? ^ � < ��?G^$%�� À2Mh·w� 3¨Á��s|r~y!kQ©"kQi]{Z��k�«hz�k�r®���d{Xy�z@Mh·w�b{>r~� Ë v>��vXuwuw{>����Mh·w�Q{Xr~��{;u|��v¯��k�y�{;uwuCz�f~{Xz

�/<��*?�^ � X ���.^ l � r �<�I�<����� � À2Mh·w�X�ªÁ¸)k-rhvª© y�v>iR�hswr~k¯À2Mh·w� 3¨Á�{>r~������v��®v���swz�swv>r�lh·w��{Xr~���hkj�~}~y!k�z�f~{;z

� O� ^$%�� z {D| ���0�Zl � � À2Mh·w�jl�Á

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 16: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

��� ���������P���

�?r®�hk�kj�C±h�~}hkbz�v7À2Mh· ��ÁE{Xr~�*À�Mh·w� 3¨Á± � < � � �K ?Fi]{Z�]x>��vª© ©+stz�f$�3{;z"iRv���zµswriM-��z�{XxXk��"�d±X¬­v��@l&^%� ^� O ±C©�fhswy&f¹y!v�r>z���s|�~}hz�k��qz�fhk¯z�kj��i l � r �$��� � � �G^ l �3v�r�z�f~k]��swx>f�zq��sw�~kRvX¬�À�M~·t�Zl>Á·&Tbr*z�fhkv>z�fhkj��f~{Xr®�C±�{>�(��s|r~y���k�{>��kj�Q�>� �X± >?� >?�e<@, � K ?�rhk�²>k��-�~k�y���k�{>��kj�Q{Xr~�)x>��vª©��Q���*z�©+s|y!kX±�st¬ �/< � � K ?��z�{Z�h�bs|r>²ª{>��s|{Xr�z�·]e+fhs|�Qswi]�huwswk��]À�M~·t�Zl>Á&±¼��s|r~y�k >?� >?�e<@,�� K ?�rhk�²Xkj�Qk!«~y!k�k��~�¯�3{Xr~�)��swr~y�k]©µk]s|rhstz�sw{Xutuw�f®{Z²Xk¯À´�®·w�ZÁ&·

Ë v�i��hs|rhkQ�P{>y!z@Mh·w��{Xr~� Ë v>��vXuwu|{X���KM~·t�Q©+swz�f)À�M~·t�>�ZÁµ{Xr®�*À2Mh·w�jl>Áµ{>r~���~k��~}~y�k�z�fhk-�Pv>}®r~���� dLK� <��*?S^ x <2X ��ze{�| �D?��

¬­v���{���swr~xXuwk�{X�~�~uts|y�{Xz�swv>r�v;¬���utx>v>��stz�f~i M~·t�>±P{Xr®�Ã��s|i¯stu|{X��ut��©µkR{X����sw²Xk�{;z�À�Mh· ��Á"¬­v>��{Xutuv;¬E{;zqiRv���z½ q l�{>�~�huwswy�{;z�swv>r®�Ev;¬���utx>v>��stz�f~i M~·t�+©+swz�f~swr���utx>v>��stz�f~i �®·w�X·F�Ãv>��k����®kjy!st¶Py�{Xutuw�X±>z�vR�~k��~}~y�k-À�M~· �¨Á±©"k<v>�~��k���²Xkµz�f~{XzFz�fhkj��k+{X��k<{;zAi¯v>��z�½ q l�¬­v���§¨��swrRz�f~k+z���k�k+{X����vhy�sw{Xz�k���©+stz�f�z�fhk+k�r�z�sw��k"��utx>v>��stz�f~i�P·t�3ÀV��s|r~y�k-z�fhs|��z���k�k-f~{X��{;z�i¯v>��z�½)utkj{Z²Xkj�ÂÁ&±®{Xr~��z�f~{;z�¬­v>�+kj{Xy&f�¬­v>��§d±~©µkRf~{Z²XkQz�v7xXv3z�f®��v�}hx>f�{;zi¯v���zvl � � % � ze{�| ����stz��+��}~y�y!kj����st²>kq�hkj��y�k�r~�®{Xr�z��<�Pk!¬­v>��kQ©µkQ��k�{Xy&f7k�swz�fhkj�"z�fhk�rhk�«¨z"¬­v���§3v��<{Rrhvh�hk��©+stz�f�� < �&? #&%®·R¸)k3k!«~y!u|}~�hk]z�fhk���}®���Pk�y�zQ���¨}~{X��k��Q{>����vhy!s|{;z�kj��©+swz�f¹z�fhk�r~v¨�~k�� ��}~y&f*z�f~{;z�/< �&? # %���swr®y!k]z�v�z�fhkji ©"k]i]{Z��{>�~�huw�Ãv>�bk!«hz�kjr~� Ë v>��vXuwuw{>��� Mh·w�¯{>r~�*i]{Z��{>�~�huw��z�fhk3�Pv>}~r®�À2Mh·w�X�ªÁ·F�®v��<vXz�f~k��+rhvh�hkj��±h©"k�{X����sw²XkQ{;zQÀ�M~· �¨Á±®����½ q lbz�swi¯kj��{X�~�~ut�¨s|rhx]z�fhk-�Pv>}~r®�¹À2Mh·w�jl�Á·¸)k"r~vª© ��kjy�{Xutu>z�f~{Xz�kj{Xy&f-�®��vZ«hs|iRswz��bz�k���z�swrR��uwxXv>��swz�f~i �®·t�qÀ´v>r~kE¬­v>��kj{Xy&f-��}~���®kjy!zF���¨}~{>��kªÁIy�{>r�Pk]�®kj�?¬­v���i¯k��*�>�Ãi¯k�{>r~�bv;¬���utx>v>��stz�f~i �-·w�R{Xzqz�fhk¯y�v>��zq�Pv>}~r®�hk��¹�>� x � <´½pze{�|E½S?�·Qe+f~k���k!¬­v>��kX±¬´��v>i À�Mh· �¨Áµ{>r~�)À�Mh· ��Á&±h©µk��hkj�~}~y�k�z�fhk-�Pv>}~r®�

x �p<�<�l ��ze{�|�� ��z {D| �D?»½ y ze{�|E½S?v�r�z�fhk�y!v>i]�~}~z�{;z�stv�r~{;uCy�v>��zµvX¬�{;uwuIz�fhk�{>�~�huwswy�{;z�swv>r®�µvX¬���utx>v>��stz�f~i Mh·w�q©+swz�f~swr���uwxXv���swz�f~iB�P·t�>·F�?r�®{X��z�s|y�}hu|{X��±¨¬­v>� � ^ x <�l�?�±�ze{�|�� ^ x <�z {D|E½S?�±Pz�fhk�uw{Xz�z�kj��y�v>��z��®v�}~r~��z�}®��r~��swr�z�v x � <�<»½pz {D|E½S? y ?�±©�f~k���k�{X�µ¬­v�� �v^ x <�l�?�± � ^ x <�l�?�±~z�f~sw��y�v>��z+�®v�}~r~��z�}~��r~�<s|r�z�v x � <»½]y]ze{�|E½S?�·

� ���������-DE�F !��G�� ����R�����! "� ���]6��-�� 7¸)k ©+swutu¯rhvª© �~��kj��kjr�zÃz�fhk¾¬­v>utuwvª©+s|rhx${;uwxXv���swz�f~i�¬­v>�Ã����v>�~utkji��P·t�j{~±Q©�fhk���k¾©"k {X����}®iRk¾z�f~{;zl + �f^&( � r � ± � ^ � O � r ±�� O # r � %;½�<!� q l�?+t<!� q r ?�±�{Xr~� � O # � � ()ÀVy!v>i]�~{>��k¯��kji¯{>��§*�~·w�{>r~��z�fhk-y!v�����k�y�z�rhkj���"�~��v¨v;¬¼s|r��q�~�Pk�r~�hst«-�-Á±P��v¯z�f~{Xz<stz+��} ��y!k��<z�v¯��k�z �p^ �~± � ^ � ���;½ � r ±hv>��v^ �®± �i^ � � �ª½ � r ±hv>� �p^ r %®± �i^ � �Z< r � + � ?V½ � r o

���:� É £9!Ï¢�0 � +1���G �2!Ï¢"!­¤ �:!��X¤h¢"! É ��¦ + �!��� �D�!�:��� � � �1�1� ��w ���'@(:B �\���* A' ��1���w��+���� B �P�!B � ������' ���t�/($���!+��"�� t� ��(�(:BH�'� ������"���n� � �vB CN����� ���D' < �L�����$�# ��t�,�1�1� � �3��� �1')(*��F8���p���t�v�k�����\��(�(:BH�" ������"��� � �K���D� �i��B CD����� ���N' ��k��'@($ A�2�E���t��� O $ � �1��B ��� �� ��� �1 # ^ # <"> f ��'/?\0*�A�,�1�-��� A�:������F 1� �� B �v(��,���1���E���D���� �C� ���t� �!�� A�+��1�����" ��!� � �p���A� � ��(* A�V�1~! ������V, �&�k��')(* A� �/���A�& ���')($B �\�w+���BH ���� ^Z> f � r ' �H É � � ��¢j¤h¢<! É �¡X¦

ò �� �òÏí

Page 17: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� �,M

� ���k��')(* A� �.���A�.+,��BH ���;���< ��? �p% �k;��"< �K? �^ (�Ik�1�!�7�^ � � � ���t�1��0�� �1��I5���D�i���A�K ��'@(:B ���.(A��� ���� � �G���A� �1�1� � ���:�w ��t���,�1��� (���� ��� � �$����� � �� � � ���t���4; � <��? �^ ( � � %���� �Hn �!�\�2�G� �����P���'E�����½ q j �kjS ����:���"�����2�@(���� �*�"�B� �� �n�2�@�k�:�G���:� �!��� 0*�D�" �� ; � <��? �^ (�Ik0*�t�1���Ej �kj ���1�$���2�!����A�/ ������� �$��BH� ��Fw��v���t� �!�1� � � + �D � ���$���"����� �P(A��� ������!���\0*�D�" ��v;���<��? ^ ( � � ���D������� �E���t��1�!� � � �

A ���k��')(* A� � ���t�/+,��BH ��Hw^ � q X�;=<��?

; � <��? � À»�~·w�ZÁ?��)% �&;]<&H ? ^ (AIE�1�1�)% ^ H ���:�#CD� � � ?$�2� CD� � � � � ���A�!��0�� �1�!Ii��(D($BHFS�vB CN����� ���D' �4�L�n� �

�(D(A�1�$��� �N� �8(� A�����43 �\($���8�D� '.� ��F8�2�!��� �,I��!���6% ^ H �� � � r Ip0*�D�" �� �� A� (* A���N> ^->t<�H=?���:� > O <�H=?@^ � K&B� >DIp������ ��D�"�1+,�w���t�K�!��'E�&CD����B �����1����������t�����1B �����"�������� � /��=@ �����:� ������A�&� �2�1�������"��� ���4��? �,IV� �����A�&B �����2�1�& ��,�1� ��Fw t��� �NCG�!BH� C�N��B FG'K�����E����� ���D'K�1���" K��(A�1�������"�����#. �!F�!�� 1�2�����.<"ze{�| z {D|õ½S? 0��! A��D �N�"�!+�� �NCd��!��� �!�\�* A'E�1���" ���B:��� ���!� BH� ��F �

> ���k��')(* A� � � � ^ � � <&H ? ^ H � � � � > O <&H ?�I �!��� � � ^ < � q l�? � � �G^ (��1l � r � ���; �)% ��;=< � � ? ^ (��!���\�1��'K� ��� (T^ � ^ �AI��1�!�% ^ � � ���$�&CD���2� ?*� �1CN�M� � � � ���A�!��0�� �1�!I��(D($BHF

�vB CN����� ���D' �4�L���!���B%m^ � � I ^ � r I � ^ (�� lF� r � ���V�� A� (* A� >N< � � ?��+> O < � � ?���� ^ ( �1l � r � �. ���K��(D($BHFi���A�E !� � ���i��BH� �!���:����� +,��� �#�vB CN����� ���D' ���L�,IR��,�1���i���#���A�/��1B �����"����� � /��=@ � ���$�w���t�� �2�1�������"��� ���4��? � 0 �

< ���k��')(* A� ���> � ^ > O < � � ?*�$> O < � � J4y ?�I �!������^ (�� l �.% ���> � ^ l � > O <�H=? �!���(�#^ (������#^ l�I���A�!� CD���2� ?*� �1CN�M� �'�!���K% ^ H �

� � ���A�!��0�� �1�!I �!���.�!+��!��F���� �w^ (�� lF� r � ��I 0���� � � # � ^ # < � � � > a < � � ?�?�I������1�!��+��&���A������A�@(A��� ���&���A�E��� �1 �� # � ���$� # � J K� ��� � �t���&��0 �\(���� �*�"��� � ���:��� � ��&���A�&� ��� �!���1�� !���"����� � ���t�1� ���� A�$�D�����"�!�].����N� � �!��B B ��0S� ������' ���t�. ��'@(������ �1���#� �\���A�&��� ���2���$ ����j � �pq � � J K� ��� � j�^ � � r > O <&H ?����w^ ( �1lF� r � ��� À»�~·ål>Á

0�� ��� ���t� ��� A�:�,��� + �L� � ���:�"� + ��? �i����(�(��1�$��� � + 0I5���$� ��t���,�1�K���:�.� � ���t�!�1�.��0 � (A��� ������I� � I ���t���VBH�"�!�& 1B �,�1�!�\� �)H ���!���#)V� C� A��� > � �

@����k��')(* A� � ���t�. ���')($B ��� �����:�K���t�/�$���*�$�2CN����� +,�B(��1����� � ��F�� �NCr '�� �P^ V ���� '���� � �ZVTXY� '���� � �r � - �P^ V����� ��-�� � �SVTXBY� � -�� � �

(E^ VTXY� j � q � � j �;/�1���K���:���t�1�������� �!�&0 �. t�!�&���t�.�:��� �����"���dV���� � ���$� VTXY � �!���.���A�&'&� �*� '& A'&�.���:�w'E�����'�'& A'&�/� � �]I*�!������^ (�� lF� r � ��I����$� M ^ '�� M � � q l ��- M �!������B Bk ���')($B ��� M � . -/���2����A���P���t�G 1B ���1�� ��� �1 �# ^ # <!�?��(�?& ����*�2��� ����� f ��� K ��� y ��� � ���$�,I@ ������1�~1 ��1���2BHF,I5���@B ���,���

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 18: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

�j� ���������P���

���:�����1���i��k;=<">]?�� �� A�����t�1��'E�����!I ���A�E��� �1 �# � ��� $ � �1��B ���2���,I��!���\�1��'E����t���4� ^ � < #?�#hl�I� �.(A�������" 1 �B ����IS� ��� ��� $ � �1��B ���2���0�!��� ��# r � � ��I=� � � �P�� �H 1�"�1���2BHF&B ����CN� ���1���&��B ��� ' + �L�.���$�[@�1'E���!6 + �L��� �d�(�(��1�$��� � + � � 0

� �#�(D($BHF ���:����&���A�.��0 � ��B CD����� ���N'/�.�� ,(�(�������� �NC �����(��,��� ���"���}� �L� ��&�(D(A�1�$��� ��� �U ���')(A�����[@�1'E���!6G� �L� �.� �������D�!�v�2�E ���')(* A� � A�< ;=<">]?�� �# ?�I����A�v� �$�D�\�w�� ;]<">=?P� � �# �% � A�<e;]<">=?�� �# ?�#ZX�2���A���k� ��I�� �@���t�/��� �1 �# �������p�$��� ������ ��� ����B B$���A�PXd� �1�����p�� ;]<�>]?)B F�� �NCE� � ���t�p� ��(* A�S�1~1 ������, �,I CD���2� ?*� �1CN�M� �'�!���K% ^�� � � ���A�!��0�� �1�!Ik�1�!� � ^ � � r (����$�.CD���2� ?*� �1CN�6���

� � ��?c�N� ��� �2�8���t�.(���B F��$��'.�"��B��t< $?/^ ;]< � %�?�Ip�1�1� .�^�½�� l q X ��� ^ (�� (�l�I\���$����(D($BHF�vB CN����� ���D' /���? ��&�(D(A�1�$��� ��/ � �i ���'@($ A�2�K���� ,(D(A�1�T��� A�$���>����8> 1 �!�����t< $?�I�� � �� ���A���> 1 ^��>�^ lF� (�lI> 1 � ( �A�!�¤ F � ���>C^ %DIV�� A� (* A�k���t�.��� �1 # <&%���>t?v��� �w ���'.'E��� � $ � �1��B ���2����>P$ �:�!� CB�b����!�t��� � �� ��B B]���t�

X7���1���,�/� �k;]<�>]?vB F�� �NCw� �����t�/� ��($ A�k�1~! ������ , ���$�K���2��( �  F �����A�!��0�� �1�!I �1�!�0% O ^G%.� ' O ^��>tI&�� A� (* A�p���t�i�1~1 ������ , O ^ ,<&% O ��' O ?�.��1����� � ��F�� �tC

�(> �L� � �!���\l + �(# (�� r � I ���t���V� ��I �!��� �4# r � + %80p���:�/CN�K� ���vB CN����� ���D' ; �L����?r��PvXz�f�y�{X��k��"z�f~k-��k�z �)s|�+��{Z²>k���¬­v>�<z�f~k-rhk!«hz�{X�®�huts|y�{Xz�swv>r�v;¬F��uwxXv>��swz�f~i��®·t�>·� k�zE}~�Er~k!«hzA��fhvª© z�f~{Xz7>?� >?�e< # <&%.��>t?�? # (�� r � � l + �<s|r¯z�fhk�y�{X��k"vX¬dz�fhk+z���{Xr®��swz�swv>r�z�vR��z�{;xXkQ� 3

¬´��v>i ��z�{;xXk"�~·EÀ���s|iRswu|{X��ut�>±ªz�fhkµutvª©"k����Pv>}®r~��3®· l;�<¬­vXuwutvª©��¼swr�z�fhkµy�{X��kEv;¬~z�fhk"z���{Xr~��stz�stv�rQz�v���z�{XxXk�� 3¬´��v>iM��z�{XxXk]�~±�©�fhkj��k �¯{Xr~�D(��hu|{Z�Ãz�fhk���vXuwk¯v;¬ H {>r~�D> O <�H=?Ws|r*z�fhk�y�{>��k¯v;¬"z�fhk3z���{>r~��stz�stv�r�z�v�¨z�{;x>k�� 3ì´��v�i ��z�{;x>k����*{Xr~� M~±A{*��swi¯swuw{>���~}hz¯��s|i]�huwk���{>��x�}~i¯k�r�z-x>st²>k���{*��z���v�rhxXkj�-�®v�}~r~�¾vX¬>?� >?�e< # <�%.��>t?�?�# (�� �� ·åÁ8Q<�Ãz�f~k]�~k!¶Prhswz�swv>r¹v;¬��> � À»��k�k���z�{;xXk]��Á&±�z�f~k¯�hs|��z�{Xr®y!k3�®k�z�©µk�k�r*z�fhk]z�©"v°�k���v>�"v;¬:;]<�>]?Ez�f®{;z+{X��kqz�fhk-y!uwv>��k���z"z�v � � {Xr®��� � J4y ±~��kj���Pk�y�z�sw²Xk�uw�X±hs|�+{;z<uwk�{>��z\j � �\q � � J4y j q �> � ^l % > O <&H ? q �> � ±X©�fhs|y&f-s|�ArhvXzFuwk�����z�f~{>r6> O <&H ?Cs ¬ �> � ^hl � > O <&H ?�±Xz�f~{Xz�s|��±;swrRz�f~k<y�{X��kµvX¬Pz�fhk<z���{Xr~��stz�stv�r¬´��v>i ��z�{;xXk��Ãz�v)�¨z�{;x>k�� 3®·�e+fhk���k!¬­v���k>±s|r¾z�fhsw�¯y�{>��k>± � O < # <�%.��>t?�? �*> O <&H ?��6% ^ H�±A��v�z�f~{;z� O < # <�%.��>t?�?'� �>�+ r st¬��>�+ r ^ > O <&H ?�·\Tbr�z�fhkRvXz�fhk��bf~{Xr®�C±d����z�f~k�²¨sw��z�}~k�v;¬�e+f~k�v>��k�i��-·w�X±t;]<�>]?f®{X�<{¯°�k���v H �=� > O <&H ?F¬­v>� j ��jQ^hlX±h��v]z�f~{;z � O < # <&%���>t?�? �$> 1 q > O <&H ? ���>�+tlF� (�l q > O <&H ?�±¨¬­v��<z�fhk> 1 �hk�¶Prhkj��{Xz+��z�{;x>k�� 3®·F�Ó¬2> O <�H=?�#��>�+ r ±>z�fhk�r�swzµ¬­v>utuwvª©��µz�f~{Xz � O < # <�%.��>t?�? #��>A<�l,+tl � (�l q l,+ r ? ^���y f y �>h·�¸)kRf®{Z²Xk���fhvª©�r�z�f®{;z�z�fhs|�q�Pv>}~r®��{;u|��v�f~vXu|�~��st¬ > O <&H ?0� �> + r ·�e+f~k���k!¬­v>��kX± � O < # <&%.��>t?�? #( � r � �>�±®{Xr®��fhkjr~y!k>±®�~}hk�z�v]����v��®v���swz�swv>r�lh·w�X± >?� >?�e< # <�%.��>t?�? #�( � r � ·Ë v�����k�y�z�rhkj����v;¬Iz�f~k<{Xutx>v>��stz�f~i�rhvª© ¬­vXuwutvª©��¬´��v>i ��{>�hsw��À»�¨}~{>�~��{;z�s|yjÁy�v>r�²Xkj��x>k�r~y�k�v;¬dz�fhk+²ª{Xuw}hkH v;¬QÀ»�~·w�ZÁqz�vÃz�fhk���i]{;uwuwk���z-�hsw��y;± # N c a ±�k��¨}hsw²ª{;uwk�r�z�z�vÃz�fhk�s|r~�~}hz����¨}~{X��k�WF��}~y&f_y!v>r�²>k���xXk�r®y!k¯sw���fhvª©�r�swr����®�®kjr~�hst«f�¯·�7Å � ¤~£� +L��� % �EXn^ ½SI ���A�!�n0 � �D�#�$�����t��+,� �2����(�($B F �vB CD����� ���N'�< �L��I ��� �$ �� 0 � 'K��FK� ����� ���'@($ A�2�#���:�n�� A� (* A� % ^ q ; ats K +t<»½�; a ? ^ _ aJ dLK M J +Z½ ���$� ���t�1� ��(�(:BHF ���A����B CN����� ���D'&�#� ���(�(��!�:��� �T/ �2�w ��'@($ A�2�&���:��� ���� A� (* A���G�D����� �����i��(�($���8�D� 'K�����"���T' O � �)> a J K s�� <�%�? ���utx>v>��stz�f~i �~·w�]sw����k�y�}~����sw²Xk�ut�Ã{X�®�hutswk��¹s|r¹swz���y�v>iR�hswr®{;z�swv>r¹©+swz�f_��uwxXv���swz�f~i`M~·t�>±¼��v�z�f~{;z�{Xutu

z�fhk�s|r~�~}hzb���¨}~{>��kj�µvX¬E��uwxXv>��swz�f~i��®·t�-y�{Xr��Pk-{X����{>rhxXkj��s|r�z�fhk�¬­v���i v;¬A{]z���k�k�©+swz�f x <´½S?�rhvh�hkj��·�?r7k�{>y&f���kjy�}~����st²>k���z�k��C±hv�rhkqi]{Z�3y!v�r~y�}~����k�r�z�uw�¯{>�~�huw�3��uwxXv>��swz�f~iO�®·t�qz�vR{Xutudz�f~kQ���¨}~{X��k���À»rhvh�hkj�ÂÁvX¬z�fhk-y�}~����k�r�z<utk�²Xk�uCvX¬�z�fhkQz���k�k-��z�{>��z�swrhx¯©+swz�f�z�fhk-��v¨vXz�±~{;z+z�f~kQ¶P����z+��z�k��C·

e+fhk-y�v>i]�~}hz�{;z�stv�r~{;u�y�v>��z"vX¬��Pk���¬­v>��i¯swrhx3��utx>v>��stz�f~i��~·w�Qsw�<kj��z�swi]{Xz�k���{>�"¬­vXuwutvª©�� o

ò �� �òÏí

Page 19: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� ��O

��¢�¤ � Å ¡f� = <�¦\x � <´½S?@J �hv>i¯s|r~{;z�k�������z�fhk-y�v>��z<v;¬Ay!v>i]�~}~z�s|rhx x <�l�?A²Z{Xuw}~k��+vX¬$;]<�>]?µ{>r~�.;���<">]?�L�W��¢�¤ � Å ¡ � = '�¦\x � <´½pz {D|E½S?�À´z�fhk-y!v���z<vX¬ x <�l�?E{>�~�huwswy�{;z�swv>r®�<v;¬���utx>v>��stz�f~i ��·t�ªÁ�W��¢�¤ � Å ¡ # = + = 6 =�� ¦ x �p<�l�?�W��¢�¤ � Å ¡���¦ x �p<»½pz {D|E½S?�±®��s|r~y!kQz�f~k-�hsw��y # y!v>i]�~}~z�k���{Xzq��z�{XxXk��¯sw�'�*9Ósw��vXu|{;z�k���¬­v>�'��# r W��¢�¤ � Å ���¼¦px � <»½pz {D|E½S?Q¬­v>�¯{Xr {>�~�huwswy�{;z�stv�r¾v;¬q��utx>v>��stz�f~i QQ· �®±��~}hk�z�v)����v>�Pv>��stz�stv�r�QQ·ål�{Xr®�

��s|r~y�k�z�fhkqswr®�~}hzµ�~sw��y+s|���*9Ósw��vXu|{;z�k��R¬­v>�0��# r �"%;½�W>z�fhk���{Xi¯k�kj��z�swi]{Xz�kX± x � <»½pz {D|E½S?�±¨fhvXu|�~�¬­v>�<z�fhk-y!v�i¯�~utk�«¨swz���vX¬F��fhst¬­z�s|rhx3z�v]z�f~k-�®v>ut�hrhv�iRs|{;u �t< $? ^�;=< �1%�?�·�qy�y!v����~swrhx3z�v����~�Pk�r®�hs « �¯±®©"k-f~{Z²Xk��¨}~{X�®��{Xz�s|yby�v>r�²Xkj��x>k�r~y�kqvX¬�z�fhk-²ª{;u|}hk)H�vX¬"ÀV�~·w�ZÁµz�v�z�fhk

�~sw��y # N c a Wªz�fhkµ{>�~�~��vZ«hswi]{;z�stv�rbz�v�z�fhk�°�k���v>�CvX¬�;]<">=?ds|r # N c a s|��z�fhk�r-swi]�~��vª²Xkj�qs|r�z�fhkµ��}~�~��k��¨}hkjr>z{>�~�huwswy�{;z�stv�r~��vX¬���utx>v>��stz�f~i]�M~·t�Q{Xr~���~·w�X·*�Q}hkQz�v¯z�fhk��¨}~{X�®��{Xz�s|y�y!v�r�²Xk���xXkjr~y!k�v;¬���utx>v>��stz�f~iO�~·w�X±©"k<rhk�kj� x <�z {D|kze{�|�<�'4+ %D?�?C��kjy�}~����st²>k�y�{Xutu|��z�vbstz��A�¨z�{;x>k<l~±ªswr�v>���hk��z�vQ�hkjy���k�{X��kEz�fhk+{X�~�~��vZ«hswi]{Xz�swv>rkj����v>�Q�Pv>}~r®�)¬´��v�i ' z�v %�·GQ+{X��k��)v�r¹z�fhs|�-v>�®��kj��²ª{;z�stv�rC±�©"k7{X����st²>k¯{Xz�z�fhk�vª²>k���{;uwuEy!v���z-�Pv>}~r®�x � <´½]y4ze{�|�½vze{�| z {D|�<�'4+8%�?�?�{;z+z�fhk���z�{;x>k��"v;¬E��k!¶Pr~swrhx]z�fhk-s|rhstz�sw{Xu¼{X�®�~��vZ«hs|i]{;z�swv>r7v;¬A{;uwu�z�f~k�°�k���v>�vX¬$;=<">]?�±®©�fhs|y&f�z�}~��r~�+s|r�z�v]z�fhk-�Pv>}®r~� x � <´½]y]z {D|E½pz {D|V[�?�±~¬­v>�P[�^Zze{�|*<�'4+ %D?�·

Q<��y!v�i��hs|rhs|rhx�z�f~k"�Pv>}~r®�~�¼vX¬®��kjy!z�stv�r~� M�{Xr~���®±�¬­v�� ��# r ��+ %®±,��# r � r �4%X½ � r <!� q l�?+t< � q\r ?�±©"k7{>����st²>k�{;z-z�fhk�y�v>��z��Pv>}~r~� x � <´½]y]z {D|E½pz {D|�<�[&½S?�?�±F¬­v���{>�~�~��vZ«¨s|i]{;z�swrhxÃ{Xutu"z�fhk7°�k���v>��v;¬k;]<�>]?©+swz�f~swr %.^ r s4u ·�e+f~kRy!v���zq�®v�}~r~��y�{Xr��Pk�s|i]�~��vª²>k��C±Pz�v x � <´½ y z {D|E½pz {D|�<�[$ze{�|�½S?�?�±Ist¬E©µkR{X�~�huw���utx>v>��stz�f~i Mh·w�X±¨��{Z�>±;¬­v>� �w^ �~±¨{Xr®�3z�fhkjr3uws ¬­z ��z�v r � r ��%;½ � r < � q l�?+t<!� q r ?�±��>�]i¯k�{>r~��vX¬�z�fhk��k�y�sw�PkQv;¬F��k�i]{>��§3��· l¯vX¬����®�®kjr~�hst«���·

ev�y!v�r~y!u|}~�hk+z�fhs|�µ��k�y�z�swv>rC±>©µk+©+swutud��f~vª© {-i¯vh�hst¶Py�{Xz�swv>r¯v;¬���utx>v>��stz�f~i �®·t�>±;©�fhkj��k�z�fhk�k�«h�®��kj� ���swv>r¹À»�~·w�ZÁ&±hsw����kj�huw{>y!kj�7���7z�fhkQ¬­vXuwutvª©+s|rhx¯v>rhkDo

Hw^ � q X�� �\^ ; � <��?

;]<��? �O�J

lM OJ q �

À»�~· ��Á

{>r~��©�f~k���k MQOJ �hk�r~vXz�kj�<z�fhk�y�}~����k�r�z<{X�~�®��vZ«hs|i¯{Xz�swv>r3z�v]z�fhkQ°�kj��v M J v;¬:;]<�>]?�±®©�fhk���k�{>� O_ �hkjrhvXz�k��z�fhk7��}~iMswr :*vª²Xkj�-{;uwu�z�fhk7r~{Xz�}~��{;u :*y�v>����kj���Pv>r®�hswr~x�z�v�z�f~k7°�kj��v�� M J vX¬k;]<">=?qz�f~{;zRutswk�v>}~z���sw�hkz�fhkÃs|r~�~}hz7���¨}~{X��k�, {Xr~� z�f~kÃswrhswz�s|{;ub�hs|��y # · �?r~��z�k�{>� vX¬Q{Z²>vXs|�hs|rhx¹z�fhk*�PvXs|r�z��K> {>r~�$�Rz�f~{;z{>r~rhs|fhswuw{Xz�kw; � <�>]?�±q©"k¹��f~{;uwu�rhvª© {Z²Xv>sw� z�fhk_�®v>swr�z��8�3z�f~{;z�{Xr~r~swfhswu|{;z�k��b^ �t<��?�W�©µk¹©+stuwu�}~��k{*��z���{Xz�k�x>�)��s|iRswu|{X�-z�v*v�rhk7vX¬���uwxXv>��swz�f~iM�~·w�X·*e+f~k��~��k���k�r�z�kj� i¯vh�hs ¶dy�{;z�stv�r_v;¬���utx>v>��stz�f~i �~·w�©+swuwu��®k�y�{;uwutkj� ���:� É £9!Ï¢�0 � +L���¨¤ {>r~�)©+stuwu�{;uw©<{Z�¨�Q�Pk�{X�~�~utswk��)z�v�z�fhk�u|{X��xXk���zbv;¬<z�fhk�y�}~����k�r�z�ut�}®r~�~��v¨y�k�����kj� ��}~���®kjy!z�����}®{X��k���· J e+fhs|�3y&fhvXs|y!kÃ��fhv>}~uw� s|r~��}®��k�z�f~kÃx>��k�{;z�k���z¯{>y�y�k�uwk���{;z�swv>r v;¬Qz�fhky�v>r�²Xkj��x>k�r~y�kÃz�v z�fhk¾�hs|��y # N c a · LÌe+fhk_{Xr®{;uw�¨��s|�7vX¬R���~�Pk�r®�hs «:� ��fhvª©���z�f®{;z�z�fhk_�¨}~{X�®��{Xz�s|yy�v>r�²Xkj��x>k�r~y�k�v;¬���uwxXv���swz�f®i �®·t�j{¾y�{>r$�®k){Xy&fhswk�²>k��õ{Xuw��k�{>�h� ¬­v���z�fhk¹s|r~�~}~z�����}®{X��k , ©+swz�f${>rs|��vXu|{;z�swv>r���{Xz�swv � ^ � O � r ± � O # r ��� %;½�< � q l�? +A<!� q#r ?5J ��k�k]À��¯·t�j��Á2LV±®��v¯z�f~{Xz+stz<©"v>}hu|����} ��y!kz�v���k�z �i^ ����� ^ �4� � l %X½±Fv��7�i^ �����Z^ � � � l � ½F±Fv>� � ^ r %����n^ � � � l r � �ª½F·�e¼v{>����sw²Xk-{;zq��}~y&fÃ{���i]{Xutuwk��+s|rhswz�s|{;u�sw��vXu|{;z�stv�rÃ��{Xz�swv®±P©µk�r~k�k��*��v�}hx>fhuw������z�©+s|y!k�¬­k�©µkj��swz�k���{;z�stv�r~��vX¬��utx>v>��stz�f~i M~·t�>·]e+f~sw�-��{Z²¨swr~x���fhv>}~uw�){Xy�z�}~{Xutuw�*�Pk3©µk�stx�f>z�k��){;x�{;s|r~��zbz�f~k�{X�~�hswz�swv>r®{;uE{X��swz�f~i¯k�z�swyv��®kj��{Xz�swv>r~�F��k��¨}hs|��kj��s|r¯v>���hk��Fz�v�y!v>i]�~}~z�k+z�f~k+²Z{Xuw}~k0H3²�s|{]À»�®· �¨ÁVJ ��{;z�fhk��Fz�f~{Xr¯²¨sw{¯ÀV�~·w�ZÁ�L2W;¬­v��Ak�{>y&f��}~y&f�{Xr�k�²ª{;u|}~{Xz�swv>rC±h©"k�rhk�kj� ��<´½ q X:?�{X�~�hswz�swv>r®{;uCv>�Pk���{;z�stv�r~��·

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 20: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

�j� ���������P���

� �ª +�� ��7D" +,� í�Û�� � �jí�ÛZà ãtâ&Ý»Þ�ù���� ÔFØ� ��� ������ �&Ñ�� Ñ ù;ïQ÷ ��Ý»ç�%�ð��äåàåà|ù �Ü % �Pâ&Ý��;ù¨ý�þ�(Âþ �� í�������í���ú �ªíÛZâZùXü � ����â&æ;÷?Ý»âÂã á�ù>ü��ªö�� �¼àåàåô�çÂê�ù���� ! "?Ñ�� #$�%�&��'� ������ �&Ñ�� Ñ �)(*��� ÔFتÒjÖ�,+� -� # � +.� Ö � Ô"Ñ�/ í�ëZëjä 0ÞVâ&êjð21�Ü?ÞVàåÜ�ó!ù� �Ü�çÂëZäåêZøZù;ï�çÂÞ»Þ �åù�ý�þ�("� �� ��43AÚ5��ï �)IÜ?êjð)6�Ý?ù ��)�ZÜ?äåøZù�ö��73Fâ�8?Ü?ê�ù # ��ÚCä %�çÂÝ´ä|ù!í �ªçÂÞ»á #~çÂÝVçÂàåàåÜ?àªí�àåø&â&Ý´ä á»ÛZô_ãwâ&Ýdö�Ü�áVÜ?Ý´ô+äåêZäåêZøAíàåà ¼â�âÂá»ÞIâÂãhç

#~â&à ó�êZâ&ô+äûçÂà %¼ä áVÛ �Ü�çÂà' �â�âÂáVÞ�ù�9�: !;=<7> � � ��� Ô�تÒjÖ2�?�@# ùXý ($AÓý�þ��&þ$B��jù�æZæ �Xý����jý�C�þ�!�A|æZÝ´â�÷?Ü?Ü?ëZäåêZø&Þ�è!Ü�Ý´ÞVäåâ&ê�äåêD + �FE >5G�H&Ö � ��I��>� � ; 9 �&Ô�Ø�> � � �J� � +.� �)(*��� ÔFتÒjÖK�L�@# AÓý�þ����$BÓùXæZæ ��+Âÿ��FC +Âÿ!þjù;í�îCï #PÝ´Ü�Þ»Þ�ù��¼Ü %��dâ&Ý)��B �

� dð)6FÚ5��ï � IÜ?êjð�6�Ý�ù # ��ÚCä %�çÂÝ´ä|ùhñ�äåô+æjàåÜ�íàåø&â&Ý»ä á»ÛZô$ãwâ&Ý�í�æZæZÝ´â ��äåô�ç�á»äåêZøqíàåà� ¼â�âÂáVÞAâÂãCç #hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂà %ä á»Û$ ¼Ü�çÂà ¼â�âÂáVÞ�ù <7> �)(*��� ÔFØ� ��$� Ö2� ù �7AVý�þ&þ��$B¼ÿZùjæZæ �ªÿZý (MC�ÿ&ÿ)! �

� CïN��í�� Iâ&Ý´â�ëZäåê�ù;ò �;ïQßZêjÝ»âZùO��� ��� ÔFتÒjÖP�&ÖK� � ����� ��� Ô�Ø�� ����tÖ2� �)( �� #@RQ,+���� E �&��'TSAÒjÔ�M+.� E ��� D + � QF� �Ô"Ñ ù;í�ô+Ü?Ý»ä 0÷�çÂê*�PàåÞVÜ�è�äåÜ?Ý�ù��Ü % �dâ&Ý)�;ù¨ý�þ�(&ì �� �# ���R�qö���Iäåêjä|ùCú � ����#~çÂê�ù #hâ&à ójêjâ&ô+äûçÂà�ö�ä è�äåÞVäåâ&ê�çÂêZë�ò|áVÞbîIâ&ô+æZßjáVç�áVäåâ&êªçÂàAîCâ&ô+æjàåÜ ��ä áÏó!ù <@> �)(U��� ÔFØ� ��$� Ö2� ù

!$AÓý�þ����$BÓùXæZæ ��ý (ÂþFC !"��+ �� �#dþjý.�qö�� Iäåêjä|ùjú � � � #~çÂê�ù #®çÂÝ»çÂàåàåÜ?à~îIâ&ô+æZàåÜ �jä áÏó�âÂãPڨݴäåëZäûçÂø&â&êªçÂà®ñ�ó�ô+ô+Ü�áVÝ´äå÷ �Päåø&Ü?ê!è&çÂàåßZÜ&#®Ý»â&éZàåÜ?ôQùD + �FE >�V$WP��'

��I��>� � ;NW 9�: -; 9 �&ÔFØ � Ñ��tÒ�Ô � �X !� Ñ E +�?Ö�� �� # � +.�tÖ � ﵄ AVý�þ&þjýFB�ù;æjæ ��+��ÂÿRC +&þ�+jù;íîCï #PÝ´Ü?ÞVÞ�ù��Ü %��Pâ&Ý����� �#dþÂÿ&�qö���Iäåêjä|ù¼ú�� ����#~çÂê�ù-DY� � ��� � ÔT�K���!�&��'Z;[�ÂÖ2+.� E ?Ñ ��� Ô�تÒjÖ��ÂÖ2� � �ªÑ�/q× � � >"G�ÕU\�Ò@��'$�&Ô�M�ªÖ����Y �� # � +.�tÖ � ÔµÑ�/

IäåÝ���ÛªçÂßZÞ»Ü�Ý?ù�Iâ&Þ»á»â&ê�ù¨ý�þ&þÂÿ��� �#4��ö�� IäåêZä|ùCú � � � #®çÂê>ù-D�� � ��� � ÔT�K���!����'];[�ÂÖ2+.� E ?Ñ ��� Ô�تÒjÖ��ÂÖ2� � �ªÑ�/�× � � >-V&/ 9 F� E ÖP�' �^� ØI� E Ñ ù IäåÝ)��ÛªçÂßjÞVÜ?Ý�ù

Iâ&Þ»á»â&ê�ùZá»â�çÂæZæ;Ü�çÂÝ �� ö��Y� ���ö�Ü�_»â&ê>ù # �J�¼Ü?êZÝ»äå÷?ä5AÏÜ?ëZä á»â&Ý�B�ù���� �ªÑÓÖ2+�Ò E Ö2� ×�` AÑÏØ� E Ö|Ñ �)( Ö � "\>Ò���'$�ÂÔaM�ªÖP�$� ��� � +�?Ô �)( -� #@FQM+�� ù�1�äåàåÜ?ó!ù

��â&êZëZâ&ê�ùhý�þ���( �� ��#b��ï ��ü ���häåÞV÷VÛZÜ?Ý�ù�ï ��ñ���#®ç�á»Ü?ݻ޻â&ê�ùFñ�áVÝ´äåêZø�ï�ç�á»÷ÓÛZäåêZø�çÂêjëc6áVÛjÜ�Ý #PÝ´â�ëZßZ÷�áVÞ�ù"9�: !;NWL !; 9dD + �ME > ù ($AVý�þ�(�ÿ7BÓùæZæ �¨ý&ý�+FC;ý !&ì �� �e� � � ��Ý»Ü?Ü?êZø!çÂÝ´ë�ù ÎY��ØI�2'%fI×���� Òg�ÂÖ2� � � ��(*D�� Ö�M�ªÖ2�K����\��2M� 'ÂÑN�?� D �&+�Ö2� E � 9 �&ÑÓÖP�Ô"Ñ ùIï � ò � Ú � #®Ý»Ü?ÞVÞ�ù�îCçÂô"éjÝ»äåëZø&Ü&ùý�þ���� �� �FçR�qò � �FçÂÝ´ø!çÂê�á»äåêZä|ùhíê �bhXÜ�÷�á»ä è!Ü�1Rç�ó�á»â* �Ü�æjÝ»Ü?ÞVÜ?ê!áTi�ߪçÂëjá»Ý»Ü?Ü?Þ�ù���� Ô"ÔµÒ��I� E �ÂÖ2� � � �)( Ö � T � ; ù !&ì$AVý�þ���!�B+ý !�ùæZæ �;þ��!ìMC�þjý�� �� �Y� í��dñ��4�â&ßjÞVÜ?ÛZâ&àåëZÜ?Ý?ùa��� jSFÒjÔ�M+.� E ��� � +���ÂÖ�?ÔaM�ªÖ �)( � 9 �?�@#7� jS � �� �?����&+kf�l�ÒI�ÂÖ2� � � ùIïQ÷ ��Ý»ç�%�ð��¼äåàåà|ù �¼Ü %

�dâ&Ý)�Xù�ý�þ�("� �� �Ü.� # ��¼Ü?êZÝ»äå÷?ä|ù ¼Ø!Ø� �K�'N�&��' ��� Ô�Ø;Ò�Ö��ÂÖ2� � ����� ��� ÔFØ� ��a ������ �&Ñ��tÑ ù�1�äåàåÜ?ó!ù��¼Ü %��dâ&Ý)�;ùhý�þ�(�ÿ��� �Fñ7� ���~ï �J�ßZê!áVÜ?Ý?ù53 �~ñ�áVÜ?äåø&àåä á�8&ù56�æ;Ü?Ý»ç�áVäåâ&êZÞ"â&ê]òÏô�çÂø&Ü?ÞµßZÞ»äåêZø%i�ߪçÂëjá»Ý´Ü�Ü?Þ�ù�: f�f�f � +��&�ªÑ,� E Ö2� � �ªÑ � � D �&ÖwÖ�M+.�

������ �&Ñ��tÑ`�&��'*;[� E.� �L�� : �ªÖ�M�L� �m#7M� E �/-n � � > D !; : W)G�Í�G�o@p&o�Ù !�ùZæZæ ��ý?ÿ�ìMC;ý�ì"+ �� 3Eñ7��ï � ð��&�J3FäåôQù~ñ��~ñ�ßjá»ÛZÜ?Ý»àûçÂêZë>ù #hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂà �â�âÂá´ð2qªêjëZäåêZø-í�àåø&â&Ý´ä áVÛjô+ÞµçÂêjë IÝVçÂêj÷ÓÛZÜ?ë7îIâ�è!Ü?Ý»Þ�ù�9�: -;r<@> � �

��� Ô�Ø;Ò�Ö2�?�@# ù�!"+7AVý�þ&þÂÿ7B�ù !�ùjæZæ �ªÿZý�ìMC�ÿ�+�� �� ïN� ï ��ïQäåø&êZâÂá»á»Ü&ù¯íêõòÏêZÜ,s�ßZçÂàåä áÏó$çÂé;â&ßjá �ªçÂ÷�áVâ&Ý´Þ�âÂã #hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂàåÞ�ù ;t�&Ö � > �)(u��� ÔFتÒjÖ��ÂÖ2� � �ªÑ ù !"�7AVý�þ�(�ÿ7BÓùæZæ �¨ý&ý�ì"+FC;ý&ý�ì�( �� # �!ìF��ú � � � #~çÂê�ù �ªçÂÞ»áçÂêZë �bv+÷?äåÜ�ê!á¼í�àåø&â&Ý´ä áVÛjô+Þ�ãtâ&Ýñ�Ü,s�ßjÜ�ê!á»äûçÂàPçÂêjë*#~çÂÝVçÂàåàåÜ?à �~è&çÂàåߪç�á»äåâ&êQâÂã�#hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂàxw;Ü�Ý´â&ÞçÂêZë�âÂãhï�ç�á»Ý»ä � #~â&à ó�êZâ&ô+äûçÂàåÞ�ù�D + �FE >JVgy�Ö � ��I��> : f�f�f 9 �&Ô�Ø^> � �j\ � Ò���'$�ÂÖ2� � � ��("��� ÔFتÒ�Ö�M+ 9�E �2,� E AVý�þ��!ì�BÓùæZæ �Qì�!�!MCjì"+jý&ù;ò � � ��îIâ&ô+æZßjá»Ü?ÝFñ�÷?äåÜ?êZ÷?Ü #PÝ´Ü?ÞVÞ��

ò �� �òÏí

Page 21: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� �j�

� # ��(F��ú ������#~çÂê�ùEñ�Ü,s�ßZÜ?ê�á»äûçÂàµçÂêZë #~çÂÝVçÂàåàåÜ?à�îIâ&ô+æZàåÜ �jä áÏó�âÂãµí�æZæZÝ´â ��äåô�ç�á»Ü �~è&çÂàåߪç�á»äåâ&êÃâÂã #hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂà!w;Ü�Ý´â&Þ�ù��� Ô�Ø;Ò�Ö�M+�Ñ"�&��'a;[�ÂÖ � >IÍ��4�tÖ � �Ø�Ø� � E �ÂÖ2� � �ªÑÏÙ ùhý?ÿ@AVý�þ���(�B �jùjæZæ �XìÂþjý�C ��!�! �

� # �&þR��ú � ����#®çÂê>ù��ªçÂÞ»á+çÂêZë �4v+÷?äåÜ?ê!á #~çÂÝVçÂàåàåÜ?à�®èÂçÂàåߪç�á»äåâ&ê7âÂãáVÛjÜtwXÜ?Ý´â&Þ+âÂãFç�#hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂà���ç?èjäåêZø 6�êZà ó ¼Ü�çÂàwXÜ?Ý»â&Þ�ùO��� Ô�تÒjÖ�,+�Ñ`����'*;[�ÂÖ � Í��4�tÖ � ¼Ø!Ø� � E �ÂÖ2� � �ªÑÏÙ ùhý ($AVý�þ��&þ$BEý&ý&ùªæZæ'��ý?ÿ)(&ìMC;ý?ÿ���� �

� #dþ��R��ú �'� � #~çÂê�ù�#~çÂÝ»çÂàåàåÜ?à���Ü�çÂÞ»á´ð´ñ@s�ߪçÂÝ´Ü�Þ<ñ�â&àåßjá»äåâ&ê]âÂã ��Ü?êZÜ?ÝVçÂà�çÂêjë]Ú¨â�Ü�æjàåä á�8�ðÏàåäm�&Ü ��äåêjÜ�çÂÝ"ñ�ó�Þ»á»Ü?ô+Þ�ù�D + �ME >�V$��' ��I��>� � ; 9 �&Ô�Ø�> � � D �&+����L� F�� �� # � +.� Ö � Ô"Ñj�&��'X �+ E.� � Ö� E Ö|Ò�+��Ñ AÓý�þ&þ��$BÓùPæZæ ��!�ÿ&ÿRC !&ì"+jùPíî�ï #PÝ´Ü?ÞVÞ�ù �¼Ü %�dâ&Ý)���

� #dþ�!ÂçR��ú �)� � #~çÂê�ù;îIâ&ô+æZàåÜ ��ä áÏó+âÂã®îIâ&ô+æZßjáVç�á»äåâ&êZÞ %¼ä áVÛqï�ç�áVÝ´äå÷?Ü?ÞçÂêjë #hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂàåÞ�ù9�: !;$ÎY�×F�2�� ù +Âÿ@AVý�þ&þ�!�B !�ùæZæ ��!�!&ìMC !"��! �� #dþ�!�é��ÂþÂÿ&��ú ������#~çÂê�ù �Ü %� �Ü?ÞVßZà áVçÂê!áIòÏêZÜ,s�ߪçÂàåä áVäåÜ?ÞCçÂêjë�îCâ&ô+æjàåÜ � #hâ&à ójêjâ&ô+äûçÂà �ªçÂ÷�áVâ&Ý´äm8�ç�áVäåâ&ê�ùD + �ME > :�9b���b9�� o�V&/

9 Ø+.�?�@#@,+ � Ñ��J E Ö|Ò�+�!S � Ö��Ñ-�?� ��� Ô�Ø;Ò�Ö�M+ 9�E �KM� E ù ���jýRAVý�þ&þ�!�BÓù>æjæ �¨ý !�!MC;ý�+��jùXçÂêZë 9�: !; <7> � � ��� ÔFتÒjÖ2�?�@# ù!"+*AÓý�þ&þÂÿ7Bì�ùZæZæ'�;þ�+ÂÿRC�þ!ì"� �

� #dþ�+R��ú ��� � #~çÂê�ù�í�÷?÷?Ü?àåÜ�Ý»ç�á»Ü�ëQñ�â&àåßjá»äåâ&êqâÂã>áVÛjÜAñ�ó�ô+ô+Ü�áVÝ´äå÷�ڨݴäåëZäûçÂø&â&êªçÂà �Päåø&Ü?ê!è&çÂàåßZÜ�#PÝ´â&éZàåÜ?ôQùZÚ¨Ü?÷ÓÛ � �Ü�æ;â&Ý­á¼Ú� þ�+FC �jý��jù�: �ªÖ�,+.��> ��� ÔFتÒjÖPM+ 9�E �KM� E : �ªÑVÖ2�tÖwÒjÖ� ù IÜ?Ý��&Ü?àåÜ�ó!ùXîIíµù>ý�þ&þ�+ �� #dþ!ìF��ú ��� � #®çÂê>ùO1RÜ�ó�à Þki�ߪçÂëjá»Ý»Ü?Ü�í�àåø&â&Ý´ä áVÛZô�ãtâ&Ý<áVÛZÜ��¼êZÞ»ó�ô+ô+Ü�áVÝ´äå÷*�®äåø&Ü?ê�èÂçÂàåßZÜ�#PÝ´â&éZàåÜ?ôQù ¼Ø!Ø� �K�'U;[�ÂÖ � >

�x?Ö|Ö�,+�Ñ ù ��AÓý�þ&þ!ì�Bì�ùZæZæ � ��(MC ��� �� #dþ!ìÂçR��ú �����#®çÂê>ù`6�æjá»äåô�çÂà`AÏßjæ�áVâ #hâ&à ójàåâ&ø �ªçÂ÷�á»â&Ý�B�ñ�Ü,s�ßZÜ?ê�á»äûçÂàµçÂêZë #~çÂÝVçÂàåàåÜ?àEí�àåø&â&Ý´ä áVÛjô+Þ�ãtâ&ÝbíæZæZÝ´â ��äåô�çR0áVäåêZø #hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂàbwXÜ?Ý´â&Þ�ù �?� D + �FE >�Vgp�Ö � ��I�ªÒg���� � ; 9 �&ÔFØ � Ñ��tÒ�Ô � ��Ö � ��� � +.� �)(j��� ÔFتÒjÖ2�?�@# ù�AVý�þ&þ!ì�BÓùæZæ ��(�ÿZý�C (&ì"�jù;íîCï #®Ý»Ü?ÞVÞ�ù �¼Ü % �Pâ&Ý)���� #~ù çR�+ú��)��� #®çÂê>ùI6�æjá»äåô�çÂàXçÂêZë �Ü�çÂÝ´à ój6�æjá»äåô�çÂàªí�àåø&â&Ý´ä áVÛZô+ÞPãwâ&ÝIíæZæZÝ´â ��äåô�ç�áVäåêjø #hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂà�wXÜ?Ý´â&Þ�ù���� ÔFتÒ�Ö�M+�Ñ

����'*;[�ÂÖ � >IÍ��4� Ö � ¼Ø!Ø� � E �ÂÖ2� � �ªÑÏÙ ù�AÓý�þ&þ��$BÓù áVâ�çÂæZæ;Ü�çÂÝ �� # �^��ú � ����#~çÂê�ù ������äåêg8?Ü?Ý�ù�í �Ü %¹í�æZæjÝ»â!çÂ÷ÓÛ�á»â IäåÞ»Ü?÷?á»äåâ&ê-í�÷?÷?Ü?àåÜ�Ý»ç�á»äåâ&ê�ãtâ&Ýá»ÛZÜ+ñ!ójô+ô+Ü�á»Ý»äå÷&�Päåø&Ü?ê!è&çÂàåßZÜ #PÝ´â&0éZàåÜ?ôQùjô�çÂê�ßZÞV÷?Ý´äåæjá�ù¨ý�þ&þ!ì �� # O�+ú ��� �'#~çÂê�ù~ü �^�&� �Ü�ä ã´ù�ñ�â&ô+Ü�#~â&à ó�êZâ&ô+äûçÂà®çÂêZë�Ú¨â�Ü�æjàåä á�8"ï�ç�áVÝ´ä �RîIâ&ô+æZßjáVç�áVäåâ&êZÞ�ùbD + �FE >�V7H&Ö � ��I��> : f�f�f

9 �&ÔFØ�> � �X\ � Ò@��'$�&ÖK� � � ��(a��� Ô�تÒjÖ�,+ 9�E �2,� E AÓý�þ���(�BÓù;æZæ �>ý ("+FC;ý��ÂÿZù;ò � � ��îIâ&ô+æZßjá»Ü?Ý�ñ�÷�äåÜ?êZ÷?Ü&#PÝ´Ü?ÞVÞ��� �� ü��� �Ü?êZÜ?ø!çÂÝ�ù�6�ê�áVÛZÜ!1�â&ݻ޴á»ð­î�çÂ޻ܵíÝ»ä á»ÛZô+Ü�á»äå÷�îCâ&ô+æjàåÜ ��ä áÏó�âÂã®í�æZæZÝ´â ��äåô�ç�á»äåêZøjwXÜ?Ý´â&ÞFâÂã #~â&à ó�êZâ&ô+äûçÂàåÞ�ù <7> �)(

��� Ô�Ø�� ����tÖ2� ù +7AÓý�þ���(�B!�ùªæZæ �Zþ��FC;ý&ý�+ �� ñ �jý.�bñ���ñ�ô�çÂàåÜ&ù�ÚCÛZÜ �ZßZêZëªçÂô+Ü?ê!áÓçÂàPÚCÛZÜ?â&Ý»Ü?ô$âÂãCíàåø&Ü�éjÝVç�çÂêZëRîIâ&ô+æZàåÜ �jä áÏóQÚ�ÛjÜ�â&Ý­ó!ù�� Ò��L� > ��( Ö � ` �Ôa,+M>�;[�ÂÖ � >

9��FE > ùªÿ@AVý�þ��jýFBEý&ùjæZæ �¨ý�C +�� �� ñ �!ìF�bñ��~ñ�ô�çÂàåÜ&ùJ6�ê�á»ÛZÜ �bv+÷?äåÜ�êj÷?ó-âÂã�íàåø&â&Ý»ä á»ÛZô+ÞAâÂã�íêªçÂà ójÞ»äåÞ�ù � Òg�?� > �)( Ö � " �ÔaM+M>O;[�ÂÖ � > 9��FE > ùdý�+tAVý�þ��!ì�B�!�ùæZæ ����(MC;ý !�ý��� ñjçR� �&��ñjçÂô+Ü�á�ù�ÚCÛZÜai�ßZçÂëjáVÝ´Ü?Ü+çÂêZë$ �Ü�àûç�á»Ü?ë%�äåÜ?ÝVçÂÝ´÷ÓÛZäå÷�çÂàdöFç�áÓçqñ�á»Ý»ßj÷?á»ßZÝ´Ü?Þ�ù-��� ÔFتÒjÖ2�?�@# 9 Ò�+�×�,�&Ñ ù~ý��7AÓý�þ��Âÿ7B !�ùæZæ �¨ý���(MC !"��� �� ñ�÷���!F�bí&�¨ñ�÷ÓÛ��&êZÛªçÂø&Ü&ù®ÚCÛZÜ �ZßZêZëªçÂô+Ü?ê!áÓçÂàdÚ�ÛjÜ�â&Ý´Ü?ô âÂãIí�àåø&Ü?éZÝ»çqäåê-Ú¨Ü?Ý»ô+ÞAâÂã�îCâ&ô+æjßjáÓç�á»äåâ&êªçÂàdîIâ&ô+æZàåÜ �jä áÏó!ù�ï�çR0ê�ßZÞ»÷?Ý»äåæjá�ù "´Ø;ÖP> �)( ;t�&Ö � > /��b�I� ×�> ��(*� � QM�?�@#@,� ùªÚ��ZéZäåêjø&Ü�ê>ù���Ü?Ý»ô�çÂê!ó!ù¨ý�þ���! �� ñ�÷��!ìF�bí&�;ñ�÷ÓÛ��&êZÛªçÂø&Ü&ù^i�ߪçÂÞVä ð �Aî�ö¹îIâ&ô+æZßjáVç�áVäåâ&êjÞ�ù <7> �)(a��� Ô�Ø�� ����tÖ2� ù>ýRAÓý�þ��!ì�BÓùXæZæ �>ý&ý��FC;ý�+�( �� ñ�Ü.� �&�Xñ�Ü?êZâ&ßjÞVÞVä|ù;í i�ߪçÂëjá»Ý»Ü?Ü�í�àåø&â&Ý´ä áVÛjô ãwâ&ÝÚ¨Ü?ô+æZàûç�á»Üµï�ç�á»÷ÓÛZäåêjø+â&ê #®ó�ÝVçÂô+äåë�îCâ&ô+æjßjáVÜ?Ý?ù���� � +�?Ö2� E �$� ��� Ô��Ø;Ò�Ö�M+ 9�E �2,� E ù>ý�+��7AÓý�þ&þÂÿ7BÓùXæZæ � +���(MC�ÿZý ( �

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 22: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

l 3 ���������P���

� ñZñ7��ï �®ñ�Û�ßZé�ùIñ��Pñ�ô�çÂàåÜ&ùPîIâ&ô+æZàåÜ �jä áÏóRâÂã IÜM8?â&ßjá Þ+ÚCÛZÜ?â&Ý´Ü�ô ò � ��Ü?â&ô+Ü�á»Ý»äå÷�í�Þ»æXÜ?÷�á»Þ�ù <@> ��( Ö � a �ÔaM+M>Y;[�ÂÖ � >9��FE > ù��7AVý�þ&þ�+$BÓù;æZæ �qÿ�ìÂþFCjì"�jý��

� ñZñXù çR�qï ��ñ�Û�ßjé�ù�ñ��Âñ�ô�çÂàåÜ&ù&îIâ&ô+æZàåÜ ��ä áÏóAâÂã�IÜ,8?â&ßjá ÞPÚCÛZÜ?â&Ý´Ü?ô¹ò´ò ��úPâ&àåßZô+Ü?ÞhçÂêZë�#PÝ´â&éªçÂéZäåàåä á»äåÜ?Þ�ù���� ÔFتÒ�Ö��ÂÖ2� � �����7 �� �#@RQ,+���� E � � Ôa?Ö2+.� A �����®ó�ÞVÞVÜ�á´áVÜ&ù�í��)�FçÂàåàåäåø&âZù��PëZä á»â&Ý»Þ�B�ùID + � #$+��ÑVÑe�?�k;t�&Ö � ?Ôa�ÂÖ2� E Ñ ùªý��&þ7AVý�þ&þ�+$BÓùZæZæ ��!"��(MC !"�!ì�ùIäåÝ���ÛªçÂßZÞ»Ü�Ý �

� ñZñXù é��qï �Iñ�Û�ßjé�ù�ñ���ñ�ô�çÂàåÜ&ù¼îIâ&ô+æZàåÜ ��ä áÏó�âÂã&IÜ,8�â&ß�á ÞqÚCÛZÜ?â&Ý»Ü?ôBò´ò»ò ��îCâ&êjëZä áVäåâ&ê �ßZôµé;Ü�Ý�çÂêjë�#~çÂ÷���äåêZøZù <@> �)(��� Ô�Ø�� ����tÖ2� ùªþ7AÓý�þ&þ�+$BÓù;æZæ �ªÿRC;ý?ÿ��

� ñZñXù ÷.�qï �>ñ�Û�ßjé�ùhñ��¨ñ�ô�çÂàåÜ!ù�îIâ&ô+æZàåÜ ��ä áÏóQâÂã�IÜ,8?â&ßjá ÞEÚCÛZÜ?â&Ý»Ü?ô ò|ú �'#PÝ´â&éªçÂéZäåàåä áÏó�âÂãCñ�ßZ÷?÷?Ü?ÞVÞ�ù ����á»Ü�êjÞVäåâ&êZÞ�ù�9�: !;<@> � �XSFÒjÔa,+.� E �$�� ������ �&Ñ��tÑ ù�áVâ<çÂæZæ;Ü�çÂÝ �

� ñZñXù ë��qï �®ñ�Û�ßZé�ùCñ��Pñ�ô�çÂàåÜ&ùdîIâ&ô+æZàåÜ �jä áÏó¯âÂã IÜ,8?â&ßjá Þ�Ú�ÛjÜ�â&Ý´Ü?ô ú � #hâ&à ó�êZâ&ô+äûçÂà�ÚCäåô+Ü!ù!��� � +��Ö2� E ��� ��� Ô�Ø;Ò�Ö�M+9�E �KM� E ù�ý�+�+*AVý�þ&þÂÿ7BEý&ùjæZæ �¨ý?ÿZý�C;ý��Âÿ��

� Ú¨ß�� # �;Ú¨ßjÝVçÂê�ù�� �%��S! � ;t�Ö �g� ' �)( ������ �&Ñ��tÑ`�&��' : Ö|Ñe �Ø!Ø�� � E �&ÖK� � �ªÑ ùI1�äåàåÜ�ó�çÂêZë-ñ�â&êZÞ�ù �¼Ü %¹üÂÜ?Ý´ÞVÜ�ó!ùhý�þ��Âÿ������������ ������

� � �36��-�� ��7� �� (* +��-, ���72 �R� HI,¼R�!�Q�� ��� � ���� !G7 �¾6�����)=?,# ���� ��� &�P%��_ +,C��7

�?r¯z�fhsw��{X�~�Pk�r~�~s «C±X©"k���k�y�{Xutu~e�}~��{XrCº �A�~��vZ«hswi¯swz��-z�kj��z�±X©�fhs|y&f¯k�r~{>�hutkj�A}~�Az�v-y!v>i]�~}~z�k+z�f~k��hsw��z�{>r~y!k¬´��v>i {3y!v�i¯�~utk�«��PvXs|r>zB%Mz�v3z�fhkRrhk�{>��kj��z+°�k���v¯vX¬];]<">=?�±d©+stz�fÃ{3��k�uw{Xz�sw²XkQk�����v>�+{;z�i¯v���z�� K�B� q l{>r~� {XzRz�fhk�y�v>��z x � <´½�<�l��Zze{�|"#?�ze{�|E½S?�·¾�Ó¬ M K � M y �I�I�<�I� M a �~k�rhv>z�k�z�fhk�°�kj��v���vX¬V;]<�>]?�±�swr z�fhkv����~k���vX¬�rhv>r~swr~y���kj{X��swr~x z�fhk�sw��{>�~��v>uw}~z�k�²ª{;u|}hkj��±b{Xr~�õst¬ .��M�hkjrhvXz�k�� _ aJ dLK M �J ±�z�fhk�r�±qy!uwk�{>��uw�X±j M K j=^ > K <�(�?���ld^ a�� U � � �� 1 � �

¬­v>��� � (~·iQ<�)}®��s|rhx*��v>i¯k���v>�~fhs|��z�s|y�{;z�k��)z�v¨v>uw�Q¬´��v>iÌz�f~k7r¨}~i��Pk��z�fhk�v����>±"e�}~��{XrhJ e�}tLQ�~��vª²>k�� {Xr ��5)� 1��� +,�� ,(�(��!� ��� A�$��v>r z�fhkÃuw{Xz�z�k�����{;z�stvP±µr~{>iRk�ut�>±W> K <�(A?f^� K�B� VTXY d�K �A@A@A@A� a j . +Z½ j

K�B� ¬­v>�R{;uwuµr~{Xz�}~��{;u ¾·*�Pv>��uw{>��x>k$¾±Az�fhk�²ª{;u|}hk�� K�B� sw�¯y!uwv>��k�z�v �X±{>r~�é"kRi]{Z�Ãy!uwv>��k�uw�Ã{X�~�~��vZ«hswi]{Xz�kN> K <2(A?µ²¨s|{�z�fhk¯y�v>i]�~}hz�{;z�stv�r�v;¬Ez�fhk]�®vª©"k��q��}~i]� . ·Q�®v��q{�®��vZ«hs|iRswz��-z�k���zµ{;zE{��®v>swr�z % ±>©µk�r~k�k��]z�v�§¨rhvª© z�fhkq²Z{Xuw}~k0> a <�%�?�±¨��{Xz�fhkj�Fz�f~{>r > K <�(�?�±¨�~}hz > a <&%�?¬­v���;]<�>]?Ek��¨}~{Xuw�W> K <2(A?F¬­v>� �t< $? ^ a ;]<�% �Zl + $?�±h©�fhkj��k�K^n> q % À»����v>�Pv>��stz�stv�r�l~· l�Á·���:� É £9!Ï¢�0 ���7���=C�� �£Z¤ ���w¡ � £ É ) ! �1!Ï¢ Æ ¢ Å ¡�¢ F �G � � ��¢>¦ -/���� A����B ���:��½SIk���t�. �� ��H 1�"�1����� � ��(���BHF��:��'.�"��BN;]<">=?p� � � A �L� �,I��A��+�� �NC ���2C�������½SIV���$��w ���')($B ���w�� A'>���1�W% ���A���� �\�$���������1���G� �k;]<�>]? �Y ��¢ � �¼¢X¦ (=0 �G�$���*�$�2CN����� +,�/�� A'>��!���W>\^ >t<&%�?\���:�)> O ^ > O <�%�? ^ � K�B� > �� � �w���A���

l�^ > O +9> a <&%�?�^,� K&B� �/l&^3> a <&%�?+9>C^,� K&B� �K> a <�%�? ^ V����J dLK �A@A@A@ � aj M J q % j � ÀV�-·w�ZÁ

��¢�¤ � Å ��� �k��')(* A� � ���t�/+,��BH ��!� � �\���t�P(A��0 �!�p�� A'&�I. ^ a�

J dLK J � J ^ l +t< M J q %�?�� :.^ lF�<�I�<�I��½7�

��¢�¤ � Å <1� �k��')(* A� �&���$�G�� A� ($ A�2> O ^ � VTXY dLK �A@A@A@ � a j . jK&B� "! s

K���$�6>p^ > O +�� K&B� �

ò �� �òÏí

Page 23: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� l~�

� 0 Å¨É £ Å ���N��� .�(� tI4(��]A �� 0 ��(1�t�.�� A� (* A�V+,��BH ��!�W>����$�N> O � �R�vB CD����� ���N' �4�L�E�1����� � ��F"���4�L� � ���z���} ��y!kj�"¬­v>�<v>}®�+�~}~���®v���kQz�v�y&f~v�v���k `^ � r Whz�f~k�r

lF� ( ��l � ��l�#,� K&B� # lF� ( �Al � � r � ÀV�-·ål>Áe�}~��{Xr�y&fhv¨v>��k���`^ r � z�v��Pk-{¯�Pvª©"k��"v;¬Elh±~{>r~��f~k���k�sw�+fhs|��{Xutx>v>��stz�f~i ¬­v>����z�{;x>k¯�Do� � ¤ �&� É £9!Ï¢0���N�������¢�¤ � Å ¤ F� ?_�D� ���V���A�\+������"���1B �T��F.�1�1����� �NC�K^Z> q % ���:�� ���')(* A� �p���t�/ �����Hn 1�"�!�*�"� ��v���t�+½ $����D�2C������P(A��BHF��$��'&�"��B �t< $?)0�� ���w���t��� �1����� J ^ l,+t< M J q %�?��K:&^ l �I�<�I�I��½SIS�� � ��w���t���

;=<">]? ^ ;]<�% � $? ^ a�ced]f ;

c <�%�? c �

�t< $? ^ a ;=<&% �}l,+ $? ^ a�ced]f ;

c <�%�? ats c ^�; f <&%�? a�J dLK

< q J ?����¢�¤ � Å   F =4� "&���$��� BH� �_$�+ �P���D �A�!+ �!6�F$������D��5)��IR.(;�02� � + �!� � f < $?@^ �t< $? +!; f <&%�?.���$� �� � � ��!���� +��1B F ���'@($ A�2� ���A�& �����Hn !�"�1�����/��\���t�P(���BHF��:��'.�"��B �

� c J K < $? ^ < q l�? a � c < � �? � c < q � $?��0AS^ (�� lF�I�<�I���!� q lF� ÀV�-· ��Á��¢�¤ � Å ¥ F�� - A'E�1���" ���B BHF ��'@($ A�2�&���t�@(���0 �1� �� A'/��. �!�����K^ l �I�I�<����½SI ��F��!��BH+�� �NC ���t�&�����"���c�C� �B ���-(���� (:BH� � �/��F,��� �!' ��@-&�!0�� ���43 �p�"���1����� ���"�!�\� �����t�/+,�����"���1B �!��. � . y �I�I�<��� . a E

� a � � . � � ats K � � ^ (��� a � � . y � � ats K � � . � r � ats y � � ^ (��···

� a � � . a � � ats K � � . � aAs K � ,/,/, �¾½ � f � � ^ (��¸)k-rhvXz�k�z�f~{Xz+k�{>y&f7��z�k���s�vX¬A��z�{;x>kQ�dÁ"���¨}~{>��kj�µz�fhk�°�kj��v��"v;¬Fz�fhk-�PvXuw�hrhv>i¯s|{;u � c < $?�±P��v]z�f®{;z

� � < $? ^ a�J d�K < q

J ? ^

a�c d4f �

c � � J � `^ r � � ÀV�-· �¨Á

e+f~sw�-i]{>§;k��Qz�fhk3swz�k���{;z�stv�r À»�-· ��Áb{Ã�Pvª©"k���¬´}huEz�v¨v>uA¬­v>����k��~{>��{Xz�s|rhx�z�fhk3°�k���v>�QvX¬S;=<">]?�¬´��v�i k�{>y&fv>z�fhkj��±<�Pk�y�{>}~��kÃz�fhk�uwvXx�{X��stz�f~i vX¬bz�fhk*��{;z�swv}j J + c jFx>��vª©��]uts|rhkj{X��ut� s|r,¾±<st¬Kj J j�# j c j W�¬´}~� �z�fhk���i¯v>��kX±dfhstx�fhk����®vª©"k����+v;¬Az�fhkR{>�~��v>uw}~z�k�uw��{Xr~�Ã��z���swy�z�uw��u|{X��xXkj��z+°�k���v3v;¬=;=<">]?<�hv>i¯s|r~{;z�k-s|rÃz�fhk��k����Pk�y!z�st²>k��®vª©"k��<��}~i]�<v;¬A{;uwuCz�fhk�°�k���v>��·�<zµ��z�{;x>k�{�Á±X©µkF��}~��zE��fhs ¬­zAz�fhk+²ª{X��sw{>�huwk> W>k�²Xkj����swz�kj��{Xz�swv>rMA¼v;¬¼��z�{;xXk+�PÁs|�E{Q�PvXuw�¨r~v>i¯sw{Xu~i�}hu �

z�sw�~uts|y�{Xz�swv>r4WP��z�{;x>kbyZÁEvX¬���vXuw²¨swrhx]{Rz���sw{>rhx>}hu|{X�"ev�kj�huwstz�°Q���h��z�k�i�{>i¯v>}~r�z��"z�v¯�PvXuw�hrhv>i¯s|{;uC�hsw²�s|��stv�rÀV��k�kKJ ����l;{,L´Á·µe+f�}®�<z�fhk�vª²>k���{;uwudy�v>��z"vX¬F�Pk���¬­v>��i¯swr~x¯��utx>v>��stz�f~i ��·t�Qs|�

x � <´½�<�l�� �]?�ze{�|E½S?����G^}z {D| T� ÀV�-·HM>Á

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 24: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

l>l ���������P���

�7Å � ¤~£�¾�7��� + �� ��/� �2�1�������"���&��� � (����4��? �P�1~! ������!�2AC� >?�e< # <2(���>D?�? �!���5���*Fk(��,��� ��� +�� >6��(1�N� ���1�$���1B �!� t� � �w� �$ 1�����,�1�K��� AC� >?� < # ? ������' � # li�2� �:y � ���5���A�K ��,��� x � <�< � � �N?»½pz {D|E½S?�I�0*�t�1�����E^ (8� ����t�.��� �1 # �t���& ��!�*�2�1��� ��7Å � ¤~£�¾�7�'< /@F ��(D($BHF�� �tC3[@�1'E���!6d�4�L� �!��� �h^ x <"ze{�| z {D|E½S?�I.0 � 'K��F�� �$ 1�����,�1� ���A� �������"���^ x <�l�? ���1��F,I���^ � �w� � � � r � r � %X½ � r <!� q l�? +t< � q r ?�IP���@���t����+,�1����B B ��,������� A�:�����7�!Fx � <´½]y4ze{�|�½vze{�| z {D|E½S?�I �!���K���A�G ���')(* A� �����"����(A�1� �!����'K��� ��� '. �BH�2���$���� t�!BHF4�!���E�1�!+��!���B ��� �! !�K���A���� �CD�1���A�!�� ������ ��� �h��B B@���t� ���!��,���� ;=<">=? � (1�D t��IK���1'E��� ��� �tC�0�� ���D� �h���N� �8 ��,��� ��� A�$�,IE0 ��'E��F��BH0 ��F,�/�!����� � ��Fi���A�E�,���� A'@($���"����� ����~1 A� ����� �!���/���t�K��(D($BH�" ������"��� ��#�vB CD����� ���N' < �L� �d(1�t�1�#0 �&'E��F ���'@($ A�2�&� �1��B ���2����% O� $ �:�!� CB�b����!�t��� ���E��/���A� � $ ���.(A��0 �!���.� �&��B B=���t�&���!��,�&��V;]<�> �3H=? �!���E�/(A��� ����w������� (:B � ��)���t��� �!�D� ���\+���BH ��!�NH I��!��� � ^ x <"ze{�|E½S?�I\���$� �!���i��(�($����($���"��� �.(A����� ��� +�� % O� � ) ����1+��!��F H ���:�4�!���i�!+��!��F�% O� $ �$�1� C� ����!�t������� �G�-���1��� M��� �� �t<�>]?�Ip0 �G���A�!�n ��'@($ A�2� � ����$���"�D��� �% O� $ �$�1� C� ����!�t�����,� �� M � I �!��� % O� ^ %DI/��w0*�D�" �� 0 �i�:����8� � �1� B �� !�/������ ���% � $ �:�!� CB�b����!�A� ����� �M � ��E�\ �A� ���!�p�� �Hn 1�"�!�*��BHF&��'E��B B % O� �2���t�1F.���*BHF.�$�����&�2� ��v'E�����1�����2� BHF&��'K��B B$��� B ����� +��p� ��% �&���$���(�($����($���"��� �P�!�N� ���"� H=I4�1� ���� �p�"�D�!�*��� ��F\ A�*�"~! �� % � $ �$�1� C� ����!�t�����,�@�� M�� I �!���P��B B��]I �!Fv� �*�2�1���1�� !��� �NC���t�. ����:���"�����2��% � $ �$�1� C� �����!�t��� ����� �!���&��B B����t����� ���$���!���/��B B]���t� �!�D� ���+,��BH ����KH � �

� � 3Q� � ��2� � �������6���Q�� ���7,7�?r¹z�f~sw�-{>�~�Pk�r~�hst«C±�©"k¯©+swuwu�{X�~�®��vZ«hs|i¯{Xz�kRz�fhk���v¨vXzQ��{>�hsts7> 1 <&%�?�±�¬­v�� .�^ lF�<�I�I�I��½A±¼���ì­v>utuwvª©+swr~x{>r~��{�uwswz�z�uwkQ��s|i]�hutst¬­�¨swr~xwJå�¨y���l�LV±h��k�y�z�swv>r����P·¸)kb©+stuwud§Xk�kj��{X����}®iRs|rhx-z�f~{;z % ^ (3À»vXz�f~k���©+sw��kX±�©µk©"v>}~uw����f~s ¬­z+z�fhk�²ª{X��sw{>�hutk�����uwk�z�z�s|rhx .^}> q %_Á�{>r~��©+stuwu��hkjrhvXz�k)> 1 ^ > 1 <&%�?�±

> f ^21P�0> a J K ^ (�� À�Qb·w�ZÁË v�r~��sw�hkj�"z�fhk�z�©"v¯¬­vXuwutvª©+s|rhx¯z�{X��§¨�QÀ»rhv>z�k�z�fhk-��kj�~}~r~�®{Xr~y���swr�z�fhk�s|�+��z�{;z�k�i¯k�r�z��&Á�o�"¤~¡D > � ��� +,�1��(��,��� ��� +,�V>����$���GI�� �$�G�"� CD�1�$�1����B B F��$���c$ A���"~1 ���&� ��� �2CD�1� .G�� � �G���t���

> 1 J K +t<�l�� �G?�# >�#b<�l�� �G?�> 1 � À�Qb·ål>Á�"¤~¡D . � ��� +,�1���\(A����� ��� +��/� �*�2�2CN�!� .�Ikl�^ .&^ ½SIV���$�w�p(��,��� ��� +,� �GI��k�:�G�p(��,��� ��� +,�V>i�� � �i���A���

> +A<�l�� ��?"#3> 1 #h<�l�� �G?�>?� À�Qb· ��Á¸)kQ©+stuwu���v>ut²>kbe�{X��§¨� >�{Xr~� .q¬­v>�pl � � ^ r ½A·Fe+f~kbk�«hz�k�r®��swv>r7z�v3{Xr�{X���hstz���{>���3�Pv>��stz�st²>k �Osw�

s|i]i¯k��hs|{;z�kX±®���7i¯k�{>r~�<v;¬�.^ �*< �G? ^ � z {D|�< z {D|�< r ½S?

ze{�|*<�l0� �G? ? � À�Qb· �¨Áswz�kj��{Xz�swv>rR��z�k��~�<ÀV�-· ��Á�W>swr®�hk�kj�C±X��}~y&fR{>r-swz�kj��{Xz�swv>r¯��z�k��¯{Xi¯v>}~r�z��z�vb���¨}~{X��s|rhx&l � � swrRz�fhk+y�v>r�z�k�«¨zvX¬�e{>��§¨�N>Ã{>r~��.>±F{>r~�¾©"k7f~{Z²>k <�l�� �G? y � � r ½A±A}~r~�~k���À�QQ· �hÁ·*e+fhk�y!v>i]�~}~z�{;z�stv�r~{;u"y!v���z-vX¬�Pk���¬­v>��i¯swr~xÃz�fhkj��k�stz�k���{;z�swv>r_��z�kj�~�7ÀV{X��©µk�utu"{X��z�fhk�y�v>��z-v;¬���fhs ¬­z�swr~x*z�f~k7²ª{X��sw{>�huwkK>¼±Ast¬�rhk�kj�hk��PÁ��fhv�}huw���Pk-{X�~�hkj�7z�v3z�fhk�vª²>k���{;uwudy�v>��z<v;¬Fz�fhk-��vXu|}hz�swv>r�±hv;¬�y�v>}~����kX·F¿�v>z�k�z�f®{;z

�*< �G? ^ ( A��l�� � � r ½ � �*< �G?S^ x <"ze{�| ze{�|�½S? A��l,+ � ^ x <�l�?�� À�Qb·HM>Á

ò �� �òÏí

Page 25: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� lX�

�$< �G? ^ x <"ze{�|�½S? A ��l,+ � ^ ½�� � K � À�Qb· ��Á�Ãv���z<¬´��k��¨}hkjr�z�uw�X±®©"k-rhk�k���z�v7��vXuw²Xk�e�{X��§ .-¬­v>� .p^ ½A±P{Xr®��©"k-f~{Z²>kbz�fhk�¬­v>utuwvª©+swr~x�y!v>��vXuwu|{X���

vX¬�e+fhk�v>��k�i���·t�KJ y!v�i¯�®{X��k¯ÀV�-·HM>Á2L�oH É £ É � �´¤~£ Æ�� ��� � � ) ����./^ l ���$� .&^ ½SIC(����!6K�E ����Z��&�1��BH+����7��Fi'E�������.� �/���t�K��(�($B �" �����"���� ��(1�t�������1' �4�L�w������A�& ��,��� x � <»½�<�l�� ��?�ze{�|�½S?�Ik0*�t�1�����8� �/�D�"� �$���-�!F�� /�� > ��$ � /�� < � �� �&����������+��1��I ���A�& ������5���� 1�����,�1�!�p� � x � <´½pze{�|E½S?v� �pl,+ � ^ x <�l�? ��Pv>�]�~{X��z]{�Á�©µk�f~{Z²>k�{Xr {;uwz�kj��r®{;z�sw²Xk���s|i]�huwk��]�~��v�vX¬�¬´��v>i Jå�¨y���l�LV· ��k�y�{;uwu<z�fhk�©"k�uwu 9�§¨rhvª©�r

s|rhkj��}®{;uwstz�stkj�QÀ»y!v�i]�~{X��kKJ �qk!LÓ±~�~�C· �NMh�>±h�NM>l�{>r~���NMDO>Á�o� OK +Z½ ^3> K # r � OK �K� OK ^eVTXY

��� f j ; ats�� +!; a j K�B � � À�Qb· OXÁ�q�~�huw�7����v>�Pv>��swz�swv>r�lh·ål�¬­v��W%`^ (3{Xr~��k!«hz�k�r~��z�f~k-�®v�}~r~�~�QÀ�Qb· OXÁ"{>�"¬­vXuwutvª©�� o

� Oa + r ^$> a # ½�� Oa �K� Oa ^eV ������ f j ; f +!; � j K�B � � À�Qb· ��Á

e+fhkj��k�¬­v>��kX±9>p^ � OK � r +Z½]sw��{���vXu|}hz�swv>r-z�vqe�{X��§ .E¬­v�� .v^ l>±j©�f~k���k�{X�2>p^ � Oa � ½ + r s|�{q��v>uw}hz�stv�rz�v3e{>��§ .Q¬­v>�'.)^õ½�W~s|r��PvXz�f�y�{X��k���±¨©µk�i]{Z�7y&fhv¨v>��kQ{Xr�� �O��}~y&f�z�f~{Xz\l � � # � r ½F·Ee+fhs|�+y�{>r�Pk�k!«hz�k�r~�hkj��z�v3z�f~k-��v>uw}hz�stv�r�v;¬Ae{>��§ .>±h¬­v��'.v^ l-{Xr®� .v^ ½¹{Xr®�7¬­v���{Xr�{X���hswz���{X�����®v���swz�sw²Xk���±{Xz+z�fhkRy!v>��z x � <»½ � ze{�|E½S?µv;¬*�7swz�k���{;z�stv�r���z�k��~��ÀV�-· ��Á&±®©�fhkj��k(��sw���~k!¶Prhkj�Ã���*À"QQ· �¨Á29�À�Qb· ��Á&·"e+f~sw�s|i]�huwstkj�+z�fhk�y�v>��z��®v�}~r~��v;¬A�~{X��z+{�Áµv;¬ Ë v>��vXuwuw{>���EQQ·w�X·¸)k7{;u|��v�r~k�k��_z�v���v>ut²>k3e{>��§�.]¬­v>��l�# . # ½ {XzR��z�{XxXkÃ� 3�v;¬+��uwxXv>��swz�f~iÌ�~·w�]{>r~�¾e�{X��§T>

s|r���kji¯{>��§ Ë ·t�>·<¿�k!«hz�±®©"k-©+stuwu��fhvª©0��v>uw}~z�swv>rÃ{;uwxXv���swz�f®i¯�+��k�uw�¨swr~x3v>r�z�f~k�¬­vXuwutvª©+s|rhx�}~��k!¬´}~u{Xr®�k�utk�x>{>r>z<��k���}hutz o� 0 Å¨É £ Å � � ��� � .(;/�!IA(�( � >�;B@��.> <A\0IL.�?: �@BA!02� � % �Vl&^�- ^ ½����$�p� �Pj ; a J K s N s c +!; a J K s N jQ^ � � c�!���0AS^ lF�<�I�I�I��½��Zl q -�Ik���t�1��> N #$-8< ���}l�? � �

���� � � �G�Q}hk�z�v�E{>r��uwk�y&§dº �<z�fhk�v���kji À�J ��k1LV±P�C·A�NMX��Á±h©"k�f~{Z²Xkj ; a J K s N j > a J

K s NN ^�� ½½ �}l q -� j ; f j ��� ½ q l½ q -� j ; K j > N � ,/,., ��� - l� j ; ats N j > ats NN �

�bsw²�s|�hk-�PvXz�f���s|�hk��+���8j ; a J K s N j > a JK s N¯±®{X�®�hut�7z�fhk-{>����}~i¯k����®v�}~r~��v>r�z�f~k-��{Xz�swv>�

j ; a J K s N s c +!; a J K s N j ±®{Xr~���hkj�~}~y�kq¬­v���>i^ �6+9> N z�f®{;zl&^ �N> a J K s N � ½

- q l� � �N> ats N � ½ q l- q l� � ,/,., � �N> y � - �Zl

- q l� � �N>�� -- q l� �À�Qb· ��Á

�Ó¬S>��hlX±hz�f~k�r8> N ^ �d±®{Xr~��e+fhk�v>��k�i QQ·w�q¬­v>utuwvª©���·kTqz�fhk���©+s|��k]À"QQ· ��Á�s|i¯�~utswk��+z�f~{;zl�� �$# �$<�l���> ��> y ��> � � ,/,., ? N ^ �6+A<�l q >]? N �

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 26: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

l;� ���������P���

Q<��{X�~�huw�¨swr~x3z�fhk � {;x���{>rhxXk�¬­v>��i�}hu|{]z�v � ¬­v�� �^ l � �d±~©"k�v>�~z�{;s|r�z�f®{;z � q � � ^ � H � s K ¬­v>���v>i¯k H�± �>^$Hd^ I·��¨}~�~��z�swz�}~z�k-z�fhsw��k!«~�~��k�����swv>r�{Xr~���hk��®}~y!k�z�f~{;z

l,+�>�# < � �}l�? �< � �}l�? � q � �

� � ^ l,+,- �

��v]z�f~{Xz0> N + �.^ l,+�> # < ���}l�? + � ±P{Xr~��z�fhkjr�{;x>{Xswr�e+fhk�v���kji QQ·t�b¬­v>utuwvª©���· e+fhk�v>��k�i QQ·w�]{>r~���µ��v��®v���swz�swv>r)lh·ål7{Xuw��v�s|i]�huw�*{���s|i¯stu|{X�Q}~�~�Pk����Pv>}®r~�*v�r l +9> N ±�©�fhs|y&f¹sw�z�fhkK<´½��}l q -8?"9Óz�f���v�v>z+��{>�hsw}®�<v;¬z�fhk-��k�²Xkj����kQ�®v>ut�hrhv�iRs|{;u4> a ;]<�l,+,>=?�·�¨}®y&fõ�®v�}~r~�~�7swi]i¯k��hs|{;z�k�uw� s|i]�huw� z�fhk*��vXu|}hz�swv>r v;¬-e�{X��§1>)¬­v>� >n^ l*{>r~�hl � � ^ r ½A·�?r®�hk�kj�C±�y�v>i]�~}hz�k3z�fhk�r~{;z�}~��{Xu - ��}~y&f)z�f~{Xzwj ; a J K s N j]^ VTXY f��$c�� a j ; c jû·��Ó¬ - ^O½ � lX±¼z�fhk�r

� Oa � l>±P½$# > a ±I{>r~�T> a J K ^ (�J ��k�k�À"QQ·t�ªÁ+{>r~�¾À"QQ· ��Á2LV·Q�Ãv>��k�vª²>k���±¨¬­v>�qz�fhk]��k�²Xkj����k-�PvXuw�¨r~v>i¯sw{Xu»±�t<�>]?&^ > a ;]<�l,+,>=?�±A©"k�f®{Z²Xk�� OK ^`l>±E{Xr~��±Az�fhkj��k�¬­v>��kX±7> K # r J ��k�k)À"QQ· OXÁ2LV±A©�fhs|y&f s|i]�huwstkj�Rz�f~{;z> a #`l + r ¬­v>�v;]<">=?�·¾��z¯¬­vXuwuwvª©��-z�f®{;z .�^�½$s|�]{*�hkj��s|��kj� ��vXu|}hz�swv>r¾z�v)e�{X��§ >¨±E¬­v>�M>�^ l�{Xr®�l � � ^�½A±A{>�-©"k�uwuµ{X�-¬­v>�6>8^ � ½ + r {Xr~�nl � � ^ � r ½A·#Tqz�fhkj��©+s|��k>±VlN^ - ^B½A·*e+fhkjr©"kÃ{X�~�~ut� e+fhk�v���kji QQ·t�¾À´¬­v>� �}^ �b^ lZÁRz�v ;]<">=?R{Xr®� �t<�>]?w^ > a ;]<�l +,>=?�{Xr~� �hkj�~}~y!kÃz�f~{;zKy � a J K s N # > N # r -)±���v�z�f~{;zEl +t< r ½S?�# > N # r ½A±¼{Xr®��.K^ - q l]s|��{���vXu|}hz�swv>r¹z�vÃe�{X��§ >©�f~k���k+> ^ lQ{>r~��l�� � ^ r ½ J z�{>§;kQswr�z�v�{Xy�y�v>}~r�zQÀ"QQ·w�ZÁ�©�fhkj��k - ^ lF�'.v^ (�LV·Ee+fhk�k�«hz�k�r®��swv>r~�z�v¹{>���hswz���{X��� >Ãsw�¯��� iRkj{Xr~�Rv;¬���y�{Xuts|rhx¹z�fhk�²Z{>��s|{X�~utkw> {>r~�¾z�v_{X���hswz���{X����� ���¾i¯k�{Xr®��vX¬�z�fhkswz�kj��{Xz�swv>r¹À»��· �¨Á·A¸)k-{X����sw²XkQ{;z� £ É �EÉ ¡<!Ï¢"! É � � ��� (*�,�!6V> ���� ��p�1��BH+,�������k���t�/ ������ x �p<´½�<�l�� �*?�ze{�|A½S?@0*�A�!��� � � �\�D�"� �$���>�!F� /�� > �$ � /�� < �9�V���t�. �����E��� A�:�G ���� ���.���� 1�����,�1���K� � x �p<´½S?)� � l�� � � r ½ �¸)k-y!v�}huw��f~{Z²>kb��vXuw²Xkj�7e�{X��§ .����7��k�y�}®����st²>k�uw�3{X�~�huw�¨swr~x¯�µ��v��®v���swz�swv>rGQb·w�Qswr�{]�hs|r~{X���7��k�{X��y&f

{Xutx>v>��stz�f~i�±h�~}hz+©"k�©+stuwu��~��k!¬­k��+{]i¯v>��k��hs|��kjy!z�{;uwxXv���swz�f®iBv>}hz�uts|rhk���s|r#J �¨y��>l�LÓ·���:� É £9!Ï¢�0 � � ��� ��� +��!�����t�. ����H 1�"�!�*�"�k; � � �k;]<�>]? ���:�G���8� ��� �2CD�1� . �/l�^ .�^ ½SIV ��t���,�1�.��0 �� �*�2�2CN�!���0� ���:� � ���A���V�1����� � ��FK���t���!��B B ��0�� �NCi� �:��~! ���BH� ���"�!�IE

� # ½ �}l q .&^ ��� � ^ ½ À"QQ·w� 3�Á���1�/���A��� � #$( � �"# ½��,I����$�/���t���!��B B ��0�� �NC�y�v>r�²Xk�«hstz����®��v��®kj��z��:o���A�!���p���D� �����5�$�/� ��� �2CD�1� H�� �w���t� ��������"���1����� �����NCN�.�� � � ���t���@���A�v(A��� ���P<�H��� <&H ?�?E���#���A�v($B ���$� �D<�H���\? � BH�"�!�K�P���+��K���t�.��������� CB�D�B � �$�k(A������ �tC ���D���� �C�&���A�5��0 ��(���� ������<��C���/<��?�?P���:�\<�� �$�2���/<�� � �4?�?�I40*�t�1��� � <&H ?��D�!�:��� ����ze{�|)j ; �:j ��k��'@($ A�2�.���:�G�� A� (* A�

>\^ j ;�� J � +�;��!jK�B � � À"QQ·w�X�ZÁ

e+f~kQ��k�u|{;z�stv�r~�QÀ"QQ·w� 3¨Á�{>r~�¹À"QQ·t�>�ZÁµ{Xr®��z�fhk-{X�Pvª²XkQy!v�r�²Xk!«hswz����~��v>�Pk���z��3swi]i¯k��hs|{;z�k�uw�7s|i]�hut��z�f~{Xz;�� J +!;��G^$> � ��99> �&^ lF�<�I�<����½ q �C�

;�� J � s +�;�� J � ^ l +9> � ��99> �&^ lF�<�I�<����� � �2� À"QQ·w�jl>Á� £ É �EÉ ¡<!Ï¢"! É � � �'< (1�t�E�� A� ($ A�2> ��]�vB CD����� ���N' /��L��� �/���1��BH A���"���8�2�N(*�,�!6.� �!��� l�� � ^ r ½ �

ò �� �òÏí

Page 27: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� lDM

���� � � �d�Q}hk7z�vÃz�fhk3¶d����z�{Xr®�_z�fhk7��k�y�v>r~�)s|rhk��¨}~{Xutswz�swk��-v;¬�À"QQ·w�jl>Á&±©"k�i]{Z�¹{>�~�huw�)e+fhk�v>��k�iQQ·w�]z�vK;]< *?�©+swz�f ��^ l>± ��^ l +9>?� A)^ �d± - ^ ½ � l q � q �_{>r~�)z�v a ;]<�l + $?+©+stz�f ��^ lX±�E^P>?�WAS^ �d± - ^ � �}lX±~��k����®kjy!z�sw²Xk�ut�>±~{Xr~��{X����st²>kb{Xz"z�fhk-�hkj��s|��kj���Pv>}®r~�~��±

> a J K s � s � # r <´½��Zl q � q �]? +?>?�pl,+9> ats �"# r <��*�Zl�?�>?��¨swr~y�k�� #$( �0� # ½A±hstz<¬­v>utuwvª©��<z�f®{;z

l +t< r ½ >N?*#$> aAs � ^3> 1 ^$> a J K s � s � # r ½ +?>?� À"QQ·w����Á � k�z�}~��r~k!«hz+���Pk�y�s ¬­��z�fhk-y�v>i]�~}hz�{;z�swv>r®�<swr���uwxXv���swz�f®i QQ·t��{X�"¬­v>utuwvª©�� o

���:� É £9!Ï¢�0 � � �'< �k��'@($ A�2�G���A�K+���BH ��!�\z {D|)j ; �4j��6H�^ (��1l �I�<�I����½SI@0�� �����E($�����1 1�������K(*���� 1� ���"��������t�1�K ��'@($ A�2�V���t�� ����*+,���]�D �B B � �m� �k���t� �1�!� �N<&H ��ze{�|@j ; �4jH?��H ^ (�� lF�<�I�I�I��½ �)� �.���t���0 �$���� 'K�1�����"���:��B����B��2(��� ��!Ik���$�&���t�1�p� �$�&���t�\���1CN�p� � ���A�p ,(�(��1�k(������ ��)���t����� A�:������FK�� � � 0*�t�,�1� �������A��CN���:��B($��� �1�� 1���"���8���*�2�.���t�0H�$������ �)� �p��� � �*�2�1��+���B:� �$ BH ���� �NCE���t�(���� �*�¼½�� l q . �/� �t���,�1�V�v���$� �6� �#�2���/���A�/�1�$��(A��� �����&��p���D� �\� ��� �!��+���B ���:�,I��k�:��B BHF,I� ��'@($ A�2�B>N��FG t��� �tC�� /��L�F� � �¿qvXz�k�z�f~{;z�©µk-y�v>i]�~}hz�k�z�fhk-y�v>r�²Xk�«�f¨}hutu � � v;¬Fz�fhk-��{Xi¯k-��swrhx>utk���k�z�©�f~k�r�©µk-��vXuw²Xk�e�{X��§ .

¬­v��+{;uwu .>·Ee+f�}®�<©µk�{X����st²>kb{Xz+z�fhkb¬­vXuwuwvª©+swrhx3��k���}huwz1o� £ É �EÉ ¡<!Ï¢"! É � � ��� (*�,�!6 . �!���)��B B�.. ����f��5�1��B +,���.���=���t�v ��,��� � � ���p< � �#? � x � <���½vze{�|A½S?0*�t�1����b� � �D�"� �$���Z�!F$� /�� > �$ � /�� < � ���:�#0*�t�1�����I�\< � �#? ���1�$��� �!�i���t�8 �����&�� ���')(* A��� �NC����A� +���BH ��!�ze{�|vj ; � j �!���)H ^ ( �1l �I�I�<����½ ���$� ���t�i ����*+,���d�N �B BV� �E���A�K�1�1� �D<�H��z {D|)j ; � jH?��6H ^ ( �1lF�<�I�<� ��½ ��� �½��}l\(A��� �����/�������t�P($B ���$� �� k�z�}~��rhk�«¨z���swi]�huwst¬­��z�fhk3��vXu|}hz�swv>r*v;¬<e{>��§".R¬­v��El � � ^ r ½ {Xr~��¬­v>��{��hsw��y # ±�©+swz�f)z�fhky�k�r�z�kj� 3~±~}~r®�hk��<z�fhk-{X�~�~stz�stv�r~{;u�{>����}~i]�hz�swv>r�z�f®{;z

A�<e;]<">=?�� # ?S^$½ �}l q . �WAC� >?�e< # ? � <�l�� �G? y � À"QQ·w���¨Á�?r�z�fhsw�+y�{X��kX±hz�fhk-y!v���z<v;¬Fz�f~k-��v>uw}hz�stv�r7s|� x �p<»½S?E©+stz�f�{3��i]{;uwuCvª²Xkj��f~k�{X�7y!v>r®��z�{Xr�z�·� £ É �EÉ ¡<!Ï¢"! É � � �$# + �!����t�/���1B �����"����� � /��L��> � �A��B ���!���/�P���t���K� �*�2�2CN�!�'.!���� � �i���A����(-# .&^ ½��,I�!���pl � � ^ r ½SI ���$�'�!���/����� �! # �t��+ � �tC����t�& ��!�*�2�1� �G���$�G��� A�c6��:��0�� ���D��� t� � ( �A�!� (����!6 .�!���\l�� � ^ r ½} ���3�� �!��BH+���i���V���A�& ������ x �p<»½S?)� � � /��L��> � �t��B �,� �

���� � � � � k�z0��{>r~� ���~k�rhv>z�kQz�fhkQz�©"vRs|r�z�k�xXk����<�hk!¶drhk���swr���uwxXv���swz�f®i QQ·t�Q{Xr~��z�f¨}~�+��{;z�sw��¬­�¨swr~xÀ�QQ·t� 3�Á<{>r~�_À"QQ·w����Á&·QÀ"QQ·t���¨Á"s|i]�huwstkj��z�f~{;zK> 1s K +9> 1 � <�l0� �G?�y\^ � ½]yª·)Tbr�z�fhk�v>z�fhkj��f~{>r~�C±dz�fhk¶d����zQswrhkj�¨}~{;uwstz��*v;¬qÀ�QQ·t� 3�Á�swi]�huwswk���z�f~{;z)> 1 � > ats �&±���v�z�f~{Xz)> 1s K +?> ats �4� <�l � �G?2yK^ � ½]y;·3��z¬­v>utuwvª©��<z�f®{;z+k�swz�f~k��0> 1s K # > a J K s � s � ±®{>r~��z�fhkjr�½��}l q � q �"# . q l �K�*� �7^ ½ �}l q .>±~v���±v>z�fhkj��©+s|��kX±F> a J K s � s � +?> ats � �$> 1s K +?> ats � �h<�l*��G?�y@^ � ½]yª·Ae+fhk�u|{;z�z�kj�Es|rhk��¨}~{Xutswz�swk��As|i]�huw�¯z�f~{;z> a J K s � s � � � ½]y > aAs �&±h©�fhs|y&f�y�v>r�z���{X�~swy�z��qÀ"QQ·t�j��Á&±~��v¯z�f~{Xz0� � � ^ ½ �Zl q .>·Ee+fhkj��k�¬­v>��kX±dÀ"QQ·w� 3�Ás|i]�huwstkj��z�f~{;zW�6� �w^õ½�� l q .X·���s|r~y�k+�6� ��f~{X�"�®k�k�r��~k!¶Prhkj�C±hswz"��k�i]{;s|r~��z�vRy&f~v�v���k � #blb��}®y&fz�f~{;zQz�fhk3y!v>r�²>k!«hstz��Ã�~��v>�Pk���z��Ãv;¬<��uwxXv���swz�f~i QQ·w�3fhvXu|�~��±�v>��±Ck��¨}hsw²ª{;uwk�r�z�uw�X±���}~y&f¹z�f~{Xzbz�fhk]²ª{;u|}hk��

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 28: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

lX� ���������P���

<�l,+ ��?�ze{�|@j���� � ���� � � � � j]^ ze{�|*<j���� � ���� � � � � jK&B ?�{>r~�C±z�fhkj��k�¬­v>��kX±{Xuw��v�j���� � ���� � � � � j

K�B ��kj{Xy&f¹z�fhk�sw��i]{ª«hs|i�}~i]�©�f~k���k��w^ �¼±C�~��vª²¨s|�hk���z�f~{;z �7s|�bz�fhkRswr�z�k�xXkj���~{>��{>i¯k�z�kj����{Xrhx>swr~x]¬´��v�iÌ�Rz�v�½A·be+fhkRswr�z�k�xXkj���y�{Xr��®k-y�v>i]�~}hz�k���{;z<z�fhk-y!v���z x �p<»½S?�±®{>r~��©µk�{>����st²>kb{Xz<����v��®v���swz�swv>rwQQ· �P· ¸)kRrhvª©0v��~��kj��²>kQz�f~{Xz�±P¬­v>� �$< �G?"v;¬+À"QQ· �¨Á��IÀ"QQ· ��Á± �G^ �*< �G?�stz�k���{;z�stv�rÃ��z�k��~��À»�-· ��Á���} �3y�k-z�v

��k��®}~y!kQz�f~kQ��vXu|}hz�stv�r7vX¬�e�{X��§ .>±¨¬­v>�+{Xr��3¶®«¨kj��l � � #hl�{Xr~�7¬­v>�+{>r>���~sw��y # ��{;z�sw��¬­�¨swr~x�À�Qb·w���hÁ±z�vRz�fhk�y�{>��kb©�fhk���k.l � � ^ r ½A±h{Xr~�C±~������fhst¬­z�s|rhx]z�fhkQ²ª{X��sw{>�huwkV% ±¨©"kbi]{Z�3kjr~��}®��kbz�f~{Xz<z�fhk��hs|��y# f~{>��y!kjr>z�k�� 3~·H É £ É � �´¤~£ Æ�� �=< + �!�)���A�K��� B �����"����� � /��L��> �d�t��B �4�!���G� ���t���i� ��� ��CN�1� . ��( #&.f^ ½SI �!���G�\� �t��(��,��� ��� +,� �GI���$�'�!���&�i��� �1 # �t��+ � �tCG���t�. ��!�*�2�1� �G���$�i���8 A� 6,�$��0���������� t� �-( �A�!� (����!64. ������/�1��BH+���� �������A�E ����� ��� A�$�����d�!F x � <»½ � �$< �G?V½vze{�|�½S?�IV0*�A�!�� �*< ��?p� �.�D�"� �$���f�!F�� /�� > � . ���$��1����� � �V�!� � /��'; �����$��� /�� < � 0 �e+fhk-{Xutx>v>��stz�f~iO��}~�~�Pv>��z�s|rhx Ë v>��vXuwuw{>���EQQ· lRs|����k!¬­k�����k���z�v�{X� ���&� É £9!Ï¢0� � �$� ·

� �������6��� ���� �� �K 6����* +� ���#$��&%�����' !����(* +��-,$ �� � � �,¼Dp7� £ É �EÉ ¡<!Ï¢"! É � H>��� + �1� A�� >?�e< # ?V^ � # l��!���E� ��� �1 # ^ # <�%.� >N? �7( �A�!�#���t�.� �:����� A�< ;]<�>]?�� # ?� ��;]<�>]?p� � # �U�����k�:���� �f".�"� ��� ���"��� A �'; �w ���� ��& ���')(* A� ���G���V���t�& ����� x �p< �®½vze{�|�½S?�Ik0*�t�1���

�w^ l�� � ze{�| � ze{�| �ze{�|�� ��M� À Ë ·w�ZÁ���� � ��À»y�v>i]�~{>��kÃ��kji]{X��§ Ë ·w�ZÁ&· e+fhk¹©µk�utub§¨rhvª©�r 0�� �$��� �NC �* A' ��1����B CN����� ���D'&�*À»��k�k J �PLV±

J ��k1LV±¨�~�C·ElX�X���~lª�P�ZÁ¼y!v>i]�~}~z�k�z�fhk�s|r~�hk!« A�< ;=<">]?�� # ?�v;¬�;]<�>]?�swr3{-�~sw��y # {;z�z�fhk�y�v>��z x �p<»½pz {D|E½S?�±�®��vª²¨s|�hk��bz�f®{;z¼{Xutu>z�fhkE°�k���v>�CvX¬�;]<">=?PuwstkE¬´{X�Ckjrhv>}hx�fb¬´��v�i z�fhk��Pv>}~r®�~{X����vX¬h��}~y&f�{+�hs|��y�W;���®kjy!st¶Py�{Xutuw�X±swz���} ��y!k��<st¬ A�� >?�e< # ? � � À�J �PL´Á·A����v>�Pv>��stz�stv�r Ë ·w��rhvª©$¬­v>utuwvª©��+�~}hkQz�v3��k�i]{X��§3�-·w�X·� �7Å � ¤~£� H���� ��� +,�1������� �1 # ^ # <�( � (*?5�� � ��G���t���2AC� >?�e< # ?S^ ��� <�l � ��?2y�I�0 �\'K��FG ���'@($ A�2�. ^ ½�� l q A�< ;=<">]?�� # ?N�!F��1��BH+�� �NC (*�,�!6T>b��-��(�(��!�:��� � / �!��� >Z^ <�l4� �*?�( ���:���!���8���*F� ^ � �T( �A�/ ��,���V� �v���A�p�1��BH A���"��� � � x � <»½�<�l � ��?�ze{�|�½S?�I�0*�t�1��� ��� �p�����k�:������F � /�� > �$ �'/�� < �,Ik�1����t���*��^ x < � � z {D|kz {D|E½S?�I�. ���')(A����� � /�� > �w0�� ��� �� �L� � 0 �7(1�N� �&� ')($BH�"�!�E���#��BH�2�1���$����� +��)(*�� � �.� ��5����(��,��� ���"��� � �L��I](*���+��"�����w���A������A�& ��,�������� A�$��� ��� ���v��� ��� �!'K�1���V ��t���NCN��� � �*�2� x � <���½pz {D|A½S? �

� � �7���!%3, !,O � � ���--�F Â��� � 7 6 ���72 � 7 6 �G7¸)k<©+stuwu®rhk�«hzF{>r~{;uw�¨°�k<��uwxXv���swz�f~i �®·t�+{>r~�-©+swutuP�~��vª²>k�swz��Ay�v>����kjy!z�r~k�����·�¸õswz�f]rhvQuwv>����v;¬Px>k�rhkj��{Xutswz��X±©"k"©+stuwuh{X����}~i¯k"z�f~{XzS> f ^ (q{>r~�-z�f~{;zF©"k"{>��kµxXsw²Xk�rR{Xr � O 9Ósw��vXu|{;z�k��-�~sw��y # ^ # <�( ��'&?Cy!v>r�z�{;s|rhswr~xk�«~{Xy!z�ut� X °�kj��v���vX¬;]<�>]?�� M K �I�I�<��� M � �il ^ X:^ ½7� ' �Pk�s|rhx¾{Xr }~�~�Pk��]�Pv>}~r~� v>r3> a J K s � <�(�?�·J �?r~�hk�k��C±h©"kQi¯{Z����k�kjr¨}~i¯k���{;z�kqz�fhkQ°�k���v>�"v;¬*;=<">=?�{Xr~��i¯{Z����fhst¬­z"¬´��v�i�{Xr����hs|��yqv>r7z�fhk�y�v>i]�huwk!«�~uw{>rhkQz�v3z�f~k-�hsw��y # �>����fhst¬­z�s|rhx3z�fhk�²ª{X��sw{>�hutkv>¼· Lqe+f¨}~�<©"k�f~{Z²XkQv>}®�µs|rhswz�s|{;u¼��k�u|{;z�stv�r~� o

� ^ r ' �pj M J jQ^ 'M� :.^ l �I�I�<���X � À��R·w�ZÁ

ò �� �òÏí

Page 29: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� lNO

j M J j � � O ' � :.^}X4�}lF�I�<�I����½7� À��R·ål>Á¸)k-rhvª© �hk���stx�r~{;z�kqz�f~{;z

� <">]? ^ ��J d�K

l> q M J �B5�<">]?�^

a�J d � J K

l> q3M J À��R· ��Á

{>r~���hk��~}®y!k�z�f~k�k��¨}~{;z�stv�r; � <">]?+�;=<">]?k^ � <�>]?�� 5K<�>]?�� À��R· �¨Á

�¨swr~y�k�©µk�i]{Z� y&fhv¨v>��k7z�fhkòª{;u|}hk8�R{X���hswz���{X��stuw�¾y!uwv>��k�z�v �7±�©"k�©+stuwu���s|i]�huws ¬­� v>}~�]{Xr®{;uw�¨��s|�R���{>����}~i¯s|rhxRz�f~{;zK��^ � ^ r '¯·¿qvª© ��k�y�{;uwuAz�f~{Xz # N c a �hk�r~vXz�kj��z�f~k�iRs|rhs|i�}~iM�hs|��y�z�f~{Xz�sw��kj�¨}hst²ª{Xutkjr>z�z�vÃz�f~k��hsw��y # {Xr®�y�v>r�z�{Xswr®�µz�fhk�°�kj��v�� M K � M y �<�I�<�I� M � v;¬:;]<">=?�±d��v]z�f®{;z

# N c a ^ # <&% N c a ��' N c a ?��K' N c a ^ <&>?� >?� < # ?�?@'M�B% N c a � # � À��R·HM>Á� k�z+}~���~k�rhv>z�k

�t<">=?�^Z> q X + � <�>]?�� �\^ �t<��?�� À��R· ��Á�G<�>]?S^ <"> q �t<�>]?�?/5�<�>]?+�X � � ^ �w<��?�� À��R· OXÁ

¸)k�©+swutu¼r~k!«hz+�~��vª²>kqz�©"v3{X}¨«hswuts|{X������k���}hutz���·��Å � � ¤ � ��� (1�t�K ���')($B ���&(���� ���P~ � � �w� � � " � < �wBH�"�!� � �8���t�E B �,�1��� ��� �1 # N c a ($����+��"�����i���t��� >B �"���/�� A�����"��� # N c a ���$�K���t��� � <�>]? �^ ( �

���� � � �"��k�z 3 < M ? ^ l +t<�> q7M ?F{Xr~�7utk�z # 3 ^ 3 < # N c a ?F�~k�rhv>z�k�z�fhkbswi]{;x>k�vX¬¼z�fhkQ�hs|��y # N c a ±z�f~{;z¯s|��± # 3 ^ � 3 < M ?�� M � # N c a ��· ��swr®y!k 3 < M ?qs|�¯z�fhk���k�y!s|�~��vhy�{;u�v;¬q{*uts|rhk�{>�-¬´}®r~y!z�stv�r s|rM {Xr~�_��swr~y�kK> �� # N c a ±©"k�{X�®�hut�){ç¨rhvª©�r_��kj��}huwzQ¬´��v>i z�fhk7{>r~{;uw�¨z�s|y�¬´}®r~y!z�stv�r_z�fhk�v>��� À�J ��f�L­Á{>r~�_�hk��®}~y!k3z�f~{;z # 3 s|�-{Ã�hs|��yX· Tbr)z�f~k�vXz�fhk���f~{>r~�C± 3 < M J ? � # 3 ±¬­v>� :�^ lF� r �<�I�I�I�XI±���s|r~y!kM J � # N c a ±¼¬­v�� :8^`lF� r �<�I�I�I�XI·�e+fhk���k!¬­v���k>±¼z�fhk7{Z²Xkj��{XxXk¯²ª{;u|}hk � <">=? +�X�^ <�l +�X$? _ �J dLK 3 < M J ?uwswk���s|r # 3 ·�e+fhk7swr�²Xkj����k3i]{X�C±� s

K3 < �\?p^ > q l,+ �-±z���{>r~��¬­v>��i¯� # 3 s|r�z�vÃz�f~k7�hs|��y # N c a ±F{Xr®�z�fhk���k!¬­v���k>± �t<">]?k^ s K3 < � <�>]?+�X$? � # N c a ·�

��Å � � ¤ � �=< H q �K^ <�� q �N? � +A<�l � ��?�IP0*�t�1��� H � � �N�.���$��� �1����� � ��F ���t����~1 ������"����� � < �L� ��I� " � < �G���:��� " � � ����� � � �G�Q}hk�z�v�ÀV�~·w�ZÁ"{>r~�*À��R· �¨Á&±~©"kQf®{Z²Xk

Hi^PH <��? ^ � q X +t< � <��? � 5K<��?�?�� À��R· ��Á�bk��®}~y!k�¬´��v�i À��R· ��ÁEz�f~{Xz � <��? +�X.^ l,+A<�� q �N?�±>��}~�~��z�swz�}hz�kqz�fhsw�µk!«~�~��k�����stv�rRs|r�z�v�À��R· ��Á�{Xr®�]v>�hz�{;s|rz�f~{;z

H ^P� q ll +t<�� q �N?��35�<��?+�X ^ � q � q �

l��Z<�� q �N?@5�<��?+�X ^

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 30: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

lX� ���������P���

� q � q �l�� � ^ � � � �

l�� � �e+f~k���k!¬­v>��kX±

H q �\^ � � � �l � � q �\^

� � q � �l�� � ^ <�� q �N? �

l�� � � �qk���k�{ª¬­z�k��+�hkjrhvXz�k�z�f~{Xz

' 3 ^ V XBYJ dLK �A@A@A@A� �j > q3M J j�� # 3 ^ # <">��' 3 ?�� ��99>/>w^ �C�5>w^PH � À��R· ��Á

¿qk!«hz+v>�~z�{;s|r�z�fhkQ¬­v>utuwvª©+swr~xRkj��z�swi]{;z�k�o��Å � � ¤ � �$� + �1�� �� # N c a � � <��? �^ ( �T( �A�!�

' � +?' ^ r ' N c a +?'$�<�' � +?'&?�y��

X q <�' � + '&?�� � À��¯·w� 3�Á0*�A�!��

� ^ 'Kj 5E<��?�j � À��¯·w�X�ZÁ���� � � �PQ<���hk!¶Pr~stz�stv�r�v;¬ # 3 swr À��¯· �¨Á± M J � # 3 � :�^ lF�<�I�I�I�XI±d{Xr~�C±dz�f~k���k!¬­v>��kX± # N c a R # 3 ±¬­v��v>�^ �C�p> ^ H�· Ë v�r~��kj�¨}hk�r�z�uw�X±' 3 q r ' N c a ^ j > q �4j�^ ' 3 st¬�� � # N c a ·GTbr*z�fhk3vXz�fhk��f®{Xr~�C± � � # N c a ±�~}hk3z�v � k�i]i]{-�¯·w��{Xr~�)��s|r~y�k �i^��t<��?��N� �� # N c a � � <��? �^ (®·¯e+f~k���k!¬­v>��kX±

' 3 q�r ' N c a ^ j > q ��jQ^ ' 3 ±~¬­v>�>i^P�"{Xr®�G>w^ H· Ë v�i��hs|rhkQz�fhkb¬­v���i¯k��"vX¬z�f~k���kbs|rhkj��}®{;uwstz�stkj��±¬­v��@>8^ H±I©+swz�f*z�fhk¯k��¨}~{Xz�swv>rÃvX¬ � k�i]i]{>�¯·ålh±Iz�fhkjr*{>�~�huw��z�fhk¯uw{Xz�z�kj��vX¬�z�f~k�i�±d¬­v>�)>8^ �±C{Xr®�v��hz�{Xswr_z�f~{;z ' � qnr ' N c a ^ j H q ��jS^ j � q ��jj � +A<�l�� �G?�jG^ ' � j � +A<�l�� �G?�j ·¹ev�k���z�s|i]{;z�kj � +t<�l0� ��?�j¨¬´��v>i�{X�Pvª²Xk>±®��k�zP> ^S�±I{X�®�hut��z�fhkRk��¨}~{Xz�swv>r~��À��R· OXÁ&±d��k�y�{;uwu�z�f®{;z&j � q ��j_^P' �&±P{Xr®��~k��~}~y�kQz�f~{Xz

j � j�^ j � q ��j=j 5�<��?�j +�X-^ ' �!j 5K<��?�j +�X �l +�j l � � jQ^hl,+t<�l q j � jH?G^ l,+A<�l q ' �1j 5K<��?�j +�X$?��

Ë v�i��hs|rhkµz�fhkj��k<�®v�}~r~�~�v>rwj � jj{Xr~�Gl,+A<�l �ij �ij ?d{>r~�-v��hz�{Xswr-z�f~{Xz�j��K J � jQ^ � � � � � � ���s�� � � � � � � ·E�¨}~�®��z�stz�}hz�kz�fhk�u|{;z�z�k��<s|rhk��¨}~{Xutswz���s|r�z�v]z�fhk-}®�~�®kj���Pv>}~r~��v�rQ' � q�r ' N c a {X�Pvª²XkQ{Xr~��v>�~z�{;s|r�z�f~{Xz

' � q�r ' N c a ^ 'py� j 5K<��?�jX q ' �!j 5K<��?�j �

©�f~swy&f�swi]i¯k��~sw{Xz�k�uw�7s|i]�huwstkj��À��¯·t� 3�Á&·� e+fhk-r~k!«hz+utkji]i¯{¯k�«¨z�k�r~�®� � kji¯i]{ �¯· �®·

ò �� �òÏí

Page 31: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� lX�

��Å � � ¤ � � # ) ���/�P� �N���v(��,��� ��� +,���DIkB �1�� ^ l

<�l q#r + �D?�<�<2� O q�r ? X +t<»½ q X$? q �A? ^ l,+ � � À��¯·w�jl>Á

' � � �"' N c a � À��¯·w����Á(1�A�!�

' �6+?' ^ � <�' � + '&? y ^$' � +?'-� À��¯·w���¨Á���� � � ���d��v�i À��¯·w� 3�Á"{>r~�¹À��¯·t�j��Á±®v>�hz�{;s|r7z�f~{;z

<�l q�r +8�D?�' � + ' ^ <�' � +?'&?�y �X q ' � � + ' ^ <�' � + '&?�y

<2X + �S? q ' � +?' � À��¯·w��M>Á¿qk!«hz+v>�~z�{;s|r7¬´��v�iOz�fhk�kj�¨}~{;z�stv�r~�QÀ��¯· �¨Á"{Xr~�¹À��¯·w�X�ZÁµz�f~{;z

� ^$' a�J d � J K

lj � q M J j ^h<´½ q X$?�'4+*V����J ��� j � q3M J j �

e+f~kQ��k�u|{;z�stv�r~�QÀ��¯·ål>Á"{Xr®�Q��^ r ' s|i¯�~ut��z�f~{Xz/j � q3M J j � <2� O5q#r ?�'¯±¨¬­v>� :�#nXI·Ee+f~k���k!¬­v>��kX±� ^ ½ q X

� O q�r ��h}~�~��z�swz�}hz�k�z�fhs|���Pv>}~r~��s|r�z�v�À��¯·t�,M>Á"{>r~��v>�hz�{;s|r7z�f~{;z

<�l q�r +8��?@' � +?' ^ <�' � +?'&?�y</� O q#r ?2X +A<´½ q X:? q <�' � + '/? �

¸)kQf~{Z²Xk+' � ^�� 'R±h��swr®y!k �S^ r '¯±h{Xr~�7©+stuwuCy&fhv¨v>��k�� O ��}~y&f�z�f~{;zp<2� Okq8r ?2X +A<´½ q X$? # �~·S��kjr~y!k©"kQv>�hz�{;s|r7z�f~{;z<�l q�r +8�D?�' � +?' ^ <�' � +?'&?�y

</� O q#r ?2X +A<´½ q X:? q � ��h}~�~��z�swz�}hz�k�z�fhk3k�«~�~��kj����swv>rì­v�� � ¬´��v�i À��¯·w�jl>Áq{>r~�)v>�hz�{;s|r*z�f~{;zN' � +?' ^ � <�' � + '&?�y;±�{Xr~��±¼z�f~k����k!¬­v���k>± ' � +?' ^ ' � +?'¯±F��s|r~y!k � ^ l,+ �Ã{>r~� ' � ^ �F'¯·�e+fhs|��y�v>i]�huwk�z�k��-z�fhk��®��v¨v;¬<v;¬-À��R·w���hÁ· Ë v�����k�y�z�rhkj���"v;¬A��uwxXv���swz�f®i��~·w�b¬­vXuwutvª©���±~{Xr~��±~iRv���k�vª²Xkj��± x <�z {D|kz {D|*<�'4+ %D?�?Aswz�����k�y�}~����sw²XkQ��z�k��~�

��} ��y!k>±C��s|r~y!k>±®¬­v���� O # r �$%X½�<!� q l�? +A<!� q r ?<{Xr~�ì­v>��� # r ±Pz�fhkRs|rhkj��}®{;uwstz���v;¬�À��R·w�jl�Á+fhv>uw�®��±{>r~��©µk�i]{Z�7��k�y�}®����st²>k�uw��{X�~�~ut� � k�i]i]{ �R· �®·�Fs|r~{;uwut�>±+©µké+swuwu�{Xr~{Xut�¨°�kÃz�fhk*y�v>r�²Xkj��x>k�r~y�k�vX¬bz�fhk*y�v>i]�~}hz�k�� ²ª{;u|}hk�� H$z�v¾z�fhk*�hs|��y # N c a�®��vª²¨s|�hk��bz�f®{;z�©µk���fhst¬­z�¬´��v>i0��uwxXv���swz�f®i �®·t�Ez�vq��utx>v>��stz�f~i �®·t�j{~±Z���Q��k��~uw{>y!s|rhx+z�fhkµk��¨}~{Xz�swv>r~��À»�~·w�ZÁ

���)À»�®· �¨Á·+e+fhk-z���{>r~��swz�swv>r�¬´��v>iÌÀ»�®·t�ªÁ"z�v�ÀV�~· ��Á"{>iRv�}~r�z���z�v7��}~�hz���{>y!z�s|rhx�5 O <�>]?V^ _ aJ d � J KK

3��� s 3¬´��v>i �®v>z�f���s|�hkj�<v;¬Fz�fhk�kj��}®{;z�swv>r¹À��¯· �¨Á±®©�fhswy&f�xXsw²Xkj�+}~�<z�f®{;z�t<">]?�^�; � <�>]? +!;]<�>]? q 5 O <">=?S^ � <">=?��35�<">=? q 5 O <�>]?��

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 32: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

��3 ���������P���

e+f~k�{Xr~{Xut�h��sw�Ev;¬���uwxXv���swz�f~i �~·w��s|�Ek�«¨z�k�r~�~k��C±�©+stz�f3z�f~kq��k��hu|{Xy�k�i¯k�r�zAv;¬5�<">=?S^ _ aJ d � J KK

3 s U � ���

5E<�>]? q 5 O <�>]?S^ a�J d � J K

< l> q3M J q

l> q3M OJ

? ^ a�J d � J K

M J q MPOJ<�> q3M J ?<"> q M OJ ?

e+f~k���kj��}~utz�swrhx3s|r~y���kj{X��kbvX¬Az�fhk-kj��z�swi]{Xz�k��Ãy�v>r�²Xkj��x>k�r~y�k���{Xz�k�s|���¨}~{Xr�z�stz�{;z�sw²Xk�ut�7k!«~�~��k�����kj������z�fhk¬­v>utuwvª©+s|rhx¯��k�u|{;z�stv�r~�"¬­v>�<z�fhk-i]{;s|r��®{X��{Xi¯k�z�k�� � v;¬ � k�i]i]{ �R· ��o

� ^ l<�l q�r + �D?<�<2� O q#r ? y X +t<´½ q X$? q �A? ^ l + � �

�?r¹vXz�fhk��b©"v>���~��±Cz�fhk3��z�{;z�k�i¯k�r�zbv;¬"z�fhs|���~{X��s|�quwk�i]i]{���f~v>}hu|�¹��k�i]{Xswr¹}~r~y&f~{>rhxXkj�C±Ck!«~y!kj�hzQz�f~{Xz�±s|r�z�f~k�k!«~�~��k�����swv>r~�"¬­v�� � ±Pz�fhk��¨}~{>r�z�swz�� � O�q�r ��fhv>}~uw���Pk���kj�hu|{Xy!kj������<2� O5q#r ?�y;·<e+fhs|��kjr~{X�huwk��}®��z�v7�~��k���k���²Xk�z�f~k¯�¨}~{>�~��{Xz�s|y-y!v�r�²Xk���xXkjr~y!kQvX¬Ez�fhk¯{;uwxXv>��swz�f~i k�²>k�r�©�fhkj��kRz�fhk¯}~�~�Pk��b�®v�}~r~�Ãv�rz�fhk¯swrhswz�s|{;uAs|��vXu|{;z�swv>r*��{Xz�swv � O ¬­v>�qz�fhk3�hs|��y # �hk�y���kj{X��k��+¬´��v>i � O # r � %;½�< � q l�? +A<!� q r ?�±d¬­v>���utx>v>��stz�f~i��®·t�>±hz�v

� O # r � � %;½�<!� q l�? +A<!� q�r ?�� À��¯·w����Á¬­v�����utx>v>��stz�f~i �®·t�j{~·+e+fhs|��kjr~{X�huwk��q}~�qz�v7��{Z²Xk-{>�®v�}hz�� ( .OvX¬Az�fhk¯�~��kjy!kj�hswr~x�stz�k���{;z�stv�r~�+v;¬���utx>v����swz�f~i M~·t�>±>¬­v��"uw{>��x>k�½A±~{;z"z�f~kbk�«~�®kjr~��kbv;¬��®kj�?¬­v���i¯s|rhx ��<´½ q X:?A{>�~�hswz�swv>r~{XuIv>�Pk���{;z�swv>r®��±>¬­v>�"k�{>y&fk�²ª{;u|}~{;z�stv�r7vX¬Hò¨sw{�ÀV�~· ��Á±P��{Xz�fhkj�µz�f~{Xr�²¨s|{�ÀV�~·w�ZÁ&·

� HI,¼����Q�� !R� � �Q�F ! �� ����� 6��� ��� ��-�¼% � �,¼Dp7H �­¤ ! ���C��� (1�t�&��� �1 �# �����k�:��K��� ?*� �1CN�&@�� ���vB CD����� ���N' < �L�K� � � $ � �1��B ���2��� �!��� ��# r � ���&(*����+ �'��D���/���t��� � �p �A�,�1�!�i�� �Hn !�"�1���2BHF&B ����CN�p� � ���A�\��(D($BH�" ������"�����\� � �vB CN����� ���D'-?��L�.� ���vB CD����� ���N'-< �L� ����� � � �õ¿�v>z�k�z�f®{;z�±µswr z�f~k�{X�~�huws|y�{;z�stv�r~�¯v;¬q��utx>v>��stz�f~i ��·t�>±�©"k�f®{Z²Xk�> O <&%�? q�� >t<&%�?E^

> a <&%�?�±I¬­v>�b{Xr��Ãy!v�i¯�~utk�« % ±I{>�� q�� 1õ·���s|r~y!k > O <&%�?<utswk��by!uwv>��k�z�vQ>t<�%�?�^ > a <&%�?�±I¬­v>�b{Xr��y�v>i]�huwk!« % {>r~�¯¬­v>��{-��} �3y�stkjr�z�uw�Ru|{X��xXk ¾±�©µk+©+swuwuP��swi]�huws ¬­�]v�}~�Ak���z�s|i]{;z�k��E{>r~�]v>}~��rhvXz�{;z�swv>r]���{>����}~i¯s|rhx3z�f~{XzB> O <&%�?V^S>t<�%�?�±d¬­v>�q{;uwu2% ±dz�f®��v�}hx>fhv�}hz�z�fhkR�~��v¨v;¬?·+�?r��®{X��z�s|y�}hu|{X��±®©"k-©+swutu�©���swz�k>t<�H=?Es|r~��z�k�{>��vX¬> O <&H ?�{Xr~��>N< � � ?Aswr~��z�kj{X��v;¬ > a < � � ?E{Xr®��> O < � � ?�± �w^ ( �1lF� r � �~·¼¸)k�©+swutu�rhvª© }~��kz�fhk���k�{X����}®i¯�~z�swv>r�{Xr~���hk�¶Prhswz�swv>r~�<s|r�z�fhkQ¬­v>utuwvª©+swr~x]��k�u|{;z�stv�r~��±¨�®{X��swyq¬­v>�<v�}~�+�~��v¨v;¬Uo

>t< � � ?�^ j � �\q HSj �1>t<&H ?S^ � >t<&H ?�� �G^ (�� lF� r � � � À���·w�ZÁ>t< � � ? � >t< � � J4y ��� � ? ^ �> � #bl �?>t<&H ?�����^ (�� l À���·ål>Á

ÀV��k�k��hk���y���sw�~z�swv>r�v;¬���z�{XxXk��¯v;¬���utx>v>��stz�f~i��®·t�ªÁ· Ë v>r®��kj��}~k�r�z�uw�X±¨©"k-f~{Z²Xk>N< � � ? ��%F>N<�H=?����G^ (��1l � r � ��� À���· ��Á

�qk���k�{;¬­z�k���±�¬­v�� � ^ (�� lF� r � �®±�utk�z�� � �hk�rhv>z�k3z�fhk�s|r>z�k�����kjy!z�stv�r)�PvXs|r�z-v;¬<z�f~k�z�©µvÃuws|rhk7��k�x>i¯kjr>z���±� � � � � �� {Xr~� � � � ��� � J K� ��� � � À»��k�k��Fstx�}~��kb�hÁ·F¸)k�©+stuwu¼{;u|��v]�~k���stx�r~{;z�kqz�f~{;z

> � ^ j � � J K ��� � q � � j��

ò �� �òÏí

Page 33: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� �®�

� ^ j � �\q � � j �� � ^ j � � q � � j�^ j � �pq � � j �

¬­v��(�#^ ( �1l � r � ��ÀV��k�k¯�Fswx>}~��k¯�¨Áq{Xr~�¹©+swutuEuwk�z�� � �hk�rhv>z�k]z�f~k]{>rhxXuwk3�®k�z�©µk�k�r¹z�fhk]uwswr~k����~{>����swr~xz�f~��v>}hx�f�z�fhk��~{Xsw���Iv;¬~�PvXs|r>z���< � � ��� � J K ��� � ?®{>r~�E< � � J K ��� � � � � ?�±ª��v+z�f~{Xz4> � ^P>t< � � J K ��� � ?��1{���� � ±� � ^ >t< � � J K ��� � ?�������� � ·VTb}~�+rhk!«hz<v>�h�?k�y!z�st²>kQsw�+z�v3�~��vª²>kqz�f~{;z- � � r ^ V������ > � � � � �� � � � � � #,� � � �AlDl � � � ���?>t<&H ?�� À���· �¨Á

¸)kQ¶P����z<v��~��kj��²>kqz�f~{;z<"> � � � � ? y ^n> y � � � y� � r > � � � ^ > y < � � J K ��� � ?�<�l�� r ������� � �1{���� � ?S^

> y < � � J K ��� � ?�<l��������4< r � � ?�?G^ � % > y <&H ?�<�l�������4< r � � ?�?J y!v�i]�~{X��k<À���· ��Á2LV·�¸¹kµrhvª©¹rhv>z�kEz�f~{;z�����4< r � � ?®z�{>§;k���v>rbstz��¼i¯s|rhswiR}~i ²Z{Xuw}~kA©�fhk���k7>t< � � ?S^ %F>t<&H ?�±>t< � � J K ��� � ? ^ � >t<&H ?�·be+fhk���k!¬­v���k>± - � � r s|�q�Pv>}®r~�hk��ì´��v�i �Pk�uwvª©����w> � � � � �~��vª²¨s|�hk���z�f~{;z> � � � {Xr~� � � ��{;z�s|��¬­� > y < � � ? ^}> y � � � y� ^ � % > y <&H ?��

> y < � � J K ��� � ? ^ y� � � y� ^ ��l<> y <&H ?���h}~�hz���{Xy�z�s|rhx]z�fhkj��kQkj��}®{;z�swv>r®�"¬´��v�iOk�{>y&f7v>z�fhkj�<xXsw²Xk��<}~��z�f~{Xz

y� q > y � ^ � �?> y <�H=?����k�y�{XutuAÀV�~·ål>Áµ{Xr®��v��hz�{Xswr�z�f®{;z

� ��> � ^ � � r >t<&H ?�� �pq > � ^ � � > y <&H ? +A< � ��> � ? ^ � � >N<�H=?+t<2� � r ?��� �d��v�iBz�fhkj��k�z�©"v]k��¨}~{Xz�swv>r~�"©"k-f~{Z²Xk

> � ^ < � � rvq � � � r + � r ?�>t<�H=? ^ � �F>N<�H=? � r + � r �Ë v�r~��k��¨}hk�r�z�ut�>±

� y� ^ � % > y <&H ? q > y � ^ <2� % q <����A? y + r � ?�> y <&H ?S^ lDl � � � > y <�H=?+ r � �< � � ��> � ? + � r ^ <�� � � � l�l � � �N?�>t<&H ? + � r #%��� � �Al�l � �/� � � >t<&H ?��

©�f~swy&f�s|i]�hutswk��b{]uwvª©µkj���®v�}~r~�ÃvX¬+À���· �¨Á+v>r - � ¬­v���{;uwu*�¼·)Tbr�z�f~k-vXz�fhk��qf~{Xr~��±®¬­v���z�f~k���{>�hs|}~�K(vX¬z�fhk-�hs|��y �# �hk!¶drhk���{;zq�¨z�{;x>k��RvX¬���utx>v>��stz�f~i �®·t�>±�©"k�f~{Z²Xk(>^b<2� >t<&H ? q V����� - � ? � r �

{>r~��z�fhkj��k�¬­v>��kX±($# r � � � � �?>t<�H=?�� À���·HM>Á

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 34: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

��l ���������P���

¿qvª©�utk�z � �hkjrhvXz�kRz�fhk]iRs|rhs|i�}~i �hsw��z�{>r~y!k�¬´��v�i z�fhk]�hs|��y �# z�v�z�fhk]�®v>swr�z�� � f � � K � � y {Xr®�� � ·Ee+fhkjr � � r V����� � � � À���· ��ÁTbr¹z�f~k3vXz�f~k��Qf~{Xr®�C±¼z�fhk��hs|��z�{Xr~y�kR¬´��v>i �# z�v�z�fhk�rhkj{X��k���zq°�k���v�vX¬ ;=<">]?�uw�¨swr~x�v�}hz���s|�hk �# s|��{;zuwk�{>��z � ÀV��k�kQ��swx>}®��kQ�¨Á&·Ee+fhk���k!¬­v���k>±

AC� >?�e< �# ? � l�� � +9( � À���· OXÁ�Fs|r~{;uwut�>±~©"kbv��~��k���²Xkbz�f~{Xz � � ��kj{Xy&fhkj�µswz��+i¯s|rhs|i�}~i ²ª{;u|}hkX±h©�fhkj��k

> � ^ � ^ < � � r ?�>t<&H ?��>t< � � ? ^ >N< � � J K ��� � ?S^ %F>t<&H ?

ÀV��k�kQ��swx>}®��kQ�¨Á&·A�?r�z�fhs|�+y�{>��k>±� y� ^ > y < � � J K� ��� � ? q > y � ^ <2� % q < � � r ? y ?�> y <�H=?�^ � > y <&H ?�� � � ^ r >t<&H ?��

Q<�7y�v>iR�hswr~swrhx]z�fhk�uw{Xz�z�k��<uwvª©µkj�"�Pv>}®r~��v>r � � ©+stz�f¹À���·HM>Á��IÀ���· OXÁ&±®©"kQv>�hz�{;s|r7z�f~{;zAC� >?� < �# ? �bl�� � >t<�H=?+9(�# r � � � �

©�f~swy&f��~��vª²Xk�� Ë u|{;s|i ��·w�X·� �7Å � ¤~£� �C��� ( �A��($��� � � ��.��B ��� ' + �L�� ���� ���&�\�D� �!�:�����.� �&���A��0n���t���V���A� ��� �1 �# � � � $ � �1��B ���2����!���v�!��'E�& �������� ���*� �"# lG��BH�����D��F'�!��� ����F( ��� r �20 � ��'&� �V���A� ���1� ��� B �/��\�!����� 'K����� �NCK�� � �� � � �

ò �� �òÏí

Page 35: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� �>�

� � !��6��� +,V7

��

�Fswx>}~��k��DoC�?��v>uw{Xz�swv>r�{Xr®�-��swxXs|�hswz��b��{;z�stv��I¬­v>����¨}~{>��kj��·2A�� >?�e<@,<�%.� >N?�?��$'4+9>?��>?� >?�e<@,<�%.��'&?�? � > +?' �e+f~kR�hv>z�����fhvª© {;uwu¼z�fhk¯°�k���v>��v;¬=;]<�>]?"ut�¨s|rhx7s|rÃz�f~k�u|{X��xXk������¨}~{>��k>·�e+fhk���{;u|��v7utswk�s|rÃz�f~kR��i¯{Xutuwk�����¨}~{X��kX·

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 36: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

�X� ���������P���

�Fswx>}~��k�lAo�e�}~��{Xrt9Ó¸)k��¨u»º ��{;uwxXv���swz�f®i�·�e+fhk��hvXz��-��fhvª© {XutuEz�fhk�°�k���v>�bv;¬�;]<�>]?quw�¨swr~x�s|r_z�f~k3uw{>��x>k���¨}~{X��kX·

ò �� �òÏí

Page 37: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

������� ������ ������������������������� � !���"���#���$�&%�')(*����+,���.-/�10��2���43 �5%!�2�1�������"��� �NM

�Fswx>}~��k���o)���)��i]{;uwuwk��]��}®���Pk�y�z����¨}~{>��kj�R{Xz��¨z�{;x>k � � r ²>k�����}®��� 3*u|{X��xXkj��v�rhk��]{Xz��¨z�{;x>k �¾vX¬e�}~��{Xrt9Ó¸)k��¨u»º �<{;uwxXv���swz�f~i�·

�ê�� !"�&þÂÿ

Page 38: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

�>� ���������P���

v

v

v

v

u

D

D

D

1

1

D0

0

3

3

2

2

β0

α0

ν0

�Fswx>}~��k��*oK>t< � � ?*�$>t< � � J4y ��� � ? # l � >N<�H=?"¬­v>�(��^&(�� l�W # � ^ # < � � ��>N< � � ?�?<¬­v>� �8^&(�� lF� r � ��W> f ^ j � K q � f j � f ^ j � f q � f j � � f ^ j � f q � f jN^ j � f q � f jû·

ò �� �òÏí

Page 39: On Approximating Complex Polynomial Zeros: Modified Quadtree

Unite de recherche INRIA Lorraine, Technopole de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES NANCY

Unite de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnite de recherche INRIA Rhone-Alpes, 46 avenue Felix Viallet, 38031 GRENOBLE Cedex 1

Unite de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnite de recherche INRIA Sophia-Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS Cedex

EditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)

ISSN 0249-6399