olimpiada o diamentowy indeks agh. fizyka
DESCRIPTION
Fizyka zadania z rozwiązaniami dla kandydatów na wyższe uczelnieTRANSCRIPT
CMYK
CMYK
CCCCCC
Janusz Wolny Łucjan Pytlik
OGÓLNOPOLSKA OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH
Fizykarozwiązania zadań z lat 2007/8 – 2013/14
Janusz Wolny Łucjan PytlikfizykA
OGÓLNOPOLSKA OLIMPIADA
O DIAMENTOW
Y INDEKS AGH
ISBN 978-83-64506-05-5
Olimpiada objęta jest patronatem Ministerstwa Edukacji Narodowej oraz Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego.
Jej organizatorem jest Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Laureaci Olimpiady
przyjmowani są na studia w AGH z pominięciem procedury rekrutacyjnej. Największą wartością, którą wynosi się
z aktywnego uczestnictwa w Olimpiadzie „O Diamentowy Indeks AGH”, jest dobre przygotowanie do studiów na
kierunkach przyrodniczo-technicznych prowadzonych w uczelniach wyższych.
Oddajemy w ręce czytelników podręcznik zawierający rozwiązania wszystkich zadań z fizyki, jakie pojawiły się
w dotychczasowych edycjach Olimpiady. Rozwiązania uzupełnione są stosownymi komentarzami pozwalającymi na
pełne zrozumienie rozważanego problemu fizycznego. Praca z tym podręcznikiem stanowi doskonałe przygotowanie
do kolejnych olimpiad oraz do rozpoczęcia studiów technicznych. Zawiera on obszerny materiał z mechaniki,
termodynamiki, elektromagnetyzmu, optyki wraz z elementami fizyki współczesnej, pozwalający na samodzielne
powtórzenie całego zakresu materiału szkoły średniej.
Ogólnopolska Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” jest to trzystopniowy konkurs realizowany
w zakresie czterech przedmiotów: matematyki, fizyki, chemii i geografii z elementami geologii.
Szczegółowy regulamin konkursu znajduje się na stronie http://www.diament.agh.edu.pl/.
Recenzent: prof. dr hab. inż. Wojciech Łużny
© Copyright by Janusz Wolny, Łucjan Pytlik
Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie
Projekt okładki:
Studio Kozak
Zdjęcie na okładce:
© iStockphoto.com/derrrek
ISBN 978-83-64506-05-5
www.wydawnictwojak.pl
Kraków 2014
3
OD AUTORÓW
Ogólnopolska Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” jest to trzystopniowy konkurs realizo-������������� �� ������������������������������� ��������������������������-��������� ��������������������������������������������������!!��������������������!� "����������#������������������$����������%���� ���&�����������$����������&�������������� ����'�(������)�����������������*�������+��� ��,.���� ������������������������ ����/�������0��� ��"���������������������1�������������*+.���������� ����� �������� �����2������������������������������������������������� �� ����� �����������*+.������������������������������ ������� ������������������������������� �������� �������3�� )��� ���� ������������ ��� ���� ������ ����� 4556!4557��� ������������������������������������(���������������� �� ��������������� ��� ������ ������ ���������������� �� �� ���� 8������� 9� �������� �������:;� � ����������� �������� "��������� ������� ����� /������� �������� �� ���� �� ���� ���: �� ��������� ����� ����������
+����1���1�"���������<"�=���������>�����*+.?���������� �������������������������������������������� ��,� ��� ��� ��� ��������� ������(��������������������� ��������������������� ���'���:������(������������������1������ ��� ����� ����#������������������#���������������0���������1����#����������� �����������65@���(���� ��������#� ������������&��������1�����: �1�����1�����������������������uczestnictwa w Olimpiadzie „O Diamentowy Indeks AGH”, jest dobre przygotowanie do ����������������� ��������� ��,� ��� ��� ����������� ������(��� ��� ����� ����������������� ������ ��� �����������������������1������������C���� ����������� �1����1 � ������������������(�����#��������� ������������������������ ��������������8��������������"������������������������������ �����������������1������������������������������������1 ��������������������������(�����
"������� �� � � ���������� ���� ����� ������1 �� ����1������ �������� �� ����C���������� ������������������������ � ������ ���� �� ��"��������������� ��4556E45FJ��K����1�����������������1�������������������������������1 ������������������������(�������#������� ������8� ������������ �����������������������������-���������������� ������������9���������#��������������� �������������������������������������������������������������������� ��������������1 ���������-
��������������� ��������������������������:����������� ��:;�����������(��(�#�;����#������������ �� ������������1 � ������������������������ ��������� �� ������ �1����� ������ �� ����������� ��� ��� ��� ���'������: ������#���������1��������-��C���(�������L;����������������� ������ ����� ������������� ����� �������������������*+.��)��'��������������� �������������'������ ����)*/��/�����45FM�������!!����������� ���������!�����,�,� �����!��������,�����,�,������� �,45FM,FF,F4,�����N�����9��/1�������� ��������!!�������������! ���!P������Q��RSS�
��������������������
� )��'������ 9��/1��� ��������� ����������� ��� �
5
SPIS TREŚCI
Zadania z lat 2007/2008 ............................................................................................ 7
etap I .............................................................................................................................. � S etap II .............................................................................................................................. 16 etap III .............................................................................................................................. 21
Zadania z lat 2008/2009 ............................................................................................ 27
etap I .............................................................................................................................. � 4S etap II .............................................................................................................................. � MJ etap III .............................................................................................................................. � MS
Zadania z lat 2009/2010 ............................................................................................ 45
etap I .............................................................................................................................. 47 etap II .............................................................................................................................. 52 etap III .............................................................................................................................. 57
Zadania z lat 2010/2011 ............................................................................................ � [M
etap I .............................................................................................................................. 65 etap II .............................................................................................................................. 70 etap III .............................................................................................................................. 75
Zadania z lat 2011/2012 ............................................................................................ � 7F
etap I .............................................................................................................................. � 7M etap II .............................................................................................................................. � 77 etap III .............................................................................................................................. � SM
Zadania z lat 2012/2013 ............................................................................................ � SS
etap I .............................................................................................................................. 101 etap II .............................................................................................................................. 106 etap III .............................................................................................................................. 111
Zadania z lat 2013/2014 ............................................................................................ 117
etap I .............................................................................................................................. �FFS etap II .............................................................................................................................. 124 etap III .............................................................................................................................. �F4S
���������� ������� ............................................................................................. �FM]
$ ������ .......................................................................................................................... �FM]Termodynamika ................................................................................................................. �FJM%������������ ............................................................................................................. 147Optyka + fale...................................................................................................................... 151
ZADANIA Z LAT
2007/2008
2007/2008 • etap I 9
2007/2008-I-1
'� �1���������� �1��������������������������#� ������� �������M5`��'������������1������������� ���������� ��������� �����(��������1;������(����������������m�R�75�����)������������������������� ������������1 ���� �����1��
)��1����1������������;��� �1���� ����������������������������������1������: �1Q�)����������� �1������������������������1 �1 1������Q�
'� ���������������������������� �1����� ���������������������a�R�5�F�g (g – przy-�������������� ���3�� )���� �1��������������������: �� ���Q�q������������� ��������������1��;���������������(���������������Q
ROZWIĄZANIE
Dane: m�R�75�����x�R�M5`��a�R�5�F�gSzukane: F, N, Fa, Na
A) Ruch jednostajnyZapisujemy równania dynamiki dla obu wózków. 8�����(������������������������1������: �1�����������������������1 ������(��������������1�5�
(1)
&���������������������������������� ��F1, F2, dla m1�R�m2�R�m:
(2)
=����1 ��������������������C�2F3������������������������1�����
� 2M3
B) Ruch przyspieszony����������������������1 �������(��������������������"#��������#��1�����������;�������samym przyspieszeniem a������ ��������1 �������1��K����������������������������1������;�
(4)
8�������������������������2J3�����������
(5)
&���������������(���������������1 ����(��:;�243�����������1�����
(6)
q3�=���� wózków
F�R�� · mg ����xN�� �� �1���������1 ������-ty wózek: Ni�R�2�����3��������x
F F NN F
− − =− =
⎧⎨⎩
1
2
00
F F mg1 2= = sina
F F F mgN F mg
= + = ≈= = ≈
⎧⎨⎩
1 2
2
2 785392
sinsin
aa
NN
F F N m aN F m a
a a
a
− − =− =
⎧⎨⎩
1 1
2 2
F F F m m a maa − − = + =1 2 1 2 2( )
F m a g mgN m a g mg
a
a
= + = + ≈= + = +
2 2 0 1 9420 1
( sin ) ( , sin )( sin ) ( , sin
a aa a
N)) ≈
⎧⎨⎩ 471 N
m1
m2F1
F2
Q1
Q2
P1
P2
F
NN
�
10 2007/2008 • etap I
2007/2008-I-2
=��#���������1 �������������� ���������������� ��]�����(����>����������������������#������ �(��� �� � ���������� ��� �#����� ������ �� ��� ���(�� ��� �����#�� � �� ������������1 ����� 2�������� ��#� ���������3Q� >�� ���������� ������ ����������������������������������(������#���������1 ��������������1�������Q
ROZWIĄZANIE
Dane: R1�R�R2�R�R�R�]��, Psz R PrSzukane: rW
9���������>>������/� ������������ �����������������������2��������������������� ��13�
(7)
gdzie: rW�E��������������L������%$N�RZ�E��������������Ogólny wzór na moc:
� 273
'���: �� RZ� ���� ���1 ����� ���������� �� �������� �� �������� �� �������� 9������������(��������� �����(����������������������1 ��#����������������������1�����
� 2S3
(10)
"#�� ��������������� ������������������������������������������������ ��N������������(�rW�R�R:
����������������� P RR0
2
24= ⋅e ; �������� ��������� P P P R
RPP1
2
21
0
29
98
= = ⋅ =e ;r sz (11)
e e= + ⇒ =+
I r R Ir R
( )W ZW Z
P I R Rr R
= =+
22
2ZZ
W Z
e( )
P Rr R
P Rr Rr
Wsz
W
//
= ⋅+
= ⋅+
e e2
2
2
222
22( )
;( )
P P Rr R
Rr R
r Rr szW W
W//
= ⇒ ⋅+
= ⋅+
⇒ = =e e2
2
2
222
22
5( ) ( )
W
rW
R1 R1
Rr = R/2 Rsz = 2RR2
R2
rW
2007/2008 • etap I 11
2007/2008-I-3
&���������� ������ �����������������f1 R�F5� �����������: ��x R�]� ��������:������������������ L����� :������� 2(������ �� ������ ������3�� �������� ��� ���: ��� ���� �� ����� ��������1���� ��#�(�1��$�������������� ��� ���1� �� ����� �������1 1��� ���������� f2 R� 45� ���+�������(��������;������ �������#��������: ��������#���� �����:�����������������1�����������1Q�q����������������;�����������������1 ����������1����������� �� ���� ���� ��������� ���� ����������: ��d������#�Q
ROZWIĄZANIE
Dane: f1�R�F5� ���f2�R�45� ���x�R�]� �Szukane: d, f '
Równania obu soczewek:
(12)
� 2FM3
'�����(��#���� ��������������1�����������1�����(�������������: �;���������������zatem:
(14)
=������������ ������(���d( f1���f2 + d) �� 2 f1 f2:
(15)
��1��
(16)
I: cm1 1 1 101 1
11
1f x yy x f
x f= + ⇒ =
−= −
II oraz: ,1 1 1
2 2 20
2 1 2f x yx y d y= + = − + = ∞
=�
− + = ⇒ = + =y d f d f y1 2 2 1 10 cm
1 1 1
2
1 2 1 2′= + −
′ = +
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
f f fd
f f
f x d
′ = −− − ′
= +−
f d f fd f f f f f d( ) lub2 1
1 2 1 2
1 1 1
F1
f1
y1
x
d
f
FF2
12 2007/2008 • etap I
2007/2008-I-4
q�������� ��������������� ����������������1 ���� ��������8����������1 �� ������� �������������;����������(�������� ��������� ����������5�]66Q�
ROZWIĄZANIE
Dane: f�R�5�]66Szukane: �
������� �����������1��������������1 ������������� ��������Tarcie statyczne��������������������������1 ���������� ��������������1���������������#��2�����(1 ������������ ��������1(��� ����� �1 ������#����:��������� 3��������� �������� ��������#������1�����:;���#�������������������� �������������1 � ����� ������������������1�������������(��#����������������� �������������#� ���$�(������������������;�����: ����������5�� Ts �� Tmax��������� �������� ����������(�����:��;�#��������������������������������� �������������1 � ����� ������&������������� ������(1 ������������������������(��������������������� ����'�-��� �������������(�;� ��������������� �������#��E��������� ������E�������� ���#�����(������zera. Tarcie kinetyczne��������������������������1 ���������� �����������1���������������#������������������� ����������������������: ��2������� �3���� ������� ������(����������������� ����2����������� ��������� ����fK3������������ �����2N) i wynosi TK � fK � N.
9���������� ������������: ������F i N:
(17)
)(��� �������� ������������������� �������������������
� 2F73
)(����1���� ������������#��������������������
� 2FS3
(20)
F Q N Q= =sin , cosa a
F TT TT f N
=≤
=max
max
F f NQ f Q
f
==
== °
sin cosmax max
max
max
a aa
atg
30
T F m gT T f m g
= = <= = >
sincos
max
max
a a aa a a
dladlakin
T
T
Q
F
�
�
2007/2008 • etap I 13
2007/2008-I-5
8� ���������������������1 � ���� ������ ������� ��������� ����1��#����:;� ���� �����"#�� �����#���:;� ������� �(��� �������������������(��������#���: ���q�:������������ ����������F555��8��
ROZWIĄZANIE
Dane: VV
1
2
�R�M��T�R� ������
p0�R�F555��8���
w�R�F5M���!�M
Szukane: �
9��������������������������������������������������������2��� ������������������������� ��13�
(21)
Wykorzystujemy dane w zadaniu:
V2�R�MV1 (22)
&�����#���: ���� �:������������
p1�R�p0����w��� 24M3
&������� ���� �:������������� �:������������� �����
p2�R�p0 (24)
��������������������������24F3����#�� ��������#���:;�
(25)
p V p V1 1 2 2=
V p gh p Vp gh
h pg
w
w
w
1 0 0 1
0
0
32
2 20 4
( )
,
+ = ⋅=
= ≈
rr
rm
p2V2
p1V1
h
14 2007/2008 • etap I
2007/2008-I-6
8�� ������������ ��(������� ����������� ��������� �� ������: �� F5� ��� ��� ����� ��� F55����������������1 ��������L���������� ����"����������������������������1����������������������������:;���������������1���(��� �1�������#�����������������������������)������������������ ����������������������������� ��Q�>����������������������������������� �������������Q�&�����������#�������������#�� ���� ���������1��� ����������������������
ROZWIĄZANIE
Dane: C0 R�F5�����U0�R�F55����d�R�4d0Szukane: U,�0, �, �
'������ �������������������������1 ��������L���������� ��������������1��������������������-������������ �����������������"#�� ������������������:;�������� ������������ ��������������������������������������������������������: ��
8�����:;��� C Sd
Sd
C= = =e e0 0
002
12
(26)
9�������� ����������������� CU C U= 0 0 (27)
��1���#�� ���������� ���� U U CC
U= = =00
02 200 V � 2473
%������� �1�������� W C U0 0 02 51
25 10= = ⋅ − J � 24S3
%�������C ������ W CU C U W= = = = −12
12 2
2 2 102 00
20
4( ) J � 2M53
Zmiana energii: D� � � �= − = = ⋅ −0 0
55 10 J � 2MF3
d0
U0
d
S
2007/2008 • etap I 15
2007/2008-I-7
8������L���� ��1�������� ����#������(�����������:�� 1 ����������������������: ��6]� �������� ����������������������������������F����
ROZWIĄZANIE
Dane: R�R�F����x�R�6]� ��R�5�6]��Szukane: konstrukcja obrazu
*#�����������;�������������������������#�������(���#�� ��;�����������:;������� ������2��(���#���������3����������������"������������ ������
� 2M43
"�����:;��#����
� 2MM3
8����������
� 2MJ3
8��������#����� ������������� �����������������4,������
Uwaga:*#������L;��#������(������������;�#���dwóch, z trzech zaznaczonych na rysunku, ��������8������F���4��� ����1�������������2�����#�������#� ��3������C�M�#���������� �������������������� ����
f R= =2
0 5, m
1 1 1 1 8x y f
y x fx f
+ = ⇒ =−
= , m
p yx
= = 2
yx F
0
1
2
3 �:����� ���F
16 2007/2008 • etap II
2007/2008-II-1
=��� ����������� ��F������4����������1��������(�������������� �����������(������1(����������#� ������#���� ����":��#�����1(������ ����������������������(���������������������������9�#����������������������� ����������������1 �����������������9��������������� ����������� ������ �������K����1(�����������C�� �����#�� ���1 �������������������1 � ������ �������� �1��������)���� ��(������(�����Q
ROZWIĄZANIE
Dane: m1�R�F�����m2�R�4�����a�R�5�F��Szukane: a, N, P
9�������������������������������#�� ����
(1)
8�������������������#������C��������2F3�������������������������� �1�������
(2)
'��������(� ��(��
� 2M3
Uwaga:�����P�������������������������1(����q������������(�������1��;����1���������1��, wy-�(��1������
(4)
8��� �������������������� ��������������#�� ��������������������(��� ����������1(����
m a N Qm a Q N
1 1
2 2
= −= −
⎧⎨⎩
a m mm m
g N m mm m
g= −+
≈ =+
≈2 1
1 2
2 1 2
1 23 3 2 13 3, , ,m/s N
P N m mm m
g= =+
≈2 4 26 71 2
1 2, N
m = =+
Pg
m mm m4 1 2
1 2
Q2Q2
m2m1
P
N Naa
• MECHANIKA • 135
TEMATYCZNY SPIS ZADAŃ
MECHANIKA
2007/2008-I-1 9'� �1���������� �1��������������������������#� ������� �������M5`��'������������1������������� ���������� ��������� �����(��������1;������(����������������m�R�75�����)������������������������� ������������1 ���� �����1��
)��1����1������������;��� �1���� ����������������������������������1������: �1Q�)����������� �1������������������������1 �1 1������Q�
'� ���������������������������� �1����� ���������������������a�R�5�F�g (g – przy-�������������� ���3�� )���� �1��������������������: �� ���Q�q������������� ��������������1��;���������������(���������������Q
2007/2008-I-4 12q�������� ��������������� ����������������1 ���� ��������8����������1 �� ������� �������������;����������(�������� ��������� ����������5�]66Q�
2007/2008-II-1 16=��� ����������� ��F������4����������1��������(�������������� �����������(������1(����������#� ������#���� ����":��#�����1(������ ����������������������(���������������������������9�#����������������������� ����������������1 �����������������9��������������� ����������� ������ �������K����1(�����������C�� �����#�� ���1 �������������������1 � ������ �������� �1��������)���� ��(������(�����Q
2007/2008-II-2 17*�� '������L��������� ������������ ��������������������:���������#�� ���������: ���
�(��� ������� ������������1�����R�M5°�������������������: �1��� �1����1�v0�R�F5��!���9�#����������������������� ����������������������������� ��������������: ����� �1��������������������������: ���������C ��������
��� 8����������������� �������� ������ ����������� ���1�������������R�M5° i ��R�[5°, dla ������������: ���� �1�������9����������������������������������1�������;������(���1�������������#������������1 ������������#������#�������"����� ������(�������1;��=���#�� �C�������������:;�������������������������1�F5��!�2.
2007/2008-III-1 21Kula o masie m i promieniu R��������� ��#�������: ��I�R�4!]�mR2��� ����������������������� ��L���#����:�������&�����������������������#� ������ ���������R�M5°, po którym �� �����������������3� "#�� �����L��������������� ������ �������#� ������������(�����(��� �����������#��
��:������
136 • MECHANIKA •
#3� >���������������� �������� ���������� �������� �����������������������������Q� 3� >�����������������������:;������ ���������� �������#����������������� ��������#��
��:�����Q�3� )��1����������1��(�� ������������������:����������������(����������(���#� ������
�����:;������������������v0�R�M��!�Q
2007/2008-III-2 22=������������������������������S�R�F5� �2����������������������������������V�R�5�7��� � ����a) Oblicz okres oscylacji, dla których poziom cieczy pozostaje w pionowych odcinkach rurki.
8����1;���������������� ��� ��� � ���#3� q������������������������������������1 ���������������>��������������������������
����������������������(��������� ��� ����������� � �������������������45@Q
2008/2009-I-1 29&�� ������� ������� ���������1 ���� ������������ �������� ��� �����������: ����� ����������'���� ��������� ���������� ���������������#�� ��������������������������5�F��8������� ������������� ���#�� ��������1������������������2�#�� ��� ���������3��K����(����������������3� �������� ���1������ ������������������� ���#�� ������#��������#����:�������#3� ������(� ���1������ �������������������� ����������#�� ������������������������:������
'���� ���������������������1������ ����������������������1������������������-wane przypadki (a) i (b).
2008/2009-I-2 30/�� ��������� ��������� ��#�: �� ������ ���� ��� ��������������� �������8�� ��������� ��������������������������������������������������(��� ����������� ����������: �1�F�.���"#�� ����#�:;��������=���#�� �C����������������������: ��������������������: �����������������5�S��8���C���������1����������� �������� �������������: �1�������������#�������
2008/2009-I-3 31$���������������� ���/���� ����2>��3��������m��1(������������������#� ���������-��: ��H ��������� ���1�9�����'���:����4557������#��(�������: ���� �#������������odpowiednio H R�RZ!F7�2RZ�E�����C�9���������[�M7�$�3�����m R�M55���2���������������>����������1������������� ��������!!��� ¦������������P!�������!������������������������!!��� -¦������������P!������!�� ����!���������3��
"#�� �� ����� ����� ��1� ���� �#����� ����� ������ )��1� ��������1� ����� �������#��������;���� �����#���������������: �;��������� �1��������������Q�)��1�������������(���#�������;�����#�����������;����1��������������������������������������������������Q�8�-��������������������1��#������� ����������� ���q��������������������������MMJ��)!����
2008/2009-II-1 348�� ������������1���#�����������������1���M5`������������������� ������������x0 R�M5�������������������1��������������������������: ��y0 R�M����'�������������: ���������������1���� �����������1 ���(��������Q�&��(������1;��(������:;��������������� ������ ����1������#�����������
• MECHANIKA • 137
2008/2009-II-2 35"#� ����� �������#����:��������#�����:������������(��: ������1������� �������������� �����2���1 �����������;�����: ����������������� ���1�����(����ª!43��9�������1 ��(������:;��� �1�������#� �����������������#�� �������:;�������1��#� ����������������������1��������(�� ��������: ����9�#���������(��: �������: ����C �����#� �������1������9���(��(������ ��������� ����#� ����������������� f R�5�]��$�����#�������: ���#� ������(��������wzorem I�R�mR2��&������������������������:;���C ��1��#� �����������: �����#������������� �������������: ��.
2008/2009-III-1 39������1 �� �� ������ �� ���������� ������������� ��������� ������� �������� �� ����� ������s1�R�F�]����E�����1 ��s2�R�J5����E����1 ����������������C ��sM�R�]����E�#���1 ���������� ����������������#����#����������������:� �����������������#��� �����������(������(� �����������������������#��:;������������� ����������� �����������#����1 ��������������: ���������� ����� �������������������#�������������v4M�R�S��!���"#�� �����#��: ������������������������������#���������� ����� �������������>�����������:��������#��:;���� ����������������Q�9������� �����������������C ���������� ��Q
2008/2009-III-2 40&��������� �������� �����1 ��������� ����9��������1������������#����9�����������: �1�������1�������1 1�v0�R�F�[6�F5M���!���8�����������:;������ ���������#������������� ����Ziemi wynosi v1�R�6�SF���!���'���������1 ������������: ����#�� �������:;�������1������������������������� �������2����������������1 ����������������:��������������������1 ����������9������������ ���1 ��������������������� �����������#������������������3�
2009/2010-I-1 47&�� ������������m�R�F55��������������������������������� ��������1 ��P�R�F��'��/����������������������������������������������� �����������������1�������������(���(����������#�;��*�� '� �������� ��������� ����� ������� ���� ��� ����� ��������� 9�������1 �� (� �� ������
�� �1������ �������� ���������#�� �������: �� �������������������������� ������������ ����&���������������(��: �������: ���������1 ���������������: �������: �� ��������czasu.
��� '���������������� �������������������������� ������������1�����R�F5`�������������)��1����������1������:;���(����1��1;� �������� �����������������������������Q�
2009/2010-I-2 48&��#������������������ �������(����������� ����(���������������"����#����������������������������������������T�������������������������� ���G. �3� "#�� �������:;�������������������1 ��(����������������1����1��#3� =��� �����������1������������������2�������3��������������#��������������������������
"#�� ���������������: ��������� �����������(������;����� ��������#����(������ �����������: �;��������
138 • MECHANIKA •
2009/2010-II-1 529�����������������1 ���������������: ������������1��� ���� ����������1���� do poziomu (�90°< � < 90°) �������: �1��� �1����1�v0��'�����: �������1�������1�����������;������1�������#����(������(�������� ��������������������������������� ������t R�F������ ���������momentu wyrzutu. "#�� ������:;���������1���� dla zadanych � i v0��)���������������1�#�;�����������#�������������������1����Q�9�#���������(��: ������� od ������������������: �������: ���� �1������v0 R�4��!���'���:;�����������������������������F5��!�2.
2009/2010-II-2 538� �����������m R�45����� 1 �����������������: �1�v0 R�J55��!������������� �������������������(������������������: ����R�]5� ���8� ������#������� �������������������:;��� ���������������������������������������: ���� �1�������)���������������������;��������� �����#��������������� �������������1�������������� ��L����������Q�K���������� ����1������#������������������������������: �1������������
2009/2010-III-1 57=�����������������������1 ����:��#����������������1�������������� ��������������� ������ �������: �� ��L R�4]� ���&������1������1������������������ ���(�� ��������: �� ��������� �������#������(���L��=������C ����������� ������������������ ��(�����������m R�5�F�����&�������������������������� ���#�������� ����������: �1�f��#��������������������� �������� ����� &����� ����� �������� ���� ��� �� �1�� ���� ��� ���� ��1� ����:;� ����� Nmax�R�F5�&��"#�� ������������� ����������: ����������� ��(��������1����������/�������������������������Q�8���������������� ����g R�F5��!�2.
2009/2010-III-2 58K�����������������������m1 R�M5����������������������������m2 R�F5��������1 �������� ��������1 � ����������������������: ���R�]����"����� ����#�����������1����������������K����������������������*�� 9���������������������������(�������������)���������#�;������:;������1 ���
���������#�� ����������������������������������������Q�=��������������: ������-�1 �����������#�������������������1���������Q�
��� 9��������� ������ �������(����������������������������������#�����������������1����1 �����=��� ���������������������: ��������������1 ����������1 ����������� ������������(�������;���������Q
2010/2011-I-1 65Klin o masie M� R� 4� ��� �(�� ��� ��������� �����(��� &�� ���:��� ����� ���� #� ���� ��������� ���������������(�������1�����R�M5`������� �������� ���������m�R�5�]�����������1 �������������� ������������� ����������������������(��������������������1 ������� �����������������"#�� �������������� ����������������������(��
2010/2011-I-2 66=�#�����������������: ������'���� ��������� ������������#��1��������(���������f1�R�5�4����:������ ��������� ������������#��1���: ���1��������f2�R�5�F��"#�� �������������1�����������#��1��������(���������������#������(���� �����;���������: �����