olimpiada de matematica etapa locala - isjolt.ro · fie p un punct în interiorul unui tetraedru...
TRANSCRIPT
Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
sector 1, 010168, București E-mail ISJ: [email protected]
Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927
Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801
www.edu.ro www.isjolt.ro
OLIMPIADA DE MATEMATICA ETAPA LOCALA --- 3.03. 2019
CLASA A- V –A
BAREM
Subiectul I
a) Arătați că numărul este divizibil cu 3.
b) Arătați că numărul poate fi scris ca sumă de 5 pătrate perfecte.
prof. Popa Dorin, Slatina
Solutie:
a) =2019.................................................................................................2p
2019 ......................................................................................................................................................1p
b) ......................................2p
= …..2p
Subiectul II
a) Calculați suma : S=1+3+5+....+199
b) Împărțim 100 de numere naturale la 200. Resturile obținute sunt numere naturale impare, oricare
doua diferite. Arătați ca suma celor 100 de numere este divizibilă cu 200.
prof. Ion Gusatu, Slatina
Solutie :
a) S = 2·0 + 1 + 2·1 + 1 +...+ 2·99 + 1 = 2(0 + 1 + 2 + .... + 99) + 100= 2·(99·100) : 2 + 100 =
99·100 + 100 = ……..............................................................................................................3p
b) Avem 100 de numere naturale impare mai mici decat 200 .......................................................1p
Cele 100 de numere au forma 200 ....................................1p
S= 200 ( ...... + + ...................................................................................................1p
S = 200 ( ⟹S ..................................................................................1p
Subiectul III
Determinați numărul natural știind că prin împărțirea lui la 3 se obține câtul și restul 1.
Supliment G.M
Solutie:
Numărul se scrie ⟹ ..........................2p
⟹299c + 20b +1 =97a ..............................................................................................................................1p
97a ⟹ ⟹ ...................................................................................................1p
c=1 ⟹300+20b=97a , U(97a) ,⟹ c=1 nu convine..........................................................................1p
c=2⟹ 599+ 20b= 97a, U(599+20b) ⟹ ................................................................................ 1p
599+20b=679⟹ b=4 ⟹ .......................................................................................................1p
Subiectul IV
Să se determine trei numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile:
1) Suma primelor două numere este 42.
2) Dacă marim primul numar cu dublul celui de-al treilea și micșorăm pe cel de-al doilea cu cel de-al
treilea se obțin rezultate egale.
Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
sector 1, 010168, București E-mail ISJ: [email protected]
Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927
Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801
www.edu.ro www.isjolt.ro
3) Dacă micșorăm primul numar cu cel de-al treilea atunci triplul rezultatului obținut este dublul celui
de-al doilea.
prof . Ion Gusatu, Slatina
Solutie:
⟹a=9c , b=12c, ⟹a+b=21c ,⟹c=2, a=18, b=24.......................................2p
Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
sector 1, 010168, București E-mail ISJ: [email protected]
Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927
Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801
www.edu.ro www.isjolt.ro
OLIMPIADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALA—3.03.2019
CLASA a-VI-a
BAREM
Problema 1.
Determinați numerele prime a, b și numărul natural c pentru care
.
Șirul de rapoarte se poate scrie:
2p
⟹
. 2p
⟹ deci b si a sunt consecutive dar si prime ⟹b=2, a=3 2p
⟹ c=8 1p
G.M. 11/2018
Problema 2.
Determinați numerele naturale nenule a, b, c cu proprietatea că (b,c)=1, numerele a și b sunt invers
proporționale cu 5 și 3, iar c și a sunt invers proporționale cu 5 și 3.
a) 5a=3b și 5c=3a , unde(5,3)=1
2p
obținem 3|a și 5|a, adică 15| a
2p
deci există k număr natural nenul astfel încât b=25 k și c=9k
din(b,c)=1 deducem k=1
2p
a=15, b=25, c=9
1p
Prof. Gabriela IONICĂ, Slatina
Problema 3.
Determinați numerele abcd cu număr maxim de divizori, știind că 8 ab cd .
100 8 108abcd ab ab ab 1p
8 99 10,11,12ab ab 1p
2 32 3abcd ab 1p
Pentru 3 310 2 3 5ab abcd obținem 32 divizori;
1p
Pentru 2 311 2 3 11ab abcd obținem 24 divizori; 1p
Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
sector 1, 010168, București E-mail ISJ: [email protected]
Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927
Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801
www.edu.ro www.isjolt.ro
Pentru 4 412 2 3ab abcd obținem 25 divizori;
1p
Finalizare 1080abcd
1p
Prof. Gabriela IONICĂ, Slatina
Problema 4.
Se considera A, O, B puncte coliniare în aceasta ordine și punctele C și D de aceeași parte a dreptei AB
astfel încât m( COD)=900. Determinați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC și
BOD.
Fie [OE bisectoarea si [OF bisectoarea BOD.
I. Daca [OC este interioara AOD ,se noteaza m( AOC)= 2u si m( BOD)= 2v.
1p
Din A, O, B coliniare în această ordine se obtine 2u+900+2v=180
0 2p
Se deduce u+v=450. 1p
m( EOF) =m( EOC)+m COD)+m( DOF)=u+900+v=45
0+90
0=135
0 1p
II. Daca [OD este interioară AOC, se notează m( AOD)= 2u si m( COB)= 2v .
Obținem m( AOC)=900+2u, ce conduce la m( AOE)=45
0+u,
0,5
m( BOD)=900+2v, ce conduce la m( BOF)=45+v 0,5
m( EOF)=m( AOB)-( m( AOE)+m( BOF))=1800-(90
0+u+v)=180
0-(90
0+45
0)=180
0-
1350=45
0
1p
Ionela Popescu si Alexander Alaa Safadi, Campulung Muscel
G.M.9/2018
Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
sector 1, 010168, București E-mail ISJ: [email protected]
Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927
Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801
www.edu.ro www.isjolt.ro
OLIMPIADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALA—3.03.2019
CLASA a-VII-a
BAREM
Subiectul I
a) Determinați multimea A =
. .
b) Aratați că
, unde S reprezintă suma elementelor lui A este rațional.
Supliment G.M
Barem de evaluare și de notare:
a) ...........................................................................................................................1p
…....2p
b)
.......................3p
............................................................................................................................1p
Subiectul II
a) Rezolvați ecuația :
.......+
b) Aflați a,b numere rationale astfel incat
.
Prof. Ion Gușatu, Slatina
Barem de evaluare și de notare:
a) Ecuația se scrie :
….................................1p
(x-2020)(
...................................................................................................1p
, x= 2020..................................................................................................... 1p
b) Egalitatea se scrie -8.................................................................................2p
b+3a-8 a-b=0 a=b si b+3a- 8=0 a=b=2 .................................................................2p
Subiectul III
Se consideră paralelogramul ABCD și MN AB, M (AD), N (BC). Dacă =BM și
=AN arătați că AC·AN AC·AF = AN·AE.
Barem de evaluare și de notare:
Din NB ǁ AD ∆ BFN ∆DFA
(1)........................................................................................2p
Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
sector 1, 010168, București E-mail ISJ: [email protected]
Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927
Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801
www.edu.ro www.isjolt.ro
Din AMǁ BC ∆AEM ∆CEB
(2)........................................................................................2p
MNǁ AB și AM ǁ BN ABNM paralelogram AM=NB, AD= BC, ( ABCD paralelogram) (3).........1p
Din (1), (2), (3)
AN·EC = AF·AC AN·( AC AE) = AF·AC
AN·AC-AF·AC=AN·AE.....................................................................................................................2p
GM. 11/2018
Subiectul IV
În trapezul ABCD, AB CD , AB CD , înalțimea DE, E AB ) intersectează diagonala AC în
M astfel încât AM MC. Considerăm P AB astfel încât AP =CD, A PB). Dacă PM AD = , să se arate că 3EQ=AC.
Prof. Ion Gușatu, Slatina
Soluție:
AM=MC, ,DM=ME.......................2p
AP=DC=AE ,APǁ DC PACDparalelogram..............................................................................................1p
PM,DA mediane PM Q centrul de greutate al ∆DEP .....................................................1p
EQ ER mediana...................................................................................................................1p
EQ=
3 EQ=AC ..................................................................................2p
Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
sector 1, 010168, București E-mail ISJ: [email protected]
Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927
Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801
www.edu.ro www.isjolt.ro
OLIMPIADA DE MATEMATICA
ETAPA LOCALA --- 3.03. 2019
CLASA A- VIII –A
BAREM
Problema 1.
Se consideră numerele reale x și y, 8 2x , și 5y x . Arătați că expresia
2 2 2 216 6 73 4 6 13E x,y x y x y x y x y
este constantă.
SGM 11/2018
Solutie
2 2 2 2
8 3 2 3E x,y x y x y 2p
2 2
2 8 2 2E x,y x x 2p
8 2 2 2E x,y x x 1p
8 2 2 2 6 2E x,y x x 2p
Problema 2
Fie suma:
S=
.
Demonstraţi că , unde {x} reprezintă partea fracţionară a numărului real x.
prof. Nicolae Tomescu, Corabia
Solutie
Orice fracţie din sumă are forma:
,
1p
Care se mai poate scrie:
3p
Suma se scrie:
S=
2p
Din 0 1p
Problema 3.
Fie prisma patrulateră regulată dreaptă ABCDA’B’C’D’ cu AB=6cm, AA’=6 cm și E simetricul lui D
fată de C.
Str. General Berthelot, nr. 28-30 Str. Ecaterina Teodoroiu, nr. 8B, Slatina, 230015, jud. Olt
sector 1, 010168, București E-mail ISJ: [email protected]
Tel: +40 (0)21 4056200 Tel: +40 (0)249 410927
Fax: +40 (0)21 4056300 Fax: +40 (0)249 412801
www.edu.ro www.isjolt.ro
a) Demonstrați că BE B’D’.
b) Aflați sinusul unghiului dintre dreptele C’D și B’C.
Prof. Nicolae Tomescu, Corabia
Solutie
a) Din BE AC A’C’ și A’C’ B’D’ obținem că BE B’D’ 2p
b) B’C A’D = = 1p
Dar A’D=C’D=12cm și A’C’=6 cm 1p
Fie O mijlocul segmentului A’C’.Rezultă DO=3 cm. 1p
Aria
DO A’C’
A’D C’D
. sin sin
’ ’
’ ’ =
.
2p
Problema 4. Fie P un punct în interiorul unui tetraedru regulat VABC. Să se determine lungimea laturii tetraedrului,
știind că 10 3PA PB PC , iar VP=10.
Supliment GM 12/2018
Solutie
Fie O centrul bazei ABC, PO=x, AB=a, de unde obținem 3
3
aAO
Din 10 3PA PB PC , obținem ( )PO ABC , ceea ce conduce la V, P, O coliniare
În POA , m( )=900, conform teoremei Pitagora obținem
2 23 900x a
VOA , m( )=900 , conform teoremei Pitagora obținem 2 23(10+x) =2a
Din 2 2 22a 3(10+x) =1800-6x obținem x=10, iar a=10 6
1p
3p
2p
1p