olasılık ve İstatistik ders notu doç. dr. yasin kabalci 2 ... · olasılık ve İstatistik ders...

Olasılık ve İstatistik Ders Notu Doç. Dr. Yasin KABALCI

1

2.2. Olasılığın Aksiyomları

A ve B iki olay olsun. A olayının olasılığı P[A] ve B olayının olasılığı P[B] olsun.

I. 0 P A

II. P =1S

III. A B ise [ ] [ ] [ ]P A B P A P B

IV. , i jA A i j ise 11

k k

kk

P A P A

I numaralı aksiyom olasılığın negatif olmadığını ifade eder. II numaralı aksiyom toplamda sabit

bir olasılık olduğunu ifade eder. III numaralı aksiyom birbirinden bağımsız iki olayın toplam

olasılığının her iki olayın olasılıklarının toplamına eşit olduğunu ifade eder.

Sonuç 1. 1 [ ]CAP P A

İspat: CA A olduğundan, III numaralı aksiyomdan [ ]C CP A A P A P A , II

numaralı aksiyomdan CS A A yazılır. Böylelikle,

1 [ ] [ ] 1 [ ]C C CAP S P A A P A P A P P A

Sonuç 2. [ ] 1P A

İspat: Sonuç 1’den [ ] 1 1CP A P A olur çünkü 0CP A ’dır.

Sonuç 3. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır, [ ] 0P .

İspat: A S ve CA olsun. Sonuç 1’den [ ] 1 [ ] 0P P S olur.

Sonuç 4. 1 2, , , nA A A ayrık olaylar olmak üzere

11

, 2n n

k k

kk

P A P A n

.

İspat: III numaralı aksiyom bu sonucun n=2 için doğru olduğunu kastetmektedir. Eğer sonuç

herhangi bir n değeri için doğru ise n+1 için de doğrudur. Yani n=2 için doğru ise 2n için de

doğrudur.

Sonucun 2n için doğru olduğunu varsayalım. 11

n n

k k

kk

P A P A

ifadesini n+1 durumu için

değerlendirelim.


2

1

1 1

1 1 1

n n n

k k n k n

k k k

P A P A A P A P A

yazılır. Dağılma özelliği sayesinde,

1 1

1 1 1

n n n

k n k n

k k k

A A A A

elde edilir. Eğer genelleştirilirse,

1 1

11

n n

k k

kk

P A P A

Sonuç 5. [ ] [ ] [ ] [ ]P A B P A P B P A B

İspat:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

C C

C

C

P A B P A B P B A P A B

P A P A B P A B

P B P B A P A B

[ ] [ ]

[ ] [ ]

C

C

P A B P A P A B

P B A P B P A B

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

P A B P A P A B P B P A B P A B

P A B P A P B P A B

Sonuç 6. Eğer A B ise [ ] [ ]P A P B olur.

İspat:

[ ] [ ]CP B P A P A B P A çünkü 0CP A B

Örnek: Bir elektronik markette elektronik elemanların karmaşık olarak variller içerisinde

olduğunu biliyoruz. Varil içerisinden tek tek seçerek eleman almaya izin verilmiyor. Bu varildeki

parçaların %29’u hatalı, %3’ü bozuk direnç, %12’si düzgün direnç, %5’i bozuk kapasitör ve

%32’si diyottur.


3

[ ] 0.29

[ ] 0.03

[ ] 0.12

[ ] 0.05

[ ] 0.32

P H

P HR

P ER

P HK

P D

Elemanın direnç olma olasılığı nedir? (Hatalı ya da değil)

[ ] [ ] [ ] 0.12 0.03 0.15P R P ER P HR

Elemanın hatalı ve/veya direnç olma olasılığı nedir?

[ ] [ ] [ ] [ ] 0.29 0.15 0.03 0.41P H R P H P R P HR

Hatalı parçaları ve/veya dirençleri kullanmadığımızı varsayalım. Bu durumda bizim için

faydalı bir eleman olma olasılığı nedir?

[ ] 1 1 0.41 0.59CP U P U

Elemanın bozuk bir diyot olma olasılığı nedir?

[ ] [ ] [ ] [ ]

0.29 0.03 0,05 [ ] [ ] 0.21

P H P HR P HK P HD

P HD P HD

2.2.1. Ayrık Örnek Uzaylar

1 2, , , nS a a a şeklinde sonlu sayılabilir bir örnek uzay ve herhangi bir B olayı

1 2, , , mB a a a olsun. Bu durumda,

1 2 1 2, , , m mP B P a a a P a P a P a

Bir olayın olasılığı, sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir. Eğer n elemanlı 1 2, , , nS a a a

şeklinde, eşit olasılıklı sonuçlara sahip bir örnek uzayımız varsa temel olayların olasılığı;

1 2

1nP a P a P a

n

k adet sonuçtan oluşan herhangi bir olayın olasılığı;

1 2 k

kP B P a P a P a

n olur.

Olay Sembol

Hatalı Eleman H

Düzgün Eleman E

Direnç R

Kapasitör K

Diyot D


4

Örnek: 0’dan 9’a kadar numaralandırılmış 10 adet özdeş topun bulunduğu kaptan rastgele 1 top

seçiliyor ve numarası not ediliyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulunuz.

a) A = Seçilen topun numarası tek

b) B = Seçilen topun numarası 3’ün katları

c) C = Seçilen topun numarası 5’ten küçük

d) ?A B

e) ?A B C

Çözüm:

{0,1,2, ,9}S , {1,3,5,7,9}A , {3,6,9}B , {0,1,2,3,4}C

Sonuçların eşit olasılıklı olduğunu varsayarsak,

5[ ] [{1}] [{3}] [{5}] [{7}] [{9}] 0.5

10P A P P P P P

3[ ] [{3}] [{6}] [{9}] 0.3

10P B P P P

5[ ] [{0}] [{1}] [{2}] [{3}] [{4}] 0.5

10P C P P P P P

5 3 2

[ ] [ ] [ ] 0.610 10 10

P A B P A P B P A B , [ {3,9}A B ve [ ] 2 10P A B ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

5 3 5 2 2 1 10.9

10 10 10 10 10 10 10

P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C

2.2.2. Sürekli Örnek Uzaylar

Sürekli örnek uzaylar; deneylerdeki sonuçların, değerlerin sürekliliğini varsayan sayılar

olduğunda karşılaşılır (sayı doğrusunun tamamı ya da bir kısmı gibi).

Örnek: 0 ile 1arasında rastgele bir sayı seçim deneyini düşünelim. Bu deney için örnek uzay S

[0,1] aralığındadır ve sayılamaz sonsuzluktadır. Eğer S’nin sonuçlarının eşit olasılıklı olduğunu

kabul edersek, sonucun [0, 0.5] ile [0.5, 1] aralıklarında olma olasılığı aynıdır.

, ( ), 0 1P a b b a a b

I numaralı aksiyom 0b a ile sağlanıyor. II numaralı aksiyom ise , , 0, 1S a b a b

0 00,0.5 0.5 0 0.5, 0.5,1 1 0.5 0.5, , 0P P P x x

Eğer birim aralığın merkezinden 0.3 birim uzaklıkta bir sonuç olasılığını hesaplamak istersek;

[0,0.2] [0.8,1] [ ] 0.2 0.2 0.4A P A olur.


5

2.3. Sayma Yöntemleri

Birbirinden bağımsız olayları temsil eden 1 2, , , kA A A kümeleri için bu kümelere karşılık

gelen eleman sayıları sırasıyla 1 2, , , kn n n olsun. Bu durumda k sayıda olayın

gerçekleşmesiyle ortaya çıkacak seçeneklerin sayısı 1 2 kn n n şeklinde eleman sayılarının

çarpımı olarak bulunur.

Eğer aynı kümeden değerler alınması veya aynı bağımsız olayın k kez tekrarlanması söz konusu

ise, bu durumda ortaya çıkacak seçenek sayısı kez

k

k

n n n n şeklinde bulunur.

Örnek: 1’den 5’e kadar numaralandırılmış topların bulunduğu torbadan 2 adet top seçilecektir.

Seçilen top torbaya tekrar konulmaktadır. Kaç tane farklı sıralı çift vardır? 2 seçimin de aynı sayı

numaralı top olma olasılığı nedir?

Çözüm: Sıralı çift sayısı 25 25

Yukarıdaki 25 durumdan 5 tanesinde aynı numaralı top çekiliyor. Bu durumda aynı sayı

numarasına sahip top çekilme olasılığı 5

0.225

P

█

Yerine koymadan n farklı nesneden k tanesini seçtiğimizi varsayalım k n : İlk seçimde

mümkün olan sonuçların sayısı 1n n , ikinci seçimde 2 1n n , k. seçimde 1kn n k olur.

Bu durumda ortaya çıkacak seçenek sayısı ( 1) ( 1)n n n k şeklinde bulunur.

Örnek: Bir torbada 1’den 5’e kadar numaralandırılmış toplar bulunmaktadır. Seçilen topun

yerine konulmadığını varsayarak 2 top seçiyoruz. Kaç tane farklı sıralı çift vardır? İlk seçilen

topun numarasının ikinci seçilen toptan büyük olma olasılığı nedir?

Çözüm: Sıralı çift sayısı 1 5 4 20n n

Dolgulu olan çiftler, birinci topun numarasının ikinci toptan büyük olduğu durumlardır.

Toplamda 10 adet durumda gerçekleşmektedir. 10

0.520

P


6

Örnek: 5 top arasından yerine koyarak seçilen 3 topun da farklı olma olasılığı nedir?

Çözüm: 35 125 farklı sonuç mümkündür. Bunların eşit olasılıklı olduğunu kabul edersek,

seçilen 3 topun farklı olduğu durum sayısı: 5 4 3 60 olacaktır. Olasılığı ise 60

0.48125

P

█

Yerine koymadan n adet nesneden k tanesini seçtiğimizi varsayalım. n adet nesnenin

permütasyon sayısı: ( 1) ( 2) (2) (1) !n n n n

Örnek: 1, 2,3 şeklindeki 3 farklı nesnenin permütasyon sayısını bulalım.

Çözüm: 3 (3 1) (3 2) 3! 6 olarak hesaplanır. Bu 6 farklı permütasyon ise aşağıdaki

gibidir:

123, 312, 231, 132, 213, 321

Örnek: 12 adet topu rastgele bir şekilde 12 adet hücreye yerleştirmek istiyoruz. Bir hücreyi

birden fazla top işgal edebilmektedir. Bu durumda bütün hücrelerin dolma olasılığı nedir?

Çözüm: Topların hücreye yerleşimi, 1 ile 12 arasında numaralanmış hücre seçimi olarak

düşünülebilir. Mümkün olan yerleşim sayısı 1212 olarak bulunur. Her hücrenin dolması gerektiği

için; ilk yerleşimde 12, ikinci yerleşimde 11 ve son yerleşimde 1 adet hücre kalır. Bu yüzden

bütün hücrelerin dolduğu yerleşim sayısı 12! olur. 1212 adet mümkün olan yerleşimin aynı

olasılığa sahip olduğunu varsayarsak,

5

12

12! 12 11 15.37 10

12 12 12 12P

Örnek: Yedekleriyle birlikte 25 kişilik bir kadroya sahip lig takımının sahaya çıkacak ilk 11’i

kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm:

! 25!

!( )! 11!(25 11)!n r

n nC

k k n k

Örnek: 1, 2,3, 4,5A kümesinden sıralaması önemli olmaksızın 2 adet nesnenin kaç farklı

yolla seçilebileceğini bulunuz.

Çözüm:

5 5! 5! 12010

2 2!(5 2)! 2!·3! 2·6


7

Örnek: Bir kutuda 50 adet diyot bulunmaktadır ve bunların 10 tanesi arızalıdır. Rastgele 10 adet

diyot seçtiğimizi ve bunları test ettiğimizi varsayalım. Buna göre test edilen diyotlardan kesin

olarak 5 tanesinin arızalı olma olasılığı nedir?

Çözüm: 50 adet diyottan rastgele 10 tanesi 50 50!

10 10!·40!

farklı şekilde seçilebilir. 5 adet arızalı

ve 5 adet arızalı olmayan diyot seçmek için mümkün olan yol sayısı 1 2N N olsun. N1 10

arızalı arasından 5 tane seçmek için yol sayısı, N2 40 arızalı olmayan arasından 5 tane seçmek

için mümkün olan seçenek sayısıdır.

1 2

1 2

10 40,

5 5

10 40·

5 5·0.016

50 50

10 10

N N

N NP

Örnek: 2 kız 2 erkekten oluşan 4’lü laboratuvar grupları oluşturmak istiyoruz. Toplamda 12 kız

ve 30 erkek öğrenci bulunmaktadır. Buna göre kaç farklı grup oluşturabiliriz?

Çözüm:

12 kız öğrenci arasından oluşturulabilecek 2’li kombinasyonlar: 12

2

30 erkek öğrenci arasından oluşturulabilecek 2’li kombinasyonlar: 30

2

4’lü laboratuvar grupları sayısı: 012

2 2

3

olacaktır

█

2.4. Koşullu Olasılık

Bir olayın meydana gelmesinin diğer olayın oluşma olasılığını değiştirmesi durumudur.

[ ][ | ] , [ ] 0

[ ]

P A BP A B P B

P B

Eğer B olayının meydana geldiği biliniyorsa, A olayı

sadece [ ]P A B oluştuğunda meydana gelir.


8

Yukarıda gösterildiği gibi, B olayının gerçekleştiği biliniyorsa, deneyin sonucu B kümesinin

içerisindedir. [ | ]P A B hesaplarken örnek uzayın B kümesine indirgenmiş olduğu düşünülebilir.

Örnek: Bir torbada; 1 ve 2 numaralı iki adet siyah top ile 3 ve 4 numaralı iki adet beyaz top

bulunmaktadır. Seçilen topun numarası ve rengi not edilmektedir. Buna göre örnek uzay

{(1, ),(2, ),(3, ),(4, )}s s b b şeklindedir. 4 sonucunda eşit olasılıklı olduğu kabul edilsin. Aşağıdaki

durumlar için [ | ]P A B ve [ | ]P A C ’yi hesaplayınız.

{(1, ), (2, )}, "Siyah topun seçilmesi"

"Çift numaralı bi{(2, ), (4, )},

{(3, ), (

r top seçilmesi"

"Topun numarasının 2'4, ) den büyük olması" },

A s s

B s b

C b b

Çözüm:

[ ] {(2, )}, [ ] ,

[ ] 1/ 4 1 [ ] 0[ | ] , [ | ] 0

[ ] 2 / 4 2 [ ] 2 / 4

P A B s P A C

P A B P A CP A B P A C

P B P C

[ ] [ | ]· [ ]

[ ] [ | ]· [ ]

P A B P A B P B

P A B P B A P A

Örnek: Bir torbada 2 tane siyah top ve 3 tane beyaz top bulunmaktadır. Yerine koymadan

rastgele iki top seçilmektedir ve renklerinin sırası not edilmektedir. Buna göre her iki topun da

siyah olma olasılığını bulunuz.

Çözüm: Bu deney iki alt deneyden oluşmaktadır.

İlk seçimin sonucu siyah top olursa, ikinci seçim 1 siyah, 3 beyaz topun arasından

yapılacaktır. Eğer ilk seçinde beyaz top çekilirse, ikinci seçim 2 siyah, 2 beyaz top arasından

yapılacaktır.

İlk seçimden sonra hangi noktaya ulaşıldığı (1 mi yoksa 2 mi?) bilindiğinde, diğer alt deneyin

sonucu belirlenebilir.

B1 ve B2 birinci ve ikinci seçimin sonuçlarına ait olaylar olsun. Buna göre,

1 2 2 1 1|P B B P B B P B şeklinde yazılabilir. 1P B olasılığı 1. noktaya ulaşma olasılığı,

İlk deneyin sonucu

İkinci deneyin sonucu

1. top Beyaz, 2. Top Beyaz


9

2 1|P B B ise 1. noktadan en sol alt dala ulaşma olasılığıdır. 1 2 1

2 1, |

5 4P B P B B

olduğuna göre 1 2 2 1 1

1|

10P B B P B B P B olarak hesaplanır.

Örnek: Bir çok haberleşme sistemi şu şekilde modellenir. İlk olarak, kullanıcı sisteme 0 ya da 1

girer ve buna karşılık bir sinyal iletilir. İkinci olarak, sisteme yapılan girişin ne olduğu hakkında

alıcı bir karar verir. Kullanıcının 0 bitlerini 1 p olasılıkla, 1 bitlerini p olasılıkla gönderdiği

varsayılsın. Aynı zamanda alıcının olasılıkla rastgele karar verme hatalarını yaptığı kabul

edilsin. 0, 1 ve 0, 1 içini j iA Giriş , jB Alıcının kararı olsun. Buna göre i jP A B

olasılıklarını hesaplayınız.

Çözüm: Ağaç diyagramı aşağıdaki gibi olacaktır.

0 0

0 1

1 0

1 1

(1 )(1 ),

(1 ) ,

(1 )

P A B p

P A B p

P A B p

P A B p

Örnek: Bir meteoroloji uzmanı yağmuru tahmin etmektedir ve yağmur yağma olasılığı 0.75’tir.

Eğer meteoroloji uzmanı yağmur yağmayacağını tahmin ederse, yağmur yağma olasılığı 0.15’tir.

Bu tahmin haberlerini bir yıl boyunca dinlediğimizi ve meteoroloji uzmanının mevsimden

bağımsız olarak her 5 günde bir yağmur tahmini yaptığını kabul edelim. Hava durumunun yanlış

olma olasılığı nedir? Sadece ve sadece hava tahmini yağmurlu olduğu zaman şemsiyemizi

yanımıza aldığımızı kabul edelim. Bu durumda, hem yağmur yağması hem de şemsiyemizi

yanımıza almadığımız durumun olasılığı nedir?

Çözüm: Problemi çözmek için olayları tanımlayalım.

F “Yağmur Tahmini”, R “Gerçekten Yağmur Yağar” Soruda verilenler yazılırsa,

P[R | F] 0.75 P R | F 0.15

P[F] 1/ 5 P F 4 / 5

C

C

Bu iki yol hatalı karar verme

olasılığını gösterir.


10

C C 1 4P[Hata] P[FR ] P[F R] (0.25) (0.15) 0.17

5 5

Yağmur yağması ama şemsiyemizi yanımıza almadığımız durumun olasılığı

C 4P[F R] (0.15) 0.12

5

█

Toplam Olasılık Teoremi: Örnek uzay, 1 2, , , nB B B gibi n adet ayrık olaydan oluşsun.

1 2 1 2 n nA A S A B B B A B A B A B

1 2[ ] nP A P A B P A B P A B

Kesişim olasılıklarını koşullu olasılıklar cinsinden yazarsak,

1 1 2 2[ ] | | | n nP A P A B P B P A B P B P A B P B

elde edilen bu eşitliğe Toplam Olasılık Teoremi denir.

Tahmin doğru çıktı, yağmur yağdı

Tahmin yanlış çıktı, yağmur yağmadı

Tahmin yanlış fakat yağmur yağdı

Tahmin yanlış fakat yağmur yağmadı


11

Bayes Kuralı: 1 2, , , nB B B S örnek uzayının kısımları olsun. A olayının oluştuğu varsayalım. Bu

durumda Bj olayının olasılığı nedir? Koşullu olasılık tanımından,

1

||

[ ]|

j j j

j n

k k

k

P A B P A B P BP B A

P AP A B P B

Örnek: A1, A2 ve A3 olarak adlandırılan 3 farklı hafıza birimi mevcuttur. A1, A2 ve A3 hafıza

birimlerinin satın alınma olasılıkları sırasıyla 1/6, 1/3 ve 1/2’dir. Bu hafıza birimlerinin arızalı

olma olasılıkları ise sırasıyla 0.006, 0.015 ve 0.02’dir. Hatalı bir hafıza biriminin A1 olma

olasılığı nedir? A3 olma olasılığı nedir?

Çözüm: H hafıza biriminin hatalı olma olayını temsil etsin.

1 1 1 1

1 3

1

P H | A ·Pr A P H | A ·P AP A | H

P[H]P H | A ·P A

(0.006)1/ 6 0.0010.0625

(0.006)1/ 6 (0.015)1/ 3 (0.02)1/ 2 0.016

j j

j

3

(0.02)1/ 2 0.01Pr A | H 0.625

(0.006)1/ 6 (0.015)1/ 3 (0.02)1/ 2 0.016

Örnek: İkili haberleşme kanalı üzerinden bit iletimi aşağıdaki şekilde modellenmektedir.

a) Hatalı iletim olasılığı: 0 biti gönderilip 1 biti alınırsa ya da 1 biti gönderilip 0 biti alınırsa

hatalı iletim olur.

P[Hata] P Hata | 0 P 0 P Hata |1 P 1

P 1 | 0 P 0 P 0 |1 P 1 (0.05)(0.5) (0.10)(0.5) 0.075

S S S S

R S S R S S

b) Alıcıda 1 bitinin alındığı varsayılsın. Gönderilen bitin 1 olma olasılığı nedir? Gönderilen bitin

0 olma olasılığı nedir?


12

P 1 |1 P 1 P 1 |1 P 1 (0.9)(0.5)P 1 |1 0.9474

P 1 P 1 |1 P 1 P 1 | 0 P 0 (0.9)(0.5) (0.05)(0.5)

R S S R S S

S R

R R S S R S S

P 1 | 0 P 0 (0.05)(0.5)P 0 |1 0.0526

P 1 |1 P 1 P 1 | 0 P 0 (0.9)(0.5) (0.05)(0.5)

R S S

S R

R S S R S S

2.5. Bağımsız Olaylar

Eğer B olayının oluşması A olayının olasılığını değiştirmiyorsa, A olayı B olayından bağımsızdır.

[ ][ ] [ | ]

[ ]

P A BP A P A B

P B

A ve B olayları aşağıdaki şartlarda bağımsızdır:

[ ] [ ] [ ]P A B P A P B

Yani bu durumda, [ | ] [ ] ve [ | ] [ ]P A B P A P B A P B [ ] 0, [ ] 0P A P B yazılabilir.

Örnek: 1 ve 2 numaralı toplar siyah, 3 ve 4 numaralı toplar beyazdır.

{(1, ), (2, )}, "Siyah topun seçilmesi"

"Çift numaralı bi{(2, ), (4, )},

{(3, ), (

r top seçilmesi"

"Topun numarasının 2'4, ) den büyük olması" },

A s s

B s b

C b b

A ve B olayları bağımsız mıdır? A ve C olayları bağımsız mıdır?

Çözüm:

1 1 1[ ] [ ] , [ ] [{(2, )}] , [ ] [ ] [ ]

2 4 4P A P B P A B P s P A B P A P B A ve B bağımsızdır.

[ ] [ ] 0P A C P olduğundan A ve C bağımsız değildir. Aslında, 0A C olduğundan

dolayı A ve C olayları karşılıklı özel (mutually exclusive) diğer ifadeyle ayrık kümelerdir.

█

SONUÇ: Genel olarak, eğer sıfır olmayan olasılığa sahip iki olay varsa ve bu olaylar karşılıklı

özel ise, bu olaylar bağımsız olamazlar. Bu olayların bağımsız ve karşılıklı özel olduğu

varsayılırsa, 0 [ ] [ ] [ ]P A B P A P B eşitliği olaylardan en az birisinin sıfır olasılıklı olmak

zorunda olduğunu ifade eder.

█

Örnek: 0 ile 1 arasında rastgele iki sayı seçilmektedir.

{ 0.5}, { 0.5},ve { }A x B y C x y

A ve B bağımsız mıdır?

A ve C bağımsız mıdır?


13

Çözüm:

[ ] 1/ 4 1[ | ] [ ]

[ ] 1/ 2 2

P A BP A B P A

P B

A ve B bağımsızdır.

[ ] 3 / 8 3 1[ | ] [ ]

[ ] 1/ 2 4 2

P A CP A C P A

P C

A ve C bağımsız değildir.

Örnek: Birim aralıkta rastgele iki sayı seçilmektedir. B, D ve F olayları aşağıdaki gibi

tanımlanmaktadır.

1 1,

2 2

1 1 1 1 ve ve

2 2 2 2

B y D x

F x y x y

1

[ ] [ ] [ ] B ve D bağımsız4

1[ ] [ ] [ ] B ve F bağımsız

4

1[ ] [ ] [ ] D ve F bağımsız

4

P B D P B P D

P B F P B P F

P D F P D P F

Fakat B D F , bu yüzden1

[ ] [ ] 0 [ ] [ ] [ ]8

P B D F P P B P D P F B, D ve F

bağımsız değildir.


14

2.6. Ardışık Deneyler

2.6.1. Bağımsız Deneyler Dizisi

Rastgele bir deneyin 1 2, , , nE E E deneylerinden oluştuğunu varsayalım. Bu deneyin sonucu

1 2, , , ns s s s şeklindedir ve ks ifadesi k. alt deneyin sonucudur. Ardışık deneylerin örnek

uzayı 1 2 nS S S şeklinde olur. Alt deneyler bağımsız ise alt deneylere ait

1 2, , , nA A A

olayları da bağımsızdır.

1 2 1 2n nP A A A P A P A P A

Örnek: 0,1 aralığında rastgele 10 sayı seçilecektir. İlk 5 sayının ¼’ten küçük ve son 5 sayının

½’den büyük olma olasılığını bulunuz.

Çözüm: x1, x2, …, x10 10 adet sayı dizisini göstersin. Bu durumda ilgilendiğimiz olaylar,

1 1, ,5

4

1 6, ,10

2

k k

k k

A x k

A x k

Her bir sayı seçiminin diğerinden bağımsız olduğu kabul edilirse,

5 5

1 2 10 1 2 10

1 1

4 2P A A A P A P A P A

2.6.2. Binomial Olasılık Kuralı

Burada bir Bernoulli denemesinin n bağımsız tekrarında k başarılı sonucun olasılığının bulunması

ile ilgelenilecektir.

Örnek: Bir madeni para üç kez atılıyor. Her bir atışın bağımsız olduğu ve tura gelme olasılığının

p olduğu kabul edilsin. Yazı ve tura dizileri için olasılık; 3

2

2

2

2

[{TTT}] [{T}] [{T}] [{T}]

[{TTY}] [{T}] [{T}] [{Y}] (1 )

[{TYT}] [{ }] [{ }] [{ }] (1 )

[{YTT}] [{ }] [{ }] [{ }] (1 )

[{YYT}] [{ }] [{ }] [{ }] (1 )

[{YTY}] [{ }] [{ }] [{ }] (

P P P P p

P P P P p p

P P T P Y P T p p

P P Y P T P T p p

P P Y P Y P T p p

P P Y P T P Y p

2

2

3

1 )

[{TYY}] [{ }] [{ }] [{ }] (1 )

[{YYY}] [{ }] [{ }] [{

tane başarılı tane başarısı

}

z son ç

] (1 )

u

p

P P T P Y P Y p p

P P Y P Y P

k

Y

n

p

k

3 atıştaki toplam tura sayısı k olsun. Bu durumda,


15

3

2

2

Farklı Diziler

3

[ 0] [{YYY}] (1 )

[ 1] [{YYT,YTY,TYY}] 3 (1 )

[ 2] [{TTY,TYT,YTT}] 3 (1 )

[ 3] [{TTT

3 3!

1 1! 3 1 !

3 3!

2 2! 3 2 !

}]

P k P p

P k P p p

P k P p p

P k P p

Bernoulli denemesinin sonucunda bir A olayının oluşması başarı, oluşmaması başarısızlık olarak

tanımlanır. n bağımsız Bernoulli denemesinde başarı sayısı k olsun. O zaman k olasılıkları Binom

olasılık kuralına göre aşağıdaki gibi yazılabilir;

( ) (1 ) (1

!=

!) 0, ,

! k n k k n k

n

nnp k p p p p

n kk kk n

Bir önceki örnekte bulduğumuz sonuçları Binom Olasılık Kuralı ile yeniden bulalım. Atış

sonucunun tura olması başarılı durum olarak kabul edilsin.

0 3 3

3

1 2 2

3

2 1 2

3

3 0 3

3

3!(0) (1 ) (1 )

0!3!

3!(1) (1 ) 3 (1 )

1!2!

3!(2) (1 ) 3 (1 )

2!1!

3!(3) (1 )

0!3!

P p p p

P p p p p

P p p p p

P p p p

2.7 ÖRNEKLER

Örnek 1: İki tane zar atma deneyi yapılmaktadır. Zarların yukarı gelen yüzündeki nokta sayısının

farkı not edilmektedir.

a) Örnek uzayı belirleyiniz.

b) Farkın büyüklüğünün 3 olduğu A kümesini bulunuz.

c) Temel olayların her birini belirleyiniz.

Örnek 2: A ve B iki olay olsun. “Kesin olarak A ve B olaylarından sadece birisinin meydana

gelmesi” olayı için bir ifade elde ediniz ve Venn şeması çizerek gösteriniz.

Örnek 3: Bir zar atma deneyi yapılmaktadır. Deney sonunda zarın yukarı yüzündeki sayı not

edilmektedir.

a) Zar atıldıktan sonra bütün yüzeylerin eşit olasılıklı olduğu kabul edildiğine göre temel

olayların olasılığını bulunuz.

b) Aşağıdaki iki olayın olasılıklarını bulunuz.


16

3'ten fazla nokta gelmesi

Nokta sayısının tek olması

A

B

c) , ve CA B A B A olasılıklarını bulunuz.

Örnek 4: [-1,2] aralığında rastgele bir sayı seçilmektedir.

0 , 0.5 0.5 ve 0.75A x B x C x olayları tanımlansın.

a) , , ve A B A B A C .olaylarının olasılığını bulunuz.

b) , ve A B A C A B C olasılıklarını uygun aksiyomlar ile bulunuz.

Örnek 5: Bir ürünün kullanım ömrü 1, , 1P t tt

olasılık kuralına göre

belirlenmektedir. A olayı kullanım ömrünün 4’ten büyük olduğu, B olayı ise kullanım ömrünün

8’den büyük olduğunu belirtmektedir. Buna göre,

a) P A B ve P A B olasılıklarını bulunuz.

b) Kullanım ömrünün 6’dan büyük fakat 12’ye eşit ya da daha küçük olduğu durumun

olasılığını bulunuz.

Örnek 6: Bir kilit 0 ve 1 butonlarına sahiptir. Kapıyı açmak için 8 bitlik bir dizi oluşturacak

şekilde butonlara başmak gerekmektedir. Kaç dizi vardır? Rastgele 8 bitlik bir dizi girildiğinde

kapının açılma olasılığı nedir? Eğer ilk denemede kapı açılmazsa, başka bir dizi denenmektedir.

Buna göre başarı olasılığı nedir?

Örnek 7: Çoktan seçmeli bir testte 10 soru bulunmakta ve her sorunun 3 seçeneği vardır. Bu testi

cevaplamak için kaç tane yol vardır? İki testin aynı cevaplara sahip olma olasılığı nedir?

Örnek 8: 100 adet ürünün içerisinde k adet arızalı ürün bulunmaktadır. M tane rastgele seçilip

test ediliyor. Buna göre m adet arızalı ürün seçilme olasılığı nedir?

Örnek 9: Aşağıdaki şekilde üçlü haberleşme sistemi görülmektedir. Burada 0, 1, 2 giriş

sembolleri 1/3 olasılıkla meydana gelmektedir.

a) Çıkış sembollerinin olasılıklarını bulunuz.

b) Çıkışta 1 gözlendiğini varsayalım. Girişin 0, 1 ve 2 olma olasılıklarını bulunuz.

Örnek 10: 1, 2,3,4 , 1, 2 , 1,3 ve 1,4S A B C sonuçların eşit olasılıklı olduğunu

varsayarak, A, B ve C olaylarının bağımsızlık durumunu inceleyiniz.


17

Örnek 11: Eğer A ve B bağımsız olaylar ise, A ve BC’nin de bağımsız olduğunu gösteriniz.

Örnek 12: Bir fabrikanın 5k ohm’luk dirençler üreten A, B ve C gibi üç makinası vardır. A

makinasının ürettiği dirençlerin %80’i %5’lik tolerans ve B makinasının ürettiği dirençlerin

%70’i %5’lik tolerans içindedir. C makinasının üretiminin %60’ı bu toleransı sağlamaktadır. A,

B ve C makinaları 1 saat içinde sırasıyla 5000, 2000 ve 3000 tane direnç üretmektedir. Tüm

üretilen dirençler rastgele karıştırılarak sevk edilmektedir.

a) Bu fabrikanın ürettiği bir direncin %5 toleranslı, yani 5000 ± 250 ohm değerinde olma

olasılığı nedir?

b) Rastgele seçilen tolerans içinde bir direncin B makinasından üretilme olasılığı nedir?

Örnek 13: Bir sistem 8 adet elektronik karttan oluşmaktadır. Her bir elektronik kartın kullanım

ömrü Weibull olasılık kuralına göre λ parametresi ve k=2 için , , 0

kt

P t e t

şeklindedir. 2/λ saniye sonra en az iki elektronik kartın çalışıyor olma olasılığını bulunuz.

olasılık ve İstatistik ders notu doç. dr. yasin kabalci 2 ... · olasılık ve İstatistik ders...

Documents