Określenie wartości (wycena) papierów wartościowych

Określenie wartości obligacji kuponowejStopa rentowności obligacji

Model zdyskontowanych dywidendModel stałego wzrostu dywidendy

Model dwóch faz

Wartość papieru wartościowego o jednym przychodzie

Inwestor kupuje papier wartościowy za cenę P, po roku sprzedaje go osiągając dochód C.

Jego stopa zwrotu wynosi

(17) PPCr

Wyliczając z ostatniego P otrzymujemy

(18) rCP 1

Wartość tego papieru jest zatem równa zdyskontowanemu przychodowi z tytułu

posiadania papieru, przy czym stopą dyskontową jest stopa zysku.

Wartość papieru wartościowego o wielu wpływach

Uogólniając poprzednią sytuację na przypadek papieru przynoszącego regularne wpływy

przez n lat, przyjmujemy, że jego wartość wynosi

(19)

n

ir

Ci

iP1

)1(

gdzie Ci – wpływ uzyskany w i-tym okresie, r – roczna stopa dyskontowa, będąca

jednocześnie stopą rocznego zysku.

Def. Wartość papieru wartościowego jest sumą zdyskontowanych na moment bieżący

wpływów uzyskanych z tytułu posiadania tego papieru, przy czym stopa dyskontowa jest

równa jego stopie zysku.

Ponieważ trudno ustalić przyszłą stopę zwrotu, zatem r

jest pewną wielkością stopy przyjętą dla

instrumentów finansowych podobnego typu (np.

podobne obligacje).

Wielkość r możemy traktować jako „spodziewaną”

(wymaganą) stopę zwrotu i przy założeniu określonej

wysokości tej stopy wycenić papier wartościowy.

Uzyskaną wycenę można porównać z ceną rynkową

papieru.

Jeżeli ustalona jest cena rynkowa papieru wartości

wpływów, to (19) przedstawia równanie z niewiadomą

r. Uzyskaną w ten sposób wartość można porównać z

np. z wysokością stopy procentowej depozytów

bankowych.

Określenie wartości obligacji kuponowej o stałym oprocentowaniu

Przykład 1. Rozważmy 5 – letnią obligację o wartości nominalnej 1000 zł, przynoszącą

co roczną wypłatę 100 zł (mówimy wtedy, że obligacja ma oprocentowanie w wysokości

10 %). Zakładając stopę dyskontową – 8% wycenimy tą obligację.

Uzyskujemy 5 wpływów w kolejnych latach. Ich wysokości to : 100 zł, 100 zł, 100 zł,

100 zł, 1100 zł, Stosując wzór (19), wartość obligacji wynosi:

P = 5432 08,1

1100

08,1

100

08,1

100

08,1

100

08,1

100 = 1079,85

Ponieważ wartość tej obligacji wynosi 1079,85 zł, więc warto ją kupić, gdy jej cena

rynkowa jest mniejsza od tej wartości. Składniki w ostatnim wyliczeniu można zapisać w

postaci, która oddziela wypłaty odsetek (kuponów) od wartości nominalnej:

55432 08,1

1000

08,1

100

08,1

100

08,1

100

08,1

100

08,1

100

.

wzór na wycenę obligacji kuponowej z terminem wykupu n - lat

Uogólnieniem tego sposobu zapisu jest powszechnie przyjęty wzór na wycenę obligacji

kuponowej z terminem wykupu n - lat, (będący wariantem wzoru (19)):

(20) ni rM

n

ir

CP)1(

1)1(

gdzie C- wartość kuponu (rocznych odsetek ), M – wartość nominalna obligacji, r – stopa

dyskontowa (stopa rynkowa).

Oprocentowanie odsetek obligacji określa się jako (C/M)* 100%

Przypadek częstszych wypłat odsetek

Przy obligacji o n – letnim terminie wykupu odsetki

mogą być wypłacane k razy w roku. Wtedy jednorazowa wypłata odsetek wynosi C/k, a stopa dyskontowa musi być dostosowana do okresu między wypłatami, czyli r/k. Po modyfikacji wzór (20) przyjmie postać

(21)

nkkri

kr

Mnk

i

kCP)1(

1)1(

/

Stopa rentowności obligacji YTM(yield to maturity )

Jeżeli dany typ obligacji notowany jest na giełdzie, to istnieje jego cena rynkowa. Znając wszystkie wypłaty, zgodnie z uwagami o funkcji wzoru (19) poczynionymi wcześniej, można potraktować r jak niewiadomą oraz ją wyliczyć (na ogół – metodami numerycznymi). Tak wyliczoną wartość nazywamy stopą rentowności obligacji (YTM). Zależy ona od rynkowej ceny obligacji – podlega więc zmianom

ni YTMM

n

iYTMCP

)1(1

)1(

Stopa rentowności obligacji YTM(yield to maturity )

Przypadek częstszych wypłat odsetek

nkk

YTMik

YTMM

nk

i

kCP)1(

1)1(

/

Określenie wartości akcji zwykłych

Punktem wyjścia jest definicja wartości papieru wartościowego, jako sumy zdyskontowanych na moment bieżący wpływów uzyskanych z tytułu posiadania tego papieru, czyli wzór (19). Elementem problematycznym jest długość okresu posiadania papieru wartościowego (na ogół nieznany w chwili

wyceny).

Źródła zysku posiadacza akcji: dywidenda wzrost kursu akcji

Sprzedaż akcji po n latach, uwzględnienie dywidendy

Sprzedaż akcji po roku, w cenie P1 .

Zakładamy, że pod koniec roku inwestor otrzymał dywidendę D. Stosując wzór (19)

otrzymamy wycenę P akcji jako:

rPDP

11

Sprzedaż akcji po dwóch latach w cenie P2: 2221

)1(1 r

PD

r

DP

, gdzie P2 cena

sprzedaży akcji, Di dywidenda uzyskana pod koniec i – tego roku

Sprzedaż akcji po n – latach, w cenie Pn:

(22) nn

ii

r

Pn

ir

DP)1(

1)1(

Gdzie Di dywidenda uzyskana pod koniec i – tego roku

Model zdyskontowanych dywidend

Inwestor nie sprzedaje akcji, nie uzyskuje kwoty ze sprzedaży.

Wtedy

O ile taka granica istnieje.

1

)1(i

r

Di

iP

n

ir

Dn i

iP1

)1(lim

Model stałej wartości dywidendy

Jeżeli dywidenda jest stała: dla każdego i, Di=D

to sytuacja jest analogiczna do tej z renty wieczystej i stosując wzór (16) otrzymujemy wartość akcji w tym przypadku:

rDP

Model stałego wzrostu dywidendy (Gordona - Shapiro)

Zakładamy stałe tempo rocznego wzrostu dywidendy – oznaczamy je przez g, ( 0 < g < r).

Wtedy Di+1= Di(1 + g) dla każdego i=1,2, ... Ciąg dywidend jest ciągiem geometrycznym,

czyli Di= D1(1 + g)i-1. Wzór na wycenę akcji przyjmie postać:

(25)

grr

i

i

rg

ri

r

g

ir

gD

ir

D

DD

DD

P

rg

i

i

i

i

ii

111

11

11

1

1

11

11

11

)1(

)1(1

1)1(

)1(

1)1(

11

1

11

Jeżeli znana jest cena rynkowa akcji to z powyższego wzoru można uzyskać stopę r rocznego

zwrotu. gr PD 1

.

Model dwóch fazZakładamy, że przez pierwsze n- lat dywidenda rośnie w tempie

g1, zaś później rośnie w tempie g2. (0 < g2 < g1< r )

2

2

1

111

2

2121

21

111

2

2111

111

12

2

1

21

11

1

)1(

1

1

)1(

)1(

1

1

11

1

)1(1

1

11

)1(

)1(

)1(1

1

11

11

1

1)1(

)1(

1)1(

)1(

1)1(

21

11 )1(,)1(

grg

r

Dgrgr

g

g

Dgr

ni

i

rg

g

Dr

D

nir

g

g

Dn

i

i

rg

r

nir

gDn

ir

gD

ir

D

knkn

nn

nn

n

rgn

rg

nn

n

rg

nn

rg

n

rg

i

i

nn

i

nin

i

i

ii

DD

D

P

gDDgDD

2

21

11

1

111

2

2

1

111

1

)1(

)1(1

1

1

)1(

1

1

grg

r

gDgr

grg

r

Dgr

n

n

n

r

g

nn

n

r

g

D

DP

Szacowanie ceny akcji na podstawie zysków rocznych

EPS (earnings per share) = zysk roczny / liczba akcji Współczynnik P/EPS znany pod nazwa „cena do

zysku”(C/Z) jest jednym z najważniejszych wskaźników ceny akcji. Wskaźnik ten na ustabilizowanym rynku zawiera się w pewnym przedziale typowym dla giełdy, sektora spółki, wielkości itp.

Akcje spółki mogą być więc oszacowane przez wartość tego współczynnika oraz EPS.

Jeżeli współczynnik ceny do zysku dla podobnych spółek waha się w przedziale <a, b> to wartość akcji tej spółki spełnia nierówności:

a EPS < P < b EPS.

Model zdyskontowanych przepływów a wskaźnik cena do zyskuInterpretacja właścicielska

 Model zdyskontowanych dywidend wycenia wartość akcji z punktu widzenia akcjonariusza otrzymującego dywidendę. Wycena akcji może być dokonana z punktu widzenia właściciela spółki. Wtedy roczne dywidendy zostają zastąpione rocznymi przepływami gotówki. Jeżeli przepływy są dodatnie możemy mówić o rocznych kwotach zysku przypadających na jedną akcję.

Model zdyskontowanych przepływów a wskaźnik cena do zyskuInterpretacja właścicielska

Jeżeli przyjmiemy modelowo, że te kwoty rosną w tempie rocznego wzrostu równym g, to wzór

(27)

z modelu stałego wzrostu dywidendy może posłużyć do wyceny akcji z punktu widzenia zdolności generowania zysku, gdzie D1 oznacza zysk przypadający na jedną

akcję w pierwszym roku.

gr

DP

1

Wartość

współczynnika C/Z

Spodziewany wzrost

rocznych zysków

50 5,5 %

25 3,5 %

15 0,833 %

13,33 0 %

11,11 - 1,5 %

8 - 5 %

Dzieląc równość (27) przez D1 otrzymujemy po lewej stronie

wskaźnik cena do zysku, zatem

(28) C/Z =gr

1

Ostatni wzór dostarcza fundamentalną interpretację wyceny. Na przykład, jeżeli rynek

wycenił akcje spółki na poziomie C/Z równym 25, przy stopie dyskontowej 7,5% to oznacza,

że g wynosi 3,5%. Zatem rynek spodziewa się, że zyski spółki będą rosnąć w ujęciu rocznym

o 3,5%. Przeprowadzając podobne obliczenia (przy tej samej stopie dyskontowej)

otrzymujemy następujące wartości tempa wzrostu zysków: