Leonhard Euler(1707-1783)

UNIVERZITET U BEOGRADU

Jelena Mihailovi c

Leonhard Euler(1707-1783)

Profesor : dr Zoran Lui cc Predmet : Metodika nastave matematike 2

1

Ojler je raunao bez vidljivog napora, slino kao to c c s ovek die, ili kako se orao odrava na vetru. c s z Leonard Ojler (15. aprila 1707. - 18. septembra 1783.) je vajcarski s matematicar. Ziveo je i radio u Berlinu i Petrogradu. Jedan je od najveih c matematiara u istoriji. Napisao je oko 900 radova. Stvarao je u mnogim c oblastima, posebno matematici, zici i astronomiji.

1

Zivot u osamnaestom veku

Ojlerova matematika karijera poela je u godini Njutnove smrti. Nije c c se mogla pronai povoljnija epoha za genija kao to je bio Ojler. Analitika c s c geometrija (objavljena 1637. god.) ve se upotrebljavala 20 godina, diferc encijalni i integralni raun oko 50, a Njutnov zakon o svemirskoj gravitaciji, c klju za zikalnu astronomiju, matematiarima je bio poznat 40 godina. U c c svakom od ovih podruja bio je reen veliki broj izolovanih problema, sa nasc s tojanjima za ujedinjenje; ali sistematski napad jo nije organizovan protiv s cele matematike, iste i primenjene, koja je tada postojala. Posebno snana c z analitika metoda Dekarta, Njutna i Lajbnica jo nije bila iskoriena do c s sc moguih granica, naroito u mehanici i geometriji. c c Pre nego to predemo na Ojlerov miran, ali interesantan ivot, moramo s z spomenuti dva dogadaja u njegovo doba koji su uticali na njegovu veliku aktivnost i pomogli mu u odredivanju smera. U osamnaestom veku sveuilita c s nisu bila glavni istaivaki centri u Evropi. Oni su to mogli postati mnogo z c ranije nego to su stvarno postali, a uzrok tome je klasina tradicija i ne s c razumljivo neprijateljstvo prema nauci. Matematika je bila potovana jer s se smatrala drevnom znanou, ali zika, kao mnogo mlada, bila je sumnsc jiva. Osim toga, za matematiara se u tadanjem svetu smatralo da mora c s z najvei deo svoga vremena utroiti na uenje daka; njegovo istraivanje, ako c s c se uopte time bavio, smatralo se nekorisnim luksuzom. s Vodstvo su preuzele razne kraljevske akademije potpomognute plemenitim vladarima. Matematika duguje veliku zahvalnost Fridrihu Velikom i Katarini Velikoj za njihovu veliku liberalnost. Zahvaljujui njima osamnaesti vek bio c jedan od najaktivnijih perioda u istoriji nauke. U sluaju Ojlera, Berlin i c Petrograd dali su snagu matematikom stvaralatvu. Oba ova stvaralaka c s c

2 sredita zahvaljuju svoju inspiraciju neumornoj Lajbnicovoj ambiciji. Akas demije za koje je Lajbnic izradio planove pruile su Ojleru mogunost da z c postane najplodniji matematiar svih vremena. c Berlinska akademija polako je umirala kroz 40 godina bez pametnih ljudi, kada joj je Ojler na inicijativu Fridriha Velikog ponovo udahnuo ivot; a Petz rogradska akademija, koja zbog smrti Petra Velikog nije bila organizovana u skladu sa Lajbnicovim programom, bila je solidno organizovana od njegovog naslednika. Te akademije nisu bile sline nekim dananijm kojima je glavna funkcija c s da nagraduju svoje lanove za dobro izvren posao; one su bile istraivake orc s z c ganizacije koje su plaale svoje istaknute lanove da vre nauna istraivanja. c c s c z Osim toga plate i benecije bile su dovoljne da su ovek i njegova porodica c mogli pristojno da ive. U jednom je periodu u Ojlerovoj kui ivelo ak z c z c osamnaest osoba; ipak je on zaradivao toliko da je sve mogao pristojno da izdrava. I konano, privlanost ivota akademika u osamnaestom veku bila z c c z je i u tome to su njegova deca, ako su uopte neto vredela, imala dobru s s s odskonu dasku u svet. To nas dovodi do drugog vanog uticaja na Ojlerovu c z opirnu matematiku proizvodnju. Vladari koji su platili raun prirodno su s c c eleli da dobiju neto kao dodatak apstraktnoj kulturi za svoj novac. Ali z s mora se naglasiti da vladari kada su jedanput dobili zadovoljavajui prihod c za svoje ulaganje nisu insistirali da njihovi slubenici utroe ostatak svoga z s vremena na proizvodnomradu; Ojler i Lagran i drugi akademici bili su z slobodni da rade ono to ele. Nije bio vidljiv ni bilo kakav jai pritisak da s z c bi se iznudili neki hitni praktini rezultati koje bi drava mogla upotrebiti. c z Za razliku od mnogih istaivakih instituta danas, vladari osamnaestog veka z c sugerisali su sasvim malo i pustili nauku da sledi svoj put.

22.1

Zivotni put Leonarda OjleraPrvi koraci i usmerenje

Leonard Ojler, sin Paula Ojlera i njegove ene Margarite Bruker, verovatno z je najvei naunik koga je Svajcarska dala. Rodio se u Baselu 15. aprila c c 1707. godine, ali je ve idue godine preao s roditeljima u oblinje selo c c s z Riechen, gde mu je otac postao kalvinistiki pastor. Paul Ojler je i sam bio c odlian matematiar i uenik Jakoba Bernulija. Otac je imao nameru da c c c Leonard pode njegovim stopama i da ga nasledi u seoskoj crkvi, ali je, na

3 sreu pogreio i deaka uio matematku. c s c c Ojler je od najranijeg detinjstva znao ta eli. Uprkos tome, on je posluno s z s potovao volju oca i upisao se na Sveuilite u Bazelu, da studira teologiju. U s c s matematici je dovoljno napredovao da bi privukao panju Johana Bernulija, z koji je nesebino davao mladiu privatne asove jednom nedeljno. Ojler bi c c c ostatak nedelje potroio spremajui se za idui as tako da bi sledeeg puta s c c c c mogao postaviti to vie pitanja svom uitelju. Danijel i Nikolaus (Johanovi s s c sinovi) brzo su primetili njegovu inteligenciju i sposobnost i postali su njegovi najbolji prijatelji. Leonard je mogao uivati sve dok nije dobio diplomu zrelosti 1724. godine, z u sedamnaestoj godini, kada je njegov otac insistirao da napusti matematiku i potpuno se posveti teologiji. Ali je otac popustio kada su mu Bernulijevi rekli da je njegov sin predodreden da bude veliki matematiar. I premda se c proroanstvo potpuno ispunilo, takvo vaspitanje je na Ojlera imalo uticaja c do kraja ivota. Sto je bio stariji, sve se vie seao poziva svog oca. z s c

Prvi samostalan rad Ojler je uradio kada je imao devetnaest godina. Nije dobio nagradu ali je dobio posebno priznanje za reenje jarbola na brodovima. Kasnije je s nadoknadio taj gubitak, jer je dvanaest puta osvojio nagradu.

Svestan da je rodeni matematiar , Ojler se borio za mesto profesora u c Bazelu. Kada nije bio izabran, nastavio je sa studiranjem hrabren nadom da e se pridruiti Danijelu i Nikolausu Bernuliju u Petrogradu. Oni su se c z ljubazno ponudili da e Ojleru nai mesto u Akademiji. c c U tom periodu inilo se da je Ojler bio zaudo indiferentan ta e raditi, c c s c samo da bude neto nauno. Kada su Bernulijevi pisali o perspektivnom s c otvaranju medicinske sekcije na Petrogradskoj akademiji, Ojler se u Bazelu upisao na lozoju i sluao je predavanje iz medicine. Ali ak i na tom polju s c on nije mogao biti po strani od matematike jer je ziologija uha zahtevala matematika ispitivanja zvuka. c

4

2.2

Zivot u Rusiji

Ojler je dobio slubeni poziv u Petrograd 1727. godine da bude saradnik z i medicinskoj sekciji Akademije. Ojlerovo veselje je ubrzo prestalo. Onoga dana kada je stupio na tlo Rusije, umrla je liberalna Katarina I. Katarina je bila ljubavnica Petra Velikoga pre nego to je postala njegova s ena i ini se da je bila u mnogim pogledima pametna ena; ona je za dve z c z godine svoga vladanja ostvarila Petrovu elju o osnivanju Akademije. Nakon z smrti Katarine I vlast je prela u ruke neobino okrutne struje koja je vladala s c u ime maloletnog cara (koji je, moda na sreu, umro ranije nego to je poeo z c s c vladati). Novi vladari gledali su na Akademiju kao na suvini luksuz i u toku s nekoliko meseci uspeli su da je zabrane. Takvo je stanje bilo kada je Ojler doao u Petrograd. U toj zbrci nije nita reeno o stanju medicinskog mesta s s c na koje je pozvan i on se ubacio u matematiku sekciju jer su se posle nekog c vremena stvari sredile. U toku est godina on je neumorno radio, ne samo zbog toga to je bio s s sav u matematici ve delimino i zbog toga to se nije usudio voditi normalni c c s drutveni ivot jer su pijuni bili na sve strane. s z s Godine 1733. Danijel Bernulije se vratio u Svajcarsku i Ojler je u dvadeset i estoj godini zauzeo vodei poloaj matematiara na Akademiji. Oseajui s c z c c c da e ostati u Petrogradu ceo svoj ivot, Ojler je odluio da se oeni. Odabranc z c z ica je bila Katarina, kerka slikara Gsella, kojeg je Petar Veliki poveo sa c sobom u Rusiju. Politike prilike postale su jo gore i Ojler je oajno, vie c s c s nego ikada, eleo da pobegne. Ali brzim dolaskom dece jednog za drugim euz ler je bio sve vie vezan i izlaz je naao u neprekidnom radu. Stalna opeznost s s silila ga je na neprekidni rad. Ojler je bio jedan od nekoliko velikih matematiara koji je mogao raditi c svuda i pod svakakvim uslovima. Veoma je voleo decu (imao ih je trinaestoro, ali je petoro umrlo u ranom detinjstvu) i esto je pisao svoje beleke s dec s tetom na krilu dok su se starija deca igrala oko njega. Lakoa kojom je on c pisao najtee matematike probleme neverovatna je. Jo se spominju mnoge z c s legende o njegovom stalnom izmiljanju ideja. Bez sumnje, neke su preters ane, ali se tvrdi da je Ojler mogao napisati matematiki problem u pola sata c ili izmedu dva obroka.

5 Kada je umro car (deak), Ana Ivanovna, Petrova neaka postala je 1730. c c godine carica, i to se tie Akademije, stvari su se znatno poboljale. Ali pod s c s posrednom vladavinom Aninog ljubavnika Ernesta Johna de Birona Rusija je trpela najkrvaviju vladavinu u svojoj istoriji. Ojler se smirio i povueno c radio nekih deset godina.

U to vreme doiveo je svoju prvu z nesreu. Odluio je da osvoji nagradu c c za astronomski problem za koji su neki istaknuti matematiari traili nekoliko c z meseci vremena. Ojler je problem reio za tri dana. Ali zbog dugotras jnog napora, on se razboleo i oslepeo na desno oko.

Za vreme njegovog boravka u Rusiji sama matematika nije apsorbovala itavu Ojlerovu energiju.Pisao je matematike udbenike za ruske kole, konc c z s trolisao zemljine knjige, pomogao u reformi mere i teine...Ali bez obzira na s z to koliko se bavio drugim poslovima, Ojler je nastavio da se bavi matematikom. Iz tog razdoblja jedan od najvanijih radova bila je rasprava o mehanici z (Mehanika, 1736. god.). Dan objavljivanja rasprave je bio svega godinu dana nakon Dekartove rasprave o analitikoj geometriji, to predstavlja dogadaj c s stolea. Ojlerova rasprava za mehaniku znaila je ono to je Dekartova uinila c c s c za geometriju - oslobodila ju je okova sintetike demonstracije i nainila je c c analitikom. Po prvi put je diferencijalni i integralni raun pun snage upotrec c bljen u mehanici i time je zapoelo novo razdoblje u toj fundamentalnoj c nauci. Ojlera je u tome nadmaio njegov prijatelj Lagran, ali Ojleru pris z pada priznanje na prvom uinjenom koraku. c

2.3

Berlin

Nakon smrti carice Ane (1740. god.), ruska vlada je postala mnogo liberalnija, ali Ojleru je bilo svega dosta te je oduevljeno prihvatio poziv Fridriha s Velikog da dode na Berlinsku Akademiju.

6

Iduih dvadeset godina Ojler je iveo u Berlinu, premda nije bio previe c z s sretan, jer bi Fridrih vie voleo ugladenog dvorjanina nego jednostavnog s Ojlera. I premda je Fridrih smatrao svojom dunou da unapreduje matemz sc atiku, on ju je prezirao i nije se odnosio prema njoj kako je trebalo. Ali on je dovoljno cenio Eulerov talenat da bi ga angaovao u praktinim problemima, z c medu ostalim kovanju novca, kanalima za vodu, kanalima za plovidbu... Rusija se nije nikada potpuno odrekla Ojlera i ak kad je bio u Berlinu, c plaala mu je jedan deo plate. Uprkos mnogobrojnoj porodici, Euler je bio c bogat i osim kue u Berlinu posedovao je farmu blizu Charlottenburga. Za c vreme ruske invazije u Brandenburg 1760. god. Eulerova farma je bila spaljena. Ruski general je izjavio da on ne ratuje protiv nauke, i nadoknadio je Ojleru gubitak mnogo veom svotom nego to je bila stvarna teta. c s s Jedan od uzroka Ojlerove nepopularnosti na dvoru Fridriha je bila njegova nesposobnost da uestvuje u diskusiji o lozofskim pitanjima o kojima c nita nije znao. Voltaire, koji je najvei deo vremena utroio ulagujui se s c s c Fridrihu, uivao je s drugim sjajnim govornicima koji su okruivali Fridriha z z postavljajui nemonom Ojleru metazike doskoice. Ojler je sve to doc c c c broduno primao i glasno se smejao s drugima nad svojim vlastitim smenim s s glupostima. Ali Fridrih je postao sve vie uzrujan i nezadovoljan da tako s slabi lozof stoji na elu njegove Akademije i zabavlja njegov dvor. c Dalamber je bio pozvan u Berlin da da svoje miljenje. On i Ojler se s nisu slagali u matematici. Ali Dalamber nije bio ovek koji bi dopustio da c takve razlike zamagle njegov sud i on je Fridrihu otvoreno rekao da bi bilo nepravedno staviti bilo kog drugog matematiara iznad Ojlera. Zbog toga c je Fridrih postao jo vie tvrdoglav i besan i za Ojlera je stanje postalo s s nepodnoljivo. U pedeset i devetoj godini (1766) on je jo jedanput skupio s s stvari i otiao nazad u Petrograd na srdani poziv Katarine Velike. s c

2.4

Povratak u Rusiju

Katarina je primila matematiara kao da je kralj, dala mu potpuno namec tenu kuu za njega i za njegovih osamnaest ukuana i odredila jednog od s c c svojih kuvara da vodi kuhinju. U to vreme Ojler je poeo gubiti vid i na drugom oku (zbog prehlade) i c ubrzo je potpuno oslepeo. Napredovanje njegovog nadolazeeg mraka praeno c c

7 je sa sauecem i zabrinutou u pismima Lagrana, Dalambera i drugih c s sc z vodeih matematiara toga doba. Sam Ojler smireno je ekao dolazak slepila. c c c Nema sumnje da mu je njegova duboka vera pomogla da eka budunost. Ali c c on se nije predaomiru u mraku. Odmah je preduzeo da popravi nepopravljivo. Pre nego to ga je napustilo poslednje svetlo, nauio je da svoje fors c mule pie kredom na velikoj ploi. Zatim je svojim sinovima (naroito Als c c bertu) diktirao rei objanjavajui formule. Umesto da se smanjuje, njegova c s c matematika produktivnost se poveavala. c c U toku itavog ivota Ojler je imao fenomenalno pamenje. On je Vergilic z c jevu Aneidu znao napamet i trebao je samo u svojoj mladosti pogledati knjigu, uvek je mogao rei prvi i zadnji red na svakoj stranici svog primerka. c Njegovo pamenje je bilo vizuelno i sluno. On je takode imao neobinu c s c sposobnost za raunanje napamet. Sve glavne formule celog podruja matemc c atike koje su postojale u njegovo doba su bile savesno smetene u njegovoj s pameti. Kao jedan primer njegove vetine Condorcet(sekretar na Akademiji) navos di da su dva Ojlerova studenta sabrala sloene konvergentne redove ( za z posebnu vrednost promenljivih) do sedamnaest lanova, koji se nisu slagali c samo u petnaestom mestu rezultata. Da bi odredio ta je tano, Ojler je ceo s c raun izvrio u glavi i utvrdio da je njegov odgovor bio taan. Sve mu je to c s c pomoglo da lakse podnese gubitak vida. Ali ak i tako, delo koje je uinio c c kroz sedamnaest godina slepila, gotovo je neverovatno. Lunarna teorija kretanje meseca, jedini problem koji je Njutnu zadavao glavobolju - prola s je svoje solidno proveravanje kroz Ojlerove ruke. Sve sloene analize on je z izvrio potpuno u svojoj glavi. s Pet godina nakon povratka u Petrograd Ojler je doiveo drugu nesreu. z c U velikom poaru 1771. godine unitena je njegova kua i sav nametaj z s c s i zahvaljujui samo heroizmu njegovog vajcarskog sluge (Peter Grimm, ili c s Grimona) Ojler je izbegao smrt. Rizikujui ivot, Grimm je preneo svog slec z pog i bolesnog gospodara kroz vatru na sigurno mesto. Biblioteka je izgorela, ali zahvaljujui energiji kneza Orlova svi su Ojlerovi rukopisi spaeni. Carica c s Katarina brzo je nadoknadila sav gibitak i Ojler je vrlo brzo ponovo mogao raditi. Godine 1776. (kada mu je bilo ezdeset devet godina) Ojler je pretrs peo veliki gubitak smru svoje ene. Idue se godine ponovo oenio. Druga c z c z ena Saloma Abigail Gsell, bila je sestriina prve ene. Njegova najvea z c z c tragedija bila je neuspeh (moda zbog nepanje lekara) operacije da mu se z z

8 vrati vid levog oka-za koje je jedino postojala neka nada. Operacija je uspelai Ojlerovo veselje je bilo bezgranino. Ali je dolo do infekcije i nakon c s dugotrajne patnje, koju je on opisao kao stranu, ponovo se vratio u veni s c mrak. Ojler je ostao snaan i sveeg uma sve do svoje smrti, koja ga je zatekla z z u njegovoj sedamdeset i sedmoj godini 18. septembra 1783. Zabavljao se jednog popodneva izraunavajui zakon dizanja balona. Iz ruke mu je ispala c c lula i s reju Umirem, Ojler je prestao iveti i raunati. c z c

3

Ojlerov doprinos u matematici

Ojler je doao do zapaenih rezultata u svim oblastima matematike koje s z su u to vreme postojale. Svoja otkria objavljivao je ne samo u lancima c c razliitog obima ve i u mnogim obimnim prirunicima, gde je sreden i c c c kodikovan materijal do kojeg su dole ranije generacije. U nekim oblass tima Ojlerovo izlaganje moe se smatrati skoro potpuno zavrenim. Primer z s je naa sadanja trigonometrija sa svojom koncepcijom trigonometrijskih s s veliina kao kolinicima i sa svojom simbolikom, koja potie iz Eulerovog c c c dela Uvod u analizu beskonanih veliina, 1748.god. Ogromni autoritet njec c govih prirunika uinio je da se u algebri i analizi uvrste njegove oznake. c c c

3.1

Ojlerova formula

U dva toma Uvoda obuhvaeno je veoma mnogo razliitih pitanja. Tu c c se nalazi Ojlerovo izlaganje beskonanih redova, medu kojima redovi za ex , c sinx i cosx i relacija eix = cosx + isinx poznata kao Ojlerova formula. Ako se x zameni sa dobija se Ojlerov identitet ei + 1 = 0 koji je znaajan po tome to daje c s z vezu izmedu 5 izuzetno vanih matematikih konstanti e, i, , 1 c i 0. Ispitivanje krivih i povri pomou njihovih jednaina izvodi se tako slos c c bodno da moemo Uvod smatrati prvim udbenikom analitike geometrije. z z c Ovde nalazimo i algebarsku teoriju eliminacije. Razlaganje brojeva na sabirke

9 je deo Uvoda koji posebno zadivljuje.

3.2

Ojlerovi integrali

Drugi veliki i sadrajno bogat Ojlerov prirunik je Diferencijalni raun, z c c 1755. Posle ovog prirunika pojavila su se tri toma Integralnog rauna, 1768c c 1744. Tu nalazimo ne samo na elementarni diferencijalni i integralni raun s c ve i teoriju diferencijalnih jednaina, Tejlorovu teoremu sa mnogim primec c nama, Ojlerovu teoremu za sumiranje i Ojlerove integrale i B :

B(x, y) =

1 0

tx1 (1 t)y1 dt =

(x)(y) (x + y)

(z) =

0

tz1 et dt

Potpuni uvod u algebru (1770. god.) napisan je na nemakom jeziku i c Ojler ga je diktirao slugi jer je tada bio slep. Izlaganje je u toj knjizi dovedeno do teorije jednaina treeg i etvrtog stepena. c c c Ojlerovo delo Metode za nalaenje krivih linija koje poseduju osobine minz imuma ili maksimuma pojavilo se 1774. godine.

3.3

Ojlerova teorema za pravilne poliedre

Medu poznatijim radovima je i teorema koju je on otkrio, a u kojoj je uspostavljena relacija izmedu broja temena V , strana F i ivica E zatvorenog poliedra : V +F E =2 Postoji samo pet pravilnih poliedara pomou kojih moemo ilustrovati ovu c z

10 jednakost. Dakle, pomou ove jednakosti dokazujemo da nema drugih pravilc nih poliedara osim ovih 5 : tetraedar V 4 F 6 I 4 oktaedar 6 12 8 heksaedar 8 12 6 ikosaedar dodekaedar 12 20 30 30 20 12

3.4

Ojlerova prava

U bilo kom trouglu vai da su ortocentar H, sredite opisanog kruga M i z s teite Z koninearne take i vai HZ = 2ZM . zs c z

3.5

Devet taaka Ojlerovog kruga c

Sredita stranica, podnoja visina i sredita dui odredenih temenima i s z s z ortocenrom bilo kog trougla pripadaju jednom krugu.

11

3.6

Ojlerova konstanta

Ojlerova konstanta U njegovom radu sa beskonanim redovima prouavao je konstantu c c 1 1 1 1 + + + ... + loge k} 0.5772 2 3 4 k

= lim {1 +k

koja nosi njegovo ime i pokazao kako se koristi za procenu sume beskonanog c reda 1 1 1 1 = 1 + + + ... + 2 3 n k=1 k budui da je c 1 1 1 + + ... + + loge n 2 3 nn

1+

12

3.7

Poznate Ojlerove oznake

1736. godine Ojler je uveo simbol e za transcendentni broj koji se denie s kao granina vrednost c 1 n ) n

n

lim (1 +

1748. godine uveo je oznaku i= 1

3.8

Problem Keningsberkih mostova s

Nekoliko Ojlerovih lanaka posveeno je zanimljivoj matematici. Jedan c c od njih je Problem Keningsberkih mostova. s Kroz centar nekadanjeg pruskog grada Keningsberga, danas Kalinjingras da, protie reka Pregel. c

Na reci su dva ostrva povezana medusobno i sa obalama reke sa sedam mostova. Pria se da su stanovnici Keningsberga zabavljali pokuavajui da c s c

13 obidu svih sedam mostova, a da pri tome preko svakog predu tano jedanput. c s Medutim uprkos svim nastojanjima nikome to nije polo za rukom.Isto tako niko nije bio u stanju ni da dokae da je tako neto neizvodljivo. Prvi koji z s je u tome uspeo bio je Ojler. Ojlerov dokaz ne postojanja odgovarajue c etnje Keningberkim mostovima smatra se prvim rezultatom, a samim tim i s s poetkom teorije grafova. U Eulerovu ast itava jedna klasa grafova dobila c c c je ime Ojlerovi grafovi.

4

Jo neka Ojlerova dela s

Naroitu panju Ojler je poklanjao astronomiji, tanije teoriji kretanja c z c Meseca. Napisao je Teoriju kretanja planeta i kometa, 1774. god. koja se svrstava u oblast nebeske mehanike. S tim njegovim radom su u vezi njegova ispitivanja o privlaenju elipsoida (1738. god.). c

Ojlerovo delo Metode za nalaenje z krivih linija koje poseduju osobine maksimuma ili minimuma pojavilo se 1774. godine.

Ojler je pisao knjige i iz oblasti hidraulike, brodogradnje i artiljerije. U periodu izmedu 1769. i 1771. godine pojavila su se tri toma njegove Dioptrike sa teorijom prelamanja zrakova kroz sistem soiva. U optici je gotovo jedini c od savremenika koji prihvata talasnu teoriju svetlosti. Ojlerova lozofska razmatranja najznaajnijih problema prirodnih nauka u njegovim Pismima c jednoj nemakoj princezi (pisana 1760.-1761. god.) jesu primer popularc izacije nauke jedno od njegovih retkih spisa na francuskom jeziku, budui c da je veinom pisao na latinskom). U 1739. godini pojavila se nova Teorija c muzike, za koju su govorili da je suvie muzikalna za matematiare i suvie s c s matematika za muziare. c c Ako njegovi napori da dokae postojanje korena algebarske jednaine z c nisu doveli do neoborivog dokaza, oni otvaraju put njegovim nastavljaima, c

14 posebno Lagranu, inae njegovom ueniku po mnogim pitanjima. Iako su z c c razmenili bogatu prepisku, Ojler i Lagran se, medutim, nikad nisu sreli. z Radovi iz vie aritmetike Lagrana i Ojlera usko su povezani, i uopte, Ojler s z s je otvarao put a Lagran je pojednostavljivao ili uoptavao. z s Godine 1909. Svajcarsko drutvo za prirodne nauke poelo je sa sakupls c janjem i objavljivanjem Ojlerovih razbacanih memoara uz nansijsku pomo c mnogih linosti i matematikih drutava irom sveta s pravom tvrdei da c c s s c Ojler pripada itavom civilizovanom svetu, a ne samo Svajcarskoj. c

5

Osvrt na Ojlerov ivot i delo zAko pogledamo unatrag na Ojlerovo ogromno delo, moemo na prvi pogled z biti skloni verovanju da bi svaki talentovani ovek mogao u velikom c delu uiniti to isto tako brzo kao c Ojler. Ali pogled dananje matems atike ubrzo e nas razuveriti. Sadanje c s stanje matematike s njenom dunglom z teorija relativno nije sloenije nego za z vreme Ojlera, ako uzmemo u obzir snagu metoda koje nam stoje na raspolaganju.

Ogromna Ojlerova produktivnost bila je i ostaje povod za zbunjivanje i oduevljavanje svakoga ko je pokuao da proui njegove radove. Taj zadatak s s c nije tako teak kao to izgleda, jer je njegov latinski jezik veoma jednostavan, z s a simbolika skoro savremena, tako da je moda bolje rei da je naa simbolika z c s skoro Ojlerova. Moe se sastaviti dugaak spisak poznatih otkria, kao i z c c spisak njegovih ideja koje jo uvek ekaju razradu. Veliki matematiari su s c c priznavali da Ojleru mnogo duguju. Gaus je jednom rekao : Prouavanje c Ojlerovih radova je najbolja kola u raznim oblastima matematike i nita s s drugo ne moe to zameniti . z

15

Literatura[1] E.T.Bell, Veliki matematiari, Znanje-Zagreb, 1972. c [2] DIRK J. STROJK, Kratak pregled istorije matematike, Zavod za izdavanje udbenika Socijalistike Republike Srbije, 1966. z c c [3] Vojislav Petrovi, Teorija grafova, Univerzitet u Novom Sadu, Prirodnomatematiki fakultet, 1998. c [4] Liesbeth De Cock, Ilse de Saegher, Nele Roelens, Natalie Van Eynde, Liesbeth Van Raemdnock, Leonhard Euler, http://www.mathsforeurope.digibel.be/Euler.html [5] dr Ljiljana Petkovi, c Matematiki c http://www.ljiljanapetkovic.com simboli i termini, gamma, Euler,

[6] Dipl.Math. Stefan Kramer, Eulers Constant http://www.math.uni-goettingen.de/skraemer/gamma.html [7] Peter Taylor, Australian Mathematics http://amt.canberra.edu.au/euler.html Trust, Leonhard

16

Sadraj z 1 Zivot u osamnaestom veku 2 Zivotni put Leonarda Ojlera 2.1 Prvi koraci i usmerenje . . 2.2 Zivot u Rusiji . . . . . . . 2.3 Berlin . . . . . . . . . . . 2.4 Povratak u Rusiju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 4 5 6 8 8 9 9 10 10 11 12 12 13 14

3 Ojlerov doprinos u matematici 3.1 Ojlerova formula . . . . . . . . . . . 3.2 Ojlerovi integrali . . . . . . . . . . . 3.3 Ojlerova teorema za pravilne poliedre 3.4 Ojlerova prava . . . . . . . . . . . . . 3.5 Devet taaka Ojlerovog kruga . . . . c 3.6 Ojlerova konstanta . . . . . . . . . . 3.7 Poznate Ojlerove oznake . . . . . . . 3.8 Problem Keningsberkih mostova . . s 4 Jo neka Ojlerova dela s 5 Osvrt na Ojlerov ivot i delo z