ognjen markovi} jedan od najva`nijih pojmova kvantne ... · ognjen markovi} prou~avanje dinamike...

Ognjen Markovi}

Prou~avanje dinamikeBoze-Ajn{tajnovogkondenzata simulacijom pripromeni parametara sistema

Prou~avana je dinamika Boze-Ajn{tajnovog konden-

zata numeri~kim simuliranjem Gross-Pitaevskii jed-

na~ine pri promeni parametra sistema. Cilj rada je

bio ispitivanje uticaja nelinearnosti samog sistema

na procese raspada i osnovnu frekvenciju kondezata

u slu~aju nagle promene koeficijenta nelinearnosti.

Pokazano je kako nelinearnost uti~e na proces ras-

pada kondenzata pri isklju~enju magnetne zamke.

Tako|e je pokazano da frekvencija osnovne oscila-

cije zavisi od trenitnih parametra sistema ali i od

po~etnog stanja sistem iz kojeg je sistem izveden.

1. Teorijski uvod

Boze-Ajn{tajnov kondenzat predstavlja stanjematerije razre|enog gasa slabo interaguju}ih bozonapod dejstvom spoljnog potencijala pri temperaturamabliskim apsolutnoj nuli (T < 10–5 K). Pri ovakvim us-lovima ve}ina ~estica zauzima najniè dozvoljenoenergetsko stanje {to dovodi do toga da su kvantno--mehani~ki efekti vidljivi na makro nivou. Ovaj feno-men je predvi|en teorijskim radovima SatejandreBozea i Alberta Ajn{tajna 20-ih godina XX veka,dok smo za eksperimentalnu potvrdu fenomena mo-rali sa~ekati 1995. godinu izvedenu od strane ErikaKornela i Karla Vajmana. Kvantna mehanika pruàteorijski model opis ovog fenomena koj se moè tre-tirati analiti~ki ili numeri~ki u raznim uslovima.

1.2. Uvod u kvantnu mehaniku

Kvantna mehanika je deo moderne fizike nastaopo~etkom 20. veka koji matemati~ki obja{njava

pona{anje materije i me|usobni uticaj materije naskalama veli~ine atoma u sub-atomskih ~estica.Jedan od najva`nijih pojmova kvantne mehanike jepojam talasne funkcije. Talasna funkcija u kvantnojmehanici je veli~ina koja potpuno opisuje stanje is-pitivanog sistema u ve}ini slu~ajeva mikro sistemakao {to su sub-atomske ~estice i atomi. U op{temslu~aju talasna funkcija je kompleksna funkcija de-finisana na celom prostoru u datom trenutku. Samavrednost talasne funkcije nema fizi~ki smisao alikvadrat njene amplitude predstavlja gustinu vero-vatno}e nalaènja ~estice u datoj ta~ki prostora. Zarazliku od klasi~ne predstave, kvantne ~estice sudelokalizovane i imaju talasnu svojstva, tj. njihovpoloàj nije ta~no definisan ve} se pona{a kao talaskoj odre|uje verovatno}u nalaènja ~estice u datojta~ki prostora. Hamiltonijan je operator koj opisujedinamiku sistema jer se njegovom primenom natalasnu funkciju dobija promena talasne funkcije uvremenu. [redingerova jedna~ina je jedna~ina ukojoj figuri{e talasna funkcija i koja opisuje ovosvojstvo:

ir t

tr t�

�

��

��

( , ))( , )� H

(1)

gde �( , )�

r t predstavlja talasnu funkciju u trenutku t

i ta~ki prostora odre|enoj vektorom poloàja�

r.Ovo je linearna parcijalna diferencijalna jedna~inadrugog reda koja je u op{tem slu~aju re{iva ana-liti~ki. Fizi~kim veli~inama u kvantnoj mehanici sedodeljuju operatori, kakav je i hamiltonijan kojipredstavlja operator energije: H = T + V, gde je T

kineti~ka, a V potencijalna energija. Zamenom ki-nte~ke energije T operatorom impulsa dobija se

H = � � ��

22

2mV r( ) i time jedna~ina (1) postaje:

ZBORNIK RADOVA 2010 FIZIKA • 73

Ognjen Markovi} (1992), Beograd, Dòna

Kenedija 9a/17, u~enik 3. razreda Matemati~ke

gimnazije u Beogradu.

MENTOR:

Vladimir Lukovi}, Fizi~ki Fakultet Univerziteta

u Beogradu

ir t

t mV r r t�

�

� � ��

��

( , )( ) ( , )� � � �

�

��

�

��

22

2 (2)Talasna funkcija � ispunjava uslove neprekid-

nosti, kona~nosti i definisanosti na celom prostoru.Za grani~ne uslove je uobi~ajeno da se talasna fun-

kcija normira uslovom: �( , )�

r t �2

1.

1.2. Uvod u kvantnu mehaniku velikogbroja ~estica

Kod sistema sa velikim brojem ~estica u kvantnojmehanici se primenjuju statisti~ke metode radi opisasistema sa velikim brojem ~estica. Najve}a razlikakvantne statisti~e fizike od klasi~ne statisti~ke fizikeje to {to u kvantnoj fizici vi{e identi~nih ~estica sunerazli~ive jedna od druge. U klasi~noj fizici u sis-temu od vi{e tela, recimo u sistemu sastavljenom oddve kugle, mi ozna~avanjem jedne i druge kugle usvakom trenutku znamo gde se nalazi koja kugla. Ukvantnim sistemima po{to su ~estice same po sebidelokalizovane po odre|enom prostoru nemogu}e jerazlikovati dve kugle jednu od druge. Umesto vi{eodvojenih talasnih funkcija za svakog ~lana tog sis-tema mi imamo jednu zajedni~ku talasnu funkciju tj.ceo sistem se pona{a na jedinstven na~in pa ih takone moèmo razdvajati.

1.3. Boze-Ajn{tajnov kondenzat

Boze-Ajn{tajnov kondenzat (BAK) kao kvantno--mehani~ki fenomen velikog broja ~estica moè seopisati modelima kvantne statisti~ke fizike. Pre svegaBAK je sastavljen od bozona, jedne od vrsta elemen-tarnih ~estica ~ija je karakteristika da im je spin celo-brojan (n N! ) dok druga vrsta elementarnih ~esticafermioni ima polu celobrojan spin (oblika n � 1

2,

n N! ). Foton je bozon, elektroni i kvarkovi su fer-mioni dok se neutron i proton pona{aju kao fermioni.Za fermione vaì Paulijev princip koj kaè da dvaidenti~na fermiona ne mogu zauzimati u istom tre-nutku isto kvantno stanje {to ne vaì za bozone. Timeza bozone ne postoji ograni~enje da li mogu da za-uzimaju isto kvantno stanje. Atomi sastavljeni odfermiona mogu se pona{ati kao bozoni ako imaju pa-ran broj fermiona u sebi (tako da je spin celobrojan)tako da su u prethodnom radu (Roberts et al. 2000)kori{}eni atomi. Na kona~nim temperaturama ener-giji ~estice najvi{e doprinosi toplotna energija te~estice usled haoti~nog kretanja, dok je pri niìmtemperaturama udeo ove energije je manji. Usled

toga na apsolutnoj nuli sistem bozona se konden-zuje u stanje sa istom energijom. Da bismo zadràli~estice u odre|enoj oblasti prostora uvodi se poten-cijalno polje koje ima ulogu zamke, kako se nekad inaziva.

Za sistem neinteraguju}ih bozona pri uklju~enojzamci, koja ima jedan maksimum u ta~ki 0, stacio-narno stanje bi izgledalo kao na slici 1A. Ako se uistoj zamci na|e sistem bozona sa privla~nom inter-akcijom stacionarno stanje }e izgledati kao na slici1B, za slabiju odbojnu interakciju talasna funkcija uprostoru ima oblik 1C, dok za ja~u odbojnu inter-akciju ima oblik 1D.

U radovima (Gross 1961) i (Pitaevskii 1961) supreko mean-field teorije izvedena jedna~ina talasnefunkcije BEK-a na apsolutnoj nuli na poloàju saradijus vektorom

�

r i u trenutku t. Ova jedna~ina jenazvana Gross-Pitaevskii jedna~ina (GP):

ir t

t�

�

��

�

( , )�

� � � � ��

��

�

��

� � � �

22 2

2mV r gN r t r t( ) ( , ) ( , )� �

(3)

Vidimo da je osnovna razlika u odnosu na jed-na~inu (2) u tome {to je ova jedna~ina nelinarna[redingerova jedna~ina, jer je pored standardnih

~lanova uklju~en i „nelinearni” ~lan gN r t� ( , )� 2

,

gde N predstavlja broj ~estica u kondenzatu dok pa-

rametar ga

m�

4 2� �

predstavlja ja~inu me|u~esti~ne

interakcije, gde je a paramrtar rasipne duìne. Po-zitivno g ozna~ava odbojnu me|u-~esti~nu inter-akciju, dok negativno g ozna~ava privla~nu ~esti~nuinterakciju.

1.4. Definicija problema

U op{tem slu~aju GP jedna~ina nije re{iva ana-liti~ki. To iziskuje re{avanje ili aproksimativnim ilinumeri~kim metodama. U ovom radu se primenjujenumeri~ki pristup.

GP jedna~inu je mogu}e dovesti na prihvat-ljiviji oblik radi kori{}enja u numeri~koj simulaciji.U ovom radu bavi}emo se sferno simetri~nim pro-blemom {to zna~ajno pojednostavljuje jedna~inu(3). Mogu}e je uo~iti sfernu simetriju gde se u op-{tem slu~aju 3d jedna~ina realno svodi na jedna~inukoja zavisi samo od jedne prostorne primenljive.Oblik potencijala koj se razmatra je harmonijski po-tencijal koj je u sferno simetri~nom slu~aju oblika:

74 • PETNI^KE SVESKE 68 DEO I

V r m r( )~�

� 1

2

2 2� gde je m masa ~estice, � frekvencija

potencijalne jame i ~r radijalna distanca. Zbog sime-

trije problema talasna funkcija zavisi samo od ~r i ":

� "(~, )r ~ime jedna~ina (3) postaje:

ir t

t�

��

�

(~, )

�

� � � � ��

��

�

��

�

22 2

2mV r gN r t r t(

~) (

~, ) (

~, )� �

Transformacijama lm

��

�, r

r

l�

~, i t � "�{to

zna~i da se r ra~una u jedinicama l, dok se vremera~una u jedinicama 1

�. Dobijamo jedna~inu ~ijim

re{avanjem mo`emo dobiti � "(~, )r , a time i sve

osobine sistem:

ir t

t�

�#

�

( , )�

� � � ��

��

�

��

12

12

2

2

2

2�

�

##

rr n

r t

rr t

( , )( , )

gde je n Na l� 4� i normalizacija ra~unate funkcije

4 10

2

� #( , )r t r$

�d . Grani~ni slu~ajevi za ovu funk-

ciju su #( , )0 0t � i lim ( , )r

r t%$ �# 0, {to sledi izuslova normiranosti talasne funkcije. U ovom radusmo prou~avali dinamiku sistema pod odre|enimpromenama koeficijenta nelinearnosti n ili pote-


Slika 1. Modul talasne funkcije za neleneranosti n � 0 (A), n � �3137. (B), n � 125 (C) i n � 627 (D)

Figure 1. Amplitude of wave function for nonlinearities n = 0 (A), n = –3.137 (B), n = 125 (C)and n = 627 (D)

ncijala u kome se kondenzat nalazi. U koeficijentu n

figuri{u broj ~estica N i rasipna duìna a od kojezavisi me|u ~esti~na interakcija. Po{to ra~unamo dase broj ~estica odràva promena koeficijenta n zavisisamo od a, tj. od me|u~esti~ne interakcije koja sepode{ava spoljnim magnetnim poljem. Pri naglomnastanku potencijalnog polja kondenzat se raspada,ali u zavisnosti od druga~ije vrednosti parametra n,

ovaj raspad se de{ava druga~ijom brzinom. Tako|eje prime}eno da se pri nagloj promeni nelinearnostipojavljuje oscilatoro kretanje kondezata (Roberts et

al. 2000) i mi }emo se tako|e baviti prou~avanjemovog fenomena.

2. Numeri~ka metoda

Numeri~ka metoda kori{}ena za re{avanje svedeneGP jedna~ine zasniva se na Crank-Nicholson metodu(Muruganadam i Adhikari 2009). Ako GP jedna~inunapi{emo kao:

ir t

tr t

�#

�#

( , )( , )� H

razlaganjem operatora H � �H H1 2 gde je:

H12

212

� ��

��

�

��r n

r t

r

#( , )i

H2

2

2

12

� ��

�rGP jedna~ina se svodi na:

�#

�#

( , )( , )

r t

tr t� H1 i

�#

�#

( , )( , )

r t

tr t� H2

Dalje }emo dobijati #( , )r t diskretizacijom u vremenusa korakom � u dva koraka. Prvo za talasnu funkcijuu nekom trenutku t0, dobijamo re{enje za neki malivremenski korak t t1 2 0� � � jedna~inom:

�#

�#

1 20

1 0

( , )( )

( , )r t

tr t

��

�H .

Drugi korak je

�#

�#

( , )( )

( , )r t

tr t0

21 2

0

��

��H .

Na sli~an na~in ovu jedna~inu re{avamo diskre-tizacijom u prostoru po poljima veli~ine �r. Pomo}uCrank-Nicholsonove {eme re{enje se dobija pomo}ure{avanja sistema linearnih jedna~ina u zavisnosti odvrednosti talasne funkcije u prethodnom trenutku. Zaovu metodu su kori{}eni grani~ni uslovi koji su

opisani u delu 1.4. Ova metoda se moè koristiti zadobijanje i stacionarnog re{enja talasne funkcije iza prou~avanje dinamike sistema.

Me|utim za dobijanje samo stacionarnog re{e-nja (tj. funkcije # ( , )r t % $ metoda se znatno up-ro{}uje uvo|enjem imaginarnog vremena, odnosnosmenom t it� . GP jedna~ina se upro{}uje na oblik:

� ��#

�#

( , )( , )

r t

tr tH

Vidimo da za stacionarna stanja sa energijamaE

iza koje vaì # #

i i ir t E r t( , ) ( , )� vaì:

�#

�#i

i i

r t

tE r t

( , )( , )� � ,

to jest:# #

i

E t

ir t e ri( , ) ( , )� � 0 .

Time vidimo da za stanja sa vi{om energijombrè opadaju eksponencijalno nego ona sa niòmenergijom. Pod pretpostavkom da je po~etno stanjelinearna kombinacija stacionarnih stanja posle ne-kog vremena jedino stanje koje ostane je stanje saminimalnom energijom tj. osnovno stanje. Ovimmetodom se dobijaju stacionarna re{enja veomabrzo i efikasno uvo|enjem nelinearnosti ~ak u jed-nom koraku za slabije nelinearnosti i u vi{e za ja~e.Za prou~avanje dinamike sistema se za po~etnu ta-lasnu funkciju uzima ve} izra~unata stacionarnatalasna funkcija i onda se tokom iteracija po vre-menu menjaju parametri sistema n ili V r( )

�

.Numeri~ka simulacija je ra|ena u programskom

jeziku C++ dok je obrada podataka vr{ena u pro-gramskom paketu MatLab. Ra~unate fizi~ke veli-~ine su bile sandardna devijacija i period oscilacijau slu~aju da je oscilatorno pona{anje prime}eno.Standardna devijacija tj. srednja {irina raspodelepredstavlja meru disperzije odre|ene veli~ine i una{em slu~aju ustvari predstavlja meru ra{irenostikondenzata po prostoru. U op{tem slu~aju je:

& �� ( ) ( )x p x x2

d

gde je � srednja vrednost veli~ine x dok je p x( )gustina verovatno}e. Za na{ primer ovo postaje:

& #q

x r t x� 2

2

( , ) d

jer je srednja vrednost nula po{to je kondenzat si-metri~no skoncentrisan oko ta~ke x � 0. Ako bistandardnu devijaciju posmatrane talasne funkcijeozna~ili sa X mi moèmo ozna~iti brzinu promene


ra{irenosti kondenzata sa �X gde je �XX

t�

dd

. Standar-

dna devijacija ra~unata u simulaciji se dobija ujedinicama u kojima je dat prostor tj. u jedinicama

lm

��

�, dok je brzina data u jedinicama l�.

3. Rezultati i diskusija

U ovom poglavlju su izneti rezultati numeri~kesimulacije za vi{e slu~ajeva. Broj iteracija radi do-

bijanja stacionarnog stanja je varirao od 1 � 105 kodmetode imaginarnog vremena, do 15 106. � kod metoderealnog vremena. Grafici na slici 1 dobijeni su meto-dom imaginarnog vremena za nelinearnosti n1 0� ,n2 31371� � . , n3 = = 125.484. Talasne funkcijera~unate metodom imaginarnog vremena su izuzetnodobro konvergirale, pokazaju}i odstupanje manje odod rezultata datih u literaturi (Muruganadam iAdhikari 2009). Najve}e odstupanje je prime}enokod najve}e privla~ne interakcije gde je kriva talasnefunkcije najstrmija, pa je i gre{ka pri simulaciji naj-ve}a. Vrednosti diskretizacije prostora � r i vremena� su uzimane da budu oko 0.0001 za � r i 0.01 do0.0001 za �. Broj prostornih ta~aka je uziman od1000 pa do 8000, u zavisnosti od slu~aja i prostornepro{irenosti kondenzata. Prime}ena je nestabilnostnumeri~ke simulacije za veoma jake privla~ne inte-rakcije {to je i opravdano u neku ruku ekpserimental-nim rezultatima gde se tada de{ava eksplozija

kondenzata. Kad se odre|ivalo stacionarno stanjemetodom realnog vremena bilo je potrebno mnogovi{e iteracija da bi se dobio iole ta~an rezultat i timeje gre{ka bila oko 0.1%. Stacionarne funkcije do-bijene ovom metodom su kori{}ene u prou~avanjudinamike sistema kao po~etni uslov.

3.1. Raspad kondenzata

Raspad kondenzata je prou~avan tako {to se ujednom trenutku naglo isklju~uje potencijalna za-mka i posmatra se promena talasne funkcije i njenestandardne devijacije. Hamiltonijan primenjivan u

ovom slu~aju ima oblik H1 � � �12

2

2

2�

�

#

rn

r t

r

( , ),

~ijom se primenom na po~etnu talasnu funkciju#( , )r0 dobija stanje sistema u nekom trenutku t.Primer ovakvog raspada u dva vremenska trenutkadat je na slici 2.

Na slici 2 je prikazan kondenzat sa koeficijen-tom nelinearnosti n3 31371� . posle isklju~enja pote-ncijalne zamke u trenucima t � 2 i t � 4. Vidimoda se kodnezat raspada tako {to se rasprostire poprostoru smanjuju}i svoju gustinu. Talasna funkcijate`i da se pro{iri na neograni~eni prostor kao kodslobodne ~estice, ali je razlika izme|u slobodne ~e-stice i kondenzata ba{ u koeficijentu nelinearnosti n.Da bismo prou~ili uticaj koefcijenta nelinearnostina raspad kondezata bilo je potrebno dovesti kon-denzat na isti po~etni uslov. To je ura|eno tako {to


Slika 2. Raspadaju}i kondenzat u trenutku t = 2 (A) i trenutku t = 4 (B).

Figure 2. Dissolving condensate for moment t = 2 (A) and moment t = 4 (B)

je uzeto ' (# � �( , ) expr x x0 22� � � za po~etnu

talasnu funkciju. Ova po~etna funkcija je ustvari re-{enje [redingerove jedna~ine za osnovno stanje i kaotakvo predstavlja po~etno stanje Boze-Ajn{tajnovogkondenzata bez koeficijenta nelinearnosti. Na slici3A je prikazan grafik zavisnosti standardne devijacijeod vremena kod raspada tri kondenzata sa nelinear-nostima n � 0, n � 6 i n � �6.

Na prvom grafiku vidimo da se za veoma malovreme kondenzat brzo raspada i samo na po~etnomdelu grafiku prime}uje se razlika zbog razli~itihnelinearnosti. Posle nekog vremena zakrivljenje sesmanjuje i brzina te`i konstantnoj vrednosti. Ovo sebolje vidi na slici 3B gde se brzina stabilizuje naodre|enoj vrednosti i tada kondenzat se {iri konsta-ntnom brzinom. Do ovoga dolazi jer se {irenjemkondenzata njegova gustina smanjuje po{to ~lan


Slika 3. Zavisnost standradne devijacije (A) i brzine promene standardne devijacije (B) od vremena kod raspadakondenzata

Figure 3. Dependance of standard deviation (A) and rate of change of standard deviation (B) with respect to timefor dissolving condensate

Slika 4. Oscilatorno kretanje za q = 0.5 (A) i q = 2 (B)

Figure 4. Oscilatory movement for q = 0.5 (A) and q = 2 (B)

n r t r#( , )2ozna~ava ja~inu trenutne interakcije, gde

je #( , )r t r2gustina kondenzata.

3.2. Nagla promena interakcije

Nagla promena interakcije se dobija naglom pro-menom koeficijenta nelinearnosti n. Hamiltonijan ovepromene je onda:

H1 � � � �12

12

2

2

2

2�

�

#

rr qn

r t

r

( . )

gde je q koeficijent promene interakcije. O~ekivanopona{anje kondenzata je to da u tom slu~aju on kreneoscilatorno da se kre}e, jer je nagla promena koefi-cijenta nelinearnosti ekvivalentna izvo|enju kon-denzata iz ravnote`nog poloàja. Moè se primenitianalogija sa harmonijskim oscilatorom ali je u ovomslu~aju dinamika mnogo bogatija, jer je u pitanjunelinearni sistem. Na slici 4A je prikazan grafikpromene srednje {irine kondenzata usled nagle pro-mene nelinearnosti za q = 0.5 i n0 = 3.1371 dok jena slici 4B prikazan grafik za q = 2 i n0 = 3.1371.

Prime}ujemo da pri nagloj promeni nelinearnostisistem biva izveden iz ravnote`nog poloàja i osci-luje oko novog ravnote`nog poloàja. Prime}uje seda za q < 1 kondenzat osciluje oko skupljenijeg no-vog ravnote`nog poloàja dok kod q > 1 osciluje okora{irenijeg novog ravnote`nog poloàja. To je i logi-~no, jer je za q < 1 nova interakcija biti slabija tj.manje privla~na dok je kod q > 1 obrnuto.

Dobijeni grafici predstavljaju sinusnu oscilaciju ugraniciama numeri~ke gre{ke. Osnovni parametarovog sistema predstavlja frekvencija njegove oscila-cije koja je prikazana u jedinicama �. Ovu frekve-nciju moèmo nazvati osnovna frekvencija sistema.

3.3. Zavisnost frekvencije oscilacija odpromene n

Klju~no pitanje koje se name}e jeste kako zavisifrekvencija predstavljena u 3.2. od nagle promenenelinearnosti. Za o~ekivati je da frekvencija te oscila-cije u najop{tijem slu~aju zavisi od trenutnih parame-tra sistema (potencijala, me|u~esti~ne interakcije,mase i broja ~estica). Kao {to }emo pokazati frekve-ncija oscilacije }e tako|e zavisiti od po~etnog stanjaiz koga je izveden kondenzat. U radu Adhikarija(2003) je dato da je ovakva oscilacija za slu~aj n � 0jednaka 2�, gde je � frekvencija date harmonijskezamke. U slu~aju n ) 0 ova frekvencija je druga~ija.Na slikama 5 A-C je prikazana zavisnost frekvencije


Slika 5. Zavisnost frekvencije oscilovanja od krajnjenelinearnosti za n = 3.131 (A), 31.371 (B), 125.484(C)

Figure 5. Frequency of oscillation in respect tononlinearity at the end for n = 3.131 (A), 31.371 (B),125.484 (C)

oscilovanja za novu nelinearnost za po~etne nelinear-nosti n0 = 3.1371, 31.371 i 125.483, redom. Promenenelinearnosti su i{le od q � 0 do q � 6.

Po~etna frekvencija na ovim graficima je ta~no 2{to je u skladu sa teorijskim i eksperimentalnim re-zultatima jer mi ra~unamo vreme u jedinicama pa jefrekvencija u jedinicama 1 �.

Prime}eno je da oblik ovih zavisnosti zavisi odpo~etnog stanja, ali i od promene nelinearnosti. Reci-mo poloàj maksimuma frekvencije zavisi od po~etnenelinearnosti tako da je za manje odbojne interakcijepotrebno ve}e q da bi se postigao maksimum, dok jeza odbojnije interakcije dovoljno manje q. Ovo semoè objasniti time da je za privla~nije po~etneinterakcije potrebna ja~a odbojna interakcija da bi seta privla~na interakcija „raskinula”.

3.4. Zavisnost frekvencije od po~etnogstanja

U odeljku 3.3 je pokazano da frekvencija oscila-cija zavisi od po~etne nelinearnosti. Ovde }emoostaviti fiksnu promenu nelinearnosti dok se po~etnastanja menjaju. Mi smo uzeli da je fiksna promenaq � 05. pa je hamiltonijan ove promene:

H1 � � � �12

12

2

2

20

2�

�

#

rr qn

r t

r

( . ).

Zavisnost novo nastalih oscilacija od nelinear-nosti po~etnog stanja su data na slici 6.

Vidimo da sa rastom po~etne nelinearnosti rastei frekvencija oscilacija ali da ona na po~etku veomabrzo raste pa onda usporava. Prikazivanjem grafikatako da je na x-osi logaritamska zavisnost nam dajepregledniji grafik ali nam ne govori mnogo vi{e jerse opet dobija odre|eno zakrivljenje tako da ovajgrafik nije logaritamska funkcija.

Sada se postavlja klju~no pitanje kako zavisifrekvencija oscilacije kada mi promenimo neline-arnost na neku fiksnu vrednost. Mi smo u na{emslu~aju uzeli da je ta novonastala nelinearnostn � 20 tako da je hamiltonijan ove promene:

H1 � � � �12

12

202

2

2

2�

�

#

rr

r t

r

( . )

Grafik ovakve zavisnosti je prikazan na slici 7.Isto kao u prethodnom primeru, grafik koji se

dobije je skoncentrisan oko neke ta~ke pa on nijepogodan za diskusiju, tako da je logaritamski plotpredstavljen na slici 7B. Vidimo da ovaj grafik imamaksimum u oblasti po~etnih nelinearnosti od 10do 100 dok sa rastom nelinearnosti frekvencijaopada. To se moè objasniti time da u toj oblastigde se promena nelinearnosti sa n0 na n � 20 naj-manja, najvi{e uti~e novonastali kondenzat dok kodve}ih po~etnih nelinearnosti za ogromno smanjenjena uti~e mnogo manje jer je sam kondenzat pro-storno ra{ireniji pri ve}im nelinearnostima.


Slika 6. Zavisnost frekvencije oscilacija od po~etne nelinearnosti na linearnoj (A) i logaritamskoj skali (B)

Figure 6. Dependence of oscillating frequency in respect to nonlinearity at the beginning on linear (A) andlogarithmic plot (B)

5. Zaklju~ak

U ovom radu je prou~avano pona{anje Boze-Aj-n{tajnovog kondenzata pri raznim vrstama promenaspoljnih uslova.

Numeri~kom simulacijom su prvo dobijana staci-onarna stanja pa su onda pri odre|enim promenamata po~etna stanja razvijana.

Prou~avano je kako raspad kondenzata kad seisklju~i potencijalna zamka zavisi od koeficijenta ne-linearnosti koji ozna~ava me|u~esti~nu interakciju.Uo~ena je da se kondenzat posle nekog vremena kre-}e konstantnom brzinom jer je uticaj me|u~esti~neinterakcije mali ali da ta brzina zavisi od koeficijentanelinearnosti.

Tako|e su prou~avane osnovne frekvencije kojese dobijaju kada se kondenzat u ravnote`nom stanjunaglo izvede iz toga promenom nelinearnosti na nekunovu vrednost. Provereno je da li je, kada nema neli-nearnosti, frekvencija ta~no ona koja je predvi|enateorijom. Pri nekoj ne nultoj nelinearnosti pokazanoje da frekvencija oscilacije zavisi ne samo od tre-nutnih parametra sistema ve} i od po~etnog stanjakondenzata {to je detaljnije prou~avano u delu 3.4.

Prime}eno je nekoliko efekata koji nisu obja-{njeni kao {to je nestabilnost numeri~ke simulacijepri jakim privla~nim interakcijama.

Ovo istra`ivanje se mo`e pro{iriti i u teorijskomsmeru teorijskim izvo|enjem frekvencije oscilacija iu smeru numeri}kih simulacija gde bi se detaljnijeprou~ila zavisnost osnovne frekvencije od koefici-jenta nelinearnosti.

Zahvalnost. Zahvaljujem se mom mentoru Vla-di Lukovi}u na sveobuhvatnoj pomo}i i idejama isugestijama koji su zna~ajnu pro{irili ovaj rad. Ta-ko|e se zahvaljujem mojim saradnicima u PetniciBranku Nikoli}u, Marini Radula{ki i vo|i seminaraBranimiru Ackovi}u bez koga ovaj rad ne bi ugle-dao svetlost dana.

Literatura

Adhikari S. K. 2003. Resonance in Bose-Einsteincondensate oscillation from a periodic variation inscattering length. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.,36: 1109.

Dalfovo F., Giorgini S., Pitaevskii P. L., StringariS. 1999. Theory of Bose-Einstein condensation intrapped gases. Rev. Mod. Phys., 71: 463.

Gross E. P. 1961. Structure of a quantized vortexin boson systems. Il Nuovo Cimento, 20 (3): 454.


Slika 7. Zavisnost frekvencije oscilacilacija od po~etne nelinearnosti za nelinearnost n = 20 na linearnoj (A) ilogaritamskoj skali (B)

Figure 7. Dependance of oscillating frequency in respect to starting nonlinearity for nonlinearities n = 20 on linear(A) and logarithmic plot (B)

Muruganadam P., Adhikari S. K, 2009. Fortranprograms for the time-dependent Gross-Pitaevskiiequation in a fully anisotropic trap. ComputerPhysics Communications, 180: 1888.

Pethick C. J., Smith H. 2002. Bose-EinsteinCondensation in Dilute Gases. Cambridge:Cambrdge University Press

Pitaveskii L. P. 1961. Vortex lines in an imperfectBose gas. Sov. Phys. JETP, 13: 451.

Roberts J. L., Claussen N. R., Cornish S. L,Donley E. A., Cornell E. A., Wieman C. E. 2000.Stable 85Rb Bose-Einstein Condensate with widelytunable intreractions. Phys. Rev. Lett., 85: 1795.

Ognjen Markovi}

Dynamics of the Bose-EinsteinCondensate in a Simulation withChanges in Parameters

The dynamics of the Bose-Einstein condensatewere studied using a numerical simulation of theGross-Pitaevskii equation with changes in conden-sate parameters. The aim of this study was to inves-tigate the influence of nonlinearity of the system onthe dissolution process and on the natural frequencyof the condensate in the case of sudden changes ofthe coefficient of nonlinearity. It is shown hownonlinearity affects the process of dissolution ofcondensate after turning off the magnetic trap. Itwas found that the natural frequency depends on thecurrent parameters of the system and the initial stateof the system.


ognjen markovi} jedan od najva`nijih pojmova kvantne ... · ognjen markovi} prou~avanje dinamike...

Documents